（计算数学专业论文）计算几何中的空间圆柱螺线.pdf

南京航空航天大学硕士学位论文 摘要 首先，归纳总结极坐标有理三角b 6 z i e r 方法及性质，讨论各种圆弧、整圆的生 成，建立柱坐标有理曲线曲面模型。 其次，从圆弧的二次极坐标精确表示，到升阶，再到极坐标四次近似描述，给 出空间圆柱螺线的有理三角b e z i e r 表示，使逼近曲线在两端点及中心理论误差为零， 且c 1 连续。并进行误差估计，获得误差分布，逼近螺线可达到任意预先给定的精确 阶。该方法控制多边型顶点位置容易确定，计算简单，行之有效。还从代数的角度 探讨了柱坐标下圆柱螺线的反问题。 ?4r 最后，研究限制在光滑曲面箧r 上的曲线拟合问题。陲于构造一个d c r 2 一r 3 ， 、 且象集为的映射，将原问题归结为通常r2 上的插值曲线构造，避免了一般曲面上 测地距离不易求得的难题，获得了球面n u r b s 插值曲线等。进一步用n u r b s 构 造，解其反演方程，在平面上进行n u r b s 插值，给出一般参数曲面上c 2 曲线 插值方法，从而获得空间圆柱螺线的拟合。并对大量实例进行计算，分析误差，绘 出曲线精确图与逼近图，从r m s e ( r o o t m e a n s q u a r ee h d r ) 误差及绘制的实例图看， 结果令人满意。卜膏 关键词：圆柱螺线正弦基函数b d z i e r 方法 n u r b s曲面上曲线拟合 递推算法误差估计 壹窒堕窒堕盔查兰堡主兰垡笙苎 一 a b s t r a c t f i r s t l y ，t h i sp a p e rd e v o t e st o i n d u c ta n dd e v e l o pt h em e t h o da n dp r o p e r t i e sf o rt h e r a t i o n a lt r i a n g u l a rb 6 z i e rc a l v ei np o l a rc o o r d i n a t e ss y s t e m t h eg e n e r a t i o no fv a r i o u s c i r c u l a ra r ca n de v e nt h ew h o l ec i r c l ei sd i s c u s s e d t h em o d e lo f r a t i o n a lb 6 z i e rc a l v ea n d s u r f a c ei sc o n s t r u c t e di nc y l i n d r i c a lc o o r d i n a t e ss y s t e m s e c o n d l y t h er a t i o n a l 研a n g u l a rb 6 z i e re x p r e s s i o n f o rs p a t i a lc y l i n d r i c a lh e l i xi sg i v e n ， m a k i n gt h ee r r o rz e r oi nt h e o r ya tt h ec e n t e ra n dt w oe n d p o i n t so ft h ec 1 c o n t i n u o u s a p p r o x i m a t i o nc u r v eb yd e s c r i b i n gf r o m e x a c te x p r e s s i o no f q u a d r a t i cc i r c u l a ra r ci np o l a r c o o r d i n a t e ss y s t e ma n di t sd e g r e ee l e v a t i o nt ot h eq u a r t i ca p p r o x i m a t i o ni nt h ec y l i n d r i c a l c o o r d i n a t e ss y s t e m f u r t h e r m o r e e r r o ra n a l y s i sa n dd i s t r i b u t i o ni sg i v e n w 胁t h i ss i m p l e a n de f f i c i e n tm e t h o d t h ev e r t e xp o s i t i o no f t h ec o n t r o lp o l y g o ni se a s i l yg o t f i n a l l y , t h ef i t t i n go f ac u l t - v er e s t r i c t e do ns m o o t hs u r f a c e j sc o n c e r n e 6 锣b 髓t h e i m a g es e ti s ，b a s e do nc o n s t r u c t i n gt h em a p p i n g ：d cr2 _ r 3 ，t h eo r i g i np r o b l e m t u r n si n t ot h e g e n e r a li n t e r p o l a t i o n c i l r v ec o n s t r u c t i o no nr 2 t h e i n t e r p o l a t i o nc u r v e m e t h o d 、v i t l lc 2c o n t i n u o u so ng e n e r a ls u r f a c e i sg i v e nb yc o n s t r u c t i n g u s i n g n u r b s ，s o l v i n g i t si n v e r s ee q u a t i o na n d p e r f o r m i n gn u r b si n t e r p o l a t i o no np l a n e t h u s f i t t i n gf o rt h es p a t i a lc y l i n d r i c a lh e l i x i sa c h i e v e d k e yw o r d s ：c y l i n d r i c a l h e l i xs i n u s o i d a lb a s i sf u n c t i o n sb 6 z i e r c u r v ef i t t i n go ns u r f a c er e c u r s i v ea l g o r i t h m n u r b s e r r o ra n a l y s i s 南京航空航天大学硕士学位论文 第一章绪论 计算几何或计算机辅助几何设计( c a g d ) 是伴随着电子计算机的诞生逐渐形成发 展起来的- - f q 边缘学科1 1 3 1 。它是计算数学理论联系实际最活跃的分支之一。其自由 型曲线曲面造型技术，从一开始就与c a d c a m 技术紧密联系在一起。至今曲面造 型模块仍是c a d c a m 系统的最关键部分之一，已成为衡量一个c a d c a m 系统几 何建模能力强弱的重要标志之一。 从提出样条至今5 0 余年间，人们不断的研究探索方便、灵活、实用的曲线曲面 构造方法，相继产生了f c r g u s o n 方法1 4 。】、b d z i e r 方法卜”、b 样条 1 0 ”1 2 1 方法等，取 得了许多辉煌的研究成果。应用从最初的汽车、造船、飞机三大工业之外型设计到 后来的地形、地貌描述，矿藏储量图示，铁路勘探设计与环境工程、人体器官造型 与c t 图像三维重建、服装设计、制鞋、虚拟视景、动画生成等均获得成功。 目前c a d c a m 中曲面造型的主流方法为b 6 z i e r 曲线、曲面和非均匀有理b 样 条( n o n u n i f o r mr a t i o n a lb s p l i n e s ( n u r b s ) ) 方法m 。”。n u r b s 这个概念最早由 v e r s p r i l l e ! ”1 提出，以后主要由p i e g l 、t i l l e r 和b o e h m 等人做了大量工作。发展到8 0 年代后期，n u r b s 方法成为曲线曲面造型技术中风靡全球的技术。它将圆锥曲线、 初等解析曲面和b d z i e r 、有理b d z i e r 曲线曲面统一在n u r b s 的表达形式中，使算 法数据库统一，增强了曲线曲面表示和设计的灵活性，现已成为工业界标准。1 9 9 1 年被国际标准组织( i s o ) 正式颁布为关于工业产品几何定义的s t e p 国际标准，把 n u r b s 作为定义工业产品形状的唯一数学方法。越来越多的c a d c a m 系统采用 n u r b s 曲线曲面来建立图形库。研究各种曲线、曲面的n u r b s 表示无疑是很有意 义的。 b 6 z i e r 方法是由法国r e n a u l t 汽车公司的b 6 z i e r 于1 9 6 2 年提出。由于b d z i e r 方 法简单、直观、易用，又漂亮的解决了整体形状控制问题，具有划时代变革意义， 所以被设计者广为接受。从数学的角度看，b d z i e r 方法有着悠久的历史。f o r e s t t ”i 、 g o r d o n 和r i e s e n f e l d f ”i 等揭示了b d z i e r 与b e m s t e i n 多项式的联系，使其具有更坚实 的数字理论基础。 无论有理b d z i e r 方法还是有理b 样条方法，除了能表示自由型曲线曲面外还能 精确描述圆锥曲线、解析曲面，然而有一类曲线即圆柱螺线( 空间最简单的曲线) 却无法用它们精确表示，这是因为圆柱螺旋线与直线之间的交点可以无穷多，它是 非有理的。对此，1 9 9 0 年文【1 8 】用运动学方法采用三次和四次有理b d z i e r 曲线近似 计算几何中的空间圆柱螺线 表示圆柱螺线，但缺乏误差结果分析。文【1 9 】从几何角度出发采用三次有理b 6 z i e r 曲线，在保证位置、斜率连续的条件下，较好地解决了圆柱螺线的近似表示问题， 这种方法使得任一描述段都只能有三点( 两端点、中点) 处理论误差为零，而且计 算比较复杂。文【2 0 】在文【1 9 】的基础上确保五个点处理论误差为零，构造了逼近螺线 段，该文放弃了斜率连续的条件，得到的误差带较文1 1 9 1 窄。但在c a g d 中更为强 调的是几何行为，一条近似曲线即使能插值于一批点，但光顺性不能保证，也是无 法使用的。在这个意义下，作者认为文 1 9 】方法优于文f 2 0 。 由微分几何知识，圆柱螺线是唯一既保持曲率又保持挠率为常数的空间曲线， 平面上只有圆和直线具备这种特性，这种特性决定了圆柱螺线可看作是其中任一小 段的无限自我复制，这就大大简化了整条曲线表示的复杂程度。因此只要构造圆柱 螺线的任一小段弧的逼近曲线即可，还可以利用其本身固有的对称性质来使控制顶 点的确定更加容易。 圆弧与圆是标准解析形状中最简单也是最具有代表性的圆锥曲线，也是构造柱、 锥、球等的基础。p i e 9 1 l 1 2 1 1 1 9 8 5 年首先给出了二次曲线段的有理b 6 z i e r 精确描述， 并将权因子拓广到负数的情形产生了圆弧的补充段，从而产生了整圆。接着，文献 2 2 】 通过插入节点的方法构造了各种角度圆弧的二次n u r b s 表示，文献【2 3 】导出了圆弧 三次n u r b s 表示的充要条件。之后文【1 3 、 2 5 讨论了圆弧的三次有理b z i e r 表示， 文【2 6 】从几何的角度给出了圆弧与整圆的三次n u r b s 表示。这些方法在本质上是一 致的，即都是用有理多项式表示圆弧与整圆。在此基础上，1 9 9 5 年c h o u 2 7 研究分 析了各种圆弧的三次有理表示及四次有理整圆表示，总结得到如下结论： ( 1 ) 无论二次还是三次有理b 6 z i e r 曲线均不可能表示一个整圆。 ( 2 ) 任一条三次圆弧可由二次圆弧升阶得到。 ( 3 ) 借助于负权因子或零权因子，可以获得一个4 次整圆。 ( 4 ) 带正权因子有理b d z i e r 表示一个整圆至少是5 次的。 ( 5 ) 任何一个整圆的有理b 6 z i e r 表示是参数退化的【2 8 】( 即曲线上每一个点均有 不止一个参数值与之对应1 我们知道用代数分析方法解决几何问题，坐标系起着桥梁作用，不同的场合选 用不同的坐标系可起到化繁为简的作用。对于封闭曲线特别是圆弧或圆，采用极坐 标尤其方便。1 9 9 0 年，j s 矗1 1 c h e z r e y e s 首次将b 6 z i e r 方法拓广到了极坐标的情形， 给出拟b e m s t e i n 三角基函数形式的有理b d z i e r 表示，1 9 9 2 年又将b 样条拓广到极 坐标的情形，给出了拟b e r n s t e i n 三角基函数形式有理b 一样条表示，精确描述了圆 锥曲线，并导出了以极角为参数的曲线递推算法等。1 9 9 7 年他进一步讨论了在极坐 标系下高阶b e z i e r 圆的生成，给出了具体的计算公式，具有控制顶点特别容易确定 的优点，即权因子是径长的倒数。1 9 9 9 年最新文献研究了圆内外旋轮线的正弦基函 数有理b 6 z i e r 表示( 详见文献 2 9 3 2 1 ) 。 2 南京航空航天大学硕士学位论文 由于圆柱螺线位于圆柱面上，作者将在柱坐标下讨论圆柱螺线的有理b 6 z i e r 逼 近问题，按g c l 连续给出确定控制顶点的方法，进行误差估计。 作者还将从曲面上曲线拟合的角度探讨圆柱螺线的拟合方法。曲面上的曲线插 值不同于r z 中的插值问题，此时插值数据不是任意给定的，而是限制在某一光滑曲 面上，可以是二次、三次代数曲面、b 6 z i e r 曲面、b 样条曲面等。这自然要 求所求的插值曲线也落在这个曲面上，是一个限制在曲面上的曲线插值。对于最简 单的情形，也就是球面上的插值曲线构造，k e ns h o e m a k e 在文献【3 3 】，张怀在文献 3 4 】 中都做过研究。主要思想是用大圆弧代替直线段，从而将欧氏空间中的插值方法推 广到球面上来构造插值曲线。这种方法的最大缺陷是难以推广到更一般的曲面上， 因为一般曲面上两点间的距离一测地线不容易求得。1 9 9 7 年，张怀在文献【3 5 】中 提出一种映射方法，将上插值曲线构造归之为通常的r 2 上的插值b 6 z i e r 样条曲线 构造，遗憾的是插值曲线只有c 1 连续。作者针对该问题，考虑常见的二次曲面、c a g d 中的参数曲面等多种类型曲面上的n u r b s 插值，获得了c 2 连续的插值曲线并解决 了空间圆柱螺线的拟合问题。 本文的工作是围绕圆柱螺线的有理b 6 z i e r 或b 样条表示展开的，所获方法同样 可适用于其它曲线构造。本文各章内容安排如下： 第二章中，用三角基函数表示极坐标下有理b 6 z i e r 曲线，导出整圆的高阶b 6 z i e r 表示，再推广到柱坐标下，用有理三角b 6 z i e r 曲线表示一般的空间曲线。这部分内 容主要是对文 2 9 3 1 i 作的总结，作为第三章的基础。 第三章中，在柱坐标下给出空间圆柱螺线的有理b 6 z i e r 逼近，并用两种方法确 定逼近螺线控制顶点的定位。一是反求控制顶点法；二是利用圆柱螺线固有的对称 性，使逼近螺线在两端点处达g c l 连续，求出控制顶点。讨论影响逼近螺线精度的 各种因素，结合算例，从理论上进行了误差估计，可使逼近螺线达到预先给定的精 度要求。 第四章中，通过建立一映射d 亡r 2o r 3 ，将曲面上插值曲线构造转化为通常 r 2 上插值曲线构造。给出常见曲面的n u r b s 表示，并导出其反演方程。在曲面上 进行n u r b s 插值，获得了c 2 连续的插值曲线，特别是解决了圆柱螺线的拟合问题， 并给出各种算例，将插值图形与精确图形加以比较，检验算法的稳定性和插值效果。 计算几何中的空间圆柱螺线 第二章柱坐标有理b 6 z i e r 曲线的表示 平面曲线可看作是笛卡尔坐标系( x ，y ) 下的函数y = f ( x ) 的图象，可以用非有理 的b 6 z i e r 曲线来逼近它。类似地，也可以在极坐标系( r o ) 下定义函数r = “o ) 。 极坐标对于表示封闭曲线非常适用。特别是在一些工程技术应用中，如设计凸轮的 轮廓时，可用r = r ( o ) 定义凸轮的外形，便于在凸轮旋转时，对其状态作出机械分 析。 本章主要内容为：( 1 ) 描述b $ z i e r 曲线有理三角基函数表示；( 2 ) 给出整圆的高阶 b $ z i e r 表示：( 3 ) 用柱坐标有理三角b $ z i e r 曲线表示一般空间曲线。本章内容是下一 章的基础。 2 1 极坐标有理b 6 z i e r 曲线 2 1 1 有理b 6 z i e r 曲线定义及递推算法 则称 定义给定n + 1 个控制顶点 6 i ) k r 3 ( 或r 2 ) 及 w i ) k r 1 且w i o ，w o w 。 0 n w ；6 ；雕( u ) 6 ( u ) = 号一， u o ，l 】( 2 一1 ) w 。b ? ( u ) 忙o 为n 次有理b 6 z i e r 曲线，w ；为相应于每个控制顶点6 ；的权因子，b ? ( u ) 表示n 次 b e r s t e i n 多项式基函数： b ? ( u ) = c o u ( 1 一d ) ”。， i - o ，l ，n 当6 = ( x ，y 。) r 2 时，平面有理b 6 z i e r 曲线6 ( u ) 可看作是r 3 空间中一条非有理曲线 在平面z = l 上的中心投影，即 6 ( u ) = h ( 6 7 b ? ( u ) ) ，u e 【o 1 】 式中砰= w x ，w y i ，w i ) r 3 ，h ：r 3 _ r 2 为中心投影，即 f p w w 0 h ( p ，w ) 。1 _ r ：中从原点发出通过点p 的一个方向 w ：o 带无穷远控制顶点玩的有理曲线可表示为： 6 ( u ) ：罂+ i 业6 。，u f 。，1 】( 2 2 ) z w 。b ? c u )w ；b n ( u ) f r a i n ( 【9 】) 描述了一个递推算法，可用来计算有理曲线e ( u ) 在给定的u 处的值。 中间点b i ( u ) 可由下面的递推公式定义： 牵1 ( u ) ( 1 一u ) 蔷6 ：c + l l 鲁6 h 6 惭；( 2 - 3 ) 其中权因子w ? ( u ) 定义为： w ：“；( 1 一u ) w ；+ u w k ，w ? = w i ( 2 4 ) 从k = o 开始，运用公式( 2 3 ) 、( 2 4 ) ，可得结果6 ( u ) = e ：( u ) 。 从几何变换的角度看，中间点6 ( u ) 可看作是参数u 经投影变换得到的象。这 个变换将参数段【o ( 1 2 ) u l 】映射到线段6 ：日? 6 6 ：。上，其中参数u = l 2 变换到 辅助点日? 。日；是6 7 和6 k 和它们相应权w ；，w k 的加权平均，有下列关系 拈6 2 ) = 糟 ( 2 5 ) 因为透视变换保持一线段上四个点的交比( c r o s s r a t i o ) 不变，所以中间点耻“也可由 下列关系式给出： c r ( o ，；，u ，1 ) ：c ，( 砰，日：，掣，醍，) 计算几何中的空间圆柱螺线 2 1 2 极坐标b 6 z i e r 曲线定义 首先，在上节给出的递推算法中引入角参数t 。 假设连接耻和6 k 的直线段对着一个顶点在坐标原点o 的角2 n ，如图2 - 1 所示。一单位长度的线段【0 l ，2 u 1 1 被角2 的角平分线垂直平分。选择此线段 到原点。的距离，使得两线段以原点。为中心成透视变换。即单位长度的线段通过 参数t 卜一a ，a 】的变化，由过原点的射线逆时针方向转过2 a 角，变换到线段 6 i 6 i 。上。参数u 和t 有下列关系： u = 1 r a n t r + t ，t = t a l l ；t 【- ，u e 【o ) 1 】( 2 - 6 ) 图2 1 o 特别地，u = l 2 ( t = o ) 对应于2 角的角平分线。q ! 是这条角平分线与线段 6 ：e i ，的交点。由初等几何学，易验证 拈唪警p ；+ p 五l ( 2 7 ) 南京航空航天大学硕士学位论文 其中p ：= 表示砰到原点o 的距离r i k 的倒数。比较( 2 - 5 ) 和( 2 7 ) 可知，商害岳与商 譬一致，都等于字。 线段辞5 k 十。可用角t 参数化，相应于中间点5 k + 1 ，可推导得p _ 值如下： p y ：昙【避c o s t + 姓s h a t ，其中s ：s i i l ，c ：c o s ( 2 - 8 ) zcs ( 2 8 ) 式也可以改写为： ”= 【s i n ( a t ) + 威l s i n ( a 十t ) l s 2 ，其中s 2 = s i n ( 2 a ) ( 2 9 ) 下面考虑如何确定极坐标下b 6 z i e r 曲线控制顶点的定位，将证明平面有理b 6 z i e r 曲线可以重新参数化为极坐标( r ，0 ) 下的曲线r ( 0 ) 。有以下约定： ( 1 ) 控制顶点6 ；= ( ，0 ；) 规则地排列在角2 n 的径向上，即： 0t + 1 - ei - - - 2 a ； o i n - l ( 2 1 0 ) 不失一般性，假设径向0 = o 使得o = ( 0 0 + 0 | i ) 成立。n = 3 时的几何图形如图2 - 4 所 示。 ( 2 ) 对应于控制项点5 = ( l ，0 ；) 的权因子为： w i = pi = ( t ) 。( 2 - 1 1 ) 下面解释( 2 1 1 ) q b 权因子的选取可确保将平面有理b 6 z i e r 曲线参数化为极坐标下 曲线r ( 0 ) 。 曲线上某一点，相应于一确定的u 值，可通过执行递推算法到k = n 步，由中间 点砩= ( o ：，0 ) 得到。如果能证明边5 ：硪对的角，对所有的k , i 均保持连续，且恒等 于2 a ，也就能证明1 主1 ( 2 6 ) 给出的角t 也是连续变化的。所以，第k 步时，0 ：= k t ， 当k = n 时有0 ：= n t ，即曲线可在极坐标下按p ( 0 ) = r 。1 ( 0 ) ( 其中0 = n t ) 重新直接计 算。运用递推公式( 2 8 ) 或( 2 9 ) 从k = 0 开始，可得p ( 0 ) = po n 。因为t - a ，a 】， 所以曲线p ( 0 ) 夹在两径向0 。和0 。之间。 要证明线段6 ：6 ：所对的角恒等于2 ，等价于证明由递推算法定义的投影变换 的中心对所有的k 和i 均在坐标原点o 。如果这样的话，那么： 计算几何中的空间圆柱螺线 芒= 安，呲m ，0 _ i l o p l p ：) ，就生成了一 椭圆( 如图2 - 5 ( b ) 所示) 。当比值小于1 时，就生成双曲线，如图2 - 5 ( c ) 所示。 d ( a ) ( b )( c ) 图2 5圆锥曲线 r k鱼b监蚶静 计算几何中的空间圆柱螺线 2 2圆的极坐标高阶b 6 f i e r 表示 除了二次以外的圆的高阶有理b 6 f i e r 表示在实际问题中有着许多广泛的应用。 例如在参数设计系统中，参数信息只有当系统接受到一圆弧时，才能准确地传送到 中心。如果传送系统只以b 6 f i e r 形式传送数据，那么接受系统也只能以b 6 f i e r 形式 来接收圆弧。如果没有准确的b 6 五e r 形式来表示整圆，那么接受系统就不能准确地 执行相应的操作。为此，我们有必要研究圆的高阶有理b 6 z i e r 表示。 2 2 1 二次b 6 z i e r 圆弧 如2 1 6 中所说，极坐标二次b 6 五e r 曲线是焦点在坐标原点o 的圆锥曲线。而 圆的焦点就是圆心，所以圆心在坐标原点o 的一段圆弧可以表示为一条二次曲线， 它的控制顶点记为e ，控制顶点6 与坐标原点0 距离的倒数记为p ；= w 。= ( r i ) 一。当圆弧 与控制多边形在首末端点氏、e ：处相切时，一张角为4 的单位圆弧p ( 0 ) = 1 可以 这样生成( 如图2 - 6 ( a ) 所示) ： 令po = p 2 = 1 ，pi = c ，c = c o s ( 2 )( 2 - 1 6 ) 将这些参数代入( 2 1 4 ) 中，得： p ( t ) = l = a 0 2 ( t ) + e a i 2 ( t ) + a 2 2 ( t )( 2 1 7 ) 在许多c a d 系统或数据交换标准中，只允许存在严格为正的权因子。在( 2 - 1 6 ) 中，为了避免出现负的或零权因子w 。= p ，可假设2 2 ，这个条件比2 1 2 中的般定义2 a 要严格。当2 a = 2 时，中间控制顶点6 位于无穷远处( 如 图2 - 6 ( b ) 所示) 。这样虽能紧凑地表示一半圆，但无穷远控制顶点在有理b 6 z i e r 曲线的实际应用中却有两点不利因素：首先丧失了凸包的特性；其次，在计算曲线 时，对无穷远控制顶点需作一特殊处理。 图2 6 ( b ) 南京航空航天大学硕士学位论文 2 2 2 任意偶次b 6 z i e r 圆弧 s a n c h e z r e y e s 在文【4 0 】中指出，极坐标下整圆只能用一偶次的b 6 z i e r 曲线来 描述，而不能用一奇次的b 6 z i e r 曲线来表示。假设想将一张开给定2 n 角的圆弧表 示为任意偶次( n _ 2 k ) 的b 6 z i e r 曲线，下面，先推导出相应的权因子w j = pi 。一旦 权因子w 定下来，控制顶点的位置由( 2 - l o ) 、( 2 - 1 1 ) 即可确定。 借助于f a r o u l d ( 4 ) 在c a g d 领域内首先引入的方法，可将任意平面参数曲线 表示为一复值函数，这种表达式非常有用。将张开4 a 角的二次圆弧q ( t ) k 次幂后， 容易得到一张开2 n 角的圆弧6 ( t ) ： 孙) = 而e i 2 t 劬_ ( t ) 娟( t ) 卜焉，t 【- ，】 ( 2 一1 8 ) 其中i = = 了，p ( t ) 由( 2 1 7 ) 给出。因为原始曲线丽( t ) 与原点0 的距离为1 ，所以 生成的盐线取t ) 一定在单位圆上。( 2 1 8 ) 中所作的操作如图2 7 所示，其中2 = 4 。 将一个二次的四分之一圆( 图2 - 7 ( a ) ) 二次幂后，得四次圆弧( 图2 - 7 ( b ) ) ，三次幂后 得六次圆弧( 图2 - 7 ( c ) ) ，四次幂后得到一个八次的整圆( 图2 - 7 ( d ) ) 。 ( a ) n = 2( b ) n = 4( c ) n = 6( d ) n = 8 图2 7 为了展丌( 2 1 8 ) 中的分母p 。( t ) ，将( 2 1 7 ) k 次幂后并运用多项式展丌公式 飞沙 0 ，0 r 。先回顾2 2 中单位圆的极坐标高阶b 6 z i e r 表示方法，将其推广到半径为a 的圆。 已知半径为a 的圆的控制顶点为6 i = ( t ，0 ) ，其中i = 0 ，1 ，n 且n = 2 k ，k n 特 别有r o = r = a 。取权因子如下： 般地有： p o2p n = w o = w n 2 1 p l = p h = w l = w n l = c( c = c o s 伍，仪= 2 a ) p 2 = p 。一2 = w 2 = w 。一2 = 二_ 1 + ( n 一2 ) c 2 1 1 一l p 3 = p = w 3 = w 。一3 = 二_ 【3 + ( n 一4 ) c 2 ( 3 2 ) 一 曲 2 ( 一 c 卜k c m 枷 r ，n i i 卜p i l 卜 w i i p i l w 堕室堕窒堕墨查兰堡主堂垡笙奎一 则半径为a 的圆表示为： 记l 1 却e ，= 娄c 扣渊t ， ：兰= 堕，则p 。= a f l ，当a = 1 时，得单位圆 aa 1 = w ；衅( t ) ； r i 1 = p 分别取0 【= 6 ，n 4 ，3 ，n = 2 ，4 ，6 时，计算权因子w i 如下： 1 a = 7 c 6 时 ( 1 ) k _ l 2 ，( w o , w t , w 2 ) _ ( 1 车1 ) 。肌w m w 州卅，孚，；，铷 s w m w ，地，w 川邓每持，以+ 瓣铷 2 = 丌4 时 ( 1 ) k = l ，n = 2 ，( w o , w w 2 ) = ( 1 ，万1 ，1 )、二 ( 2 ) k = 2 ，n = 4 ，( w 0 1 w l ，w ：，w 一沪( 1 击，；，万1 ，1 ) 一s ，( w o , w , , w 2 , w 3 , w 4 , w ，, w 6 h t ，去，；，竽，；，扣 3 0 【= 7 c 3 时 ( 1 ) k = 1 ，n = 2 ，( w o ，w i ，w 2 ) = ( 1 ，1 ) 1 ( 2 ) k = 2 ，n = 4 ，( w o ，w l ，w 2 ，w 3 ，w 4 ) 替， ( 3 ) k _ 3 6 ，( w o , w l , w ：，w 汛w ，w 沪n i l ，；，孟，替1 ) ( 3 3 ) ( 3 4 ) 设柱坐标下有理b s z i e r 曲线r 的控制顶点为p 。( l ，0 。，z ) ，权因子w = p = r i ，曲 线r 的参数式方程可记为： 7 计算几何中的空间圆柱螺线 其中 f = x = p - ( 0 ) c o s ( o ) y = p - i ( o ) s i n ( o ) z = z ( e ) e = t a t ，t 【- 詈，争 p ( o ) = e p ；a ? ( t ) 芦( o ) = y p ；z ；a ? ( t ) z ( 0 ) = 鬻 特别地，取半径为a 的圆柱面上的曲线表示为： r ( 3 5 ) x = a c o s 0 y = a s i n o ( 3 6 ) n z ( o ) = p i z i a ：( t ) ；- o 其中p ；如( 3 2 ) 定义，pi = a r i 。f l j ( 3 - 6 ) 可知：z ( 0 ) 与圆柱面底圆半径a 无关。 3 1 2 反求圆柱螺线的控制顶点 在( 3 6 ) 中取z 分量的左边z ( 0 ) = b0 = b n t ，即等于( 3 1 ) 中理论圆柱螺线的z 分量 的准确值，得： b n t = ( p i z i ) a l ( t ) ( 3 7 ) 其中z i 为待定的控制顶点p i ：( 1 ，0 。，z ，) 的z 分量。下面讨论如何待定出罨的值。 因为在( 3 7 ) 中，t 【一口2 ，口2 】，取t = 0i n 代入( 3 7 ) 中，让i 分别取0 ，1 ， n ，得n + 1 个方程： b n 詈_ b o rj ：。( p i z i 心a 争i o ，1 ，n ( 3 - - 8 ) ( 3 8 ) 是关于z 。，z ，z i _ 这n + 1 个未知数的含n + 1 个方程的方程组，解( 3 8 ) 求出z 。， z ，z l 的值，将这些值代回( 3 6 ) 中，就得到半径为a 的逼近圆柱螺线的表达式， 它在点p = ( ，0 ，b o ) ，i = o , l ，n 处与理论螺线( 3 1 ) 重合，误差为零。 南京航空航天大学硕士学位论文 也可以在( 3 7 ) 中，让t 取更多的值满足方程，令 i = 0 ，1 ，一，n i = 0 ，1 ，n 一1 再代入( 3 7 ) 中得到关于，z 。，乙的含( 2 n + 1 ) 个方程的矛盾( 超定) 方程组： b 学= 静啪州訾) i = 叫，n - - ( 3 9 ) 媳：窆( p j z j ) a ? ( 鲁) i = 0 ，1 ，n i - 0 “ 采用h o u s e h o l d e r 变换求超定方程组( 3 - 9 ) 的最小二乘解z o ，z i ，z l l ( 3 8 1 ) ，将这 些值代回( 3 6 ) 中，得到半径为a 的逼近圆柱螺线的最小二乘表达式。 因为逼近圆柱螺线( 3 - 6 ) 与理论圆柱螺线( 3 1 ) 之间的偏差仅存在于相应点之间的 z 坐标值上，设其偏差为e ，则 ( 0 ) = b0 一z ( 0 )( 3 - 1 0 ) 下面举例分析。 3 1 3 算例 例3 - 1 ：取a = 2 a = 4 ，n - - - 4 ，t 【一8 ，8 1 ，0 = 4 t ，相应的权因子为： ( p o , p l , p 2 , p 3 , p - ) _ ( 1 ，万1 ，争拶1 ( e 。，0 2 o 川= ( 一兰，一和三，争 ( 1 ) 取t = 0 ；4 = ( 一8 ，一n 1 6 ，0 ，1 6 ，8 ) 代a ( 3 - 8 ) 中，解方程组，得： l 2 0 一2 4 _ _ j 彻 z 。= 一z ，= 一堑 ( 1 + 4 s i n 2 景- 6 4 s i n 4 三1 6 + 6 4 s i n 6 景) z 2 = 0 代回( 3 6 ) ，由( 3 一l o ) 失n ( 0 ) 的表达式，其中取0 = 一2 + i i o ( i = o ，1 ，1 0 ) ，b = l 其绝对值误差f ( 0 ；) i 情况见表3 1 ，最小二乘误差为 瓜矿一 r m s e = 1 ( b o 。一z ( o 。) ) 2 = 0 0 0 1 3 yi = o 一 仁 b和 盐墨些堡! 塑至塑堕壁坚垡 ( 2 ) 再取t = ( 一8 ，- - 3n 1 3 2 ，一n 1 6 ，一3 2 ，0 ，n 3 2 ，n 1 6 ，3 3 2 ，8 ) ，代入( 3 - 8 ) 中得矛盾方程组，解之得 z o = - - z 4 = - - 1 5 7 0 2 z = - - z 3 = 一o 5 8 8 7 z 2 = 0 代回( 3 6 ) 中，由( 3 1 0 ) 知( 0 ) 表达式，取b = l ，oi = 一2 + i l o ( i - o ，1 ，1 0 ) ，得 绝对值误差| e ( 0 ；) i 见表3 2 ，最小二乘误差r m s e = 0 0 0 1 1 。 例3 - 2 取0 l = 2 = 3 ，n = 4 ，t e 一6 ，6 ，0 = 4 t ，相应的权因子为 ( p 。，p 1 , p 2 , p 3 , p 4 ) = ( 1 ，三1 ，j i ，尹1 ( 0 0 0 1 。：，e 3 ) = ( 一莩，一弘詈，警) 取t = o 4 = ( - - 6 ，一1 2 ，0 ，1 2 ，6 ) 代x ( 3 8 ) 中，解方程组，得： 2 2 02 屹一了耳 7厮 2