（概率论与数理统计专业论文）受控的带马氏调制跳扩散过程及其在保险金融中的应用.pdf

摘要 本文讨论了受控的带马尔可夫调制的跳扩散模型及其在保险金融中的应用文 中主要研究带马氏调制的跳扩散模型的随机控制问题，资产定价问题，以及几个首 达时的分布各章主要内容如下： 第一章，讨论了在出现固定与比例交易费用情形下扩散盈余过程中的投资与 红利分发问题我们得出值函数满足的拟变分不等式，并证明了值函数是该拟变分 不等式的唯一粘性解，得到了最优值函数以及最优控制策略 第二章，研究了在固定与比例交易费用存在的条件下，跳扩散风险过程中保险 人的最优红利分发问题由于出现固定交易费用，该问题在数学上则变成随机脉 冲控制问题运用随机脉冲控制方法，我们将随机控制问题转化为求解一个非线 性积分微分的拟变分不等式问题在相对安全负载假定下，我们推导出值函数满足 的显示解及最优红利分发策略 第三章，阐述了马尔可夫调制跳扩散模型中随机控制的一般理论在自治系 统与非自治系统下，我们推出值函数满足的h a m i l t o n j a c o b i b e l l m a n 方程，并分别 证明了在一定的边界与初始条件下，值函数是相应的h j b 方程的唯一粘性解 第四章，探讨了带马氏调制跳扩散模型下的永久美式期权的定价问题我们 得到带马氏调制跳扩散模型中永久美式看跌期权的显式表达式其次，讨论了半马 尔可夫调制扩散模型下的欧式期权定价问题通过利用e s s c h e r 变换，得出唯一的 等价鞅测度 第五章，研究带马可夫调制的跳扩散风险模型中最大盈余分布与破产赤字分 布首先，得出了破产概率以及破产前的最大盈余分布所满足的偏积分微分方程组 其次，重点阐述了当索赔服从有理分布时，带马氏调制的s p a r r ea n d e r s o n 盈余模型 下最大盈余分布的显示解此外，我们得出了一类带扰动的s p a r r ea n d e r s o n 模型 中，当索赔为重尾分布时，贴现罚函数的渐近表达式 关键词：动态规划方程；等价鞅测度；脉冲随机控制；跳扩散过程；马氏链；期权 定价；半马尔可夫过程；随机控制；偏积分微分方程组；粘性解 a bs t r a c t t h i sp a p e ri sc o n c e r n e dw i t ht h ec o n t r o l l e dm a r k o vm o d u l a t e dj u m pd i f f u s i o np r o - c e s s e sa n di t sa p p l i c a t i o n s t h i sp a p e ri sf o c u s e do nt h es t o c h a s t i cc o n t r o lt h e o r y , o p t i o n p r i c i n g ，a n ds o m ed i s t r i b u t i o n sf o rm a r k o vm o d u l a t e dj u m pd i f f u s i o np r o c e s s e s t h ep 扣 p e ri so r g a n i z e da sf o l l o w s i nc h a p t e r1 ，w es t u d yi n v e s t m e n ta n dd i v i d e n d sp a y o u ti nd i f f u s i o ns u r p l u sp r o - c e s si np r e s e n c eo ff i x e da n dp r o p o r t i o n a lt r a n s a c t i o nc o s t s w et r a n s f o r mt h em i x e d i m p u l s i v ec o n t r o lp r o b l e mi n t oaq u a s i v a r i a t i o n a li n e q u a l i t y w ep r o v et h a tt h ev a l u e f u n c t i o ni st h eu n i q u ev i s c o s i t yo ft h eq u a s i - v a r i a t i o n a li n e q u a l i t y t h eo p t i m a lv a l u e f u n c t i o n sa n do p t i m a ld i v i d e n dp a y o u ta l eo b t a i n e du n d e ras p e c i a lc a s e i nc h a p t e r2 ，w ed e a l sw i t ht h ed i v i d e n do p t i m i z a t i o np r o b l e mf o ra ni n s u r e rw i t h aj u m p - d i f f u s i o nr i s kp r o c e s si np r e s e n c eo ff i x e da n dp r o p o r t i o n a lt r a n s a c t i o nc o s t s d u et ot h ep r e s e n c eo faf i x e dt r a n s a c t i o nc o s t ，t h em a t h e m a t i c a lp r o b l e mb e c o m e s a ni m p u l s es t o c h a s t i cc o n t r o lp r o b l e m u s i n gs t o c h a s t i ci m p u l s ec o n t r o la p p r o a c h ，w e t r a n s f o r mt h es t o c h a s t i cc o n t r o lp r o b l e mi n t oaq u a s i v a r i a t i o n a li n e q u a l i t yf o ras e c o n d - o r d e rn o n l i n e a ri n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n u n d e rr i s kn e u t r a la s s u m p t i o nf o rt h e i n s u r e r ，w es o l v et h i sp r o b l e me x p l i c i t l ya n dc o n s t r u c tt h ev a l u ef u n c t i o nt o g e t h e rw i t h t h eo p t i m a lp o l i c y f i n a l l y , w ed i s c u s st h ee x p e c t e dt i m et ot h ef i r s td i v i d e n dp a y m e n t w h e nt h eo p t i m a ls t r a t e g yi se m p l o y e d i nc h a p t e r3 ，w ed i s c u s st h eg e n e r a lt h e o r yo fs t o c h a s t i cc o n t r o lf o rc o n t r o l l e d m a r k o vm o d u l a t e dj u m pd i f f u s i o nm o d e l w ed e r i v et h ev a l u ef u n c t i o n ss a t i s f i e dt h e h a m i l t o n - j a c o b i b e l l m a n ( h j bh e r e a f t e r ) e q u a t i o n s m e a n w h i l e ，w es h o wt h ev a l u e f u n c t i o n sa r et h eu n i q u ev i s c o s i t ys o l u t i o no ft h ec o r r e s p o n d i n gh j be q u a t i o n su n d e r s o m eb o u n d a r ya n di n i t i a lc o n d i t i o n s i nc h a p t e r4 ，w ea r ec o n c e r n e dw i t ht h ep r i c i n go ft h ep e r p e t u a la m e r i c a no p t i o n s w h e nt h ed y n a m i c so ft h er i s k yu n d e r l y i n ga s s e ta r ed r i v e nb yaj u m pd i f f u s i o nw i t h m a r k o v i a ns w i t c h i n g b yu s i n gt h e “m o d i f i e ds m o o t hp a s t i n g t e c h n i q u e ，w ed e r i v ea n e x p l i c i to p t i m a ls t o p p i n gr u l ea n dt h ec o r r e s p o n d i n gv a l u ef u n c t i o ni nac l o s e df o r m w e t h e np r e s e n tan u m e r i c a le x a m p l et oi l l u s t r a t et h ea p p l i c a t i o no ft h ee x a c ts o l u t i o n f u r - t h e r m o r e ，w ec o n s i d e rt h ep r i c i n go fo p t i o n sw h e nt h ed y n a m i c so ft h er i s k yu n d e r l y i n g a s s e t8 f i ed r i v e nb yas e m i m a r k o v - m o d u l a t e dg e o m e t r i cb r o w n i a nm o t i o n w es u p p o s e t h a tt h em a r k e ti n t e r e s tr a t e ，t h ed r i f ta n dt h ev o l a t i l i t yo ft h eu n d e r l y i n gr i s k ya s s e t l l s w i t c ho v e rt i m ea c c o r d i n gt ot h es t a t eo fa ne c o n o m y , w h i c hi sm o d e l e db yac o n t i n u o u s t i m es e m i - m a r k o vc h a i n v i at h es u p p l e m e n t a r yv a r i a b l ea p p r o a c h ，w et r a n s f o r mt h e s e m i - m a r k o vm o d u l a t e dm a r k e ti n t oam a r k o vm o d u l a t e do n e t h ee q u i v a l e n tm a r t i n - g a l em e a s u r ew a sd e t e r m i n e db yr e g i m ee s s c h e rt r a n s f o r m f u r t h e r m o r e ，w es h o wt h a t t h ee q u i v a l e n tm a r t i n g a l em e a s u r ed e t e r m i n e db ym i n i m a le n t r o p ym a r t i n g a l em e a s u r e ( m e m m ) i st h es a m ea st h eo n eb yt h eg e n e r a l i z e dr e g i m ee s s c h e rt r a n s f o r m f i n a l l y , a ne x a m p l ei sp r e s e n t e dt oi l l u s t r a t eo u ri d e a i nc h a p t e r5 ，w ei n v e s t i g a t et h er u i np r o b a b i l i t y , t h em a x i m u m s u r p l u sd i s t r i b u t i o n b e f o r er u i ns a t i s f yas y s t e mo fp a r t i a li n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s a ne x p l i c i ts o l u t i o n o ft h em a x i m u ms u r p l u sd i s t r i b u t i o ni nam a r k o vm o d u l a t e ds p a r r ea n d e r s o ns u r p l u s p r o c e s sp e r t u r b e db yd i f f u s i o ni so b t a i n e dw h e nt h ec l a i ms i z ei sr a t i o n a l l yd i s t r i b u t e d m o r e o v e r ，w es t u d yt h ea s y m p t o t i cb e h a v i o u ro ft h ed i s c o u n t e dp e n a l t yf u n c t i o ni nt h e s p a r r ea n d e r s o nr i s km o d e lp e r t u r b e db yd i f f u s i o nw h e nt h ec l a i ms i z ei ss u b e x p o n e n - t i a l l yd i s t r i b u t e d w eo b t a i nt h ee x a c ta s y m p t o t i ce x p r e s s i o n sf o rt h ed i s c o u n t e dp e n a l t y f u n c t i o nc a u s e db yac l a i ma n db yad i f f u s i o n ，r e s p e c t i v e l y k e y w o r d s ：d y n a m i cp r o g r a m m i n ge q u a t i o n ；e q u i v a l e n tm a r t i n g a l em e a s u r e ；i m - p u l s i v es t o c h a s t i cc o n t r o l ；j u m pd i f f u s i o np r o c e s s ；m a r k o vc h a i n ；o p t i o np r i c i n g ；s e m i - m a r k o vp r o c e s s ；s t o c h a s t i cc o n t r o l ；s y s t e m so fp a r t i a li n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ； v i s c o s i t ys o l u t i o n u 1 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的 研究工作及取得的研究成果尽我所知，除了论文中特别加以 标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过 的研究成果，也不包含为获得中南大学或其他单位的学位或证 书而使用过的材料与我共同工作的同志对本研究所作的贡献 均已在论文中作了明确的说明 作者签名：婵f 日期：群年月眨日 学位论文版权使用说明书 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留学位论文并根据国家或湖南省有关部门规定送 交学位论文，允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位 论文的全部或部分内容，可以采用复印、缩印或其它手段保存 学位论文同时授权中国科学技术信息研究所将本学位论文收 录到中国学位论文全文数据库，并通过网络向社会公众提 供信息服务 作者签名：导师签名 日呼么月声日 中南大学博士学位论文研究背景以及本文主要结果 研究背景以及本文主要结果 1 9 7 3 年，b l a c k 和s c h l o e s 用几何布朗运动模拟风险资产价格x ( ) ，即 d x ( t ) = # x ( t ) d t + a x ( t ) d w ( t ) ， ( 1 1 ) 其中p 为收益率，仃为扰动率，w ( t ) 为标准布朗运动b l a c k 【1 2 】首次给出欧式期权 的显示表达式尽管在几何布朗运动模型下，给出了几乎完美的期权定价公式但 该模型有许多不足，如：( a ) 不能够刻画股票价格不连续的变化，( b ) 实证分析显示 股票的波动率不是常数因此众多学者对此进行改进：一方面改进，1 9 7 6 年m e r t o n 【6 6 提出了跳扩散模型，即在模型( 1 1 ) 中加一跳过程刻画股票价格不连续变化；另 一方面改进，让几何布朗运动的扰动系数依赖某个隐含的马氏链，即假定风险资 产价格满足 d x ( t ) = 肛( 7 ( t ) ) x ( t ) d t + 盯( r ( t ) ) x ( t ) d i 矿( t ) ，( 1 2 ) 其中r ( ) 为一个有限状态的马氏链，设其状态空问为e = 1 ，2 ，毋，无穷小算子 为q = ( ) 灿人们习惯上称r ( t ) 的状态为调制或马氏调制并称x ( t ) 为带马氏 调制的几何布朗运动r ( t ) 的状态可解释为经济条件结构的变化、政权的替换，宏 观消息交替以及经济周期等目前有许多的文献讨论模型( 1 2 ) ，如当2 = 2 时，g u o 4 3 】研究带马氏调制几何布朗运动模型下的俄罗斯期权的定价，g u o 4 4 】研究了带 马氏调制几何布朗运动模型下的永久美式看跌期权的显示表达式，而j o b e r t 【5 6 】将 g u o 【4 4 】中结果推广到有限状态马氏调制情形 最近，e l l i o t t 【2 6 】研究了一类带马氏调制跳扩散模型的欧式期权定价，即假定 资产价格服从 d x ( t ) = 肛( r ( t ) ) x ( ) 班+ a ( r ( t ) ) x ( t ) d w ( t ) + x ( t 一) z n ( d t ，d z ) ，( 1 3 ) j r + 其中n ( d t ，d z ) 为泊松测度 在上述文献的启发下，我们把带马氏调制的跳扩散模型进一步推广，即假定一 个状态系统满足如下随机微分方程 d x ( t ) = p ( ，x ( ) ，r ( t ) ) d t + 仃( t ，x ( ) ，r ( t ) ) d w ( t ) + ，y ( ，x ( t - ) ，r ( t ) ，z ) n ( d t ，d z ) ， ( 1 4 ) ，冗 中南大学博士学位论文研究背景以及本文主要结果 其中x ( t ) r ，p ：r r e r ，仃：r r e _ r ，w ( t ) 为一维标准布朗运 动，n ( d t ，d z ) 为泊松测度，上式中的r ( t ) 的定义见( 1 3 ) 模型( 1 4 ) 是一类比较广泛的带马氏调制跳扩散模型它将扩散模型，马氏链 的性质，以及跳过程融合在一起因此它能够刻画连续状态变化，模型参数的改变， 以及不连续变化它推广了模型( 1 1 ) ，( 1 2 ) ，( 1 4 ) 因此对模型( 1 4 ) 研究具有很重 要的理论和实际意义 于是，许多自然的问题产生如果保险人的盈余过程服从带马氏调制的跳扩 散模型，保险人应如何投资或分红? 类似的，若假定风险资产价格服从带马氏调制 的跳扩散模型，投资者应如何投资与消费等? 这些问题在数学上归结为随机控制 问题随着马氏调制模型在金融，保险上的应用，越来越多的问题可以归结为随机 控制或某一类随机控制问题如脉冲随机控制，反馈控制等从已有的文献来看，几 乎没有文献直接阐述带马氏调制的跳扩散模型的随机控制理论，因此，本文首先分 析不带调制风险模型的投资与分红问题，其次重点阐述了带马氏调制跳扩散的随 机控制，以其过程( 1 4 ) 在保险与金融模型的应用我们着重讨论下列问题： ( 1 ) 若考虑受控的带马氏调制扩散模型或带马氏调制跳扩散模型，最优目标 函数满足什么样的动态规划方程? 在什么情况下，值函数是相应的h j b 方程的粘 性解? ( 2 ) 能否推出带马氏调制的扩散模型的永久美式期权的显示公式? ( 3 ) 带半马式调制的几何布朗运动欧式期权如何定价? ( 4 ) 带马氏调制跳扩散盈余模型的破产前最大盈余分布，破产赤字的分布? 带 马氏调制跳扩散模型如何转化为带扰动的更新模型? 全文结构如下：扩散盈余过程( 第一章) 一跳扩散盈余过程( 第二章) _ 一般 的带马氏调制的跳扩散模型的随机控制( 第三章) _ 两类带马氏调制的期权定价 问题( 第四章) 一带马氏调制跳扩散模型( 第五章) 下面分别叙述各章的研究背景及其主要结果： 1 9 5 3 年，d ef i n e t t if 2 0 首次研究经典盈余模型的分红问题，即假定保险人盈 余过程 n ( 0 u ( ) = u + a t 一五 ( 1 5 ) i = l 保险人从盈余中支付部分红利进行分红，并设红利d t 是连续进行分发如果不考 中南大学博士学位论文 研究背景以及本文主要结果 虑交易费用，则保险人的自留为 ( t ) u ( t ) = t l + n 一墨一d ( 1 6 ) 保险人的目标是使得累积红利取得最大值，即找出最优红利策略使得 y c z ，= s u p e z f 。re _ 6 t d d t c ，7 ， g e r b e r 【3 4 】首次证明了此时的最优红利策略为常数障碍策略，即存在z + ，当盈余过 程首次达到z + ，超出的盈余全部用来分红近来，a z c u e 【9 】考虑再保险情形出现情 形下，经典风险模型下的分红问题另外，a s m u s s e n 【7 】将其推广到带投资收益的 跳扩散模型，值函数满足的积分微分方程 由于红利分发涉及到红利税等，近十年来，越来越多的研究人员考虑市场是 有摩擦的( 交易费用) ，即研究在有交易费用情形下的红利分发问题若每支付红利 e ，保险人需支付比例交易费用入以及固定交易费用c 记保险人的第i 次红利分发 时间为亿，则在时刻t ，总红利为l ( t ) = e a t r ( a q + c ) i r t t ) j e a n b l a n c 【5 9 】首次 考虑下列分红问题 d u ( t ) = a d t + a d w t d l ( t ) ( 1 8 ) 利用脉冲控制方法，证明了最优红利策略为两障碍策略，即存在矿，虿，当公司的 盈余达到z + ，立刻分发红利z 一虿首达z + 的时刻称为最优红利干预时间最近 c a d e n l l a s 【1 5 】考虑扩散盈余模型的比例再保险与红利分发问题，即假定 d u ( t ) = q u ( s ) d s 十o u ( s ) d w ( s ) 一d l ( t ) ( 1 9 ) 利用类似j e a n b l a n c 【5 9 】的方法，得到最优红利分发策略矿，虿，与最优再保险策略 z t $ 在第一章，我们研究了扩散盈余模型下最优投资与红利分发问题，设在时刻t ， 保险人的投资为a ，考虑投资与分红后，保险人的盈余为 d u ( t ) = a a ( u ( t ) ) d t + a a ( u ( t ) ) d w ( t ) 一d l ( t ) ( 1 1 0 ) 记第i 次红利分发时间与数目分别为7 i ，q 定义1 0 1 如果t 是兀停时且0 7 1 丁2 s ；( r ，x ( 7 ) ) 岳g ) ( 1 1 5 ) 在本章我们始终假设o g 是正则的，即v ( s ，z ) g ， p ( 8 ，z ) ( 丁g = 0 ) = 1 ( 1 1 6 ) 此外，对所有的u ，z ，设 e f o re - p s 碱u ) i 班州丁，x r ) i ( 一 陬s ) = 叩( s ) = i + o 。( 1 1 7 ) 为简便起见，记 e ( 叩，) 【】= e 【i x ( s ) = z ，r ( s ) = 吐 定义目标函数 ，( s ，z ，缸，t ) = e ( s 而。f s s + re - p z l ( z ，x ( z ) ，札( z ) ) 如+ 夕( s + 丁，x ( s + 丁) ) 。丁 ， 我们目的是对于每一个初始( s i z ) g ，i e ，找到函数w ( 8 ，z ，i ) 以及一个控制 u + = u ( s ，z ，u ) u 使得下列函数取最大值 中南大学博士学位论文研究背景以及本文主要结果 我们得出最优值函数w ( s ，z ，i ) 满足下列方程 s u p w ( s ，z ，i ) + l ( s ，z ，u ) ) = 0 ，( 1 1 9 ) 并得出，若在正则边界条件下，w ( s ，z ，i ) 是( 1 1 9 ) 的粘性解其次，若给定适当的 边界条件，w ( 8 ，z ，t ) 是方程组( 1 1 9 ) 的唯一粘性解在自治系统与非自治系统下， 我们推出值函数满足的h j b 方程，并分别证明了在一定的边界与初始条件下，值函 数是相应的h j b 方程的唯一粘性解 在第四章，我们研究两类带马氏调制模型的定价问题首先我们回顾下以往 所做的工作1 9 7 3 年，b l a c k 和s c h o l e s 【1 2 】首次利用套利理论给出模型( 1 1 ) 的欧式 期权的显示表达式其后，r o s s 【9 3 ，h a r r i s o n 【4 7 ，h a r r i s o n 【4 8 ，4 9 将b l a c k - s c h o l e s 以及m e r t o n 的理论用等价鞅测度来定价称一个概率测度q 是等价鞅测度如果 满足：( 1 ) q 与p 是等价的，即对于每一a ，p ( a ) = 0 当且仅当q ( a ) 亍0 ( i i ) 在测度q 下，贴现的股票价格e - n s ( t ) 是鞅h a r r i s o n 4 s ，4 9 】证明在b l a c k - s c h o l e s 市场上，只有唯一的等价鞅测度q ， 器= e x p 一胁) d w ( s ) 一搿吹s ) d 5 ) 其中p 。= 帮根据等价鞅测度，设到期日为t ，收益为v ( s r ) ，则欧式期权价 格为 c ( t ) = e o ie 叫o ) d 2 s ( t ) l f tl 其中e 在测度q 下的自然域流 近来，有大量的文献研究模型( 1 2 ) ，如g u o 【4 3 】研究该模型下的俄罗斯期权的 定价e l l o i t t 【2 5 】带马氏调制的扩散模型的期权定价g u o 【4 4 】研究了当z = 2 时永 久美式看跌期权显示表达式最近e l l i o t t 【2 6 】研究了带马氏调制的跳跃扩散模型 的欧式期权定价其次，带马氏调制的随机微分方程广泛讨论，如m a o 【6 4 】研究带 马氏调制的扩散过程的稳定性，更多的关于马氏调制扩散过程的讨论参看m a o 【? 】， y u a n 【1 1 1 ，y u a n 1 1 2 】等最近，x i 【1 0 9 】研究带马氏调制的跳扩散过程的f e l l e r 连 续性，指数遍历性 在上述文献的启发下，在本章的第二部分，我们推广g u o 【4 6 】的带马氏调制 的扩散模型到带马氏调制的跳扩散模型即假定资产价格s ( t ) 服从 ， d s ( t ) = p ( r ( ) ) s ( ) 出+ a ( r ( t ) ) s ( t ) d w ( t ) + s ( 一) z n ( d t ，d z ) ( 1 2 0 ) 我们研究带马氏调制跳扩散模型下的永久美式期权定价，并获得了期权定价的显 示表达式在本部分，首先导出值函数y ( x ，i ) ( i e ) 所满足的偏微分积分方程组 中南大学博士学位论文 研究背景以及本文主要结果 ( s p i d e ) ，然后构造了s p i d e 的光滑解其次，证明了所找到的显示解的最优性 最后，用数值解来阐述我们的结果 在本章的第二部分，我们将马氏调制几何布朗运动推广到带半马尔可夫调制 的几何布朗运动，即 扭 ) _ 幻以。班， ( 1 2 1 ) ld s ( t ) = 坳( o s ( t ) d t + a y ( t ) s ( t ) d w ( t ) ， 其中y ( t ) 是状态空间为e = 1 ，2 ，毋的半马尔可夫链，b ( t ) 为债券的价格 当调制为非马氏链情形下的期权定价，最基本的问题是如何构造等价鞅测度 从目前已有的理论来看，在非马尔可夫过程直接构造一个指数鞅很困难在h o u 【5 2 】启发下，我们先将该模型转化为一等价的马氏模型，然后构造等价鞅测度利用 e s s c h e r 变换的思想，我们构造了一个等价鞅测度 万d q = ( 船) = ex p ( 一f s s to s 哆一主哆轴) 限 ( 1 2 2 ， 其中巩= 警，晚，以为转换后的瞬间收益率与扰动率 在第五章中，我们研究带马氏调制模型下的最大盈余分布设保险人的盈余过 程服从 ，t， ( t ) u ( t ) - 时z 咖( s ”d s + z 以r ( s ”扭( s ) - 若黾垃0 ( 1 2 3 ) 其中u 0 为初始盈余r ( t ) 为一有限状态马尔可夫链，其状态空间为e = 1 ，2 ，z ) ， 强度矩阵为q = ( ) k i j ) e 婷即 p ( r ( + ) ：歹f r ( t ) ：后) ： 入k j a r + o ( 幻， i f 后工 ( 1 2 4 ) i1 + a k k a t + o ( a t ) ，i fk j ， 对所有k f e ，0 a 觚 让0 ，定义保险人的破产前最大盈余分布 为 ( u 忍i ) = p ( s u pt r ( t ) z ，7 o o l u ( o ) = 让，r ( o ) = i ) ( 1 2 5 ) 我们得到最大盈余分布满足的积分微分方程 中南大学博士学位论文 研究背景以及本文主要结果 定理1 0 1f ( t l ，z ，i ) 满足如下的积分微分方程 慨一划睡( 牡忍i ) 】_ c ( i ) 咖，z ，i ) + 缝娑( u ，z ，i ) + b ( u ，z ，歹) + 成 z ( u - z , z , i 溉( z ) 如+ z - - b o o 鼽( z ) 如) ( 1 2 6 ) 定理1 0 2 若r ( t ) = i 时，索赔服从参数为讯的指数分布，则( u ，z ，t ) 满足下列微 分方程 掣黝郴+ 卜掣删】 ( 俐刊呶郴 + 入巧( “，z ，歹) 十m k ( u ，z ，歹) = 0 ， ( 1 2 7 ) j 朋歹朋 0 钆 o ( 1 2 9 ) 这里记数过程 b ( ) ；t 之0 ) 表示到时刻t 为止索赔发生的次数，并定义j 、协( t ) = m a x n ：矗+ 悫+ + 磊t ) 其中假设索赔间隔时间幺独立且同服从推广的 e r l a n g ( n ) 分布，即 雹= dz 1 + z 2 + + 磊， ( 1 3 0 ) 其中乃服从参数为入f 的指数分布 在模型( 1 2 9 ) 中，我们得到下列结果 定理1 0 3 最大盈余分布( u ，z ) 满足下列积分微分方程： 0 ，那么妒s ( u ) 一( 南+ 1 ) 万f ( u ) 其中6 为常数，俄i = 1 ，礼为推广的l u n d b e r g 方程的非负解 最后，我们总结本论文主要结果如下：( 1 ) 首次讨论了在出现固定与比例交易 费用情形下扩散盈余过程中的投资与红利分发问题文中得出值函数满足的拟变 分不等式，并证明了值函数是该拟变分不等式的唯一粘性解，得到了值函数以及最 优控制策略 ( 2 ) 在出现固定与比例额交易费用下，将扩散盈余模型下的红利分发问题推广到跳 扩散模型 ( 3 ) 首次研究带马氏调制的跳扩散模型下的随机控制问题，并证明值函数在带马氏 调制模型下的存在与唯一性 ( 4 ) 首次给出了带马氏调制的跳扩散永久美式期权定价显示表达式 ( 5 ) 首次论述了带半马氏调制模型中的期权定价，给出了确定半马氏调制模型中的 等价鞅测度的方法 ( 6 ) 首次推出了带马氏调制的跳扩散模型的破产前的最大盈余分布 将带扰动的更新模型转发为带马氏调制的扩散模型，为风险理论开辟新的途径 ( 7 ) 首次研究带马氏调制的跳扩散模型的随机最优控制问题 中南大学博士学位论文 第一章受控的扩散盈余过程 2 1 引言 第一章受控的扩散盈余过程 投资与分红是近十年来实践者和研究人员都比较感兴趣的两个主题近二十 年来，有许多的学者研究保险人的投资问题如b r o w n e 【1 4 】研究在扩散盈余模型 下，保险人的最优投资问题；h i p p 5 3 ，研究了经典风险模型，在b l a c k - s c h o l e s 股 票市场中投资问题，并得出了当索赔为指数分布时最优投资显示表达式g r a n d i t s 【3 8 】补充h i p p 【5 3 ，得出如果索赔的尾分布以指数l ( 1 一1 ) 正则变化，则破产概 率也是一指数为l ( 1 0 ，这里的o l 是保险公司单位时间征收的保费费率，v n ( t ) 是标准布朗运 动我们假定保险公司允许投资风险资产为了简便起见，假定金融市场上仅有两 种资产：一个债券与一只股票并假定债券的价格满足 d b = 6 鼠班， 中南大学博士学位论文第一章受控的扩散盈余过程 其中6 是利率；假定风险资产价格s ( t ) 服从下列随机微分方程 d s ( t ) = # s ( t ) d t + c , 2 s ( t ) d w 2 ( t ) 其中p 以及a 2 均为正常数，分别代表风险资产的期望瞬间收益率和扰动率，w 2 ( t ) 是标准布朗运动我们将假定两个布朗运动是相关的，并记相关系数为p 我们假 定一1 p 1 若矿= 1 ，则w l ( t ) 与w 2 ( t ) 是以概率1 相关在这种情形下，市场 上只有一个随机变量，此时市场是完全的我们不考虑这种特殊情形令a 为公司 投资在风险资产的总额并假定 a ：t 0 ) 是一个允许的适应过程，即是一非