（凝聚态物理专业论文）玻色爱因斯坦凝聚和超冷费米气体性质的研究.pdf

摘要 随着理论和实验技术的快速发展，在玻色一爱因斯坦凝聚( b o s e - e i n s t e i n c o n d e n s a t i o n ，简称b e c ) 这领域，超冷费米气体性质的研究引起人们极 大的关注和兴趣。特别是分子b e c 和费米原子对的凝聚体( 即 b a r d e e n c o o p e r - s c h r i e f f e r ( b c s ) 超流体) 的成功实现将有助于理解高温超导 的物理机制。 本文首先对原子b e c 的研究背景、相关的实验技术以及理论研究等方 面作了简要介绍。第二章通过对费米凝聚体实验的描述，阐明了磁场 f e s h b a c h 共振的基本思想，即通过外加磁场来调节原子问的相互作用强度， 并给出了b c s b e c 渡越过程的理论模型。 第三章利用局域密度近似和平均场的方法，研究了被束缚在轴对称光势 阱中的超冷两组分费米气体受到二次非均匀磁场云= + 0 2 + a z2 e 作用时 的密度分布，其中鼠为磁场共振值，a 和丑为可调参数，z 为轴向坐标，瓦表 征磁场方向的单位矢量。通过选择合适的参数，在系统处于平衡态时，实现 了分子b e c 、b c s 超流体和强相互作用气体的多个区域共存。在该磁场作用 下，我们讨论了处于各种物态的粒子密度分布随参数d 和五的变化关系，重 点分析了该磁场对分子b e c 密度分布的影响，研究发现，通过改变参量可 以有目的地控制b e c 区域的范围。 关键词：玻色一爱因斯坦凝聚，超冷费米气体，f e s h b a c h 共振， 费米凝聚体，b c s b e c 渡越 a b s 仃a c t w i t ht h er a p i dd e v e l o p m e n to ft h e o r ya n de x p e r i m e n t a lt e c h n o l o g y , s t u d i e so n t h eu l t r a c o l df e r m i o n i cg a sa t t r a c tai o to fi n t e r e s ti nt h ef i e l do fb o s e e i n s t e i n c o n d e n s a t i o n ( b e c ) t h ea c h i e v e m e n tf o rt h em o l e c u l a rb e ca n df e r m i c o n d e n s a t ew i l ls h e dm u c hl i g h to no u ru n d e r s t a n d i n go ft h em e c h a n i s mo ft h e h i g h - t e m p e r a t u r es u p e r c o n d u c t i v i t y t h i st h e s i sf i r s t l yp r e s e n t st h ei n t r o d u c t i o nt ot h eb a c k g r o u n d ，c o r r e s p o n d i n g e x p e r i m e n t a lt e c h n o l o g i e sa n dt h e o r e t i c a ls t u d yo fb e c t h r o u g ht h ed e s c r i p t i o n t ot h ep r o c e s sf o rt h ee x p e r i m e n to nf e r m ic o n d e n s a t i o n , t h eb a s i ci d e ao f m a g n e t i cf e s h b a c hr e s o n a n c 2i se l u c i d a t e d ，i e t h ei n t e r a c t i o ns t r e n g t hb e t w e e n a t o m sc a nb et u n e db yt h ee x t e 删m a g n e t i cf i e l d a tt h es a m et i m e 。t h e t h e o r e t i c a lm o d e lf o rt h eb c s b e cc r o s s o v e ri sg i v e n u s i n gt h el o c a ld e n s i t ya p p r o x i m a t i o na n dt h em e a nf i e l da p p r o a c h , t h ed e n s i t y d i s t r i b u t i o n so ft h eh a r m o n i c a l l yt r a p p e du l t r a c o l df e r m i o n i cg a s e sa r cs t u d i e d u n d e r a n o n u n i f o r m g r a d i e n t m a g n e t i c f i e l d 目= ( b + o t z + a z 2 ) t ，w h e r e b 0 i s t h e m a g n e t i c f i e l df e s h b a c hr e s o n a n tv a l u e ，口a n d 五a r et h ee x t e r n a lp a r a m e t e r s ， zi st h e s p a t i a lc o o r d i n a t ea n d 瓦i st h eu n i tv e c t o ro ft h ed i r e c t i o no ft h e m a g n e t i cf i e l d u n d e rt h ec o n d i t i o n so f t h et h e r m a la n dc h e m i c a le q u i l i b r i u n la n d a p p r o p r i a t ep a r a m e t e rv a l u e s ，t h ec o e x i s t e n c eo ft h er e g i m e so fm o l e c u l a rb e c ， b c ss u p c r f l u ma n du n i t a r i t yl i m i ti so b t a i n e d t h er e l a t i o n sb e t w e e nt h ep a r t i c l e d e n s i t yd i s t r i b u t i o ni ne a c hs t a t eo fm a t t e ra n dt h em a g n e t i cf i e l dp a r a m e t e r sa r e d i s c u s s e d i np a r t i c u l a r , t h ee f f e c to ft h em a g n e t i cf i e l dt ot h ed e n s i t yd i s t r i b u t i o n o fm em o l e c u l a rb e ci sa n a l y z e d a sar e s u l t , i ti sf o u n dh a tt h er a n g eo ft h e b e c 锄b ec o n t r o l l e db yc h a n g i n gt h ep a r a m e t e rv a l u e so f t h em a g n e t i cf i e l d k e yw o r d s ：b o s e e i n s t e i nc o n d e n s a t i o n ，u l t r a c o l df e r m i o n i cg a s ， f e s h b a c h r e s o n a n c e ，f e r m ic o n d e n s a t e ，b c s b e c g r o s s o v e r 第一章前言 第一章前言 玻色一爱因斯坦凝聚( b o s e e i n s t e i nc o n d e n s a t i o n ，简称b e c ) 是近年来热 门的研究课题之一，它揭示了一类新的物质形态。这是一类涉及物理学很多 领域的普遍物理现象，从基础理论到应用科学覆盖了原子分子物理、量子光 学、统计物理和凝聚物理等领域。近年来关于b e c 的研究使得人们对这一 物质形态的认识不断深入。高度密集的大量原子以相干的方式在演变，构成 的宏观量子系统，其德布罗意波波长比原子的间距大，导致原子完全失去了 孤立粒子的特征，将量子现象带到了宏观尺度。近几年这种新物态特性的研 究有了广泛和迅猛的进展，对b e c 的研究必将对将来的物理学产生深远的 影响。 1 1b e c 简介 1 9 2 4 年，印度物理学家s b o s e 提出了光量子的统计学描述，推导出了 普朗克( 黑体辐射) 定律的系数8 7 r v 2 c 3 f l 】。1 9 2 5 年，a e i n s t e i n 在其理论 基础上预言了当温度降低到一定程度时，无相互作用的玻色子气体会大量占 据最低的能级，发生凝聚的现象，此即b e c ： 2 ，3 】。 从实物粒子的波粒二象性角度看，处于高温的原子气体，原子主要表现 出粒子性，如图1 1 ( a ) 所示，d 为原子间的平均距离。随着温度的降低， 原子的波动性质渐渐显露出来，在简化的量子描述中，原子可以被看成是德 布罗意波长为五的波包，如图1 1c b ) 所示。图1 1 ( c ) 表示了当温度降低 到b e c 的临界温度时，旯的长度增大到可以和原子间的平均距离相比较， 很多原子的波包重叠在了一起，发生了凝聚现象。当温度继续降低接近绝对 零度时，如图l l ( d ) b e c 就更为清楚了。 圈圜圆圆 c a )( b ) ( c )( d ) 图1 1 玻色一爱因斯坦凝聚的形成理论 第一章前言 事实上，人们也不知道到哪里去寻求这类“凝聚”现象。直到3 0 年代， 法国的el o n d o n 才指出【4 】，超流和超导现象可能是b e c 的表现。不过这两 类现象都发生在强相互作用的体系中，后来知道，超流液氦中只有约1 0 的 原子凝聚。超导与b e c 的关系要经过电子的配对，涉及更复杂的相互作用。 只有近理想或弱相互作用玻色气体的b e c 才更易于同理论比较，但一直没 有实例。 1 9 5 9 年芝加哥大学的c e h e e h t 提出用自旋极化的氢原子气体作为 b e c 的体系 5 】，因为它的性质比较稳定，不太容易形成分子，而且质量很 小，但实验上进展一直不大。 由于受冷却技术的限制，其后的二十多年中b e c 都没有在实验中得到 任何具有突破性的进展。经过众多实验小组的不懈努力，直到二十世纪八十 年代，人们才基本上掌握了诸如激光冷却、磁势阱捕获、蒸发冷却等一系列 实验技术，并且能够把多套复杂的冷却设备以及真空设备连接起来，应用到 同一个原子气体系统上。并且在对实验技术的摸索当中，人们发现实现b e c 最理想的研究对象是碱金属原子，因为它们的原子结构及其内部能级分布情 况最能符合激光和磁场的冷却技术。 1 2b e c 的实现及相关技术 1 9 9 5 年对于b e c 研究领域乃至整个凝聚态物理学界都是具有划时代意 义的一年。美国科罗拉多大学联合天体物理研究所( 皿a ) 和国家标准技术 研究所( n i s t ) 的c w i e m a n 小组于1 9 9 5 年7 月首先在实验上观察到了8 7 r b 的b e c 6 ：同年8 月美国莱斯大学的b r a d l e y 小组报道了7 l i 原子b e c 的观 察结果【7 】；1 1 月，麻省理工学院( m i t ) 的d a v i s 等人又报道了2 3 n a 原子 的b e c 的实验结果 8 】。 根据目前已有的实验报道，实现b e c 的实验步骤大体如下：首先利用 激光冷却和囚禁技术获得大数目、高密度的超冷玻色原子气体，然后将样品 装入静磁阱中。再利用射频蒸发冷却技术进一步降低温度，提高无量纲相空 间密度，最后利用光学手段检测是否形成了b e c 。由上述过程可以知道实现 b e c 有四种重要的实验技术：初始冷玻色原子气体的获得、静磁阱、蒸发 2 第一章前言 冷却技术和b e c 的光学检测手段 9 】。 1 2 1 激光冷却和囚禁技术 激光冷却原子的思想首次由h a n s c h 和s c h a w l o w 于1 9 7 5 年提出【1 0 】。用 两束对射的激光照射原子，当原子以速度u 相对于光波运动时，由于多普勒 效应，被吸收的光波频率为y = i o ( i - u c ) ，v o 为原子静止时的吸收频率。每 吸收一个光子，原子便获得与其运动相反的动量。原子吸收光子后还会自发 辐射，将无规则地向各个方向释放荧光光子，由于发射光子运动方向的各向 同性和随机性，其损失的动量平均为零。所以，通过动量交换，原子运动速 度被减慢，气体的温度就会下降。 当在三维空间使用六束两两正交的激光束时，原子受到光场的辐射压 力，阻滞原子的运动，原子和光子处于一种互相胶着的状态，这种状态被称 为“光学黏团( o p t i c a lm o l a s s e s ) ”【l l 】，其温度低到约2 4 0 9 9 1 9 9 7 年诺贝 尔物理学奖被授予了在发展激光冷却和捕获原子技术方面做出突出贡献的 美国斯坦福大学的s z h u ，法国巴黎高等师范学院的c c o h e n - t a n n o u d j i 和 n i s t 的w d p h i l l i p s 具体的研究历史见表1 1 和1 2 。 表1 1 激光冷却原子的研究历史发展 年代进展内容主要作者文献 t w h a n s c h 1 9 7 5 提出激光冷却原子的思想 【1 0 1 a l s c h a w l o w v i b a l y k i n 1 9 7 9 首次观测激光减速原子的效应 【1 2 v s l e t o k h o v 1 9 8 啦! 9 8 1较显著的原子柬减速( 激光扫描) 1 5 k v g m i n o g i n 1 3 1 显著的原子柬减速( 塞曼移频补偿) 1 9 8 2 w p h i l l i p s 1 4 】 l o o m k 1 9 8 5 o p t i c a lm o l a s s e s s c h u 【1 1 】 偏振梯度冷却4 3 9 k p d l e a 1 9 8 8 w d p h i l l i p s 【1 5 a a s p e c t【1 6 】 速度选择相干捕陷2 u k c c o h e n - t a n n o u d j i 1 9 9 2r a m a n 冷却l o o r 敝s c h u 1 7 】 1 9 9 5 磁光原子阱+ 蒸发冷却2 0 n k m h a n d e r s o n 【6 】 3 第一章前言 表1 2 囚禁中性原子的研究历史发展 年代 进展内容主要作者文献 1 9 8 6提出激光驻波场捕陷低速原子的思想 v ts l e t o k h o v 【1 8 】 提出用一对对射高斯光束。错开焦点形成原 1 9 7 8a a s h k i n 1 9 】 子阱的思想 1 9 8 5 磁原子阱的首次实现( 磁四极阱)a m i g d a l l【2 0 】 1 9 8 6 激光原子阱的首次实现 s c h u 【2 l 】 1 9 8 7 磁光原子阱的首次实现 e r a a b 【2 2 】 1 2 。2 静磁阱技术 9 】 按照麦克斯韦的电磁理论，具有固有磁矩的粒子可以被囚禁在磁场的 极小点处，不均匀磁场雪对磁偶极矩声的作用力为最= 一v f 露百) 由于许多 原子具有磁偶极矩。可以用静磁阱来囚禁具有磁偶极矩的中性原子。结构最 简单的静磁阱是一对反向亥姆霍兹线圈形成的四极阱，其中心处场强为零。 当线圈间距等于其半径的1 2 5 倍时，沿径向的阱深与沿轴向的阱深相同，其 特点为囚禁力强和囚禁时间长。n i s t 小组利用这样的磁阱第一次把激光冷 却后的原子囚禁了l s 以上 2 0 。由于这种静磁阱的磁场强度在磁场中心处 为零，在其附近磁场方向变化剧烈，原子经过磁场零点时，它的自旋取向可 能发生变化。对于自旋取向反转的原子，势场零点为势能最高点，原子会逸 出阱外。由于存在上述的“漏洞”，严重地限制了阱中原予密度的增加。 为克服它的影响，人们想出了多种办法。 、( 1 ) “t o p ”阱 时间平均轨道势阱( t i m e a v e r a g e do r b i t i n gp o t e n t i a l ，t o p ) 是在磁四极阱 的基础上再叠加一个以几m h z 旋转的小的横向磁场而形成的磁阱。旋转频 率要足够低，使原子自旋取向能够缓慢地跟随它所在点的磁场方向的变化； 但对于原子的空间运动来说，旋转频率又要足够高，使原子感受到一个时间 平均场的作用。加上小的横向旋转磁场后，使四极场势阱随时间在空间旋转， 其时间平均为一个呈抛物面势的谐振子阱，如图1 2 所示。势阱最小点附近 非零，且其变化平滑，因而能够弥补磁四极阱的“漏洞”。 4 第一章前言 图1 2 时间平均轨道势阱的形成 ( 2 ) “i o f f e ”阱 1 9 9 7 年，h u l c t 小组利用永久磁铁构成的i o f f e 磁阱实现了7 l i 原子的磁 囚禁 2 3 】。该i o f f e 磁阱是由六块柱状磁铁沿三维正交方向组合而成，它们的 磁极按图1 3 顺序放置。每块磁铁的长度为2 5 4 c m ，直径为2 2 2 c m ，每个方 向上的一对磁铁间距为4 4 5 c m 。磁铁的材料为n d f c b ，每块磁铁表面的磁 场强度约为o 5 t 。x - y 平面内的四块磁铁产生一个四极磁场，z 方向的一对 磁铁产生一个偶极磁场，总的磁场形成一个中心磁场强度不为零的i o f f e 阱。 当具有一定自旋的原子经过磁场中心时，由于磁场不为零，可以阻止原子的 逃逸。 图1 3i o f f e 阱的结构 5 第一章前言 ( 3 ) “光学塞孔”阱 m i t 的k e t t e r l e 等人利用聚焦于磁场零点的高斯光束所产生的排斥势 来克服四极阱的缺陷 2 4 】。这个光学塞由一束a r + 激光束( 5 1 4 r i m ) 形成，其功 率为3 1 5 m w ，束腰为3 0 1 x m ，它在原点使2 n a 原予的基态产生7 m h z 的光 频移势，原子会受到排斥力的作用而无法进入磁场零点附近( 激光强度最大) 的区域，于是极大地抑制了原子通过“漏洞”逃逸出去的几率。同时，由于 所用的激光频率远离钠原子的共振频率，克服了由共振光子散射而引起的加 热效应。 ( 4 ) “c l o v e r l e a f ”阱 k e t t e r l e 小组实现n a 原子b e c 的第二种静磁阱是“c l o v e r l e a f ”阱【2 5 】。 它只利用了直流电磁铁，并克服了前述三种静磁阱的缺点：t o p 阱中依赖时 间的旋转场、“光学塞孔”阱中囚禁原子云位置和形状易受光学塞位置的影 响以及永久磁铁组成的磁阱的不易改变性。他们用这种阱产生的处于b e c 状 态的原子数目比用“光学塞孔”阱提高了1 0 倍。“c l o v e r l e a f ”阱利用了反常 的缠绕方式：2 个轴向线圈分别被4 个线圈环绕，组成平面交叉结构，它们产 生径向四极场，同时附加2 个大的轴向线圈以减小偏压场。这1 2 个线圈组成 的阱允许独立和几乎正交地控制阱中3 个重要参量：轴向偏压场、轴向曲率 和径向梯度。另外附加的大线圈产生x ，y ，z 方向偏压场。允许在阱中心区域 光场和磁场精确交叠。 以上几种组态的静磁阱技术，有效地解决了普通四极静磁阱中心存在的 “原子泄漏”问题。为提高阱中原子相空间密度，实现b e c 提供了关键的技 术保证。 1 2 3 蒸发冷却技术 9 1 9 8 5 年，h e s s 首先提出对磁阱中的原子采用蒸发冷却方法的建议【2 6 】， 并于1 9 8 8 年在自旋极化的氢原子中得以实现【2 7 】。 蒸发冷却是有选择地把磁阱中能量较高的原子释放出来，然后剩下的原 子通过弹性碰撞重新达到温度更低的热平衡，如此反复不断降低原子气体的 温度。在实现b e c 的过程中，蒸发冷却是利用一个射频磁场来完成的。可 6 第一章前言 选择适当的射频场频率，使这些原子跃迁到非囚禁的自旋态而逸出磁阱，通 过把射频场频率慢慢交低，迫使更多能量较高的原子逸出磁阱。于是，阱中 原子密度和弹性碰撞几率增加，温度变低，最终的温度和相空间密度取决于 最后的射频场频率。实现蒸发冷却的关键在于：( 1 ) 极高的背景真空度，以保 证势阱有较长的囚禁时间来完成蒸发冷却过程；( 2 ) 较大的弹性碰撞截面和 较高的原子密度，以缩短重新热平衡所需的时间。 1 2 4b e c 的检测技术 9 目前观测b e c 的形成多采用共振吸收成像技术，用这种技术可以确定 原子的数目、密度、温度以及原子的空间分布。其具体过程为：突然关闭势 阱，让发生凝聚的原子云自由扩散，然后在不同的延迟时刻用共振脉冲光来 探测。由于原子对共振光的吸收，在探测光中会产生阴影区，由c c d 装置 对透射光成像，对图像进行数字化处理，可以得到原子云在每一点的光学厚 度。对由此获得的一系列飞行时间( t i m e o f f l i g h t , t o f ) 图像进行逐点校正， 以修正由探测光的偏振度和饱和效应引起的偏差，可以得到扩散原子云的二 维速度分布( 注：飞行时间测量方法是测量冷原子温度的常用方法，它用共振 荧光方法测量距冷原子团中心一定距离处的荧光强度的时间演化，可以得到 冷原子的速度分布，由此推出温度) 。它们包含着原子的许多热力学信息，如 分布曲线下所包围面积的积分，正比于总的原子数目；在零速度附近出现的 窄特征峰，其峰值曲线下所包围面积的积分正比于处于体系基态的原子数 目；从扩散原子云的平均半径和扩散时间可以得到原子的平均扩散速度和平 均能量等特征参量。由于利用共振光探测，原子会强烈地散射共振光子，从 而引起对原子的加热效应，因此这种共振吸收成像技术对形成的b e c 有一 定破坏性，寻求一种无破坏性的b e c 探测手段也是目前研究中人们积极探 讨的热点问题之一。 1 3b e c 的理论研究 1 3 1g r o s s p i t a e v s k i i 方程 在实际的多粒子体系中，常常需要考虑相互作用的影响，探索有相互作 7 第一章前言 舡p 3 州f ) 瞄俨+ 吃” ( 1 1 ) + 三2p 3 材3 f 妒+ ( 尹) 矿+ ( ，) 矿( p 一，1 ) 矿p ) 矿( 尸) 其中，矿( 芦) ，矿( 尹) 分别为玻色场的产生算符和湮灭算符。y ( p 一尸1 ) 为两 二声戮审力咖w 眇m 印) ( m ，= l 一嘉v 2 吲咖p 3 酬螂舻帅( 叫懒) ”一。 对于相互作用势矿妒一尸i ) ，在稀薄冷原子气中只考虑两体碰撞的影响，可, t 1 7 矿( 卜尸i ) = 等铽尹一尸1 ) ；驴( 卜， ) ， ( 1 3 ) 其中g ：! 堕，口为s 波散射长度。在该作用势下，运动方程( 1 2 ) 可以表 示为 腩昙力= _ 芸v 2 + 吃( 咖舻啊) 婚力批，) ( 1 t ) 在稀薄气体的b e c 中，凝聚体的玻色场算符和非凝聚体的玻色场算符 可以分开处理 2 8 】，即 驴( ，f ) = o ( f ，f ) + 驴( 尹，) ， ( 1 1 5 ) 其中第一项复函数o ( i ，f ) 是表示凝聚体的部分，称为凝聚体波函数，定义为 场算符的平均值( 尹，f ) = 舻( f ，f ) ) ，它的模就是凝聚体的密度 8 第一章前言 ( 芦，) = p ( 尹，r ) 1 2 ，是描述整个体系的一个序参量。矿( 尹，r ) 是一个非常小的 量，且( ( 尹，f ) ) = o ：艚j - ( 1 5 ) 式代入( i 4 ) 式，并对等式左右两边取平均得到 腩昙咿) = - 嘉v 2 + 嘶) + g ( z ( 坩) 州i 印) | 2 ) 毗f ) ( 1 6 ) 在零温极限下，一般可以忽略非凝聚体部分的影响，由上式可以得到凝聚体 波函数满足的g r o s s p i t a e v s k i i 方程 历昙邮，f ) = - 嘉v 2 + ( 卟g p ( 和) 1 2 卜力 ( 1 7 ) 它是由g r o s s 和p i t a e v s k i i 各自独立提出的 2 9 3 1 。假设凝聚体的波函数为 m ( f ，t ) = p ) c x p ( 一0 酣，壳) ，代入( 1 7 ) 式得到不含时的g - p 方程 i 一丢v 2 + ( 咖g i 孵) | 2 忙) = 删( n ( 1 8 ) 其中为系统的化学势。方程( 1 8 ) 式为非线性薛定谔方程，求解解析解是比 较困难的，通常可以通过数值求解或能量变分的方法确定出系统的基态波函 数。另外，由( 1 8 ) 式还可以看出基态波函数与凝聚粒子数，外势以及相互作 用形式有密切关系。如图1 4 所示 3 2 】，从图中可以看出，对排斥( 吸引) 相互作用，凝聚体中心密度变的扁平( 尖利) ，尺度增加( 减小) ，原子被推 向边缘( 中心) 。这时，量子压强o c v 2 n ( 尹) ，相对于相互作用能而言，只 在接近边界的地方才有较大的贡献。在边界以内，可以忽略量子压强的贡献， 得到粒子密度的表达式为 甩( 芦) = 眵( 尹) 1 2 = g 1 p 一( 尹) ( 1 9 ) 这里，化学势大于囚禁势，即 吃扩) 。在该区域p j , j i - ，即= 0 。这就是所 谓的t h o m a s f e m f i 近似。 9 第一章前言 图1 4 零温时，数值求解得到的球对称凝聚体波函数。左( 右) 图为口 0 ( ( 7 - o ( 2 1 6 ) 考虑到闭道后，在上面公式中引入了决定开道中态矢量定态解的有效势能 c 0 = u 0 + 日0 。下面主要就求解方程( 2 1 6 ) 以确定散射长度来展开讨论。 在知道有效势能0 后，求解散射长度的一个有用的方法是计算r 算符 的l i p p m a n n - s e h w i n g e r 方程。其表达式为： t = + g o t ， ( 2 1 7 ) 这里g o = ( e h o + 岱) - 1 为自由传播子一旦r 算符得以求解，在低能极限下， 散射长度可由如下方程得到： 竽= ( h o l t i t 专o ) ， ( 2 1 8 ) 朋 1 6 第二章超冷费米气体研究的新进展 其中k 为粒子间的相对波矢。 通过算符分析，可以证明方程( 2 1 7 ) 可进一步写为： t = t l + ( i 一g o 厂嘞( 1 一o o u 驴) - 1 ， 这里五由下式给出： t 、= h j p p + u 叩g o t , ( 2 1 9 ) ( 2 2 0 ) 对于方程( 2 2 0 ) ，一旦知道开道中的势能c o ，人们已有非常标准的办法来求 解正。如和相比是更高一阶的相互作用，故而忽略更高阶近似下，( 2 1 9 ) 中的近似为，在这种接近似下，丁矩阵为 ( i t l 七) = ( ) + ( 忌；u p e , - i n ；a k ；u ，+ ) ， ( 2 2 1 ) 上式中i 七；c o ，+ ) = ( 1 一g 0 c o ) 。1 f k ) ( 这里加号表示l 七；【，+ ) 包含出射波) ， ( 七；u ，- i = o 时，由公式( 2 1 8 ) 和( 2 1 9 ) 可 以得到 4 z h 2 a ：4 z 炉a p + 七；u p v ，一1 璐i t ；，+ ) ， ( 2 2 2 ) mm 上式中a p 元全由开道中的势能函数【o 确定。上式中最后一项计算如下： ( k ；u e p ，一i 璐l 后；，+ ) 2 善( 豇一o ；u 卵，一l 坼。1 月) 如i z _ f f i + i i l 埘) ( 叫月舀陋一o ；u 即，+ ) ：v 幽塾睦= 竺坠：2 | ： e e 由此可见，当e 接近e 时，散射长度口将由于闭道的存在而强烈改变。 考虑到接近f e s h b a c h 共振处，其共振作用的束缚态能级通常只有一个。 因此可以将公式( 2 2 2 ) 进一步写为： 坐：塑盈+ 醯! 塾堡2 堡坠：些( 2 2 3 ) mm e 一 这里e 。为和e 最接近的束缚态能级。非共振散射长度除了a p + 外，还包含 第二章超冷费米气体研究的新进展 了非共振的束缚态对散射长度的贡献。 磁场f c s h b a c h 共振的关键在于通过改变磁场可以调节e e 。的大小， 从而人为地改变原子间的散射长度。假定在共振磁场e 处，= 。在这 一临界磁场附近，通过泰勒展开到一阶近似，可以得到： e 一4 ( ，k 一一t ) 一q ) ) ( b 一岛) ， ( 2 2 4 ) 这里q t ) 和q q 分别为两个不同内部态的费米原子的磁矩= 一等i 。乓 则为在共振磁场e 处，能量本征值为e 二的束缚态的磁矩。由于原子间的相 互作用，通常q t ) + 一 ) 。 将( 2 2 4 ) 代入到( 2 2 3 ) 中，可以得到 非( 盖) ， 泣z s ， 其中共振磁场宽度为 衄：窖 照担监必( 2 2 6 ) 锄壳2 如一q t ) 一一i ) 一 在实际计算中，确定眈和口涉及大量的计算。尤其是人们还不能完全从第 一原理出发得到忍和日的准确值。通常，人们需要理论和实验的密切结合， 利用实验上测得的一些重要参数来从理论上预测e 和b 的大小。 2 3 费米凝聚体的实现 近几年来，人们采用全光学囚禁与冷却方法和f e s h b a c h 共振技术实现了 费米原子的量子简并以及其超冷分子的产生，并在此基础上实现了全光型分 子b e c 。 2 3 1 分子b e c 2 0 0 3 年底，奥地利和美国的两个研究小组，利用费米子而不是玻色子分 别得到了b e c 态物质，这一巨大进步将帮助科学家更深入地了解高温超导 的秘密。 第二章超冷费米气体研究的新进展 费米子和玻色子的重大差异，体现在“自旋”这一量子力学特性上。费 米子是像电子一样的粒子，有半整数自旋( 如1 2 ，3 2 ，5 2 等) ；而玻色子 是像光予一样的粒子，有整数自旋( 如0 ，l ，2 等) 。这种自旋差异使费米 子和玻色子有完全不同的特性。没有任何两个费米子能有同样的量子态：它 们没有相同的特性，也不能在同一时间处于同一地点；而玻色子却能够具有 相同的特性。因此，1 9 9 5 年物理学家将一定数量铷和钠原子冷却后，大部分 原子变成了同样的低温量子态，实际上成为单一巨大的整体原子：玻色一爱 因斯坦凝聚态。但像“k 或6 l i 这样的费米子，即使在很低的温度下，每种 粒子必定也有稍微不同的特性。 现在，物理学家找到了一个克服以上障碍的方法。他们将费米子成对转 变成玻色子，两个半整数自旋组成一个整数自旋，费米子对就起到了玻色子 的作用，在低于凝聚温度并达到热平衡后，会自然地出现分子b e c 的现象。 以j i l a 的j i n 小组为例简要介绍一下利用钺k 费米原子形成分子b e c 的实 验。 首先，采用全光学冷却与囚禁技术实现4 哏原子的费米量子简并。然后， 将小k 气体的5 0 v ：上转变为分子4 0 k 2 【4 2 】。将处于l ，= 9 2 ，历r = 一5 2 ) 和 l f = 9 2 ，所，= 一9 2 ) 两种内部态的原子等比例地束缚在光阱中，此处厂和m ， 分别是超精细自旋及其分量。在t = 1 5 0 n k 从f e s h b a c h 共振的散射长度a 0 一侧，分子产生的探测方法是用射频分子离解谱，可以 得到分子的波函数和结合能，与理论结果完全一致。实验结果示于图2 1 ， 在磁场不同条件下用s t e m 。g e r l a c h 方法分开不同自旋态，再作激光吸收造 影，图的左方是在磁场扫掠前，显示肌，= 一5 2 ，一9 2 两种成分。在将磁场 绝热调到a 0 区后( 图2 1 中间) 看到两种成分损失过半。( 分子式造影激 光看不到的) 用射频离解得到两个原子位于小，= 一7 2 、一9 2 态。图右方显 示历，= 一7 2 成分和较强的研，= 一9 2 成分。一部分m ，= 一9 2 成分是中间图 右有的，另一部分是分子离解所释出的。重要的一点是。分子和原子在磁场 调解过程中的相互转变是可逆的。 1 9 第二章超冷费米气体研究的新进展 图2 1 磁场扫掠前( 左) 、扫掠后( 中) 、以及射频 离解( 右) 不同自旋状态的吸收造影。 最后，将帅k 气体的两个不同超精细结构态j 厂= 9 2 ，t n ，= 一7 2 ) 和 1 厂= 9 2 ，m ，= 一9 2 ) 等比例地混合 4 3 】。在1 0 m s 时间内将磁场从2 7 8 g 调到 2 0 1 5 4 ( 3 ，然后将束缚光阱撤去，令气体自由膨胀2 0 m s 后再用激光沿轴向对 分子作飞行时间吸收造影，得到分子的空间分布。由于气体是自由膨胀，空 间分布直接反映动量分布。图2 2 表明，如果从t = 1 5 4 开始调低磁场，动 量分布显示不出b e c 的存在。左图下给出动量分布的剖面图，右图是从 t = o 4 9 开始，动量分布明显显示b e c 形成，剖面显示在g a u s s 分布的本 底上叠加b e c 的动量峰。实验表明最多有8 8 的原子可以转变为分子。 - , - 2 1 j 0 - 1 0 0d1 0 02 0 0 - 峨m 嘲 图2 2 分子云的飞行时间造影在b e c 临界温度 以上( 左) 和以下( 右) 的光学密度。 第二章超冷费米气体研究的新进展 2 3 2 费米超流体 2 0 0 4 年初，j i n 小组创造了一种“对投影技术”，将费米原子对转变为 分子，通过测量分子的动量分布就能推断原子对的动量分布 4 4 1 。现将他们 的结果简述如下：4 0 k 气体的两个最低超精细结构态i 厂= 9 2 ，m ，= 一7 2 ) 和 i f = 9 2 ，脚r = 一9 2 ) 在2 0 2 1 g 发生f e s h b a c h 共振，共振宽度为7 8 g 。先将 磁场固定在口 0 ，这个“投影磁场”扫掠 的速度必须快慢得当：要慢得使分子可以形成，又要快的不致使粒子在阱中 碰撞并跑的太远，投影可以使6 0 到8 0 原子组成分子。变更初始温度，发 现有一个形巧与磁场失谐( 曰一岛) 值关系的阈值曲线。在曲线之下能观察到 动量在0 附近的分予，人们将此解释为反映费米原子对凝聚体的存在。在 口 啄”3 l e g g e t t 等人注意到当i a i 非常大时，原则上可以比电子间的平均距 离还要小。当然，i 口j a 非常大时，公式( 2 3 1 ) 不再成立。但是这一可能的趋势使 得l e g g e t t 等人建立了一个新的物理图象。尤其是l e g g e t t 等人注意到h 连 续地变化到无穷大时，b c s 理论可以自然地延拓至u b e c 的情形。 b c s 基态波函数( 2 2 8 ) 可以写为： j 甲) - - - - c o n s t 兀( 1 + 纯珏乞i ) l o ) ( 2 3 3 ) 考虑到同一单粒子态上最多只有一个费米子，上面的公式可进一步写为： i 甲) = 渤s t e x p l 纯略乞i i o ) ( 2 3 4 ) kj 定义一个玻色产生算符霹= 纯话乞 可以发现上面的基态波函数包 含了个玻色子全部处在同一个量子态的情形。这深刻表明在改变相互作 用强度时，存在b c s 超流体和玻色一爱因斯坦凝聚体之间的连续过渡。这里 t 和_ 。分别为不同自旋方向的电子数目，并讨论t = 。的情形。 为了进一步揭示b c s b e c 连续过渡过程，我们来分析系统的状态方程。 首先由粒子数守恒，我们可得到如下方程： 第二章超冷费米气体研究的新进展 借惜卜 ( 2 3 5 ) 另外，从系统的哈密顿量出发，还可以得到关于能隙的状态方程： 塑m 馈( 去一壶_ ) = 1 ， 亿。e ， ( 2 万) 3 1 2 & 2 巨j ” 一 这里砟= ( 6 万2 n tr 为费米波数。 公式( 2 3 5 ) 和( 2 3 6 ) e p 两个未知量为化学势和能隙，故而这两个方程 可以求解。其中无量纲的物理量l k ，a 则可以自然地划分b c s b e c 连续过渡 的不同区域。在弱相互作用的b c s 极限下，i k f a 专- - 0 0 。这是由公式( 2 3 5 ) 和( 2 3 6 ) ，可以得到能隙= 8 e 。2 即e x p ( 万2 砟h ) 以及化学势= 知。这和 通常的b c s 理论结果一致。当1 k ，a o o 时，可以得到- - ( , 6 3 , 0 ”2 卸蓐口 和= e b 2 + 4 7 r h 2 册t 所，这里毛= 一7 1 2m a 2 为电子对的束缚态能量。值得 指出的是，化学势中的4 万壳2 嬲t 肺正好是b e c 在t h o m a s f e r m i 近似下玻色 子间的相互作用对化学势的贡献。当l k , a 专o o 时，电子对的空间尺度为 a 显然这一空间尺度可以比电子间的平均距离小得多。这表明公式 ( 2 3 5 ) 和( 2 3 6 ) 的确可以揭示b c s b e c 之间的连续变化过程。基于这些分析， 可以很自然地划分三个区域：( 1 ) i k d “一l 为弱相互作用的b c s 超流区 域：( 2 ) 1 k p a l 为弱相互作用的b e c 区域；( 3 ) l kj 口l