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文档简介

,第四节,一、隐函数的导数,二、由参数方程确定的函数的导数,机动目录上页下页返回结束,隐函数和参数方程求导,第三章,及高阶导数（一）,三、高阶导数的概念,1,一、隐函数的导数,若由方程,可确定y是x的函数,由,表示的函数,称为显函数.,例如,可确定显函数,可确定y是x的函数,但此隐函数不能显化.,函数为隐函数.,则称此,隐函数求导方法:,两边对x求导,(含导数的方程),机动目录上页下页返回结束,2,例1.求椭圆,在点,处的切线方程.,解:椭圆方程两边对x求导,故切线方程为,即,机动目录上页下页返回结束,解出y，取正号,3,例2.求由方程,在x=0处的导数,解:方程两边对x求导,得,因x=0时y=0,故,确定的显函数,机动目录上页下页返回结束,4,例3.求由方程,的导数,解:将上式移项然后两边取对数,确定的显函数,机动目录上页下页返回结束,方程两边对x求导,即,5,二、由参数方程确定的函数的导数,若参数方程,可确定一个y与x之间的函数,可导,且,则,时,有,时,有,(此时看成x是y的函数),关系,机动目录上页下页返回结束,6,例4.求参数方程,的导数,解:,机动目录上页下页返回结束,例5.求,解:,7,例6.抛射体运动轨迹的参数方程为,求抛射体在时刻t的运动速度的大小和方向.,解:先求速度大小:,速度的水平分量为,垂直分量为,故抛射体速度大小,再求速度方向,(即轨迹的切线方向):,设为切线倾角,则,机动目录上页下页返回结束,8,抛射体轨迹的参数方程,速度的水平分量,垂直分量,在刚射出(即t=0)时,倾角为,达到最高点的时刻,高度,落地时刻,抛射最远距离,速度的方向,机动目录上页下页返回结束,9,例7.设由方程,确定函数,求,解:方程组两边对t求导,得,故,机动目录上页下页返回结束,10,思考与练习,求螺线,在对应于,的点处的切线方程.,解:化为参数方程,当,时对应点,斜率,切线方程为,机动目录上页下页返回结束,11,定义.,若函数,的导数,可导,或,即,或,类似地,二阶导数的导数称为三阶导数,阶导数的导数称为n阶导数,或,的二阶导数,记作,的导数为,依次类推,分别记作,则称,机动目录上页下页返回结束,三、高阶导数的概念,12,设,求,解:,依次类推,例8.,思考:设,问,可得,机动目录上页下页返回结束,13,例9.设,求,解:,特别有:,解:,规定0!=1,思考:,例10.设,求,机动目录上页下页返回结束,14,例11.设,求,解:,一般地,类似可证:,机动目录上页下页返回结束,15,例12.设,解:,机动目录上页下页返回结束,16,例13.设,求使,存在的最高,分析:,但是,不存在.,2,又,阶数,机动目录上页下页返回结束,17,求其反函数的导数.,解:,方法1,方法2,等式两边同时对求导,补充
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