教案微分中值定理

键入文字西安交通工程学院高等数学教案时间-月-日星期-课题3.1 微分中值定理教学目的理解并会用罗尔定理、拉格朗日定理，了解柯西中值定理。教学重点罗尔定理、拉格朗日定理的应用。教学难点罗尔定理、拉格朗日定理的应用。课 型 基础课备课组教法选择 讲 授 教 学 过 程教法运用及板书要点一、罗尔定理1. 罗尔定理 几何意义：对于在上每一点都有不垂直于轴的切线，且两端点的连线与轴平行的不间断的曲线来说，至少存在一点C，使得其切线平行于轴。 C A B从图中可以看出：符合条件的点出现在最大值和最小值点，由此得到启发证明罗尔定理。为应用方便，先介绍费马（Fermat）引理 费马引理 设函数在点的某邻域内有定义, 并且在处可导, 如果对任意, 有 (或), 那么. 证明：不妨设时，（若，可以类似地 此表2学时填写一份，“教学过程”不足时可续页 证明）.于是对于,有, 从而当时, ; 而当时, ;根据函数在处可导及极限的保号性的得 ，所以, 证毕. 定义 导数等于零的点称为函数的驻点(或稳定点，临界点).罗尔定理 如果函数满足：（1）在闭区间上连续, （2）在开区间内可导, （3）在区间端点处的函数值相等，即, 那么在内至少在一点 , 使得函数在该点的导数等于零，即. 证明：由于在上连续，因此必有最大值M和最小值，于是有两种可能的情形： （1），此时在上必然取相同的数值M，即由此得因此，任取，有 （2），由于，所以M和至少与一个不等于在区间 端点处的函数值.不妨设(若,可类似证明),则必定在有一点使. 因此任取有, 从而由费马引理有. 证毕 【例1】 验证罗尔定理对在区间上的正确性 解 显然 在上连续，在上可导，且, 又, 取,有. 说明：1 若罗尔定理的三个条件中有一个不满足, 其结论可能不成立; 2 使得定理成立的可能多于一个，也可能只有一个. 【例2】 证明方程有且仅有一个小于1的正实根. 证明：设, 则在上连续，且由介值定理存在使, 即为方程的小于1的正实根. 设另有使因为在之间满足罗尔定理的条件, 所以至少存在一个（在之间）使得. 但, 矛盾, 所以为方程的唯一实根.2、 拉格朗日（Lagrange）中值定理 在罗尔定理中，第三个条件为(iii)，然而对一般的函数，此条不满足，现将该条件去掉，但仍保留前两个条件，这样，结论相应地要改变，这就是拉格朗日中值定理： 定理2：若函数满足：-2-112-0.75-0.5-0.250.250.50.75(i)在上连续 ； (ii)在上可导； 则在内至少存在一点，使得 。 即 若此时，还有， 。可见罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一个特殊情况，因而用罗尔中值定理来证明之。证明：上式又可写为 (1)作一个辅助函数： (2)显然，在上连续，在上可导，且 ，所以由罗尔中值定理，在内至少存在一点,使得。 又 或 。注 1：拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广； 2：定理中的结论，可以写成，此式也称为拉格朗日公式，其中可写成： (3)若令 (4)3：若，定理中的条件相应地改为：在上连续，在内可导，则结论为： 也可写成 可见，不论哪个大，其拉格朗日公式总是一样的。这时，为介于之间的一个数，(4)中的不论正负，只要满足条件，(4)就成立。 4：设在点处有一个增量，得到点，在以和为端点的区间上应用拉格朗日中值定理，有 即 这准确地表达了和这两个增量间的关系，故该定理又称为微分中值定理。5：几何意义：如果曲线在除端点外的每一点都有不平行于轴的切线，则曲线上至少存在一点，该点的切线平行于两端点的连线。由定理还可得到下列结论：推论1：如果在区间上的导数恒为0，则在上是一个常数。证明：在中任取两点，在连续，在可导，由拉格朗日中值定理，则在内至少存在一点，使得 由假设可知在上，从而在上， ， 所以 ， 可见，在上的每一点都有： （常数）。【例1】 【例3】 证明当时 . 证： 设，显然在0，x上满足拉格朗日中值定理条件，故至少存在一点使由于 ， ，代入上式有 即 又由于 所以 即 注：（1）构造辅助函数；（2）正确确定区间左右端点，利用TH2可得.三、 三、柯西中值定理定理3：若满足：(1)在上连续； (2)在内可导；(3) 则在内至少存在一点，使得 。证明：令，显然，在上连续，且在内可导，更进一步还有 ，事实上， 所以满足罗尔定理的条件，故在内至少存在一点，使得，又 因为， 注 1：柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广，事实上，令，就得到拉格朗日中值定理； 2：几何意义：若用 （）表示曲线，则其几何意义同前一个。【例4】 【例4】 证明（）。证：令，由推论知f(x