（运筹学与控制论专业论文）非线性随机时滞系统的稳定与控制问题研究.pdf

中南人学硕士学位论文摘要 摘要 非线性控制系统不可避免地总要遇到各种各样不确定性，包括系 统本身的不确定性和外部干扰的不确定性，这些因素都具有随机性。 当对系统研究有较高的精确要求时，充分考虑随机因素的影响就必须 要用随机模型来描述系统的动态规律；另一方面，物理系统中普遍存 在的时滞现象，往往是造成系统品质恶化甚至不稳定的原因。因此， 研究非线性时滞随机系统的稳定和控制问题具有重要的理论意义和 实用价值。 本学位论文以随机变量的系数为非线性函数形式的不确定随机 系统为研究对象，深入研究了状态反馈鲁棒控制问题，包括均方指数 稳定，局部均方指数稳定，保成本控制，玩保成本控制。主要工作 是基于l y a p u n o v 稳定性、i t o 公式、s c h u r 补引理、线性矩阵不等式 ( l m i ) 等重要理论和方法，把控制问题转化为一个线性矩阵不等式的 可行性问题来解答，得到了控制器有解的充分条件，同时给出控制器 的显性表达式。借助m a t l a b 中l m i 工具箱方便有效地处理、求解纡 性矩阵不等式，提供仿真例子验证了理论结果的正确性。 关键词非线性随机系统，可分离变量，鲁棒控制，保成本控制 a b s t r a c t n o n l i n e a rc o n t r o l s y s t e mi n e v i t a b l ye n c o u n t e ru n c e r t a i n t i e s a n d e x t e m a ld i s t u r b a n c e s t h e s eu n c e r t a i n t i e sa n dd i s t u r b a n c e s u s u a l l y i m p a c ts y s t e m si nas t o c h a s t i cw a y b a s e do nt h i sp o i n t ，i ti sn e c e s s a r yt o a d o p tas t o c h a s t i cm o d e lt od e s c r i b ea ne n g i n e e r i n gd y n a m i cs y s t e m o n t h eo t h e rh a n d ，t i m ed e l a y sa r ef r e q u e n t l yf o u n di nm a n yc o n t r o ls y s t e m s t h ee x i s t e n c eo ft i m e d e l a y i s u s u a l l y o n eo ft h em a i nc a u s e so f i n s t a b i l i t ya n dw o r s ep e r f o r m a n c ef o ras y s t e m t h e r e f o r e ，i ti sq u i t e i m p o r t a n tt oi n v e s t i g a t et h es t a b i l i t ya n dt h ec o n t r o lo fd e l a yn o n l i n e a r s t o c h a s t i cs y s t e mi nt h e o r e t i c a la n de n g i n e e r i n gs e n s e u n c e r t a i ns t o c h a s t i cs y s t e m sa rec o n s i d e r e dw i t ht h ec o e f f i c i e n to f t h es t o c h a s t i cv a r i a b l ei nt h ef o r mo fn o n l i n e a rf u n c t i o ni nt h i st h e s i s w e m a i n l yf o c u so nt h ep r o b l e m so fs t a t ef e e d b a c kr o b u s tc o n t r o li nt h e f o l l o w i n ga s p e c t s ：t h ee x p o n e n t i a ls t a b i l i t yi nm e a ns q u a r e ；1 1 1 el o c a l l y e x p o n e n t i a ls t a b i l i t y i nm e a ns q u a r e ；g u a r a n t e e dc o s t c o n t r o l ；h 。 g u a r a n t e e dc o s tc o n t r 0 1 w i t ha p p l i c a t i o n so ft h et h e o r i e sa n da p p r o a c h e s o fl y a p u n o vs t a b i l i t y , i t of o r m u l a ，s c h u rc o m p l e m e n tl e m m a ，l i n e a r m a t r i xi n e q u a l i t y ( l m i ) ，w et r a n s f o r mt h ec o n t r o lp r o b l e m si n t oaf e a s i b l e i s s u eo fc e r t a i nl m i s s o m es u 伍c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h es o l v a b i l i t yo ft h e p r o b l e m sa r eo b t a i n e d t h ee x p r e s s i o n so ft h ed e s i r e dc o n t r o l l e ra r eg i v e n v i at h em a n ，a bl m ic o n t r o lt o o l b o x w ep r o v i d es i m u l a t i o ne x a m p l e s t oi l l u s t r a t et h ea p p l i c a t i o na n de f f e c t i v e n e s so ft h ep r o p o s e dm e t h o d s k e yw o r d sn o n l i n e a rs t o c h a s t i cs y s t e m ，s e p e r a t e di n v i a b l e ， r o b u s tc o n t r o l ，g u a r a n t e e dc o s tc o n t r o l i i 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。尽我所知，除了论文中特别加以标注和致谢 的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不 包含为获得中南大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我 共同工作的同志对本研究所作的贡献均已在论文中作了明确的说明。 作者签名：参叁兰 日期：兰竺生年丛月堑日 学位论文版权使用授权书 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校 有权保留学位论文并根据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文， 允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论文的全部或部分内 容，可以采用复印、缩印或其它手段保存学位论文。同时授权中国科 学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库， 并通过网络向社会公众提供信息服务。 、 作者签名：耄差圭导师签名出1 錾兰：日期：擗丝月堑日 中南大学硕七论文 第一章绪论 第一章绪论 本章首先简要介绍了非线性时滞随机系统的产生背景与发展现状，然后介绍 鲁棒控制理论中一些与本课题相关的基础知识，所用的方法和研究状况，以及本 文所做的主要工作和结构安排。 1 1 时滞系统的概述 众所周知，确定性系统模型是对实际系统的简化，它具有许多优点。诸如， 系统模型相对简单，易与分析、综合等，研究起来所需工具亦比较简单。因此， 在理论研究和实际应用当中起到了重要作用。然而，随着科学技术的飞速发展， 实际工程技术中对系统的精度要求越来越高的情况下，原来作为简化的系统模型 一确定性模型，就远远满足不了工程技术对系统的精度要求。因此，我们有必 要从新的角度来审视系统的建模。例如，要考虑系统感应过程中所出现的时滞现 象，以及随机因素对系统的影响等等。 自1 8 世纪在弦振动中提出了时滞系统的概念以来，研究人员对于时滞系统的 研究发表了大量的论文，出版了多本著作。然而直到目前，该领域的理论研究中 还有许多问题尚未完全解决，对于时滞系统的研究方兴未艾，仍然是国际上热门 的研究领域。时滞系统之所以获得这么广泛关注和深入研究的原因主要有以下两 点：一是时滞系统的研究是为了实际的应用，正是由于时滞现象的普遍存在导致 了人们对时滞系统的深入研究。许多实际过程本身的动力学方程中就包含了时滞 环节，如生物、化学、经济、机械、物理、生理、人口和工程学等等。另外，由 于数据在网络上的传输时间和控制器的运算时间也会导致闭环系统内出现时滞 现象，如网络控制系统、遥操作系统等等；二是由于含有时滞的控制系统的特征 方程是超越方程，属于无穷维系统，对时滞系统的研究在数学理论上是非常困难 的，但是却有很高的理论价值，而且通过经典控制理论设计出来的控制器对时滞 系统很难得到良好的控制效果。正是因为时滞的存在，使得被控量不能及时反应 控制信号的动作，控制信号的作用只有在时滞以后才能反应到被控量；另一方面 当受控对象受到干扰而引起被控量改变时，控制器产生的控制作用不能立即对干 扰产生抑制作用。控制力的不同步实施，不仅降低了控制系统的性能，而且有时 会使系统变得不稳定。所以，对于时滞系统的研究具有较强的理论和实践意义。 r i c h a r d 在时滞系统的文字论述文 2 1 中详细阐述时滞系统，其稳定条件可分 为两类：时滞相关的稳定条件和时滞无关的稳定条件。 中南人学硕士论文第一章绪论 ( 1 ) 时滞无关的稳定性条件：即在该条件下，对所有的时滞r 0 ，系统是渐 近稳定的。由于这样的条件无需知道系统滞后时间的信息，因此，适合于处理具 有时变时滞或未知时滞系统的稳定性分析问题。 ( 2 ) 时滞相关的稳定性条件：即在该条件下，对时滞参数f 的某些值，系统 是稳定的；而对时滞参数r 的另外一些值，系统则是不稳定的。因此，系统的稳 定性依赖于时滞参数。 ： 由于时滞相关稳定条件考虑了时滞信息，因此，与时滞无关稳定条件相比具 有更低的保守性。然而，现存的时滞相关稳定性结果在某些情况下仍然太保守。 特别是，当应用于一个与时滞大小无关的稳定系统时，现有的时滞相关稳定性方 法常常得到非常保守的结果，允许的时滞上界远远小于无穷大。 关于时滞系统的稳定性分析方法大体可分为频域分析方法和时域分析方法。 随着计算机的发展，l y a p u n o v 第二法越来越受到控制界的青睐，成为最主要的 时滞系统稳定性的时域分析方法。于是，对时滞系统的研究便由频域分析转向时 域分析，并取得了璀璨夺目的成果。将l y a p u n o v 直接法用于时滞系统的时域分 析，一般可通过两种不同的途径l y a p u n o v k r a s o v s k i i 泛函法和l y a p u n o v - r a z u m k h i n 函数法，所得结果通常分成时滞相关和时滞无关两大类型。事实上， 这两大类型的稳定性条件，最终都被转化成判定参数化数学不等式对称正定解的 存在性问题，并以线性矩阵不等式( l m i ) 或代数黎卡提不等式( a r i ) 的形式给出。 1 2 随机系统的概述 现代控制理论自2 0 世纪5 0 年代末诞生以来，得到了飞速的发展。工业技术， 社会经济等领域的许多问题，都可以用确定模型或随机模型来描述其动态规律。 确定性系统模型是对实际系统模型的理想简化，易于分析与综合。关于此类系统 的方法也比较简单。然而在工程、交通、管理、经济以及航天等各领域，总会有 各种各样的随机因素的干扰。原来理想化而来的确定性系统远远不能满足工程界 对精度的要求。因此，在系统建模时，要考虑各种外界环境对系统的影响，如时 滞现象、不确定参数扰动，或随机因素。因而，也要依模型的变化改变对系统进 行分析和综合所采用的工具。就随机因素对系统的影响，有必要用到随机模型对 系统的建模，并用“随机”的观点分析问题和解决问题。 关于随机因素在微分系统中的作用问题早在二十世纪就被人们所关注。有 关随机过程的理论和应用的著作大量涌现，并取得丰硕成果。1 9 3 1 年，k o l m o g o r - o v 奠定了随机过程的数学理论基础；1 9 5 1 年，d o o b 的著作论述了随机过程的数 学理论；1 9 5 1 年，i t o 发表了著名的论文【l5 1 ，第一次提出了随机微分方程的概 2 中南人学硕士论文第一章绪论 念，奠定了随机微分方程的理论基础。随后，随机微分( s d e ) 的研究得到了广泛 的重视。有关s d e 的稳定性问题也是一大热点【l “1 9 1 。基于l y a p u n o v 稳定性理论 在随机系统应用的限制，随机系统的鲁棒研究一直无法取得较大进展。近些年来， 随着随机系统的以控制问题的解决【2 们，随机系统的稳定性和鲁棒控制问题的研 究取得相当显著的成果。文献 2 1 - 2 2 l 研究了时滞无关随机时滞系统稳定性问题及 鲁棒控制问题；文献【2 3 j 对带有时滞的随机系统给了依赖于时滞的鲁棒稳定性结 果；文献 2 4 1 讨论不确定随机时滞系统时滞无关的鲁棒以问题；文献【2 5 1 研究了 不确定随机时滞系统依赖于时滞的鲁棒指数稳定性问题。 1 3 非线性系统的概述 这些年关于非线性时滞系统研究，也是控制领域的一大热点。 大多数时滞的实际动态系统或多或少含有非线性，因此有必要针对非线性系 统时滞建模和估计方法。线性控制方法的一个关键是假设系统运动是小范围的， 因而线性模型是有效的。当所要求的运动范围大的时候，线性控制器效果很差， 甚至不稳定，因为系统的非线性不能得到恰当的补偿。而非线性控制器则可能在 大范围内直接处理非线性。 线性控制的另一个假定是系统的模型可以被线性化。但是在控制系统中有许 多非线性因素，他们的不连续性使其不具有线性近似。包括摩擦非线性，饱和非 线性，死区非线性，间隙非线性及时滞非线性。它们大量存在于控制工程中，其 效用不能用线性方法获得，因此，必须发展非线性分析技术来预测当这些非线性 因素存在时系统的动态。 随着科学技术的发展，各种较为精确的分析和科学实验的结果表明任何一个 实际的物理系统都是非线性的。而线性是在一定范围内和在一定程度上对系统的 近似描述。 研究非线性系统更能发掘自然界的本质特征。如卫星的定位与姿态控制、机 器人控制、精密数控机床的运动控制等。这些都不可能采用线性模型，所以非线 性系统才是更一般的系统研究。 非线性系统理论在近2 0 年中获得了许多重要的成果，取得了很多有意义的 结果，例如s o n t a g 引入了控制l y a p u n o v 函数和输入状态稳定的概念，t e e l 进 一步发展了i s s 小增益定理。文献【2 5 】利用矩阵测度和比较理论，得到了一类带 有非线性扰动的时滞系统时滞无关和时滞相关稳定性结果；文献【2 6 1 利用模型转 换技术把带有离散时滞的系统变换成带有分布时滞的系统，并利用 l y a p u n o v k r a s o v k i i 泛函方法，得到了时滞相关稳定性判据；文献【2 7 i 利用奇异 3 中南人学硕十论文第一章绪论 模型和离散时滞项矩阵的分解技术，用积分不等式替代p a r k 不等式来处理交叉 项，研究了带有非线性扰动的时变时滞系统的时滞相关稳定性问题，得到了较好 的结果。 综合上述的分析，我们认为随着随机稳定性理论中许多概念的提出，相当一 部分确定性非线性系统的研究结果被拓展到随机框架下。在研究随机镇定问题的 同时，人们又将注意力集中到基于性能指标的控制上，并引入了逆优设计的思想。 所谓逆优设计，是指依据某个具有一定逻辑意义的性能指标来设计控制器，该性 能指标的一些组成部分预先没有给定，将随控制设计的需要而定。对非线性随机 系统的研究亟待展开，并将成为持续研究的热点。 1 4 本课题研究方法的国内外现状 在控制系统分析和综合设计问题中，稳定性是首要考虑的一个系统性能；而 系统的稳定与两大因素相关联：时滞与系统的不确定。时滞相关稳定条件的得出， 通常都是通过变换得出的。主要的确定模型变换有：( 1 ) 一阶模型变换，是h a l l ( 1 9 9 7 ) 年提出的，经过变换的新系统包含原系统，这样，根据变换后的系统的稳 定性可以判定原系统的稳定性。但是变换后的新系统将产生附加特征值，新系统 和原系统是不等价；( 2 ) 中立型模型变换，同样存在产生附加特征值，新系统和原 系统是不等价的问题；( 3 ) 基于p a r k 不等式的模型变换；( 4 ) 广义系统模型变换， 由于广义模型变换结合p a r k 和m o o n 等的不等式“j 1 与之前的方法相比具有一定 的优越性，但仍存在一定的局限性。在l y a p u n o v 泛函的导数中表示n e w t o n - l e i b n i t z 公式中各项相互关系的权矩阵是固定的。鉴于此，近几年，h e w u 等人提 出了一种自由权矩阵方法1 ，即利用n e w t o n l e i b n i t z 公式，通过在矿( f ) 中适当 的添加一些零项而引入辅助变量，利用广义的状态变量，从而得到了一系列具有 更低保守性的时滞相关的稳定性条件口1 。最近，h e w u 提出的改进的自由权 矩阵方法n 2 13 | ，考虑了对l y a p u n o v 泛函中含双积分项的求导时忽略的项，得到 了较好的结果，但是，在具有时变时滞的随机系统的稳定性分析中对l y a p u n o v 泛函的导数进行估计时，对时滞进行了放大。而h e w u 在文献【1 4 1 中构造新的 l y a p u n o v 泛函解决了由于时滞的放大而产生的保守性问题，时滞系统的稳定性 研究得到了进一步的发展。 在闭环系统稳定的基础上，再追求系统满足一定的性能要求是工程设计的重 要目标之一。具有广泛工程背景的以系统的日：范数为性能指标的最优控制理论 4 中南大学硕士论文 第一章绪论 具有较好的系统性能，但不足之处是该方法完全依赖于描述被控对象动态特性的 数学模型，鲁棒稳定性有时较差。考虑到系统一定范围的参数不确定及一定限度 的未建模动态，许多专家、学者对不确定系统的鲁棒控制问题进行了广泛的研究。 而就非线性随机系统的稳定和控制研究是随机控制问题研究的一大热点。而 系统描述的多样性，使得非线性随机的研究进入到一个更细的时期。文献【2 9 l 的 非线性项约束了时间r ，研究了基于一个随机积分不等式而得到的非线性随机时 滞系统控制器存在的时滞相关条件：文献【3 0 j 对时间，和布朗运动w ( f ) 的非线性性 分别做了不同的限制和处理，从而得到了系统全局均方指数稳定的判据；文献【3 l l 对离散不确定随机系统的非线性做了对角矩阵函数的梳理，研究了离散神经网络 的均方指数稳定；文献1 3 2 l 研究了带有马尔可夫链一般非线性随机微分时滞方程 的稳定性问题。文献【7 2 1 讨论了含时变时滞和非线性函数的不确定随机系统的均 方指数稳定问题，得到了比文章 6 8 1 保守性更低的结果；大量文献表明，因对非 线性的不同处理，非线性随机微分方程可分的更细，因而方法呈现出多种多样。 通过对马尔可夫链的非线性做线性控制，对不确定项非线性化函数的处理，限制 非线性函数的定义域等方法，在一定程度上把非线性函数转换为线性函数，进一 步可以把线性随机微分方程的研究方法过渡到非线性随机系统上来。 回顾几十年来鲁棒控制理论的发展和应用，大多数研究成果主要集中在确定 性系统方面( 包括时滞确定性系统) ，较少涉及到随机系统以及非线性随机系统， 因此，对时滞非线性随机系统鲁棒控制的研究还需进一步发展。同时，已有的关 于非线性时滞随机系统的文献大多集中于对稳定性的研究，对镇定性问题探讨甚 少，对其性能的研究几乎为空白。另外对控制器在实际应用中可能出现的不确定 在时滞系统背景下的研究少之又少，因此，对非线性随机系统的鲁棒控制研究的 深入是显而易见且具有一定的挑战性。另一方面，在处理问题的方法上，考虑到 在解r i c c a t i 方法获得的r i c c a t i 方程或r i c c a t i 不等式时，有大量的参数和正 定对称矩阵需要预先调整，有时，即使问题本身是有解的，也找不出问题的解， 这给实际应用带来了极大的不便；而l m i 方法可以很好地弥补r i c c a t i 方法的上 述不足，即在解l m i 时，不需预先调整任何参数和正定对称矩阵。最近几年，国 内外很多学者处理问题的方法已从r i c c a t i 方法过渡到先进的l m i 方法。基于上 述分析，本文将利用l m i 方法研究时滞随机系统的鲁棒控制问题。 1 5 本文的研究内容和结构安排 本学位论文，主要研究的是非线性随机系统的稳定和控制问题。关于随机系 统的稳定性，一般有依概率稳定性、均方稳定性和几乎必然稳定性。考虑到工程 5 中南大学硕士论文 第一章绪论 应用方便，本文是基于均方意义下的稳定性，研究鲁棒控制问题，给出了各种有 意义的结果，全文共分五章，具体内容如下 第一章 介绍了时滞、随机系统和非线性系统的研究背景和概况、与本课题相 关的常用的控制方法的研究现状和处理问题的l m i 方法，以及本文的 主要工作和结构安排。 第二章介绍了鲁棒控制的基本概念和与随机微分方程相关的数学知识，以及 文章定理所要用到的引理及其引理的相关证明。 第三章研究了一类非线性随机微分方程的状态反馈控制的问题。首先给出的 是随机系统均方指数稳定的概念和相关定义；然后利用相关引理( 如 s h c u r 补引理等) ，以l m i 形式给出非线性随机标称系统均方指数稳定 的充分条件、不确定非线性随机系统均方指数稳定的判据以及非线性 随机系统均方指数镇定的充分条件；最后根据数值算例中提供的系统 信息，借助m a t l a b 中的l m i 工具箱，求解定理3 3 3 中的l m i 系统， 验证文中提出方法的可行性。 第四章以可分离变量的非线性随机系统为研究对象，讨论了非线性随机系统 的稳定和镇定问题。首先根据这一类系统的特点，限制了非线性函数 的定义域，保证系统在这一定义域内可以把非线性项分离出来，从而， 给出了非线性随机系统局部均方指数稳定的相关定理。然后，结合相 关引理( 如s c h u r 补引理等) ，利用l m i 方法得到定理可解的充分条件。 给出了两个具体实例来验证定理4 3 2 所提出的方法是简单有效的。 第五章研究非线性随机系统的保成本控制，主要考虑了非线性随机性能。首 先给出了保成本控制和鲁棒随机稳定的定义。然后利用相关引理，以 l m i 形式给出了非线性随机不确定系统鲁棒随机稳定的保成本控制的 判据；最后，根据数值算例来说明定理5 3 1 方法的可行性。 第六章对文章的简单总结和思考，以及该课题还有待解决问题的展望。 6 中南人学硕士论文 第二章鲁棒控制及数学准各 第二章鲁棒控制及数学准备 2 1 鲁棒控制概述 鲁棒控制是针对系统中存在一定程度的不确定性，诸如参数误差、数学模型 的不精确、观测噪声以及不确定性的外部干扰等等，设计一个鲁棒控制器，使得 闭环系统不但稳定，而且保证一定的鲁棒性能。 鲁棒控制理论研究的问题包括控制系统的鲁棒性分析和鲁棒性综合两个方 面，在鲁棒性分析时，要研究系统在各种不确定性情况下，系统受扰后的鲁棒稳 定性和鲁棒性能分析。鲁棒综合即鲁棒控制器设计问题，是基于鲁棒性分析得到 的结果设计鲁棒控制器，使得存在不确定性的系统在扰动作用下，仍能保证系统 鲁棒稳定并满足期望的鲁棒性能要求。鲁棒控制理论研究的对象有连续( 离散) 时间线性系统【3 3 i ，时滞系统 3 4 - 3 6 1 ，非线性系统m 1 ，广义系统【3 3 1 ，随机系统【3 9 柏i 等。 2 2 符号约定 r ，r k , r ”。” m t 打m m o ( m o ) 实数，k 维实向量空间，聊n 阶实矩阵空间 矩阵m 的转置 矩阵m 的迹 矩阵m 对称且正定( 半正定) m n ( m )矩阵m ，对称且m n o ( m n 0 ) 俐i 讲口g 矩阵m 的谱范数，b o4 a 衄, ( m r m ) 向量x 的欧氏范数，即0 瓦 分块对角矩阵 7 中南大学硕上论文 第一二章鲁棒控制及数学准备 2 3 数学基础知识准备 2 3 1 离散状态m a r k o v 链 【o ，0 0 ) 上平方可积的向量函数构成的空间 【o ，0 0 ) 上平方可求和的向量序列构成的空间 厶范数 乞范数 完备概率空间，其中q 为样本空间，f 为q 的 子集构成 数学期望算子 l 2 ( 9 2 ，f ，p ) 范数，即1 1 i l 岛= ( e f 忙( f ) 1 1 2 斫) ) 定义2 3 1 1随机过程可能取到底值( 状态) 组成的集合记为s ，称为随机过程 的状态空间。随机序列 己：刀o ) 称为离散时间的有限离散状态m a r k o v 链，如果 状态空间s 是有限集，而且对于v n 0 及任意状态f ，j ，f o ，一。都有 尸( + i = ji 己= f ，六一l = _ ，彘= o ) = 尸( 磊“= ji 磊= f ) ( 2 1 ) 这个性质称为m a r k o v 性质。 定义2 3 1 2 记弓= 尸( 己+ l = l 己= f ) 则称尸= ( n ) 为从时刻1 2 的1 步概率转移 矩阵。如果该1 步概率转移矩阵与出发时刻r l 无关，则称m a r k o v 链为时齐。概 率转移矩阵p = ( 岛) 是一个随机矩阵，即它满足 ( 1 ) p = ( 岛) 中的元素均为非负，即岛0 ： ( 2 ) p = ( 岛) 中的每一行元素之和均为1 ，即p v = 1 吩 ， 尸 丹 f ， 以 m k k 妒 k 厶 纠 m e 吣 中南人学硕上论文 第二章鲁棒控制及数学准备 2 3 2l t 占公式及随机微分方程的稳定性 考虑非自治随机微分方程 d x ( o = 厂( x ( f ) ，t ) d t + g ( x ( r ) ，t ) d b ( t ) x ( t o ) = x o ，岛 ( 2 - 2 ) 其中x ( ，) 月“，b ( ，) = ( 尽( ，) ，耳( ，) ) 7 是概率空间( q ，f ，p ) f _ i 拘r 维b r o w n 运动， ，：r ”r r “和g ：r ”r r “7 满足局部l i p s c h i t z 条件和线性增长条件， 即对任意的后= l ，2 ，存在魂 o 使得对所有的f t o 以及螽，受r “，峙i i v 慨l l k 有 i l ( 磊，) 一f ( 4 2 ，o l l + l l g ( 舌, ，t ) - g ( 善2 ，0 1 1 - 0 ，使得对所有的f f o 以及孝r ”，有 i l 厂( 孝，o l l + l l g ( # ，0 1 1 - o 使得当e i m 2 ) 0 和c 0 ，使得方程( 2 - 2 ) 的解满足 e l l x ( t ；t o ，) 痧 0 ，c 2 0 ，c 3 0 ，使得 且 则有 qi i x l l 2 y ( x ，r ) 巳l l x i l 2 l v ( x ，f ) 0 ，f r f ， 则 ( 1 ) 对于任意的占 0 ，有( m f n ) r p + p ( m f n ) 6 p m m7 尸+ g - 1 n r n ( 2 ) 对于任意的占 0 ，且满足p e m m r 0 ， 有( a + m f n ) r p 。( 么+ m f n ) a7 ( p e , m m7 1 ) - 1 + s - 1 n r n 引理2 4 2 对任意常实矩阵w 尺“”，w = w7 o 和实数， 0 ，以及向量函数 1 0 中南大学硕士论文第一二章鲁棒控制及数学准备 戈：【一 0 】一r ”，则有如下结论成立 一7 量r ( h 孝m ( r + 孝) 蟛( ，) 川， 侈二b 2 ， 引理2 a3 & 掣理，对给定的对称矩阵s = 陵乏 ，其中s 商雠 的。以下三个条件是等价的 证 ( f ) s 0 ； ( f f ) s l o ，最2 一s 2 r s l s 2 0 。 ( i i i ) 岛2 o ，s l - s , 2 2 一s 2 r o ( f ) 营( f f ) 由于s 是对称的，故有墨l = s 。r ，s 2 2 = s 2 27 ，s 2 1 = s 。2 r 应用矩阵块 的初等运算，可以得到 因此， 一s ：名。一，? 曼：霎兰 一s ：名。一。? = 气1 s 尥一s 羔。一。s ： 厂 s 0 亡，i l s l 营 l0 ( f 班 s 。教$ s 2 l 2 s 私2 i u l l 。1 咄s 2 l卜s 2 。1 ，j 一 s 2 1 瓯一s l ： 枷2 2 一s l 一2j 这就证明了结论( f ) 和结论( z f ) 是等价的。 ( f ) ( i i i ) 注意到 。i s 1 2 ，$ 2 2 - 1 j 。 s s ：i l 。霎兰 丢s 1 2 $ ，2 2 - 1 r = s l l s 1 苫2 2 一s 1 2 r 点： 类似于前面的证明可以得到这一部分的结论。 综合以上两部分的证明，可得引理的结论。 l l 中南大学硕士论文第三章非线性随机时滞系统的状态反馈控制 第三章非线性随机时滞系统的状态反馈控制 本章关注了含时滞的不确定非线性随机系统的状态反馈控制。设计了一个无 记忆状态反馈控制器，对所有容许的不确定，使闭环系统达到均方指数稳定。采 用矩阵重组获得l m i 表达式，运用l m i 方法，得到相关系统的鲁棒镇定的充分条 件在文章的最后给出了一个具体实例来验证定理提出的方法的有效性。 3 1 背景介绍 在工业和自然科学的许多领域里，随机模型得到了广泛的关注，尤为突出的 是自动随机系统，许多文章 6 3 , 2 3 , 6 4 , 6 5 , 1 9 , 6 6 , 6 7 1 都涉及到了随机系统的重要性。一个 系统的稳定与两个重要的因素有关时滞和系统的不稳定。最近，随机系统的鲁 棒稳定成为控制界研究的一个热点 2 3 , 6 4 , 6 5 。例如，在文章1 6 5 1 中就讨论了含马尔 可夫转换的非线性随机微分方程的几乎渐近稳定：在文章 6 6 1 中，涉及到了鲁棒 随机稳定和鲁棒随机镇定；就线性随机系统而言，文章1 6 7 1 考虑了随机稳定的鲁 棒性。 研究线性时滞系统的时滞相关稳定时，在以前的文章工作中综合使用了 l y a p u n o v 泛函方法，交叉项有界，模型转换以及l m i 方法，如文章【6 引。在这些 方法中，l y a p u n o v 泛函方法尤为重要，如文章【1 0 4 2 4 5 ，3 4 4 8 邡6 l 6 8 6 9 j 。在线性系统中， l m i 是一个很有用的方法，在文章 4 8 , 6 1 , 5 8 中，我们可以发现，在对非线性系统进 行研究时，l m i 也体现出了重要的作用。同时，在线性系统中经常使用的模型转 化方法，在非线性系统中却难以运用，尤其是在一些特别的非线性系统。 本篇文章讨论了不确定非线性随机系统的状态反馈控制问题。构造了如同文 章1 6 6 1 中l y a p u n o v 泛函，不考虑模型转换，采用矩阵重组技术处理矩阵中的非线 性项，从而得到以l m i 形式存在的均方指数稳定的判据。 文章的结构如下： 第- d , 节介绍了问题及相关概念；第三小节学习均方指数稳定，给出了l m i 形式的镇定器；第四小节举例证明此方法的有效性。 3 2 问题的描述 在( q ，f ，p ) 空间里考虑如下一类非线性随机标称系统 1 2 中南大学硕士论文第三章非线住随机时滞系统的状态反馈控制 j 出( ) = 【出( ) + a , x ( tfr ) 2 b u ( ) 出】+ g ( 咖) ，x ( ) ) 如( ) ( 3 1 ) i x ( 口) = 妒( 秒) ， v o l r ，0 1 其中，x ( f ) 是系统的状态向量，“( f ) 是系统的控制输入，o j ( t ) 是定义在完备概率 空间上的一维布朗运动，时滞f 是一个大于0 的数。在这篇文章里，我们打算设 计一个时滞无关的无记忆状态反馈控制器 材( r ) 兰k x ( t ) ( 3 2 ) 来确保系统( 3 - 1 ) 的镇定，其中k r 揪”为一常矩阵。 再者，推广从标称系统得到的结论，考虑系统的不确定性，进一步研究如下一 类非线性随机不确定系统 f d x ( t ) = ( 彳+ 鲋) x o ) + ( 么，+ a , 4 ，) x ( t f ) + ( b + a b ) u ( t ) d t + g ( 枷( ，) ，x ( t f ) ) 如( f ) ( 3 3 ) ix ( 口) = ( p ) ，v 秒【- - z ，0 】 其中，彳，彳，和召是已知的恰当维数的实常数矩阵。削，凹和削，是未知的不确 定时变矩阵函数，满足如下形式 【幽，似，a b 】= d f ( t ) t p a ，只，岛】 ( 3 4 ) 其中只，心，b 是已知的适当维数的实常数矩阵。，( ，) r m 是l e b e s g u e 可测未 知的矩阵函数，满足 f 7 ( f ) f ( r ) i v t 0 ( 3 5 ) 对系统( 3 - 1 ) 和系统( 3 - 3 ) 而言，文章的讨论都是基于下面这个假定。 假定a 矩阵函数g ( t ，z ( ，) ，x ( t f ) ) 满足 驴g r g - 1 t l x 2 0 ) + 2 x 2 0 r ) ( 3 6 ) 其中m 和：都是正数。 1 3 中南大学硕士论文第三章非线性随机时滞系统的状态反馈控制 e ( x7 ( ，) x ( 嘞o fs u p 删( s ) 旷) e x p ( 一f ) ( 3 7 ) 其中口，为给定的正数，e ( ) 为数学期望。若不等式( 3 7 ) 成立，则说系统是均方 q 。：i 。 q 2 1 2 l l t 2 兰f r ：2 彳a ，t r r ri 乏。 t 。3 8 ， i t 2 r a t 2 r a ， 一t 2 r i q 1 1 = a r p + p a + q - r + i t l p ( 3 9 a ) q 1 2 = p a ，+ r q 2 2 = 一r q + 2 p 证 我们选取l y a p u n o v 泛函v ( t ，x ( f ) ) = 形( f ，x ( f ) ) 其中 k = x 1 ( t ) p x ( t ) 砭= f - ，x r ( s ) q x ) d s 巧= f + 8 戈r ( s ) 撤( s ) d s d o 取微分算子 1 4 ( 3 - 9 b ) ( 3 - 9 c ) 瞄 l 1 1 一 一 一 中南大学硕士论文第三章非线性随机时滞系统的状态反馈控制 l v ：o _ _ f u + j r 竺 西“0 x ( 3 1 1 ) + 1 2t r m g r 必，) m 吖) ) 窘g 也m n ) ) 】 + l r 2t r g 7 ( f ，x ( f ) ，x ( r f ) 尸g ( f ，x ( ，) ，x ( f r ) ) 】 一胁娜以，收- r r 忡j l x ( t - r ) 赛x t x ( r ：耋蕊j 伊 ( ，)o f ) 】栅 l 尸，2 尸) l ：”、l 其中 定义 v x 。o ) ( 彳。p + p a + q ) x u ) + x r ( f ) ( 以，+ 彳，r p ) x ( t f ) 一x r o o o x ( t f ) + r 2 ( 彳x o ) + a ，x