（运筹学与控制论专业论文）基于hopfield网络的状态观测器设计方法与应用.pdf

摘要 在自动控制领域中，状态反馈往往是最为有效的控制策略之一，但是一个系 统的状态往往是不可直接测量的，状态反馈在性能上的不可代替性和物理上的彳； 可实现性构成了一对尖锐的矛盾。因此控制系统的状态观测器发计问题在控制理 论与实际系统设计中一直是人们研究的一个主要问题，而且它在电力系统的控制 与调度、工业过程的监控和调节、故障检测和诊断、通信系统的控制i 司步与自适 应同步以及混沌系统的保密通信等领域中也有着了广泛的应用。 为了克服传统上用代数方法设计状态观测器时增益过大、重复计算以及4 ；能 满足适时性等缺点本文提出了一种基于h o p f i e l d 神经网络的观测器设计方法。 h o p f i e l d 神经网络是一种全连接、互反馈的动力学系统，比前向神经网络具有更强 的计算能力，由于它可以通过v l s i 等硬件物理实现，而且问题的求解可以在毫秒 缴完成，因此为观测器的在线适时设计提供了有力的工具。本文将线性时不变观 测器的设计问题转化为一类特殊的约束非线性优化问题，给出了利用h o p f i e l d 网 络求解政问题的方法，证明了该方法的收敛性。同时保证了s y l v e s t e r 方程的解矩 阵的可逆性和观测器的增益矩阵与输八矩阵范数的和最小；在设计线性时不变自 适应观测器时，首先利用系统的输入、输出数据设计一个h o p f i e l d 网络参数估计 器，进一步设计状念观测器，证明了参数估计器和状态观测器的指数收敛性；为 了仍然从神经优化计算的角度设计线性时变系统的状态观测器，最后介绍了一种 求解时变s y l v e s t e r 矩阵方程的神经匝络摸型，分析了它的收敛性和鲁棒性，然后 利用该网络设计时变状态观测器，进一步讨论该观测器的在系统存在未建模不确 定和外部噪声时的鲁棒性：最后给出了一种基于分离性原理和h o p f i e l dj 叫络观测 器的状态反馈闭环系统的结构，分析了该闭环系统的特点；对于每一种没计方法 都给出了相应的数值仿真例子来进一步表明所提方法的可行性和有效性。 关键词：状念观测器，神经网络参数估计能观性鲁棒性 a b s t r a c t i nt h ef i e l do fa u t o m a t i cc o n t r o l ，t h es t a t e sf e e d b a c ka l w a y si so n eo ft h em o s t e f f e c t i v em e t h o d s ，h o w e v e r ，t h es t a t e sa r en o ta v a i l a b l ei nt h em o s tp r a c t i c a ls y s t e m s ， t h e r e f o r et h ec o n t r a d i c t i o na r i s e sb e t w e e nt h ee x c l u s i v e n e s so ft h es t a t e sf e e d b a c ka n d i t s i m p r a c t i c a b i l i t y o b s e r v e r sd e s i g ni s am a i np r o b l e mn o to n l yi nt h ea n a l y s i sa n d d e s i g no f c o n t r o ls y s t e m s ，b u ta l s oi nt h ef i e l d ss u c ha st h ec o n t r o la n dm o n i t o r i n gi n e l e c t r i c a ls y s t e m s 、f a u l td e t e c t i o na n dd i a g n o s e si nm a n u f a c t u r i n gi n d u s t r i a lp r o c e s s 、 s y n c h r o n i z a t i o na n ds e c r e c yi nc o m m u n i c a t i o ns y s t e m sa n d s oo n t oo v e r c o m et h ed e f a u l t so ft r a d i t i o n a la l g e b r a b a s e dm e t h o d ss u c ha sh i g hg a i n ， r e p e t i t i v ec o m p u t a t i o na n dd i s a b i l i t yo f r e a l t i m es o l u t i o n ，i nt h i sp a p e r , w ep r o p o s ea n o v e lm e t h o dd e s i g no fo b s e r v e r su s i n gh o p f i e l dn e u r a l n e t w o r k 1 - l o p f i e l d n e u r a l n e t w o r ki saf u l l l i n k e di n t e r c o n n e c t e dd y n a m i c a ls y s t e mw i t hs t r o n g e rc o m p u t a t i o n a l a b i l i t yt h a nf e e d f o r w a r dn e u r a ln e t w o r k ，a l s oi t c a nb ee a s yi m p l e m e n t e db yv i 。s ia n d i t ss o l u t i o nc a l lb eo b t a i n e di nm i l l i s e c o n d ，i tp r o v i d eap o w e r f u lt o o lf o ro n - l i n e o b s e r v e rd e s i g n f o rt h et i m e i n v a r i a n tl i n e a rs y s t e m s ，w et r a n s f o r mt h ep r o b l e mo f o b s e r v e rd e s i g nt oas p e c i a lt y p eo fc o n s t r a i n e dn o n l i n e a rp r o g r a m m i n ga n dp r e s e n tt h e m e t h o dt os o l v et h i sp r o g r a m m i n gu s i n gh o p f i e l dn e t w o r k ，t h e n ，p r o v et h ec o n v e r g e n c e o ft h en e t w o r k t h i sm e t h o dc a ng u a r a n t e et h es o l u t i o nm a t r i xo fs y l v e s t e re q u a t i o nt o b ei n v e r s ea n dt h es u mo ft h ei n p u tg a i nn o r ma n dt h eo b s e r v e rg a i nn o r mi st h e m i n i m u m f o rt h el i n e a rs y s t e m sw i t hu n k n o w np a r a m e t e r s ，w ei d e n t i f yt h ep a r a m e t e r s u s i n gh o p f i e l dn e t w o r k t h e nd e s i g nt h eo b s e r v e r su s i n gt h ei d e n t i f i e dp a r a m e t e r s ，t h e e x p o n e n t i a lc o n v e r g e n c e o f a d a p t i v e o b s e r v e ri sa l s o p r o v e d f o r t h e l i n e a r t i m e v a r y i n gs y s t e m s ，an e wn e t w o r kt o s o l v et h et i m e v a r y i n gs y l v e s t e re q u a t i o ni s p r o p o s e d ，w ea n a l y s i s i t s c o n v e r g e n c e a n d r o b u s t n e s s ，t h e n ，d e i g n t h el i n e a r t i m e v a r y i n go b s e r v e ru s i n gt h i sn e t w o r km o d e l ，a n dw e d i s c u s st h ec o n v e r g e n c eo ft h e o b s e r v e ra n dr u b o u s t n e s st ou n k n o w nm a t c hp a r a m e t e r s f i n a l l y , w ep r e s e n tan e w s t a t e f e e d b a c kc l o s e l o o p s y s t e m s t r u c t u r eb a s e do ns e p a l 。a b i l i t y p r i n c i p l e a n dh o p f i e l d o b s e r v e r ，d i s c u s st h ec h a r a c t e r i s t i co ft h i sn e wc l o s e l o o ps y s t e m f o re a c ho f t h en e w m e t h o di n t h i s p a p e r ，w eg i v e a c o r r e s p o n d i n g n u m e r i c a l e x a m p l e t os h o wt h e f e a s i b i l i t ya n d e f f e c t i v e n e s so ft h em e t h o d k e y w o r d s ：s t a t e o b s e r v e rn e u r a ln e t w o r kp a r a m e t e ri d e n t i f i c a t i o n o b s e r v a b i l i t y r u b o u s t n e s s 笫一章绪论 第一章绪论 1 1 引言 系统是由相互关联和相互作用的若干组成部分按一定规律组合而成的具有特 定功能的整体。系统可以具有完全不同的属性，如工程系统、生物系统、经济系 统、社会系统等。但是系统理论中，常常抽去具体系统的物理和社会含义而把它 抽象化为个一般意义下的系统而加以研究，这种处理方法有助于揭示系统的一 般特性。根据系统的特性可以将其分为线性与非线性系统两大类。在过去的几十 年里系统控制理论，不管是线性的还是非线性的，都取得了众多的结果和重要的 进展，已经形成了十分完整和成熟的理论。撇开具体的系统来看，控制问题可以 分成为了使系统特性能满足某种笼统指标要求的常规控制以及确保系统性能指标 在某种意义下达到最优的最优控制两大类。常规控制的目标有镇定、跟踪、解耦 和预测等几大类，最优控制有时问最优、燃料最优和线性二次型最优控制。 在控制领域中有两个不同但有相互联系的主题： 第一个主题是反馈的概念。这时，系统的输入由外部输入和观察到的各种输 出同时确定，输入、输咄都是时唰的函数。反馈概念的精髓是可以得到各种输出 和它们的各个所需值的实时差的度量各种误差，再由以此测量到的误差来减 小误差，因此反馈系统构成了一个包含原动态系统在内的个新的动态闭环系统。 其中反馈主要包括输出反馈和状态反馈两种反馈形式。输出反馈是每一个输出变 量乘咀楣应的反馈系数，然后反馈到输入端与外部输入相加形成控制律，作为受 控系统的控制输入，根据输出的阶次不同可以分为静态输出反馈和动态输出反馈 两种，它是经典控制理论经常采用的反馈形式。系统的状态是一组变量，状态连 同输入决定了系统的动态行为。状态反馈采用状态变量作为反馈律，它是现代控 制理论经常采用的反馈形式。由于状态能够提供比输出更多的信息，输出反馈能 够达到的控制目标状态反馈一定也能作到，因此状态反馈问题受到了人们的极大 关注。 第二个主题是最优控制的问题。这时控制的目标是使数字量表示的显示在一 段时日j 上的所需性能和实际性能问的差异的性能指标为最小，要寻找一个使性能 指标最小的时间函数的控制。这利，问题的解形成了在整个控制时段中的一个预先 规划好的输入控制。 此外，在控制领域中与控制问题同等重要的问题是状态观测问题。由于状态 可以完全代替输出反馈实现对系统诸如极点配置、镇定、跟踪、解耦等方面的控 基丁。h o p f i e l d 网络的状态观测器设计方法与席j n 制，因此状态反馈是控制中最常用也最有效的一种控制策略。但是，由于不宜直 接测量、或者由于测量设备在经济性和使用性上的限制，使得不可能获得系统的 全部状态变量，从而使状态反馈的物理实现成为不可能。状态反馈在性能上的不 可代替性和物理上的不可实现性构成了一对尖锐的矛盾。 系统状态不可测一直是困扰系统设计的一个关键问题之一，目前国内外已有 许多方法解决状态不可测问题。一种是采用附加的测量元件来直接测量系统的真 实状态，这通常是一种很昂贵的方法；另一种是用一些可测状态的微分模拟器有 可能提供不可测状态的估计值，但是这种方法一般达不到足够的精度，系统存在 噪声的情况下估计精度将更差；第三种就是充分利用系统的数学模型人为地构造 一个新的系统来估计真实系统的不可测状态，这就是状态观测器设计问题。它利 用原系统中可以直接量测的输入和输出作为其输入信号，使得其输出渐近等价于 真实系统的状态。 状态观测在许多适时操作中是不可或缺的，在电力系统的控制与调度、制造 工业中受到了广泛应用。不仅绝大多数的控制系统依赖于观测器重构其真实状态 然后实施状态反馈控制策略，而且观测器对于过程监控和调节、故障检测和诊断、 通信系统的控制同步与白适应同步咀及混沌系统的保密通信等领域也都是极为有 用的一个重要工具。 1 2 历史回顾 观测器设计问题最初起始于l _ l t e n b e r g e r 川i l l 和k a l m a n l 3 1 的一些卓有成效的工 作，理论和实践都表明了观测器技巧在动态系统的监控和调节、故障检测、辨识 和控制等方面已经取得了成功的应用。经过上个世纪几十年的广泛的研究，线性 观测器的理论与应用都取得了相当显著的成就。非线性观测器设计问题同样受到 较为广泛、深入的研究。 下面就观测器设计问题做一个简短的历史回顾。 在已有的线性观测器理论的基础上，人们按照由简单到复杂、有特殊到一般 的顺序分别对线性确定性系统、线性不确定系统、线性参数未知系统、非线性确 定性系统、非线性不确定系统进行了逐步深入的研究。d g l u e n b e r g e r l 2 1 提出了线 性时不变( l r i ) 系统的观测器设计的系统方法，通过极点配置的途径来实现状态观 测；对于线性时不变完全能观测系统采用代数的方法| l i 设计观测器的增益矩阵，这 种方法虽然理论上可行，但是其离线设计要求以及较低的运算速度限制了它的应 用，而且要求系统的各个参数必须完全已知，因此将无法应用至某些参数完全未 知或者部分未知的系统中去；对于线性不确定系统，当系统存在不确定因素时， 第一章绪论 为了保留线性观测器的某些特性，j c d o y l e 和g s t e i n h i 以及b a r m i s h f l 等学者先后 均提出了观测器的鲁棒性，即观测器对系统存在的外部干扰或未建模动态等不确 定因素的敏感性，并且扩展了线性观测器的一些结果，解决了与之相关的一些问 题；l o a n n o u 和j i n gs u n l 6 1 采用参数辨识中的一些修正算法针对参数未知系统设计 了基于l v a p u n o v 方法的自适应l u e n b e r g e r 观测器；p s t e p h a n e 和g s t e p h a n e 提出 了( l t i ) 离散时间系统的基于补偿矩阵的观测器设计的一般方法：c ms h i n 和 y j y u s h l 8 i 提出了基于最小二乘的线性时变观测器，它利用负梯度优化的思想使二 次性能指标达到晟小。在过去的二十年里线性系统的h 。状态估计滤波问题受到了 广泛的关注，x i e l 与s o h y c 渺j 于1 9 9 4 年提出了离散不确定系统的鲁棒k a l m a n 滤波：w a n g z 和g u o z i “) 】与1 9 9 7 年对于带有误差方差约束的离散时间系统提出了 鲁棒h h 。状态估计策略：当系统中存在未知参数时为了克服未知参数对状态 估计的影响，r l c a r r o l l 和de l i n d o r 一以及k s n a r e n d r a | 【2 j 分别提出了自适应 观测器的概念，使观测器设计理论向前迈开了一大步。 另一方面，在非线性系统领域，非线性观测器设计问题在最近二十年来受到 了众多学者的广泛关注，采用线性化或半线性化方法将其线性化，然后应用已有 的线性设计方法设计非线性观测器是广泛采用的一种方法，结合微分几何理论采 用微分儿何变换将非线性系统转化为观测器规范型或者其他特殊形式的规范型也 是较为普遍的方法之一。b e s t l e 、z e i t z l 二人最先于1 9 8 3 年、1 9 8 8 年共同提出了 典范观测器和扩展l u e n b e r g e r 观测器的设计方法；a g e l b i l 4 j 系统地论述了非线性 观测器设计的扩展k a l m a n 滤波法，该方法对非线性系统在参考轨迹附近进行局部 线性化，然后采用k a l m a n 滤波的思想估计其状态；k r e n e r 和r e s p o n d e k | i 圳提出了 用李一代数方法将非线性系统转化为典范型的观测器设计方法，然而找到这样一对 一的变换却不是易事，此外还要求控制对象的非线性模型必须已知；b a u m a n 和 r u 叠1 1 提出了用扩展线性化方法来设计观测器，但是这种方法同样需要精确知道系 统的非线性特性，还要知道它的一阶导数；在非线性函数的界已知条件下，w a l c o t t 和z a k i m l 提出了变结构观测器的设计；n i k o l a o s k i 提出了基于函数方程的离散非 线性观测器设计方法，其设计目标由一个线性齐次函数方程来实现；当系统存在 未知参数、外部干扰等不确定因素时，非线性系统同样存在自适应观测器问题， 最早的非线性自适应观测器由g b a s t i n 和m r g e v e r s | i 州于1 9 8 8 年提出，其假定了 对象是单输入单输出的而且可以转化为一定的观测器规范型；r m a i n o 和e t o m e i 二人共同于j 9 9 2 年i ”i 、1 9 9 5 1 2 ”1 年提出了基于非线性滤波变换的全局自适应的以及 具有任意收敛速度的观测器设计理论：p a i o a n n o u 和j s u n “系统阐述了基于微分 几何理论非线性自适应观测器的设计。 虽然有大量的文献报道了非线性观测器的许多实质性进展，但是由于非线性 系统自身固有的复杂性，决定了非线性观测器理论远远没有线性观测器理论那样 基丁h o p f i e l d 网络的状态观测器设计方法与应f l j 成熟，而且大多数方法都是针对某一特定形式的非线性系统而占的，仍然没有形 成一个完整的体系，因此非线性观测器问题是国内外控制界学者当今研究的热点 之。 在设计工具上，经典的数学工具如线性代数、微分几何、李一代数等为观测器、 控制器的设计提供了理论基础，例如在多变量极点配置控制、观测器增益矩阵的 计算以及线性系统状态空间的参数辨识等一些问题上发挥至关重要的作用。在最 近的二、三十年里，现代智能信息处理体系中的诸如神经网络、模糊系统、遗传 算法、小波分析等现代分析工具对系统的辨识、控制以及观测器设计提供了解决 问题的新渠道。神经网络由大量的简单神经元互相连接而构成却具有高度的非线 性的特点，它模仿了生物的某些功能和特性，在系统在线的控制和建模等领域得 到了成功的应用。k s n a r e n d r a 和a u l e v i n p2 1 为神经网络在系统控制、辨识等问 题上提供了一个理论框架：宋轶民、张策 2 | 等利用线性状态空间模型建立系统i o 模型使用h o p f i e l d 神经网络对其参数进行辨以收到满意的效果。刘华i ”】等人基于 神经优化原理提出了一种双线性系统的参数辨识算法。 神经网络用于状态估计问题的报道相对与建模问题要少的多，尽管建和状态 估计都是函数逼近，但是状态估计要求非线性特性满足能观性条件，因此较为困 难。w j u n 和w g u a n g l 2 4 1 提出了基于递归神经网络的线性观测器的在线综合算法。 为了克服非线性系统中存在不可线性化参数以及未知非线性特性对非线性自适应 观测器性能的影响，y h k i m l 2 5 1 等人提出了基于神经网络的自适应观测器的设计方 法，它的网络权值的调整是在线方式的，避免了离线的网络训练阶段。张洪钺、 金宏| 26 | 等提出的基于b 一样条神经网络的非线性观测器的设计采用“反卷积”方法 对未知非线性特性进行建模克服了采用传统方法所不能克服的一些缺点：v a r g a s l 2 7 1 等对多输入多输出非线性系统提出了一种鲁棒的自适应神经网络观测器设计方 法，鉴于神经网络观测器的思想大多是基于未知非线性函数的函数逼近为根本前 提的，类似文献还有很多，在此不在一一列举。值得一提的是，近些年来，利用 模糊系统为工具的模糊观测器设计理沦也得到了充分的研究，其中有代表意义的 文献是i 嚣i ，浚文基于t - s 模糊系统模型，系统地阐述了模糊降维观测器、模糊观 测器和模糊函数观测器的一般结构，而且进一步讨论了模糊控制器和模糊观测器 设计的可分离性原理。此外还有彭字、蒋静坪等人。坤i i 提出了基于遗传算法的非 线性观测器设计等新的设计方法。 结合现代智能信息处理体系中的诸如神经网络、模糊系统、遗传算法、小波 分析以及粗糙集等理论的智能控制策略设计非线性观测器已经是当今非线性观测 器设计的主流趋势之一。 第一章绪论 1 3 本文的主要工作 为了克服采用代数方法求解观测器的d i o p h a n t i n e 方程中解矩阵的奇异性、 l u e n b e r g e r 观测器的增益矩阵过大以及需要重复计算不能满足适时性要求等缺陷， 本文针对线性系统提出了基于h o p f i e l d 神经网络的观测器设计方法；分析了各种 问题的鲁棒性：而且给出了相应的数值仿真例子。 2 2 节介绍了h o p f i e l d 神经网络的基本理论及其稳定性分析，阐述了求解约 束非线性规划的一种优化神经网络模型- - l a g r a n g e 神经网络，分析了网络解的存 在性、稳定性；为了克服用直接代数方法求解得到的观测器增益过大、而求解观 测器d i o p h a n t i n e 方程时可能会出现解矩阵不可逆需要重新计算以及不能满足适时 性要求等传统设计方法的缺点，在2 | 3 节提出了基于非线性优化的线性时不变观 测器设计新方法，给出了优化问题解的存在性和观测器的稳定性的理论证明。 在3 3 节提出了具有未知参数的线性时不变或者慢时变系统的自适应观测器 的设计算法。首先建立系统的输入输出0 o ) 模型，利用其i o 数据对系统状态空间 参数进行辨谚 ；在此基础上设计自适应的状态观测器；证明了参数估计和状态观 测器的指数收敛性。 4 2 节提出了一种新的求解时变s y l v e s t e r 矩阵方程的神经网络模型，给出了 该网络模型的以任意指数收敛速度收敛到其理论解的证明，分析了网络解对参数 不确定的定量的鲁棒性分析；然后在4 3 节中利用上述的时变神经网络模型去求 解时变d i o p h a n t i n e 方程，从而能够实现时变系统观测器方程的极点配置；第五章 简单讨论了基于观测器的控制器的结构，同直接状态反馈系统相比较分析了其性 能；在每一章的最后都给出了大量的数值仿真例子，验证了所提方法的有效性。 因此本文构成了基于h o p f i e l d 网络的线性观测器设计问题的相对完整的理论。 6基r h o p f i e l d 网络的状态观测器设计方法与麻i l i 第二章线性时不变确定系统的神经网络观测器 2 1 引言 神经网络是山大量处理单元( 神经元、处理元件、电子元件、光电元件等) 广泛连接而成的网络，它是在现代神经科学研究的基础上提出的，反映了人脑功 能的基本特性，它又是一个高度非线性的超大规模动力系统，其最主要特征是非 线性动力学、网络的全局作用、大规模并行分却处理及高度的鲁棒性和学习联想 能力。按照网络的结构分类可以分为：前向网络和反馈网络。大部分前向网络都 是学习网络，并不注重系统的动力行为。 1 9 8 2 年，美国加州工学院物理学家h o p f i e l d 提出的反馈网络( h n n ) 网络是一 种全连接、互反馈的动力学系统，有力的推动了神经网络的研究。他引入了“计 算能量函数”的概念，给出了网络稳定性的判据，它的电子线路实现为神经计算 机的研究奠定了基础，同时丌拓了神经网络用于联想记忆和优化计算的新途径。 h n n 比前向神经网络具有更强的计算能力，在联想记忆与分类、优化计算和人工 智能等领域得到了广泛的研究和应用。由于h n n 可以通过v l s i 等硬件物理实现， 而且问题的求解可以在毫秒级完成，对控制巾的参数辨测”i 、最优控制l 。l 等问题 的研究提供了新的途径。 针对现有的线性定常系统( l t l ) 观测器的殴计方法大多采用离线计算的方法， 不能满足实时性的要求。在2 2 节中我们基于神经优化计算原理，给出了l t i 系 统的基于连续h o p f i e l d 神经网络的状态观测器的设计方法。首先将观测器设计问 题转化为约束非线性规划问题，然后利用h o p f i e l d 神经网络在线的计算观测器的 增益矩阵和输入矩阵，而且能够保证观测器输入信号的平均幅值接近最小。由于 h n n 的快速性，使得它能够满足在线计算实时性的要求，也可以处理慢时变系统， 而且观测器的输入信号的平均幅值较小。克服了直接求解观测器方程的一些缺陷 删l ，如：用代数方法求解得到的观测器增益过大；而求解观测器d i o p h a n t i n e 方程时，可能会出现解矩阵不可逆，需要重新计算等。 2 2 连续型h o p f i e l d 神经网络模型 2 2 1h o p f i e l d 神经网络理论3 5 h o p f i e l d 提出的连续时问神经网络模型如图2 1 所示，其中电阻r ，和电容c ，的 塑兰皇二型鲨望堑堕堕童堡竺墨塾塑塑竺婴竺塑塑登 ! 并联，模拟了生物神经元输出的时问函数，而跨导l 则模拟了神经元之问互连的 突触特性，运算放大器则模拟神经元的非线性特性。q ，分别为神经元，的状态、 输出和闽值，兀为神经元拜呻p 经元- ，的连接权值。假设有门个神经元互连，则它 可以用下述非线性微分方程捕述： c 等5 轨砉，陀 = g ( “)( 扛1 , 2 ，”) 其中= p + 兀、= 璺( q ) 为神经元的非线性特性，神经元的激励函数 = g ( “，) 通常为双曲j 下切函数。 图2 1 h o p f i e l d 神经元 一 v i k v 定义2 i ：定义系统( 2 1 ) 式的“计算能量”函数为 e = 一三2 窆, - 1 吝l 一一喜，j + 喜击f g - i i ( 矿) d 矿 ( z _ 2 ) ，= 1j = lj ：n 从而有以下定理： 定理2 1 例：对于系统( 2 1 ) 式，若g 一1 单调递增且连续，c ， 0 ，瓦：7 7 ，则 沿系统轨道( 2 1 ) 有 辈 0 ，则网络( 2 9 ) 是局部渐近稳定的。 0 基t - h o p f i e l d 网络的状态观测器设计方法与廊i l j 证明：由非线性规划的性质可知，神经网络( 2 9 ) 的平衡点( ，z ) 的局部特 性由其线性化模型决定，考虑到v ，l ( x + ，丑) = 0 以及h ( x ) = o ，记 v h ( x ) = v h ( x ) ，v h ：( x ) ，- 一，v h 。( x ) 】 可以求出在平衡点( x ， ) 附近的网络( 2 9 ) 的线性化模型 定义 因此 出 击 d 2 d l 一 娥：肼x ) l l 川x - x 亿， g = 。v 一毛v l 。( x 。 y 。，v “吾 下面证明g 的特征值均具有正实部： ( 2 1 1 ) 定义t 为向量v 的共轭，口为g 的任一特征值，l7 ，w 7 7 为相应的特征向量 r e k 7 ，w 7 b ： ) = r e 口k 7 ，w 7 ( ： ) = r e c a 刈z i 2 + i 叫2 ， 同时利用g 的定义可得 r e f l 7 ，谛7 】g f l 。w j l j = r e 叠7 v ：( x + ，丁，z + ；7 v 厅c x ，7 w 因为r e 谊7 v h ( x ) 7 w 一，b r v h ( x * ) z = 0 ，所以 r e 扛7 v 二l c x ，名，z = r e p 7 ，协7k ： ) = r e c 口， z 1 2 + i 1 2 l 。 由上式及v 。2 ( x + ，z ) 的正定性可知要么r e ( “) 0 要么z = 0 ，但是如果z = 0 ，由 方程g 习= a 翻，得到了v c x + ，w = 。，这与x 为非线性规划c z s ，的正则点，即 v h ( x 1 列满秩矛盾。因此只有r e ( a ) 0 ，即g 为正定矩阵。 所以一g 的特征值全部具有负实部。因此( x ，) 局部渐近稳定的。 塑三兰丝些堕至銮堕塞生竺墨丝堂璧旦丝苎塑些l 上i _ 定理2 , 4 i = 7 1 ：如果h e s s i a n 矩阵v 矗( x ， ) o 对于网络( 2 9 ) 的动念域中的所有 ( x ，五) 是正定的，那么网络( 2 9 ) 是全局渐近稳定的。 证明：定义函数 e ( x ，兄) = 圭1 v 。l ( 薯 ) 12 + i 11 b ( x ) 1 2 r 2 1 2 1 = ；i 可( x ) + f f v h ( x ) i2 + 之l ( x ) | 2 沿着神经网络的轨迹对g ( x ，丑) 求时l 、日jf 的导数 塑坚，型一o e ( x , 2 ) 一d x + o e ( x , 2 ) 一d 2 d t 融d t d 咒d t ：p m 硝v o m ，卅悱) 7 v h ( x ) 垮 + v 。l ( x ，丑) 7 v h ( x ) 7 竺d t ：一v ，l ( x ，五) 7v 。2 、x ，i ) v ，l ( x ， ) ( 213 ) 一 ( x ) 7v h ( x ) v ，l ( 石，五) + v ：l ( x ，v h ( x ) 7 ( x ) = 一v ，( x ，v 三l ( x ，i ) v ，l ( x ，丑) 由于v ( 工，丑) ，h e s s i a n 矩阵v ：l ( z ，五) o ，所以掣蔓o ，且当v ，工( x ，a ) = o 时t 亘螋= o 。又因为e ( x ， ) 0 有下界，i n j g e ( x ， ) 为( 2 9 ) l ￥jl y a p u o v 函数且( 2 - 9 ) d t 为全局渐近稳定的。 推论2 2 l ”i ：x 趋于v ，( x ，丑) = 0 时的x 。 推论2 3 1 3 l ：进一步f a n a v h ( z ) ，v h ：( x ) ，v h 。( x ) 线性无关，那么z 的极限 有限。 对于含有不等式约束的非线性优化问题 r a i n 厂( x ) ( 28 ) s ，h ( x 1 0 可以引入松弛变量将不等式约束转化为等式约束，即 ( x ) + k ，y ： 7 = o 此 时该问题的多了个变量y 。，y z ，y 2 基丁h o p f i e l d 网络的状态观测器殴计方法与麻_ l j 如果将非线性规划( 2 8 ) 修改为 m i n 厂( x ) + i 1c l ( x ) l 2 s t 矗( x ) = 0 ( 2 1 4 ) 则进一步可以削弱局部凸性条件v ：，l ( x + ，兄) 0 ，此时的l a n g r a n g e 函数 为 l ，( x ， ) = 厂( x ) + 刀 ( x ) 十去c l ( x ) l 2 。 ( 2 1 5 ) 由咀上论述可以看出，如果将优化问题的目标函数转化为h n n 的能量函数， 令神经元的输出对应问题的优化向量，然后l h ( 2 1 ) 、( 2 9 ) 确定相应的动态方程，调 节网络的神经元状态，使网络达到稳态，则此时神经元的输出x 即为问题的优化解。 2 3 线性时不变确定系统的神经网络观测器设计 考虑如下线性时不变系统 文= 血+ 肌 ( 2 1 6 ) y = * ( 0 ) = x o 其中a r ，b 肜一，c r ”为已知，r “为系统状态，“r ”为控制输入， y rr 为系统输出，且假设( a ，c ) 完全能观。 系统( 2 1 6 ) 的状态观测器具有如下形式 其中主为观测器状态，f r 为h u r w i t z 矩阵，g r “，h r ，t r “”为待 求矩阵，g 、h 分别称为观测器增益矩阵和输入矩阵。 定理2 5 1 ”j ：系统( 2 1 7 ) 为( 21 6 ) 的全阶观测器，当且仅当如下三个条件成立： i ) v e ( 2 。( f ) ) 0( f 1 ，2 ，n )( 2 18 a ) i i ) t a f 7 1 一g c = 0 ，t 为非奇异( 2 1 8 b ) i i i ) h = t b ( 2 1 8 c ) 证明：表e = z t x ，则利用( 2 1 6 ) 与( 2 1 7 ) 可导出 ， 啦 = 吐 m+ 回 z 尼r 一一 = z 工 羔三童垡些堕至壅堕塞堡堕墨堑塑塑丝堕堡塑型矍 ! ! = f e + ( f t t a + g c ) x + ( h t b ) “ ( 2 1 9 ) “仁”：由条件( a ) ( c ) 成立，意味着上述方程可表为j = f e ，且对任意的、 z 。和“有 舰p ( f ) 2 i m 。e x p ( f t ) ( z o t x o ) = 0 ( 2 2 0 ) 这表明，z ( f ) 是r x ( t ) 的渐近估计，也即j ( r ) 是x ( ，) 的估计。充分性得证。 “j ”：若条件( a ) 不成立，则对于x 。0 和“( r ) = 0 ，当f 斗c o 时有p ( ，) 不趋于 零。若条件( c ) 不成立即h t b ，则可以找到一个“( f ) 使当，斗o 。时，p ( ，) 将不趋于 零。若条件( b ) 不成立即t a t g c ，但( 爿，b ) 为能控，则可以找到一个“( t ) 可i i f 生相应的一个z ( ，) ，使得当，_ 0 3 时p ( ，) 不趋于零。从而，欲雄) 为x ( r ) 的渐近估 计，必须使条f l = ( 2 1 8 a ) 、( 21 8 b ) 、( 2 1 8 c ) i i 戈立。必要性得证。 定理2 6 ”：a ，f 没有公共特征值，则( 2 18 b ) 式有唯一可逆解t 的必要条件 是( ，c ) 能观和( f ，g ) 能控。对于单输出情形，这个条件也是充分条件。 定理2 7 ：如果( 爿，c ) 能观，对于任意给定g ，r 矩阵咀概率1 可逆。 由引理2 1 可以将( 2 18 b ) 写成 ( a 7 o ，广，。 f i v = o c 】( 2 2 1 ) 记万= a 7 o ，。一，。o f ，f = p ，面= g c 。则r 可以通过如下的h o p f i e l d 网络来求解： l 坚：一j ，i 于+ i ，面 1 d t ( 2 2 2 ) l 丁( o ) = l 构造能量函数 e = 妻口于一厨) 7 口f 一面)( 2 2 3 ) 沿网络( 2 2 2 捞t 能量函数f 2 2 3 1 求时间r 的导数，有 4 基t - h o p f i e l d 网络的状态观测器设计方法与席川 竺：竺堑 d td 丁d t = 一伍7 万于一孑7 面) 7 伍7 万f 万7 而)( 2 2 4 ) 0 且堕d t = 。当且仪当i 7 j f 一了7 面= 。当且仅当万f m 一= 。，即7 1 是( 2 18 b ) 的解。 虽然利用上述的神经网络可以得到t 矩阵，而且是以概率1 可逆的，但是仍有 可能不可逆，或者即使可逆但是它的条件数过大以及其元素值过大从而给工程应 用带来不便。为了克服上述缺陷，下面对r 添加约束条件构造一个新的约束非线性 规划问题柬解决。现将t ，g 均当成未知矩阵求解。 定理2 8 _ r ，g 是方程( 2 18 b ) 的解等价于时r ，【_ yf 为如下方程的解 a r l l 。f 一弓r 。l 】睁 7 瞄】7 to ：。，( 2 2 5 ) 其中石= ( g 札百= f 三) 。在此表示”( 一一p ) 维的任意矩阵，。表示一p ) ”维 全零矩阵。 证明：对式( 2 1 8 b ) 按列展丌，注意到c g = 已万，再由引理i ，得 ( 爿7 0 ，) 旷卜( f ) 一( 石7 0 ，) 【g 】= 0 】( 2 2 6 ) 整理得 a r 。o 一，。f 一百r l 】时r 眵】7 f ：o 。 容易看出，对于任意给定满足条件的f ，方程( 2 2 5 ) 有无穷多解使得7 1 可逆； 而且1 ：1 ：1 ( 2 1 8 c ) 和( 2 2 6 ) 啡n ，观测器的输入矩阵h 依赖于g 、t 的取值；因此这些 特点就为观测器的设计提供了较大的灵活性。为了优化观测器的性能，给出最小 化观测器增益矩阵g 或者输入矩阵在某种意义下的范数的性能指标是必要的。 在系统设计时，往往避免一个系统在具有同样期望的收敛速度条件下其内部信号 的平均幅值较大从而出现饱和现象。本问题中，对g 和的范数和加以约束使其 最小。 m i n t l g i i , ：+ ： ( 2 2 7 ) iil i ，表示f r o b e n i u s 范数，i i m i i = f ，d c e ( m 7 ) = 、2 u 。在所有满足条件的 t ，g 中，求出使得如上性能函数达到最小的一组。