基于预测的邮轮定价策略研究-电工杯数学建模竞赛获奖论文

答卷编号： 论文题目：基于预测的邮轮定价策略研究 姓 名 专业、班级 有效联系电话 参赛队员 1 刘鹏博 实验 131参赛队员 2 荣军强 实验 131参赛队员 3 隋东旭 实验 131指导教师： 参赛学校： 东北电力大学 证书邮寄地址、邮编、收件人： 吉林省吉林市船营区东北电力大学新校区第三教学楼 C 座 C406 答卷编号： 阅卷专家 1 阅卷专家 2 阅卷专家 3 论文等级 1 基于预测的邮轮定价策略研究基于预测的邮轮定价策略研究 摘摘 要要 近年来邮轮发展非常迅速， 本文中主要探讨和解决了邮轮公司的不同船舱售 票定价问题，通过构建合理预测模型，使得邮轮公司收益最大。 问题一，对各航次每周实际预订人数非完全累积表中的数据进行分析，结合 神经网络预测模型，灰色预测模型和类比预测模型等预测方法，利用表格中的数 据，从多个角度分析数据间存在的关系，建立合理的预测机制，最终预测未知的 数据。 问题二，对每次航行预订舱位价格表中的前四组完整数据进行分析，分析每 次邮轮航行前 14 周到航行前 0 周的价格变化规律，可以得出时间和价格之间大 致为二次函数关系，对 5 到 10 航次的邮轮中已知的价格和时间数据进行图形绘 制，并利用二次函数的数据拟合，确立表达式中的参数，进而求解出表格中需要 预测的未知量，并完善表格。 问题三， 对各舱位每航次每周预订平均价格表及每周意愿预订人数表进行分 析， 从分析的结果中可得出每周平均预定价格及每周意愿预定人数以及上一周的 平均价格有着直接关系，假设出关系表达式，通过拟合的方法，得出每一周每一 种舱位的价格表达式，并据此预测出公司每周的预测价格。 问题四， 邮轮每次航行的最大预期售票收益和邮轮出发前各周售票平均价格、 实际预定人数等因素有关，找出价格关于意愿预定人数的关系， 同时确定实际预 定人数关于平均价格和意愿预定人数的关系， 售票收益可由实际人数与票价乘积 得到，获得预期收益模型，再通过模型求解出第八艘邮轮的收益为 1393163 元。 问题五，建立游客的升舱意愿模型，为使模型简便实用，规定游客升舱的意 愿取决于两不同舱位的差价和原舱位的价格之比，比值越小，说明意愿越强烈。 对三个等级的舱位价格进行设定，并利用价格表示原有人数和的升舱意愿概率， 最终通过价格之间的比例关系得出最大售票收益， 确定出当头等舱价格是二等舱 价格的 1.2896 倍，二等舱价格是三等舱价格的 1.2896 倍时，升舱后邮轮公司的 收益最大。 关键词：关键词：神经网络；灰色预测；拟合；最优化问题 2 1问题重述问题重述 近年来乘坐邮轮旅游的人越来越多，邮轮公司的发展也非常迅速。需要设计 出合理的定价， 一方面吸引更多的旅游者， 另一方面为邮轮公司创造更多的收益。 邮轮采用提前预订的方式进行售票，邮轮出发前 0 周至 14 周为有效预定周 期， 邮轮公司为了获得每次航行的预期售票收益，希望通过历史数据预测每次航 行 0 周至 14 周的预定舱位人数、预订舱位的价格，为保证价格的平稳性，需要 限定同一航次相邻两周之间价格浮动比，并且意愿预定人数（填写信息表未交款 的人数） 转化为实际预定人数 （填写信息表并交款的人数） 与定价方案密切相关。 已知某邮轮公司拥有一艘 1200 个舱位的邮轮，舱位分为三种，250 个头等 舱位，450 个二等舱位，500 个三等舱位。该邮轮每周往返一次，同一航次相邻 两周之间价格浮动比不超过 20%。现给出 10 次航行的实际预订总人数、各航次 每周实际预订人数非完全累积表、每次航行预订舱位价格表、各舱位每航次每周 预订平均价格表及意愿预订人数表、每次航行升舱后最终舱位人数分配表，通过 对表格的分析，回答下述问题： 1.预测每次航行各周预订舱位的人数，完善各航次每周实际预订人数非完全 累积表 sheet2。要求至少采用三种预测方法进行预测，并分析结果。 2.预测每次航行各周预订舱位的价格， 完善每次航行预订舱位价格表 sheet3。 3.依据附件中表 sheet4 给出的每周预订价格区间以及每周意愿预订人数，预 测出公司每周给出的预订平均价格。 4.依据附件中表 sheet1-sheet4， 建立邮轮每次航行的最大预期售票收益模型， 并计算第 8 次航行的预期售票收益。 5.在头等、二等舱位未满的情况下，游客登船后，可进行升舱（即原订二等 舱游客可通过适当的加价升到头等舱， 三等舱游客也可通过适当的加价升到头等 舱、二等舱） 。建立游客升舱意愿模型，为公司制定升舱方案使其预期售票收益 最大。 2 2问题分析问题分析 本文中最大的特点是多次用到预测，在选用合适的预测方法之前，要首先 明确预测的数据是什么，该类型数据具有怎样的趋势走向，存在着怎样的规律 和联系。 问题一中，需要预测各周预订舱位的人数，从该题中给出的数据不难看 出，各周预订舱位的人数和邮轮出发前的时间有关，即邮轮出发前第十四周到 第零周这一时间因素有关；该数据还和邮轮中舱位有关，即头等舱、二等舱、 三等舱有关，一方面会受到舱位价格的影响，另一方面还会受到舱位数量的制 约；表格中列出 10 次邮轮航行的相关数据，这十次邮轮在相同的时间段、相同 的舱位下，预订舱位的人数基本相等，波动不大。具体到某一搜邮轮中，可以 按照邮轮出发前的时间做出预测，BP 神经网络恰好适合该种数据的预测，能够 通过表格中所给的数据建立神经网络系统，最终得出需要预测的数据；分析所 有邮轮在出发前固定时间、固定舱位下预定的人数，该数据基本保持平稳状 态，灰色预测适合该数据下的分析，通过编写灰色预测模型程序，利用表中数 据，最终得出需要预测的数据；因为十艘邮轮的相关数据基本一致，可以采用 3 类比推测的方法进行数据的预测。 问题二中，能够通过对前四组数据（1-4 号邮轮的相关数据）的分析，得出 每次航行各周预订舱位的价格与邮轮出行前的时间呈现二次函数的关系，一般 都在邮轮出行前八周到前四周的时间段内呈现较高的价格，在前十四周到前八 周的时间中，价格处于上升状态，在前四周到第零周的时间内，价格处于下降 状态。总体趋势符合二次函数关系，因此在分析 5-10 号邮轮中的相关数据时， 可以利用已有的数据，汇出函数图像，设定二次函数表达式，得出参数具体 值，通过具体的关系表达式，得到最终需要预测的数据。 问题三中，需要预测出公司每周给出的预订平均价格，分析 sheet4 中的数 据，平均价格受到价格区间的制约，也会受到意愿预定人数的影响，为了保证 价格浮动比不超过 20，本周的平均价格也会受到上一周价格的影响。设出关 系表达式，得出邮轮出发前某一周、某种舱位的平均价格表达式，利用函数的 拟合，确立参数，最终得出每一周下每一种舱位的平均价格关系表达式。 问题四中，需要理解当预定平均价格到达价格上限的时候，意愿预定人数 就是实际人数，也就是说意愿预定人数转换成实际人数的转关率和价格有关， 价格越接近上限，转换率越高，此外，不同的舱位下转换率应该不同，再次引 入转换比例参数 d，表示不同舱位的情况下的意愿预定人数和实际人数的转换 关系，通过对题中已知的数据进行分析求 d,确立不同舱位下的 d 值。在问题三 中提出，每一周的平均价格和意愿预定人数以及上一周的价格有关。最大预期 售票收益是实际人数和平均价格的乘积关系，这样，收益就转换成和意愿预定 人数有关的表达式。 问题五中，需要设出三种舱位价格之间的关系，认为游客升舱意愿只和三 种舱位之间的价格关系有关，用三种价格的关系表达出每一种舱位内的游客升 舱的意愿，通过升舱意愿的比例以及原本舱位中的人数，确立出最终选择升舱 的具体人数，利用升舱人数和升舱的差价，最终表达出预期的售票收益，对收 益的表达式进行分析，得出最终结论。 3 3模型的假设与符号说明模型的假设与符号说明 3 31 1 模型的假设模型的假设 1.假设邮轮旅游不存在高峰期，邮轮票价、预定人数等保持平稳状态； 2.假设题目表格中给出的平均价格在价格浮动比之内； 3.假设邮轮各个舱位预定平均价格和距离邮轮出发时间的关系保持一致； 4.假设意愿预定人数和实际预定人数的转换只和价格、舱位种类有关。 5.假设游客上船之后升舱没有任何手续费； 6.假设每个舱位中的人数和舱位的价格成反比例关系，并且三种舱位的比例 关系相同； 7.假设游客升舱的意愿和两种舱位价格之差与原有舱位的价格之比有关； 32 符号说明符号说明 符号 含义 a b c 拟合二次函数的参数 t 距离邮轮出发的时间（周数） 4 y 预定平均价格 max min 预定价格的上下限 x 意愿预定的人数 c 实际预定人数 k l 预定平均价格表达式中的参数 d 实际预定人数和意愿预定人数的比例系数 Q 最大预期售票收益 z 三等舱价格 m n 二等舱、头等舱和三等舱价格的比例关系 w 各个舱位中的人数 p 游客升舱意愿比例 s 每个舱位中价格和人数的关系常数 q 预期售票的最终收益 4 4模型的准备模型的准备 问题一中，需要用到对一些相关预测方法的了解，知道预测方法适合利用怎 样的数据进行预测。本题中用到了 BP 神经网络预测方法。人工神经网络 （Artificial Neural Networks，NN）是由大量的、简单的处理单元（称为神经元） 广泛地互相连接而形成的复杂网络系统，它反映了人脑功能的许多基本特征，是 一个高度复杂的非线性动力学系统。神经网络具有大规模并行、分布式存储和处 理、自组织、自适应和自学习能力，特别适合处理需要同时考虑许多因素和条件 的、不精确和模糊的信息处理问题。 人工神经网络特有的非线性适应性信息处理能力， 克服了传统人工智能方法 对于直觉，如模式、语音识别、非结构化信息处理方面的缺陷，使之在神经专家 系统、模式识别、智能控制、组合优化、预测等领域得到成功应用。人工神经网 络与其它传统方法相结合，将推动人工智能和信息处理技术不断发展。近年来， 人工神经网络正向模拟人类认知的道路上更加深入发展， 与模糊系统、 遗传算法、 进化机制等结合，形成计算智能，成为人工智能的一个重要方向，将在实际应用 中得到发展。 BP 神经网络是误差反向传播神经网络的简称，它由一个输入层，一个或多 个隐含层和一个输出层构成，每一次由一定数量的的神经元构成。这些神经元如 同人的神经细胞一样是互相关联的。BP 神经网络最主要的优点是具有极强的非 线性映射能力。理论上，对于一个三层和三层以上的 BP 网络，只要隐层神经元 数目足够多，该网络就能以任意精度逼近一个非线性函数。在本题中关键就是找 到每一艘邮轮中随着时间的推移，各周预订舱位的人数的数据，建立适合的网络 系统， 利用输入和输出的关系，最终得出需要预测的每次航行各周预订舱位的人 数。 在某个邮轮出发前的时间相同（距离出发前的周数相同） ，舱位确定的情况 下，分析不同航次的邮轮预定人数，该数据在表格中的体现是横向分析，整个数 据是保持基本不变的。在此可以利用灰色预测进行数据的预测。 灰色预测是就灰色系统所做的预测。所谓灰色系统是介于白色系统和黑箱系 统之间的过渡系统， 其具体的含义是： 如果某一系统的全部信息已知为白色系统， 全部信息未知为黑箱系统，部分信息已知，部分信息未知，那么这一系统就是灰 色系统。一般地说，社会系统、经济系统、生态系统都是灰色系统。灰色系统理 5 论认为对既含有已知信息又含有未知或非确定信息的系统进行预测， 就是对在一 定方位内变化的、与时间有关的灰色过程的预测。尽管过程中所显示的现象是随 机的、杂乱无章的，但毕竟是有序的、有界的，因此这一数据集合具备潜在的规 律， 灰色预测就是利用这种规律建立灰色模型对灰色系统进行预测。 灰色预测分 为： 灰色时间序列预测。即用观察到的反映预测对象特征的时间序列来构造灰 色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或达到某一特征量的时间。 畸变预测。即通过灰色模型预测异常值出现的时刻，预测异常值什么时候 出现在特定时区内。 系统预测。通过对系统行为特征指标建立一组相互关联的灰色预测模型， 预测系统中众多变量间的相互协调关系的变化。 拓扑预测。将原始数据作曲线，在曲线上按定值寻找该定值发生的所有时 点，并以该定值为框架构成时点数列，然后建立模型预测该定值所发生的时 点。 本题中用到的就是灰色时间序列预测，例如距离第一艘邮轮出发前十周这 一行的数据，距离第二艘邮轮出发前十周就是距离第一艘邮轮出发前十周的后 一周，以此类推，按照时间的推移，距离不同邮轮出发的时间限购听，不同邮 轮上相同座位的数据分析，建立灰色预测模型，通过 matlab 程序，最终实现预 测功能。 本题中还可以选择类比的方法对数据进行预测。与其它思维方法相比，类 比法属平行式思维的方法。与其它推理相比，类比推理属平行式的推理。无论 那种类比都应该是在同层次之间进行。亚里士多德在前分析篇中指出：“类 推所表示的不是部分对整体的关系，也不是整体对部分的关系。”类比推理是一 种或然性推理，前提真结论未必就真。要提高类比结论的可靠程度，就要尽可 能地确认对象间的相同点。相同点越多，结论的可靠性程度就越大，因为对象 间的相同点越多，二者的关联度就会越大，结论就可能越可靠。反之，结论的 可靠性程度就会越小。 本题中，用到类比的就是这十艘邮轮的相关数据，假设中提出十艘邮轮各 个舱位的预定人数在距离邮轮出发的时间段内的趋势走向是保持一致的，类比 法明确指出，类比结论的可靠程度取决于类比对象之间的相同点，本题中类比 对象是十艘严格意义上相同的邮轮，其中类比的数据是不同舱位下随着时间的 预定人数的变化关系，舱位均分为头等舱、二等舱、三等舱三种，距离邮轮出 发的时间都是从前十四周到前零周，类比对象一致，所以采用此种类比预测的 方法，结论可靠性较高。 问题二中，需要用到 matlab 函数中的绘图功能，将前四组数据（前四艘邮 轮的数据）中具体某搜邮轮每次航行预订舱位价格和时间的关系体现在图像 中，通过观察规律，得到每次航行预订舱位价格和距离邮轮出发前时间的关系 图像，利用 matlab 的拟合功能，通过对 5-10 号邮轮中的数据带入，得到具体关 系表达式，最终得出预测结果。 问题三中，经过分析可以知道平均价格受到价格区间的制约，受到每周意 愿预定人数的影响，以及上一周平均价格的影响，列出制约条件和相关表达 式，通过 matlab 的拟合功能得出表达式中的参数，通过 LINGO 软件的使用， 判断结果是否符合相邻两周的价格浮动比不超过 20，随后需要对模型的改进 处理，得到最终合理的结果。 6 问题四中，需要得出意愿预订人数和实际预定人数之间的关系。首先要对各 航次每周实际预订人数非完全累积表进行处理，用距离邮轮出发前 i 周的预定人 数减去第 i+1 周的预定人数，该差值即为距离邮轮出发前第 i 周内预定的人数。 该表格详见附录一。 问题五中，需要找出三等舱、二等舱、头等舱的价格关系，将三种价格的关 系作为本题中的重点，在满足该关系的价格下，能够使得游客的意愿程度和实际 票价的乘积最大，进而达到预期售票收益最大。列出最终预期收益的表达式，里 边含有价格的关系参数，通过建立优化模型，在求解优化模型的时候，应用到 matlab 的优化求解。通过对优化结果的解读，得出各个舱位价格的关系。 5 5模型的建立与求解模型的建立与求解 问题一问题一 （1）利用 BP 神经网络进行预测，需要利用各航次每周实际预订人数非完 全累积表表格中的数据建立神经网络系统，依次进行将原始数据归一化，设置相 应的 BP 网络，调用算法训练网络，对该网络进行仿真等一系列的处理，最终得 到 matlab 中 BP 神经网络的程序(详见附录 2)，代入初值数据，得到最终的预测 结果。 具体落实到各航次每周实际预订人数非完全累积表中， 该预测方法是利用 5- 10 号邮轮的纵向数据预测得到的，伴随着邮轮出发时间的临近，预定人数呈现 怎样的增长趋势， 通过对该趋势的确定， 得出BP神经网络对该数据的映射关系， 最终得出表格中的空白数据。得出的具体结果如下表表 1。 表表 1 1 BPBP 神经网络初步预测结果神经网络初步预测结果 周 航次 5 4 3 2 1 0 5 头等舱 108 134 171 193 200 203 二等舱 296 341 386 402 410 413.3 三等舱 397 425 478 500 500 511.4 6 头等舱 99 131 168 190 182.9 205.7 二等舱 282 341 374 389 396.4 399.8 三等舱 364 385 428 467 475.1 488 7 头等舱 102 142 193 230.5 236.9 255.2 二等舱 326 375 420 410 432.2 435.2 三等舱 326 375 420 434.4 485.3 502.2 8 头等舱 106 133 142.4 155.9 166 176.1 二等舱 269 310 328 349.4 366.8 389.2 三等舱 325 376 411.1 437.1 452.9 477.7 9 头等舱 109 116.4 122 134.8 143.2 154 二等舱 275 318 333.8 351.4 373.2 379.4 三等舱 403 423 434.2 449.2 468.6 475.4 7 10 头等舱 101.5 113.8 132.6 155.3 165.4 183 二等舱 282.1 309 327.4 374.5 390.7 425.6 三等舱 351.5 374.5 396.1 435.4 452.7 483.1 因为每个舱位预定的总人数不能超出舱位的座位数，在该邮轮中，头等舱 有 250 个，二等舱 450 个，三等舱 500 个。因此，在该表格中的预定人数不能 超过舱位中座位的上限。BP 神经网络是利用表格中的数据纵向预测的方法，随 着距离邮轮出发时间的临近，倘若预测中的预定人数超过了舱位座位的上限， 那么该数据就应该取其上限值，并且在随后的预定时间内，不再增加。并且该 题是对人数的预测，很显然人数不能为小数，在表 1 中的初步预测结果，含有 小数部分，小数部分的大小体现出该预测值对相邻两个整数的接近程度，结合 模糊数学中隶属度的思想，为了适合误差最小，本文选自应用四舍五入的办 法，四舍五入是一种精确度的计数保留法，与其他方法本质相同，但特殊之处 在于，采用四舍五入，能使被保留部分的与实际值差值不超过最后一位数量级 的二分之一，假如 09 等概率出现的话，对大量的被保留数据，这种保留法的 误差总和是最小的。本题中使用四舍五入对小数点之后的部分进行近似。 依据该实际约束条件，整合 BP 神经网络初步预测结果，适当进行调整数 据，再次依据预测方法，得出最终合理的预测结果，见下表表 2。 表表 2 2 BPBP 神经网络最终预测结果神经网络最终预测结果 周 航次 5 4 3 2 1 0 5 头等舱 108 134 171 193 200 203 二等舱 296 341 386 402 410 413 三等舱 397 425 478 500 500 500 6 头等舱 99 131 168 190 183 206 二等舱 282 341 374 389 396 400 三等舱 364 385 428 467 475 488 7 头等舱 102 142 193 230 236 250 二等舱 326 375 420 410 432 435 三等舱 326 375 420 434 485 500 8 头等舱 106 133 142 156 166 176 二等舱 269 310 328 349 367 389 三等舱 325 376 411 437 453 478 9 头等舱 109 116 122 135 143 154 二等舱 275 318 334 351 373 380 三等舱 403 423 434 449 469 475 10 头等舱 102 114 133 155 165 183 二等舱 282 309 327 375 391 425 三等舱 351 375 396 435 453 483 对该预测结果进行合理化分析，本题中的数据应当满足随着距离邮轮出发 时间的临近，每个舱位下预定的人数应当呈现严格上升态势，并且最终的各种 舱位预定对应的人数不能超过舱位座位总数，该预测结果符合实际情况，可以 作为一种合理的预测。本文将在结果的分析与检验部分对最终的预测结果进行 8 误差分析。 （2） 利用灰色预测模型进行预测， 在距离每一艘邮轮出发前的时间一定时， 例如各航次每周实际预订人数非完全累积表中对应第十周行， 该行表示的是距离 各个邮轮出发前十周的时间内预定邮轮船票的总人数， 在对应相同的舱位前提下， 该人数的数值基本保持不变，波动不大，可以据此做参考，利用灰色预测的灰色 时间序列预测方法，预测未来某一时刻的特征量。 对数据更加精确的分析，用距离邮轮出发前十周做出简单的说明，各航次每 周实际预订人数非完全累积表中的数据是前十周以及更早到前十四周内预定船 票的总人数，通过对数据的处理，得出具体某一周内预定船票的人数，例如第十 周预定船票的人数是各航次每周实际预订人数非完全累积表中前十周预定的人 数减去前十一周预定的人数，两者之差就是在第十周内的预定人数。根据对每一 周内的预定人数进行简单的分析， 发现此数据在表格中每一横行中也是趋于平稳 的数值。在利用灰色预测方法的时候，使用到的是具体某一周内预定船票的人数 数据。 具体落实到各航次每周实际预订人数非完全累积表中， 使用到表格中从邮轮 出发前十四周到邮轮出发前零周各周内各种舱位预定人数， 用到表格中的横向数 据进行规律分析， 最终得出待预定的表格空白位置中对应该周内预定船票的人数， 使用原各航次每周实际预订人数非完全累积表中上一周以及更早的预定人数， 加 上本周内的预定人数，即为表格中需要填写的预测数据。 （具体程序见附录 3） 利用灰色预测方法预测出的结果见表 3。 表表 3 3 灰色预测初步预测结果灰色预测初步预测结果 周 航次 5 4 3 2 1 0 5 头等舱 108 134 171 193 200 203.9 二等舱 296 341 386 402 410 416 三等舱 397 425 478 500 500 534.8 6 头等舱 99 131 168 190 196.5 202.5 二等舱 282 341 374 389 393.2 409.4 三等舱 364 385 428 467 476.8 513.6 7 头等舱 102 142 193 219.6 226 235.6 二等舱 326 375 420 437.4 440.4 486.3 三等舱 326 375 420 450 458.3 497.3 8 头等舱 106 133 181.5 210.7 217 232.1 二等舱 269 310 355.7 372.1 374.3 471.6 三等舱 325 376 409.8 439.5 446.5 487.7 9 头等舱 109 141.1 192.6 224.6 230.9 254.2 二等舱 275 320.8 369.5 384.9 386.5 520.2 三等舱 403 441.7 472.3 501.6 507.6 551.3 10 头等舱 190.8 142.1 196.6 231.8 237.9 274.3 二等舱 303.5 347.5 399.4 413.9 415.1 709.4 三等舱 357.4 394.6 422.4 451.3 456.4 502.7 因为每个舱位预定的总人数不能超出舱位的座位数，在该邮轮中，头等舱有 9 250 个，二等舱 450 个，三等舱 500 个。因此，在该表格中的预定人数不能超过 舱位中座位的上限。灰色预测是利用表格中的数据横向预测的方法，随着距离邮 轮出发时间的临近，倘若预测中的预定人数超过了舱位座位的上限，那么该数据 就应该取其上限值，并且在随后的预定时间内，不再增加。在本预测方法中可以 理解为如果本艘邮轮的某种舱位在该周之前预定已经达到上限， 那么在随后的时 间内不会再有预定人数，即随后的各个周内，预定人数为 0。并且该题是对人数 的预测，很显然人数不能为小数，在表 3 中的初步预测结果，含有小数部分，小 数部分的大小体现出该预测值对相邻两个整数的接近程度，为使得误差最小，最 终确定应用四舍五入的办法。 依据该实际约束条件，整合灰色预测初步预测结果，适当进行调整数据，再 次依据预测方法，得出最终合理的预测结果，见下表表 4。 表表 4 4 灰色预测最终预测结果灰色预测最终预测结果 周 航次 5 4 3 2 1 0 头等舱 108 134 171 193 200 204 5 二等舱 296 341 386 402 410 416 三等舱 397 425 478 500 500 500 头等舱 99 131 168 190 196 203 6 二等舱 282 341 374 389 393 410 三等舱 364 385 428 467 477 492 头等舱 102 142 193 220 226 235 7 二等舱 326 375 420 437 440 450 三等舱 326 375 420 450 458 469 头等舱 106 133 182 211 217 232 8 二等舱 269 310 356 372 374 402 三等舱 325 376 410 440 447 455 头等舱 109 141 193 225 231 250 9 二等舱 275 321 370 385 387 450 三等舱 403 442 472 500 500 500 头等舱 191 142 197 232 238 250 10 二等舱 303 348 399 414 415 421 三等舱 357 395 422 451 456 462 对该预测结果进行合理化分析， 本题中的数据应当满足随着距离邮轮出发时 间的临近，每个舱位下预定的人数应当呈现严格上升态势，并且最终的各种舱位 预定对应的人数不能超过舱位座位总数，该预测结果符合实际情况，可以作为一 种合理的预测。 本文将在结果的分析与检验部分对最终的预测结果进行误差分析。 （3）利用类比方法进行预测，假设各航次每周实际预订人数非完全累积表 中每一艘邮轮在距离邮轮出发之前，预定票的人数趋势保持一致，那么根据前四 组邮轮的数据，绘制出距邮轮出发时间和各种舱位预定人数的关系曲线，如下图 图 1 所示。 10 图图 1 1 三种舱位下价格随着时间的变化三种舱位下价格随着时间的变化 通过类比的思想，5-10 号邮轮中头等舱、二等舱、三等舱的预定人数也会随 着距离游轮出发时间的临近呈现出该关系， 增长速度先慢， 后快， 最后呈现平缓， 增长速度高峰期体现在了 7、8、9 周。 将 5-10 号游轮不同时间、不同舱位下的预定人数绘制出散点图，根据图形 的走向，大致判断出未知点的位置，例如下图图 2 中是第五组数据中头等舱的预 定人数和时间的关系； 051015 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 1 2 3 11 图图 2 2 第五组数据中头等舱的预定人数和时间的关系第五组数据中头等舱的预定人数和时间的关系 根据已知图像的趋势和现有散点图的形状， 大致估算出第五搜邮轮在距离出 发前零周预定人数为 201 人。依次类推，可以得到第五搜邮轮中二等舱、三等舱 的预定人数的数据。同理，判断 6-10 搜邮轮的相关数据，此处不再一一列举。 下表表 5 即为类比方法最终的预测结果。 表表 5 5 类比预测最终预测结果类比预测最终预测结果 周 航次 5 4 3 2 1 0 5 头等舱 108 134 171 193 200 201 二等舱 296 341 386 402 410 412 三等舱 397 425 478 500 500 500 6 头等舱 99 131 168 190 194 195 二等舱 282 341 374 389 401 403 三等舱 364 385 428 467 479 490 7 头等舱 102 142 193 207 217 218 二等舱 326 375 420 436 448 449 三等舱 326 375 420 460 469 493 8 头等舱 106 133 165 179 184 185 二等舱 269 310 358 381 397 399 三等舱 325 376 424 464 473 495 9 头等舱 109 126 149 159 163 164 二等舱 275 323 356 373 383 385 三等舱 403 423 458 473 484 494 02468101214 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 12 10 头等舱 103 133 167 185 190 191 二等舱 304 353 389 407 420 422 三等舱 368 398 447 463 480 493 问题问题二二 在每次航行预订舱位价格表中找出每次航行预订舱位价格表中前四组中各 个舱位的价格和距离邮轮出发时间的数据关系， 大体得出平均价格和时间是先增 后减的关系。运用 matlab 的绘图功能，采用前四组不同舱位预定价格的四组平 均值，绘制出头等舱、二等舱、三等舱预定价格个时间的关系图像，下图图 3 为 头等舱预定价格和时间的关系。 图图 3 3 头等舱预定价格和时间的关系头等舱预定价格和时间的关系 通过图 3 不难看出，头等舱的预定价格和时间呈现二次函数的抛物关系，此 外，二等舱、三等舱的平均预定价格均和时间呈现抛物关系，此处不一一列出。 那么，在预测 5-10 号邮轮中不同舱位在不同时间下的平均价格时，可以根据每 次航行预订舱位价格表中已有的数据，绘制出散点图，设定出二次函数表达式 = + + 其中，y 代表平均价格，x 代表时间（距离游轮出发的周数） ，x 可取值为 0- 14。根据已有的数据点，通过函数的拟合，编写拟合程序（详见附录 4） ，得到每 一艘游轮、 每一种舱位下的具体表达式， 当然， 不同表达式中的参数值不尽相同。 在论文部分不一一列出。 通过拟合的方式，确定出每一种舱位、每一个邮轮的价格和时间的具体表达 051015 1550 1600 1650 1700 1750 1800 1850 1900 1950 2000 13 式，带入未知数据的时间变量，得出价格。最终结果见下表表 6。 表表 6 6 预测舱位价格预测舱位价格 周 航次 5 4 3 2 1 0 5 头等舱 1970 1880 1900 1810 1720 1630 二等舱 1400 1370 1350 1310 1160 1166 三等舱 980 941 958 895 869 868 6 头等舱 1900 1820 1760 1710 1628 1520 二等舱 1350 1350 1340 1270 1200 1124 三等舱 955 978 980 882 928 907 7 头等舱 1810 1770 1710 1659 1559 1442 二等舱 1350 1300 1320 1273 1230 1179 三等舱 941 964 965 991 997 999 8 头等舱 1840 1870 1833 1778 1700 1627 二等舱 1400 1320 1305 1249 1180 1096 三等舱 946 971 1010 1026 1040 1050 9 头等舱 1820 1766 1694 1605 1500 1378 二等舱 1380 1381 1339 1283 1211 1125 三等舱 977 1042 1089 1137 1189 1242 10 头等舱 1874 1871 1859 1839 1810 1772 二等舱 1311 1276 1226 1163 1087 996 三等舱 1053 1117 1185 1259 1337 1420 问题三问题三 题目中明确指出依据每周预订价格区间以及每周意愿预订人数， 预测出公司 每周给出的预订平均价格。 通过对各舱位每航次每周预订平均价格表及意愿预订 人数表分析得知，每周预定平均价格要受到价格区间的制约，不能低于最小值， 不能超过最大值；同时，每周的平均预定价格也会受到意愿订购人数的影响，各 舱位每航次每周预订平均价格表及意愿预订人数表表中提出当平均价格达到上 限的时候，意愿订购人数就是实际人数，从这一点可以看出平均价格和意愿订购 人数的数量成正比例关系；与此之外，本周的平均预订价格会受到上一周平均预 订价格的影响，浮动范围不能超出上一周预定平均价格的 20，即 0.8 +1 1.2 +1 其中，代表距离游轮出发前 i 周的平均预定价格。 根据已有的条件，设定第 i 周的平均预订价格表达式为 = + + +1 其中，代表距离邮轮出发前第 i 周的意愿预定人数，代表平均预定价 格区间中的最小值，代表邮轮出发前 i 周内的平均预定价格，k 和 l 为参数。对 于不同的舱位， 不同的时间内分别有不同的 X 和 Y 值， 对应的参数值也不相同。 通过拟合的思想，对于不同的舱位，距离游轮出发前不同的时间周内，带入 本周内平均预定价格的最小值（具体到某一舱位某一周，该数为定值） ，该周内 的意愿预定人数，上一周的平均预订价格和这一周的平均预订价格，即意愿预定 人数和上一周的平均预订价格作为输入值，本周的平均预订价格座位输出值，得 14 到参数 l 和 k。 （具体拟合程序见附录 5） 需要进行不同情况下的不同计算，首先对头等舱的不同时间内进行拟合，而 后依次对二等舱，三等舱等进行拟合，到处具体函数表达式，详细结果如下表表 7。 表表 7 7 不同情况下的参数值不同情况下的参数值 舱位 周 头等舱 二等舱 三等舱 k l k l k l 0 10.7999 0.0177 -14.3283 0.0478 0.2624 0.0073 1 4.2404 0.0124 -0.1258 0.1194 0.7085 0.0158 2 1.3054 0.0055 -0.1258 0.1194 0.0951 0.0169 3 1.2716 -0.0152 0.3622 0.0559 0.1349 0.0037 4 1.8693 -0.0186 0.7271 0.0128 0.2582 -0.006 5 0.8974 0.0196 -0.3768 0.0995 0.1848 -0.0108 6 1.7534 -0.0048 -0.4666 0.0796 0.1342 0.0018 7 0.4688 0.045 0.3974 0.0236 0.1947 -0.0022 8 0.9645 0.0379 -0.1143 0.0934 0.2298 -0.0091 9 0.4331 0.0624 0.3984 0.1213 0.0016 0.0347 10 4.27 0.0309 2.6617 0.0533 0.1112 0.0309 11 1.3638 0.0606 -0.031 0.0987 0.0182 0.0214 12 4.1818 0.0322 0.4445 0.0847 0.0088 0.019 13 0.875 0.059 0.5969 0.0486 0.1931 0.0186 14 22.5926 11.1585 0.4773 不难看出，参数 l 在求距离邮轮出发第十四周的平均价格时不存在（不论是 头等舱，二等舱还是三等舱） ，因为不存在15（距离游轮出发前十五周的平均预 定价格） 。 在具体计算到某一周，某一种舱位的预定平均价格时，只需带入上述相对应 的参数即可，通过该周的意愿预定人数，上一周的预定平均价格+1（如果存 在）和本周预定价格区间的最小值，就可以得出本周的预定平均价格具体值。 问题问题四四 本题中需要求出最大预期售票收益， 售票收益取决于实际订票人数和船票的 实际平均价格，通过问题三可以得出，每一周的预定平均价格和本周的意愿预定 人数以及上一周的预定平均价格有关； 意愿预定人数和实际人数之间的转换和预 定平均价格有关，此外，还和舱位有关，即头等舱、二等舱、三等舱下转换率不 同。 解决本题的关键在于不同舱位下， 意愿预定人数和实际人数之间转换率的确 定。因为题目中提到，当预定平均价格为价格区间的上限时，意愿预定人数就是 实际人数，通过这一条件，可以将实际人数和意愿预定人数关于价格因素的影响 进行标准化处理。 设定实际人数和意愿预定人数之间的关系为 = 15 这一表达式体现出预定平均价格越高， 意愿预定人数转换为实际人数的比重 就越大，但是，除了价格影响因素之外，该转换率还和舱位的种类有关，因此， 设出转换比重 d，满足在头等舱意愿预定人数和实际人数的转换中 1= 1 1 1 其中，1代表头等舱中意愿预定人数，1代表头等舱中实际预定人数，1 代表头等舱中距离邮轮出发前 i 周的预定平均价格，1为头等舱中意愿预定人数 和实际人数的转换比重。 同理，对于二等舱和三等舱，则有 2= 2 2 2 3= 3 3 3 利用题目中所给的各舱位每航次每周预订平均价格表及意愿预订人数表中 头等舱的意愿预定人数和附录一中给出的每一周内头等舱实际预定人数， 参照各 舱位每航次每周预订平均价格表及意愿预订人数表中头等舱的价格表， 对于每一 个意愿预定人数，都有一个对应航次，对应时间的预定平均价格，以及找出实际 预定人数。因此，在对于寻找实际预定人数和意愿预定人数之间的关系时，不防 转换为实际预定人数和意愿预定人数在价格影响之后数据的关系，即为关于 的关系，也就是确立 d 的值。 分别通过对头等舱、二等舱、三等舱数据的处理，应用上述思想，分别得出 1= 2.6340 2= 1.1407 3= 8.2313 下面对不同舱位下的预定平均价格做出说明，根据问题三中的结果，预定平 均价格 = + + +1 后文中用到，代表第 j 中舱位第 i 周的预定平均价格。 其中，如果舱位确定，具体某一周确定，那么所有的参数都会得到具体值， 这样就能得出价格和预定人数的函数表达式。 因此，最大预期售票收益模型为 Q = 其中，i = 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14(代表周数) j = 1,2.3(代表舱位种类) 代入不同舱位下价格的表达式以及实际人数关于意愿预定人数的表达 式，得出最终的收益模型。 16 题中还要求求出第八艘邮轮的预期售票收益，根据题目中所给出的数据，以 及上述最大预期售票收益模型， 代入数值求解得出第八艘邮轮的预期售票收益为 1393163 元。 问题问题五五 在头等、二等舱位未满的情况下，游客登船后，可进行升舱。在本题中需要 建立游客的升舱意愿模型，设出三等舱的价格为 z,二等舱的价格为m n，头等 舱的价格为m n z。 认为每个舱位中的人数和舱位的价格呈现反比例关系， 设 出三等舱的人数 3= 认为比例关系 s 为定值，那么则有二等舱人数为 2= 头等舱的人数为 1= 设升舱的概率为 p，那么该概率主要取决于两种舱位之间的价格之差与原来 舱位的价格之比，用数学表达式表示为 p = 1 低 式中z是原来舱位和欲升到的舱位之间的价格之差，低指的是原来舱位的 价格，因为原来舱位的价格较欲升的舱位价格相比之下低，所以用低表示。 现在每个舱位中的人数可以用价格表示出来， 升舱意愿的概率用价格的关系 表达出来，因此，用数学表达式表示出三等舱升到二等舱的游客概率为 32= 1 = 2 同理，三等舱升到头等舱的概率表达式为 31= 1 = 2 二等舱升到头等舱的概率表达式为 21= 1 = 2 每个舱位中的人数已知， 每人意愿升舱的概率已知， 所以每个舱位中选择升 舱的人数就可以确定，由三等舱升到二等舱的人数为