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,无穷级数,微积分（二）,第七讲非周期函数的傅立叶级数,学习要求,对于概念和理论方面的内容，从高到低分别用“理解”、“了解”、“知道”三级来表述；对于方法，运算和能力方面的内容，从高到低分别用“熟练掌握”、“掌握”、“能”（或“会”）三级来表述。,知道函数展开为傅里叶级数的充分条件。能将周期函数及定义在和上的非周期函数展开为傅里叶级数，能将定义在和上的函数展开为正弦或余弦级数。,第九章无穷级数,第五节傅立叶级数,非周期函数的傅立叶级数,非周期函数的傅立叶级数,一、非周期函数的周期性延拓,二、奇延拓和偶延拓,三、任意区间上非周期函数的傅立叶级数,对于非周期函数,如果函数只在区间上有定义,并且满足狄立克雷充分条件,也可展开成傅立叶级数.,一、非周期函数的周期性延拓,设非周期函数在上有定义，则函数,称为非周期函数的周期延拓，,的周期函数，并且在上有,延拓后的函数在上是周期为,解,所给函数满足狄利克雷充分条件.,拓广的周期函数的傅氏级数展开式在收敛于.,所求函数的傅立叶级数展开式为,推广:利用傅立叶级数展开式求出几个特殊级数的和,二、非周期函数的奇偶延拓,则有如下两种情况,1.奇延拓,2.偶延拓,解,(1)求正弦级数.,(2)求余弦级数,例4把,展开成,(1)正弦级数;(2)余弦级数.,解:(1)将f(x)作奇周期延拓,则有,(2)将,作偶周期延拓,则有,说明:此式对,也成立,由此还可导出,据此有,三、任意区间上非周期函数的傅立叶级数,当函数定义在任意有限区间上时,方法1,令,即,在,上展成傅里叶级数,周期延拓,将,在,代入展开式,上的傅里叶级数,其傅里叶展开方法:,方法2,在,上展成正弦或余弦级数,奇或偶式周期延拓,将代入展开式,在,上的正弦或余弦级数,解,一般而言，奇延拓的收敛域不包括端点偶延拓的收敛域包括端点,四、小结,1以2L为周期的傅氏系数;,2利用变量代换求傅氏展开式;,3求傅氏展开式的步骤;,（1）.画图形验证是否满足狄氏条件(收敛域,奇偶性);,（2）.求出傅氏系数;,（3）.写出傅氏级数,并注明它在何处收敛于,4非周期函数的展开奇函数和偶函数的傅氏系数;正弦级数与余弦级数;非周期函数的周
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