毕业论文 克莱姆法则的推广及其应用.doc

毕业论文 题目: 克莱姆法则的推广及其应用 院(部)名 称: 信息与计算科学学院 专 业: 应数 毕业论文 摘 要 行列式的概念是线性代数中的基本概念之一，行列式的计算式是线性代数中最 基本的计算。行列式不仅是线性代数，数学各个领域的一个重要工具，而且也是其 他自然科学，工程技术各个领域中的重要工具。 通过增加方程组的未知数个数和所含方程的个数，由此引出问题：个未知数n 个方程的线性方程组能否象二元线性方程组一样有公式解？何时有解？n 主要内容是以阶行列式的定义为基础，讨论阶行列式的性质及其简单算法，nn 并据此把求解二元，三元线性方程组的 cramer(克莱姆)公式推广到元线性方程组n 的情形。 克莱姆法则正好解答了这个问题，然后给出其证明. 关键词：行列式，线性方程组，克莱姆法则 毕业论文 目 录 第第 1 章章 前前 言言.5 第第 2 章章 行列式的定义及性质行列式的定义及性质.8 2.1 行列式的定义1.8 2.2 行列式的性质 .10 第第 3 章章 克莱姆法则推广克莱姆法则推广.12 3.1 克莱姆法则的推广 .12 3.2 克莱姆法则的再推广 .14 第第 4 章章 介绍克莱姆法则的各种应用介绍克莱姆法则的各种应用.16 4.1 用克莱姆法则讨论一元二次线性方程组的公共根上的问题 .16 4.2 借助克莱姆法则证明一类特殊不等式 .19 4.3 克莱姆法则在求矩阵 a 的逆矩阵的应用 .21 4.4 用克莱姆法则解决微分几何问题的应用 .24 4.5 克莱姆法则在非齐次线性方程组的求解问题中的应用 .27 致谢致谢.30 参考文献参考文献.31 毕业论文 第1章 前 言 初等代数从最简单的一元一次方程开始,在中学所学的初等代数中,字母仅用来 表示数,初等代数一方面讨论二元及三元的一次方程组,另一方面研究二次以上并且 可以转化为二次的方程组的问题.沿着这两个方向继续发展,代数学在讨论任意多个 未知数的一次方程组（也叫线性方程组的）的同时,还研究次数更高的一元方程及多 元方程组,代数学发展到这个阶段高等代数. 然而，线性代数是高等代数的一大分支.我们很清楚一次方程叫做线性方程.显然， 讨论线性方程及线性运算的代数就叫做线性代数.线性代数有三个基本计算单元：向 量(组)、矩阵、行列式,研究它们的性质和相关定理,能够求解线性放程组,实现行列 式与矩阵计算和线性变换,构建向量空间和欧式空间.线性代数的两个基本方法是构 造（分解）法和代数法,基本思想是化简（降解）和同构变换.行列式的概念最早是 由十七世纪日本数学家关孝和提出来的,他在 1683 年写了一部叫做解伏题之法 的著作,意思是“解行列式问题的方法”,书里对行列式的概念和它的展开已经有了 清楚的叙述.矩阵代数的丰富发展,人们需要有合适的符号和合适的矩阵乘法定义.二 者大约要在同一时间和同一地点相遇.1848 年英格兰的 j.j sylvester 首先提出了 矩阵（来源于拉丁语）这个词,它代表一排数.1855 年矩阵代数得到了 arthur cayley 的一定培育发展.cayley 研究了线性变换的组成并提出了矩阵乘法的定义, 他还进一步研究了那些包括逆矩阵在内的代数问题.行列式和矩阵如导数一样（虽然 在数学上不过是一个符号,表示包括的极限的式子,但导数本身是一个dxdy xy 强有力的概念能使我们 直接而创造性地想象物理上发生的事情）.因此，虽然表面上看,行列式和矩阵不过 是 一种语言或速记,但它的大多数生动的概念能对新的思想领域提供钥匙.然而已经证 明这两个概念是数学物理上高度有用的工具.在线性代数中最重要的内容就是行和矩 毕业论文 阵.行列式和矩阵在十九世纪受到很大的注意.而且关于这两个课题的文章也层出不 穷,使得线性代数得到了一定的发展. 其中,行列式出现于线性方程组的求解,它最早是一种速记的表达式,现在已经 是数学中一种非常有用的工具.行列式是由莱布尼茨和日本数学家关孝和发明的. 1693 年 4 月,莱布尼茨在写给洛比达的一封信中使用并给出了行列式,并给出方程组 的系数行列式为零的条件. 1750 年,瑞士数学家克莱姆 (g.cramer,1704-1752) 在其著作线性代数分析 导 引中,对行列式的定义和展开法则给出了比较完整、明确的阐述,并给出了现在我 们所称的解线性方程组的克莱姆法则.稍后,数学家贝祖 (e.bezout,1730-1783) 将 确定行列式每一项符号的方法进行了系统化，利用系数行列式概念指出了如何判断 一个齐次线性方程组有非零解. 总之,在很长一段时间内,行列式只是作为解线性方程组的一种工具使用,并没有 人意识到它可以独立于线性方程组之外,单独形成一门理论加以研究. 在行列式的发展史上,第一个对行列式理论做出连贯的逻辑阐述(即把行列式理 论与线性方程组求解相分离)的人是法国数学家范德蒙(a-t.vandermonde,1735-1796). 特别地,他给出了用二阶子式和它们的余子式来展开行列式的法则.但就对行列式本 身这一点来说,他是这门理论的奠基人.1772 年,拉普拉斯在一篇论文中证明了范德 蒙提出的一些理论,推广了展开行列式的方法.继范德蒙之后,又一位对行列式发展做 出突出贡献的就是另一位法国大数学家柯西.1815 年,柯西在一篇论文中给出了行列 式的第一个几乎近代的系统.其中主要结果之一是行列式的乘法定理.另外，他第一 个把行列式的元素排成方阵,并且采用双足标记法;引进了行列式特征方程的术语;给 出了相似行列式的概念;改进了拉普拉斯的行列式展开定理并给出了证明及相应的结 论. 19 世纪的半个多世纪中,对行列式理论研究始终不渝的作者之一是詹姆士西 尔 维斯特 (j.sylvester,1814-1894).西尔维斯特用火一般的热情介绍他的学术思想, 他的重要成就之一是改进了多项式中消去的方法,他称之为配析法,并给出形成的x 毕业论文 行列式为零时这两个多项式方程有公共根充分必要条件这一结果,但没有给出相应的 证明.在行列式理论方面最多著作的人就是德国数学家雅可比 (j.jacobi,1804-1851), 他引进了函数行列式,即“雅可比行列式”;指出函数行列式在多重积分的变量替换 中的作用,给出了函数行列式的导数公式.雅可比的著名论文论行列式的形成和性 质标志着行列式系统理论的建成.由于行列式在数学分析、几何学、线性方程组理 论、二次型理论等多方面的应用，促使行列式理论自身在 19 世纪也得到了很大发展.整 个 19 世纪都贯穿着行列式新结果的诞生.除了一般行列式的大量定理之外,还有许 多有关特殊行列式的其他定理都相继得出. 另外,近现代数学分析与几何学等数学分支的要求也促使了线性代数的进 一步发展.另一方面,由于计算机的飞速发展和广泛应用,许多实际问题可以通过离 散化的数值计算得到定量的解决.于是作为处理离散问题的线性代数,成为从事科学 研究和工程设计的科技人员必备的数学基础.由于线性代数的不断发展使其应用贯 穿到多个学科 . 毕业论文 第 2 章 行列式的定义及性质 2.1 行列式的定义1 在引入克莱姆法则之前，先介绍一下元线性方程组的概念。n 含有个未知数的线性方程组nn xxx,., 21 (2.1.1) nnnnnn nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa 2211 22222121 11212111 称为元线性方程组。当其右端的常数项不全为零的时候方程组n n bbb, 21 （2.1.1）称为非齐次线性方程组，当全为零时，线性方程组（2.1.1） n bbb, 21 称为齐次线性方程组。线性方程组（2.1.1）的系数构成的行列式称为方程组的ij a 系数行列式d nnnn n n aaa aaa aaa d 21 22221 11211 克莱姆法则 若线性方程组(2.1.1)的系数行列式, 则线性方程组0d (2.1.1)有唯一解,其解为 ), 2 , 1(nj d d x j j 毕业论文 其中是把中第 列元素对应地换成常数项), 2 , 1(njdjdj njjj aaa, 21 而其余各列保持不变所得到的行列式. , 21n bbb 定义定义 行列式是由位于不同行和不同的列的元素构成的，并且展开式恰恰就是由 所有这种可能的组成，其中级行列式表示为：n 11121 21222 12 n n nnnn aaa aaa aaa 等于所有取自不同行不同列的个元素的乘积n 12 12 n jjnj a aa （2.1.2） 的代数和，这里是的一个排列，每一项（2.1.2）都按下列规则 n jjj 21 n, 2 , 1 带有符号：当是偶排列时， （2.1.2）带有正号；当是奇排列时， n jjj 21n jjj 21 （2.1.2）带有负号。这一定义又可以写成 n n n jjj njjj jjj nnnn n n aaa aaa aaa aaa 21 21 21 21 21 22221 11211 ) 1( 其中， 表示对所有级排列求和. n jjj 2 n 另外，由于行列式的行指标与列指标的地位是对等的，因而为了决定每一项的 符号，同样可以把每一项的列指标排列起来，于是定义还可以写成 n n n iii niii iii nnnn n n aaa aaa aaa aaa 21 21 21 21 21 22221 11211 ) 1( 毕业论文 同样，根据以上两种定义行列式的定义还可以写成下面的形式 n n nn nn jjj ii i jijiji jjjii i nnnn n n aaa aaa aaa aaa 21 21 2211 2121 ) 1( 21 22221 11211 其中，是取自不同行不同列的个元素的乘积的代数和，是 niii n aaa 21 21 n n iii 21 的一个排列，偶排列时符号为正，相反如果奇排列则符号为负.n, 2 , 1 2.2 行列式的性质 性质性质 1 将行列式的行与列互换后得到的行列式,称为的转置行列式,记为dd 或 t d d 即 nnnn n n aaa aaa aaa d 21 22221 11211 则 nnnn n n t aaa aaa aaa d 21 22221 11211 行列式行列互换,行列式不变，即 t dd 注注 1 由性质 1 知道，行列式中的行与列具有相同的地位，行列式的行具有的性 质,同理它的列也同样具有相应的性质. 性质性质 2 交换行列式的两行(列),行列式反号. 性质性质 3 数 k 乘以行列式的某一行，等于这个数乘以行列式. 毕业论文 = = nnnn inii n aaa kakaka aaa d 21 21 11211 1 nnnn inii n aaa aaa aaa k 21 21 11211 kd 注注 2 令 k=0，如果行列式中一行为零，那么行列式为零. 注注 3 行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式的外面. 性质性质 4 若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和,则这个行列式等于这两个 元素对应行列式的和 nnnn ininiiii n aaa cbcbcb aaa d 21 2211 11211 则 . 21 21 21 11211 21 21 11211 dd aaa ccc aaa aaa bbb aaa d nnnn inii n nnnn inii n 性质性质 5 如果行列式中有两行相同，那么行列式为零. 注注 4 所谓两行相同就说两行的对应元素都相等. 性质性质 6 如果行列式中两行成比例，那么行列式为零. 性质性质 7 把一行的倍数加到另一行，行列式不变. 1112111121 112212 1212 1212 nn ikikinkniiin kkknkkkn nnnnnnnn aaaaaa acaacaacaaaa aaaaaa aaaaaa 毕业论文 . 1112111121 1212 1212 1212 nn kkkniiin kkknkkkn nnnnnnnn aaaaaa cacacaaaa aaaaaa aaaaaa 第 3 章 克莱姆法则推广 克莱姆法则是高等代数中很重要的内容，论文对克莱姆法则进行了推广并且介 绍了几种应用。 3.13.1 克莱姆法则的推广克莱姆法则的推广 定义定义 设是数域上的一个阶行列式，又为上的 ij ad fn n bbb, 21 f 矩阵，若将中的某一行或某一列中的元素依次换为后所得到的行rmd n bbb, 21 列式称为广义行列式。 （广义行列式是上一个确定的矩阵） 。frm 根据广义行列式的定义，利用矩阵的加法以及数乘运算的法则可知，普通行列式的 性质及展开定理，对广义行列式也同样成立。 广义 cramer（克莱姆）法则：设是上的数，均为上的矩阵， ij af n bbb, 21 frm 又为未知的矩阵，则当矩阵方程组 n xxx, 21 rm 毕业论文 (1) nnnnnn nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa 2211 22222121 11212111 的系数行列式是，方程组（1）有唯一解；其0 ij ad d d x d d x d d x n n , 2 2 1 1 中为将的第列元素换成矩阵后所得到的广义行列式 j ddj n bbb, 21 ), 2 , 1(nj 证明：（1）唯一性 设方程组（1）有解，且为其任意解，于是（1）式就变为个矩阵等式， n xxx, 21 n 根据广义行列式性质，有 nnnn n n j aba aba aba d 1 2221 1111 nnnnnnnnn nnn nnn axaxaxaa axaxaxaa axaxaxaa 2211 2222222121 1121211111 j nnjnjn njj njj dx axaa axaa axaa 1 2221 1111 由于,故0d), 2 , 1(nj d d x j j （2）存在性：考虑要两行相同的阶广义行列式1n 毕业论文 nn nnnnn n n n dadadadb aaab aaab aaab aaab d 12121111 21 222212 112111 112111 由于，故0d 11 2 12 1 11 b d d a d d a d d a n n 同理可验算：也满足其余方程。 d d d d d d n , 21 3.23.2 克莱姆法则的再推广克莱姆法则的再推广 定理 1 ，是的阶子式阵，考虑方程组 nij aa)( sij am)()( k n cs ak （2） ssssss ss ss bxmxmxm bxmxmxm bxmxmxm 2211 22222121 11212111 式中，换句话说，就是 nknskkk bbbbbbbbbbbb 111212211 , s bbb, 21 每次取个值的乘积，而且前后次序是按字典排列法排列的。 n bbb, 21 k 如果行列式，则方程组（2）有唯一解：0 ad 其中而依次为 d c x d c x d c x s s , 2 2 1 1 sjbbbbc sjsjsj , 2 , 1, 1 sjj bb, 1 阶子式在中的代数与子式。k sjj mm, 1 d 为了推广定理 1 需要下列的预备知识 引理引理 1 1 设是阶行列式，在中任取行（列） ，则位于这行（列）dnd)1 (nkkk 毕业论文 中所有的阶子式与另行（列） （即与前面所取得行或列不完全相同）中对应的kkk 子式的代数与子式乘积等于零。 定理定理 2 2 设是数域上的维线性空间，是上的方阵，vpn nij aa)(p 是的阶子式阵，考虑向量方程组：)( ,)( k nsij csmmak （3） ssssss ss cxmxmxm cxmxmxm 2211 11212111 式中是中的未知向量，均是中已知向量，每次取个的 i xv s ccc, 21 v n aaa, 21 k 乘积，而且前后次序按字典排列法排列。 若行列式，则方程组有唯一解，（4） 。0 ad d d x d d x d d x n n , 2 2 1 1 ，而依次为阶子式在中的), 2 , 1( 11 sjbcbcd sjsjj sjj bb, 1 k sjj mm, 1 d 乘代数与子式。 证明证明 先证解得唯一性，用依次乘方程组（3）中的第个方程的两 sj bb, 11 s , 2 , 1 端，然后加上由 laplace 定理即引理 1 可得由于， 111111 dbcbcdx ss 0d 故。同理可证 d d x 1 1 d d x d d x s s , 2 2 此示当为（3）的任一解时这个解必为（4） ，即解是唯一的。 s xxx, 21 再证解的存在性，将（4）代入方程组（3）中的第一个方程的左端，再由 laplace 展开定理即引理 1 得 ddmdmddmddm ssss / 11111111 dbcbcmbcbcmbcbcm sssssssss )()()( 111212112111111 dbmbmcbmbmcbmbmc sssssssss /)()()( 111121211121111111 121 cddcdcdc s 即（4）满足（3）的第一个方程 同理可证（4）也满足方程组（3）的其余各方程，故（4）是方程组（3）的一个解。 毕业论文 显然，当时，此时定理 2 为1kam 推论推论 设向量方程组 （5） nnnnnn nn cxaxaxa cxaxaxa 2211 11212111 的系数行列式，则（5）有唯一解，其中是数域0dddxddx nn , 11 i x 上的线性空间的位置向量，是中的已知向量，pv i cv 。而，依次是在), 2 , 1(, 11 njbcbcdpa njnjjij njjj bbb, 21 njj aa, 1 中的代数与子式。d 第第 4 4 章章 介绍克莱姆法则的各种应用介绍克莱姆法则的各种应用 克莱姆法则 若一个线性方程组的系数行列式, 则该线性方程组有唯一解,0d 其解为 ), 2 , 1(nj d d x j j 其中是把中第 列元素对应地换成常数项), 2 , 1(njdjdj njjj aaa, 21 而其余各列保持不变所得到的行列式. , 21n bbb 4.14.1 用克莱姆法则讨论一元二次线性方程组的公共根上的问题用克莱姆法则讨论一元二次线性方程组的公共根上的问题 一元二次方程，就是只有一个未知数且未知数最高次数为的整式方程，其一般形2 式为 ； 0 2 cbxax)0,(acba常数， 定理定理 1 1 两个一元二次方程 毕业论文 （i） 0 0 22 2 2 11 2 1 cxbxa cxbxa )0( )0( 2 1 a a 仅有一个共根的充要条件是： 0 22 11 ba ba 且 0 22 11 22 11 2 22 11 cb cb ba ba ca ca 证明：令，方程（1）化为：yx 2 （ii） 222 111 cxbya cxbya 由克莱姆法则知（2）只仅有一个共根 0 22 11 2 ba ba d d d d y x 且 0 22 11 22 11 2 22 11 cb cb ba ba ca ca 由上可得推论：若两个一元二次方程（1）和（2）仅有一个公共根，则这个公共根 为： 且 22 11 22 11 ba ba ca ca x 22 11 22 11 2 ba ba cb cb x 同样根据克莱姆法则可得出一元二次方程（1）有两个公共根的充要条件。 定理定理 2 2 或者 且 0 22 11 22 11 ca ca ba ba 0 22 11 ba ba 0 22 11 22 11 2 22 11 cb cb ba ba ca ca 证明 令 的方程组 （ii） ，则方程（1） ， （2）有两个公共根yx 2 yx2 方程组至少有两个解 毕业论文 ； 0ddd yx 0 22 11 22 11 ca ca ba ba 例例 给出两个方程 和 ， 取何值时，两个方程有01 2 axx0 2 axxa 相同的根，并求之。 解 由定理 1 ，2 可知，两个方程至少有一个公共根 0 22 11 22 11 2 22 11 cb cb ba ba ca ca 即 ：0 1 1 11 1 1 11 2 a aa a 0)2() 1( 2 aa 解得： 。2, 1aa 当 时，原方程变为 ： 和 它们有两个公共根：1a01 2 xx01 2 xx ix 2 3 2 1 2, 1 当 时 2a ，两个方程仅有一个相同根：03 11 21 11 1 a 。1 11 1 1 11 a a x 例例 若三个一元二次方程 有公共根 0 0 0 33 2 3 22 2 2 11 2 1 cxbxa cxbxa cxbxa 试证 0 333 222 111 cba cba cba 毕业论文 证明证明 分两种情况证明： 1）若方程（1） ， （2）仅有一个公共根，则由定理 1 ，推论，公共根为： 且 21 11 22 11 ba ba ca ca x 22 11 22 11 2 ba ba cb cb x 将它代入方程（3）得 0 3 22 11 22 11 3 22 11 22 11 3 c ba ba ca ca b ba ba cb cb a ，上式两边同时乘以 得 ：0 22 11 ba ba 22 11 ba ba 0 22 1 3 22 11 22 11 3 22 11 3 ba ba c ba ba ca ca b cb cb a 即 ： 0 333 222 111 cba cba cba 2）若方程（1） ， （2）有两个公共根，则由定理可知： 0 22 11 22 11 ca ca ba ba 从而 0 22 11 cb cb 0 22 1 3 22 11 22 11 3 22 11 3 ba ba c ba ba ca ca b cb cb a 即 ： 0 333 222 111 cba cba cba 毕业论文 由上述可知：三个一元二次方程（1） ， （2） ， （3）若有公共根，则 0 333 222 111 cba cba cba 否则，若，则它们无公共根 。0 333 222 111 cba cba cba 4.24.2 借助克莱姆法则证明一类特殊不等式借助克莱姆法则证明一类特殊不等式 克莱姆法则是解决方程个数与未知量个数相等且系数行列式不等于零的线性方 程组的重要工具，但若能将其应用于某些不等式的证明，也可取得奇妙的效果。 命题命题 设 求证, 3 , 2 , 1, 0niai 1 12131 2 32 1 n n aaa a aaa a aaa a n n nn 等号当且仅当 时成立。 n aaa 21 证明证明 令 nn nn nn xaaaa xaaaa xaaaa 1321 2131 1132 视之为以为未知量，含有个方程的线性方程组。其系数行列式 n aaa, 21 n 用分别替换行列式中的第列得：),1() 1( 1 nd n n xxx, 21 dn, 2 , 1 ) 1() 1(,) 1() 1(,) 1() 1( 1 1 2 1 1 21 1 1 1n n i i n n n i i n n i i n xnxdxnxdxnxd 根据克莱姆法则有： 毕业论文 1 ) 1( , 1 ) 1( , 1 ) 1( 11 2 2 2 1 1 1 1 n xnx d d a n xnx d d a n xnx d d a n i ni n n n i i n i i 故 12131 2 32 1 n n nn aaa a aaa a aaa a ) 1( ) 1( ) 1( ) 1( ) 1( ) 1( 1 2 1 2 1 1 1 nx xnx nx xnx nx xnx n n i ni n i i n i i )1( 1 1 121 2 31 1 32 nn x xxx x xxx x xxx n n nnn 1 )2() 1( 1 1 n n nnnn n 此处用了不等式 ，等号当且仅当时成立， n n n qqq n qqq 21 21 n qqq 21 命题得证。 在上述命题中，令，则的 ，令，则得2n2 a b b a 3n 。 2 3 ba c ca b cb a 推论推论 设 且 ，则当 时，取得nirai, 2 , 1, ma n i i 1 n m ai n i i i am a 1 最小值 。 1n n 4.34.3 克莱姆法则在求矩阵克莱姆法则在求矩阵 a a 的逆矩阵的应用的逆矩阵的应用 结合逆矩阵的定义和矩阵相等的概念，用克莱姆法则验证矩阵的逆矩阵a 。 *1 1 a a a 毕业论文 定理定理 阶方阵可逆的充分必要条件是是非奇异矩阵，并且 。naa *1 1 a a a 对于阶矩阵 的逆矩阵 ，大多数教材上是通过上面的定理给出的，n nnij aa )( 1 a 而对于该定理的证明则是结合行列式的性质通过矩阵的乘法确实计算得 ，从而根据逆矩阵的定义得知 就是矩阵 的逆矩阵 eaa a a a a 11 * 1 a a a 。教学的过程中时常会有学生提出这样的问题：老师，通过定理的证明我能接 1 a 受 就是矩阵 的逆矩阵 ，可是先是如何想到矩阵的呢？下面我就 * 1 a a a 1 a * 1 a a 用克莱姆法则来验证矩阵 的逆矩阵 就是 。a 1 a * 1 a a 我们知道，当 可逆时， 的逆矩阵 是与 同阶的矩阵。aa 1 aa 不妨假设 nnnn n n xxx xxx xxx a 21 22221 11211 1 根据逆矩阵的定义可知,即：eaa 1 100 010 001 21 22221 11211 nnnn n n aaa aaa aaa 将两个矩阵相乘确定出所得矩阵的各个位置上的元素，再利用矩阵相等的条件，由 左右两个矩阵的第一列对应元素相等可以得到如下的方程组： 0 0 1 1212111 1221221121 1121121111 nnnnn nn nn xaxaxa xaxaxa xaxaxa 当 是非奇异矩阵时，就有 ，从而根据克莱姆法则a0a 毕业论文 ； a a aaa aaa aaa aa aa aa x nnnn n n nnn n n 11 21 22221 11211 2 222 112 11 0 0 1 a a aaa aaa aaa aa aa aa x nnnn n n nnn n n 12 21 22221 11211 1 221 111 21 0 0 1 a a aaa aaa aaa aa aa aa x n nnnn n n nn n 1 21 22221 11211 21 2221 1211 1 0 0 1 同理，由左右两边两个矩阵的第二列对应元素相等可以得到如下的方程组： 0 1 0 2222121 2222221221 2122121211 nnnnn nn nn xaxaxa xaxaxa xaxaxa 从而根据克莱姆法则有： ； ； a a aaa aaa aaa aa aa aa x nnnn n n nnn n n 21 21 22221 11211 2 222 112 12 0 1 0 a a aaa aaa aaa aa aa aa x nnnn n n nnn n n 22 21 22221 11211 1 221 111 22 0 1 0 毕业论文 。 a a aaa aaa aaa aa aa aa x n nnnn n n nn n 2 21 22221 11211 21 2221 1211 2 0 1 0 再依次由左右两边两个矩阵的第列对应元素相等可以得到类似的方程组，n, 4 , 3 同样由克莱姆法则得： ), 4 , 3(; 2 2 1 1 ni a a x a a x a a x in ni i i i i 这样 中的每一个元素就都已经求出了，全部代入得： 1 a 。a a aaa aaa aaa a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a nnnn n n nnnn n n 11 21 22212 12111 21 22212 12111 1 这就用克莱姆法则验证了 的逆矩阵 就是 。a 1 aa a 1 4.4.4 4 用克莱姆法则解决微分几何问题的应用用克莱姆法则解决微分几何问题的应用 一个线性方程组可以用矩阵与向量的方程来表示： （1）cax 其中的是一个的方块矩阵，而向量是一个长度为的列向量。ann t n xxxx),( 21 n 也一样。 t n cccc),( 21 克莱姆法则说明：如果是一个可逆矩阵，那么方程（1）有解a)0(deta ，其中 t n xxxx),( 21 毕业论文 （1） )det( )det( a a x i i 其中 是被列向量 取代了 的第 列的列向量后得到的矩阵。为了方便，我 i acai 们通常使用 来表示 ，用来表示 。所以等式（1）可以写成为：)det(a i )det( i a i i x 运用克莱姆法则可以很有效地解决一下方程组。 已知： fdycx ebyax 使用矩阵来表示就是： f e y x dc ba 当矩阵可逆时，可以从克莱姆法则得出：y和x 以及 bcad bfed dc ba df be x bcad ecaf dc ba fc ea y 用矩阵的情况亦差不多。33 已知： lizhygx kfzeydx jczbyax 当中的矩阵表示为： l k i z y x ihg fed cba 当矩阵可逆时，可以求出 ：z, 和yx 毕业论文 ihg fed cba ihl fek cbj x ihg fed cba ilg fkd cia y ihg fed cba lhg ked jba z 克莱姆法则在解决微分几何的问题时十分有用 。 先考虑两条等式。其中的 是需要考虑的变量。0),(0),(vuyxgvuyxf和v和u 并且它们互不相关。我们可以定义 和 。),(vuxx ),(vuyy 找出一条等式适合 是克莱姆法则的简单应用。ux 首先，我们要计算在处的导数：,gfy和x dv v y du u y dy dv v x du u x dx dv v g du u g dy y g dx x g dg dv v f du u f dy y f dx x f df 0 0 将代入 ，可得出：dydx和dgdf和 0 0 dv v g v y y g v x x g du u g u y y g u x x g dg dv v f v y y f v x x f du u f u y y f u x x f df 因为和 互不相关，所以和的系数都要等于。所以等式中的系数可以被写uvdudv0 成： 毕业论文 v g v y y g v x x g v f v y y f v x x f u g u y y g u x x g u f u y y f u x x f 现在用克莱姆法则就可得到： y g x g y f x f y g u g y f u f u x 用两个雅克比矩阵来表示的方程： ),( ),( ),( ),( yx gf uy gf u x 用类似的方法就可以找到 。 v y u y v x 以及, 4.4.5 5 克莱姆法则在非齐次线性方程组的求解问题中的应用克莱姆法则在非齐次线性方程组的求解问题中的应用 1.非齐次线性方程组相容的条件： 对非齐次相形方程组： （1） 不全为零）其中 m212211 22222121 11212111 ,(bbbbxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa mnmnmm nn nn 即矩阵方程： bax 毕业论文 记 mmnmm n n baaa baaa baaa a 21 222221 111211 称为非齐次线性方程组（1）的增广矩阵。显然，线性方程组（1）和它的增广矩a 阵一一对。应从而类此于其次线性方程组的矩阵解法，求解非齐次线性方程组a （1）可以通过对它的增广矩阵进行初等行变换来实现。 例例 解方