（基础数学专业论文）均衡问题理解与m增生算子不动点的两种迭代算法.pdf

h 一 - 。 均衡问题解与m 一增生算子不动点的两种迭代算法 摘要 本篇论文我们研究均衡问题解与m 一增生算子不动点的两种迭代算法 在第一章我们首先介绍均衡问题与 t 一增生算子不动点问题的研究背景及 一些概念和引理 在第二章我们构造新的关于有限族拟相对非扩张映射的混杂迭代序列 z n 如下o z o c ，c l = c ，x l = n c ，t 0 ， z n = ，_ 1 ( 风j z n 一1 + ( 1 一风) j n z 几) ：r = n ( d n ) ， = j - 1 ( n 。j z l + ( 1 一n 。) j s ) ，瓯= s ( m 。d n ) ， f ( u 。：) + 去( 一，“。一，鲰) 20 ，坳，乱n c ； c f n + 1 = v g ：矽( u ，u 。) q 。驴( u ：z 1 ) + ( 1 一q 。) 风o ( v ，z n - i ) + ( 1 一风) 驴( u ，x n ) i t ， z 州= 兀c 川( z 1 ) 在一致光滑和一致凸的b a n a c h 空间中， 0 ，lj 中的系数 n 。) 和 3 n ) 满足 及其他一些适当的条件，那么序列 z n 】i 强收敛r 丁兀f ( z ，) ， f ：= n 墨。f ( 正) nn 墨。f ( & ) ne p ( f ) 仍此结果推广和改进了p o o m k u m a m ，k r i e n g s a kw a t t a n a w i t o o n 【2 0 】和g a n gc a i ，c h a n gs o n gh u 5 】的结果 在第三章我们构造了新型的m 一增生算子弱压缩复合迭代序列 z n ) 如下 i ! 蒿篡篡， 摘要 这里f 是矽一弱压缩映象，_ q n ) 和 风) 是( 0 ，1 ) 中的序列，_ 【r 。) 是( 0 ，) 中的 序列，在一致光滑b a n a c h 空间中，证明了在适当的条件下，此迭代序列 z n ) 强 收敛于增生算子a 中的一个零点，推广x l q i na n dy f s u 2 1 】等的相关文献结 果，证明方法也不相同 关键词：混杂迭代；强收敛；拟相对非扩张映射；均衡问题；一致光滑b a n a c h 空 间；”l 一增生算子；弱压缩；算子零点 h 7 - t w oi t e r a t i v ep r o c e s s e so fs o l u t i o n so fa ne q u i l i b r i u m p r o b l e m a n dt h ef i x e dp o i n t so fm - a c c r e t i v eo p e r a t o r s a b s t r a c t i nt h i sp a p e rw ed e a lw i t hs o m es t r o n gc o n v e r g e n c et h e o r e m so ff i n d i n gt h ec o m m o ne l e m e n to ft h es e to ff i x e dp o i n t so ff i n i t eh e m i r e l a t i v e l yn o n 。e x p a n s i v em a p p i n g s a n dt h es e to fs o l u t i o n so fa ne q u i l i b r i u mp r o b l e ma n dm a c c r e t i v eo p e r a t o r t nt h ef i r s tc h a p t e r ，w ci n t r o d u c es o m ed e f i n i t i o n s ，l e m m a sa n dr e c e n tr e s u l t so f e q u i l i b r i u mp r o b l e m a n dm a c c r e t i v eo p e r a t o r i nt h es e c o n dc h a p t e r ，w ci n t r o d u c ean e wh y b r i di t e r a t i v es c h e m ef o rf i n d i n g t h ec o m m o ne l e m e n to ft h es e to ff i x e dp o i n t so ff i n i t eh e m i - r e l a t i v e l yn o n 。e x p a n s i v e m a p p i n g sa n dt h es e to fs o l u t i o n so fa ne q u i l i b r i u mp r o b l e m a s x 0 c ，c 1 = c ，2 5 1 = - 1 - i e lx o ， z n = j _ 1 ( 风j x 。一1 + ( 1 一阮) j t n x 。) 乃= 瓦( m 。a n ) ， 虮。= j - x ( o n j x l + ( 1 一q ，。) j 蜀。z ，。) ，品= s ，( 。a n ) ， ，( “。：) + 丢( 一u n ，j “n j y n ) o ：v y ，u n g ： g 。+ 。= 1 ，c t n ：( 1 ，u n ) d 。( 1 ，t 1 ) + ( 1 一口，。) 【t 。矽( ，z 。一1 ) + ( 1 一五t ) ( t ，z n ) 】) ， z 州= 兀g + 1 ( x 1 ) i nu n i f o r m l yc o n v e xa n du n i f o r m l ys m o o t hb a n a c hs p a c e s ， ( 2 n ) ，_ 【风) 【0 ，1 】s a t i s f y ： l i m n 。o oo l 。= o ；l i mi n f 。( 1 一q 。) 风( 1 一风) 0 ，a n ds o m eo t h e ra p p r o p r i a t e c o n d i t i o n s ， z n ) c o n v e r g e ss t r o n g l yt o 丌f ( z 1 ) ，h e r ee x t e n d i n gt h er e l a t e dr e s u l t so f p o o mk u m a m ，k r i e n g s a kw a t t a n a w i t o o n 2 0 】a n dg a n gc a i ，c h a n gs o n gh u 【5 】 i nt h et h i r dc h a p t e r , l e teb eau n i f o r m l ys m o o t hb a n a c hs p a c e ，cb eac l o s e d 1 1 1 a b s t r a c t s u b s e to fe ，a n dab ea nm - a c c r e t i v eo p e r a t o r w e 1 1c o n s i d e rt h ew e a k l yc o n t r a c t i v e c o m p o s i t ei t e r a t i v em e t h o dw h i c hg e n e r a t e st h es e q u e n c e z n ) ： a n dp r o v ei ts t r o n g l yc o n v e r g e st oaz e r op o i n to faa n de x t e n dt h er e la t e dr e s u l to f x l q i na n dy f s u 2 1 ，w h e r e o l n ) ， 阮) ， ) s a t i s f yc e r t a i nc o n d i t i o n s ，f ：c _ c i sal b - w e a k l yc o n t r a c t i v em a p p i n g k e yw o r d s ：h y b r i di t e r a t i v e ；s t r o n gc o n v e r g e n c e ；h e m i - r e l a t i v e l yn o n - e x p a n s i v e m a p p i n g ；e q u i l i b r i u mp r o b l e m ；u n i f o r m l ys m o o t hb a n a c hs p a c e s ： l a c c r e t i v eo p e r - a t o r ；w e a k l yc o n t r a c t i v em a p p i n g ；z e r op o i n t so fo p e r a t o r i v ， 赣 i p - 叫 鼽kn 卜j n 6 咖佩 j 一 + 卜 n)研0j 瓯八 一 风 = ；芰 目录 摘要 i a b s t r a c t i 目录v l 绪j 硷 l 1 1 研究概况 1 1 2 一些记号和定义 3 1 3 。+ 些引理 5 2 均衡问题解的混杂迭代算法 8 2 1 混杂迭代引入- - 8 2 2 混杂迭代强收敛定理- 8 3 ”卜增生笄了的弱压缩复合迭代算法一一t r 1 8 3 1 弱压缩复合迭代序列的引入t l8 3 2 弱爪缩复合迭代序列强收敛定理18 参考文献2 6 在学期问的研究成果及发表的论文2 9 致谢- 3 0 学位论义独创性声明及授权声明3 1 学位论义喊信承诺书- 3 2 v 目录 v i 叶- 一 1 1 研究概况 1绪论 不动点理论是目前正在迅速发展的非线性泛函分析理论的重要组成部分，它 与近代数学的许多分支有着紧密的联系特别是在建立各类方程( 其中包括各类 线性或非线性的、确定或非确定的微分方程，积分方程以及各类算子方程) 解的 存在唯一性问题起着重要的作用 与此同时，均衡问题一直是j 泛研究的热点问题，由于它所包含问题的j “泛 性和解决问题的深刻性使得各种类型的均衡优化问题受到极大关注并得到了广 泛和深入的研究，许多结果己在经济均衡理论对策论和经济管理等诸多方面得到 广泛应用并逐渐显示其重要性，特别在最优化、投资决策、经济模型，最优控制 和上挥技术等领域中的许多实际问题的捕述都可归结为均衡问题，而均衡问题的 求解又归结为求算子不动点的问题，近米许多学者将在h i b c r t 空问中的许多结 果进推广剑口彻，a c h 空问中，并在b a n a c h 空问中对算子也进行了一些推广由非 扩张推j 到相对非扩张，而由相对非扩张推，“到拟相对非扩张 2 0 0 1 年x u 1j 在h i b e r t 空间中引入卜列有限族映像 乃，疋，t n ) 的迭代 序列 z n = n n z n l + ( 1 一q n ) z l z n ， 其中r = 乃( 。柳) 1 9 9 6 年a i b e r 2 j 将h i b e r t 空间中距离投影作了。推广，口| j 在b a n a c h 空间中引入广义投影，定义函数砂如下： ( z ，y ) = l i z | 1 2 2 ( z ，j y ) + i l y l l 2 ，v z ，y e 广义投影兀c ：e _ c 就是求y c ，使得对任意的x e ，( 可，x ) 取得最小值， l 1 绪论 即若兀c z = ，则z 是( z ，y ) = i n f v e c 砂( z ，y ) 的解由函数砂( z ，y ) 的定义和j 严格单调性可得 ( i l v l i l i x l l ) 2 ( y ，z ) ( i l v l i + | i x l l ) 2 , 比，y e 且当e 为h i b e r t 空间时，咖( z ，y ) = 忙一v i i 2 2 0 0 9 年x q i n 和s y m a t s u s h i t a 和 w t a k a h a s h i 【3 及曾六川 4 】等人运用广义投影思想，将在h i b e r t 空间上的相关 结论推广到b a n a c h 空间，g a n gc a i 和c h a n gs o n gh u 5 】改进了x u 的相关结果 非线性算子不动点理论是非线性泛函分析的重要组成部分，为了逼近非线性 算子不动点，历史上曾出现过多种迭代格式：p i c a r d 迭代格式，正规m a n n 迭代格 式，i s h i k a w a 迭代格式，h a l p e m 迭代格式，粘滞迭代法，最速下降迭代法，正则化 迭代法，混合迭代法( c q 算法) 等多科- 形式，迭代格式的收敛性构成了非线性算 子不动点理论研究l + j 的重要问题近年来，有关1 卜线性算子不动点迭代逼近的研 究非常活跃，如r o c k a f e l l a r 6 】首次提出了一个逼近m 一增生映像4 零点的迭 代序列 z ”+ 1 = 五。z 住，x 0 = z e ，九= 0 1 ；2 其中，r 。= ( ，+ r n 1 ) _ 1 是非扩张映射，p n 是。正实数序列，y o i c h iu e d a 7 ，j u n g 和t a k a s h i 8 1 都对此迭代序列进行了研究一些人证明了该迭序列弱收敛于4 的 零点另一些人通过对映像1 加强后证明了迭代序列强收敛于1 的零点2 0 0 7 年r c h e n 和z z h u 【9 】引入新的隐式迭代 和显式迭代序列 z t ，。= t f ( x t 一) + ( 1 一t ) 乃。z ，。，t ( 0 ，1 ) ， z ，佗= o t n ，( z 疗) + ( 1 一o l n ) z h z n ，t ( 0 ，1 ) ， 2 1 绪论 证明了在一致光滑b a n a c h 空间中，当t ， o r n ) ， ) 满足适当的条件，以上引入 的序列强收敛于a 的零点1 9 9 7 年a l b e r 和g u e r r e d e l a b r i e r e 【1 0 】首次引入弱 压缩概念，证明了在h i b e r t 空间中每个弱压缩映射具有不动点此后n c w o n g 【1 1 】等许多学者对弱压缩映射进行更深一步的研究，得到了一些相关结果 最近，一些学者将拟相对非扩张映像的不动点问题和均衡问题相互结合，本 文将对这个问题进行深入研究，建立更有效的迭代格式以逼近拟相对非扩张映像 不动点集与均衡问题解集的公共元，我们知道拟相对非扩张是相对非扩张的推 广，相对非扩张又是非扩张的推广，而由仇一增r 牛算予生成的鼻。映射是非扩张 映射，我们也对m 一增生算子的不动点问题进行了研究，推广和改进了一些相关 结果 1 2 一些记号和定义 定义1 2 1 设e 是一个实b a n a c h 空间，e + 是e 的对偶空间，j ：e 一2 e 是由下式定义的j f 规对偶映象 j ( x ) = z + e + ：( z ，z + ) = i z l l l l x 4 i ：j f z | | = f i x l l ：z e j 定义1 2 2 设c 是e 的非空闭凸子集，：c c r ，其巾尺为实数集均 衡问题是求p c 使得对所有的y c 有- v n 不等式成立 ，( p ，y ) 0 我们把这个小等式的解集记为e p ( f ) 如映射丁：c _ e + ，设y ( x ，y ) = ( t x ，y 一。) ，v z ，y c ，p e p ( f ) 当且仅当对所有的y c ，有( 丁z ，y z ) 0 定义1 2 3 设厅是一个实b a n a c h 空间，e 是一致光滑的，如果1 i m t 。op x t ( t ) = 0 定义1 2 4 设e 是光滑的严格凸自反b a n a c h 空间，c 是e 的非空闭凸子 3 1 绪论 集，函数西定义如下： ( z ，y ) = l i z l i 2 2 ( z ，j y ) + i i v l l = , v z ，y e ( 1 2 ) 定义1 2 5 设c 是e 的非空闭凸子集，我们称t 为拟相对非扩张的，如果 对所有的x c 和p f ( t ) 仍有 ( p ，t t ) 妒( p z ) 定义1 2 6 空问f 称为严格凸的，如果对所有的。，y e 且i i * 1 i = i i v l i = 1 ，z y 有忪+ v l i 0 ，有t o ( t ) 0 ，妒( o ) = 0 ，l i m t 。妒( t ) = 。o 定义1 2 8 集值算子月称为增生的，如果对任意以d ( a ) 和y i a ( 玩) ，( i = 1 ，2 ) ，存在一个j ( z 2 一x 1 ) j ( x 2 一x 1 ) 使得 ( 珈一y l ，歹( z 2 一z 1 ) ) 0 4 l 绪论 当对所有的7 0 ，有r ( r + r a ) = e ，称a 为m 一增生 以下记号是文中将要用到的： ( 1 ) 一指弱收敛；_ 指强收敛 1 3 一些引理 引理1 3 1 1 12 j 在一致凸和致光滑的b a n a c h 空间e 中，设 z 。 ，( 是e 的两个序列，如果咖( z 。，) _ o 且序列 x n ) ， 撕，其中一个有界，那么 | i z n 一玑i i 一0 引理1 3 2 4 】设c 是一致凸和一致光滑的b a n a c h ，空问e 的非空闭凸子集， ：f 厅则i ；0 = 兀c 上当1 日仅当 并且有 ( z o g ，j x j x o ) 20 ，v y a 地兀z ) + ( z ，z ) 地：f ) ，v y c cc 引理1 3 3 【1 3 1 设厅是。致凸的b a l 。a c h 空间，研( 0 ) 是厅的闭球，则存存 严格增凸泛函9 ：( 0 ，o o ) 一 0 ，o o ) 且g ( o ) = 0 ，使得 a z + ，彬+ 7 z i l 2 a i i m i l 2 + ，z l i 1 1 2 + 7 i i z | 1 2 一a ，9 ( i | 丁一i | ) 其巾所有的z ，y ，z b ，( o ) 及a ，p ：7 0 ：1 】且入+ p + ，y = 1 引理1 3 4 【1 2 l设e 是光滑和一致 的b a n a c h 空问，7 0 ，则对所有的 名，y 研都存在一严格增，连续和凸泛函g ： 0 ，2 r 】_ r 使得g ( o ) = 0 且 - 9 ( 忪一3 1 ，l i ) 砂( z ，! ，) 为解决厂：c c _ r 的甲衡问题，我们先假设厂满足以 下条件： ( a 1 ) ，( 正，z ) = 0 ，沈c ； 5 1 绪论 ( a 2 ) 厂是单调的，即f ( x ，y ) + ，( 可，z ) 0 ，v x ，y c ； ( a 3 ) 对每一个z ，y ，z el i m 加0 ，( t z + ( 1 一t ) x ，y ) y ( x ，可) ； ( a 4 ) 对每一个z c ，yhs ( x ，y ) 是凸且下半连续的 引理1 3 5 【1 4 】设c 是光滑，严格凸，自反的b a n a c h 空间e 的一个非空闭凸 子集，7 0 及1 7 e ，如果，：c c _ 兄满足条件( a i ) 一( a 4 ) ，那么存在z c 使得 - ，( z ：y ) + 三( 矽一z ，j z j z ) o ：v y c 引理1 3 6 【1 5 l 设，：c c r 满足条件( a i ) ( a 4 ) ，r 0 及z e ，定义 一映射z ：e c 如卜 耳= z c ：，( z ，可) + ：1 ( y z , j z 一，z ) o ，v yec ) 则有以下结论成立 ( 1 ) 砟是单值的； ( 2 ) z 是固定非扩张的，等价于 ( z z 一霉y ，霉z j 正，) ( 正z 一耳，j z j y ) ( 3 ) p ( 霉) = e p ( f ) ( 4 ) e p ( i ) 是闭凸集 引理1 3 7 1 1 6 】设c 是光滑，严格凸，自反的b a n a c h 空问e 的一个非空闭凸 予集，厂：c c _ 冗满足条件( a 1 ) 一( a 4 ) ，r 0 ，则对z e 及q f ( 乃) ， ( 口，露z ) + ( 霉z ，z ) 妒( 口，z ) 6 1 绪论 引理1 3 8 1 17 】在一致光滑b a n a c h 空问e 中，对偶映射，在e 上的有界集 上是单值的，且范一范一致连续 引理1 3 0 1 1 1 】设e 是一g 一可微的自反b a n a c h 空间，c 是曰的非空闭 凸子集，是一弱压缩映射，且ace e 是一增生算子，4 1 ( 0 ) 仍，使得 d ( a ) cc cn t or ( t + t a ) ，假设e 是一严格凸或有c 正规结构，则对v t 0 ， 巧( z ) = 五厂( z ) 有唯一不动点z t ，且当t _ 0 时，z t 强收敛于a - 1 ( o ) 中的一个点 引理1 3 1 0 【1 8 j ( 预解恒等式) 若入， 0 ：则 以z = 厶( 譬a z + ( 1 一半a ) 以丁) z x 引理1 3 1 1 1 10 】设 吐。) ； 风 ： a ，0 均为非负实数列，若对所有 i t n ，有 ，阮 l l m n o oq n 0 0 = 0 a 。= o c ，h l a 。一妒( a 。) + 风 其中咖：【0 ：) 一【0 ，。) 是非减迩续函数，0 ( o ) = 0 ，v t o 有砂( ) 0 ，则 入n ) 收敛于0 7 2 均衡问题解的混杂迭代算法 2 1 混杂迭代引入 2 0 0 9 年p o o mk u m a m 和k r i e n g s a kw a t t a n a w 【2 0 】在一致凸一致光滑的 b a n a c h 空间e 中，证明了由拟相对非扩张映射所生成的混杂迭代序列 1 7 , 0 u ， y n = j 一1 ( q 。j x 。+ ( 1 一位n ) j s 锄) ： z n = j - 1 ( 屯j z 。+ ( 1 一风) j t z 。) ： f ( u 。，y ) + 去( 可一札。，n j y 。) o ，v y ，“n c ； c n + l = z c ：( z ，u 。) ( z ，z 。) ， 。，l + 1 = 兀e 。+ 1 ( z o ) ， 在一定条件下， z 。) 强收敛于兀f ( z o ) ，其中兀f ：f p 为广义投影，且 f ：= p ( t ) nf ( s ) nz p ( ，厂) 2 0 0 8 年何振华和谷峰【2 2 】考虑了有限族映像瓦= l ( m o d n ) 的迭代格式，此 后g a n gc a i ，c h a n g 和s o n g h u 5 】等许多学者改进了此迭代逼近方法并得到了一 些相应的结果受文献p o o mk u m a m 2 0j 和谷峰f 2 2 】等学者的启发，我们构造了 新的混杂迭代序列，并证明了在一定条件下此序列的强收敛性 2 2 混杂迭代强收敛定理 定理2 2 1 设e 是一致光滑和一致凸的b a n a c h 空间，c 是e 非空闭凸子 集，厂：c c 一冗满足条件( a d - ( a 4 ) ，( 乃，死，t n 和1 【岛，岛，。 是 c 上的闭拟相对非扩张映射族，且对所有的i 1 ，2 ，) ，正，最均一致连续，若 q n 和 风 是【0 ，1 】中的序列， r n ) 【a ，) ，a 0 ，满足下列条件 8 ! 望堡塑婴塑塑塑墨垄垡簦鲨 一一一 ( i ) l i m n 。q n = 0 ； ( i i ) l i r ai n f n 。( 1 一口n ) 风( 1 一风) 0 如果 z 。) 定义如下： z o c ，c 1 = c ，x l = 兀c 1x o ， 磊= j - i ( 风j x 。一1 + ( 1 一风) j 己z 。) ，兀= b ( m 。d n ) ， 奶。= j - 1 ( n 。j x l + ( 1 一仃n ) j s 。z n ) ，- = & ( m 。d n ) ， l ( u n ，) + 去( 一u n ，j u n j 蜘) 2o ；v y ，j “n ec ； g 十1 = 1 j g ：( t ，1 k ) n 。( ”z 1 ) + ( 1 一o 。) 【k 砂( 1 ，z 。一1 ) + ( 1 一矗) 驴( ，j j r n ) 】) ， x n + 1 = - 兀c 川( x 1 ) 那么当 ，。c 时，序列 z 。 强收敛于丌f ( n ) ，f ：= n 竺。f ( 正) nn 竺。f ( s ) ne p ( 厂) 证明笫一步证p ，0 是有定义的用归纳法证对任意的n 1 ，g ，邯是闭且 凸的苗先当，。：1 ，显然c 1 ：c 闭日凸的，假设当l , = 尼时，仉也是闭日凸的， 下证当，7 等价于 后+ l 时也成立v v g + l ，由( 2 1 ) 式知 咖( ? l k ) 仃k 咖( 1 ，z 1 ) + ( 1 一o k ) 【九矽( 1 ，：z 七一1 ) + ( 1 一气) 矽( f ，：1 七) 】 ( 1 一“七) 风( u ，j x k 一1 ) + 2 ( 1 一“七) ( 1 一凤) ( u ，j z 七) + 2 0 e k v ，j c 1 ) 一2 u ，j u 七) q 七i i z 。i i 。+ ( 1 一口惫) 丸l l z 七一。1 1 2 十( 1 一n 七) ( 1 一，九) i i z 七1 1 2 一1 1 , , , 1 1 2 由以卜易知 + l 是有闭的再证q + l 是凸的，事实h ，任取u 1 ， 0 2 瓯+ 1 ，p ( o ，1 ) 设u 7 = p u l + ( 1 一肛) 忱由g + l 定义有 9 2 均衡问题解的混杂迭代算法 ( 1 一q 七) 凤( p l ，j z 七一1 ) + 2 ( 1 一q 七) ( 1 一威) ( p u l ，j x k ) + 2 c y k ( g v l ，j x i ) 一2 ( g v l ，j u k ) u 舭l l x l1 1 2 + ( 1 一q 七) 俄i l x k 一, 1 1 2 + ( 1 一a k ) ( 1 一像) l l x 七1 1 2 一i l u 奄1 1 2 ) ( 2 2 ) 同理也有 ( 1 一q 七) 反( ( 1 一p ) ，u 2 ，j x k 一1 ) + 2 ( 1 一o z k ) ( 1 一凤) ( ( 1 p ) u 2 ，j z k ) + 2 a k ( ( 1 一，t ) 口您，j x l ) 一2 ( ( 1 一p , ) v 2 ，j u k ) ( 1 一p ) n 七| | z l f l 2 + ( 1 一“七) 玩i f z 一i i i 2 + ( 1 一n 七) ( 1 9 ) i i 。c 女1 1 2 一i l k l l 2 ) ( 2 3 ) 将( 2 2 ) ，( 2 3 ) 两式相；h n - , - j 得 ( 1 一q 七) 凤( u 7 ，j x k 一1 ) + 2 ( 1 一。七) ( 1 一仇) ( u 7 ，j x k ) + 2 0 七( u 7 ，j x l ) 一2 ( i j 7 ，j u k ) q k l l x l i | 2 + ( 1 一q ) 风l l x k 一1 f | 2 + ( 1 一e k ) ( 1 一仇) l l x k l l 2 一i l u k l l 2 ( 2 4 ) 所以由式( 2 2 ) ，( 2 3 ) ，( 2 4 ) 知g + l 也是凸的 下证fcg ，( v n 1 ) 事实上，显然有fcc l ，假设fcc k 也成立，我们取 坳fcq 由的性质及。凸性知 矽( p ：z k ) = ，j 一1 ( 伉j t k l + ( 1 一熊) j t k t k ) ) = l i p l l 2 2 风( p ，几：一1 ) 一2 ( 1 一风) ，亿z 七) + i l l j k 1 x k 一1 + ( 1 一仇) ，几z i f 2 i i p l l 2 2 玩仞；j z k 1 ) 一2 ( 1 一t k ) ( s , ：j 死? 七) + 气| j ：r 七一l j | 2 十( 1 一依) 1 1 t k z k l l 2 = z k 驴( p ，x k 一1 ) + ( 1 一凤) 咖( p ，t k x k ) z k 矽( p ，z 七一1 ) + ( 1 一凤) 矽( p ，x k ) ( 2 5 ) 又 0 ，) = 矽0 ，乃。y k ) ，y k ) = ( p ，j - i ( a , j x l + ( 1 一及七) a s k z k ) ) ( 2 6 ) a k 矽( p ，2 7 1 ) + ( 1 一口七) 矽，z k ) 1 0 2 均衡问题解的混杂迭代算法 将( 2 5 ) 式代入( 2 6 ) 式得 矽( p ，u 七) 口七妒( p ，z 1 ) + ( 1 一a 七) 【仇( p ，x k 一1 ) + ( 1 一仇) ( p ，z 七) 】 从而由g + l 的定义知p g 十1 ，再由p 的任意性知fcg + 1 第二步证p n 丝1f ( 正) 又因fcg 所以有 ( 2 7 ) 由z n = 兀gx l 自( z ，。一u ，g x x j x n ) 之o ，v v g t ( x 。一z ，g x x j x 。) 0 ，v z f 再由引理1 3 2 知，对任意的p fcg ，( n 1 ) 均自 ( z 。：z 1 ) = 从而得到矽( z n ：z 1 ) 是有界的 z l ：z 1 ) 砂( p ：x 1 ) 一砂( p ，x 。) 砂( p ，x 1 ) ( 2 8 ) 另一方而，因? 。= n gz l 由广义投影定义知咖( z n ：z 1 ) = i n f y e 。矽( ，：r 1 ) 义 ：e n + l = 兀g + 1 = = 1 q 所以有 砂( z 。，x 1 ) 驴( z 。+ 1 ，z 1 ) ：v n 1 上式表明( z n ，z 。) 非递减的，又( z 。，z ，) 有界，所以 砂( z n ：z - ) ) 收敛 同时由g 的构造知，对任意的正整数仇，若m n ，则均有c mcg 且 z m = 兀c mx l g 又 ( z m ，z n ) = ( z m ，1 - i c x 1 )咖( z m ，x 1 ) 一( z x 1 ) ( 2 9 ) 又因为l i m n 。o o ( z n ，z 1 ) 存在，所以当( 2 9 ) 式中的m ，n 一，有妒( z m ，z n ) 一0 ll 烈 2 均衡问题解的混杂迭代算法 再由引理1 3 1 得x n x m o ( 竹，m 一0 0 ) ，从而f z n ) 是柯西列，又因e 是 b a n a c h 空间且g 是闭凸的，所以 z n ) 收敛 设z 。_ p g ，n _ 。，再令( 2 9 ) 式中的m = 佗+ 1 可得 l i r a 妒( z 。+ 1 ，z 。) = 0 n + o 。 再引理1 3 1 知l i m n ，。i i x 时l z ，。i f = 0 进一步可得 l i mi i z 。+ z 一：f ，i i = 0 ：v l l ，2 ，n n 。o 又凶z n + 1 = n + lx l g + l ，所以有 ( 2 1 0 ) 咖( z 。+ 1 ，7 1 , 。) ( 2 n ( z n 十1 ，3 ：1 ) + ( 1 一n = 。) 【屯咖( z 。十l ，? 。一1 ) + ( 1 一死) 咖( z n + 。，z 。) 】 由( 2 i 0 ) 及条件( i ) 上式得剑l i m 。o o 咖( z 卅1 7 , ，。) = 0 ，再由引理1 3 1 可知 1 i ml i z n + 1 一x n i i = l i mi i x 几十1 一u n i i = 0 ( 2 1 1 ) n + 。0n + 。 所以 ，l i mi l z ，。一 i t n | | l i m ( i l 丁，。一z n + li | + l i z 。+ l 一。1 1 ) = 0 n t l + 又因j 在有界集上是范范。致连续，故l i m o 。i i j z n j u 。i | = 0 因刀。致光滑， 所以驴是一致凸的，设r = s u p n e n i i t 。i z n l & z 。吣由引理1 3 3 知 咖( p ，z l 。) = 矽( p ，j 一1 ( 肠。j x n 一1 + ( 1 一，为；) j 乃z n ) ) = i i p l l 2 2 风伽，j x n 一1 ) 一2 ( 1 一风) 0 ，j t , , z n ) + i f 风, i x n 一1 + ( 1 一风) ，死z n | 1 2 i i p l l 2 2 z ( p ，j x 。一1 ) 一2 ( 1 一风) 仞，j t z n ) + 风i l z n 一, 1 1 2 + ( 1 一风) 1 1 r z n i l 2 一风( 1 一风) g ( 1 l j z n 一1 一j t x n 0 ) = 风咖，一1 ) + ( 1 一风) 仞，x n ) 一风( 1 一屏) g ( 1 l j x n 一1 一，兀| f ) ( 2 1 2 ) 1 2 2 均衡问题解的混杂迭代算法 又 咖( p ，乱n ) = 砂( p ，e 。) ( p ，鲰) q n 咖( p ，z 1 ) + ( 1 一q 。) 毋( p ，磊) ( 2 1 3 ) 将( 2 1 2 ) 代入( 2 1 3 ) 得 莎( p ，仳。) 乜。( p ，x 1 ) + ( 1 一q n ) z n , , ( p ，z n 一1 ) + ( 1 一风) ( p ，z 。) 一3 n ( 1 一崩。) g ( 1 l j x n 一，一j t z ，- i i ) l 整理可得 ( 1 一q n ) 风( 1 一风) g ( i j x 。一- 一j z , x 。| | ) 乜。矽( p ，z 1 ) + ( 1 一a 。) 【阮砂( p ，x n - 1 ) + ( 1 一崩，) 砂( p ：z ，。) 一妒( p ，u t t ) = q n ( p ，z 1 ) + ( 1 一c ￥。) 【阮( ( p ，z 。一1 ) 一9 ( t k ) ) + ( 1 一阮) ( 咖( p z ，。) 一( p ，“n ) ) 】 另一方面 ( p ，z 。) 一( p ，u n )= i i z 。1 1 2 一i i u n i l 2 2 ：j z 。一j 。“n ) | i z 。一? i n i i ( 1 i z 。l i + m n 1 1 ) + 2 1 1 p l | | | j 丁。一，1 t n r f li i z 。一 u n l i + 0 和f l j z 。一j u 。i | + 0 则有 ( p z n ) 一矽( p ，u 。) 一0 ，几一。c ( 2 1 4 ) 又因忪n l 一“。l i i 旧。一1 一z n l j + i 旧。一? t n i | 一0 ：n _ o o ，所以有 妒( p ，z 。一1 ) 一矽( p ，u n ) = | i z 。一, 1 1 2 0 ，u 。0 2 2 ：j z n 一1 一j u ) s | i z n 一。一? i n l l ( 1 l z n i i i + 阶t n l i ) + 2 1 1 p l l l l j z n 一1 一j t h 1 3 2 均衡问题解的混杂迭代算法 从而( p ，z 。一1 ) 一p ，乱n ) _ 0 ，佗_ 0 0 再由条件( i ) ，( i i ) g ( 1 l j = n 一1 一j 孔z 。i i ) _ 0 ，n o o 由9 的性质及j 一1 的范范一致连续 l i ml i j z n 一1 一j 瓦x 。l | = l i m | | z n 一1 一t n z n l i = 0 ， 7 7 , + n + o o ( 2 1 5 ) 由( 2 11 ) ，( 2 1 5 ) 和l i m 。o 。i l ：e 。一r z n i | l i m n 。( i i z 。一z 。一1 i i + f i z n 一1 一t z 。i i ) ， 得 则对仟意的f 1 2 n ) 有 ( 2 1 6 ) r 。一瓦+ l ：7 ：。i | | i r 。一1 ：n + i f + f i z 。+ z 一瓦+ z z n 十，+ i i 瓦+ c z 。+ z 一咒+ ，z 。， 由题意知乃是一致连续的，再由( 2 1 1 ) ，( 2 1 6 ) 得 l i m | i z n 一乃：i f = 0 ：v l 1 ，2 ，n ) n + y a q 乃的c j j 性有p = 乃p ，从而p n 竺l 尸( 正) 第三步，证p n 竺。f ( s i ) 因 z n 有界又 咖( z ，。+ 1 ，z 。)= 咖( z n 十l ：j - 1 ( ，五。j x n 一1 + ( 1 一崩。) j 兀m ，。) ) 由( 2 1 0 ) 易知 = f | z n + lj 2 2 ( z n + l 风，z 。一1 + ( 1 一f i n ) 1 t , , z n ) + | i 风，z n 一1 + ( 1 一风) j z n | 1 2 k ( z 。+ 1 ，z 。一1 ) + ( 1 一风) 咖( z n + 1 ，兀z 。) 风( z 。+ 1 ，2 7 n - 1 ) + ( 1 一风) 咖( z n + 1 ，z n ) ( z n + 1 ，z n ) _ 0 ，n _ 。 1 4 ( 2 1 7 ) = z 一z 熙 2 均衡问题解的混杂迭代算法 由引理1 3 7 和( 2 6 ) 式有 ( ，蜘) = 矽( 霉。y n ，) 矽，鼽) 一矽，霉。鲰) = 移p ，y n ) 一矽p ，u n ) q n ( p ，x 1 ) + ( 1 一q 。) 【风( p ，x n - 1 ) + ( 1 一崩。) ( p ，x n ) 】一矽( p ，u n ) 由前