（应用数学专业论文）多维模糊最优控制及其在最优停时中的应用.pdf

硕士论文 摘要 摘要 模糊性是存在于现实生活中的一种不确定性。1 9 6 5 年美国控制论专家z a d e h 提出 模糊集理论，从此拉开了模糊数学发展的序幕。2 0 0 8 年清华大学的刘宝碇教授提出模 糊过程和l i u 过程、l i u 积分和模糊微分方程的定义，并证明了股票价格服从几何l i u 过 程。基于模糊过程的定义，朱元国教授提出并研究了模糊最优控制问题，他给出了关 于模糊最优控制问题的最优性原理及最优性方程。本文主要考虑模糊最优控制问题在 多维条件下的情况。文章给出了二维模糊最优控制问题的模型，并利用动态规划给出 了最优性原理和最优性方程及其详细的证明过程；又将结论进行扩展，得到多维模糊 最优控制问题的两个定理( 即最优性原理和最优性方程) 。文章最后利用最优性方程 来解决一个最优停时问题和一个证券组合问题。 关键词：模糊最优控制、模糊过程、最优性原理、最优性方程、最优停时。 i a b s t r a c t 硕士论文 a b s t r a c t f u z z i n e s si sa l li m p o r t a n tu n c e r t a i n t y , w h i c hp l a y sa ne s s e n t i a lr o l ei nt h er e a lw o r l d f u z z ys e tt h e o r yh a sb e e nd e v e l o p e dv e r yf a s ts i n c ei tw a si n t r o d u c e db ys c i e n t i s tz a d e h o nc y b e r n e t i c si n1 9 6 5 p r o f e s s o rb a o d i n gl i uo ft s i n g h u au n i v e r s i t yi n t r o d u c e dt h e c o n c e p t so ff u z z yp r o c e s s ，l i up r o c e s s ，f u z z yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n p r o f e s s o ry u a n g u o z h us t u d i e daf u z z yo p t i m a lc o n t r o lp r o b l e ma n dp r e s e n t e da ne q u a t i o no fo p t i m a l i t y w h i c hi sc a l l e dz h u se q u a t i o no fo p t i m a l i t y i nt h i sp a p e r ，w es h a l lc o n s i d e raf u z z y o p t i m a lc o n t r o li nt h ec o n d i t i o no fm u l t i d i m e n s i o n f i r s tw ed e a lw i t ht h em o d e lo f t w o - d i m e n s i o n a lf u z z yo p t i m a lc o n t r o lp r o b l e m ，a n dt h e ng i v et h ep r i n c i p l eo fo p t i m a l i t y a n dt h ee q u a t i o no fo p t i m a l i t y t h e nw eo b t a i nt h ep r i n c i p l eo fo p t i m a l i t ya n de q u a t i o n o fo p t i m a l i t ya b o u tm u l t i d i m e n s i o n a lf u z z yo p t i m a lc o n t r 0 1 i nt h el a s ts e c t i o nw ew i l l s o l v ea no p t i m a ls t o p p i n gt i m ep r o b l e ma n dap o r t f o l i os e l e c t i o np r o b l e mb yu s i n gt h e e q u a t i o no fo p t i m a l i t y k e y w o r d s ：f u z z yo p t i m a lc o n t r o l ，f u z z yp r o c e s s ，p r i n c i p l eo fo p t i m a l i t y , e q u a t i o n o fo p t i m a l i t y , o p t i m a ls t o p p i n gt i m e i i 声明 本学位论文是我在导师的指导下取得的研究成果，尽我所知，在本 学位论文中，除了加以标注和致谢的部分外，不包含其他人已经发表或 公布过的研究成果，也不包含我为获得任何教育机构的学位或学历而使 用过的材料。与我一同工作的同事对本学位论文做出的贡献均已在论文 中作了明确的说明。 研究生签名： 如。7 年6 月 学位论文使用授权声明 溺e l f 南京理工大学有权保存本学位论文的电子和纸质文档，可以借阅或 上网公布本学位论文的部分或全部内容，可以向有关部门或机构送交并 授权其保存、借阅或上网公布本学位论文的部分或全部内容。对于保密 论文，按保密的有关规定和程序处理。 研究生签名： 刎产多月巧日 硕士论文多维模糊最优控制 1 1最优控制的发展 第一章引言 在生产过程、军事行动、经济活动以及人类的其他有目的的活动中，常需要对被 控系统或被控过程施加某种作用以使某个性能达到最优，这种控制作用就称为最优控 制。控制系统最优化问题一般分为动态最优化问题和静态最优化问题。动态最优化问 题也称为最优控制问题，静态最优化问题也称为参数最优化问题。最优控制理论已有 很长的发展历史，早在上个世纪5 0 年代初期b u s h a w 就研究了伺服系统的时间最优控制 问题，随后l a s a l l e 发展了时间最优控制理论，从而使得最优控制理论成为现代控制理 论的一个重要分支。1 9 5 3 - 1 9 5 7 年间美国学者b e l l m a n 创立了“动态规划理论，发展了变 分学中的h a m i l t o n - j a c o b i 理论。1 9 5 6 - 1 9 5 8 年间前苏联学者d o n t r y a g i n 等创立了“极大值 原理 。这两种方法成为了目前最优控制理论的两个柱石。时至今日，最优控制理论的 研究无论在深度上和广度上都有了很大的发展，可以说最优控制理论仍是一个活跃的 科学研究的领域。例如，发展了对随机系统、分布参数系统、大系统的最优控制理论 的研究。 现实生活中许多系统里都带有不确定性，特别地，有些具有不确定性的系统可 以由i t o 随机微分方程来描述，为了解决这些问题，上世纪六七十年代科学家们开始 了对随机最优控制的研究。d y n k i n 【2 】研究了马尔可夫过程的最佳选择停止时刻问 题。m e r t o n 【1 9 】研究了随机最优控制在经济中的应用，j e n s e n 【6 】研究了风险理论中的 最优停止理论问题。随后，基于布朗运动过程和随机微分方程的最优控制及其在经济 中的应用也应运而生。近年来i t o 方程在金融理论中获得了广泛的运用，关于欧式期权 定价的著名的b l a c k - s c h o l e s 公式的提出给确定衍生证券价值给与了很大的帮助。 然而，不确定现象的表现形式是丰富多彩的，除了随机性，模糊性是存在于现 实生活中的另一种不确定性。1 9 6 5 年美国控制论专家z a d e h 提出了模糊集，创立了模 糊数学，接着k a u f m a n n 于1 9 7 5 年首先提出了模糊变量，z a d e h 2 6 】中模糊变量被定义 】 第1 章引言硕士论文 为模糊实数集。为了建立一套完整的模糊数学理论，n a h m i a s 于1 9 7 8 年提出了三个公 理来定义可能性空间( p o s s i b i l i t ys p a c e ) ，模糊变量被定义为从可能性空间到实数 集的函数。l i ua n dl i u 【1 6 】为了提出一个具有自反性的模糊变量测度，于2 0 0 2 年提 出了可信性测度，并提出了5 条公理来定义可信性空间，从而给出了可信性测度的 公理化体系，建立了可信性理论。2 0 0 7 年刘宝锭对可信性测度及可信性理论进行了 完善。从而将模糊变量重新定义为从可信性空间到实数集的函数。对应于随机过程 和布朗运动，l i u l o 给出了模糊过程和l i u 过程、l i u 积分和模糊微分方程的定义。 这为解决具有模糊性的动力系统创造了理论条件。为了解决具有模糊过程的最优控 制问题，z h u 【2 8 】首先提出并研究了模糊最优控制问题，他运用动态规划来处理模 糊最优控制问题，并基于b e l l m a n 的最优性原理给出了模糊最优控制的最优性原理及 其证明。同时还证明了模糊最优性问题中的最优性方程，也称为z h u 最优方程。另 外，q i n 【2 2 】和q i n 【2 3 分别提出并研究了无限空间上的时齐的模糊最优控制问题；以及 模糊控制系统在生产与应用中的规划问题。p e n g 【2 0 】研究了模糊股票市场的可信性停 止问题，给出了一些基于模糊的股票模型的可信性停止规则。 在很多情况下，一个系统中往往有不止一个不确定因素出现。鉴于此，本文主要 考虑模糊最优控制问题在多维条件下的情况。首先，文章给出了二维模糊最优控制问 题的模型，随后给出最优性原理和最优性方程及其详细的证明过程；并将结论进行扩 展，得到多维模糊最优控制问题的两个基本定理。文章最后运用最优性方程解决了金 融投资中的一个最优停时问题和一个证券组合问题。 1 2 本文的主要内容 2 0 0 8 年，z h u 2 8 】研究了模糊最优控制问题，并用动态规划处理模糊最优控制问题 提出两个重要定理，即最优性原理和最优性方程( 也称为z h u 最优性方程) ，由这篇文 章受启发，我们考虑模糊最优控制问题在多维条件下的情况，也称为多维模糊最优控 制问题。 2 硕士论文多维模糊最优控制 本文的其他章节作如下安排：第二章为模糊最优控制问题的理论基础，首先回顾 可信性理论及模糊过程的相关内容，包括可信性测度，模糊变量的定义，模糊变量的 期望的定义及其相关性质定理；其次介绍模糊过程和l i u 过程的定义，以及标准l i u 过 程的定义和模糊微分方程的概念，最后介绍模糊最优控制的模型，以及主要定理公 式。 第三章首先给出二维模糊最优控制问题的模型，然后给出在二维条件下的最优性 原理及最优性方程，并给出了详细的证明；随后将文章的主要结论进行推广，给出多 维模糊最优控制问题的模型及两个定理。 第四章的内容主要是运用最优性方程解决了一个金融投资中的最优停时问题和一 个证券组合问题。 3 第2 章预备知识 硕士论文 第二章预备知识 2 1可信性测度与模糊变量 我们首先回顾一下可信性理论的一些知识。可信性理论是建立在模糊测度一可能性 测度的基础之上的，下面我们先给出可信性理论的公理化定义： 定义2 1 1 仁ia n dl i up t 胆z o 是一个非空集合，于( e ) 是e 上的幂集，c r a ) 表 示某个模糊事件a 出现的可信性。 公理1 c r 0 = 1 公理2 c r a c r b s acb 公理3 。c r y 自对偶的，即c r a ) + c r a 。) = 1 对任意的a 于( e ) & r 4 c r u a i = s u nc r a ) 对任意的 a ) 当c r a 】 0 5 定义2 1 2 弘i 铭a n dl i u ? 形没e 为非空集合，伊( e ) ) 0o 的幂集，如果c r 在于( e ) 上满 足四条公理，则称为可信性测度。 定义2 1 3 仁i 让a n dl i u 归刚设e 为非空集合，于( e ) ) 0 0 的幂集，且c r ) o w i $ 性测度。 则三元组( e ，于( e ) ，c r ) 称为可信性空间。 定理2 1 仁i u 口夥服定e 是一个非空的集合，于( e ) 是e 上的幂集。c r 是一个可信性 测度，则对任意的a 于( e ) ，有 0 c r a ) 1 定理2 2 仁i u 肛剐可信性测度具有次可加性，即 4 c r aub ) c r a ) + c r b ) 硕士论文多维模糊最优控制 定理2 3 仁l u 口彩服定e 是一个非空的集合，并且于( e ) 是e 上的幂集，c r 为定义 在于( e ) 上的可信性测度则有 s u p o r e 0 5 ， 0 e c r 0 ) + s u pc 4 e = 1 ，如果c r e ) 0 5 口矿 定义2 1 4 仁i u 口夥服定是一个定义在可信性空间( e ，于( e ) ，c r ) 上的模糊变量，那么 它的隶属函数可由可信性测度给出，即 u ( x ) = ( 2 c r = z ) ) a1 ，z 驼 注1 如果模糊变量的隶属度函数是p ，那么对于任意的集合bc 驼， c r b = 互1 ( 霉s u b p p ( z ) + 1 一霉s u b p 。p ( z ) ) 定义2 1 5 仁ia n dl i u 口红服敲是从可信性空间( e ，于( e ) ，c r ) 到实数集的一个函 数，则称是一个模糊变量。 定义2 1 6 仁i u 肛观膜糊变量被称为 ( a ) 非负的，如果c r o ) = o ； ( b ) 正的，如果c r o ) = o ； ( c ) 连续的，如果c r ( = z ) 是z 的连续函数； ( d ) 简单的，如果存在一有限的数列x l ，x 2 ，z m ) 使得 c r x l ，x 2 ，z m ) = o ； ( e ) 离散的，如果存在可数数列 z l ，x 2 ， ，使得 c r x l ，专x 2 ，) = 0 5 第2 章预备知识硕士论文 定义2 1 7 假定f 是一个模糊变量，那么的期望值定义为 ，+ ，0 e 【刳= c r r d r 一c r r d r ， j 0j 一 只要上面的积分至少有一个是有限的。 若是一个非负的模糊变量，则它的期望为 f + o o 驯刳2 上c r _ r 定义2 1 8 若是一个模糊变量且有有限的期望值e 则f 的方差定义为 y 【纠= e ( 一e ) 2 】， 只要上面的积分至少有一个是有限的。 定义2 1 9 设和叼均为期望值有限的且独立的模糊变量，则对任意的实数a 和b ，我 们有 e 【口+ b v 】= o e 陪】+ b e r 定理2 4 胁钍2 剐设是一个模糊变量，它的隶属函数p ) 是 o ，+ o o ) k _ c j 垂t 减的并 且可积的偶函数，且有肛( o ) = 1 则有 e 。+ 蜒2 】= 互1 ，f 。+ o op ( z ) ( a + 2 b x ) d z 一2 1 _ ，f 。op ( z ) ( a - 2 b x ) d z ( 2 1 ) 如果a 0 ，b 0 ，或者a 0 ，b o ； e 【。+ 蜒2 l = 三z 勘p ( z ) ( a + 2 b x ) 如一互1 儿f + o o p ( z ) ( 。一2 k ) 如 ( 2 2 ) 如果n 0 ，b 0 ，这里铷= l o i ( 2 ) 6 硕士论文多维模糊最优控制 2 2 模糊过程和l i u 过程 对应于随机过程和布朗运动，l i u 1 3 给出了模糊过程和l i u 过程、l i u 积分和模糊微 分方程的定义。这为解决具有模糊性的动力系统创造了理论条件。为后面的工作作准 备，我们先列出模糊过程以及l i u 过程的相关定义和定理。 2 2 1 模糊过程 定义2 2 1 仁l 牡l 钐，帔t 是一个指标集，并设( e ，9 ，c r ) 是一个可信性空间模糊过程 就是tx ( e ，9 ，c r ) 到实数集的一个函数。 定义2 2 2 仁i t 口刚称模糊过程五是有独立增量的，如果对任意的时f q t o t l 0 是同分布的模糊 变量。 定义2 2 3 仁i 让肛o ) 称模糊过程g ；为l i u 过程，如果 ( i ) c o = 0 ， ( i i ) c ： 有固定的和独立的增量， ( i i i ) 任二g + t g 是正态分布模糊变量且期望值为以，方差为盯2 t 2 ，且它的隶属函数是 出冲( 1 + 唧( 等) ) ，z 哦 系数e 和盯分别称为扩散系数和漂移系数。称l i u 过程为标准l i u 过程，如果e = 0 且口= 1 l i u 过程的作用类似于布朗运动或者维纳过程。 定义2 2 4 仁i u 口o ) 若a t ，i = 1 ，2 ，mj 为l i u 过程，则称 g = ( c t t ，q t l 一，) 7 第2 章预备知识硕士论文 是一个m 维的l i u 过程。 特别地，一个m 维的l i u 过程g = ( q t ，q 一，) 称为标准的m 维l i u 过程， 如果对任意的i = 1 ，2 ，n ，c ：f t 都是标准l i u 过程。 2 2 2 模糊微分方程 定义2 2 5 仁i u 卢9 臌c t 是一个标准l i u 过程，和g 是给定的函数。则称 d x t = i ( t ，x , ) d t + g ( t ，x t ) d c t 为模糊微分方程。对同一个t 来说满足上式的解五是一个模糊过程。 8 硕士论文多维模糊最优控制 2 3 模糊最优控制问题 k = = 蔓。 p = f t ，= 2 z j ( t ，。) = 8 u pe 。+ 。，( 咒，。，s ) d s + j ( t + a t , x + a x t ) ， 第2 章预备知识硕士论文 定理2 6 恸让2 驯屈优性方程设l 厂( t ，x ) 在 o ，列xr 上二次可微。则有 - g t ( t ，x ) = s u p ，( z ，d ，t ) + 厶( 亡，z ) p ( z ，d ，t ) ) d 这里的最优性方程也被称为z h u 最优性方程。 注1 最优性方程给出了一个求最优值的必要条件。如果方程有解，那么最优决策和目 标函数的最优值是确定的。在方程有解的前提下，如果目标函数，是凸函数，那么方 程将有一个极小值；如果目标函数，是凹函数，那么方程将有一个极大值。我们注意 到边界条件是，( z 蜘) = g ( 坼，t ) 。 1 0 硕士论文 多维模糊最优控制 第三章多维模糊最优控制问题 多维模糊最优控制问题，就是一个被控系统或被控过程中有两个或两个以上不确 定因素出现。这种情况下要选择最优的决策使得关于某个模糊过程的目标函数达到最 优，就要求我们将每一个相关的因素都考虑在内。 3 1二维模糊最优控制问题 下面我将给出二维模糊最优控制问题的模型，同时给出两个定理及其证明过程， 这里设q = ( a t ，岛t ) 是一个二维标准l i u 过程。考虑下面的二维模糊最优控制问题： 加s u 。p em f ( x 枷) d s + g ( 赢t ) s t ( 3 1 ) d x l 。：肛l ( 克，d ，s ) d s + 口r 1 ( 咒- - - ) ，d ，s ) d c l j d x 2 。：舰( 定，d ，s ) d s + c r 2 ( 宠，d ，s ) d c 2 。，x t ：z 衰：( 墨。，如) 是一个二维状态向量。且a 。与c 是两个独立的标准l i u 过程。可以 得到以下的公式： 定理3 1 1 对任意( t ，回【o ，t ) r 2 ，和t 0 ，t + a t 0 ，有 利用泰勒展式可得 及 件出，( 文。，。，s ) d s = ，( 磊。，t ) a t + o ( 力 j + a t ，童+ 交t ) ：j ( t ，习+ 以( 亡，习亡+ 五。( t ，习磁+ 以：( t ，司恐 ( 3 5 ) + 厶。霉，( t ，回文 + 五。奶( t ，回文；+ 五，t ( t ，习x l t ( 3 6 ) + 五：t ( t ，司a x 2 t + 五，却( t ，习x 1 a 恐+ o ( a t ) ， 加s u 。p e 旷府枷) d s + 拙，：- - - , ( 3 7 ) 把( 3 5 ) 式和( 3 6 ) 式带入方程( 3 7 ) 式，可得 0 = s u p ，( z ，d ，t ) a t + 以( 亡，回a t + e 【以。( t ，劝a x l + 以。( t ，司a x 2 d + 互1j z 。z ，( t ，劝文；+ 丢以。z 。( 亡，回文；+ 五。t ( 亡，劝x 。亡 ( 3 8 ) + 厶。( 亡，司a x 2 t + 五。z 。( t ，习a x l a x 2 】- t - d ( 亡) ) 设是满足a x l = + p 1 d ，t ) a t 的模糊变量，7 是满足恐= 刀+ p 2 ( 磊d ，t ) a t 第3 章多维模糊最优控制问题 硕士论文 的模糊变量。m ( 3 8 ) 式可知 0 = s u p 【，( 磊d ，t ) a t + 五( t ，劝a t + 驯五。( 亡，劝( + p 1 ( 武d ，t ) a t ) d + 五。( 亡，囝( 叼+ p 2 ( z ，d ，t ) t ) + 去以。z 。( t ，劝 + p 1 ( z ，d ，亡) 亡) 2 + 互1 五。霉。( 亡，动( 刀+ 助( td ，亡) t ) 2 + 以。t ( 亡，固( + p 1 ( z ，d ，) t ) t + 以。t ( t ，司( 7 7 + 舰( z ，d ，t ) a t ) a t + 五。( 亡，劝( + p l ( 磊d ，亡) t ) ( 叩+ 肛2 ( z ，d ，t ) a t ) 】 + d ( 亡) ) = s u 。p f ( z ，d ，亡) t + 巩( 亡，z ) 。+ 五( 。，习p 1 ( 五d , t ) a t + , i x 。( ，回肛2 ( z ，d ，t ) a t + e 丢以，茹。( t ，回2 + 互1 以：z 。( 亡，司叩2 + ( 以。( 亡，劝+ 五。z 。( 亡，回p ( z ，。，亡) 亡 + 以。$ 。( t ，回p 2 ( z ，d ，t ) a t + 五。t ( ，z ) 亡) 毒+ ( 五。( 亡，固+ 五。z 。( 古，固化( 五d ，t ) a t ) + 以。z 。( 亡，习p 1 ( z ，d ，t ) a t + 五：t ( t ，动幼+ 厶，茁。( 亡，司f 纠+ o ( a t ) = s u p ，( 丘d ，t ) a t + 以( t ，回a t + 五。( t ，回p l ( 斌d ，t ) a t d + 以。( 亡，回p 2 ( z ，d ，t ) a t + e f o + 蜒2 + c t l + 钟+ e f 叩】+ o ( a t ) ，( 宰) 这里n = 五。( t ，劝+ 五。z 。( 亡，习p l d ，t ) a t + 以。霉。( 亡，习p 2 ( z ，d ，t ) a t + 以。t ( ，劫烁c = 以。( t ，回+ 厶。$ 。( 亡，回p 2 ( td ，t ) a t + j z 。z ：( t ，回p 1 ( z ，d ，t ) a t + 五：t ( 亡，2 ) a t 、 d = 1 2 j z ：茁。( 亡，劝及e = 五。霉。( t ，劝。根据模糊微分方程 d x l 。：p 1 ( 定，d ，s ) d s + 口1 ( 克，d ，s ) d c l 。 6 = 互1 五，z 。( t ，司、 抛。：p 2 ( 定，d ，s ) d s + c r 2 ( 定，d ，s ) d 伤。， 可知= a x l 一p 1 ( z ，d ，t ) a t 和叩= a 恐一p 2 ( t d ，t ) a t 为独立的正态分布模 糊变量，它们的期望为e 吲= e 【纠= 0 ，方差分别为y 【翻：盯 ( 宠，d ，s ) a t 2 和 1 4 硕士论文多维模糊最优控制 v i i i = 露( 定，d ，s ) a t 2 因为 显然有 从而可得 坳i 掣( “n ， 一訾( “扔卵訾舻+ 冉 + ( 6 一粤) 2 + c ，7 + ( d 一訾) 刀2 + k 2 + c ，7 + 咖2 + e 毛t 叼+ ( 6 + 訾) 2 + c ，7 + ( d + 粤) 矿 为方便，我们简记盯= 盯d ，t ) 。令 i a i 7 r z 7 r i n i 一翻一2 丽一2 礴 当口o ，6 一粤o ，或者口o ，6 一粤。时，由定理( 2 4 ) 得 e pc 6 一抄 = 佃c 川c 6 一铷c 1 + 唧c 彘圹1 如 一f o x 。( 口_ 2 ( 6 一粤( 1 + 唧( 志) ) - 1 如 ：掣r 雨1 蚺一1 2 ( b - 訾) a 2 a t 2 z 幻去如 + 半厂雨z 如 = o ( a t ) 1 5 第3 章多维模糊最优控制问题硕士论文 当。，6 一訾 o 时，则有 e pc 6 一秘 = z “c 。删6 一铷c 1 一c 志扩1 如 一z 佃( 删( 6 一) ( 1 + e x p ( 志) ) - 1 如 、信。仃1a t 2 = o ( a t ) 丌r 。0 雨1 蚺半f 雨z 如 名 ， 订孑心 而当6 = 粤时，e 。毒+ ( 6 一粤) f 2 = e 【n 刳= 。e 陈】= 。 从而p - l f 导 同理可得 从而得到 卟+ ( 6 一訾) 叫= e 卜( d 一訾) 小 e p ( 6 + 粤) 叫= e b + ( d + 粤) 叩2 = o ( a t ) = o ( a t ) ， = o ( a t ) ， = o ( a t ) e + ( 6 一訾) 2 + c 叩+ ( d 一粤) 叼2 = e n + ( 6 一訾) 2 + ec q + ( d 一譬) 叩2 = 。( t ) ， e a + ( 6 + 粤) f 2 + c 叩+ ( d + 譬) 叼2 = e 。+ ( 6 + 訾) 2 + e c 叩+ ( d + 粤) 叼2 = 。( t ) 所以 e 【n + 6 2 + c 7 7 + d 7 7 2 + e 7 7 】= o ( a t ) ( 3 9 ) 1 6 学 + 硕士论文 多维模糊最优控制 把( 3 9 ) 式代入上面的( 车) 式，从而得到结论，即 - j , ( t ，回= s u p ，( 磊d ，t ) + 五。( 古，习p 1 ( 磊d j 力+ 五：( 亡，劝r e ( i , d ，亡) ) d 注1 我们称定理( 3 1 2 ) 中得到的式子为最优性方程同样地，这里的最优性方程给 出了一个求方程最优值的必要条件。如果方程有解，那么最优决策和目标函数的最优 值是确定的在方程有解的前提下，如果目标函数，是凸函数，那么方程将有一个极 小值；如果目标函数，是凹函数，那么方程将有一个极大值。我们注意到边界条件是 了薪) ：g ( 焉，t ) 3 2多维模糊最优控制问题 作为一般情况下的推广，下面简单叙述一下模糊最优控制问题在多维条 i e e - f 的情况及基本公式。首先假设定= ( 五t ，恐t ，) 是一个n 维状态向 量，g = ( 仍t ，c u ，g t ) 为竹维标准l i u 过程，且g t ，i = 1 ，2 ，死是相互独立 的l i u 过程。考虑下面的模糊最优控制问题： f j ( t ，习三s 挚ei f t ，( 文。，。，s ) 幽+ g ( 文t ，刁 s t ( 3 1 0 ) l d 扎= r e ( x 一, ，d ，s ) d s + 吼( 定，d ，8 ) d c 。江1 ，2 ，竹定：z 下面给出模糊最优控制问题在多维情况下的基本公式。 定理3 2 1 对任意( 芒，劝【0 ，t ) 形，和t 0 、亡+ a t 0 ，b 0 ，c 0 ，g 1 0 ，观 0 ，肛0 ，入 0 是折扣因子。f 表示这个模型 中的最优期望值。i 哀i = x x ? + y 、乏：( 五，k ) 是二维状态向量，g ：( ，) 是 二维标准l i u 过程。根据最优性方程，我们有 这里 一b = m 。i n e - - ( 。7 i 司2 + 6 i 司d + c d 2 ) + p ( z 五+ 可以) ) = m 。i n l ( d ) 最优策略d 满足 因此有 2 0 l ( d ) = e - a 1 - ( 0 7 - i 司2 + b l z - 3 d + c d 2 ) + u ( z j 。+ 可山) 1 d l ( 矿d ) = ( h i e + 2 c d ) e - x * = o b 一打砷弘警 d - b 2 l 司c + 警) 州z 厶w ) ， 硕士论文多维模糊最优控制 化简得 我们假设 可以得到 将上面的式子带入 并化简可得 毋打一阡一警州z 五+ 蚓e 打 f o ，刁= 七i 司2 e 一打= k ( x 2 + y 2e 一打 b = 一入七l 司2 e 一打，尼= 2 k x e 一打，日= 2 k y e h ( 4 4 ) 母打一阡一譬州z 五+ 蚓e 打 k , ) t = a t - 五b 2 + 2 札 这里的参数k ( 选择k 使得f ( - r ，刁0 ) 是 七= 面4 a c f t - 面b 2 至此，下一步我们的目标是寻求最优停时丁。使得 j ( z 3 - m r i n 蕊4 a c t - - b 2 ( x 2 + y 2 ) e 珈 这里设q ( r ) = 五4 a r c t 了- - 面b 2 ( x 2 + y 2 ) e 一打，并关于q ( 7 ) 对丁求偏导。可得 气等( x 2 + y 2 ) e 如， 2 1 第4 章实际运用硕士论文 最优停时7 。满足 丝= 掣( z 2 + 可。) e 卉：o 4 c 入一8 c “ r 。4 厂 即7 - + = 4 a 五c + 丁a b 2 ，并且当7 ( o ，7 - + ) 时，q ， 0 ，即q ( 7 - ) 在( 丁，t ) 上递增。所以q ( 7 ) 在7 _ + 时取得最 小值。从而得到最优停时丁4 为 7 + ：1 4 a c ：+ 丁a b 2 4 2 投资组合问题 我们假设一投资者在t 时刻对两种金融投资项目的市场投资额分别为x 。和恐。 且墨t 和恐t 随时间的改变二者之间是相互影响的。该投资者将占x n 的p 1 部分的资 金用于风险资产投资，x 1 t 的剩下部分用于无风险投资( 比如存入银行或者购买国券等 等) 。与此同时，该投资者将占恐。的p z 部分资金用于另一项风险投资，同样将如 的剩下部分用于无风险资产投资。假设这里的无风险资产产生的收益率均为b 。这里为 简化计算，我们假设两种风险资产平均收益率均为p 。另外它们的风险收益率分别为 盯1 和g 2 也就是说，这两种风险资产赚取的回报如下：机t = # d t + 以d g ti = 1 ，2 这里g = ( q t ，c 2 t ) 是二维标准l i u 过程。这里不考虑消费问题( 我们假设该投资者已 经预留了消费费用) ，该问题可归为一个投资组合选择问题，并描述为下面的模型： 加m 弛a 砌x e e 堆丛掣d 刁 8 t d x l t ：【6 ( 1 一p 1 ) + 即1 】x l t 出+ 盯1 p 1 x - - - 4 d g t d x 2 t = 【6 ( 1 一p 2 ) + 助】杨t 毗+ 眈p 2 _ x d c ：t ， ( 4 5 ) 这里口 0 ，0 a 1 。利用文章中给出的最优性方程，可得 一以= 等a x , p 2p 地掣a + 【6 ( 1 咱) + 酬砒。+ 【6 ( 1 咱) + 触k 以。) p lii 2 2 = m a x l 1 ，p 2 ) ， p 1 ，p 2 硕士论文多维模糊最优控制 这里l ( , p l ，p 2 ) 表示上式花括号里的内容，最优投资比例国1 ，沈) 满足 即有 因此 o l ( p l ，p 2 ) o p l o l ( p t ，p 2 ) 慨 = e - p t ( p l z l ) 一1 。l 一( b 一弘) z l 以l = 0 ， = e 一肛慨z 2 ) a 一1 现一( b p ) z 2 五2 = 0 ， p = ”p ) 厶。卅由i 1 ； 仇= ( 6 一p ) 五：e 成 由云1 ， 一以= 妄e 一肛 ( 6 一p ) 以。刁刍+ ( 6 一p ) 五。e 肛】击) + 6 ( z - 五。+ z 2 五。) 呻1 ( 6 一p ) z 1 五l p 2 ( b p ) z 2 五2 从而有 一以e 肛= x 1n ( 6 一p ) 以，e 肛 击+ ( 6 一p ) 五。e 肛】击) + 6 ( z t 五。+ z 2 五。) e 肛 一( b - p ) 五，e 肛 ( 6 一p ) 以。e 肛】由一( b - p ) 厶：e 肛 ( 6 一p ) 五。e 卢1 由 = x 1 1 ) ( 6 一p ) 刍 ( 五。e 肛) 击+ ( 五。e 肛) 击 + 6 。五。+ z 2 厶。) e 肛 这里我们猜想j ( t ，固= 后( z + z ) e 一肛，其中z = ( x l ，x 2 ) ，显然有 以= 一七p ( z + z ) e 一肛，五。= 七a z 一1 e 一肛，以。= 七入z ；一1 e 一肛， 将其代入上面的式子，可得： k z ( z + z ) = 天1 1 ) ( 6 一p ) 矗 ( 七入z 一1 ) 击+ ( 七a z 一1 ) 刍 + 肋入( z + z ) = ( 妄- 1 ) ( 6 刊击( 刍铷a k 埘) ， ( 4 6 ) ( 4 7 ) 第4 章实际运用硕士论文 化简得 也可以写做为 从而可得 卢一6 a = ( 1 一a ) ( 6 一弘) 击( 七a ) 南 ( 七a ) 由2 瓦而- b a ( 七入) = ( 4 8 ) 将( 4 8 ) 式分别代入( 4 6 ) 式和( 4 7 ) 式，得到最优的投资于风险资产的比例如下： p 1 = 【( 6 一p ) 五。】由石1 = ( 6 一p ) 酬由， 沈= ( 6 一p ) 五。】由云1 = 【( 6 一p ) 酬由 从最后的结果，我们也可以看出，在某些特殊情况下，当两种风险资产的平均收益率 相同时( 而它们的风险不一定相同) ，为了获得最大收益，投资者对它们投入的投资 额律律相同。 2 4 硕士论文 总结 总结 本文的开始回顾了最优控制发展的历史；随后叙述了模糊最优控制问题的理论基 础，给出了可信性理论及模糊过程的相关内容，并介绍了模糊最优控制问题的模型。 本文的主要工作是研究了多维情况下的模糊最优控制问题。主要目的就是探讨模糊最 优控制问题模型中最优值的求解方法。遵从特殊到一般的学习原则，首先，本文给出 了二维模糊最优控制问题的模型，随后得出两个基本定理公式( 即最优性原理和最优 性方程) 并给出了详细的证明过程；其次，给出了一般情况下的多维模糊最优控制模 型以及两个定理；最后，运用最优性方程解决了一个最优停时问题和一个证券组合问 题。 致谢硕士论文 致谢 在此论文完成之际，我要向关心支持我的导师、家人，同学和朋友表示衷心的感 谢。 首先要感谢我的导师朱元国教授，感谢朱老师对我的精心培养和悉心指导。朱老 师工作上严谨、务实，学术上孜孜不倦，生活中平易近人，使我受益匪浅。耐心地传 道、授业、解惑，使我知识面的广度和深度得到了很大地扩展。使我不仅学到了一定 地专业知识，还学到了乐观积极的人生态度，为人做事的原则。对朱老师两年来在学 业和生活上给予我的关心和帮助表示最衷心的感谢。 其次，感谢我的同学，尤其是舍友和同门们两年来给予我的关心和支持以及倾情 的帮助，在此一致表示衷心的感谢! 最后，感谢我的父母，整个研究生学习期间无不凝聚着他们关心和牵挂，他们的 鼓励和关心对我顺利完成论文起了重要的作用。 2 6 硕士论文 参考文献 参考文献 【1 】d i x i ta k a n dp i n d y c kr s ，i n v e s t m e n tu n d e ru n c e r t a i n t y , p r i n c e t o n ：p r i n c e t o n u n i v e r s i t yp r e s s ，v 0 1 1 ，1 9 9 4 【2 】d y n k i neb ，o p t i m a lc h o i c eo ft h es t o p p i n gm o m e n to fam a r k o v ，d o k l a k a d n a u k s s s r ，v 0 1 1 5 0 ，2 3 8 - 2 4 0 ，1 9 6 3 【3 】f l e m i n gw ha n dr i s h e lr h ，d e t e r m i n i s t i ca n ds t o c h a s t i co p t i m a lc o m p a n g ，n o w y o r k ：s p r i n g e r - v e r l a g ，v 0 1 1 ，1 9 8 6 ( 4 】g a oja n dg a ox ，an e w m o d e lf o rc r e d i b i l i t i co p t i o np r i c i n g ，j o u r n a lo yu n c e r t a i n s u s t e m s ，v 0 1 2 ，n o 4 ，2 4 3 - 2 4 7 ，2 0 0 8 f 5 】h a r r i s o njm ，b r o w n i a na n ds t o c h a s t i cf l o ws y s t e m s ，n o wy o r k ：j o h nw i l e ys o n s ， 1 9 8 5 【6 】j e n s e nu ，a no p t i m a ls t o p p i n gp r o b l e mi nr i s kt h e o r y , i n s u r a n c e ：m a t h e m a t i c sa n d e c o n o m i c s ，v 0 1 2 2 ，n o 2 ，1 7 7 - 1 7 7 ，1 9 9 8 【7 】k a oe pc ，a ni n t r o d u c t i o nt os t o c h a s t i cp r o c e s s e s ，w a d s w o r t hp u b l i s h i n gc o r n - p a n g ，v 0 1 1 ，3 7 4 - 4 2 0 ，1 9 9 7 【8 】k a r a t z a si ，o p t i m i z a t i o np r o b l e m si nt h et h e o r yo fc o n t i n u o u st r a d i n g ，s i a mj o u r - n a lo nc o n t r o la n do p t i m i z a t i o n ，v 0 1 2 7 ，n o 6 ，1 2 2 1 1 2 5 9 ，1 9 8 9 【9 】9 k a n gbk ，o p t i m a ls t o p p i n gp r o b l e mw i t hr e c a l lc o s t ，e u r o p e nj o u r n a lo yo p e r a t i o n a lr e s e a r c h ，v 0 1 1 1 7 ，n o 2 ，2 2 2 - 2 3 8 ，1 9 9 9 【1 0 l i ub ，f u z z yp r o c e s s , h y b i r dp r o c e s sa n du n c e r t a i np r o c e s s ，j o u r n a lo fu n c e r t a i n s y s t e m s ，v 0 1