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任运扬亚纯函数的某些新子类 中文摘要 回顾过去的一个世纪，数学科学的巨大发展，比以往任何时代更牢固地确立了作为 整个科学技术的基础地位，并渐渐突破传统的应用范围向几乎所有的人类知识领域渗透 如今的数学科学不再只是学术精英的事业，它已经深深渗入了其他些领域，如物理 学，生物科学甚至经济学和其他社会学科，可以说数学科学正在向“纯粹数学 与“应 用数学”方向发展 复分析作为数学科学中的一个重要分支，也在迅速的向前发展纵观发展的历史，复 数刚开始只是停留在纯粹形式计算的水平，直到1 9 世纪才被赋予了具体意义，随后挪威 的韦赛尔发现了一个办法来几何的表现它们，这才有了众所周知的复变函数理论随着一 代代数学家们不懈努力，复变函数理论体系得以不断地丰富与完善，在包括函数类的从 属关系，包含关系以及积分算子等方面有了长足的发展 近几年，研究学者们立足于解析函数这个大前提之下，进行了许多有价值的研究工 作2 0 0 5 年，x i u l i a nf u 和m i n g s h e n gl i u 2 1 定义出h 三( p ) ， 设p ，n 是两个正整数，定义h 矗( p ) 为以下函数： f ( z ) = z p + 鼯na k + p 2 k 佃， 组成的函数类，f 。绱在u 缸= q ：l z l 1 3 内解析 通过对包含于h 二( p ) 中全体解析函数的研究，运用微分从属，h a d a m a r d 卷积，控制和最佳 控制等，构造出n o o r 积分算予t n ( 也b ；c ) ，通过它定义了解析函数的某些子类 k 嘉( a ，b jc ；8 ；a ，b ) ，k k 立n ( a ，b ；c ；也a ，b ) 以及s 套n ( a ，b ；曰a ，b ) 研究了它们的从属关系， 包含关系，积分算子，函数属于s 主n ( a 内；gb ) 的充分条件等问题2 0 0 2 年，o mp a h u j a 和j a ym j a h a a n g i r i 【z 9 】定义了硌( n ) 以及它的子集或( n ) ，给出了解析函数中多值调和 扬州大学硕士学位论文 4 函数的新子类，对这些调和函数子类的系数加上某个特定的限制，得到了一系列重要的 定理以及证明本文延续 2 1 的方法，重新定义函数类h n ( p ) ，讨论其子类的若干问题 文章结构分为四个部分： 第一部分引言：介绍了微分从属，控制，最佳控制与卷积的概念，定义两个子类 s ；( p ) ，k - p ( ，以及给出三个定义，从而便于展开下面的工作 第二部分预备引理：列出证明定理需要的引理 第三部分亚纯函数子类的性质：通过定义的函数类h n c p ) ，研究亚纯函数子类之间的 若干问题，包括从属关系，包含关系，积分算子等问题 第四部分对亚纯函数的线性结合进行了相应讨论，通过： 设函数f 哞c n ) ， 若飘卜稍妒一a 嚣沣jf 嘶黼 由此得出重要定理的证明以及子类之间存在的包含关系 关键词：亚纯函数；积分算子；卷积作用；微分从属；包含关系；最佳控制； 精确的：保向的；序列 任运扬亚纯函数的某些新子类5 a b s t r a c t r e v i e w i n gt h el a s tc e n t u r y ，t h ed e v e l o p m e n t so fm a t h e m a t i c ss c i e n c ea st h ef o u n d a t i o no f s c i e n c ea l em o r ei m p o r t a n tt h a nb e f o r e ，a n dp e r m e a t et oa l m o s ta l lo fh u m a nk n o w l e d g ef i e l d s n o w a d a y sm a t h e m a t i c ss c i e n c ei ss c h o l a r s c a r e e rn e v e ra g a i n ，i ti sp e r m e a t i n gt oa n o t h e rf i e l d s ， f o re x a m p l e p h y s i c s ，b i o l o g y ，e c o n o m i c s ，s o c i o l o g ya n ds oo n s ow ec a ns a ym a t h e m a t i c s s c i e n c ei sd e v e l o p i n gt o p u r em a t h e m a t i c s a n d a p p l i c a t i o nm a t h e m a t i c s c o m p l e xa n a l y s i si sa l s od e v e l o p i n gq u i c k l ya st h ei m p o r t a n tb r a n c ho fm a t h e m a t i c s s c i e n c e s u r v e y i n gt h eh i s t o r i c a ld e v e l o p m e n t ，c o m p l e xn u m b e r sw e r eg i v e ns p e c i f i cm e a n i n g u n t i lt h e19 t hc e n t u r y ，a f t e r w a r d sw e s s e ld e t e c t e da g e o m e t r ym e t h o dt od i s p l a yt h e m ，t h a ti s c o m p l e xf u n c t i o nt h e o r y c o m p l e xf u n c t i o nt h e o r yw a sp e r f e c tw i t ht h ee f f o r t so fs c h o l a r s ， i n c l u d es u b o r d i n a t er e l m i o n s ，i n c l u s i o nr e l m i o n s ，t h ei n t e g r a lo p e r a t o ra n ds oo n i nr e c e n ty e a r s ，t h es c h o l a r sp r e c e d e dt h em a n yo fs t u d i e su n d e rt h ec o n d i t i o n so f a n a l y t i c f u n c t i o n s i n2 0 0 5 ，b ya p p l y i n ga l lc l a s s e so fh 二( p ) ： l e tp ，nb et w op o s i t i v ei n t e g e r sa n d 曦( p ) d e n o t e st h ec l a s so ff u n c t i o n so ft h ef o r m ： f 。( z ) =z p + 嚣a k + p z k + 叠， w h i c ha l ea n a l y t i ci nt h eu n i td i s ku 。= ( z ：l z l n x i u - l i a nf ua n dm i n g - s h e n gl i u 【21 】d e f i n e dt h eg e n e r a l i z e dn o o r i n t e g r a lo p e r a t o r 咚，疆瓯b ；c ) b yu s i n gc o n v o l u t i o n b ya p p l y i n gt h i so p e r a t o r ，t h e yi n t r o d u c e ds o m es u b c l a s s e s k 刍m ( a ，b ；c ；e ；a ，b ) ，x k 丑( a ，b ；c ；e ；a ，b ) a n df l 三, n ( a ，b ；c ；& a ，b ) o fa n a l y t i cf u n c t i o n sa n d s t u d i e dt h e i rs u b o r d i n a t er e l m i o n s ，i n c l u s i o nr e l a t i o n s ，t h ei n t e g r a lo p e r a t o r ，t h es u f f i c i e n t c o n d i t i o n sf o raf u n c t i o nt ob ei nt h ec l a s ss k ( a ，b ；c j 融) a n ds oo n i n2 0 0 2 ，o mp a h u j aa n d j a ym j a h a a n g i r i 2 9 d e f i n e d ( n ) a n d 露( n ) w h i c hw a st h es u b c l a s so f ( n ) n e wc l a s s e s o fm u l t i v a l e n th a r m o n i cf u n c t i o n sw e r ei n t r o d u c e d t h e yg a v es u f f i c i e n tc o e f f i c i e n tc o n d i t i o n s 扬州大学硕士学位论文6 f o rt h e s ec l a s s e s t h e s ec o e f f i c i e n tc o n d i t i o n sw e r es h o w nt ob ea l s on e c e s s a r yi fc e r t a i n r e s t r i c t i o n sw e r ei m p o s e do nt h ec o e f f i c i e n t so ft h e s eh a r m o n i cf u n c t i o n s f u r t h e r m o r e ，t h e y d e t e r m i n e ds o m er e p r e s e n t a t i o nt h e o r e m s i nt h i sa r t i c l e ，w ec h a n g e dt h es t u d i e so f a n a l y t i c f u n c t i o n st om e r o m o r p h i cf u n c t i o n sb ym e a n so f z1 ，a p p l y i n gs o m ep r o b l e m sb e t w e e nt h e s u b c l a s s e so fm e r o m o r p h i cf u n c t i o n sb yd e f i n i n gh n ( p ) t h ef i r s tp a r to ft h ea r t i c l ei n t r o d u c e sd i f f e r e n t i a ls u b o r d i n a t i o n ，d o m i n a n t ，b e s td o m i n a n t a n dh a d a m a r dp r o d u c t ，d e f i n es 二p ( ，k p ( p ) t h es e c o n dp a r to ft h ea r t i c l el i s t ss o m ei m p o r t a n tl e m m a s t h et h i r dp a r to ft h ea r t i c l es t u d i e ss u b o r d i n a t er e l a t i o n s ，i n c l u s i o nr e l a t i o n s ，a n dt h e i n t e g r a lo p e r a t o rw i t hd e f i n i n gh n ( p ) t h el a s tp a r to ft h ea r t i c l ea p p l i e sal i n e a rc o m b i n a t i o no fm e r o m o r p h i cf u n c t i o n s m f ( 帅敬卜1 ) f ( z ) z q 篓) 三jf 咒( 呱a ) w ec o u l dd e r i v et h ei n c l u s i o nr e l a t i o n sb e t w e e nt h ec l a s s e sf o r mt h ea b o v er e l a t i o n k e y w o r d s ：m e r o m o r p h i cf u n c t i o n s ；i n t e g r a lo p e r a t o r ；h a d a m a r dp r o d u c t ； d i f f e r e n t i a ls u b o r d i n a t i o n ；i n c l u s i o nr e l a t i o n s h i p ；b e s td o m i n a n t ； p o s s i b l e ；s e n s e - p r e s e r v i n g ；c o e f f i c i e n tc o n d i t i o n 任运扬亚纯函数的某些新子类 3 3 扬州大学学位论文原创性声明和版权使用授权书 学位论文原创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是在导师指导下独立进行研究工作所取得的研究成 果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含其他个人或集体已经发表的研究成 果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明二本声明的法律 结果由本人承担。 靴敝储擞：j 岬 签字日期：加q 年莎月纠日 l 学位论文版权使用授权书 本人完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留并向国家有 关部门或机构送交学位论文的复印件和电子文档，允许论文被查阅和借阅。本人授权扬 州大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩 印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。同时授权中国科学技术信息研究所将本学位 论文收录到中国学位论文全文数据库，并通过网络向社会公众提供信息服务。 姗躲矽叮 签字嗍一年f 月l ，f 日 导师签名： 动t 毛毪 签字日期：勺咐川d 日 任运扬亚纯函数的某些新子类 7 亚纯函数的某些新子类 1 引言 设函数f ( z ) 与g ( z ) 在u ( u = 盘：i z l 1 ) ) 内解析，若存在u 内解析的函数w ( z ) ， 且有l 畎z ) l l z l ( z 泖，使得g ( z ) 三和( z ) ) ，则g ( z ) 从属于f ( z ) 记作：g i 或g ( z ) f ( z ) 若f ( z ) 在u 幸内单叶，则g f 的充要条件是 g c o ) = f ( o ) ，g ( u 扛) c f ( u 8 ) 设 l ( p ( 动，z p ( 习) h ( z ) 是一个一阶微分从属，霉3 ( z ) 为单叶函数，若对所有满足此微 分从属的解析函数p ( 2 ) 都有p ( z ) 唾( z ) ，则称q ( z ) 为此微分从属的一个控制若对所有的 控制q ( z ) ，都有每( z ) q ( z ) ，则称磊( z ) 为最佳控制【1 l ，a 2 设p ，n 是两个正整数，定义h 嚣) 为以下函数： f ( z ) = z - p 十鑫n a k p z k - p ， ( 王。1 ) 组成的函数类，f ( ，z ) 在u = 伍：0 l z i l 】内解析 我们定义两个子类：s ：p ( 口) ，k p ( 8 ) 设s 三p ( b ) 表示h 1 ( p ) 的子类，f ( z ) s 二p ( p ) 当且仅当： r e 【翎 一卵 ( z u ；0 8 1 ) ， 设k p ( $ ) 表示h 1 ( p ) 的子类，f ( z ) k i p ( p ) 当且仅当： r e l + 锱 ，f ( z ) h n ( p ) ，z u 为了运算的方便，通常简记为：l 之，n ( a 山；c ) f ( z ) = l 三i n ( a 曲；c ) m ( b ；c ) = z 1 + 麓觜a k p z k k是p o c h h a m m e r 符号，定义为： k = ( x 6 “卜。p + k - 1 由( 1 可以证明出： l 之，n ( a ，天一p ；a ) = f ( z ) ， o n 一融a ) = 掣， k n = 1 ，2 ，3 k = 0 z ( 【疆( a ，b ；c ) ) = 一p ) i 茗( a j b ；c ) 一九l 之，n ( a ，b j c ) ， ( i 5 ) ( t 6 ) ( 1 7 ) z ( f 之，n ( a 1 ，b ；c ) ) = a f 之，n ( a ，b jc ) 一( a 1 名，蕊( a + 1 ，b ；c ) 。( i 8 ) 利用线性算子1 0 m ( a ，b ；c ) f c z ) ，接下来我们定义h a ( p ) 的某些子类： 定义1 1 ： 设f ( z ) h n ( p ) ，f ( z ) k 鼍珏( a ，b j c j 晚ab ) ，其中毛b ，c r z i ， 丸 ，0 之0 。一1 b a 1 ，当且仅当 ( 1 一e ) z p i _ 1 p ，n ( & + t b ；o + 0 z p c a , b ；01 矽，0 0 ，一1 b a 1 ，当且仅当 ( i - e ) z p i 天- p ，n ( a j b ；c ) + o z p i 苎器( a j b ；c ) p ， b 0 ，一1 b a l ，当且仅当 者0 一瓮掣) 蕊i + a z q m ，“ 记s 苎p ，1 ( a ，九一p ；a ；& l ，一1 ) = s 三p ( 8 ) ，s ! p ，1 ( a , - - p ；a ；b ；1 ，一生) = k p ( 特别的，令s 乙，b ( a j b ；e8 ；l ，- 1 ) = s 乙，n b ；c ；内) 扬州大学硕士学位论文1 0 2 预备引理 引理2 1 ：【ll 】 设f ( z ) = a + a n z n + a n + l z n + l4 - 在u 内解析，h ( z ) 是u 内的凸函数 h ( o ) = a ，若 f ( z ) + 寻z f ( z ) h ( z ) ( y o ，r e y o ) ， 则f ( z ) o ) ，( 2 。2 ) 2 f l ( a ，b jc ；z ) = ( 1 一z ) - l2 f i ( a ，c _ b ；c ；南) ， ( b + 1 ) 2 f i ( 1 ，b ；b + bz ) = ( ：b i ) - i - b z2 f 1a ，b4 - l ；b4 - 2 ；z ) ， 2 f l ( a ，b j q 苟= 引理2 3 ：【1 2 】 设微分方程 2 f l ( b ，筋c ；z ) ， q ( z ) + 蒜= 篙 其中二1 b 0 ， ( z u ) ， r e y 一笔字有单叶解， ，r z s + v ( i + s z ) p 舢勘旧 y q e z ) = 研二：= 科p 【积虿而磊面一百 b 棼o b = 0 若巾( z ) = 1 + c 工z + c z z 2q - 在u 内解析，且 牵( z ) + 怒 拦， 则牵( z ) q ( z ) 0 ，h ( 一r ，t ) 是实值函数，r e 丽1之丽1 ( 1 z l r l 。te 【o ，1 】) ， h ( z ) = f ：h c z , t ) d v ( t ) ，则r e 函1 而1 引理2 5 ：【9 设f ( z ) ，g ( - - ) h 1 ( 1 ) ，f ( z ) c ，若f ( z ) f ( z ) ，g ( z ) 0( z u ) 扬州大学硕士学位论文1 2 3 亚纯函数子类的性质 分别讨论k k a b ；qe j ab ) ，k n ( a ，b ；q9 ；a ，b ) 以及s 鼍n ( a ，b ；q 艮a jb ) 的包含关系 定理3 1 ： 若f ( z ) k k 苎p ，n ( 砩b ；q 9 ；a ，b ) ，则 ，n ( a j b jc ) f ( z ) z p o ) ，( 3 i ) = 鬈擎+ 8 z ) 1 2 fo a 黝 并且r ( z ) 是( 3 j i ) 的最佳控制此外 r e f f 苎 ( a ，b ；c ) f ( z ) z p 】 p ( z u ) ， 撕= 主二擎) - 1 扩。山 勘 ( 3 2 ) 的结果是精确的 证明：令 单( z ) = l 苎西n ( 毛b ；c ) z p( z u ) 节( z ) 在u 内解析，p ( o ) = 1 ，从而 z ( 1 。n ( a ，b ；c ) ) 7z p = p ( p ( 力+ z p ( z ) 运用( 1 7 ) ，( 3 3 ) 和( 3 ，可得： b o b = 0 b 0 b = 0 ( 1 9 ) l b m ( a ，b jc ) z p + e l 笃二b ；c ) z p = 9 ( z ) + 恚z 爷( z ) 兰 ( 3 ，2 ) ( 3 3 ) ( 3 4 ) 由引理2 1 ，。节( z ) 等z 一等留、1 1 + a b ：t 、i a t = q ( z ) ，q ( z ) 是( 3 。童) 最佳控制 当b = 0 时，q ( z ) = 1 + 舞a z 当b 0 时，由引理2 2 ，以及( 2 。2 ) 一( 2 4 ) ， q ( z ) = 五叫- pf 。l s 警一i ( 薏) d s = 警譬s ! 导一1 ( 王+ b s z ) 一1 d s + 警a z 譬s 鲁( 1 + b s z ) 一z d s 任运扬亚纯函数的某些新子类1 3 2 f 1 ( 1 ，百a - p ；x _ - - - 2 n + 1 ：- - b z ) + 百k - - p 眦a - 丽i 2 f 1 ( 1 ，百a - - p + 1 ：等2 ；一b z ) = 含+ ( 1 一翁( 王+ b z ) 2 f ( u ；等+ l j 黝 ( 3 1 ) 证明完毕 为了证明( 3 2 ) ，需要证明： 令g ( s ，z ) = i n f , 互i 】h ( r e q ( z ) ) = q - - 1 ) l + 衄 1 + b 船( z u 。o g 1 ) ，d p ( z ) = 警s 等。l “ 可得：q ( z ) = e g ( s ，z ) d w 0 ) ，从而： r e q ( z ) =e r e ( d p ( s ) - a s r , r = q ( 一r ) ( 3 s ) ( 3 6 ) ( i z l r 免0 ，则k k 苎p 用( a 庙；c ；e 1 ；屯b ) ck k 叁鲫( a ，b ；c ；0 2 ；a , b ) 设f ( z ) x k x - 舯( a ，b ；c ；0 l ；a b ) ，由定义1 2 和定理3 1 ，得到： ( 1 9 工) 芝节( a ，b ；c ) z p + e i l 苎；三( a ，b ；c ) z p 岛之0 ，1 a l 0 2 0 ，则 l ( 贮阳( a ，b ；qe l j0 1 ) ck k 苎p ，n ( a ，b j c ；e 2 ；a 2 ) ( 3 7 ) 证明 扬州大学硕士学位论文 1 4 因为0 1 移220 ，由推论3 2 ，可得： k k 乞加( a ，b ；c ；0 1 ；a 1 ) ck k k n ( a ，b ；c ；0 2 ；口】) 又由( 1 。a 2 ) 和i o l d 2 0 ，可得： k k n ( a ，b ；c ；0 a ；0 1 ) ck k 苎”( a ，b ；c ；8 2 ；) 因此从( 3 。8 ) 和( 3 9 ) 可得( 3 7 ) ，证明完毕 运用和定理3 1 ，推论3 2 和推论3 3 类似的方法，可以获得下面的定理 定理3 4 ： 设f ( z )k 又- 弘n ( 南b ；c j a ；a ，b ) ，贝0 l 越( a + 1 ，b ；c ) f ( z ) z p o ) ， ( 3 。王o ) m 肾譬掣盯l 芦m 扣；爿 并且r 7 ( 2 ) 是( 3 i o ) 的最佳控制此外 r e 【匕蕊( a l ，b ；c ) z p 】 p 7 ( z u ) ， 即7 = 譬孽”b ) _ l 芦( 罐扣爿 ( 3 1 1 ) 的结果是精确的 推论3 5 ： b 0 b = 0 b o b=0 若0 1 0 2 之0 ，则k _ p m ( a ，b ；c ；0 z ；a , b ) ck 苎弘( a ，b ；c ；o ：；a b ) 推论3 6 ： 若9 2 0 1 0 ，1 0 2 叮1 0 ， 则k 兰p m ( a ，b ；c ；e 2 ；0 2 ) ck 苎p m ( a ，b ；c0 1 ；a j ) ( 3 。l i ) 任运扬 亚纯函数的某些新子类 1 5 定理3 7 ： 证明： f 耻( z ) =詈s t 旷1f ( t ) d t 2z p + 跪旦u - - p + k l k p z h ， ( 3 1 2 ) ( f ( z ) i - i ( 呻) ，p + p 0 ) 若f 均满足l 乙，n ( a ，b ；c ) f ( z ) z p 若耋 则l 毛越( a ，b ；c ) f p ( z ) z p q ”( 2 ) 兰 其中q 圩( z ) 它是最佳控制此外 ( z u ，一1 b p ，a , b ，c r z i ，吾 0 ，弘【o ，p ) ，f ( z ) h n ( 一p ) ， 若f ( z ) 满足： l ( 1 8 ) z p + l 苎讲靠( a + l 囊；c ) + e z p l 2 轰( a j b ；c ) 一1 l m ， ( 3 。1 6 ) 其中 m ：纛羔嬲嘉， ( 3 1 1 7 ) “ 1 丑+ ( p + 口) 9 l + 狄i 磊f 潦 l “j 则f ( z ) s 苎p 埔( a + l , b ，c ；1 3 ) 证明： 令p ( z ) = l 苎弘n ( a + l 抽；c ) z p 由定理3 4 ，可得：p ( z ) l + 三矗m z ， 它等价于： j p ( z ) 一1 l o ，若o ，则f ( p ) 。成立即： = 4 ( 学e ) z v 2 一( 学9 ) 2 ( u 2 + v ：) 【( 警e + | l + 警e ir ) 2 ( 、m + 。s n ，2r ：1 jg o 等价于： v 2 【1 一阵9 巾学9 孵2 酽】 “l 伴e + 1 1 + 学e lr ) 2 一2r 2 】 由( 3 1 7 ) ，( 3 i s ) ，得到： 它与o 等价，因此f ( p ) o ，e m ，这与( 3 1 9 ) 矛盾表明p ( z ) 0 ， r e 瓮筹掣= r e f b - ( p 悯瞄】：蓼_ ( p 相r e p ( z ) 之8 因此f ( o s 苎p ，n ( a + 1 ，b ，c ；p ) ，证明完毕 辫睦时型烨 卜一斗幽伴 生求 扬州大学硕士学位论文 定理3 10 ： 设“z ) s 苎p 皿( a j b ，c ，则 r e 【( 1 一e ，型差三主三掣+ 9 萼害糊 p ( z 购， 。艄俨f f 罴黑掣n 芋 2 。， r - r ( n ，p ，_ l b 椭一2 卧a1 ：毒( 3 2 0 ) 并且r ( 玛一岛九b ，9 ) 是精确的 证明： 令焉掣= b 一( p + h ( z ) 由于f ( z ) s 毛，n ( a ，b ，qp ) ，有 l ( z ) = 1 c n z n c n t z n + 1 + 解析，在u 内有正实数 运用( 1 7 ) v 以i ：l 出( z ) ls - - - - 雨2 n r nr e m ( z ) 】和r d h ( z ) l i - - r r n l l ( i z = r 1 ) r e 9 t 丰e 糊1 。k + l b 一8 = ( p + p ) r e 芝( p + 9 ) r e 的峒r e ( h ( z ) j f l + 而丽j 筹蔷丽】 若r 矗，rh ( 3 2 0 ) 中的定义，则以上不等式成立 下面证明r ( n , - v ，丸叠，e ) 是精确的： 令掣= 彝- ( p + 3 ) i 一+ z - - - 兰一( 。p 力 r e ( 1 - - 0 ) 掣+ a 糍期一p 0 + b ) r e l ( p + m z ：n 2 0 ) 一n z ( 冒n 丽瓦两 ( p + b ) = 0 ( z n = - - r n ( n , - p ，九8 ，9 ) ) 等 一 任运扬亚纯函数的某些新子类1 9 因而r ( n ，一m x , 1 3 ，e ) 是精确的，证明完毕 在定理3 1 0 中取e = 1 ，可得以下推论 推论3 1 1 ： 若f ( z ) s 乙丑( a ，b ，毋1 3 ) ( ze 协，则f ( z ) s 鸳二( a ，b ，q8 ) ( 1 z t 川牝的 其中 r，=影(n，一弘&p，8)：善|复堑亘三至二翌雯!曼2垂p至+要嘉雩三三王型；2鬼r = 影( n ，一弘& p ，8 ) ： 【 2 p + a j i ( 商爵 并且i f ( n , - - p ，a ，甄e ) 是精确的 p t - ：l - p p = 下- j , - p 推论3 13 ： 若f f z ) s _ p ，n ( a + 1 ，b ，q ，则f ( z ) s b m ( 磊b ，q6 ) ( i z l 墨) ，其中 畸= f 冀? 秽“n 8 挈r ：的 工l ( 高挑9 = 半 一“ 扬州大学硕士学位论文2 0 推论3 1 3 将条件改为解析函数f 。( z ) ，取n = 天= 1 ，c = b ，a = k + p ，可以获 得引文旺8 】的定理3 2 设矶，球是实数，研0 ，三之0 ，1 3 【o ，p ) ，若f ( z ) h n ( 一p ) ， ( 1 - - q ) ( z p l 苎鼽n ( a j b jc ) ) t q 掣( z p i 苎n n ( a ，b ；c ) ) p 1 l + m z ，( 3 ，2 1 ) 其中乘幂取主值，m = 一三二三， 则f ( z ) s m ( a ，b c ；8 ) 由于( 3 2 1 ) 等价于f 捌+ p l 0 1 1硇 。 、谯 令审( z ) = z p i 兰b n ( a ，b ；c ) ) ，则审( z ) 在u 内解析 ( 1 一q ) ( z p i 苎n n ( a ，b ；c ) ) 口一 掣( z pl 垒p 舯( & ，b ；c ) ) 矗一l 2 旁( z ) 一毒z 牵( z ) ( 3 z 2 ) 巾( z ) 口 ( z v ) ， 因此f ( z ) s b m ( b ，c ；1 3 ) ，证明完毕 定理3 1 4 中取九= 1 ，c = a ，b = 1 一p ，我们可得下面的推论 推论3 15 ： 设1 1 ，c i 是实数，扎0 ，署2 0 ，b 【o ，p ) ，若“z ) i - i n ( 一p ) ， 且满足：( z t o ) ( 1 一n ) ( z p 焖) a n 型p f 堕( z ) ( z p f ( z ) ，) a p ，0 n p ，若z ) s 笃( a 山；c ；1 1 ，a ，b ) ，则 高一絮掣卜未h q 卜南3 砘叭赢1 + a z ，任2 匐 其中q 1 ： es 枷1 ( 嚣) 下d s b 。 坼s 挪。e x p ( ( p ) o s ) a z ) d s b=0 当a = 垫瑚，b 0 p t l l q l ( z ) = 壶( q + ) + 是) ，q 1 ( z ) 是( 3 2 4 ) 的最佳控制 此外，若a 等三 b ( 一1 b o ) ，则 扬州大学硕士学位论文2 2 s ：二( a ，b ；c ；a ，b ) cs 苎融n ( a ，b ；c ；q ，1 一z p 扣一1 ) ， ( 3 z s ) 其中p 1 = 毫 o + ) 一弘一p ) l2 f 1 ( 1 ，堕半j p 丰天l ；刍) 1 j 结果是精确的 证明：令 = 熹0 一訾煳田 牵( z ) 在u 内解析。审( o ) = 1 。运用( 1 。7 ) ，( 3 2 旬可得： q p ) 誉等= 天+ 1 1 曲 ( 3 2 7 ) 两边对数求导再乘以z ，得到： 未0 一铡= 牵+ 熹 而1 4 - a z 由引理2 3 ，9 = - p n ，y = 九q ， 则审( z ) q l ( z ) 0 ， 运用引理2 2 ： ( 3 2 6 ) ( 3 。2 7 ) ( - 3 。2 8 ) ( 3 2 9 ) q 1 ( z ) ：( _ l + b z ) 直es b - 1 ( 1 b s z ) 一丑d g = 鬻2 f 11 ，a ；c 耋毛) b o ( 3 3 0 ) 为了证明( 3 2 9 3 ，需要证明r e i q 1 ( z ) ) 芝i q 1 ( 一1 ) ( z u ) 由a 伍 0 ，运用引理2 2 和( 3 3 0 ) ： q l ( z ) 2 h ( z , s ) d v ( s ) 其中 h s ) = 蕊1 - b z ( o s 1 ) d v ( s ) = 蒜s - l ( 1 - 5 ) p p l d 5 a v ( s ) 它是【o ，l 】上的正测度 由于一l b 0 ，h ( - - r , s ) 是实数( o r 1 ，s o ，1 1 ) 任运扬亚纯函数的某些新子类2 3 l 一( 1 一1 ) b r 1 - b r ( i z l r 1 ，s 【o ，1 】) 运用引理2 4 ，r e 1 q 1 ( z ) ) i l q l ( 一r )( 1 z l r p ， 一妻( p + a + 1 )