（物理学专业论文）量子相干性与统计热力学基础.pdf

国防科学技术大学研究生院硕十学位论文 摘要 随着量子信息科学的发展，量子力学的许多基本问题受到了关注，统计热力学 中的一些基本问题也从量子力学的角度受到重新审视，并出现了新的研究方向 量子热力学。量子热力学的研究可以为量子信息科学提供必要的理论依据，对量子 信息的发展起到指导作用，同时对这些基本问题的研究也有助于量子力学及统计热 力学自身理论体系的完善。 本文主要研究相干性和纠缠等量子力学效应对统计热力学的影响的问题，我们 主要做了以下三个工作： 1 以往统计物理中把等概率假设作为一条基本假设，由等概率假设可以证明， 处于平衡态的孤立系统中的一个子系统将处于正则分布( 或巨正则分布) 。我们在 量子统计的典型性定理的基础上发现，在热力学极限下，等概率假设对应的等概率 分布并不是导出正则分布的必要条件，存在一类更普遍的分布可以导出正则分布。 ( 见本文2 4 节) 2 我们利用费米黄金定律继续分析了动力学演化中正则分布的特殊性：正则分 布是在一阶微扰下能够保持其形式不变的唯一状态；并且证明初始时刻任意一个满 足刘维尔定理的平衡态，经过长时间的演化后，最终达到正则分布。( 见本文3 2 节) 3 我们探讨了量子热力学下的热力学第二定律与量子力学的相容性问题，从量 子力学基本假设出发，给出了热力学第二定律的一种证明，从而从理论上保证了热 力学第二定律在量子热力学中不会被违反。( 见本文4 4 节) 主题词：等概率假设，正则分布，量子热力学 第i 页 国防科学技术大学研究生院硕十学位论文 a b s t r a c t w i t ht h er a p i dd e v e l o p m e n to ft h eq u a n t u mi n f o r m a t i o ns c i e n c e ，an u m b e ro f f u n d a m e n t a l q u e s t i o n s a b o u tt h eq u a n t u ms t a t i s t i c a l t h e r m o d y n a m i c sh a v e b e e n c o n c e r n e d t h er e s e a r c hi nt h eq u a n t u ms t a t i s t i c a lt h e r m o d y n a m i c sn o to n l ym a yc l a r i f y m a n yf u n d a m e n t a lp r o b l e m si nt h eq u a n t u mi n f o r m a t i o ns c i e n c e ，b u ta l s oc a ne n r i c ht h e c o n t e n to ft h eq u a n t u m t h e o r ya n ds t a t i s t i c a lp h y s i c s t h i sd i s s e r t a t i o nf o c u s e so nq u a n t u me f f e c t s ，s u c ha sq u a n t u mc o h e r e n c ea n d q u a n t u me n t a n g l e m e n ti nt h eq u a n t u ms t a t i s t i c a lp h y s i c sa n dq u a n t u mt h e r m o d y n a m i c s t h em a i nc o n t e n t si n c l u d e 1 i nt r a d i t i o n a ls t a t i s t i c a l p h y s i c s ，t h ep r i o r ip r o b a b i l i t i e sh y p o t h e s i s i sa f u n d a m e n t a lp r i n c i p l e t h es u c c e s so f p r i o r ip r o b a b i l i t i e sh y p o t h e s i s ，a sw ea n a l y z e ，i si t c a nd e d u c et h ec a n o n i c a ld i s t r i b u t i o n b a s e do nt y p i c a l i t yt h e o r e mo ft h e q u a n t u m s t a t i s t i c a lp h y s i c s ，w ef m dt h a te q u i p r o b a b l ed i s t r i b u t i o nc o r r e s p o n d i n gt ot h ep r i o r i p r o b a b i l i t i e sh y p o t h e s i si sn o tn e c e s s a r yt od e d u c et ot h ec a n o n i c a ld i s t r i b u t i o n am o r e g e n e r a l i z e dc l a s so fd i s t r i b u t i o n s c a nl e a dt ot h ec a n o n i c a ld i s t r i b u t i o n 2 w eu s et h ef e r m ig o l d e nr u l et od i s c u s st h es p e c i f i c i t yo ft h ec a n o n i c a l d i s t r i b u t i o ni nd y n a m i ce v o l u t i o n t h ec a n o n i c a ld i s t r i b u t i o ni st h eo n l yo n ed i s t r i b u t i o n w h i c hc a nl 【e e pi n v a r i a n c ei nf i r s to r d e rp e r t u r b a t i o n a n ye q u i l i b r i u ms t a t ew h i c h s a t i s f i e st h el i o u v i l l et h e o r e mw i l le v e n t u a l l ye v o l u t i o nt ot h ec a n o n i c a ld i s t r i b u t i o n 3 w ed i s c u s st h eq u a n t u mm e c h a n i c sb a s e so ft h es e c o n dl a wo ft h e r m o d y n a m i c s w ep r o v es t r i c t l yb yb a s i cp r i n c i p l e so fq u a n t u mm e c h a n i c st h a tf o rag e n e r a lq u a n t u m t h e r m o d y n a m i c sc y c l et h es e c o n dl a wo ft h e r m o d y n a m i c si sn o tv i o l a t e d k e yw o r d s ：p r i o r ip r o b a b i l i t i e sh y p o t h e s i s ，c a n o n i c a ld i s t r i b u t i o n ，q u a n t u m t h e r m o d y n a m i c s 第i i 页 国防科学技术人学研究生院硕十学何论文 图目录 图1 光子热机的示意图2 4 图2 存在纠缠的量子热机模型2 7 图3 包含麦克斯韦妖的量子热机循环3 0 第1 i i 页 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我本人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含 其他人已经发表和撰写过的研究成果，也不包含为获得国防科学技术大学或其它 教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任 何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文题目： 量壬担王性皇统进垫左堂基趟 学位论文作者签名：猛礁日期：三驴口7 年，2 月7 日 学位论文版权使用授权书 本人完全了解国防科学技术大学有关保留、使用学位论文的规定。本人授权 国防科学技术大学可以保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子 文档，允许论文被查阅和借阅；可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据 库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密学位论文在解密后适用本授权书。) 学位论文题目： 量王塑王丝当统过垫左堂基鹫 学位论文作者签名： 拯冱逸 日期：2 口口7年z 月j 7 日 作者指导教师签名：- - 2 j 互毕日期：乃歹年2 月石日 国防科学技术大学研究生院硕十学位论文 第一章引言 1 1 研究背景 自从玻尔兹曼于1 9 世纪7 0 年代创立统计物理以来【l l ，人们利用统计物理解释 了相变，超导，超流，黑体辐射等问题，对物理学的发展起到了巨大推动作用【2 , 3 1 ， 但是统计物理是一门“头重脚轻”的学问，统计物理的基础，一直存在着问题和争 议【4 j 。我们知道，统计物理学的基础是建立在一条假设等概率假设之上，一百 多年来，许多数学家和物理学家试图证明这条假设的正确性，但最终都没有取得成 功。特别是在量子统计物理中，等概率假设的证明变得更为复杂，如何解决这一棘 手问题，多年来一直困扰着数学家和物理学家。 近年来，随着量子信息科学的发展，小尺度系统( 例如纳米尺度) 的热力学行为 受到了人们的关注，量子效应，比如说量子相干性和量子纠缠，在这类系统中有明 显的体现，如何从量子力学的第一原理出发，重新建立起整个热力学体系，解释和 阐述热力学现象，成为人们关心的问题。 以上两类问题的出发点都是量子力学的第一原理，如果可以把热力学和统计物 理严格建立在量子力学的基本假设之上，是一件很有意义的工作。这样会使热力学 和统计物理的基础更加牢固。在历史上，一些物理学家曾经有过一些思考【5 1 1 6 1 1 7 ， 但到最近十几年才得到快速的发展，有关量子统计基础和量子热力学的研究进展， 主要包括以下两个方面： 1 1 1 统计物理的量子力学基础 在以往的量子统计中，我们往往认为系统以某种概率出现在系统的能量本征态 上面，比如处在平衡态二能级系统的密度算子 p = 三( e 碱l o ) ( o 卜肥1 1 ) ( 1 1 ) ( 1 1 ) 对式( 1 1 ) 的经典解释是系统分别以e - # e o 和三zp 一声易的概率处在能量本征态l o ) 和 第1 页 国防科学技术大学研究生院硕十学位论文 1 1 ) 上面。但是量子力学中的态叠加原理认为，能量本征态i o ) 和1 1 ) 的任意相干叠加 态a l o ) + b 1 1 ) 也是系统一个可能的微观状态，b l o c h 【6 1 注意到这个问题，把这种相干 叠加态也包含在量子统计之内，考虑有相干性存在的等概率假设。之后 s g o l d s t e i n s l ，g e m m e r l 9 1 ，r e i m a n n 1 0 1 等人沿着b l o c h 的思路，从不同角度出发， 把这个问题进一步深化，逐步建立起包含有相干性的量子统计。 s p o p e s c u l l l 】等人认为，纠缠是解决统计物理基础的关键，按照经典统计物理 的观剧1 2 1 ，系统与环境相耦合达到平衡意味着系统和环境的熵同时增加达到最大。 用量子纠缠的观点来看，趋于平衡的过程其实是一个纠缠增加达到最大的过程。他 们证明，如果把一个自由度很大的孤立系统( 与外界既无能量交换又无物质交换的 系统) 看成纯态，那么这个孤立系统的某个子系统和孤立系统的其余部分几乎就处 于最大纠缠态，同时这个子系统的约化密度矩阵也几乎等于正则分布，这与经典统 计物理的结论相同。 1 1 2 量子热力学中的量子相干性和量子纠缠 最近，量子热力学和量子热机也受到广泛的关注【1 3 】【1 4 】【1 5 】【1 6 】【切，与经典热机不 同，量子热机是以符合量子力学规律的介质为工作物质，因此量子热机有许多有别 于经典热机的奇异的性质。0 s c u l l y i l 3 】等人证明了，通过破坏工作物质中的量子相 干性，量子热机可以从单一热源对外作功，表面上看，这似乎与热力学第二定律相 矛盾。k i e u 1 4 1 对最简单的二能级量子系统的o t t o 循环的研究表明，热力学第二定 律在一定的几率意义下是可以违反的，但是在平均的意义下是成立的，这些都让我 们对热力学第二定律有了更深刻的认识。此外，在一些格点自旋模型中，当温度低 于某一特定温度时，临近自旋格点之间有可能出现一类量子纠缠熟纠缠【1 引，张 婷等人考虑了这种热纠缠与量子热机效率之间的关系【1 6 1 。 另一方面，随着计算机科学的发展，计算的物理极限的问题也引起人们的注意， 其中包括对麦克斯韦妖的研究，麦克斯韦妖是麦克斯韦为了讨论热力学第二定律的 局限性而引入的，通过麦克斯韦妖从系统获得信息，从而控制系统对外作功这 似乎也是违背热力学第二定律。后来，麦克斯韦妖佯谬通过s z i l a r d 1 9 1 ，l a n d a u e r 【2 0 】， b e l l i l e t t 【2 1 】等人的努力而解决：如果把麦克斯韦妖包含在这个完整的热力学循环当中 去的话，热力学第二定律就不会被违反。并由此引发人们对信息，熵，计算的物理 第2 页 国防科学技术人学研究牛院硕十学位论文 极限等问题的思考。l a n d a u e r 提出的l a n d a u e r 原理【2 0 l 告诉我们计算机在计算的过 程中，对有效信息的擦除必然伴随着能量的消耗以及热量的产生，擦除一个比特的 信息会导致k 。i n2 的热量的耗散，这对经典计算机的尺度作了限制：如果计算机芯 片上单位面积集成的元件过多的话，就会产生大量的热量，导致芯片的烧毁，因此， 经典计算机不可能做的足够小，从而导致摩尔定律的失效【2 2 1 。对此，全海涛等人给 出一个量子系统中的麦克斯韦妖的实例【17 1 ，验证了l a n d a u e r 原理的正确性。 1 2 本文的结构 本文主要从量子力学基础出发，研究量子相干性对统计物理基础和量子热力学 的影响等基本问题。 本文的第二章和第三章是关于量子效应对量子统计基础的影响的问题，在第二 章，我们介绍了包含有相干性的量子统计希尔伯特空间上的量子统计，以及量 子统计中的正则典型性原理，并在他们的基础上找到了这类统计方法中的一类可能 微观状态的分布代替量子统计的基础一等概率原理。第三章我们分析了正则分布 在平衡态统计物理中的地位，利用一阶微扰的费米黄金定律证明了任意的平衡态都 可以在一阶微扰下演化到正则分布。 本文的第四章是量子相干性和量子纠缠与量子热力学等相关问题。我们先介绍 了存在量子相干性或量子纠缠时，热机效率及热力学第二定律的特征，然后讨论了 量子麦克斯韦妖。存在量子相干性或量子纠缠时，会得到一些似乎有悖于常理的热 力学结果，但实际上并没有违反热力学第二定律，我们分析了这一类问题的根源， 并证明了量子力学的幺正演化和热力学第二定律是相容的，从而从一个侧面给出了 热力学第二定律的证明。 第五章是总结与展望。 第3 页 国防科学技术大学研究生院硕+ 学位论文 第二章统计物理基本假设的量子力学推广 在引言中我们提到统计物理的基础并不牢固，根源就在于多年来人们无法严格 证明等概率假设的正确性。这里有一个值得反思的问题，为什么等概率假设一直饱 受争议却能够沿用至今? 其中的根本原因就在于利用等概率假设成功的推导出正 则分布( 或巨正则分布) p = i 1e 一胆 ( 2 1 ) 厶 实际的物理问题恰好能够利用正则分布( 2 1 ) 式解决。因此，正则分布才是整个统计 物理的核心。如果我们能够另辟蹊径，绕开等概率假设而利用其他的方法推导出正 则分布，完全可以认为等概率假设不必要，利用量子力学方法研究统计物理基础就 是沿着这个思路发展而来，本章将介绍这类方法中一些有代表性的工作，并在他们 的基础上说明等概率假设对应的等概率分布并不是平衡态孤立系统的唯一可能的 分布，一类更普遍的分布都可以作为平衡态孤立系统的可能的分布。 2 1 1 等概率假设的提出 2 1 等概率假设 对于一个处在平衡态的孤立系统( 与外界既无能量交换又无物质交换的系统) ， 如果存在许多可能的微观状态，应当如何确定系统处在每一个可能状态的概率。对 于这个问题，玻尔兹曼提出了著名的等概率假设【1 1 ，他认为，处在平衡态的孤立系 统所有可能微观状态出现的概率都相等。后来吉布斯创立的统计系综理论【冽也把等 概率假设作为系统理论的基础。 等概率假设的一个最重要的意义是推导出正则分布，这被称为吉布斯定理1 2 j ： 假设系统与大热源接触达到热平衡，大热源是指热源的能量和自由度都分别远远大 于系统的能量和自由度，如果把系统和大热源看成一个大的孤立系统，并且认为孤 立系统所有可能微观状态出现的概率都相等，那么这个系统就处于如( 2 1 ) 所示的正 第4 页 国防科学技术人学研究生院硕十学位论文 则分布上，正则分布的形式一旦确定，就可以求出配分函数进而求出各种力学量。 2 1 2 等概率假设的困难 人们证明等概率假设的途径是试图证明遍历性假设。 遍历性假设，也叫各态历经假说，是与等概率假设相等价的一个假设。我们说 一个系统是遍历的，是指这个系统从任意一个可能的微观状态出发，随时间演化， 能够历经所有的可能微观状态【矧。如果我们能够证明处在平衡态的孤立系统具有遍 历性，我们就能够证明孤立系统的等概率假设是成立的。 关于遍历性的研究自2 0 世纪3 0 年代开始，以伯克霍夫、冯诺伊曼、辛钦和其 他许多数学家的工作为标志瞄l ，现在已经形成了一个重要的数学分支。然而数学的 研究指出，对于一个任意的孤立系统而言，遍历性假设是不可能成立的，而2 0 世 纪5 0 年代到6 0 年代，柯尔莫哥洛夫，阿诺尔德和莫泽对这一情形进行了深入的研 究，他们得到的k a m 定理1 2 6 1 【2 7 1 【2 8 l 指出，遍历的力学系统并不像人们原来想象的那 么多。回到最初的统计物理问题上，统计物理中的遍历性假设如同等概率假设一样 依然没有办法解决。 而当我们考虑量子力学系统时，量子力学系统的遍历性将变得比经典力学系统 更为复杂，因为量子力学系统中的需要遍历的可能状态不仅仅是能量本征态，还包 括所有能量本征态的可能叠加态。因此，通过遍历性理论去解决量子统计的基础问 题，并不是一个很好的方法。 2 2 量子力学相干性与统计物理基础 在引言中我们提出了量子统计所讨论的微观状态不应是系统的能量本征态，而 应该是系统的能量本征态的任意可能叠加态。如何把这些相干叠加态考虑在内呢? 量子力学的基本假设p j 认为一个系统的哈密顿的所有本征态构成了一组正交、 归一、完备的基矢，这组基矢的任意叠加张成一个希尔伯特空间，而这个系统的所 有归一化的波函数构成了这个希尔伯特空间上的单位球面。球面上的每一点都对应 于一个波函数，也就是系统的一个可能微观状态，面波函数按照薛定谔方程的演化 第5 页 国防科学技术大学研究生院硕十学位论文 在球面上可以用一个确定的轨道来描述，这种在希尔伯特空i 日j 的球面上描述量子统 计物理的方法与在相空间中描述经典统计物理有许多相似之处，比如说刘维尔定 理：【6 】 弘一) l 懈典 ( 2 2 ) 警= 扣，p 】量子 一 经典统计中的刘维尔定理是指是在相空间中，随着某一代表点( 对应于系统的一个 可能的微观状态) 沿着按照经典力学所决定的轨道在相空间中运动，其邻域代表点 的密度不随时间变化。相应的量子统计中的刘维尔定理在希尔伯特空间的球面上有 着相同的结论：在希尔伯特空间的球面上，随着某一代表点沿着按照量子力学所决 定的轨道在球面上运动，其邻域代表点的密度不随时间变化。在希尔伯特空间的球 面上描述量子统计不但包含这些量子态的相干叠加，而且在描述上又与经典统计物 理相类似( 在量子力学的相空间中就没有这么方便，在量子力学的相空间中，由于 不确定原理一个量子态将被看成是一个波包，而且没有轨道的概念) ，因此，考虑 希尔伯特空间的球面上描述量子统计不但合理，而且方便。 根据以上讨论，我们考虑一个能级的量子系统，设能量本征态为 l 最) ，l 易) ，i 瓦) ) ，系统的任意一个纯态可以写作 l 妒) = c l i 置) + c ：l e 2 ) + c 1 日) ( 2 3 ) 其中，叠加系数满足归一化条件 f q l 2t 1 ( 2 4 ) 因为e 是复数，形如( 2 3 ) 式所有纯态构成一个n 2 1 维的实空间球面，记为s 。 系统的状态可如下描述： j d = e 厂( 妒) l 妒) ( 缈p 妒 ( 2 5 ) ( 2 5 ) 式， ) 表示系统处在i 妒) 态对应球面s 上的点( c 1c 2 g ) 处的概率密度， 也可以看成是球面s 上的概率测度，( 1 f ，) 在球面s 上是归一的且非负。积分区域 为单位球面s ，积分元d 妒为球面s 上点( c lc 2 c ) 附近的面元。 可以看出，( 2 。5 ) 式的意义在于，相比于以往统计物理中密度算子夕= 只j f ) pj 第6 页 困防科学技术人字形f 究生院硕十学位论文 对可列个项求和不同，( 2 5 ) 式是对球面s 上连续的叠加态求和，因此写成了积分的 形式。 在这里，我们要注意的是厂( 妒) hp 是一个多对1 的映射，也就是说对于每一 个给定的密度算子p ，有许多使得p 4 厂似) 渺) 劬p 妒成立的，似) ，但是对于孤 立系统，厂似) 应取什么样的形式呢? 薛定谔首先把等概率假设推广到整个球面上 去【5 】，既然等概率假设是认为孤立系统所有可能微观状态出现的概率都相等，因此 他认为厂扣) 在整个球面上是均匀分布或者是均匀测度。将f 似) 作为常数c 代入式 ( 2 5 ) ，并将i 妒) 按照能量本征态展开，并利用厂) 在整个球面上是归二化的这一条 件，得到 p 2 言乏刚吼 ( 2 6 ) 其中是归一化常数，等于孤立系统的总的自由度， ( 2 6 ) 式是最经常见到的微正 则分布的形式。 在假设孤立系统厂眇) 为均匀测度这一前提下，孤立系统下的某个小系统组成 的希尔伯特空间单位球面上是什么测度呢? s g o l d s t e i n 证明了【8 】，这个小系统组成 的希尔伯特空间单位球面上面的测度应为g a p 测度m eg a u s s i a na d j u s t e d p r o j e c t e dm e a s u r e ) ，而g a p 测度对应的密度算子恰好是正则分布的密度算子。 通过以上分析我们看出，在球面s 采用均匀测度建立起的量子统计和以往的量 子统计有着相同的结论，但这为我们提供了一种新的分析量子统计的工具，我们将 在2 4 节中运用这一方法找到一些处等概率的均匀测度之外的又能导出正则分布的 测度。 2 3 纠缠与统计物理基础 2 3 。1 纠缠与正则典型性原理 统计物理中，系统与大热源接触会达到正则分布 p = p 一声& i 乓) ( 乓1 ( 2 7 ) 第7 页 国防科学技术大学研究生院硕十学位论文 正则分布对应的是一个混合态，根据量子纠缠理论，我们知道，如果a 系统和b 系统处在一个纠缠纯态时，那么a 系统和b 系统都分别处在一个混合态【2 2 1 ，反之 是否能够把处于平衡态上的系统看成是与环境组成的大的纠缠纯态的一部分呢? s p o p e s c u 1 1 】以及sg o l d s t e i n a o 等人认真考虑了这个问题，各自独立的提出了正则 典型性原理，他们考虑了一个大的量子孤立系统，把这个大孤立系统分为系统与环 境两个部分，并且系统与环境存在弱耦合，大孤立系统的总能量保持基本不变，处 于一个大纯态。这个纯态的形式为 i 妒) = c l f ) 阿) ( 2 8 ) v l f ) 为子能量为乓的系统本征态，l e ；) 为能量为e f 的环境本征态，因为系统和环 境的总能量保持基本不变，若假设哈密顿量中系统与环境之间的弱耦合对总能量的 贡献可以忽略不计，则对于构成( 2 8 ) 式的每一组f ，j 都有f + e ；= e o ，因此如果f 和霹不相等的时候，分别对应的环境的能量本征态l e ? ) 和i e ；) 也是正交的。环境 的自由度远远大于系统的自由度，且系统自由度也远远大于1 。在这样大孤立系统 中，s p o p e s c u 证明了如下命题： 正则典型性( c a n o n i c a lt y p i c a l i t y ) 原理：在形如( 2 8 ) 式的所有可能纯态中的“绝 大部分”纯态都具有以下性质：如果对这个描述大孤立系统的纯态中的环境自由度 求迹，得到系统的约化密度算子与正则分布的密度算子( 2 7 ) 式“差不多”。这就是量 子孤立系统的典型性原理。 在这里有必要先解释一下典型性的概念，所谓典型性，是指当体系自由度很大 时，系统按照可能的微观状态的分布往往会表现出某种统计规律，这是大数定理在 统计物理中的一种体现。在经典统计物理中【3 1 】也存在典型性，比如说对于近独立粒 子的分布中有，对于粒子数一定，能量一定的体系中，尽管有着许多的可能微观状 态，随着粒子数的增多，这些可能的微观状态中每个能级上的粒子数的分布都会接 近于最可几分布( 玻尔兹曼粒子对应于玻尔兹曼分布，玻色子和费米子分别对应于 玻色分布和费米分布) ，或者说，在热力学极限下( n 呻，但保持不变) ， 与最可几分布相异的微观状态数与总的微观状态数之比趋于0 。因此，可以认为最 可几分布就是系统处于平衡态时的粒子数分布。 s p o p e s c u 等人证明出来的量子系统中的这种典型性原理与经典统计物理中的 典型性相似，也是高维空间中的大数定理的一种体现。正则典型性原理动摇了等概 第8 页 图防科学技术大学珂f 究生院硕十学何论文 率假设在统计物理中的基础的地位：既然孤立系统的很多可能的微观状态在某个系 统的约化密度算子都很接近于正则分布，就没有必要强制要求孤立系统处在每个微 观状态的概率都相等，只要保证孤立系统处在具有典型性的量子态的概率为l 就可 以了，我们将在2 4 节中对这个问题作进一步的讨论。 2 3 2 正则典型性原理的证明 本小节给出典型性原理的简单证明： 首先对为式( 2 8 ) 的态的环境自由度求迹， p 5 = r r i v i ( vl = 碥弓，c 。i e ；s ) f e 耿r e 冰r 。s1 ( 2 9 ) l j l j 若= ，j f ) 和 霹) 各自对应的环境本征态 i e 芦) ) 与 陋多) ) 是同一组正交基， 约化番度矩阵为 p 5 = 玑i 妒) 却i = 玑弓岛i f ) f e 夕) ( e 芦l ( fl = 玑驴) 隆( ( ；归 仁1 = 引c l f 训f ) ( f 1 又因为环境的自由度远远大于1 ，则( c ： f ) ( ) 可以看成两个高维希尔伯特 空间的随机矢量，其内积约等于0 ，p s 变为 p s = f 蚶忙) ( 科 、 ( 2 1 1 ) 而在高维情况下i 勺1 2 | c ，1 2 可以看成相互独立的同分布随机变量，可以利用大 数定理，有 蚶o cn ，= d i m h f d i m 日f 代表系统处于if ) 所在的能级环境简并度 考虑归一化后的p s 变为 ( 2 1 2 ) 第9 页 国防科学技术大学研究生院硕十学位论文 j c i s = d i m h l s * r 驴m wl f ) ( 计 ( 2 1 3 ) 其中d i m h “r 为归一化常数，等于整个大系统的自由度。实际上，p s 对应的即为 正则分布，下面作简要说明：因为d i m h f 对应着系统的i 能级相应的环境的微观状 态数，根据熵的玻耳兹曼定义式得到 s ( e 一掣) = k h a d i m 钟，( 2 1 4 ) 将( 2 1 4 ) 式中的s 怛一掣) 在e 附近泰勒展开 d i m h f ；e k s ( e 矧。e 知一挚 ( 2 1 5 ) 而根据热力学关系堕；1 ，代入( 2 1 5 ) o et 、7 d i m 钟o c e 邛霹 ( 2 1 6 ) 因此c 1 3 ) 式是正则分布。 在正则典型性原理中s p o p e s c u 等人所说的“绝大部份”和“差不多”由下面定量 关系式给出： “绝大部份”的意思是，不具有上述正则典型性的态占据着这个单位球面上的 极小部份面积，文献【1 1 】给出了这个极小部分的一个估计，存在随着大孤立系统自 由度增大而趋于0 的( 比如说寿) ，以及不随自由譬而变化的常数c ，使得 系统的约化密度算子与正则分布的“距离 大于占的态在整个单位球面s 上的面积 占整个球面面积的比例为 蛐堡丝丝! 二垒蛙尘s 一 s ( 2 1 7 ) 这里所说的“距离”是两个矩阵的距离范数1 范数，对于一个矩阵p ，它的1 - 范数的定义为 l i p l l ，= n 例 ( 2 1 8 ) 1 范数相对于其它范数更能反映两个矩阵的差别【1 1 1 。从上式可以看出，当大孤立系 1 统的自由度很大时，占是很小的，一i 也很小，因此，这个比例是极小的。 第1 0 页 围防科学技术大学研究生院硕十学1 _ 7 ：论文 2 3 3 其它的典型性原理 j g e m m e r 等人依据2 2 节的内容建立希尔伯特空间平均的方法【9 1 ，这种方法所 依据的思想是，如果系统的某一个物理量f 在系统的每个微观状态下的平均值相对 于所有可能微观状态下平均值的方差 三= f 2 一f 2( 2 1 9 ) 都趋于0 ，那么就可以认为这个物理量在几乎所有的微观状态的平均值都差不多。 根据这个思想，j g e m m e r 等人考虑了孤立系统的某个子系统的纯度的希尔伯特空 间平均。 我们首先定义系统的纯度的概念，我们假设系统的密度算子用p 来描述，这个 系统的纯度定义为 p = t r p 2 ，( 2 2 0 ) 很容易得到，纯态的纯度最大等于1 ，最大混合态薹专i f ) ( fi 的纯度最小，等于嘉， 有时也把兰专定义为系统的有效维数。纯度与系统的熵：s = 一k p l n p 成单调 4 r r p 2 递减关系，系统的纯度越低，混乱度越大，因此熵越高。 根据以上讨论，在2 3 1 所讨论的孤立系统中，孤立系统的某个子系统的纯度 通过下式来计算 = 玑( p s ) 2 = 亿( 矾i 妒) 他i ) 2 ( 2 2 1 ) 对这个孤立系统的所有可能微观状态求平均，平均值为 歹吐玑( 巩i 妒) 却1 ) 2 却 ( 2 2 2 ) j g e m m e r 等人发现的希尔伯特空间平均约为 歹。芝， z2 ，、， 式中 第1 1 页 国防科学技术大学研究生院硕十学位论文 z ；ve 孵( 2 2 4 ) 争 。 可以看出，这个形式上恰好是正则分布对应的纯度，可以根据最大熵原理的类 似证明【1 2 】可以得出，在我们考虑的2 3 1 中的孤立系统中，如果子系统的写成如 式( 2 2 3 ) 0 7 的形式，那么这个子系统只能处在正则分布上。 而j g e m m e r 等人又计算出在整个孤立系统的希尔伯特空间上，的方差几乎 为o ，因此，可以说整个孤立系统几乎所有的纯态在某个小系统下约化密度算子的 纯度如式( 2 2 3 ) ，而这个纯度对应的分布恰好是正则分布，这就保证了整个孤立系 统几乎所有的纯态在某个小系统下约化密度算子和正则分布差不多，因此我们得到 了与正则典型性原理相同的结论。 2 4 孤立系统等概率假设的推广 通过前几节的分析，我们看到，孤立系统的等概率1 段设是推出子系统处于正则 分布的充分条件，我们在这里希望能够利用典型性原理找到一些别的测度厂妙) ， 当孤立系统按照这种厂沁) 分布时，子系统也会近似处在正则分布，而且子系统的 约化密度算子与正则分布的密度算子的差距随着系统自由度的增大而趋于0 。首先 把孤立系统的密度算子p 写为 j d 吐厂( 妒) i 妒) 他咖 ( 2 2 5 ) 在某种分布厂他) 下，p 在子系统的约化密度算子与正则分布的差距用1 - 范数表示 为 慨p 一- o c a n ，= 上厂( 妒) l 妒) | - l i 印 ( 2 2 6 ) 其中利用了一上厂细) d 妒，玑代表对环境自由度求迹。下面我们证明存在 不等概率的分布，沁) 能够使( 2 2 6 ) 式很小。 把( 2 2 6 ) 式的积分区域分为典型区域和非典型区域，典型区域的意思是那些系 统的约化密度算子与正则分布的距离1 范数小于的态，也就是满足正则典型性的 态j 妒) ，这类态i 妒) 满足不等式 i l 碥l 妒) 缈i 一几。 ( 2 2 7 ) 国防科学技术大学研究生院硕十学何论文 式( 2 2 6 ) 写成 | 陬p 一l ，他) l 阮i 妒) 他i - l l ，却+ l 啪厂( 妒) 0 碥l 妒) 他l _ 忡妒， ( 2 2 8 ) 典型区域和非典型区域分别对应( 2 2 8 ) 式的第一项和第二项。根据典型性态的定义 ( 2 2 7 ) 可以得到，对第一项有 厶厂似) 8 玑i 妒) 够l 一几。怕妒s 吒厂似枷s ， ( 2 2 9 ) 因此无论取什么样的，似) ，第一项总是很小的。对于式( 2 2 8 ) 的第二项，考虑到密 度算子的1 范数为最大值为1 ，并利用范数的三角不等式放缩得到 0 巩i 妒) 他i 1 1 1 s0 亿l 妒) 他i l | l + 0 几。i | 1 = 2 ( 2 3 0 ) 上式代入第二项的积分并利用( 2 1 7 ) 式对非典型区域面积的估算得到 l 卯，( 缈) 慨i 缈) p | - p o - i 。却 s 2 j 二一卯厂( 妒抛 ( 2 3 1 ) s 2 c s u p ，( 妒) s p 一， u - s p l , r e 其中s u p ，( 妒) ) 表示，似) 在球面s 上的最大值，s 是整个球面的面积。因为，z 维 u - $ p h p - r e 1 单位球面的面积随着维数的增加是趋于零的，因此，s ee 是很小的，所以只要 s u p 厂( 妒) ) 是有限的就能够保证在非典型区域内的积分是很小的，从而保证在整 一s p h e r e 个单位球面上的积分是很小的。也就是说，只要孤立系统的分布函数厂印) 满足 s u p f ( o ) ) 是有限的话，就可以利用典型性定理推导出系统随着自由度增大以趋 _ 一a p h e r e 近于1 的概率处于正则分布。 明显地，s u p f ( o ) ) 有限这一条件是很容易满足的。比如，当厂似) 是连续 第1 3 页 国防科学技术大学研究生院硕+ 学位论文 时，s u p 厂似) ) 是有限的。如果厂p ) 连续，因球面是一个- f f l 集，根据连续函数 u - s p h e r e 的闭集定理，因此，咖) 的最大值是存在的且有限的。所以，) 只要是连续的就是 大孤立系统的一个可能的分布，由此分布可导出正则分布。把等概率分布( 对应均 匀分布) 的，似) 推广到连续分布，结果明显更有意义。 2 5 本章小结 本章中，我们讨论了量子统计的基本问题。在第一节中，我们指出了等概率假 设在统计物理中尤其是在量子统计中的困难。在第二节中，我们介绍了如何考虑相 干性的存在的量子统计物理，即应该在希尔伯特空间上考虑量子统计才是合理的， 虽然说在本节中并没有新的结论出现，但这种在希尔伯特空间上研究量子统计的方 法为我们提供了一个新的思路。第三节中我们利用第二节的方法介绍了近年来量子 统计物理的一个新的进展：典型性原理，值得一提的是，这种典型性原理与纠缠等 概念有着密切的联系，典型性原理在统计物理与量子信息之间建立了一座桥梁，这 两门科学的研究也为对方提供一种新的观点和认识。第四节，我们利用了前两节的 结论和方法，证明了等概率假设其实不是推导出正则分布的必要条件，并进一步找 到了一类更普遍的可能分布，比如说在希尔伯特空间上单位球面上的连续分布，都 能够推导出正则分布。这一结论取代了苛刻的等概率假设，可以看作是等概率假设 的推广。 第1 4 页 国防科学技术大学研究生院硕十学位论文 第三章与环境存在弱耦合的量子系统的热化 3 1 热化问题：概述和模型 上一章我们讨论了正则分布的存在的普遍性，但是依然存在一个问题，正则典 型性原理依然没有说明一个系统与足够大热库相接触是如何达到平衡分布的。这在 动力学的观点看来就是系统如何从任意一个可能微观状态出发，按照动力学规律演 化到稳定的分布，这样的演化过程被称为热化( t h e r m a l i s a t i o n ) 。关于热化的研究 在退相干【3 2 】，量子光掣矧，量子混沌等理论中都以不同的形式出现过，且关于 热化研究的内容也很广泛，不同理论对热化过程都有着自己的理解和侧重，n o a h l i n d e n 等人把统计物理中的热化过程的研究分为以下四个方面【3 5 】： 1 平衡态：一个系统处在平衡态的意思是这个系统的状态几乎不随时间变化。 2 环境的独立性：系统的能够演化到平衡态应当不依赖于环境处在某些特定的 初态上，而只与环境宏观性质有关，比如说温度。 3 系统的独立性：系统能够演化到平衡态应该不依赖于它的初态。 4 平衡态的形式：在对系统和环境h a m i l t o n 加上某些特定的限制，能够得到 系统的平衡态处在相应的特定的形式，比如说正则分布。 n o a hl i n d e n 很好的概括了热化过程的研究内容，但是一般情况下，这四个条 件很难同时满足，在处理问题的过程中，往往要根据实际情况加上一些近似和假设。 我们通常处理热化的问题时，往往考虑的是与环境存在弱耦合的量子系统【9 1 ， 假设整个大系统的哈密顿量为 h = h s + h 月+ y ， ( 3 1 ) 其中，日s 为系统哈密顿量，h 置为环境哈密顿量，y 是系统与环境之间的相互作 用，并分别记l f ) 和l e ? ) 为系统和环境的能量本征态。 在这里之所以假设y 是一种弱的相互作用是因为一方面相互作用的存在使得 系统和环境之间的能量的转移成为可能，这种微观的相互作用在宏观上表现为系统 和环境之间的热量的传递。另一方面当系统与环境通过交换热量达到平衡时，系统 的性质仅由自身的哈密顿来决定而不会受到相互作用哈密顿量的影响，因此y 应当 第1 5 页 国防科学技术大学研究生院硕十学位论文 远小于系统和环境的哈密顿量的大小： j = = 一，= = = 一 y 2 h 5 ，y 2 h 只 ( 3 2 ) 我们把整个大系统看成是孤立系统，考虑到微扰相互作用的存在，大系统所有本征 态的能量仅在很小的范围内变化，即 牟+ e ? 磊一号，e o + i 1f ( 3 3 ) 整个大系统按照哈密顿( 3 1 ) 式进行联合幺正演化 p ( f ) = u ( f ) j d ( o ) u ( f ) ， ( 3 4 ) 然后对环境求迹得到系统的密度算子 p s ( t ) = t r r u ( f ) p ( o ) u ( f ) 1 ( 3 5 ) 我们可以根据上式求出在任意时刻下系统处于的态，进而分析系统趋于平衡的 性质。在方法上面，可以利用量子力学中的微扰的方法来处理，我们在下节处理具 体问题时将用到这个思想。 3 2 费米黄金定律与正则分布 本节选取一个特定的角度来研究热化问题：平衡态与正则分布的关系问题。 在统计物理中，系统与环境经过热化达到平衡后，如果系统的自由度远远小于 环境自由度，我们通常认为系统处在正则分布上面。但是我们注意到，统计物理中 对于系统处在平衡态的定义是指这个系统的密度算子不随时间变化： 一a p 。o ( 3 6 ) 以 、。 为什么与环境作用达到平衡的系统会处在正则分布呢? 本节中，我们尝试给出一个初步的解答：在实际问题中遇到的系统，往往与环 境存在着某些未知的，随机的微扰相互作用，如果初始时刻小系统处在平衡态，在 这些未知的，随机的微扰作用下，小系统能否保持其状态不变呢? 这一点在处理实 际问题是十分重要的，因为如果这个系统在微扰作用下不能保证其状态不变，那么 说这个系统初始时刻处于的平衡态是没有意义的，因此，只有那些在微扰下保持其 形式不变的状态才是我们真正所关心的平衡态。 本节中我们证明了以下两个问题：1 证明正则分布是在微扰( 一阶近似) 下能 够保持其形式不变的唯一状态；2 证明初始时刻任意一个平衡态，经过长时间的演 篼1 6 页 国防科学技术大学研究生院硕十学位论文 化后，最终达到正则分布。这两个问题充分说明了正则分布在所有平衡态中的特殊 性。 我们考虑的模