2019_2020学年高中数学第一章计数原理1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质练习（含解析）新人教A版.docx

1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质A基础达标1.若(nN*)的展开式中只有第6项系数最大，则该展开式中的常数项为()A210B252C462 D10解析：选A由于展开式中只有第6项的系数最大，且其系数等于其二项式系数，所以展开式项数为11，从而n10，于是得其常数项为C210.2.(1x)n(3x)的展开式中各项系数的和为1 024，则n的值为()A8 B9C10 D11解析：选B由题意知(11)n(31)1 024，即2n11 024，所以n9.故选B3.(2019烟台高二检测)已知(1x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为()A212 B211C210 D29解析：选D因为(1x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以CC，解得n10，所以二项式(1x)10的展开式中奇数项的二项式系数和为21029.4.已知(3x)na0a1xa2x2anxn，若其第2项的二项式系数与第4项的二项式系数相等，则a0a1a2(1)nan()A32 B64C128 D256解析：选D由题意可得CC，所以n4.令x1，则(3x)n(31)4a0a1a2a3a4256.所以a0a1a2(1)nan256.5.设(1xx2)na0a1xa2x2a2nx2n，则a0a2a4a2n等于()A2n BC2n1 D解析：选D令x1得3na0a1a2a2n1a2n.令x1得1a0a1a2a2n1a2n.得3n12(a0a2a2n)，所以a0a2a2n.故选D6.已知(ax)5a0a1xa2x2a5x5，若a280，则a0a1a2a5_.解析：展开式的通项为Tr1(1)rCa5rxr，令r2，则a2(1)2Ca380，即a2，故(2x)5a0a1xa2x2a5x5，令x1，得a0a1a51.答案：17.若(1)5ab(a，b为有理数)，则ab_.解析：因为(1)5C()0C()1C()2C()3C()4C()51520202044129，由已知可得4129ab，所以ab412970.答案：708.(x21)(x2)9a0a1(x1)a2(x1)2a3(x1)3a11(x1)11，则a1a2a3a11的值为_.解析：令x1，得a02.令x2，得a0a1a2a110.所以a1a2a3a112.答案：29.设(2x)100a0a1xa2x2a100x100，求下列各式的值：(1)a0；(2)a1a2a3a4a100；(3)a1a3a5a99；(4)(a0a2a100)2(a1a3a99)2；(5)|a0|a1|a100|.解：(1)令x0，可得a02100.(2)令x1，可得a0a1a2a100(2)100，(*)所以a1a2a100(2)1002100.(3)令x1.可得a0a1a2a3a100(2)100.与(*)式联立相减得a1a3a99.(4)原式(a0a2a100)(a1a3a99)(a0a2a100)(a1a3a99)(a0a1a2a100)(a0a1a2a3a98a99a100)(2)(2)10011001.(5)因为Tr1(1)rC2100r()rxr.所以a2k10(kN*).所以|a0|a1|a2|a100|a0a1a2a3a100(2)100.10.已知的展开式的各项系数之和等于的展开式中的常数项，求：(1)展开式的二项式系数和；(2)展开式中含a1项的二项式系数.解：依题意，令a1，得展开式中各项系数和为(31)n2n，展开式中的通项为Tr1C(4)5r(1)rC45r5b.若Tr1为常数项，则0，即r2，故常数项为T3(1)2C435127，于是有2n27，得n7.(1)展开式的二项式系数和为2n27128.(2)的通项为Tr1C()rC(1)r37ra，令1，得r3，所以所求a1项的二项式系数为C35.B能力提升11.若(12x)2 017a0a1xa2 017x2 017(xR)，则的值为()A2 B0C2 D1解析：选D(12x)2 017a0a1xa2 017x2 017，令x，则(12)2 017a00，其中a01，所以1.12.(ax)(1x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a_.解析：设(ax)(1x)4a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5.令x1，得(a1)24a0a1a2a3a4a5.令x1，得0a0a1a2a3a4a5.，得16(a1)2(a1a3a5)232，所以 a3.答案：313.已知(x3x2)n的展开式中，各项系数的和比它的二项式系数的和大992.(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项.解：(1)令x1，则展开式中各项系数的和为(13)n22n，又展开式中二项式系数的和为2n，所以22n2n992，解得n5，所以展开式共6项，二项式系数最大的项为第三、四两项，所以T3C(x)3(3x2)290x6，T4C(x)2(3x2)3270x.(2)设展开式中第r1项系数最大，则Tr1C(x)5r(3x2)r3rCx，所以r，又rN，所以r4.即展开式中第5项系数最大，T5C(x)(3x2)4405x.14.(选做题)在杨辉三角中，除每行的两端数值外，每一数值都是它左上角和右上角两个数值之和，杨辉三角开头几行如图所示.(1)利用杨辉三角展开(1x)6；(2)在杨辉三角中哪一行会出现相邻的三个数，它们的比是345？解：(1)根据杨辉三角的规律“每行两端都是1，其余每个数都等于它肩上的两个数的和”，可写出第6行的二项式系数为1，6，15，20，15，6，1，所以(ab)6a66a5b1