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函数专题 函数的周期性与对称性1. 函数的周期定义2. 有关周期函数的常用结论（1） 设为非零常数，若对定义域内的任意，恒有下列条件之一成立 则是周期函数，2是它的一个周期。 但 的周期为4（2） 若同时关于对称（），则是周期函数，是它的 一个周期期。 若关于对称，同时关于点对称，则的一个周期是 若关于对称同时关于对称，则是周期函数，周期3（特殊情况）是奇函数，且，则是周期函数，周期 是偶函数，且，则是周期函数，周期例1设是定义在r上的奇函数，且则_0_. 2,已知函数式定义在r上的偶函数，且满足， 当时，则_1.5_.3. 函数的对称（1） 求与已知函数式对称的关系式（求曲线方程对称的方程式）（特殊情况须记牢） x轴 原点 y=x y=-x y=x+b y=-x+b 关于x=a 关于y=b 关于（）中心对称：若关于点对称例3.已知函数，分别按下列要求写出相应的函数式：（1） 关于轴对称 答案 （2） 关于轴对称 （3） 关于对称 （4） 关于对称 （5） 关于对称 例4 。已知函数（1）求（2） 函数具有怎样的对称性？ 4.记住下列常用结论（1） 是偶函数 关于对称类似：的图像关于成轴对称对称（2) 是奇函数 关于（b,0）成中心对称。类似：的图像关于成中心对称。一般地 若 关于点成中心对称。例5.已知定义域为r的函数在上位增函数，且函数为偶函数，试比较的大小。 答案5.初等函数的对称性（1） 二次函数的对称轴是（2） 反比例函数 对称中心（0，0） 对称轴（3） 函数对称中心 对称轴方程和（4） 偶函数的对称轴是y轴（5） 奇函数的对称中心是原点。例6.（1）的对称中心是 _（-3,2）_.对称方程是 _， （2）函数的对称中心是_（3,11）_.6.注意下列对称的区别（1）如果满足的图像关于对称。（2）函数与函数的图像关于y轴对称。（3）若满足的图像关于对称（4）函数与函数的图像关于对称。例7.（1）函数与函数的图像关于_对称. （2）对于定义域为r的函数，有下述四个命题： 若是奇函数，则的图像关于点a(1,0）对称。 则函数的图像关于对称， 若函数的图像关于对称，则是偶函数， 函数与函数的图像关于对称。其中正确命题的序号是_7.考题选讲例8.定义在r上且不恒为零的函数，满足且为奇函数，给出下列命题：函数的最小正周期为 ； 函数的图像关于点（，0）对称；函数的图像关于轴对称。其中真命题的序号是_例9.设函数上满足，且在闭区间 （1）试判断函数的奇偶性；（2）试求方程在闭区间上的根的个数。例10.已知定义在r上的奇函数满足，且在区间上是增函数，若方程在区间上有四个不同的根则_-8_8.巩固练习 （1）已知函数满足且是偶函数，又当， 则_（2）定义在r上的函数既是奇函数，又是周期函数，t是它的一个周期，若将方程的闭区间上的根的个数记为n,则n可能是_d_ a.0 b.1
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