全国卷高考数学理科含答案详解珍藏.pdf

第 1 页（共 18 页） 绝密 启用前 2019 年普通高等学校招生全国统一考试（全国2 卷） 理科数学 本试卷共23 题，共 150 分，共 4 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项： 1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在 条形码区域内。 2选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用05 毫米黑色字迹的签字 笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效； 在草稿纸、试题卷上答题无效。 4作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮 纸刀。 一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1 （ 5 分）设集合A x|x 25x+60，Bx|x10，则 A B（ ） A （， 1）B （ 2，1）C （ 3， 1）D （3，+） 2 （ 5 分）设 z 3+2i，则在复平面内对应的点位于（） A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限 3 （ 5 分）已知（ 2，3） ，（ 3，t） ，|1，则?（） A 3B 2C2D3 4 （5 分）2019 年 1 月 3 日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国 航天事业取得又一重大成就实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面 与探测器的通讯联系为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕 地月拉格朗日L2点的轨道运行L2点是平衡点，位于地月连线的延长线上设地球质量 为 M1，月球质量为M2，地月距离为R，L2点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万 有引力定律，r 满足方程：+（ R+r） 设 由于 的值很小，因此在近似计算中3 3，则 r 的近似值 为（） ARBRCRDR 第 2 页（共 18 页） 5 （ 5 分）演讲比赛共有9 位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9 个原始评分中去掉1 个最高分、 1 个最低分， 得到 7 个有效评分 .7 个有效评分与9 个原始 评分相比，不变的数字特征是（） A中位数B平均数C方差D极差 6 （ 5 分）若 ab，则（） Aln（a b） 0B3 a3b Ca 3b3 0 D|a|b| 7 （ 5 分）设 ，为两个平面，则 的充要条件是（） A内有无数条直线与平行 B内有两条相交直线与平行 C ，平行于同一条直线 D ， 垂直于同一平面 8 （ 5 分）若抛物线y 22px（p0）的焦点是椭圆 +1 的一个焦点，则p（） A2B3C4D8 9 （ 5 分）下列函数中，以为周期且在区间（，）单调递增的是（） Af（x） |cos2x|Bf（x） |sin2x|Cf（x） cos| x|Df（x） sin|x| 10 （5 分）已知 （0，） ， 2sin2 cos2 +1，则 sin （） ABCD 11 （5 分）设F 为双曲线C：1（a0，b0）的右焦点，O 为坐标原点，以 OF 为直径的圆与圆x 2+y2 a2 交于 P，Q 两点若 |PQ|OF|，则 C 的离心率为（） ABC2D 12 （5 分）设函数f（x）的定义域为R，满足 f（x+1） 2f（x） ，且当 x （0，1时， f（ x） x（ x1） 若对任意x （， m，都有 f（ x），则 m 的取值范围是（） A （，B （，C （，D （， 二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20 分。 13 （5 分）我国高铁发展迅速，技术先进经统计，在经停某站的高铁列车中，有10 个车 次的正点率为0.97，有 20 个车次的正点率为0.98，有 10 个车次的正点率为0.99，则经 第 3 页（共 18 页） 停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为 14 （5 分）已知 f （ x）是奇函数， 且当 x0 时，f （ x） e ax 若 f （ln2） 8， 则 a 15 （5 分） ABC 的内角 A，B， C 的对边分别为a，b，c若 b6，a 2c，B，则 ABC 的面积为 16 （5 分）中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一印信的形状多为长方体、 正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体” （图 1） 半正 多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体半正多面体体现了数学的对称 美图 2 是一个棱数为48 的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且 此正方体的棱长为1则该半正多面体共有个面，其棱长为 三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721 题为必考 题，每个试题考生都必须作答。第22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题： 共 60 分。 17 （12 分）如图，长方体ABCDA1B1C1D1的底面 ABCD 是正方形，点 E 在棱 AA1上， BEEC1 （1）证明： BE平面 EB1C1； （2）若 AEA1E，求二面角 BECC1的正弦值 第 4 页（共 18 页） 18 （12 分） 11 分制乒乓球比赛，每赢一球得1 分，当某局打成10：10 平后，每球交换发 球权，先多得2 分的一方获胜，该局比赛结束甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲 发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立在某 局双方 10：10 平后，甲先发球，两人又打了X 个球该局比赛结束 （1）求 P（X2） ； （2）求事件“ X4 且甲获胜”的概率 19 （12 分）已知数列 an和bn满足 a11，b10，4an+13anbn+4，4bn+1 3bnan 4 （1）证明： an+bn 是等比数列， anbn 是等差数列； （2）求 an和 bn的通项公式 20 （12 分）已知函数f（x） lnx （1）讨论 f（x）的单调性，并证明f（x）有且仅有两个零点； （2）设 x0是 f（x）的一个零点，证明曲线ylnx 在点 A（x0，lnx0）处的切线也是曲线 ye x 的切线 21 （12 分）已知点A（ 2，0） ，B（ 2，0） ，动点 M（x，y）满足直线AM 与 BM 的斜率 之积为记 M 的轨迹为曲线C （1）求 C 的方程，并说明C 是什么曲线； （2）过坐标原点的直线交C 于 P，Q 两点，点P在第一象限，PEx 轴，垂足为E，连 结 QE 并延长交C 于点 G （i）证明： PQG 是直角三角形； （ii ）求 PQG 面积的最大值 （二）选考题：共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的 第一题计分。选修 4-4：坐标系与参数方程（ 10 分） 第 5 页（共 18 页） 22 （10 分）在极坐标系中，O 为极点，点M（0，0） （00）在曲线 C： 4sin上， 直线 l 过点 A（4，0）且与 OM 垂直，垂足为P （1）当 0时，求 0及 l 的极坐标方程； （2）当 M 在 C 上运动且P 在线段 OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程 选修 4-5：不等式选讲（10 分） 23已知 f（ x） |xa|x+|x2|（xa） （1）当 a1 时，求不等式f（x） 0 的解集； （2）当 x （， 1）时， f（x） 0，求 a 的取值范围 第 6 页（共 18 页） 2019 年全国统一高考数学答案解析（理科）（新课标） 一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1 【分析】 根据题意，求出集合A、 B，由交集的定义计算可得答案 【解答】 解：根据题意，A x|x25x+60 x|x3 或 x2， Bx|x 10 x|x 1 ， 则 ABx|x1（， 1） ； 故选： A 【点评】 本题考查交集的计算，关键是掌握交集的定义，属于基础题 2 【分析】 求出 z的共轭复数，根据复数的几何意义求出复数所对应点的坐标即可 【解答】 解： z 3+2i， ， 在复平面内对应的点为（3， 2） ，在第三象限 故选： C 【点评】 本题考查共轭复数的代数表示及其几何意义，属基础题 3 【分析】 由先求出的坐标，然后根据|1，可求 t，结合向量数量积定 义的坐标表示即可求解 【解答】 解：（ 2，3） ，（ 3，t） ， （ 1，t3） ， |1， t30 即（ 1， 0） ， 则? 2 故选： C 【点评】 本题主要考查了向量数量积的定义及性质的坐标表示，属于基础试题 4 【分析】 由 推导出3 3， 由此能求出 r R 第 7 页（共 18 页） 【解答】 解： r R， r 满足方程：+（ R+r） 3 3， r R 故选： D 【点评】 本题考查点到月球的距离的求法，考查函数在我国航天事业中的灵活运用，考 查化归与转化思想、函数与方程思想，考查运算求解能力，是中档题 5 【分析】 根据题意，由数据的数字特征的定义，分析可得答案 【解答】 解：根据题意，从9 个原始评分中去掉1 个最高分、 1 个最低分，得到7 个有 效评分， 7 个有效评分与9 个原始评分相比，最中间的一个数不变，即中位数不变， 故选： A 【点评】 本题考查数据的数字特征，关键是掌握数据的平均数、中位数、方差、极差的 定义以及计算方法，属于基础题 6 【分析】 取 a0，b 1，利用特殊值法可得正确选项 【解答】 解：取 a0， b 1，则 ln（a b） ln10，排除 A； ，排除 B； a 303（ 1）3 1 b3，故 C 对； |a|0|1|1b，排除 D 故选： C 【点评】 本题考查了不等式的基本性质，利用特殊值法可迅速得到正确选项，属基础题 7 【分析】 充要条件的定义结合面面平行的判定定理可得结论 【解答】 解：对于A，内有无数条直线与平行， 或 ； 对于 B，内有两条相交直线与平行， ； 对于 C， ，平行于同一条直线， 或 ； 第 8 页（共 18 页） 对于 D， ，垂直于同一平面， 或 故选： B 【点评】 本题考查了充要条件的定义和面面平行的判定定理，考查了推理能力，属于基 础题 8 【分析】 根据抛物线的性质以及椭圆的性质列方程可解得 【解答】 解：由题意可得：3pp（） 2，解得 p8 故选： D 【点评】 本题考查了抛物线与椭圆的性质，属基础题 9 【分析】 根据正弦函数，余弦函数的周期性及单调性依次判断，利用排除法即可求解 【解答】 解： f（x） sin|x|不是周期函数，可排除D 选项； f（x） cos|x|的周期为 2 ，可排除C 选项； f（x） |sin2x|在处取得最大值，不可能在区间（，）单调递增，可排除B 故选： A 【点评】 本题主要考查了正弦函数，余弦函数的周期性及单调性，考查了排除法的应用， 属于基础题 10 【分析】 由二倍角的三角函数公式化简已知可得4sin cos 2cos 2 ，结合角的范围可求 sin 0，cos 0，可得 cos 2sin ，根据同角三角函数基本关系式即可解得sin的值 【解答】 解： 2sin2 cos2 +1， 可得： 4sin cos 2cos2 ， （0，） ，sin 0， cos 0， cos 2sin ， sin2 +cos2 sin2 +（2sin ） 25sin2 1， 解得： sin 故选： B 【点评】 本题主要考查了二倍角的三角函数公式，同角三角函数基本关系式在三角函数 化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题 11 【分析】 由题意画出图形，先求出PQ，再由 |PQ|OF|列式求 C 的离心率 【解答】 解：如图， 第 9 页（共 18 页） 由题意，把x代入 x2+y 2a2，得 PQ ， 再由 |PQ|OF|，得，即 2a2c2， ，解得 e 故选： A 【点评】 本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题 12 【分析】 因为 f（x+1） 2f（ x） ， f（x） 2f（x1） ，分段求解析式，结合图象可得 【 解 答 】 解 ： 因 为f （ x+1 ） 2f （ x ）， f （ x ） 2f （ x 1 ）， x （0，1时， f（x） x（x1） ，0， x （1，2时， x1 （0，1，f（x） 2f（x1） 2（x1） （x2） ， 0； x （2，3时， x1 （1，2，f（x） 2f（x1） 4（x2） （x3） 1，0， 第 10 页（共 18 页） 当 x （2，3时，由 4（x2） （x3）解得 x或 x， 若对任意x （， m，都有 f（x），则 m 故选： B 【点评】 本题考查了函数与方程的综合运用，属中档题 二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20 分。 13 【分析】 利用加权平均数公式直接求解 【解答】 解：经统计，在经停某站的高铁列车中，有10 个车次的正点率为0.97， 有 20 个车次的正点率为0.98，有 10 个车次的正点率为0.99， 经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为： （ 100.97+200.98+100.99） 0.98 故答案为： 0.98 【点评】 本题考查经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值的求法，考查加权 平均数公式等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题 14 【分析】 奇函数的定义结合对数的运算可得结果 【解答】 解： f（x）是奇函数，f（ ln2） 8， 又当 x0 时， f（x） e ax， f（ ln2） e aln2 8， aln2ln8， a 3 故答案为：3 【点评】 本题主要考查函数奇偶性的应用，对数的运算性质，属于基础题 15 【分析】 利用余弦定理得到c 2，然后根据面积公式 SABCacsinB c2sinB 求出结果即 可 【解答】 解：由余弦定理有b2a2+c22accosB， b6，a2c，B， 36（ 2c） 2+c24c2cos ， c212， SABC， 第 11 页（共 18 页） 故答案为： 6 【点评】 本题考查了余弦定理和三角形的面积公式，属基础题 16 【分析】 中间层是一个正八棱柱，有8 个侧面，上层是有8+1，个面，下层也有8+1 个 面，故共有26 个面；半正多面体的棱长为中间层正八棱柱的棱长加上两个棱长的cos45 倍 【解答】 解：该半正多面体共有8+8+8+226 个面， 设其棱长为x，则 x+x+x 1， 解得 x1 故答案为： 26， 1 【点评】 本题考查了球内接多面体，属中档题 三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721 题为必考 题，每个试题考生都必须作答。第22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题： 共 60 分。 17 【分析】（1）推导出B1C1BE，BEEC1，由此能证明 BE平面 EB1C1 （2）以 C 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B ECC1的正弦值 【解答】 证明：（1）长方体ABCDA1B1C1D1中， B1C1平面 ABA1B1， B1C1BE， BEEC1， BE平面 EB1C1 解： （2）以 C 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 设 AEA1E1， BE平面 EB1C1， BE EB1， AB1， 则 E（1，1， 1） ，A（1，1，0） ，B1（0，1，2） ，C1（0，0，2） ，C（0，0，0） ， BC EB1， EB1面 EBC， 故取平面EBC 的法向量为（ 1，0，1） ， 设平面 ECC1 的法向量（ x，y，z） ， 由，得，取 x1，得（ 1， 1，0） ， cos， 第 12 页（共 18 页） 二面角BECC1的正弦值为 【点评】 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线 面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，是中档题 18 【分析】（1）设双方10：10 平后的第k 个球甲获胜为事件Ak（k1，2，3，） ，则 P （X2） P（A1A2）+P（） P（A1）P（A2） +P（）P（） ，由此能求出结 果 （2）P（X4 且甲获胜） P（A2A3A4）+P（）P（）P（A2）P（A3） P（A4）+P（A1）P（ ）P（A3）P（A4） ，由此能求出事件“X4 且甲获胜”的概率 【解答】 解： （1）设双方10：10 平后的第k 个球甲获胜为事件Ak（k1，2，3，）， 则 P（X2） P（A1A2）+P（） P（A1）P（A2）+P（）P（） 0.50.4+0.50.60.5 （2）P（ X4 且甲获胜）P（A2A3A4）+P（） P（）P（A2） P（ A3）P（A4）+P（A1）P（）P（A3）P（A4） （ 0.5 0.4+0.50.6） 0.5 0.40.1 【点评】 本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查推理 能力与计算能力，是中档题 19 【分析】（1）定义法证明即可； 第 13 页（共 18 页） （2）由（ 1）结合等差、等比的通项公式可得 【解答】 解： （1）证明： 4an+13anbn+4，4bn+13bnan4； 4（an+1+bn+1） 2（an+bn） ， 4（an+1bn+1） 4（an bn）+8； 即 an+1+bn+1（an+bn） ，an+1 bn+1 anbn+2； 又 a1+b11，a1b11， an+bn 是首项为 1，公比为的等比数列， anbn 是首项为1，公差为 2 的等差数列； （2）由（ 1）可得： an+bn（）n 1， anbn1+2（n1） 2n1； an（）n+n ， bn（ ） nn+ 【点评】 本题考查了等差、等比数列的定义和通项公式，是基础题 20 【分析】（1）讨论f（x）的单调性，求函数导数，在定义域内根据函数零点大致区间求 零点个数， （2）运用曲线的切线方程定义可证明 【解答】 解析：（1）函数 f（x） lnx定义域为：（0，1）（ 1，+） ； f（ x）+0， （x0且 x 1） ， f（x）在（ 0，1）和（ 1，+）上单调递增， 在（ 0，1）区间取值有，代入函数，由函数零点的定义得， f（） 0，f（） 0，f（） ?f（） 0， f（x）在（ 0，1）有且仅有一个零点， 在（ 1，+）区间，区间取值有e，e 2 代入函数，由函数零点的定义得， 又 f（ e） 0，f（ e 2） 0，f（e） ?f（e2） 0， f（x）在（ 1，+）上有且仅有一个零点， 故 f（x）在定义域内有且仅有两个零点； （2）x0是 f（x）的一个零点，则有lnx0， 第 14 页（共 18 页） 曲线 ylnx，则有 y； 曲线 ylnx 在点 A（x0，lnx0）处的切线方程为：ylnx0（x x0） 即： yx1+lnx0 即： yx+ 而曲线 yex的切线在点（ln，）处的切线方程为：y（ xln） ， 即： yx+，故曲线 ylnx 在点 A（x0，lnx0）处的切线也是曲线ye x 的切线 故得证 【点评】 本题考查f（x）的单调性，函数导数，在定义域内根据函数零点大致区间求零 点个数，以及利用曲线的切线方程定义证明 21 【分析】（1）利用直接法不难得到方程； （2） （i）设 P（x0，y0） ，则 Q（ x0， y0） ，E（x0，0） ，利用直线QE 的方程与椭圆方 程联立求得G 点坐标，去证PQ，PG 斜率之积为 1； （ii ）利用 S，代入已得数据，并对换元，利用“对号” 函数可得最值 【解答】 解： （1）由题意得， 整理得曲线C 的方程：， 曲线 C 是焦点在 x 轴上不含长轴端点的椭圆； （2） （i）设 P（x0，y0） ，则 Q（ x0， y0） ， E（x0，0） ，G（xG，yG） ， 第 15 页（共 18 页） 直线 QE 的方程为：， 与联立消去y， 得， ， ， ， ， 把代入上式， 得 kPG ， 第 16 页（共 18 页） kP