（基础数学专业论文）与smarandache函数相关的一些方程.pdf

中文摘要 本文主要研究了s m a r a n d a c h e 函数的整除性，及与s m a r a n d a c h e 函数相 关的一些方程的可解性通过运用初等及解析的方法，建立了个关 于s m a r a n d a c h e 函数的整除关系用类似的方法，对涉及s m a r a n d a c h c 函数， s m a r a n d a c h e - 耳反函数，伪s m a r a n d a c h e 函数，伪s m a r a n d a c h e 无平方因子函数， 除数函数，欧拉函数的一些方程也作了深入研究，并给出了这些方程的所有正 整数解及其解的形式 关键词 s m a r a n d a c h e 函数，整除性，可解性，方程，正整数解 a b s t r a c t ( 英文摘要) i nt h i sp a p e r ，w es t u d yt h ed i v i s i b i l i t yo ft h es m a r a n d a c h ef u n c t i o na n d t h es o l v a b i l i t yo fe q u a t i o n sr e l a t e dt ot h es m a r a n d a c h ef u n c t i o n b yu s i n gt h e e l e m e n t a r ya n da n a l y t i cm e t h o d s w ee s t a b l i s had i v i s i b i l i t yr e l a t i o n s h i pf o rt h e s m a r a n d a c h ef u n c t i o n i nas i m i l a rw a y , w es t u d yt h es o l v a b i l i t yo fs o m ee q u a - t i o n sw h i c ha r ec o m p o s e dw i t ht h es m a r a n d a c h ef u n c t i o n ，s m a r a n d a c h er e c i p - r o c a lf u n c t i o n ，p s e u d o - s m a r a n d a c h ef u n c t i o n ，p s e u d o - s m a r a n d a c h e s q u a r e - f r e e f u n c t i o n ，d i r i c h l e tf u n c t i o n ，e u l e rf u n c t i o n ，a n dg i v ea l lt h ep o s i t i v ei n t e g e r s o l u t i o n sa n dt h ef o r mo ft h e s es o l u t i o n s k e y w o r d s s m a r a n d a c h ef u n c t i o n ，d i v i s i b i l i t y ，s o l v a b i l i t y , e q u a t i o n ，p o s i t i v ei n t e g e r s o l u t i o n s l l 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解西北大学关于收集、保存、使用学位论文的规定。学校 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。本人允许 论文被查阅和借阅。本人授权西北大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存 和汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研究所等机构将本学位论 文收录到中国学位论文全文数据库或其它相关数据库。 保密论文待解密后 学位论文作者签名：指导教师签名：垒鲤 瑟女鹇 砂f 口年石月f ；日砌护年参月f 弓日 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 本论文不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得西 北大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的 同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明确的说明并表示谢 = 正 思。 学位论文作者签名： 肋年6 月l ；日 石春嚣 l 西北大学硕士学位论文 第一章绪论弟一早三百比 1 1 研究背景与课题意义 数论是研究整数性质的一个数学分支，它历史悠久，而且有着强大的生命 力数论有一个显著特点：表面简单，实际难，数论问题叙述简明，很多数论问 题可以从经验中归纳出来，并且仅用三言两语就能向一个外人解释清楚，但是 要证明它却远非易事因而有人说：用以发现天才，在初等数学中再也没有比数 论更好的课程了任何学生，如能把当今任何一本数论教材中的习题做出，就应 当受到鼓励，并劝他将来从事数学方面的工作所以在国内外各级各类的数学 竞赛中，数论问题总是占有相当大比重利用整数的一些性质，可以进一步探索 许多有趣和复杂的数学规律，正是这些特性的魅力，吸引了古往今来许多数学 家不断地进行研究和探索 罗马尼亚著名的数论专家f s m a r a n d a c h e 教授所作出的许多贡献中，其中 一项就是他总是源源不断地提出一系列问题：国际数学界的有名杂志、期刊， 甚至百科全书中把他所提出的一些问题命名为s m a r a n d a c h e 函数1 9 9 1 年在他 所著的 o n l yp r o b l e m s ，n o ts o l u t i o n s ! ) ) 一书中，他提出了1 0 5 个尚未解决的 问题一些著名的学者对这些问题进行了深刻的研究，得到了许多有重要理论 意义的结果 正是这些问题，使我们不断对此进行更深入的研究，鼓励我们运用初等数 论，解析数论，以及初等方法，对那些悬而未解的问题迸行了研究，涉及到的最 广泛的问题就是s m a r a n d a c h e 函数均值分布，s m a r a n d a c h e 函数的整除性，方程 的可解性等，从而使我们获得了有重大意义的理论成果 1 第一章绪论 1 2 主要成果和内容组织 本文主要利用初等数论，解析数论的基础知识，运用初等方法，研 究t s m a r a n d a c h e 函数的整除性质，而且对包含s m a r a n d a c h e 函数，s m a r a n d a c h e 互反函数，伪s m a r a n d a c h c 无平方因子函数，伪s m a r a n d a c h e 函数，除数函 数，算术函数u ( n ) ，( n ) ，欧拉函数的方程的可解性进行了研究具体内容主要 分布在第三至第五章，具体阐述如下： 1 第三章主要给了一个与s m a r a n d a c h e 函数相关的整除定理，并给出了定 理证明 2 第四章主要利用初等方法研究了包含s m a r a n d a c h e 函数，除数函数，算 术函数u ( n ) ，s m a r a n d a c h e 互反函数的方程的可解性，即方程 s ( n ) = d ( 礼) ， s ( 仃) = v ( 扎) ， s ( n ) = & ( 礼) 给出了这三个方程的所有正整数解及解的形式 3 第五章运用初等方法研究了包含两个算术函数u ( n ) ，( n ) ， 伪s m a r a n d a c h e 函数，伪s m a r a n d a c h e 无平方因子函数，欧拉函数的方程的 可解性，即方程 u ( 凡) = ，( n ) ， z ( n ) = ，( n ) ， z 0 ( n ) = ( n ) ， s ( 凡) + 乙( 儿) = 2 n 并获得了这些方程的所有正整数解 2 西北大学硕士学位论文 第二章数论的概述 2 1 数论的发展简况 自古以来，多数人把数学看成是一种数学体系，是经过严密的逻辑推理而 形成的系统化的理论知识总和它既反映了人们对“现实世界的空间形式和数 量关系的认识”，又反映了人们对“可能的量的关系和形式的认识”从人类 社会的发展史看，人们对数学本质特征的认识在不断变化和深化数学的根源 在于普通的常识，最显著的例子是非负整数欧几里得的算术来源于普通常识 中的非负整数，而且到1 9 世纪中叶：对于数的科学探索还停留在普通的常识著 名的数学家冯诺伊曼就认为：数学兼有演绎科学和经验科学两种特性 人类从学会计数开始就一直和自然数打交道了，后来由于实践的需要，数 的概念进一步扩充，自然数被叫做正整数，而把它们的相反数叫做负整数，介于 正整数和负整数中间的中性数叫做0 它们合起来叫做整数对于整数可以施行 加减乘除四种运算，叫做四则运算，又叫算术，它与几何学是最古老的两门数学 分支传统的几何学已经枯萎而传统的数论还有大量的问题无法解决 人们在对整数进行运算的应用和研究中，逐步熟悉了整数的特性比如： 整数浅薄地划分可分为两大类：奇数和偶数，深刻地划分可分为素数、合数、 “1 等，数论这门学科最初是从研究整数开始的，所以叫做整数论后来整数 论又进一步发展，就叫做数论了确切的说j 数论就是一门研究整数性质的学 科在整数性质的研究中，人们发现质数是构成正整数的基本材料，要深入研究 整数的性质就必须研究质数的性质因此关于质数性质的有关问题，一直受到 数学家的关注两干多年来，数论学有一个重要的任务，就是寻找素数性质及分 布规律，为此，许多学者花费了巨大的心血利用素数的一些基本性质，可以进 一步探索许多有趣和复杂的数学规律，正是这些特性的魅力，吸引了古往今来 许多的数学家不断地研究和探索 自我国古代，许多数学著作中都有关于数论内容的论述，比如求最大公约 3 第二章数论的概述 数，勾股数组，某些不定方程整数解的问题等等在国外，古希腊时代的数学家 对于数论中一个最基本的问题：整除性问题有系统的研究，关于质数、合数、 约数、倍数等一系列概念也已经被提出来应用了，后来的各个时代的数学家也 都对整数性质的研究做出了重大的贡献，使数论的基本理论逐步得到完善 2 2 数论的分类 数论形成一门完整独立的学科后，跟随数学其它分支的发展，我们对数论 可以进行分类，具体地说，数论主要可以分为初等数论、解析数论、代数数 论、几何数论等部分 初等数论是数论中不求助其它数学学科的帮助，只是依靠初等的方法来研 究整数性质的分支初等数论主要研究的是整数环的整除理论及同余理论此 外它也包括了连分数理论和少许不定方程的问题本质上说，初等数论的研究 手段局限在整除性质上初等数论中经典的结论包括：算术基本定理、欧几里 得的质数无限证明、欧拉定理、高斯的二次互逆律、勾股方程的商高定理、佩 尔方程的连分数求解法等等 解析数论主要借助微积分及复分析( 即复变函数) 来研究关于整数的问 题，主要又可以分为乘性数论和加性数论解析数论的创立当归功于黎曼，他发 现，黎曼( 函数的非平凡零点的分布情况决定了素数的很多性质黎曼猜测，那 些零点都落在复平面上实部为：的直线上这就是著名的黎曼假设，被誉为千禧 年的七大世界数学难题之一值得注意的是，欧拉实际上在处理素数无限问题 时也用到了解析方法解析数论方法除了圆法，筛法等之外，也包括和椭圆曲线 相关的模形式理论等此后又发展到自守形式理论，从而和表示论联系起来 代数数论，将整数环的数论性质研究扩展到了更一般的整环上，特别是代 数数域其中一个主要的历史动力来自于寻找费马大定理的证明由于此前人 们一直关注费马大定理的证明，所以又发展出了代数数论的研究课题比如：库 莫提出了理想数的概念，可惜他当时忽略了代数扩环的唯一分解定理不一定成 4 西北大学硕士学位论文 立高斯研究了复整数环的理论：即高斯整数，他在3 次情形的费马猜想中也用 了扩环的代数数论性质代数数论发展的一个里程碑，则是希尔伯特的数论 报告另外，代数数论更倾向于从代数结构角度去研究各类整环的性质，比 如，在给定的整环上是否存在算术基本定理等等这个领域与代数几何之间的 关联尤其紧密，它实际上也构成了交换代数理论的一部分它也包括了其它深 刻内容，比如：表示论p - a d i c 理论等等 几何数论中最出名的定理就是m i n k o w s k i 定理这门理论也是由闵科夫斯 基所创 对于研究二次型理论有着重要作用此外还有计算数论，它的应用很广泛， 例如，素数测试、因数分解、密码学等 超越数论更是广泛地探讨了数的丢蕃图逼近理论组合数论这是由艾狄胥 开创的思路它的用处很多，比如兰伯特猜想的简化证明 随着数学工具的不断变化，数论开始和代数几何深刻联系起来，最终发展 为当今最深刻的数学理论，诸如算术代数几何，它们将许多此前的研究方法和 研究观点最终统一起来，从更高的观点出发，进行研究和探讨这也是数论发展 到目前为止最深刻最前沿的领域，可谓是集大成者它从代数几何的观点出发， 通过深刻的数学工具去研究数论的性质，比如，外尔斯证明费马猜想就是这方 面的经典实例整个证明几乎用到了当时所有最深刻的理论工具当代数论的 一个重要的研究指导纲领，就是著名的郎兰兹纲领 除了上述传统的方法之外，也有其他的一些研究数论的方法，但是没有完 全得到数学家的认可比如有物理学家，通过量子力学方法声称证明了黎曼假 设 2 3 数论的重要性及数论专家 数论在数学中的地位是非常独特的，德国著名的数学家高斯曾经说过：数 学是科学中的皇后，然而数论却是数学中的皇冠也正因为如此，数学家们都喜 5 第二章数论的概述 欢把数论中一些疑难问题，叫做“皇冠上的明珠”，而鼓励人们去努力摘取下 面我们简要列出几个：费马大定理，孪生素数问题，圆内整点问题， 对于近代，从二十世纪三十年代开始，在解析数论，一致分布等方面都有 过重要的贡献，出现了很多一流专家，比如：柯召、华罗庚、闵嗣鹤、潘承洞 其中，华罗庚教授在堆砌素数论，三角估值方面的研究是非常有名的1 9 4 9 年 以后数论的研究得到了更广更好的发展尤其是在“筛法”和“哥德巴赫猜 想”方面，已经取得了世界领先的水平另一方面，黎曼在研究( 函数时，发现 了复变函数的解析性和素数分布之间的深刻联系，由此将数论领进了分析的领 域这方面的主要的代表人物还有英国著名数论学家哈代、李特伍德、拉马努 金等等在国内，则有华罗庚、陈景润、王元等等 特别地，著名数学家陈景润在1 9 6 6 年证明了一个重要的结论：一个足够大 的偶数都是一个素数和一个不超过两个素数的乘积之和，这个结果我们也可以 简单的表示为1 + 2 众所周知，这个结果，在国际数学界引起了特大轰动，大力 盛赞陈景润的论文是筛法的光辉顶点，更被认为是解析数学中的名作目前为 止，这依旧是“哥德巴赫猜想”的最佳结果 6 西北大学硕士学位论文 第三章关于s m a r a n d a c h e 函数的整除定理 3 1引言 整除理论是数论中非常重要的部分对于整除性质的研究也是非常有趣的， 很多学者和数学家对此不断的进行了研究，并获得了很多具有深刻意义的成果， 比如，f s m a r a n d a c h e l l 】已经证明了对任意的正整数m ，有 仇l ( 口m a ) ( m 一1 ) ! 因为( 仇，m 一1 ) = 1 ，所以ml ( a m a ) ( m 一2 ) ! 乐茂华教授【2 1 在上述结论的基础上做了改进，即证明了 m i a m - a ) 鼢 本小节，主要运用初等方法，对文献 1 】已经证明的整除性质再次做了改进。 得到了一个与s m a r a n d a c h e 函数有关的整除定理 定理3 1 若a 和仇是两个正整数，并且m 1 ，则 m la m 一口) ( m 一2 ) ! 4 孚】 其中吲表示不超过z 的最大整数 3 2 主要的引理 2 11 首先给出几个重要的引理 引理3 1 如果。和m 是两个正整数，并且m 0 ，那么m 整除a m o ) ( m 一 证明参考文献 1 】 7 第三章关于s m a r a n d a c h e 函数的整除定理 引理3 2 若。和6 是两个正整数，s = 1 ，2 ，3 ，a ) 则在集合s 中能 被6 整除的元素的个数可以表示为 0 证明参考文献 2 卜 3 3 定理的证明 要证明该定理，很显然只需要证明 ( 3 1 ) ( b ) 若m - 5 ，则 孚 = 1 ，4 【丁i = 4 叱l 兰= 笛一半誓蝴栅眦 当咻 孚 ：l ，4 【丁j = 4 ( n m o ) ( m 一2 ) ! ( n 8 一o ) 6 io ( 0 7 1 ) 6 1 二一 = 一= 一 因为0 ，和( 0 7 1 ) 之间有一个数是偶数，所以2la 8 一n ) ，4 2i 61 故当m = 8 时， 定理( 3 1 ) 成立 ( c ) 如果m 5 ，并且m 8 ，那么分为两种情形来进行讨论： 如果m 是一个奇数，那么设m = 4 k + t ，其中t = 1 或者= 3 ，k n 有 4 孚】= 4 掣l 8 西北大学硕士学位论文 当m = 4 k + 1 时，有 薹 字 = 当m = 4 k + 3 时，有 孚 + 字 + ( 2 k 1 ) + ( k 一1 ) 十( 3 k 一2 ) 2 k ( 3 2 ) 薹 字 = 字 + 字 + = 2 k + k + 芝3 k 2 k ( 3 3 ) 由上面的式子( 3 2 ) 和( 3 3 ) ，就可以推出：4 惫是( 4 尼一2 ) ! 的一个因数不妨 设( m 一2 ) ! = 4 七| d ，其中d 是一个整数又因为( 4 南+ t ，4 七) = l ，所以， ( 4 尼+ t ) i ( a m a ) d 即当m 5 且是一个奇数时，该定理仍然是成立的 当m 是一个偶数时，设m = 2r | q ，其中g 是一个奇数显然当r = 1 时，该定 理成立当r 2 时，即只需要证明 2 2 ( r - ) q - 2 + ri 鲨：二监：! 二坐 g 类似地，有 o o j = l 字 + 丁m - - 2 + + 字 + 2 r - l q 一1 + 2 r - 2 q 一1 + + g 一1 + 2 7 - 1 q 一1 + 2 r - 2 q i + + q 一1 = g ( 2 r 一1 + 2 7 一2 + + 1 ) 一r = q 2 r q r ( 3 4 ) 其中r22 ，并且( 2 ，口) = 1 ，因为( 口2 t 一口一7 ) 一( 2 ( r - 1 ) q 一2 + 7 ) = 2 , - 1 q q + 2 2 r 0 所以，2 2 - 1 q 一2 柑是( m 一2 ) ! 的一个因数又因为口m 一2 ， 有gi ( m 一2 ) ! 综合起来，当m 5 ，( m 8 ) 并且m 是一个偶数时，定理( 3 1 ) 成 立 综合( a ) ，( b ) 和( c ) 三种情况，完成了定理( 3 1 ) 的证明 9 第p l q 章与s m a r a n d a c h e 函数相关的三个方程 第四章与s m a r a n d a c h e 函数相关的三个方程 4 1 关于s m a r a n d a c h e 函数与除数函数的一个方程 4 1 1 引言 著名的f s m a r a n d a c h e 函数s ( 几) 被定义为最小的正整数m 使得nlm ! 其 中几是任意的正整数臣p s ( n ) = m i n m ：仃lm ! ，礼n t 当礼= 硝1 p 呈2 砖， 是礼的素因子标准分解式时，那么s ( n ) 21 s ( m 1 ) + s ( m 2 ) + + s ( m k ) 同时还有无限多组正整数( m l ，? 7 1 2 ，m 七) 满足 s ( m l + m 2 + + 仇七) 2 ， 仇1 都是奇数； ( i i ) 忌5 是一个奇数，m 2 是一个偶数； ( i i i ) 对于任意的 偶数尼 3 且m 1 ；则方程 m s ( m 1 + m 2 + + m k ) = s ( m 1 ) + s ( m 2 ) + + s ( m k ) 有无限多组正整数解m l ，m 2 ，m k ) 另p t b e n c z e 提出了下面的问题，即寻找方程 111 一上一一一s ( n ) 2 1 s ( 6 ) 2s ( c ) 2 的所有正整数解 蔡立翔【9 j 对此进行了研究，并证明该方程有无限个正整数解，对于该方程的 每组解都必须满足下面的条件： ( 1 ) 1 s ( a ) 2 十1 s ( 6 ) 2 = z 2 ，也就是说s ( o ) ，s ( 6 ) ，z 为勾股数 ( 2 ) ( s ( o ) ，s ( 6 ) ) = d 1 ，g z l d 2 ，( s ( 口) ，s ( 6 ) ) 表示s ( 口) ，s ( 6 ) 的最大公约数 ( 3 ) s ( c ) = x y i z l 段卫国，薛艳荣【1 0 】研究了方程 s ( 佗，) + s ( 佗2 ) + + s ( n ) = ( 竺鱼害= _ 尘) 1 1 第p u 苹与s m a r a n d a c h e 函数相关的三个方程 可解性，并证明该方程只有两个正整数解几= 1 ，1 0 王锦瑞 1 1 j 还给了一个关于函数5 r ( n ) 的下界估计：即对任意的正整数n ， 则s ( r ) 8 2 n + 1 其中，f n = 2 2 “+ l 被称为费马数 k e n i c h i r ok a s h i h a r a 提出了一个有趣的问题，即寻找正整数竹，使 s ( 2 ) s ( 4 ) s ( 6 ) s ( 2 n ) s ( 1 ) s ( 3 ) s ( 5 ) s ( 2 n 一1 ) 是一个整数 刘宝利，潘晓玮【1 2 】对此问题进行了探讨，并证明了对任意的正整数7 1 ，公式 s ( 2 ) ，s ( 4 ) s ( 6 ) s ( 2 佗) s ( 1 ) - s ( 3 ) s ( 5 ) s ( 2 n 一1 ) 是一个整数当且仅当n = 1 马金萍p a f i e d ) 1 了方程 妒( n ) = s ( n ) 有且仅有4 个解，即n = l ，8 ，9 ，1 2 在这个方程的基础上，易嫒p 4 i i e 明了下面三个结论： ( a ) 方程( n ) = s ( n 2 ) 有三个解，n = 1 ，2 4 ，5 0 ( b ) 方程( 冗) = s ( 凡3 ) 也有三个解，t t = l ，4 8 ，9 8 ( c ) 方程矽( n ) = s ( n 4 ) 有一个解，几= 1 另外，如果七是任意的正整数，那么方程咖( 礼) = s ( 扩) 有有限个解 m u r t h y 教授也提出了一个问题即寻求方程 s ( n ) = s l ( n ) 的整数解 乐茂华教授【i 5 j 完全解决了这个问题，并证明该方程有解，当且仅当n = 1 2 ， 或者 r t = p 1 p ；2 碟5 p ，其中要求p p ，i = 1 ，2 ，3 ， 另一方面，著名的d i r i c h l e t 除数函数d ( 佗) 被定义为佗的所有因数的个数如 果n = p ? 1 p 呈2 心s ，那么d ( 礼) = ( 乜1 + i ) ( a 2 + 1 ) ( q 。+ 1 ) 对于除数函 12 西北大学硕士学位论文 数d ( 几) 的性质，很多著名学者进行了研究，并获得了一些有理论价值的结果，参 照文献 4 6 本小节，仍然利用初等方法研究方程s ( n ) = d ( n ) 的可解性并证明该方程 有无限个正整数解即证明了下面的定理： 定理4 1 方程 s ( n ) = d ( n ) 有解当且仅当n = 2 2 l 1 ，( 凫= 0 ，1 ，2 ) ；或几= p q 仇，( 1 a p ) ，其 中仇i 号掣；n = - p a m ，ml 垒止韭 告孕堕业，( q p ) ，n 1 d 0 ) 1 3 第阴章与s m a r a n d a c h e 函数相关的三个方程 ( 4 ) 若佗= p 。，并且n 2 ，当q p 时，有s ( p q ) = a p ，d ( p a ) = q + 1 ，所 以s ( 矿) d ( p o ) 当o t p 时，分两种情况进行分析： ( a ) 当p 之3 ，a 3 时，由引理( 4 1 ) 可以得到s o ) 一1 ) a + 1 q + 1 = d ( p n ) 臣o s ( p a ) d ( p q ) ( b ) 当p = 2 且口2 时，很显然s ( 2 n ) 是一个偶数，因为d ( 2 q ) = o t + 1 ， 即s ( 2 q ) = d ( 2 0 ) 成立当且仅当q 是一个奇数当q = 2 n 一1 时，那么由除数函 数d ( n ) 的定义，有d ( 2 2 “一1 ) = 2 n 当七= 1 ，p = 2 时，由引理( 4 2 ) 有 s ( 2 2 ”) = ( 矽( 2 n ) + 1 ) 2 = 2 n + 2 因为s ( 2 2 ”) = 2 n + 2 ，由函数s ( 扎) 的定义及其性质，有2 2 “i ( 2 n + 2 ) ! ，进而 有2 2 ”一1 2 n ! ( 2 n 一1 + 1 ) ? 因为2 凡一1 + 1 是一个奇数，故2 2 “一12 n ! ，从而有2 2 “t2 n ! 进而2 2 “一1t ( 2 n 一1 ) ! 2 n ，即2 2 k 1t ( 2 n 一2 ) ! 所以s ( 2 2 “一1 ) = 2 n = d ( n ) 当q = 七2 n l 时，且尼3 是一个奇数时，有 由引理( 4 1 ) ，可以得到 s ( 2 舰”一1 ) 一d ( 2 眦虬1 ) = 2 s ( 2 七- 2 “一1 ) 七2 n 一1 十1 = k 2 n 其中七= 1 时这个不等式仍然成立 因为 当忍3 ，并且是个奇数时，有 霎阴一2 州托2 棚+ ，+ 筘 一2 n 讲壹j = t 阱 1 ， 克2 n 一尼+ 薹 刍 一尼2 n + 1 k 。2 “刘2 ”一fk 2 “! 又因为 喜 学 = 惫( 2 n - 1 + 2 n - 2 + + 1 ， 2 ， + ( 1 + + 嘉) + ，妻。 学 一2 n m 2 廿( 沙，耋。 学 ( 4 3 ， 有 眦n 2 。( 沙，妻， 学卜m 。 所以2 七2 “一1i ( k 2 n + 2 ) ! ，且o s ( 2 磨2 ”一1 ) = k 2 n + 2 = d ( 礼) + 2 f 5 1 当n ：刀竿- 口孚2 口2 s 时，由定义有 因为 d ( n ) = ( o q + 1 ) ( a 2 + 1 ) ( o t ，+ 1 ) s ( 礼) 2k m a x r s ( p ；1 4 ) ) = s ( p q ) ( o t l + 1 ) ( q 2 + 1 ) ( o l 。+ 1 ) 一a p 2 s - i ( 口+ 1 ) 一叩， 所以当2 s 一1 ( q + 1 ) 一a p o 时，有s l 0 9 2 。”+ 在这种情况下，s ( n ) d ( n ) 如果1 s 1 时，并且礼= p ? 1 p 呈2 赡。为几的标准素因子分解式时， u ( n ) = m a x a l p l ，o r 2 p 2 ，s p s ) 关于算术函数u ( n ) 的性质，很多学者进行了研究，并获得了一些研究成果例 如，沈虹【1 6 】研究了算术函数u ( n ) 的性质，并证明了下面的渐进公式 ( 吣) - p ) 2 - 驾学+ d ( 志) n 1 ，方程 z ( n ) = u ( n ) 成立当且仅当礼：p m ，其中p 为奇素数，m 为学的正因数，也就是说mi 学， 并且m 1 1 6 西北大学硕士学位论文 ( 2 ) 设讥是任意的正整数，且n 1 ，函数方程 z ( n ) + 1 = u ( 佗) 成立当且仅当n = p m ，其中p 为奇素数，m 为p - 2 - 1 的正因数，也就是说mi 譬， 并且m 1 本小节主要利用初等方法研究了包含s m a r a n d a c h e 函数，算术函数u ( n ) 的 方程的可解性，给出了这两个方程的解的形式 定理4 2 方程 s ( n ) = u ( n ) 有解当且仅当仃= p a m ，( 1 q p ) ，mi 垒篆型，且。猡一1lm ，其中叩一1 是 任意的一个素数 4 2 2 主要的引理 首先给出两个简单的引理 引理4 1 设n 是任意的正整数，那么 s ( n ) = m a x s ( p ) ， 其中n = p 1 p 呈2 赡s ，特别地s 0 ) = p 证明参考文献 4 引理4 2如果p 是一个奇素数，尼是任意的正整数，那么 s ( p 七) k p ， 且当七 p 时，s ( p 七) = 切 证明参考文献 4 】 17 第p l q 章与s m a r a n d a c h e 函数相关的三个方程 4 2 3 定理的证明 首先来证明定理( 4 2 ) 很显然当n = 1 时，s ( 1 ) = 1 ，u ( 1 ) = 1 ，所以s ( 1 ) = u ( 1 ) 当凡2 时：假设s ( 死) = 【厂( 礼) ，当扎= p 1 ，p 2 c 。2 拍_ a s ，由( 他) 的定义，设u ( n ) = 印由函数s ( 咒) 的定义，有叩是最小的正整数，并且满足佗i ( 印) ! ，显然可以得 到矿l 礼进而可以推出几i ( 叩) ! ，因此设n = p a m ，有mi 譬下面分四种情 况来进行讨论： ( i ) 当q = 1 时，n = p m ，有ml ( p 一1 ) ! ，因为s ( m ) s ( p ) ，所p a s ( n ) = p ， 故s ( n ) = c ，( n ) ( i i ) 当1 口 p a 当p = 2 时，又因为( 2 q ) + 1 2 q ，所以& ( 2 q ) 2 a 因此综合两种情况可以推出 & 口) 之p a 由s ( n ) 的性质：有 s ( p q ) q p p 1 p 呈2 p 芋。一1 p 口 q p 2 n 西北大学硕士学位论文 综上所述，可以得出 这样就完成了定理( 4 3 ) 的证明 s ( n ) 咒( n ) 2 1 第五章关于两个算术函数的一些方程 第五章关于两个算术函数的一些方程 5 5 1与算术函数u ( 佗) 和，( 佗) 有关的方程 对任意的正整数几，s m a r a n d a c h e 算术函数u ( n ) 被定义为：u ( 1 ) = 1 ，当几 1 时，并且几= 西1 p ；2 赡5 为佗的标准素因子分解式时， u ( 礼) = m a x a l p l ，( 1 2 p 2 ，o 。p s ) 对任意的正整数仃，定义两个新的算术函数，( n ) ，和它的对偶函数7 ( 几) ， f ir ( 1 ) = 7 ( 1 ) = 1 ，当死 1 时，且佗= p 1 p 呈2 p 孑s 为n 的标准素因子分解式时，定义 例如 ，( 几) = m a x c q ，0 1 2 ，仅七) ，( 佗) = m i n a x ，0 1 2 ，a 屉) f ( 1 ) = 1 ，f ( 2 ) = 2 ，f ( 3 ) = 3 ，f ( 4 ) = 2 ，f ( 5 ) = 1 ， 一f ( 1 ) = 1 ，7 ( 2 ) = 1 ，一f ( 3 ) = 1 ，7 ( 4 ) = 2 ，一f ( 5 ) = 1 ， 关于这两个函数梅永刚和王好研究了这两个新的算术函数的性质及其 均值，证明了下面的结论 ( 1 ) 对任意的实数z 1 ，有渐进公式 ( 砌) 1 ) 2 = b z + 。( z 扣) n 1 ，有渐进公式 三( 劢) 1 肛器。+ 0 ( 矗( 1 n 妒) - 2 2 西北大学硕士学位论文 本小节主要研究了与算术函数u ( 钆) 和，( 佗) 有关的两个方程的可解性，即证明了 下面的两个定理： 定理5 1 方程 u ( 礼) = f ( n ) 有解当且仅当n = 1 定理5 2 方程 u ( n ) + 1 = ，( 佗) 没有正整数解 5 1 2 定理的证明 分三种情况来讨论： 当礼= 1 时，显然有u ( 1 ) = f ( 1 ) = 1 ( 1 ) 当n ：p 时，由函数厂( n ) ，厂( n ) 的定义，有u ( p ) = p ，( p ) = l ，因为p 是一 个素数，所以矿( p ) ，( p ) ( 2 ) 当礼：p q 时，由这两个函数的定义有v ( p 口) = o l p ，f ( p q ) = q ，很显 然o z p 0 l ，即u ( p q ) ，( p q ) ( 3 ) 当n z w t ，且礼= p 宇1 p ；2 p 呈。，设 其中，l i s u ( n ) = m a x a x p ：，q 2 p 2 ，a s p s ) = a i p i f ( n ) = m a x o ：l ，q 2 ，口知 = 叼 其中，1 j s 现在假设u ( n ) = ，( n ) ，又分为三种情况来讨论： ( a ) 当 ：歹时，由己厂( n ) = 厂( 礼) 可以推出p i = q ，进而鼽二1 ，这与既是一 个大- t - 1 f 拘素数发生矛盾 2 3 第五章关于两个算术函数的一些方程 ( b ) 当i j 时，显然肌 功，哟 ，由u ( n ) = 厂( n ) ，有啦p i = ，给等式 两边同时乘以乃，则 o l t p t p j2 ( x j p j 从而锄= 器，又因为q i p i 哟。p j ，所以乃 1 发生矛盾所 以假设错误 ( c ) 当i 1 ，函数方程 z ( n ) = s ( 咒) 2 4 西北大学硕士学位论文 成立当且仅当咒= p m ，其中p 为奇素数，m 为学的任意一个大于1 的正因数，即 就是mi 学并且m 1 ( 2 ) 对任意的正整数佗，扎 1 ，函数方程 z ( n ) + 1 = s ( n ) 成立当且仅当n = p m ，其中p 为奇素数，m 为譬的任意一个正因数，也就 是mf v - 2 - 1 并且m 1 此外，在文献 6 中研究了方程z ( 礼) + 鼠( n ) = 扎的可解性，并用初等方法给 出了该方程的所有正整数解，即 z ( n ) + & n ) = n 有且仅有一个偶数解n = 6 ，和一个奇数解即几= p 七，其中p 3 为素数，七为任意 的正整数 j s a n d o r 研究了函数z ( n ) 性质，引入了z ( n ) 的一个对偶函数互( 礼) ，它被定 义为最大的正整数m ，使得华整除佗在第四届国际数论与s m a r a n d a c h e 问 题研讨会期间，张文鹏教授建议研究方程 z ( n ) + 五( n ) = 佗 的可解性，同时提出了下面两个猜测： ( a ) 方程只有有限个偶数解，也许只有一个偶数解n = 6 ( b ) 方程的所有奇数解必为奇素数p 5 ) 的方幂 张瑾【2 3 】研究了这一问题，并彻底解决了问题( b ) k e n i c h i r ok a s h i h a r a 研究了函数z ( 几) 的初等性质，并证明 ( 1 ) 对任意的正整数佗，有伪s m a r a n d a c h e 函数z ( n ) 1 ( 2 ) 对任意的正整数礼，有z ( n ) 1 ，a p z ( p ) ，( p ) 当礼= p a 时，分以下两种情况： 当p = 2 0 t - ，n = 2 q ，其中q 2 ，由z ( n ) 的性质有z ( 2 q ) = 2 叶1 1 ， y ( 2 q ) = a ， 很显然2 q + 1 1 q ，所d a z ( 2 q ) f ( 2 q ) 当p 3 时，有z ( p q ) = p 一l ，f ( p n ) = o t 令f ( x ) = p z 一1 一z ，其中z 2 ，对，( z ) 进行求导，则，7 = p z l n p 一1 0 ， 所以，( z ) 为增函数， 因l t t f ( x ) 0 ，故矿一1 z ，b p z ( p a ) i ( p 口) 当n 1 时，且几= p 芋- p 呈2 醒s 时，假设n 为方程z ( n ) = 厂( n ) 的解，设z ( n ) = f ( n ) = a ，其中q = m a x a l ，a 2 ，o 。) 设佗= p 。m ，现在分两种情况讨论： 2 6 西北大学硕士学位论文 当p = 2 时，几= 2 口仇，由函数z ( n ) 的定义，有2 口i 竺幽2 ，又因为2 q + 1 a + l ， 并且q + 1 与a 5 h ，必有一个是偶数一个是奇数，所以2 q 不可能整除掣，这样 产生矛盾 当p 2 时，佗= p 。仇，由假设可以得到2 p q i q ( q + 1 ) ，因为p 口 q ， g p q q + 1 ，故印。不可能整除q ( q + 1 ) ，所以假设错误