（流体力学专业论文）湍流流场的模拟与计算.pdf

南京理丁夫学硕j 学位论文摘要1 9 9 8 年1 2 月 摘要 本文的主要目的是研究含有剪切流、回流和再附流等复杂湍流流场的数值 模拟方法。首先，对湍流流动的理论和数值模拟在国内外的发展状况作了较 详细的综述和预测，详细介绍了模式理论及其发展：其次，结合多重网格法 和k g 双方程模型，用于复杂湍流流场的模拟，加快了湍流流场的计算速度： 并以平面突扩流为例与零方程模型所获得的计算结果作了比较；然后，通过 实例计算，讨论了各模型参数、壁面函数等对湍流计算的影响，讨论了几种 不同情况对湍流回流长度的影响；最后，给出了湍流各参数的分布规律，所 得结论与实验观察结果一致。 关键词：k s 湍流模型，多重网格，线盒迭代，壁面函数，数值模拟 a b s t r a c t t h i sd i s s e r t a t i o ni sc o n c e n t r a t e d0 nt h en u m e r i c a ls i m u l a t i o no fc o m p l e xt u r b u l e n t f l o w i n c l u d i n gs h e a r , s e p a r a t i o n ，a n dr e c i r c u l a t i n g f i r s t l y , w es u r v e y t h e d e v e l o p m e n to ft h et h e o r ya n dn u m e r i c a ls i m u l a t i o no ft u r b u l e n tf l o wi nd e t a i l s s e c o n d l nc o m p l e xt u r b u l e n tf l o wi s s i r e u l a t e dc o m b i n e dw i t hm u l t i g r i dm e t h o d a n dk st w oe q u a t i o n sm o d e l ，t h e c o m p u t i n gr a t e i s s p e e d e d t h i r d l y , t h e c o m p a r i s o no ft h er e s u l to fs u d d e ne x p a n s i o nf l o wi s m a d ew i t ht h a to fz e r o e q u a t i o nm o d e l t h e n w ed i s c u s st h e i n f l u e n c eo fm o d e lp a r a m e t e r sa n dw a l l f u n c t i o ne t co nt u r b u l e n c e c o m p u t a t i o n a n d 廿l e e f f e c to fs e v e r a ld i f f e r e n t s i t u a t i o n so nt h el e n g t ho f r e a t t a c h m e n ti si na l s od e m o n s t r a t e d f i n a l l y , t h ep r o f i l e s o ft u r b u l e n tp r o p e r t i e sa r ep r e s e n t e dw h i c hi sc o i n c i d e n c ew i t ht h e e x p e r i m e n t o b s e r v a t i o nd a t a k e y w o r d s ：k st u r b u l e n c em o d e l ，m u l t i g r i dm e t h o d ，l i n e - b o xr e l a x a t i o n ， w a l lf u n c t i o n ，n u m e r i c a ls i m u l a t i o n 1 1 工作背景 1 绪论 湍流广泛存在于自然界，工程技术领域及人类环境中，如海洋、河流、大 气、人类心肺器官以及飞机、汽车、燃烧设备、流体机械等等。湍流的研究 可为国民经济各行各业带来广泛的、难以估量的巨大收益，如节能效率的提 高，环境质量的改善，降低噪声与振动及其破坏等，问时，湍流的深入研究 也必将带动其它相关学科的发展。 随着计算机科学的飞速发展，湍流的数值模拟已经成为研究湍流运动的一 个重要分支。通过数值计算，复杂的湍流运动有可能在计算机中模拟出来，数 值模拟为研究湍流机理、湍流控制与湍流利用提供了有效的手段，湍流数值 模拟因而也已成为目前国际上湍流研究的主流之一。湍流的数值模拟主要有 直接数值模拟、大涡模拟及以雷诺应力模式为代表的模式理论三大类，直接 数值模拟的研究成果已经揭示了物体表面如槽道湍流的运动特性，并为建立 合理的模式理论提供了依据；直接数值模拟由于受计算机硬件的限制，利用 它来解决工业问题尚有很长的一段路要走。然而湍流模式理论，则可直接服 务于工程流动问题。因此，发展湍流模式理论在我国有着重要而实际的意义。 这几十年，大量生产与工程中的湍流问题急待解决，这使得湍流研究出现 了一个较大发展的时期。出现了诸如统计理论、雷诺应力模式理论、大涡模 拟、n s 方程直接模拟等许多理论、方法，但统计理论由于自身发展尚未让 人看到有突破的希望，大涡模拟、n s 方程直接模拟，由于目前计算机速度 与容量的限制以及费用的昂贵，时间消耗大等原因，在工程应用中难以进行。 在这种情况下，雷诺应力的工程模式理论成为解决工程问题的一种现实的折 1 9 9 8 年1 2 月湍流流场的模拟与计算 衷方案，并取得了巨大的发展。 模式理论思想可追溯丁| l o o 多年以前。18 7 2 年，b o u s s i n e s q 就提出用涡 粘性系数模拟雷诺应力： 厂1、 一p 讽：u 一堕+ 竺i1 ) 一 l 出，反，j 直到二次大战前，发展了一系列所谓半经验理论，其中包括得到最广泛应 用的p r a n d t l 混合长度理论，以及t a y l o r 、g i 的涡量转移理论和k a n n 矗n ，t h v o n 的相似理论等。他们的基本思想都是建立雷诺应力的模型假设，使雷诺平均 运动方程得以封闭。因为由流场中各瞬时量的n s 方程组出发的雷诺平均值 方程，各湍流输运项p u ，妒等规律都是未知的，不能自行封闭，所以就通过对 这些输运项的规律作出公设性的假定，以使方程组封闭，即所谓的湍流模式。 如假设二阶关联量与平均参数的梯度成比例，变量中含有平均变量，这种模 式称为一阶模式。如在湍流应力输运方程中，对三阶关联量采用模拟公式， 变量包括平均变量梯度和二阶关联量，这种模式即二阶模式。湍流模式的问 题集中在如何应用模拟方法求解未知的湍流有效粘性系数或各个雷诺应力分 量的问题上。求得湍流输运项而无需增加偏微分方程的模式称为零方程模式。 增加一个湍动能k 方程的模式为单方程模式，而增加两个湍流量七，s 的偏微 分方程的模式为双方程模式。 目前，湍流模式、工程流动计算、数值方法的研究基本在各自的方向上独 立发展，它们之间的研究交流十分松散。在工程计算方面，人们为满足应用 及设计方面的诸多要求，往往不甚顾及流场的分辨率，而仅满足于对湍流的 简单处理。例如，在空气动力学问题的计算中，许多问题至今仍停留在混合 长度模式上，对高阶湍流模式的忽视限制了人们解决实际问题的能力和手段。 由于湍流对流动阻力起决定性作用，对湍流的有效控制可以有效地降低流动 阻力，湍流对流动混合等过程也同样有不可忽视的作用。所以，工程湍流计 算中，湍流场的研究愈来愈引起人们的重视，高阶湍流模式已用于许多复杂 条件的流动计算中，并取得了极好的成绩。但是，由于湍流本质上是三维、 非定常、随机、不规则和有旋的，在平均化的n s 方程中丢失了许多流动的 南京婵_ t 人学倾i 学位论义2 湍i c 控制力程j 模式埋论 细节信息，刁i 能完善的模拟，即模式是不完备的，因而，尽管在湍流模拟上， 湍流预测能力已取得一些成绩，但没有一个有效而且通用的湍流模式，m 此 产生了许多湍流模式：如低雷诺数模式、高雷诺数模式、近壁湍流模式、双 尺度湍流模式、两区湍流模式、基于重态化群的双方程模式等等。 湍流模式的研究及其应用内容很广泛，不仅湍流模式本身，湍流模式计算 方法也是一个重要内容，除s i m p l e 系列格式外，近期，人们又将t v d ，m u s e l 等格式从适用于欧拉方程的计算扩展到n s 方程和湍流模式的计算，改进了 计算的收敛性，计算技术中的多重网格方法由于大量计算中的时间消耗少的 优越性正逐步普及。在计算流体力学的实践中，随着人们对湍流认识的不断 加深，湍流模式及其计算的研究和应用必将得到愈来愈快的发展。 1 2 本文工作简介 流体力学中最普遍的现象是湍流，而湍流机制则是最基本的问题，曾吸引 众多的力学家、物理学家和数学家从事研究，如：普朗特、科莫格洛夫、朗 道等。经过多代人的研究，经历了唯象理论、统计理论、模式理论至今天的 直接数值模拟等阶段，对这一问题的认识已大为深化。其中的模式理论，虽 然含有一部分经验常数，但却是目前在工程技术问题中应用最广的理论。今 后仍应不断地研究改进以解决更多的工程技术问题。 综观已发表的国内外文献，对湍流问题的计算方法，大都是采用s i m p l e 方 法，但计算速度较慢。本文则采用了多重网格法加快计算的收敛速度。考虑 到多重网格法配合s i m p l e 方法的效果不太理想，本文采用了刘超群开发的近 似线盒迭代方法( a p p r o x i m a t e l i n e b o xr e l a x a t i o n - - a l b ) 来配合s i m p l e 方法。 鉴于不可压缩湍流流场数值模拟研究的发展状况，对这一课题作了进一步 的研究，本文首先对描述湍流现象的数学模型作了探讨和研究，主要包括以 下几方面的工作： 对湍流流动的模式理论、数值研究在国内外的发展状况做了简单回顾和评 价，并对湍流流动的研究方法和研究湍流流动的重要意义给予了评述。 1 9 9 8 年1 2 月湍流流场的模拟与计算 重点讨论了湍流的两方程模式理论，并以平面突扩流为例与零方程模型所 获得的计算结果作了比较。 采用全隐格式及有限体积法对微分方程进行了离散。由于中心差分对大刚 格雷诺数不稳定，本文采用了p a t a n k a r 和s p a l d i n g 的混合差分格式( h y b r i d s c h e m e ) 。 给出了近似线盒迭代和多重网格方法的计算程式，以及所需要的压力校正 方法。 探讨了各种计算细节的处理方法。 编制了用于计算二维不可压缩流问题的基于f o r t r a n 语言的计算机程序，并 以平面突扩流为例进行了试算，主要由以下内容： 说明了该程序的流程、结构、及功能。 用多重网格法编制了层流的计算程序，并与普通的未加多重网格的程序进 行了比较。 用多重网格法编制了湍流的计算程序，并分别就湍流的混合长度法和两方 程模型对湍流突扩流进行了计算和结果比较。 以湍流突扩流为例，对不同扩张比和不同的模式系数、以及不同的壁面函 数的情况进行了比较。 南京婵_ t 人学倾i 学位论义2 湍i c 控制力程- j 模式埋论 2 湍流控制方程与模式理论 众所周知，湍流对流动阻力起决定作用，对湍流的有效控制可以有效地降 低流动阻力：湍流对流动混合( 进而对燃烧，传热和传质) 等过程同样起着不可 忽视的作用。正因为如此，近年来在工程湍流计算中，人们愈来愈重视对湍 流场的研究，高阶湍流模式已开始被应用于各种复杂几何和复杂物理的流动 计算中，并已取得可喜成绩。 2 1 湍流基本方程组 湍流是一种高度复杂的非稳态三维流动，是实际粘性流体中广泛存在的一 种运动形态。用于描述粘性流体中动量传递规律的数学表达式就是著名的纳 维斯托克斯方程： 塑蚂瓦012i=只毒+y蕞+兰ooxi(丝oxjot p a x a x j a x 3a x ) ( 2 1 1 ) j 8 x l i i t 、 、 描述质量守恒关系的表达式为连续方程： 丝+ p 垫：o ( 2 1 2 22 )l + p = u( ) 胧戤j 对于不可压缩粘性流体，方程( 2 1 1 ) 和( 2 1 2 ) 已经构成描述流体运动的封 闭的基本方程组。原则上说，纳维斯托克斯方程是可以描述湍流运动的，但 是由于纳维斯托克斯方程的强非线性和湍流脉动的不规则性，在目前条件下 直接利用纳维斯托克斯方程求解湍流问题并不现实。然而对于实际工程中的 湍流问题，人们往往关心其参量的某种平均变化规律，而不太关心其脉动。 因此常常用湍流的时均化运动微分方程即雷诺方程来描述湍流运动。对纳维 斯托克斯方程进行时均化处理即可得到雷诺方程。不可压缩湍流的雷诺方程 为： 鲁心西o u i = f 一麦c 争+ v 最一麦，c 再， c zm ， 其中可可即雷诺应力，u ；和p 为平均速度分量和压力。连续方程为： o r 2 1 4 1 方程( 2 1 3 ) 中u ；u ：为湍流脉动速度的两阶相关量。通常称p “：“：为雷诺 应力。由于在本文中研究的是不可压缩流，基于所采用的方程形式，为方便 起见，将u ；u ：称为雷诺应力。显然，由于雷诺应力项的出现，方程组不封闭。 因此，还需要其他补充方程或对某些相关项提出各种经验、半经验假设以封 闭方程组。 这些补充方程，可以是微分方程，或是代数方程，它们使方程组得以封闭， 从而可以利用初始条件和边界条件进行求解。 例如，著名的雷诺应力输运方程为： 巡=孙警叫-iujuf，t型一了pudt d x p如)反fi f p “ 2 。型丝 舭i 缸f ( 2 1 5 ) 其中，方程式左边为雷诺应力的瞬态项和对流输送项，右边第一个括号中 的项代表湍流的扩散特性，由三个不同的物理机理组成：粘性扩散、三阶脉 动速度相关和压力与速度的相互作用。第二个括号表示湍流的产生机制，第 三个括号为压力与应变率相关，也称为分配项，最后一项为雷诺应力的耗散 率。对需考虑浮力的情况还需加上浮力产生项。 其中，许多相关项未知。还需要进一步模化，才能进行工程计算。各种湍 j j 批甄 叫一t a a + 堕 ，。l p p + ，_ 叫 垫缸 u 蟛 + 堕 孺 1 9 9 8 年i 2 _ r 湍流流场的模拟j 计算 流模型就是基于各种补充方程和某些相关项的假设，为适合不同的工程要求， 所进行的折衷。 2 2 湍流数值计算概述 湍流运动的数值计算是目前计算流体动力学网难最多、研究最活跃的领域 之一。已经采用的数值计算方法可以大致分为以下三类： 2 2 1 完全数值模拟( 直接模拟) 这是用非稳态的纳维斯托克斯方程来对湍流进行直接计算的方法。如果此 法能够成功的加以应用，则所得的结果的误差就仅是一般数值计算所引起的 那些误差，并且可以根据需要而加以控制。但是要对高度复杂的湍流运动进 行直接的数值模拟计算，必须采用很小的时间与空间步长。在湍流统计理论 r 中已经证明了：竺= r ；“。为了模拟湍流流动，一方面计算区域的尺寸应大 叩 到足以包含最大尺度的涡；另一方面计算网格的尺度应小到足以分辨最小涡 的运动。于是在一个空间方向上的网点数目应至少不小于这同一量阶。因此 整个计算区域上的网点总数应至少为：o cr ? “。且计算要模拟的时间长度 r 一 应大于大满的时间尺度之，而计算的时间步长又应小于小涡的时间尺度兰。 “ ， 因此需要计算的时间步数应不小于兰o cr i “。故总的计算量正比于 柙 尺= r i 。例如，要对湍流中的一个涡旋进行数值计算，至少要设置十个节 点，这样对于在一个小尺度范围内进行的湍流运动，在一立方厘米的流场中 可能要布置十万个节点。显然，对于内存空间和计算速度这样高的要求，远 远超出了现阶段计算机所能提供的容量和速度。目前，世界上只有少数能使 用超级计算机的研究者才能对从层流到湍流的过渡区流动进行这种完全模拟 的探索。 1 9 9 8 年1 2 月端流流埚的模拟与计算 2 2 2 大涡旋模拟 按照湍流的涡旋学说，湍流的脉动与混合主要是由人尺度的涡造成的。大 尺度的涡从主流中获得能量，它们是高度的非各项同性的，而且随流动的情 形而异。大尺度的涡通过相互作用把能量逐级传递给小尺度的涡。小尺度涡 的主要作用是耗散能量，它们几乎是各项同性的，而且不同流动中的小尺度 涡有许多共性。关于涡旋的上述认识就导致了大尺度涡模拟的数值解法。这 种方法旨在用非稳态的纳维斯托克斯方程来直接模拟大尺度涡，而不直接计 算小尺度涡，小涡对大涡的影响通过近似的模型来考虑。这种数值计算方法 仍然需要比较大的计算机容量。 2 2 3 雷诺时均方程法 在这类方法里，将非稳态控制方程对时间作平均，在所得出的关于时均物 理量的控制方程中包含了脉动量乘积的时均值等未知量，于是所得方程的个 数就小于未知量的个数。而且不可能依靠进一步的时均处理而使控制方程组 封闭。要使方程组封闭，必须作出假设，即建立模型。这种模型把未知的更 高阶的时间平均值表示成较低阶的在计算机中可以确定的量的函数。这是目 前工程湍流计算中所采用的基本方法，也是本文的工作重点。 2 3 零方程模型 所谓零方程模型，是指不需要微分方程而是用代数关系式把湍流粘性系数 与时均值联系起来的模型。最简单的零方程模型是常系数模型。 零方程模型只用湍流平均运动方程和连续方程作为方程组，并把方程组中 的雷诺应力假设为平均物理量的某种代数函数，从而使得方程组得以封闭。 零方程模型如：混合长度模型、冯卡门相似性假设、b a l d w i n l o m a x 模 南京婵人学倾i 学位论义2 湍i c 控制力程j 模式埋论1 9 9 8 年1 2 型等，足剑h 前为止应用叫间最长，人类积累经验最丰富的一利r 湍流粘性系数 模型。以目前应用最厂泛的混合长度模型来说，它是普朗特在1 9 2 5 年钊r 、j 湍 流边界场问题首先提出来的。他基j ：分子热运动和湍流涡例脉动的相似性， 参照分_ j ，运动论给出的计算分予输运粘性系数的公式，提： ，= p f m u 7 ( 2 3 1 ) 并进一步假设： 小蚓 ( 2 ，2 ) 联击：以上两式，消去“7 ，得到： p 矗矧 ( 2 3 3 ) 式中u 表示主流方向0 方向) 的速度，”表示湍流脉动速度的绝对值，! m 称为混和长度。通常i m 由假设、简单的分析和归纳实验数据得到。 本文中取f m 的计算公式为： 2 妊= 0 1 4 _ 0 0 8 ( 1 一y r ) 2 _ 0 0 6 ( 1 一m r ) 4 ( 2 3 4 ) 式中r 为参考半径，y 是以轴线为原点的径向坐标。 b a l d w i n l o m a x 模型则主要用于外流场，它采用了两区代数涡粘度模型。 其中，“的取法为： 舻三 ，s ， 在内区，采用普朗特一范德累斯特公式： ( 段) 。= p l2 圳( 2 36 ) 汶罩， l = k y 1 一e x p ( 一y + a + ) 圳是涡量的模值， j ( 嚣襄) 2 十( 老j 面赢r 十瓦 f 23 7 1 _ g 3 w ) 2 + ( 掣一娑) 2( 2 3 8 ) d “d xd z y + ：型：螋( 23 9 ) 在外区采用克劳修斯公式： ( “) 一，= 舒r ( 目) ( 2 - 3 1 0 ) 这里，k 是克劳修斯常数，c ，是外部常数。且 f w a r m = 笛麓，舾者性 g 。 。1 c 岍可u 孟r f 耿网硝削牧小但 “ 量。和r 。由以下函数决定： f ( 可) = y l a o i 1 一e x p ( 一y + a + ) ( 2 3 1 2 ) 在回流区，方程的指数项设为零，f 。取f ) 的最大值，g 。为此时的 y 值。函数叵8 0 ) 如下给出： ) = 1 + s ，s 陪) 6 b ， u 。：c 伊而k 一而k ( 2 31 4 ) 除回流区外，己，。的第二项为零。 南豪理1 人学颤 学位论文2 湍滥控制方程与臻武理论 1 9 9 8 年1 2 冠 2 4 一方程模型 a + = 2 6 c c p = 16 c n 口= 0 3 c w = o 2 5 = 0 4 k = 0 0 1 6 8 p = 07 2 只= 0 9 c = 1 4 所谓湍流的一方程模型就是：为决定“只需要求解一个湍流参量的微分 方程，从而使湍流方程组得以封闭的模型。在混合长度理论中，“( 或v ，) 仪 与几何位置及时均速度场有关，而与湍流的特性参数无关。针对混合长度模 刑的文个局限件，为首先解决湍流粘性系数随时均流速度梯晦而静干露的问 题，科葵格洛夫( 1 9 4 2 ) 和普朗特( 1 9 4 5 ) 提出了使用湍流脉动动能的平方根，即 k ”，作为脉动速度的代表。基于以上考虑，他们各自提出了计算“的下列表 达式： 雎= c 。户k 2 l ( 2 4 1 ) 其中c 。为经验系数，湍流脉动的长度尺度，k 是湍流脉动动能的平均 值( 以f 简称湍动能) 。定义式为： k ；：( 孑+ 辞+ 孑) = ：孑 ( z 。z ， 由k 的定义出发，通过对瞬态n a v i e r s t o k e s 方程及其时均形式进行推导运 算和模化后得出模型化的k 方程为： o ko k矽rk 2c y ko k p 面邮u j o ) ( - j2 赢j l 了瓦叫。瓦j 陀。3 ， 誓( 竽+ 婺) _ c 。p 半 、 u x i u x l u x i l 方程左边第一项称为非稳态项( 或时间导数项、瞬变项) ，第二项称为对流 项，方程右边第一项称为扩散项，第二项称为产生项，第三项称为耗散项。 方程表明，k 作为一种能量，它的变化率受到一系列物理过程的制约。湍流湍 动能主要是由雷诺应力与均匀速度梯度的相互作用而产生的，方程中的产生 项定量描述了时均流能量向湍动能的转化。在时均流的能量方程中有与产生 项大小一样然而符号相反的项也是个很好的证明。耗散项总是小于零，表示 在分子粘性作用下，湍动能转化为流体的内能，即耗散成熟。方程中耗散项 采用湍动能耗散率s 的模化式，占的定义式为： 占：“丝丝r 2 4 4 ) c 3 x jo x j 在流动体系中，一个位置上的湍动量可以由均流携带到另一处，即对流输 运，体现于对流项。扩散项描述的是另一种形式的输运，即扩散输运，它的 作用是使湍流动能在整个体系内的分布趋于均匀，对湍流能量的总量没有影 响，表现在数学上就是扩散项在一个封闭体系内的积分为零。扩散项由三部 分构成，他们依次体现湍流涡团的输运，压力脉动的输运和分子热运动的输 运，在高雷诺数湍流中，分子输运作用可以忽略。 湍流的单方程模式考虑了湍动能k 的对流输运和扩散输运，比零方程模 式前进了一步。但是其特征长度f 在许多比较复杂的问题中很难确定，这限制 了单方程模式的应用。 2 2 8 其它高阶模型 其他高阶湍流模式在总体i - 可划分为基于布辛涅斯克的涡粘性模式( b v m ) 和基于雷诺应力输运方程的两阶矩封闭模式，前者主要为两方程模式( 包掐 k 一、k 一、k f 等模式) ，后者则主要有代数应力模式( a s m ) 和输运方 程模式( d s m ) 等两大类。两方程模式将在下章详细讨论，本节则主要讨论 两阶矩封闭模式。 2 5 1 雷诺应力模式( d s m ) g i b s o n 和l a u n d e r ( 1 9 7 8 ) 提出不可压流的简化二阶湍流模式如f ( c k 2 0 0 9 0 1 1 ，c 1 。2 3 2 8 ，c 2 2 0 4 - 0 6 ) 记可方程的模化： 1 d u 矿；u ) ：岛+ 弓- g o + c d 0 i + ( i ) 0 , 2 ) ( 2 5 1 ) 1 f 2 岛+ 弓 j ( 2 5 1 ) 其中 耻丢( c 。等等+ v 警】 铲( 瑶筹+ u ；u - - 7 警 。川一；妻f 弼一2 ，a 。k z _ c 2 f 砑丝3 x t + 孺警一三3 占 j 丽 盟a 2 v m 1 9 9 8 年1 2 月 湍流流场的模拟与计算 毛2 占户 k 方程的模化( c 。= 0 0 9 - 01 1 ) 面d k = 丢( c 。等筹+ v 筹) 一弼警一s c ：s ，z ， 面2 瓦【。t 了瓦w 瓦f 州；u j 蠢吖 ( 2 5 2 ) 方程的模化( c 。2 0 0 7 ，c 。2 1 4 2 1 4 5 ，c c 2 = 1 9 0 1 9 2 ) 篆= 丢( c 。等亳+ v 亳) c 。昙弼等。k c z s s ， 瓦2 瓦l 。r 了瓦w 瓦j 叫。i u ：u j j 。一 ( 2 5 3 ) 以上模式系数是由陈景仁教授根据实验数据概括确定的，主要是从空气流 动实验中确定的。通常认为由于系数是无量纲的，因而也可以应用于其它流 体。 2 5 2 代数应力模式( a s m ) d s m 模型通用性较好，但对工程而言过于复杂，经济性差。基于以上情 况r o d i ( 1 9 7 2 ) 提出代数应力模式，试图对通用性和经济性加以调和。a s m 模 式的基本形式是建立在d s m 的对应形式上，即 呈雾一蔷陋等+ v ) 警 = 霉 等一善际等+ 0 筹n ；m ：攀( 只一。) 因此，雷诺应力方程( 41 ) 就简化为代数方程 警假叫= 弓- - e j - - c l 妻( 弼专6 0 k ) 咱( b 。 亿s s ， 在对流与扩散项成为主导项的平面对称或轴对称的流动中如射流等，此 南京理丁大学硕士学位论文2 湍流控制方程与模式理论 1 9 9 8 年1 2 月 模式不合适。 2 5 3 湍流回流代数应力模式 在各l 柚异性表现强烈的流动中，特别对于到训土兕象明、侃砌及具碾父芨股非 常缓慢的情况下，r o d i 取( c k = 0 2 4 ，c 1 = 2 2 ，c 2 = 0 5 5 ，c t = 0 5 ，c 。= 0 1 5 ， c “= 1 4 4 ，= 1 9 2 ，) c 。等瑶爰鸭等舞；警雨妾嗨譬麦 c 2 置s ， c t 了u ；u j 瓦 c t 了瓦；i h t “t 瓦c r 了瓦 弘) 叫 可得如下应力代数表达式： 一弼= p c m g ”炮埚。) 一( c 2 + c 。一，拓 ( 2 5 7 ) 式中 弓叫( 弧差+ 诹篆弓一p l 弧菱+ 诹薏j 弓矿一印g ；妒+ 9 ，币) 坟；一p u ；u ；警 班。 2 5 4 非线性d s m 模式 近年来，非线性模式发展非常快，已成为模式理论的一个重要发展点，在 这罩仅作个简介。 由于湍流再分配项在雷诺应力的输运过程中所起的重要作用，非线性模式 的划分主要是指中。a 一般认为，o 。，的作用是促使湍流向各向同性方向发展 ：! 兰! ：盆鎏鎏鎏望兰篓兰主生兰 最有效的形式为 其中 m 。，= 一 口口。+ ( a 。2 1 3 6 0 a 2 ) s 。= “；一巍 a 2 = a i j a j ，a 3 = a i j a j k a “ a 小；_ a 3 ) 在实践中，- g t a a = 3 1 似冀卢= 1 2 c t 为湍流扁平因子。 o 。：项可具有如下形式( 常称c q i m 或f l y ) ( 2 5 8 ) = 一 o s t 1 7 一鲁) ( 弓一；) + ( + 素) 一面ta 内 a 。 一一孟r + 叫+ 0 4 7 啉+ i l t 6 。隅 b ，功 一r a 2 魄一岛) + 素( r 吨一；岛磁) ( 6 风+ 1 3 k s t k ) 一面t ( a “2 1 8 0 a ：) p 一( ，m 一琦+ ；r 。 僻。一) 吩一再筹一啄等 系数r 和t 一般取0 6 ，实践上取t 2 0 亦有较好的计算结果。这一o 。：模式 的引入使方程也应作相应的修正。在f l t 中， c 。= 1 0 ， = 1 9 2 6 + 0 7 ( a a 。h 6 南京理工大学硕士学位论文3 两方程模式理论1 9 9 8 年1 2 月 i li ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! g ! ! ! ! ! ! 自! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 皇! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 皇 3 两方程模式理论 目前广泛研究和应用的湍流输运模型基本上是围绕着( 一p “：) 进行的。 主要有两类：一类是引入湍流输运系数的概念，问题归结为如何给出该输运 系数；第二类是直接寻找f p “) 代数表达式或它的封闭的输运方程。鉴于 一方面目前对雷诺应力的模拟较为成熟：经常可以用处理雷诺应力的类似思 想和方法处理标量湍流输运通量的模拟：一定条件下存在速度和标量输运系 数之间的简单关系，因此下面着重阐述雷诺应力的模拟。 3 1 模拟的原则 随着高速计算机的迅速发展，二阶模式在工程实践中得到很大的发展。目 前，二阶模式已出现许多变化形式，根据我们对湍流的了解和建立封闭方程 的目的，可以提出以下基本假设作为建立不可压缩湍流两阶封闭模式的依据： 平均了的n s 方程与脉动方程，能正确描述湍流的平均运动和湍流输运 特性。但由于瞬时流体运动被平均化，流体运动的细节信息丢失了，模式要 求能够体现湍流的主要特性。 1 湍流输运量的湍流扩散与该量的梯度成正比； 2 小涡各向同性( 各向同性耗散模式) ，( 各向异性耗散模式，本文仅作个 别讨论) ； 3 所有湍流输运量都是雷诺应力、湍流动能、湍流动能耗散率、平均流 动分量和热力学变量的局部函数； 4 所有被模拟后的湍流形式必须保持与原项有相同的数学特性，如对称 性、置换性和不变性，并与实验和观察相吻合，即满足可实现性和持续性； 5 湍流运动常可以用一个湍流尺度特征化，复杂流动也采用多个尺度特 1 9 9 8 年l2 月湍流流场的模拟与计算 征化，即湍流尺度假定； 6 所有湍流模式的系数都要通过实验确定或校正，即模式系数的确定。附- ； 7 所有被模拟的项在模拟后必须与原项有相同的量纲。 应该指出，如果一个湍流模式是完备的，那么湍流模式的系数相对于湍流 条件和几何特性来说是不变的，然而现在还没有这么一个有效的通用模式， 因此，在上述条件下产生了许多湍流模式和湍流系数。 另外，从这些假设出发，人们仍可以用各种不同的方法建立湍流模型。评 判一个模型优劣的准则应该是，当将该模型用于各种不同的流动时，若不调 整其中的常数值，它能以多大精确度来描写流动，同时从工程实际的观点， 还要考虑其计算费用的经济性。 3 2 模化过程 3 2 1 k 方程的模拟 由不可压- n 流雷诺应力方程： 型=扑百dufuj一一ulujuldt型p 驴铷)叙f 【反f p “j ( m h 面o u ；+ 孤jl 塑o x ： j + 号( 筹+ 甏 功善鼍 经过张量缩积运算并除以2 ，即可推导出湍动能k 的输运方程 筹= 毒卜雨一吉葡十v 篆 _ 而, i 塑o x ，一占 式中： ( 3 2 1 ) ( 32 2 ) k ：；弼 k ：；“ r 3 2 3 ) 方程中右边三项分别为扩散项、产生项和耗散项。扩散项由三部分构成， 依次为涡团的输运、匪力脉动的输运和分子热运动的输运。由于讨论的是不 可压流体，湍动能的输运方程中不含有压力应交项。 3 2 1 1 湍流扩散顼的模拟 根据湍流模拟原则2 ，雷诺应力的湍流扩散速度应与霄诺应力的分布梯度 成正比，故有 一雨一上面。_ o k 尸眦 为使两边量纲一致，应在右边乘上1 2 t 的量纲的量，根据k 和e 的尺度 分析，有u * k 必，z * k 压，to c 别，因而有x ：居。t 2 t ，所以湍流扩 散项可以模化为： 一霹一! 雨：c 。一k 2 _ o k ( 3 刎 po x i 式中的c 。为比例系数，由于在梯度前面需要一个湍流扩散系数，其量纲 为f 2 肛，这个主要由大尺度涡决定的湍流扩散性质，其各种尺度均应通过k 、 e 表示，由量纲考虑，唯一可能的形式便是置2 居，为一无量纲的待定常数。 因为c 。和k2 屈都是与方向无关的标量，所以上式属各向同性模化式。各向异 性的湍流扩散模化式在此不再详述。 3 2 1 2 耗散项的模拟 考虑到耗散主要决定于小尺度涡运动，而根据原则3 ，小尺度涡是各向同 鬻 = 占 1 9 9 8 年1 2 月湍流流场的模拟与计箅 性的于是苗诺应力的耗散i 贝口j 表不成 2 v 筹= 每 ( 3 2 5 ) d x o * ，j 。 于是，湍动能k 的输运方程的最终形式为： 些：昙f c k k 2i d k + v i d k1 + & 一e( 3 一d t 。瓦l c t 了瓦w 瓦j + 屹吖 ( j 2 白j 可改写为： 等心筹= 南【c v + i v t ，筹 u 善c 瓦c 3 7 a i + 瓦o u j h z 刀 其中，经验常数可取为c k = 0 0 9 0 1 1 ，仃= 1 0 。 3 2 2e 方程的模拟 将“，分量的动量方程对x ，求偏微商，乘以2 v 尝，再求平均，得到 口x j 如下的方程： 堡：旦| - 习一一2 v 塑型十y 鱼i 砌塑f 型掣+ 型丝1 d t o 置i po x j 缸j a i缸j 【缸i 微j 舭l8 x lj ，、2 ( 3 2 8 ) 一2 ；丛垫l 砌型型丝一2 卜兰生1 o x jo x f a a x o x fa x tlo x f a _ ) c j 式中右边第一项为湍流扩散和分子扩散项，第二项为产生项i ，第三 项为产生项i i ，第四项为小涡拉伸产生项，第五项为粘性破坏项。 此方程首先由周培源教授在四十年代以脉动涡量平方平均值的形式导 出，到1 9 6 1 年才为d a v y d o v 以上述形式给出。这个方程极其复杂，几乎 方程右边的每一个项都是新未知项，都需要建立模型。 在逐项模拟前，首先估计一下各项的量级，以便预先舍去可忽略的项。 _ 柯京删工人学硕，学伉论立3 村方程模式理论1 9 9 8 年】2j j 我们取t ，作为平均速度的尺度，l 作为平均量变化的长度尺度，并认为它 就是滞i 流中的大涡尺度。对于不在微分号内的脉动速度，认为主要贡献柬 自含能涡，取“= 12 作为速度尺度。对于脉动速度的微商，则认为 要 贡献来自平衡范围的小涡，取科莫格洛夫的尺度u = ) ”4 和r 7 _ “3 e 7 “ 作为其速度尺度与氏度尺度。对于由脉动速度与其微商组成的关联，如 其量级估计中的幂指数可以利用湍流统计理论中的结论：e 与墨l 兰是同量级的，用此来做估计。 下面给出方程中各项的量级估计 项名称对流扩散产生i产生i i拉伸产生破土 、 “f 壁尺j m “s ，昙z h “，z 饼” 2 n v i 7 2 量级 f l p ， 三 己 正规化 坐r _ zl e 1 竺剧n竺r ：，： 后 利用小涡各向同性及不可压缩流体的性质可以证明，两个产生项实际上都 接近于零。以第一个产生项为例，从各向同性湍流的统计理论我们知道： v 等等：景( 4 8 u 8 - 碱，也) 舐。， 3 0 、 “”7 因而： 2 v 当f 掣掣+ 型丝1 一兰。塑占沪一兰占塑：o a x ，la x ，a x7 o x fo x7 j 3a x 7 ” 3 a x 。 因此方程中的两个产生项均可忽略不计。 湍流扩散项的模拟： 等 互 一叫 由湍流模型的假设知道，湍流扩散项应与其梯度成正比，在考虑到量纲的 一。致性，口，得如下模型： 一瓦一一2 v 里型：c ，堡生眦29 ) po x ，0 x s d x ， 小涡拉伸与引起的产生项与粘性破坏项的模拟 方程中这最后两项要比其它各项都大得多，鉴于方程必须平衡，这两个大 项必定有相反的符号，由于粘性破坏项恒为负，相当于一个汇项，由小涡拉 伸引起的产生项必为正，相当于一个源项，而且两项大体相等。所以这两项 必须同时考虑，重要的是模拟好它们的差。前一项相当于e 的一个源项。对 它的假设是源项应正比于湍动能产生项p k 。其原因是湍动能产生项p k 的增加 引起湍动能的增加，由此带来耗散率e 的增加。再加上量纲一致的考虑，便 有： 砌羞拦箬。昙最= t 妻雨筹 b z 粘性破坏项的模型应使网格后的均匀湍流在能量衰减时，也衰减得足够 快，以防止湍流能量变成负的。最广泛采用的形式为 ：卜蕞a x 卜k z l 缸f ，j “ 、 这两个式子都是由d a v y d o v ( 1 9 6 1 ) 最早提出的。 于是，被广泛采用的模拟后的e 方程为 篆= 丢 c 。譬毒+ 嗳 _ e ，妻弼鼍一e ：妄 b ：t z ， 可改写为： 塞m 妾= 毒n + 毒 妾 + e ，岳磊o “，i 。( 缸o u j i + 善 _ e ：妄 z 1 9 9 8 年1 2 _ r 湍流流场的模拟j 计算 其中，经验常数山陈景仁教授推荐的值为： c 。= o 0 7 o0 9 c ，1 = l4 1 1 4 5 c 2 = 1 9 1 9 2 3 3 常见的两方程模型的形式 3 3 1 k - 占双方程涡粘模式( 七一。一e 模式) l a u n d e r 和j o n e s ( 1 9 7 2 ) 提出定一双方程模式，在所有的双方程模式中， k s 双方程模式应用最为广泛，经受的检验也最普遍。由于d s m 模式花费 较大，在双方程模式中，放弃了用雷诺应力建立方程的企图，而是将雷诺应 力用一个近似代数方程表达，即b o u s s i n e s q 提出的涡粘性模式表示： 弼强卦 基于j c ，占的量纲分析，涡粘性系数取： _ ：巳钐 f 3 3 1 ) ( 3 3 2 ) k 方程和f 方程采用式( 3 3 3 ) 和( 3 ，3 4 ) ，相应地取由实验确定的常数 c ，2 0 0 9 。这种湍流模式叫j c s e 模式或标准惫一e 模式。 k 方程的模化( q = o 0 9 0 1 1 ) 坐2苦卜譬蔷+r筹叫-“j蠢oudt s b ， 一2 瓦( 吒了瓦w 瓦“j 蠢吖 ( 3 1 3 3 ) 方程的模化( c 。= 0 0 7 ，c ，= 1 4 2 1 4 5 ，c 。，= 19 0 19 2 ) 坐d t = 善，( c 。等嘉+ v 嘉) _ ，嘉谣等飞二k ，。， 0 x 。a x la x ? 1 ik l i x j “ 。 以1 模式系数是 hc h e n 根据史验数据概括确定的主要是从窄气流动实 验。 确定的。通常认为由于系数是无量纲的，l 】j 因而也可以应用于其它流体。 近壁修正： 阎壁对湍流存在许多不同的作用效果，最重要的是：1 ) 它减少了高耗散 率脉动的长度尺度；2 ) 它反射压力脉动，因而阻止湍流能量沿壁面法向脉动 传输：3 ) 流体在固壁上速度相对于固壁应为0 ，即无滑移条件。在紧贴壁面 的薄层中，湍流应力可以忽略，而粘性效应在输运过程中起主导作用。 为能够在近壁区使用双方程模式，须对粘性扩散和耗散作修正。一些研究 者发展了与壁面阻尼效应或分子粘性效应相一致的低雷诺数模式，而另一些 研究者则发展了更简化且数值上更稳定的代数模型，解决近壁区粘性影响的 两区模式。两区模式通常包含个长度尺度模型以替代近壁区的方程，而在 远离壁面区用双方程模式。 l a m 和b r e m h o r s t ( 1 9 8 1 ) 提出的低雷诺数模式： 等= 眩+ d ? ) + 最一s 篆= 嘶。+ d ；1 + p c 卜d s 凡 = 4 一一s s 毛) ( ，+ 等 毛= 争 川+ f 爿，纠一一= 筹 c h e n 和p a t e l ( 1 9 8 8 ) 提出的两区模式： 南京理工大学硕士学位论文3 两方程模式理论1 9 9 8 年1 2 月 铲c 。k 必z 。，s ：壁1 3 卜叫卜一 ，a z = 7 0 l 。= e l y 卜- ( 一割，州o s 3 3 2 非缝性k 一模式 一1 1 i i l j 扣叱 t 菩( & 踮1s 气 一。1 等q 讯q 捌+ q 业s n ) 一。2 6 菩( q m q 一；q m q * q “ ，；、 + ，。c 2 ( & q 。+ q 。一；q 梳岛 & 。 + 5 + q 。) 岛；毒+ 筹，q “s 瓦g ：8 1 2 i a 3 c一筹。巩f ，”叙i 叙， 3 3 3 湍流的双尺度二阶模型 从对壁本方程组模型化的过程中可以看到，e 模型方程是最牛儿糙、最刁j 能 令人满意的。其斗l 对e 方程右边每- 1 个项的模拟都不甚严密。尤其汇项和源 项的模型还需要进一步研究。对此，陈景仁教授( 1 9 8 6 ) 提出应考虑对其中4 i 同 的项采用不同的湍流尺度。 根据e 方程右边不同的项是由大尺度含能涡决定( 如：扩散项) 还是由耗散 范围内的小尺度涡( 如：小涡拉伸产生项和粘性破坏项) 决定的，而采用不同 的科莫格洛夫湍流尺度，大涡尺度( k ，e ) 和小涡尺度( e ，u ) 来模拟。由此导 出双尺度e 模型方程为： 些=矗(c。,