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二次函数与三角形相似1. 在平面直角坐标系中，直线y3x3交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线C交x轴于另一点M(3，0)(1)求抛物线C的表达式；(2)求抛物线C关于y轴的对称图形C的顶点D的坐标；(3)若点A是点A关于原点的对称点，则在x轴上是否存在点P，使得PAD与ABO相似，若存在，求出符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由【思维教练】(1)要求抛物线C的表达式，根据题意过A、B、M三点可考虑运用待定系数法求得，又根据已知A、B分别为y3x3与x轴、y轴的交点，可考虑运用“分别令0法”求得A、B坐标，从而求得抛物线表达式；(2)要求C的顶点D的坐标，可考虑先求出C的函数表达式，根据已知C与C关于y轴对称，可运用数形结合思想得到对称以后C图象上各点与C图象上对应各点相比，纵坐标不变，横坐标互为相反数即可求解；(3)要求使得PADABO的点P坐标，可考虑当PAD与ABO相似时，对应边成比例，根据比例关系式，求出AP的长，根据题意对应边不确定，则需要分情况讨论解：(1)设抛物线C的表达式为yax2bxc(a0)，直线y3x3交x轴于A点，交y轴于B点，令y0，得x1，令x0，得y3，A点坐标为(1，0)，B点坐标为(0，3)又抛物线经过A、B、M三点，解得，抛物线C的表达式为yx22x3；(2)抛物线C关于y轴的对称图形C的表达式为y(x)22(x)3x22x3，即y(x1)24.该抛物线C的顶点D的坐标为(1，4)；(3)点A的坐标为(1，0)，第1题解图若PAD与ABO相似，如解图，当3时，AP，P点坐标为(，0)或(，0)；如解图，当3时，AP12，P点坐标为(11，0)或(13，0)；当PAD与ABO相似时，P点坐标为(，0)或(，0)或(11，0)或(13，0)2. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点抛物线yax2bxc经过点A(3，0)、B(0，2)、C(1，0)(1)求抛物线表达式；(2)求抛物线顶点坐标；(3)在线段AB上是否存在点Q，使得ACQ与AOB相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由第2题图 解：(1)抛物线过点A(3，0)、C(1，0)，则可设抛物线表达式为ya(x3)(x1)，将点B(0，2)代入可得a(03)(01)2，解得a，抛物线表达式为y(x3)(x1)x2x2；(2)yx2x2(x2)2，抛物线的顶点为(2，)；(3)存在如解图，过点C作x轴的垂线交AB于点Q1，第2题解图此时Q1CABOA90，Q1ACBAO，ACQ1AOB，C(1，0)，对于直线yx2，当x1时，y，Q1(1，)；如解图，过点C作CQ2AB于点Q2，此时CQ2ABOA90，Q2ACOAB，ACQ2ABO，过Q2作Q2MAC于点M，则CMQ2Q2MA, ，即Q2M2CMAM， 设点Q2(x，x2)， 则CMx1，AM3x，Q2Mx2，(x2)2(
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