（应用数学专业论文）半导体中等温状态下粘滞流体力学模型的研究.pdf

s u p e r v i s o r ：p r o f s o u t h e a s tu n i v e r s i t y n a n j i n g ，21 0 0 9 6 ，c h i n a d e c e m b e r 2 0 0 9 9 一、学位论文独创性声明 东南大学学位论文 独创性声明及使用授权的说明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果 尽我所知，除了文中特别加以标明和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过 的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料与我 一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意 二、关于学位论文使用授权的说明 东南大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学位论文的复印 件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文本人电子文档的内容和纸质 论文的内容相一致除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括 刊登) 论文的全部或部分内容论文的公布( 包括刊鞠授权东南大学研究生院办理 掣 摘要 空间中单极量子流体力学模型的解的存在性以及一些相关的性质该 电流密度的连续方程，关于电势的p o i s s o n 方程的耦合方程组，其中含 阶的粘滞项论文分为两个部分 的粘滞流体力学模型 五= 王，茁，z q ， ( o o 1 ) ( 鲁) 霉+ t 一n = 一事+ 吨，z 咄 ( 0 0 2 ) a 2 k 搿= 他一c ( z ) ， z q ， ( o o 3 ) n ( 1 ) = l ，他( o ) = 他( 1 ) = o ，y ( o ) = ，( o ) = 而， = 一2 矿2 ( 何k ( o ) + 萼 他 ( o o 4 ) ( o o 5 ) 其中q = ( o ，1 ) ，佗( 。) ，( z ) ，y ( z ) 分别表示电子浓度，电子电流密度和电位势，g ( 。) 表示搀杂浓 度，丁表示温度常数，7 i 表示动量松弛时间常数，a 表示d e b y e 长度，表示粘滞系数在该部分 我们利用变量变换和l e r r a p s c h a u d e r 不动点定理证明了解的存在性；在电子电流密度和粘滞 系数足够小的条件下，证明解的唯性并在最后讨论粘滞系数的渐近极限问题 第二部分讨论一维空间中瞬态的粘滞量子流体模型 m 一工，z + 五= 0 ，z q ， 枷。萼仡( 訾) + c 鲁删一k 一舞q ， a 2 k z = n 一1 ，z q ，t 0 ， n ( z ，o ) = 佗，( 。，o ) = 以，z q ， 礼( o ，t ) = 1 ，y ( o ，t ) = o ，k ( 1 ，t ) = o ，j = o ，= o ，。a n i ( o o 6 ) ( o o 7 ) ( o o 8 ) ( o o 9 ) ( o o 1 0 ) ，瞬态解关 a b s t r a c t i nt h i sp 印e r ，t h ev i 8 c o u sq u a n t u mh y d r o d y n 锄i cm o d e li 1 1o n es p a c ed i m e n s i o ni ss t u d i e d t h em o d e lc o n s i s t so ft h ec o n t i i l u i 锣e q u a t i o n sf o rt h ep a r t i c l e sa n dc u r r e n td e n s t i e s ，w h i c hc o n t 咖 at h i r d - o r d e rq u a n t u mc o ”e c t i ( mt e r ma n ds e c o n do r d e rv i s c o u st e r m ，c o u p l e dt ot h ep o i s s o n e q u a t i o nf o rt h ee l e c t r o s t a t i cp o t e n t 试t h ep 印e ri 8d i v i d e di i l t o 押dc h a p t e r s i nc h a p t e ro n e ，w es t u d yt h es t e a d y - s t a t ev i s c o u sh y d r o d y n 锄i cm o d e l 以= 王，z q ， ( 兰k + t 一亿k ：一! + 扩五年， z q ， ( 詈k + t 一亿k = 一号+ 扩五年，z q ， a 2 v k = n c ( z ) ， z q ， ( o o 1 1 ) ( o o 1 2 ) ( o o 1 3 ) n ( o ) = 佗( 1 ) = 1 ，( o ) = ( 1 ) = o ，y ( o ) = ，( o ) = 而， ( o o 1 4 ) k = 一2 2 ( 何) 茹( o ) + 萼 7 2 ( o o 1 5 ) w h e r eq = ( o ，1 ) ，n 仕) ， ) a n dy ( 。) d e n o t et h ee l e c t r o nd e n s i 饥e l e c t r o nc u r r e n td e l l s i 锣a n de l e 争 t r o s t a t i cp o t e n t i a l l ，r e s p e c t i v e l y c ( z ) d e n o t e sd o p i l l gp r o 丘1 eo ft h es e m i c o n d u c t o r t h e ( s c a l e d ) p h y s i c a l p a u r a m e t e r sa 鹏t h et e m p e 乞r a t u r et ，t h e 啪m e n t u mr e l a x a t i o nt i m ec o i l s t a n tr ，t h ed e b y el e n 戥h 入 a n dt h ev i s c o s i 七y t h ee x i s t e n c eo fs 0 1 u t i o n skp r a v l e db yu s i n ga n 唧o n e n t i a l 、w i a b l et r a n s f o r - m a ，t i o na n dt h el e r r a y s c h a u d e r 丘x e d - p o i n tt h e o r e m ，a n dt h eu n i q u e n c eo ft h es o l u t i o ni sp r a v e d u n d e rt h ea u s s u m p t i o nt h a 七t h ee l e c t r o nc u r r e n td e n s i 锣a n dt h ev i s c o s i 锣s m 以1 a tl a s t ，w ew n l s t u d yt h e 晒y m p t o t 妇o fv i s c o u 8s o h l t i o n i nc h a p t e rt w 0 ，w ec o n s i d e rt h ev i s c o u st r a n s i e n tq u a n t u mh y d r o d y n 锄i cm o d e li no n es p a c e d i m e ns i o n r k 一正，扎王2 + 厶= 0 ，z q ，( o o 1 6 ) 枷。萼n ( 訾) 霉+ c 罢删一k 一q ， n 叭7 ， i i i 入2 k = 犯一1 ，z q ，t o ， n ( z ，o ) = 佗，( z ，o ) = 以，z q ， ( o o 1 8 ) ( o o 1 9 ) 仃( o ，t ) = l ，y ( o ，t ) = o ，k ( 1 ，t ) = o ，j = o ，= o ，z a q ( o o 2 0 ) w h e r eq = ( o ，1 ) ，ed e n o t 船t h ep l a n c kc o i l s t a n t ht h i sc h a p t e r ，u n d e rac e r t a 缸a s s u m p t i o n ，w c a np r o v et h el o n 争恤n e 的y m p t o t i cb e h a v i o ro ft h et r a n s i e n ts o l u t i o n so ft h ea b o v ee q u a t i o n s k e y 、0 r d s ： t h ev i j s c o u sq u a n t u mh y d r o d y n a m i cm o d e l ；s t e a d y - s t a 乞e ；l e r r a p s c h a u d e r 6 x e d - p o i n tt h e o r e m ；e x i s t e n c e ；u n i q u e n e s s 目录 l l l l 2 2 主要结论及其证明2 0 致谢 参考文献 v 2 5 2 6 l l 3 5 u m 均 均 第一章解的存在唯一性 1 1 引言 以往对微型半导体器件中粒子运动的模拟，通常用能量一输送方程或流体力学方程 1 ，2 】 但是，由于超小半导体器件的应用，以往所用的模型已经不能很好地模拟载流子的运动，这就 需要考虑更复杂的模型近年来，在半导体晶体粒子运动的模拟中，大多用量子流体力学模型 来刻画【3 ，7 ，8 ，9 ，1 3 ，1 6 】在该模型中，是用宏观变量，像粒子浓度，电流密度，来刻画半导体晶体 管中载流子的运动这种用宏观变量来模拟半导体器件中粒子运动的方法有下面的两个优 越性首先，w i g l l e r 方程和s c h r 6 d i n g e r 方程需要大量的计算，但是流体力学模型则可以进行 有效的数值计算其次，由于是在有界区域上来模拟半导体器件中粒子运动，所以与w i g n e r 函数和波函数相比，该模型更容易找到相应的边界条件 事实上，把单粒子的s c h r i ；d i n g e r 方程的实部和虚部分开，则电子浓度n ( z ，t ) 和电子电流 密度t ，( z ，t ) 就满足下面的m a d e l u n g 方程 侥n + d i v - ，= o ， 讲d 如( 掣) 一y 一譬v c 等， 其中y ( z ，t ) 为静电势，并且满足p o i s s o n 方程 a 2 y = n c ( z ) ， 这里c ( z ) 是搀杂浓度，是p l a n c k 常数，a 表示d e b 弦长度，j oj = 毛：l 五乃表示张量积 m a d e l u n g 方程也可以用矩量法由w i n g e r 方程导出【1 3 】，这时允许结合温度效应和一个松弛 时问项温度效应也可以用混合的s c l l r c i d i n g e r 方法得到【17 】从而有 叭机( j o 叶丁v v y 一譬v ( 等) - _ 事，+ 结合前面的电子浓度方程和p o i s s o n 方程，叫做流体力学模型当p l a c k 常数e = o 时，上面的 方程等价于古典的粒子e u l e r 动量方程 如果在w i g i l e r 方程中假设个f o k k e r - p l a l l c k 碰撞算子，用g a r d n e r 的矩量法，在量子流 体力学方程中会增加两项 5 ，6 】即得 巩n + d i v ，= 扩佗， 1 第一章解的存在唯一性 侥，+ 州掣) + t v n 一例 一譬v c 等卜等z 其中 o 表示粘滞系数这两个方程结合p o i s s o n 方程，我们称为粘滞的量子流体力学模型 在本章中我们讨论p l a n c k 常数e = o ，一维空间中稳态粘滞流体力学模型 以= 工，佗蕾聋， z q ，( 1 1 1 ) ( 罢) z + 耽一n k ：一手+ 比，z 叽 ( 1 1 2 ) ( 音) z + t 一n k = 一手+ 五。，z q ， ( 1 1 2 ) 入2 k 霉= n c ( z ) ，z q ，( 1 1 3 ) 其中q = ( o ，1 ) ，假设边界条件 佗( o ) = n ( 1 ) = 1 ，( o ) = ( 1 ) = o ，y ( 0 ) = ，厂( o ) = 而，( 1 1 4 ) 吨 = 一2 z ，2 ( 同善z ( o ) + 萼 ( 1 1 5 ) 在上面的边界条件中，我们只是描述了电流密度，而没有给出外加偏压y ( 1 ) 一y ( o ) ，这是由 于给定了而，外加偏压可以通过解上面的边值问题得到 对于= o 时的流体力学模型，许多论文都讨论了在次音速条件 生 o 时的情形，而在本部分 中，我们讨论不含量子项的稳态方程的类似相关性羼在一定条件下，可以得到( 1 1 1 ) 一( 1 1 3 ) 的解的存在性 也就是说，如果下面的”弱超音速条件 鲁 o 是一个常数，并且不依赖于u 和( 参看( 1 3 7 ) 的定义) 此不等式是本章的关 键估计从( 1 1 8 ) 可以看出u 的日1 范数有界并且不依赖于，这时允许对粘滞系数取极限 一o 在第五节中我们将讨论极限问题 1 2 方程变形和主要结论 在引言中，通过简单的计算，由( 1 1 1 ) 和( 1 1 2 ) 得到表达式( 1 1 7 ) 如果n o ，则可以 3 4 得 利用关系式 令u = l n n ，可得 由( 1 2 3 ) 和( 1 1 4 ) 得 ( 1 2 1 ) ( 1 2 2 ) ( 1 2 3 ) + 李z z 嵩啪箸啪z z 缸 2 q 2 佗( 訾) 。卸( h 咄也 2 ( 譬) ，( 知叫一。) z ( 去( n ( t nn ) 。) 茁) 。= ( t t z 善+ ! 拿) 七。 ( 霉+ 譬) + ( r + 蕾 = 等+ 瑶( e - 2 ) 茗一2 驯e 、一霉一李( e ， “( o ) = h ( 1 ) = o ，u ( o ) = ( 1 ) = o ， ( 1 2 5 ) ( 1 2 6 ) 第一章解的存在唯一性 由( 1 2 4 ) 可得 吣) ：+ 譬) ( 卅( t + 弘卅萼e q 心) + 害厂e u ( s ) 如+ 2 而i ，e 一2 u ( z ) 蚝+ 2 而p 厂e u u ：瓠 ( 1 2 7 ) tj q j o 对于问题( 1 1 1 ) 一( 1 1 5 ) 的古典解竹( z ) o ，刃q ，问题( 1 1 1 ) 一( 1 1 5 ) 和( 1 2 5 ) 一( 1 2 7 ) 是等价的事实上，由前面的方程变形可知，( 1 1 1 ) 一( 1 1 5 ) 的每个强解，满足佗日4 ( q ) ，y 日2 ( q ) ，通过变换t = l n 亿，可以得到( 1 2 5 ) 一( 1 2 7 ) 的一个强解相反地，在第三节，我们将证 叽对( 1 2 5 ) 一( 1 2 7 ) 的每个解( t ，y ) 日4 ( q ) 日2 ( q ) ，设n = e u ，得到佗( z ) o ，z q ，并且 方程( 1 2 3 ) ，( 1 2 4 ) 成立，对( 1 2 4 ) 关于z 求两次导数，再乘以n ，结合( 1 2 3 ) 可得p o i s s o n 方 程( 1 1 3 ) 对( 1 2 4 ) 关于z 求导，对所得方程两端乘以n ，就得到方程( 1 1 2 ) 最后，由( 1 2 6 ) 和( 1 1 4 ) 可得到边界条件( 1 1 5 ) 这样，我们只须证明( 1 2 5 ) 一( 1 2 7 ) 的解的存在性 下面给出本章的主要定理 满足 定理1 j 2 1 设，t ，入 o ， c ( z ) l ( q ) ，并且c ( z ) 岛 o ，对给定的7 ( o ，1 ) ，而 0 o 倔以7 砂定义) 则门j 砂一印j 纠存在一个解( 佗，zy ) 日4 ( q ) h 2 ( q ) 日2 ( q ) 其中n ( z ) 满足n ( z ) 丛 o ，z q 丝= e 印( 一k n ) ) 并且，如果而和y 2 足够小，则 问题( 1 1 1 ) 一( 1 i 5 ) 有唯一解 注1 2 1 由口2 矽我们可以得到 鲁姗州们击户+ 手 佗、2v 7 - 即是以j 砂的”弱超音速”条件 1 3 解的存在性 在这一部分我们主要证明定理1 2 1 ，即证明( 1 1 1 ) 一( 1 1 5 ) 存在一个解( 佗，zy ) 通过第 二节的分析知，我们首先要证明( 1 2 5 ) 一( 1 2 7 ) 的解的存在性 5 第一章解的存在唯一性 为证明( 1 2 5 ) 一( 1 2 7 ) 解的存在性，我们首先考虑截断问题 ( u 一譬k + ( t + 茹= 字+ 吼也) 。7 2 而( e t k 乱霉z ) 王一李( e u ) 霉， z q ( 1 3 1 ) 赋予边界条件( 1 2 6 ) 其中k = k ( 7 ) o 是个常数( 见( 1 3 7 ) 的定义) 一 s ；蒜，k i u l k ； i u i k 下面的引理给出了截断问题( 1 3 1 ) ，( 1 2 6 ) 的个先验估计，是本章的一个关键结论 引理1 3 1 设uza o ，g ( z ) 岛 o ，并且以2 砂成立，缸瑶( q ) 是n 只砂的一个 解，则 p 2 。慨q ) + 口+ 御慨n ) ， ( 1 3 2 ) 这里凰 o 是一个常数陆看p ，砂的定义j 特别地，有 l i ui i p ( n ) k ( ，y ) ， ( 1 3 3 ) 其中 m ) = 序 ( 1 3 - 4 ) 证明：取妒= u 作为( 1 3 1 ) 弱形式的检验函数，利用分部积分和边界条件( 1 2 6 ) ，得 2z 1 ( 。+ 丢u ：z ) 如+ ( t + 等) z 1 “：如 = 一2 j - 0 z 1u z z e 一札k z d z + j ；z 1u ：e 一2 t k 如一号；z 1e u u z d z j 苫z 1 u ( e 让一c ) d z = i l + 1 2 + 1 3 + 1 4 下面对( 1 3 5 ) 右端进行逐项估计利用y o u n g 不等式，得 车一2 而z 1 霉e “k u z 如 o ，c ( z ) 岛 o ，以2 矽成立，则以2 砂一以2 砂存在一个解 ( u ，y ) 日4 ( q ) 日2 ( q ) 证明：设( u ，y ) 瑶( q ) l 2 ( q ) 是( 1 2 5 ) 一( 1 2 7 ) 的个解( 见定理1 3 1 ) 由于u 础( q ) ， 则有( 札z ) 2 础( q ) ，( ) 。z 日- 1 ( q ) ，( e 叫札船) 日- 1 ( n ) 注意到( 1 2 5 ) 汽霉= 一譬( u 轨州t + 等) 。一等 一培( e - 2 让仳。) + 2 而( e “u z 。) z + 粤( e 咄) 。 ( 1 3 1 2 ) 可得乱。z 茹茁日_ 1 ( q ) ，即存在u l 2 ( q ) ，使得叫z = z 或者( 乱z z 。一“，) z = o ，z n 所以 有t 。= u + c m s t l 2 ( q ) 可得( 缸；) 。工2 ( q ) 由( 1 3 1 2 ) 可知，乱王l 2 ( q ) ，从而得 t 日4 ( q ) 对于y ，根据u 的正则性，结合( 1 2 7 ) ，易知y 日2 ( q ) 下面我们证明定理1 2 1 中解的存在性结论 定理1 2 1 的证明：设( 牡，y ) 是( 1 2 5 ) 一( 1 2 7 ) 的解令n = e 让，由推论1 3 1 和引理1 3 1 9 + 2 而( 去c n n ，茹z ) 霉+ 李( 丢) z ， 由于 2 ( 警) ，( 知叫一z ) 2 所以由( 1 3 1 3 ) ，( 1 3 1 4 ) 可得p o i s s o n 方程( 1 1 3 ) 入2 k z = n c ( z ) 对方程( 1 2 7 ) 两端关于z 求导，所得方程两端乘以n ，得 为 ( 1 3 1 3 ) ( 1 3 1 4 ) 佗一而( 譬) + ( t + 等) 一瑶筹+ 李喵扩( 薯一警) ，3 ) 引入j ( z ) ：= i ，( z ) + 而，对该方程两端关于z 求导，即得( 1 1 1 ) 最后，由 骗( 訾) 善+ 2 而( 薯一等) + 李一船等= ( 罢) z 川。+ 喜 结合( 1 3 1 5 ) 可得方程( 1 1 2 ) 根据边界条件( 1 2 6 ) ，我们可得到( 1 1 4 ) ，并且由( 1 2 7 ) 得 即得边界条件( 1 1 5 ) 忡卜2 p 2 ( 訾) + 譬地 1 0 第一章解的存在唯一性 1 4 解的唯一性 在这一部分我们将证明，当电流密度而和粘滞系数y o 足够小时，( 1 2 5 ) 一( 1 2 7 ) 有唯 一解 定理1 4 1 设 o ，而 o 足够小，则问题仃2 印一门2 砂有唯一解 证明：设u ，钉瑶( q ) 是( 1 2 5 ) ，( 1 2 6 ) 的两个弱解根据u 。的边界条件可得 ，霉 ：( z ) = 2 正( s ) u 。茹( s ) 出2l iu 怯( n ) l i 嚣怯( n ) ， ，o 由y 0 u n g 不等式得 乱z 怯( n ) 扼噍n ) l i z 慨n ) 扣刈州n ) + 却u 刈以n ) ， 则有 o 忆唧) 5 判“圳b ( n ) + 扣慨n ) ， 其中口 o ，由引理1 3 1 得 i j p ( n ) 再取充分小，使得 从而有 去孵刘弘 ( 圳毗。+ 孵“ 圳州q ，譬+ 羔， z ，氅学， 训b 华 羔关 争偿 第一章解的存在唯一性 同理可得关于的估计因此有 眦圳咖) 华 ( 1 4 - 1 ) 下面证明唯性，将u ，v 分别代入( 1 2 5 ) 中，得到两个关于t ，t ，的方程，将两个方程相减 得 p 2 ( ( 札一t ，) 。+ 丢( 札：一谚) ) z z 一汀+ 手) ( u 一口) 船 = 2 如( e 一缸一e 、z ) 霉+ 李( e 一一e 一”) 筇 一露( e 一2 牡u 零一e 一2 ”u 正) z a 一2 ( e u e ”) ， ( 1 4 2 ) 用似一御作为( 1 4 2 ) 弱形式的试验函数，得 2 z 1 。一 ) ：。如+ 口+ 手) z 1 ( u 一 ) ：如+ 譬z 1 ( 遽一u ：) ( “一 ) 霉茹如 = 一2 而y ( 霉e 一一e 叫) ( t 一t ，) 髫如+ 瑶( e - 2 u 地一e - 2 ”) 一) z 如 一入一2z 1 ( e 一e ”) ( u t ，) 出一李z 1 ( e u e ”) ( u u ) 如 ： + j 1 2 十厶+ 厶，( 1 4 3 ) 利用平均值定理和k = k ( 7 ) ，得 厶= 一李z 1 ( e u e ”) ( “一 ) 。d z 李e kz 1 ( 札一u ) ( u u ) 。d z ， 再利用h 6 l d e r 不等式和p o i n c 戚不等式得 厶李o ( 牡刊川2 。( n ) 由于函数zh 矿是单调的，所以毛o ， j 1 2 = 露( e 一2 “乱z e 一2 。) ( u u ) 七出 = 船【e 一2 ( t l 一 ) ：+ ( e 一2 u e 一2 1 ) ( t 一t ，) z d z ，上，上 培e 2 耳( u 一口) ：如+ 瑶e 2 k ( u u ) ( t 一 ) 茹如 - ，0j o 培e 2 0 ( t 一t ，) z1 1 2 z ( n ) + 瑶e 2 k0 0 l 一) l i ( “一t ，) i l l ：( n ) i | ( 仳一移) 茁| i l 2 船e 2 耳m 1l i ( u v ) z1 1 2 ：( q ) ， 1 2 第一章解的存在唯一性 在上面的推导过程中我们用到了甲均值定理，h 6 l d e r 不等式和p o i n c a r 6 不等式，其中 以 o 是与i i i i p ( q ) 有关的常数由于 所以有 ( e 一一e 叫) $ 0 一 ) z 如 ，0 ，1 = e u ( u 一 ) ：+ ( e u e 一”) t ，：( t 一u ) 一( e 一一e 一”) ( u t ，) 嬲：】如， = 一2 而王，( 仳霉霉e u t k 霉e 一”) ( u 一口) z d z ，0 ，l = 一2 而z ，( e 一让( u 一 ) z 善+ ( e u e 一”) ) ( t 一口) z d 叠 j o ，1 = 一2 而【e 一札( t 一u ) 王卫( 乱一影) 茹+ e 一札( t 一t ，) ： ，0 + ( e 一“一e 一”) 记( u 一 b 一( e 一让一e 一”) ( 一秒) 霉王1 如， 类似于_ f 2 的估计，利用y o u n g 小岢式，平均但定埋和p o m c a r e 小寺甄，得 j 。s 和( u t ，) 圳乏。( + 船m 2l i ( u 一口) 王慨n ) ， 其中尬 o 是依赖于l i l l 俨( n ) 的常数从而由( 1 4 3 ) 得。 j = 2 小叫：如艄+ 等) 小刊：如 j = 2 ( u u ) ：如+ ( t + 三) ( t 一 ) ：如 ，0 ， ，0 + 萼z 1 ( t t + t ，) 童( u t ，) z 一v ) z 霉如 s 譬l l ( u 一咄刘乏。n ，+ 无( 竽+ 而尬e 2 k + 而m 2 e 2 k ) 1 3 第一章解的存在唯一性 利用( 1 4 1 ) 的估计，可得 ，z 1 2 m t ，) ：z 如+ ( t + 等) ( 缸一 ) ：如一譬+ 口) 川( 仳一t ，) 川( u 一口) 圳 如 = 譬z 1 ( u u ) ：z 如+ 去( t + 等) z 1 ( 乱一u ) ：d z + 丢z 1 【2 ( 仳一口) ：霉 咖卢+ 孔吨( 训+ 孵( u 瑚如 + 肿孵吨l l ( 一知删刊吨i 如 譬z 1 ( u t ，) ：茁如+ 壶( t + 等) z 1 ( u t ，) ：出+ 三z 1 ( i ( u t ，) 嚣i 一伊+ 弘叫枷2 如+ 沪+ 等小u 刊圳刊小 ( 卜三焘叫训) 如 萼z 1 ( u t ，) ：嚣如+ 去( 丁+ 筝) z 1 ( 缸一口) ：d z ， 结合( 1 4 4 ) ，得 当而足够小时，有 譬z 1 ( u v ) ：王d z + 三( t + 手) z 1 ( u 一口) ：d z 而( 竽+ 而尬e 2 k + 而尬e 。k ) l l ( u 一咄1 1 2 。( n ) ， 譬z 1 ( 札一勘) ：。如+ 丢( t + 手) z 1 ( 乱一锄埕如。 可知t 正一口= o ，z q ，即t 上= t ， 令n = e u ，类似地可以证明，在同样的条件下，( 1 1 1 ) 一( 1 1 5 ) 的解是唯一的 1 5 渐近极限的分析 由引理1 3 1 的结论，我们可以得到u 的日1 范数有界，并且不依赖于粘滞系数，这就允 许我们讨论_ o 的情况 首先看下面的引理 1 4 3 = 3 q t u 一等+ 讹e 也) 。一李( e u ) 。， y ( z ) = 孔( z ) + 丢培e 一2 u c 。，+ ；z z e t 。，d s ，z q ， u ( o ) = t 正( 1 ) = o ( 1 5 5 ) ( 1 5 6 ) ( 1 5 7 ) ( 1 5 8 ) 证明：由引理1 3 1 ，结合p o i n c a r 6 不等式，我们可以得到u ，在日1 ( q ) 中是一致有界的则 存在一个子列( 仍记为) u 。) ，使得( 1 5 1 ) 成立由于日1 ( q ) qc o ( 晓) 是紧嵌入，则有( 1 5 2 ) 成立 对任意的砂卵( q ) ，由( 1 2 5 ) 的弱形式得 一2 z 1 t t p 以善如一譬z 1u ：，z 如如= 口+ 善) z 1 u 岫也如 + 2 而p z 1 u ：，一t v 忆出一2 而pz 1u 叩e t v 化如 一露z 1u u 正e 一2 u 。仉如+ 孚z 1e t v 也如+ 嘉z 1 ( e t v g ) 妒如， ( 1 5 9 ) 根据( 1 5 2 ) 知，对任意的p r ，当一。时 沙。一e 阢， 在l 2 ( q ) 中，( 1 5 1 0 ) u 多。d s ，( 1 5 1 1 ) 兰青笛【1 3 2 j 刘征爿4 甲是一教伺昴明，从叨【1 5 4 ) 厩豆 对方程( 1 5 1 1 ) 两端乘c 铲( q ) ，并在q 上积分，利用分部积分和( 1 2 6 ) ，得 z 1k 纰= 卜如一譬序舭坩+ 材u 触 + 2 j 0 z 1e u ”u p 西d z + 2 无z 1 砂z 。e u ”u ；，。d s 如 + 萼产2 m 批+ 李z 1 咖伽龇 5 m ， u p 在l 。和日1 中是一致有界的，结合( 1 5 1 ) ，则对( 1 5 1 2 ) 两端取极限_ o ，得 z 1 懒= z 1 ( 凡+ 争缸+ 李眦川卵( q ) 山= 王，e u ”t y z + 如， ( 1 5 1 3 ) 由引理1 3 1 可知，u 啪在日1 中一致有界，则存在 l ) 的一个子列，仍用 五) 代替，使得 山) 在日1 中弱收敛，即( 1 5 3 ) 成立用卵( q ) 乘方程( 1 5 1 3 ) ，并在q 上积分得 卜p 岫如仙t 沁 1 6 第一章解的存在唯一性 对上面积分式两端取_ o ，则可得( 1 5 5 ) 注1 5 1 对足够小的电流密度无 o ，问题口5 砂n 5 矽有唯一解倔以刃，肛刎这就 意味着解序列m ，k ，l j 在以5 砂一以5 彳，j 的意义下，整体收敛到m ，v 而，j 下面给出本节的主要定理 定理1 5 1 设引理j 童j 的条件成立m ，乃，是n 砂一以j 纠的一个解，则存在一 个子列彻记为jm p ，k ，l j ，使得当z _ o 时，有 m n 在日1 ( q ) 中，( 1 5 1 4 ) n y n 在c o ( 瓦) 中，( 1 5 1 5 ) 以一， 在日1 ( q ) 中，( 1 5 1 6 ) k y 在日3 ( q ) 中，( 1 5 1 7 ) 其中m ，zy ，是下面流体力学模型的一个古典解 ( 罢+ t n ) 茹一佗= 一手，= 而，a z k z = n e z q ，( 1 - 5 1 8 ) n ( o ) = 佗( 1 ) = o ，y ( o ) = ( 1 5 1 9 ) 证明：由引理1 5 1 知，当| ，一。时，( 1 2 5 ) 一( 1 2 7 ) 的一个解序列( “。，k ，五) ，收敛到 ( “，zy ) ，其中( u ，工y ) 是( 1 5 5 ) 一( 1 5 8 ) 的一个解设他。= e x p ( 乱p ) ，n = e x p ( 乱) ，则由( 1 5 1 ) 一 ( 1 5 4 ) 可得( 1 5 1 4 ) 一( 1 5 1 7 ) 的收敛结果 下面证明( n ，zy ) 是( 1 5 1 8 ) 一( 1 5 1 9 ) 的解我们将方程( 1 5 6 ) 写成变量n 的形式 t ( 1 n n ) = 字+ 培( ) 。一李( 去) $ ， ( 1 5 2 。) 注意到n ( z ) e x p ( 一l iui i p ) e x p ( 一k ( 7 ) ) ，z q ，佗( z ) 是严格正的对方程( 1 5 7 ) 两端关 于z 求两次导数，得 k z = t ( 1 1 1 仃) 善霉+ 譬( 嘉k + 李( 去k ( 1 5 2 1 ) k z = t ( 1 1 1 仃) 船：+ 詈( 去) 王z + 半( 寺) ， ( 1 5 2 1 ) 则由( 1 5 2 0 ) ，( 1 5 2 1 ) 可得p o i s s 叽方程( 1 1 3 ) 再对方程( 1 5 7 ) 两端关于z 求导，得 k = ( 嘉t ( 1 n 毗+ 袅， ( 1 5 2 2 ) k = ( 嘉) 髫+ t ( 1 n n ) 霉+ 寰， ( 1 5 2 2 ) 1 7 第一章解的存在唯一性 对上面等式两端同时乘n ，得 n ( 黑) z + 耽一亿k ：， n ( 嘉) z + 耽一亿k = 一睾， 由于n ( 嘉) z = ( 譬) z ，结合( 1 5 2 3 ) 可得( 1 5 1 8 ) 的第个方程 最后，由( 1 5 7 ) 可得 r 2 y ( o ) = 萼= 即得( 1 5 1 9 ) 的边界条件 ( 1 5 2 3 ) 1 8 所研究 ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) 对于量子流体力学模型，文献 2 0 ，1 0 ，2 3 ，2 4 ，2 5 ，2 6 ，2 2 】中，作者用截断方法，证明了单极模型稳态 解的存在唯性，在文献【2 1 】中，作者把上述结论推广到了双极模型在高维空间的情形【1 5 】 中作者用能量方法，证明了瞬态量子流体力学模型的局部解和整体解收敛到稳态方程的解 对于该模型中物理量e ，下，a 的渐近性，许多文献中都有相应的讨论，而对解关于时间的渐近性 的讨论相对还很少，在文献【4 】中，作者通过引入热焓函数，在c ( z ) 兰1 ，等温条件和特殊的边 界条件下，证明了一维空间中单极粘滞的量子流体力学模型的解关于时间的指数收敛性【2 8 】 的作者讨论了双极模型在一维和高维空间中的情形 本文中我们将考虑在另外一种边界条件下，用类似于【4 ，2 8 】的方法讨论一维空间中瞬态 解关于时间的指数衰减一维空间中的模型为 赋予初边值条件 n + 五= p r k 。， 五一譬佗( 訾) z + c 罢删z 砒川。一享， a 2 k z = n 一1 ，z q ， t o ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) n ( z ，o ) = n ，j ( z ，o ) = 西， z q ( 2 1 7 ) 1 9 ( 2 1 8 ) 其中q = ( o ，1 ) 引入( 2 1 4 ) 一( 2 1 8 ) 的热焓函数 刖= z 融萼( 伺：州啦) + 割如 0 ( 2 ) 当c ( z ) 兰1 时，易知( 1 ，o ，o ) 是( 2 1 4 ) 一( 2 1 8 ) 的个稳态常数解在第二节中我们将证明，当 t _ 。时，在某个索伯列夫空间中，有n _ 1 ，- ，一o ，y o 2 2 主要结论及其证明 在这部分我们主要证明( 2 1 4 卜( 2 1 8 ) 的解关于时间t 的指数衰减性态记 历= 日1 ( o ，r ；三2 ( q ) ) n 2 ( o ，r ；日3 ( q ) ) ，岛= 日1 ( o ，r ；l 2 ( q ) ) n 三2 ( o ，r ；日2 ( q ) ) ， 玩= l 2 ( o ，t ；日2 ( q ) ) ，g ( t = 1 ，2 ，3 ) 是常数 定理2 2 1 设( n ，zy ) b 1 岛岛是仁j 名，) 一俾j 矽的一个解，其中n o ，设 佗j 月1 ( q ) ，佗， o ，以l 2 ( q ) ，贝l j 有 这里e ( o ) + o o 帆n ，譬( 三侧唧川+ 勤， 州n ，岛( 三厕+ ) 雁x p 一事) ， 州n ) 安归砾x p 勘毋 ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) 证明：用普乘以( 2 1 5 ) 式两端，并在q 上积分，利用边界条件( 2 1 8 ) ，通过分部积分得 上五丢如= 一上( 鲁) 丢出一t 上j 鲁如+ 上j k 如 一譬上五訾如一上五( 丢) 。磐一吾上等如 = a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 + a 6 ， ( 2 2 4 ) 第二章瞬态解关于时间的渐近性 方程( 2 1 4 ) 两端乘以t l n n 一番一y 一譬拦擎，在n 上积分，结合边界条件( 2 1 8 ) ，利 用分部积分得 小( t 一嘉一y 一学譬) 如 = 卜( 弛佗一嘉一y 一譬譬) 如 一二以( t h 一嘉一y 一鲁訾) 出 = 川丘鲁如+ 上c 参础一上如一譬肛訾如 + t 加叫$ 如+ 上等如一上，k 如+ 萼上厶譬如 首先考虑积分等式( 2 2 4 ) 和( 2 2 5 ) 的左端由于在边界a q 上有= o ，则 上c 等一台肛侥上缸 上m l n 眺= a 上( n ( 1 n n 1 ) + ，) 如， 一上y 础一2 上m 纠上砜如= 萼岛上曙如， 设、佤= t ，则n = “2 ，m = 2 u u t ，由于在边界a q 上有m = o ，得 一上譬础 再考虑( 2 2 4 ) 和( 2 2 5 ) 的右端 注意到 ( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) 一上：警2 u u t 如= 一2 上u 。乱t 如 2 上乱武如= 反上u ：如 魂( 侗：如( 2 2 9 ) ，q a 2 + d 5 = o ，a 3 + d 7 = 0 ，a 4 + d 8 = 0 ， ( 2 2 1 0 ) 耻上( 争一警) 如= 一三上( 暴) 。如一o ， 协2 m ， 结合p o i s s o n 方程，利用p o i i l c 疵不等式得 现 类似于( 2 2 9 ) 的推导，有 一王， 一l ， y 亿如= 一二一) 霉y 如 一) k 。如= 一轰上( 他一 一2 a 2 上曙如，n 山 d 。：一tf 譬如：一4 tf ( 同：出， ，n n ，n 一 结合前面的估计，由( 2 2 4 ) 和( 2 2 5 ) 得 侥上关如+ 侥上t 1 ) + 1 ) 如+ 譬侥上( 僦如+ 菩反上曙如 一上( 矢一参) 2 如一季上 彳上( c 侧霉+ 去筹) 扣 结合p o i n c 缸6 不等式 令u = ( 同霉，得 u 忆：( q ) 去忆圳叫q ) ，讹硪( q ) ( 2 2 1 2 ) ( 2 2 1 3 ) ( 2 2 1 4 ) ( 2 2 1 5 ) 厂厶厂厶 如 嘭 厂厶如 2 一口 钟 何 一 r n护叱 户i 妇 一 譬上( 同：出e ( 。) 一( 2 e 2 + 4 z ，t ) z 。上( 侗：如d s ， 利用p o i n c a 砖不等式和g r o 矾诎l 引理得 ”1 瞻。( n ) 害e ( o ) e x p ( 1 + 警) t ) ， 又由于日1 ( q ) qc n ( q ) ，( o q ；) ， 则可得 嗍g ( 掣+ 1 ) ， 从而有 怖扎，s 譬( 三侧e 朴2 卅釉， 即( 2 2 1 1 式成立， 2 3 第二章瞬态解关于时间的渐近性 忆。( 哟= ( 上i 熹1 2 i 他i 如) 1 2 i i 发“上i 去1 2 ) 1 2 q ( 厕+ ，) 厕x p 一事) ， 由( 2 2 1 7 ) 得 萼上