（计算数学专业论文）一类非对称强耦合反应—扩散系统的二阶差分格式.pdf

摘要 非线性强耦合抛物型反应扩散方程组可以用来描述地下水输运过程中一 类化学反应本文考虑了这类模型中系数矩阵为非对称情况下的n e u m a n n 初 边值问题； 撕= o t 搿+ ，( 仳，口) ，0 z 1 ，0 t s i f , v t = + d t k # + g ( t ，口) ，0 1 ，0 t ：l ( 0 ，t ) = 口l ( t ) ，( 1 ，t ) = 风( t ) ，0 0 和b 0 假设下面的相容性条件成立t a l ( o ) = 嵋( o ) ，岛( o ) = 喃( 1 ) ，a 2 ( o ) = ( o ) ，岛( o ) = 诺( 1 ) 本文分为四部分第一部分对此问题应用降阶法建立了一个三层线性化差 分格式，用离散的能量分析法证明了其唯一可解性和在如范数下的二阶收敛 性第二部分采用降阶法建立三层线性化差分格式，利用第一部分中l 2 范数 下的结果证明了差分格式在l 。范数下的二阶收敛性在第三部分对四个方程 耦合的情况给出了线性化差分格式和收敛结果第四部分给出了数值例子，验 证了理论分析结果 关键词；微分方程，反应扩散，有限差分，非对称，强耦舍， 可解性，收敛性 a b s t r a c t t h en o n l i n e a rs t r o n g l yc o u p l e dp a r a b o l i cs y s t e mc a nd e s c r i b eg o l l l em a t h e m a t i c a l m o d e l so fac l a s so fc h e m i c a le x c h a n g er e a c t i o n sw h i c ht a k ep l a c ei nt h ep r o c e s so f t r a n s p o r t o f g r o u n d w a t e r i n a q u i f e r i n t h i sa r t i c l e ，w e a r e c o n c e r n e d w i t h t h e n u m e r i c a l s o l u t i o no fi n i t i a l - n p r o b l e m ： 饥= 口t 犯+ ，( ，口) ，0 1 ，0 t z 耽= ，+ + f ，口) ，0 善 1 ，0 t ：r ( o ，) = a t ( t ) ，( 1 ，t ) = 俄( t ) ，0 0a n db 0 ，a n dt h ef o l l o w i n gc o n s i s t e n c y c o n d i t i o n sh o l d ：a l ( 0 ) = 喃( o ) ，岛( o ) = 蝣( 1 ) ，a 2 ( 0 ) = 嵋( o ) ，如( 0 ) = 嵋( 1 ) t h e c o 一一( ：) i s n o n - s y m m e t r i co n e t h eo r g a n i z a t i o no ft h i sa r t i c l ei st h ef o l l o w i n g ：i ns e c t i o n1 。w ef i r s td e r i v e & l i n e a r d i 伍e r e n c es c h e m ef o rt h ep r o b l e mb yt h em e t h o do fr e d u c t i o no fo r d e r t h e nt h e u n i q u es o l v a b i l i t ya n du n c o n d i t i o n a ls e c o n do r d e rc o n v e r g e n c ei nl 2 - n o r ma r ep r o v e d i ns e c t i o n2 ，t h es e c o n do r d e rc o n v e r g e n c ei n - n o r mi s p r o v e d i ns e c t i o n3 ，a d i 西e r e n c es c h e m ei sc o n s t r u c t e df o rt h es 咖舀yc o u p l e ds y s t e mo ff o u re q u a t i o n s i nt h el a s ts e c t i o n ，an u m e r i c a le x a m p l ei sp r e s e n t e dt os h o wt h ee f f e c t i v e n e s so ft h e d i f f e r e n c es c h e l e 8 k e y w o r d s ：d i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，r e a c t i o n - d i f f u s i o n ，f i n i t ed i f f e r e n c e ，n o n - s y m m e t r y , s t r o n g l yc o u p l e d ，s o l v a b i l i t y ，c o n v e r g e n c e 东南大学学位论文 独创性声明及使用授权的说明 一、学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果尽我所知，除了文中特别加以标明和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经 发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或证书而 使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确 的说明并表示了谢意 二关于学位论文使用授权的说明 签名越吼巫 东南大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学位论文 的复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文本人电子文档 的内容和纸质论文的内容相一致除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借 阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容论文的公布( 包括刊登) 授权东南大 学研究生院办理 签名：她师签名飞x 主羔塾f 日期； 第一章差分格式在如范数下的收敛性 1 1 引言 本文考虑下列非对称的强耦合反应一扩散系统的n e u r r m n n 初边值问题t t t = 鲫k + i ( u ， ) ，0 。 l ，0 t 正 ( 1 1 1 ) 佻= 扫t 龆+ a h k + f 阻，廿) ，0 z 1 ，0 t 正 ( 1 1 2 ) t b ( 0 ，t ) = a l ( t ) ，t b ( 1 ，”= 风( t ) ，0 0 和b 0 假设下面的耜容性条件成立。 a l ( o ) = ( o ) ，历( o ) = 岛( 1 ) ，a 2 ( o ) = 诟( o ) ，岛( o ) = 嵋( 1 ) 非线性抛物方程( 1 1 1 ) 一( 1 1 5 ) 可以描述一些关于地下水输运过程中发生的一类化 学反应，目前对于这类问题大部分工作都是研究整体解的存在性和渐进性【1 l _ 6 1 在 文【3 】中，s m a t h i l a k e 和p e i _ r i b 研究如下问题， ( t 1 ) t = 8 1 u l 一，j ( t l ，t 1 2 ，v 1 ，1 j 2 ) ，z 刀，t 0 ( t 2 k = 口2 t 2 一，2 ( u l ，q 2 ，讥，t j 2 ) ，矽，t 0 ， ( 啻l k = h 让l + d l 口1 一，3 似l ，t 2 ，口l ，也) ，z f 、t 0 ， ( 地h = 6 2 t 2 + 而砚一，4 ( 珏1 ，地，饥，t 1 2 ) ，霉舻，t 0 ， t 1 0 ，0 ) = 嘏任) ，饥扛，0 ) = 四( z ) ，i = 1 ，2 ，$ 舻 ( 1 1 6 ) ( 1 1 - 7 ) ( 1 1 8 ) ( 1 1 9 ) ( 1 1 1 0 ) 在( 1 i 6 ) 一( 1 1 1 0 ) 中，扩教系数口l ，玩，噍满足q o ，机o ，缸l 画 酵o = 1 ，2 ) ，在条件满足 情况下，作者得到无界区域整体解的存在性在文f 4 | 中。j i a n g 和x i e 运用古典分析 方法研究了类似于( 1 1 6 ) - ( 1 1 1 0 ) 的方程组，得到了m n 边界条件下整体僻的存 在性，唯一性和有界性在文【7 j 中，z h a n g 和s 研究了如下非线性抛物系统的数值 解t 4 0 ，t ，让，) 饥= t 船+ ，伽，t ，缸，t ) ，0 霉 1 ，0 t z ( 0 ，t ) = 妒d ( t ) ，( 1 ，t ) = 咖( t ) ，0 t z u 扛，0 ) = 妒缸) ，0 s z s l ， l ( 1 1 1 1 ) ( 1 1 1 2 ) ( 1 1 1 3 ) 壅曼查兰塑圭堂堡垒塞董三翼叁坌堑茎童垒薹墼至墼些墼堡 2 其中“；( u i ，蚴，) r ( m 1 ) 是m 维向量函数，且( 。，t ，t ，嘶) 是m m 的对称系数矩 阵，f ( z ，t 池。) ，粕( t ) ，c d t ) ，( 。) 是给定的m 维向量函数他们建立了差分格式并且得 到了该格式的唯一可解性和工。范数下的二阶收敛性本文中，b 0 ，( 1 1 1 ) ( 1 1 5 ) 的 。n 、 系数矩阵rii 是不对称的，于是文f 5 】中的方法不适用 p d 为了突出建立差分方法的主要思想，本文主要考虑n e u m a n n 边界条件下两个未知 函数耦合的常系数的抛物方程组( 1 1 1 ) - ( 1 1 5 ) 的数值求解但是通过相同的方法，可 以类似讨论文 1 】和文f 4 】中多个方程耦合的或者变系数的方程组在有界区域上的数值 解 本文中，假设方程( 1 1 1 ) 一( 1 1 5 ) 存在唯一的光滑解u ( z ，t ) ，口( $ ，t ) 且在区域 n = “z ，t ) l0s 。s1 ，0s ts t ) 中满足“( ，t ) ，u ( 为t ) 、一c “z ( 4 , 3 ) ( n ) 另外，假设存在两个正 常数c l 和e o ，对任意的0 ，t ) n 和川e o ，l = 1 ，2 ，3 ，4 ，下面的条件成立， l ，( 扛，t ) + e l ，v ( x ，t ) + e 2 ) 一f ( u ( x ，t ) + 6 3 ，v ( x ，t ) + 4 ) ise i ( i e i 一曲l + i e 2 一e 4j ) ，( 1 1 1 4 ) b ( t 扛，t ) 十e 1 ，v ( x ，t ) 十f 2 ) 一夕0 ，t ) + e 3 ，v ( x ，t ) + f 4 ) l c 1 ( | 芒l e 3 l + l f 2 一4 1 ) ( 1 1 1 5 ) 本章以下的结构安排如下。首先对此问蹶应用降阶法( i s 一 1 l 】) 建立了一个三层线 性化差分格式，然后用离散的能量分析法证明了其唯一可解性和在如范数下的二阶 收敛性 1 2 差分格式的建立 取步长h = 1 ，m ，r = 吖k ，m 和耳为正整数令n h = z 。i 现= i h ，0sism ) ， 瞬= t k t “= k t ，0s 奄k ，q h ，= t 2 h q ，设牡= 砖l0 i m0sk k ) 为q 打 上的离散函数引进如下记号： “生 = j 1 ( n 十啦。) ， 砖= ；( u i k + l + t t ， 如嚎i = 弘1 啦k 一啦。) ， t 砖= 万il u k + l u t k 一1 ) ， 磋“ = ；( 瓦略 一如t 盘) ，b k l l = 0 铲0 * = o “i “s m m i 另外，我们记； 砖= ；【口f ( t k 1 ) + a f ( t k + 1 ) ，砑= ；【肪( “一1 ) + 岛( “十1 ) 】，1 s s 耳一l ，z = 1 ，2 令p = ，g = 则方程组( 1 1 1 ) - ( 1 1 5 ) 等价于下列方程组： u t = a p ：t + ，( “，口) ，0 z 1 ，0 t s 正( 1 2 1 ) 塞堕查堂堡圭堂堡垒塞篁三塞 董坌堡耋童丝苎墼至墼些竺堡 3 p = ，0 z 1 ，0 t 正 ( 1 2 2 ) 仇= 蛔t + d q z + g ( u ，口) ，0 茹 1 ，0 t z( 1 2 3 ) g = ，0 善 1 ，0 t 正 ( 1 2 4 ) p ( o ，) = 口1 ( t ) ，p ( 1 ，t ) = 角( t ) ，0 s t l ( 1 2 5 ) q ( o ，亡) = 0 2 ) ，q ( 1 ，t ) = 愚( t ) ，0 s t s ( 1 - 2 6 ) “( ，0 ) = t 正o ( z ) ， v ( x ，0 ) = v o ( z ) ，05 。s1 ( 1 2 7 ) 方程( 1 2 1 ) 一( 1 2 7 ) 中，导数的最高阶数为一阶 定义网格函数t 。 噼= u ( ，“) ，礤= p ，t k ) ，访= 口( 戤，蛾钟= 口( 瓤，砒0 i 0 s k 利用泰勒展式，有 t 唑= 。如p 是 十爿! ( 以矿) + 吐i 一壬， 1 s 厶1 七k 一1 ， ( 1 2 8 ) 声l = 以可兰i + p i 卜 ， 1 s m ，1 膏s k 一1 ， ( 1 2 9 ) l 睦 = 娥蹙+ 玩蘸；+ 吐y ) + 硅。一 ， 1 i s 必1 k k 一1 ，( 1 2 1 0 ) - - v i k 一 = 如矿翌 + 蓝卜；， 1 f m ，1 南k 一1 ， ( 1 2 1 1 ) ：= 毋，- - ，m k = 磷，1 sk k 一1 ，( l 2 1 2 ) 磷= 磁，虿= 麓，1 k 1 ， ( 1 2 1 3 ) 田= 枷( ) ，讲= t l o ( 粕) + r i ；) + ，( 四，曙) 1 + m ，i ，0 i 托( 1 2 1 4 ) 口= 如( 戤) ，k 1 = v o ( x i ) + rl b 瞄( 毛) + d v g ( x 1 ) + 9 ( 田，印) l + 戊t i 0 i 蚝( 1 2 1 5 ) 其中p k 2 ( 1s l s4 ) ，以 ( 1 f 2 ) 是截断误差并且 嫠j ( 矾矿) = ，( 嚷，嚯) ，啦( 以y ) 2 9 ( 瞳，吐) 由解的光滑性，存在常数c 2 使得 l 硅i 一；i sc 2 ( f 2 + 九2 ) ， 1 s i s m ，1 sk 5 耳一1 ，1 妄l s4 ， ( 1 2 1 6 ) i p l isc 2 t 2 ，1 s t m ，1 k s k 一1 ，1 f s2 ( 1 2 1 7 ) 略去方程( 1 2 8 ) 一( 1 2 1 5 ) 中的小量项，对微分方程问题( 1 2 1 ) ( 1 2 7 ) 可建立如下差分格 式； t 啦量= 堪+ 礁( t ，口) ， 1 i 尬1 k s k 一1 ， ( 1 2 1 8 ) 奎堕奎耋塑圭堂垒篁塞 量三耋茎坌堑壅童竺重墼至望些墼丝= = = = = = = 4 ， 吃；= 域；， 1 i m ，1 豇k 一1 ， ( 1 2 1 9 ) t 哇j = 魄衷；+ 纸东 + 啦( n ， ) ，1 i m ，1 s 2 s 耳一1 ，( 1 2 2 0 ) 矗；= 壤毒， 1 墨i s m ，1 sk s k 一1 ， ( 1 2 2 1 ) 菇= 磷，j i f = 裔，1 sk s k 一1 ， ( l 2 2 2 ) 碲= 谚，如= 筋，1 s k s k 一1 ， ( l 2 2 3 ) t 露= 蜘( 缸) ，瓤i 暑2 + r l m ，0 i m ( 1 2 2 4 ) 胡= t j 0 缸) ，1 = 四十毗，0 s i 从 ( 1 2 2 s ) 兵甲 忱= m 名协) + ，( 撕( 矗) ，珈( 以) ) ，砒；粥( 以) + d 略( 瓤) + g ( 伽( 嗣) ，如( ) ) 在第( + 1 ) 时间层，我们可以将( 1 2 i s ) ( 1 2 2 3 ) 视作未知置为 罅+ 1 ，磅，t p l ，砖1 0s ism ) 的一个线性代数方程组 定理1 差分格式以2 j 砂“，e e s ) 等价于 t “ = 警( 如吃一耐) + ，霎( u ，n ) ，1 耳一1 ( 1 2 2 6 ) ；( 却o + 咄) = n 霹磅+ ；陋( “，”) + 盘( “州j ， 1 i 曼m 一1 ，1s s k 一1 ， ( 1 2 2 7 ) t “备一 = 警( 磷一如略，) + 省一如口) ，1 女s k _ 1 ， ( 1 2 2 8 ) 。”l = 等( 以吨一硝) + 警( 嘲一砖) + g l ( 嵋吐1s s ：1 ，( 1 2 2 9 ) ；( t 啦 十t 略) = 噬2 - - u t k t 2 - - i 。+ ；陋 ( 刚) + 或( 删) j ， 1 i m 一1 ，i k k 一1 ， ( 1 2 3 0 ) 。屹一 = 警( 磷一品磁一；) + 警( 磅一如略一；) + 如一( 刚) ， 1 s k 一1 ，( 1 2 3 1 ) 胡：t l o 阮) ，面= 胡+ r 慨，0 s i s 聪 ( 1 - 2 3 2 ) 锑= t 】o ) ，耐= 谚+ 毗，o l ， 1 2 a 3 ) 磷= 以略一瓦h f 略一路( j ，o s m 。，1 。s k - l , ( l 2 西= 如吨一+ 菇h 【t 屹一一诒一( 州) j ，1 k - 1 ， ( 1 2 砖：如- - 。哪k 一刍 t 峻i 一：b a t “l i 一赡( 叩) 一或( 刚) ) ， 0 i 5 m 一1 ，1 k s k 一1 ， ( 1 2 3 6 ) 办：如磁一+ 刍 t 屹一j 一：p 略一 一癌一( u ，”) 】一靠一 ( ) ， 堡室奎耋堑圭耋堡垒耋量= 翼壅坌堑茎童丝垄墼! 墼些丝堡 5 证明方程( 1 2 1 8 ) 可以写成 哦吐2 t 一旺( 掣) ，1 i m ，1 s k k 一1 ( 1 2 3 8 ) 将方程( 1 2 3 8 ) 两边同时乘以击，再将所得结果与方程( 1 2 1 9 ) 相加，得到 群= 以东+ 瓦h a t u 0 一，盘。，”) 1 ，1 m ，l k 一1 ( 1 2 3 9 ) 将方程( 1 2 3 8 ) 两边同时乘以击，再将所得结果与方程( 1 2 1 9 ) 相减，可得 砖= 如略一酝h t “鼻一爿k + ( 。) ，o m 一1 ，1 sj c 耳一1 ( 1 2 4 0 ) 当1 i m 一1 ，1sk k 一1 时，由方程( 1 , 2 3 9 ) 和( 1 , 2 4 0 ) ，有 即 罐 + 龛 t “o ；一世托，”) - 瓦略 一酝h 卜略j 一辟 ( u 棚 ， 1 s i s m 一1 ，1 sk k 一1 于是( 1 2 1 8 ) 和( 1 , 2 ，1 9 ) 等价于( 1 2 2 7 ) ，( 1 2 3 4 ) 和( 1 2 3 5 ) 由方程( 1 2 4 0 ) 中= 0 的 方程可知( 1 2 2 2 ) 中的第一个方程等价于( 1 2 2 6 ) ；由方程( 1 2 3 9 ) 中t = m 的方程可知 ( 1 2 2 2 ) 中的第二个方程等价于( 1 2 2 8 ) 类似地，我们可以得到( 1 2 2 0 ) 和( 1 2 2 1 ) 等 价于( 1 2 3 0 ) ，( 1 , 2 3 6 ) 和( 1 , 2 ，3 7 ) ；( 1 2 2 3 ) 等价于( 1 2 2 9 ) 和( 1 2 3 t ) 另外，( 1 2 2 4 ) 即 ( 1 2 3 2 ) ，( 1 2 2 5 ) 即( 1 , 2 3 3 ) 定理证毕 差分格式( 1 2 2 6 ) 一( 1 2 3 3 ) 仅含有未知量 “，t 乎l0 ism 1sk 研，并且方程 的个数和未知量的个数是相等的我们对问题( 1 1 1 ) 一( 1 1 5 ) 建立了差分格式( 1 2 2 6 ) ( 1 2 3 3 ) 在第( k 十1 ) 时间层上，先求解三对角方程组( 1 2 2 6 ) 一( 1 2 2 8 ) 得到 t p 110s is m ，然后解三对角方程( 1 2 2 9 ) 一( l 2 3 1 ) 可以得出 谚+ 1 0sls m 1 3 差分格式的可解性，收敛性分析 由定理1 可知，分析差分格式( 1 , 2 2 6 ) 一( 1 - 2 3 3 ) 可以转化为分析差分格式( 1 2 ，1 8 ) 一 ( 1 2 2 5 ) 定义如下网格函数： 吐t = 一砖，睦t = 礤一砖，e 缸= 时一砖，哇t = 饼一赤 n一面 一 1 j 一 砜 l “。k峨肌 计 一 纠 。 + 谚 磋 = 略 + ，卜 址 塞堕奎堂望圭耋堡垒茎墅三塞茎坌堑茎壅丝垄墼三墼些矍堡 6 将( 1 , 2 1 8 ) 一( 1 2 2 5 ) 与( 1 2 8 ) ( 1 2 1 5 ) 相减，得到误差方程t 2 x t e l k ， 一= 。嘁i 一 + 堆( 玩y ) 一疰( u ，口) + p 氛一， 1 i j 峨1 k s k 一1 ，( l 3 1 ) 秀i 一= 如砬t 一+ 硅 一，1 i l v l , 1 奄s k 一1 ，0 3 2 ) t ， = b 嘁- l + d 瓦砖卜+ 啦( 配矿) 一戎i ( u ，”) + 畦i 一；， 1 s i 5 尬1 s 女s k 一1 ，( 1 3 3 ) 磕卜至= 瓦李 一l + 硅 一 ，1 s 尬1 k s k 一1 ， ( i 3 4 ) 磅o = 0 ，苞肘= 0 ，1 耳一1 ，( 1 3 5 ) 磕o = 0 ，砭m = 0 ，1 冬s k 一1 ，( 1 3 6 ) e 2 t = 0 ，e i t = p l 冉0 s i 饥 ( 1 3 7 ) 铝i = 0 ，e k = m 1 0 i m( 1 3 8 ) 定理2 假设p ，条件“1 1 4 ) 和口，j 1 5 ) 成立，俐存在两个正常数c 和s 满足 r = 西 ，( 1 3 9 ) r 纠h 足够小那么，差分格式f 只2 纠p 2 3 3 ) 是唯一可解的且有误差估计式 q i i e i f 2 + 1 1 4 1 1 2sc 4 ( r 2 + h 2 ) 2 ，0 k k ， ( 1 3 1 0 ) 其中 c 4 = 【1 + n + 3 t ( 1 + 2 d + a + ) 】谚e c 3 r ， 国= m 一 s + s c ，位l ( a + 1 ) ( ，+ 批a = 考 注从误差估计以j j 甜可以得到网格步长的最优选择是r = o ( h ) 或者= 3 4 ， 证明由定理1 ，我们只需要证明差分格式( 1 2 a 8 ) 一( 1 2 2 5 ) 是唯一可解的并且误差 估计( 1 3 1 0 ) 是成立的下面我们用数学归纳法来证明 当k = 0 ，l 时，从( 1 2 2 4 ) 和( 1 2 2 5 ) 可以直接得到 醒，趣，醒，讲10 m ) 从 ( 1 3 7 ) ，( 1 ，3 8 ) 和( 1 2 1 7 ) ，有 旧8 = 0 ，i l e l l lsc 2 f 2 ，( 1 3 1 1 ) ，j | e 3 = 0 ，i l e v i l c 2 r 2 ( 1 3 1 2 ) 当= 1 2 t ( a z s k 一1 ) 时。假设 “：，谚10 s i s m ) 唯一可解并且( 1 3 1 0 ) 成立下面我们证明当k = ：+ 1 时， 舻1 ，+ 1l0 s i m ) 唯一可解且( 1 3 1 0 ) 成立 由归纳假设有 a o e l j 2 + 1 1 4 1 1 2 sc 4 ( r 2 + 舻) 2 ， l s f 奎童查耋堡圭兰堡篁塞量三重董坌堑塞塞丝薹墼兰塑些墼堡 7 由( 1 3 9 ) ，我们有 i e 铀is 五7 2 ( r 2 + h 2 ) h 一 知l i 托l k l ， 嚅一 ls 五7 2 ( f 2 + h 2 ) h 一s ；f 0 ，ls i m ，1 s 烈 结合( 1 1 1 4 ) 和( 1 1 1 5 ) ，有 i 囊( 矾一班( ”) i c l ( i 一i + l e 一；i ) ， 1 女sf ， i 定! ( 职y ) 一反l ( ”) l c 1 ( i e i i 一；l + i e ；l 一i ) ，1 k 1 考虑( 1 2 ，1 8 ) ，( 1 2 1 9 ) 和( 1 2 2 2 ) 的齐次方程组。 n l + 等= 侧- l s i m 一= j 1 5 ，1 。+ 一1 ，ls m 砖= 0 ，办= 0 ( 1 3 1 3 ) ( 1 3 1 4 ) ( 1 3 1 5 ) ( 1 3 1 6 ) ( 1 3 1 7 ) 在( 1 3 - 1 5 ) 的两边乘以h 。1 + 一1 j ，( 1 3 1 6 ) 的两边乘以缸恻一，将结果相加并对ik 1 到m 求和，有 如扩1 1 1 2 + 2 。2 于是 由( 1 3 1 5 ) 和( 1 3 1 6 ) ，有 由( 1 3 1 8 ) 和( 1 3 1 9 ) ，得到 m 6 萎( n q l + 1 ( - - l 帽p i 。i z 嘞+ z ； = o ( “钫1 办一t 舻1 菇) = 0 i t 。l + 一；= 0 ，或一20 ，1 s i j l = f ( l 3 1 8 ) 如一；0 ，如! ；。0 ，i i m ( 1 | 3 1 9 ) 越+ 1 = 0 ，癍= 0 ，0 i m 这说明( 1 3 1 5 ) 一( 1 3 1 7 ) 只有零解因此，( 1 _ 2 1 8 ) ，( 1 - 2 1 9 ) 和( 1 2 2 2 ) 有唯一解“1 + 1 ，藏10 i m ) 同理，( 1 2 2 0 ) ，( 1 2 2 1 ) 和( 1 2 2 3 ) 有唯一解( “，蟊 0si m ) 以下我们证明当k = l + 1 时，( 1 3 1 0 ) 成立 壅童查兰堑圭耋堡篁塞 叁三塞垄坌堑茎童丝垄墼三丝些竺堡= = = = = = 8 设a 为正常数在方程( 1 3 1 ) ，( 1 3 2 ) ，( 1 3 3 ) 和( 1 3 4 ) 的两边分别乘以腩： 一；， 施哇i 一 ，啵l 一 ，和嘁， ，将结果相加，并对t 从1 到m 求和，得到 。h 萎哇q t e ：呜 备m轳i)2+三m碴qte；q+砒三m+otahx(e-t 喊q ) 2 。h 萎哇q t e ：呜吾轳i ) 2 + 三碴q 山。；q + 砒三畦q r = 一危霎瞅一如z 缸 + 瓤 蹄) + 肌三嚷叫糖氛一 + 甍一如碴q ) + a h 薹砖卜 盘；似n 一堆“”) 】+ h 薹弓卜 陋( 玑n 一尤“”) 十6 h 秀。一；也菇。一+ a “圣t i p i t 一十一6 若哇t 一硅t i t ；1 。 1 2 1 一 十 嚏i 一 哇 + d h e 唆p 缸一，1 m 尬1 f ( 1 3 2 0 ) # l # l 一 。 利用( 1 3 5 ) ，我们得到 h ( 吨。一 如。一+ 唛“6 藏t 一 ) m = 髓露，一破，- 砖) = 0 ，1 s z ( 1 3 2 1 ) 同理，利用( 1 3 6 ) ，有 m ( 吃一 如砖l - + 哇一瓦t a ) = o ，1 。 利用( 1 3 t 3 ) 和( 1 3 1 4 ) ，可得 h i = 1 苟， 一 怛( 矾v ) 一囊似，u ) j sc - h 吃一妒：i - 扩晦一 i ) 要l i 砖1 1 2 + q ( e 1 1 2 + i e 1 1 2 ) ，1 z ， 和 h 萎m 弓p 陋( 矾矿) 一9 兰 ( 刚) h 萎弓p l f 墨( 矾矿) 一9 兰她叫 # j 。 s m 著略渺钳+ 咏1 ) i c l l 删- - k2 + q ( 1 2 删e ；1 2 ) ，1s s i ( 1 3 2 3 ) ( 1 3 2 3 ) = 墅墼窒墅坠璧墼墅篁坠= ：；：一篓三塞羹坌童塞童璺堡墼三墼些苎丝 9 利用( 1 3 4 ) 和c a u c h y 不等式，有 觚蚤咚一如畦叫2 一m 萎吃叫如呜 一轨蚤畦t i 畦t i 一磕。一1 ) 等i 隧 f 2 + ；h 磅“2 + ；o 菇o 。，1 s z ( 1 3 2 5 ) “蚤吃t 一吐t 一；s ；荀0 2 + 扣苈| j 2 ，1 女2 ， ( 1 & 2 6 ) 6 圣吃一硅q 扣钏2 + 扣商1 2 ，1 s 女s z ， ( 1 3 2 7 ) h e q ，l 一 硅f 一 ；j i 磅jj 2 + ；j j 力j j 2 ，l k z ，( l 3 2 s ) 一1 j 6 e b l g , 一硅一；扣都+ 互1 l i 舶k 悒1 s z ( 1 3 2 9 ) 将( 1 3 2 1 ) ( 1 3 2 9 ) 代入( 1 3 2 0 ) ，有 旦4 r ( 峭+ 1 】2 一崂一1 昀+ 一| f 磅f f 2 + 石1 ( f f 砖+ - ”。一f | e 孝一，f 2 ) + d l l e 4 * l l 。 s m - ( ；f j 苟胪+ 忙知2 + f 嵫”2 ) + c ，( ；| f 磅“2 + 舱知。+ “e 知：) + 扣酽+ 予d 酽+ 却f 2 + 狮胪+ 抑n 掣咖z + 警z 十互1 胪_ - 3 k | j 2 + 扣砖0 2 + 珈砖1 1 2 + ；j | 磅l 2 ， 1 s 矗f ( 1 3 3 0 ) 取口= 等则( 1 3 2 0 ) 可化简为 寺卜( 砖+ 1j j 2 一j f 砖以j 2 ) + ( ”磅+ 1 | j 2 一j 碚一，| j 。) 1 a c l 1 | 荀l | 2 + 2 ( i l e 知2 + j 燃l 】2 ) 十c 】助砖j j 2 + 2 ( | j e 知。+ j e l l z ) 1 + a l 衙 2 + i 惑1 1 2 + 口j | p 耶+ j j 砖j j 2 + 砖胪+ 豺j 膦忾1 s 膏sz ( 1 3 3 1 ) ；【口( i i e “酽一i f e 。f f 2 ) + ( “e p l 酽一i f 罐一z ”。) 1 ( 1 十c 1 ) a ( f f e h f f 2 + 陋 一1 f f 2 ) 十4 c l c a + 1 ) ( 0 e f lj 2 + 0 e 1 1 2 ) + ( 1 + c 1 ) ( ”砖+ 1 f 2 + f f e ；一1 f 1 2 ) + 2 a f p f i f 2 + 2 a 口| l 砖i f 2 + 2 i | 店i f 2 + 4 d l l p 2 ， 1s 七sz 两边乘以r ，并移项，得 奎堕奎耋堑圭兰堡垒塞塞三耋丝坌堑茎至垒垄墼三墼些竺矍 1 0 s 【1 + ( 1 - 4 - c 1 ) r 】( a “e f 一10 2 + l | e 3 1 8 2 ) + 4 c l ( a4 - 1 卜( 0 e 1 1 2 + i l e 5 1 1 2 ) + 2 r ( a ll 硝i | 2 - i - , 1 a l l 硅l 2 + l i p 鄞2 + 2 d 0 砖， 1sk z ( 1 3 3 2 ) 当( 1 - i - c 1 ) r 时，有 揣，+ s ( 1 + q ) 一r 击； 于是。 a l l e p l 0 2 + 嵫+ 1 l r 【1 4 - 3 ( 1 + c 1 ) ，】( a 0 砖- 1i 2 - i - i i 磅- 18 2 ) - 4 - 6 c l ( 口+ 1 ) _ ，- ( 1 l e x k l l 2 十磅2 ) + 3 r ( q 0 砖1 1 24 - 1 a l l 砖8 2 + 砖l | 2 + 嬲l | 砖， 1sksz ( 1 3 3 3 ) 定义 a = , 1 l l e k t l 2 + i l e 1 1 24 - 口储- 1 0 2 + 憾- 1 孵 b = 。0 硝1 1 2 + , 1 a l l 硅1 1 2 + l i p ；e 1 2 4 - 2 d lk p 2 1 1 2 注意到( 1 , 3 1 1 ) 和( 1 3 1 2 ) ，有 a 1 ( 1 + n ) 弓( r 2 + h 2 ) 2 ( 1 3 3 4 ) 由( 1 2 ，1 6 ) ，有 丑七( 1 + 2 d + n + 口) 谚( 7 - 2 + h 2 ) 2 ， 1 k j r 一1 ( 1 3 3 5 ) 由( 1 3 3 3 ) ，有 a + 1s ( 1 + c 3 r ) a + 3 f b 2 ， 1 sk z ( 1 3 3 6 ) 由g r o n w a l l 不等式，( 1 3 3 4 ) 和( 1 , 3 3 5 ) ，有 于是。我们得到 l - - 1 a l + 1 d 岛r ( a 1 + 3 r b ) sc t ( r 2 + h 2 ) 2 ( 1 - 3 3 7 ) = 0 n o d + 1f 1 2 + j i e 1l f 25c 4 ( r 2 + h 2 ) 2 该式说明了在k = z + 1 时，( 1 3 1 0 ) 是成立的定理证毕 第二章差分格式在l 。范数下的收敛性 上一章中，对非对称的耦合反应一扩散方程组( 1 1 i ) ( 1 i 5 ) 建立了差分格式( 1 2 i s ) ( 1 2 - 2 5 ) ，并分析了该格式的唯一可解性和l 2 范数下的二阶收敛性本章中将对建立差 分格式( 1 2 1 8 ) 一( 1 2 2 5 ) 的过程稍作改进，证明差分格式在工。范数下的收敛性本章 应用与上一章相同的记号与定义， 2 1 差分格式的建立 对( 1 2 1 ) - ( 1 2 7 ) 利用泰勒展式，有 t 卅! 墨= 哦l i 十芷；( u ，y ) + 硅卜三，l t s m1 詹s 耳一l ， 鼍 2 如噬+ r ：i i ，1 m ，0 s k ， t 吃2 地兑+ 蛾- - v k 一+ 吐 ( 矾y ) + 硅。一；， l i s 尬1 s k 一1 ， q 2 = 如啦；+ 嚏i i ， l t s m ，0 七k ， 璐= n ，户盘= 麟，0 s 甄 q g = n ，q 勃= 谚，0 k k ， 叼= t 0 ( ) ，田= t l o ( $ t ) + r f o 嵋( z ) + ，( 四，曙) 1 + m ”0 s i m 曙= t d ( 以) ，k 1 = t 】；d ( ) + r 1 6 ( 氟) + d t 右( q ) + 9 ( 四，馏) 1 + 舶 0 m 其中p 气一( 1 zs4 ) ，t 一j ( f = l ，2 ) ，p l y ( 1 l s2 ) 是截断误差并且 维y ) = ，( 赡；，睦；) ，吐 y ) = 9 ( 啦，吃) 利用带积分余项的泰勒展式，我们得到 “t = r 2 上1 鲫“。i , t 一8 t ) 如 于是， 矗九t 一 = 堕斧丝 ：，。i ( 1 。型坠2 旦) 二丝照_ 二盟如 j 0 = r 2 2 1 慨，t - - 8 t ) d 8 ，矗 i - - 1 , x i ) m 埘 渤固柳固力 砷 i l 1 1 l 1 1 l 仁仁 偿偿江皿 东南大学硕士学位论文第二章差分格式在l 苊蚊下的收敛性 1 2 同理， 瓦如。一i t 2 上1s v m ( 6 ，一”) 如 6 慨一引 由解的光滑性，存在常数c 5 ，使得 i 吃一l l 岛炉，1s l s m ，0 sk s k 1 sz 2 ， ( 2 1 9 ) i 如n j 一 i c 5 7 - 2 ， 1 i m1 5 l 2 ( 2 1 1 0 ) 略去方程( 1 2 8 ) 一( l 2 1 5 ) 中的小量项，对微分方程问题( 1 2 1 ) - ( 1 2 7 ) 可建立如下差 分格式， 叫已 ；口域+ 髓( 缸，口) ， 1 i m1 s 七k l ， ( 2 1 1 1 ) p 是；= 瓦 $ - - 2 b l s i s m ，0 七s 墨 ( 2 1 1 2 ) t 啦 = 农；+ 虢东+ 矗( t ，”) ，1 i s m ，1s k s k 一1 ，( 2 1 1 3 ) 啦；= 如吐 ，1 l m0 s 兰墨 ( 2 1 1 4 ) p 3 = n ，p = 辟，0 k k ， ( 2 1 1 5 ) 萜= n ，q = 惑，0 k k ，( 2 1 1 6 ) 札2 = t 上o ( 七。) ，“ = 0 - - i - 下忱，0 s l j 帆( 2 1 1 7 ) t 霉= v o ( z i ) ，q 1 = 谚+ f 咖，0 s i m ，( 2 1 1 8 ) 其中 协= a 弼( 瓤) + ，( 如( ) ，如( 甄) ) ，砒= b ( ) + d 谣( 瓤) 4 - g ( 枷c z d ，如( 毛) ) 在第( e + 1 ) 时间层，我们可以将( 2 1 1 1 ) 一( 2 1 1 6 ) 视作未知量为 磷“，群，口? “，砖10s i 肘 的一个线性代致方程组 定理3 差分格式偿1 ，“j - f 2 1 j 砂等价于 t t 嘻= z a l 一石謇) + 嚏( 口) ， ls 凫k 一1 ， ；( t “0 ；+ t 略) = 鹾磁+ ；l 赡i ( u ，”) 十曩( 刚) l ， 1 i m 一1 ，i s k 一1 ， t n 一= 署( 前一碱一 ) + 路一小”) ，1 s 女s k l ， t ”l