（工程力学专业论文）结构拓扑修改动力学重分析方法的研究.pdf

摘要 结构拓扑优化能够大大的改进设计，比固定拓扑的优化更能节约材料，因此， 近年来关于结构拓扑优化的研究已成为一个热点。结构优化是一个反复修改一再 分析一修改的过程，每次修改以后，如果都进行完整的再分析，那么重分析的计 算量往往成为了结构优化主要的工作量，尤其对于大型复杂结构，完整重分析的 巨大计算量将会极大的减缓结构优化设计的进程。因此，为了提高整个结构优化 设计的效率，加快优化设计的进程，十分有必要研究快速而简便的拓扑优化重分 析方法，这也是本文的主要研究内容。 本文首先在对常规的特征值数值求解方法和重分析方法研究的基础上，针对 实模态的自由度增加的结构拓扑修改重分析，提出了一种新方法，该方法由于结 合了单步摄动法和瑞利商逆迭代法两者的优点，应当是一种比较理想的重分析方 法，算例的数值结果也有力的验证了该方法确实是一种高精度、十分有效的实模 态重分析方法。 本文接着研究了结构拓扑优化的复模态重分析方法。针对复模态重分析有别 于实模态重分析的特点，将复特征子空间缩聚技术和瑞利商逆迭代法结合起来， 形成了一种复模态重分析的新方法，将该方法用于自由度增加的结构拓扑优化复 模态重分析，收到了良好的效果，因此该方法也不失为一种具有较高精度的复模 态重分析方法。 关键词拓扑优化单步摄动法瑞利商逆迭代法复特征子空间缩聚 本文研究受国家自然科学基金( 1 0 4 7 2 0 9 3 ) 资助 a b s t r a c t t o p o l o g i c a lo p t i m i z a t i o no fs 仃u c n 鹏c a l lg r e a t l yi m p r o v e ss t r u c t u r a ld e s i g n f u r t h e r m o r e ，i tc a ns a v em u c hm a t e r i a lt h a nt h a tf o rc e r t a i no p t i m i z a t i o no fs t r u c t u r e t h e r e f o r e ，r e c e n ts t u d ya b o u tt o p o l o g i c a lo p t i m i z a t i o ni sah o t s p o ti nt h ef i e l do f o p t i m i z a t i o no fs t r u c t u r e s f o rs t r u c t u r a lo p t i m i z a t i o n ，t h ep r o c e d u r e sa r eg e n e r a l l y i t e r a t i v ea n dr e q u i r er e p e a t e da n a l y s i sa st h es t r u c t u r e sa r ep r o g r e s s i v e l ym o d i f i e d i f t h ew h o l er e a n a l y s i si sc a r r i e do u ta f t e re v e r ym o d i f i c a t i o n ，t h ep r o c e s so fs t r u c t u r e o p t i m i z a t i o nw i l lb eg r e a t l ys l o w e da sar e s u l to f h u g ec o m p u t a t i o n a lc o s to f r e a n a l y s i s e s p e c i a l l yf o rl a r g ea n dc o m p l e xs n u c n l r 弓s ，t h e r e f o r e i ti sn e c e s s a r yt op u tf o r w a r d f a s ta n de a s yr e a n a l y s i sm e t h o d so fs t r l l c t l 鹏o p t i m i z a t i o ns oa st oe n h a n c et h e e f f i c i e n c yo fs t r u c t u r eo p t i m i z a t i o na n ds p e e du pt h eo p t i m i z a t i o np r o c e s s ，w h i c hi s a l s oo n et h em a i nc o n t e n to f t h i sd i s s e r t a t i o n i nt h i st h e s i s ，t h em e t h o d sf o rs o l v i n ge i g e n v a l u ep r o b l e m sa n dc o n v e n t i o n a l r e a n a l y s i sm e t h o d sa r es t u d i e df i r s t l y t h e n ，an e wr e a n a l y s i sm e t h o df o rr e a lm o d a l r e a n a l y s i so fs t r u c t u r e ss u b j e c t e dt ot o p o l o g i 【c a lm o d i f i c a t i o nw i t ha d d e dd e g r e e so f f r e e d o mi sp r e s e m e d 1 1 1 i sm e t h o di sc o m p o s e do ft h es i n g l es t e pp e r t u r b a t i o nm e t h o d a n dt h er a y l e i g h - q u o t i e n ti t e r a t i o n n l en u m e r i c a le x a m p l e ss h o wt h a tt h i sr e a n a l y s i s m e t h o di sv e r ye f f e c t i v ea n dh i g h - q u a l i t y i nt h ef o l l o w i n g ，c o m p l e xm o d a lr e a n a l y s i sm e t h o d sf o rt o p o l o g i c a lo p t i m i z a t i o n o fs t r u c t u r e sa r es t u d i e d a i m i n ga td i f f e r e n c eb e t w e e nr e a lm o d a lr e a n a l y s i sa n d c o m p l e xm o d a lr e a n a l y s i s ，an e wc o m p l e xm o d a lr e a n a l y s i sm e t h o dw h i c hi s c o m p o s e do ft h ec o m p l e xe i g e n v a l u es u b s p a c ec o n d e n s a t i o nt e c h n i q u ea n dt h e r a y l e i g h - q u o t i e n ti t e r a t i o nf o rt o p o l o g i c a lo p t i m i z a t i o no f 蛐m c t u r e si sp r o p o s e d t h e n u m e r i c a le x a m p l e sa l s os h o wt h a tt h i s c o m p l e xm o d a lr c a n a l y s i sm e t h o di sa l s o e f f e c t i v e f o r t o p o l o g i c a lo p t i m i z a t i o n w i t h a d d e d d e g r e e so f f r e e d o m o f s t r u c t u r e s k e yw o r d s ：t o p o l o g i c a lo p t i m i z a t i o n ，t h es i n g l e s t e pp e r t u r b a t i o nm e t h o d ，t h e r a y l e i g h q u o t i e n ti t e r a t i o n ，t h ec o m p l e xe i g e n v a l u es u b s p a c ec o n d e n s a t i o nt e c h n i q u e t h i sw o r ki ss u p p o r t e db yt h en a t i o n a ln a t u r a ls c i e n c ef o u n d a t i o no fc h i n a ( 1 0 4 7 2 0 9 3 ) i i 第一章绪论 1 1 工程背景及选题意义 科技的发展使人们对工程结构的要求越来越高。在机械、土木、航空、航天、 海洋和船舶等诸多工程中，有大批复杂结构需要进行优化设计分析和计算。可以 说，结构修改的作用不断突出，应用范围日益广泛，如在结构优化设计、弱耦合 系统的分析、故障诊断以及振动控制等方面【2 】，只要结构拓扑、形状或尺寸发生变 化，其动特性重分析就不可避免。但是，在大型复杂结构设计过程中，为了获得 满意的性能，往往需要对结构进行逐步多次的修改设计，即需要反复进行修改设 计一再分析一修改设计的过程。在这种设计一修改一分析的反复过程中，有一个 问题就是修改后的快速分析计算问题，即重分析问题。由于设计修改是个反复过 程，有时需反复修改几十次，甚至上百次3 能得到满意的性能，所以计算成本问 题就显得很重要。通常，大量反复的完全再分析所需要的巨大计算量( 尤其对于 复杂高维结构更是如此) 大大降低了结构优化设计的效率，有时甚至使结构优化 设计无法进行。换句话说，结构优化设计重分析的数值计算往往是优化设计主要 的工作量口】，即便是随着计算机运算能力的大幅度提高，重分析依然是决定优化设 计过程效率的关键因素。因此，为了减少计算成本，迫使人们去研究快速重分析 方法，这个问题构成了结构修改问题的核心 4 1 。 结构修改问题一般包括尺寸、形状和拓扑构形以及布局的修改。尺寸修改是 指在结构拓扑一定，构件形状一定的前提f ，对有关参数( 如横截面积、刚度、 质量等) 进行修改；形状修改是指在结构拓扑一定的前提下，对构件形状进行修 改；拓扑修改是指对结构拓扑构形进行修改；却局修改是指同时对结构参数、几 何形状和拓扑构形进行修改【5 1 。目前构件截面( 尺寸) 修改重分析方法的理论研究 较成熟，应用已很广泛，形状修改重分析方法的研究也有很大进展，在某些领域 得到了一定的应用，拓扑修改能够大大的改进设计，比固定拓扑的修改更能节约 材料，因而相比其它形式的结构修改，更具有吸引力，但是拓扑形式本身难以定 量描述成参数化，导致其数学描述上的困难，因此拓扑修改的研究难度很大，是 结构优化中极富挑战性的研究领域，这也导致属于拓扑修改研究内容的一个重要 环节一重分析方法的研究难度也很大，其中又以自由度增加的结构拓扑修改重分 析方法的研究最为困难，因而最受人们关注。目前，有关结构拓扑修改方面的研 究已成为结构优化的热点，理论上已取得了一些初步的成果，这其中就有许多的 学者提出了不少能够解决自由度增加和自由度减少的结构拓扑修改重分析问题的 方法，但这些方法普遍具有一定的局限性或者缺乏通用性，还难于推广到工程实 际应用中。结构布局修改的收益最大，但难度也最大，是结构优化设计领域最富 有挑战性的课题【6 】，其研究还处于起步阶段，目前，其重分析主要借助于其它三种 形式结构修改的重分析方法来进行1 7 引。 结构设计中通常每步只是对结构中的少部分单元进行修改，在这种情况下对 单元数目庞大的结构再进行一次完整的分析显然是不划算的。由于结构各种类型 的变化，其中包括结构的尺寸变化、形状变化和拓扑变化，或者由于结构物个别 构件破坏或损坏、构件的局部屈服等引起的结构局部刚度改变的问题以及研究许 多有代表性的杆件分别撤除或破坏对整个杆系结构的影响等f 9 ，人们就不得不重 复地完整分析修改后的结构。对大型结构的分析经常是借助有限元方法或边界元 方法来完成的，然而对每次修改不论修改量的大小都求解新的有限元方程或特征 值问题，其计算量颇大，耗费时间相当可观j ，极不经济、合理。这样以不直接 求解修改后的结构的隐式方程或特征值问题，而以原始结构的计算结果为基础， 高效、高精度的重分析方法，日益受到人们的重视并得到飞速发展。研究重分析 方法的目的是在求解过程中，减少精确分析以及灵敏度分析的次数。目标是不直 接求解结构每次修改后的隐式方程或者特征值问题而评估其响应以及模态信息， 以便减少计算费用【4j 。 1 2 本领域的研究现状 结构修改重分析方法的研究在近三十多年有了很大的发展，国内外学者在这 方面作了大量卓有成效的研究工作，但还有许多问题需要解决。其中有相当一部 分研究工作都是为了解决静力重分析问题，已经发展了许多行之有效的方法。研 究静力重分析方法是为了避免每次静力重分析时整个刚度矩阵的常规求逆或者反 复求解线性方程组，而寻求一种快速简便的结构修改后新结构响应的计算方法。 针对一些特殊的静力重分析问题，人们提出了一些相应的快速简便算法。在杆系 结构方面，m a j i d 、e l l o i t 、b a k r i 和林潮熙等提出并改进了杆系结构的更改定理：周 岱等给出了一根杆件拆除对空间网架结构影响的实用计算方法，刘振奎、余文燕 等给出了一种结构杆件撤除后的简化分析方法一迭代法l l2 ”j ；在弹塑性、接触分 析方面，采用子结构法等。但各种方法都有一定的局限：现有的结构变更定理缺 乏通用性，且非精确计算：子结构法一般需要预先知道刚度变更的区域，并要求 相关自由度集中编号，这都限制了这些特殊方法在一般场合的应用1 1 。 可以说，静力重分析方法的研究已经较为成熟，即便是难度最大的自由度增 加的结构拓扑修改的静力重分析问题，也在一定程度上得到了较好的解决。重分 析的概念，最早是在结构优化设计中提出来的。关于静力重分析的定义，a r o r a 曾 作了一个简明的阐述：“利用原来结构的响应来找到修改后结构的响应，使得重 分析计算的时间比整个分析要短” 15 1 。一般说来，结构修改静力重分析方法可以 归结为两大类：精确重分析方法( 也称直接方法) 和近似重分析方法( 也称迭代 方法) 。精确重分析方法比较适用于小的参数修改，而近似重分析方法通常适用 于设计变量丛多的中等程度的结构参数修改，且其计算代价比精确重分析方法小 怕j 。故综合精度和效率考虑，近似重分析方法往往比精确重分析方法有效，因此 近似重分析方法成为静力重分析方法研究的重点。但是，近似方法的精确度及收 敛特性是一对矛盾，二者通常很难同时满足，需要根据实际情况在精度与收敛速 度之问采取一个折衷。 精确静力重分析方法主要是基于s h e r m a n ，m o r r i s o n w o o d b u r y 关于矩阵逆的恒 等式【17 1 ，它们适用于刚度矩阵中改变的仅是一个小的子矩阵的情形。这种方法包 括初始应变应力法、平行单元法、修正分解矩阵法等等l i 。s h e r m a n 、m o r r i s o n 、 w o o d b u r y ( 1 9 5 0 ) 提出了矩阵逆的恒等式。此后，基于他们的公式，m e l o s h 和 l u i k ( 1 9 6 8 ) 提出了一种简单的精确静力重分析方法。k a v l i n ( 1 9 7 1 ) 等建立了一种 基于刚度的精确静力重分析方法。a r g y r i s 平d r o y ( 1 9 7 2 ) 提出了一种更一般的精确 静力重分析方法，可以用于位移自由度和支撑条件改变的情形。k i r s c h 和 r u b i n s t e i n ( 1 9 7 2 ) 探讨了迭代过程的收敛速度。近来，k i r s c h 将约减基方法和序列 展开方法结合起来( 也称组合逼近法c a ) ，可以精确计算修改后桁架结构的响应【1 9 】。 黄传奇( 1 9 9 6 ) 通过引入结构刚体位移特征向量，可以导出结构广义柔度矩阵，原 阶数较高的刚度方程被转化成一阶数较小的线性系统，从而提出了一种精确的静 力重分析方法，该方法能处理结构边界条件、外载及局部结构单元同时或分别修 改时的静力重分析问题等等，该方法在复合材料层合板的逐次失效分析中得到了 较好的验证u 。 近似静力重分析方法是利用原结构的信息产生出相对于修改结构的近似解， 它主要基于刚度矩阵对角化、摄动、多项式拟合、迭代、g a u s s s e i d e l 算法、泰勒 展开式截断和p a d e 逼近等理论，近似重分析方法可分为下面几类( h a 触a 和 g u r d a l ，1 9 9 3 ；k i r s c h2 0 0 2 ) 2 1 i ：1 ) 全局逼近( 也称多点逼近g a ) ，如多项式拟合或 约减基方法；2 ) 局部逼近( 也称单点逼近s a ) ，如关于一个给定设计点的t a y l o r 展开或二项式展开( 又称黎曼展丌) ；3 ) 组合逼近( c a ) ，它将约减基与一个序列 展开的前几项结合起来，每一个重分析涉及解一个低阶方程组。多点逼近对于整 个设计空间( 至少是其大部分区域) 是有效的，然而，在具有多个设计变量的问 题中，多点逼近需要较高的计算费用。局部逼近是基于单个点的计算信息，相比 于多点逼近更为有效，但是它仅适用于结构参数的小变化，也就是说，它仅在设 计空问的单个点附近才有效，对较大的参数变化，逼近精度常常变坏以致变得毫 无意义口2 ，2 3 , 2 4 1 。为了改善局部逼近对于设计变量大变化情形的结果，一些学者提 出了二阶逼近和凸逼近等方法。组合逼近试图以局部逼近来达到多点逼近的效果， 精度较高，其计算量介于多点逼近和单点逼近两者之间，它兼顾了精度和效率的 要求，因此，从工程实际应用前景和经济性来看，组合逼近是较为合理的近似静 力重分析方法。 以上的静力重分析方法研究要解决的是线形结构的重分析闽题，对于非线形 结构的静力重分析问题，主要有经典n e w t o n r a p h s o n 方法、准n e w t o n 方法、约 减法和组合逼近法等等1 2 ”。 与此同时，在近三四十年甚至更长的段时间里，动力学重分析方法的研究 也取得了重大进展，国内外丛多的研究者先后提出和发展了许多不同的结构动力 学修改重分析方法。简单来说，动力重分析方法也可划分为精确动力学重分析方 法和近似动力学重分析方法，而更通常的做法就是大部分研究者将动力学重分析 方法归结为三类，即基于小修改的方法、基于局部修改的方法和基于模态缩减的 方法。基于小修改的结构动力学重分析方法又包括三种不同的方法，既r a y l e i g h 商 方法、灵敏度方法和摄动方法。r a y l e i g h 商方法是最简单的特征值快速重分析方法， 它是基于结构小量修改后固有振型不发生明显改变的假设，采用原结构的特征向 量，通过r a y l e i g h 估计新结构的特征值。w a n g 干1 2 p i l k e y ( 1 9 8 6 ) 进一步对r a y l e i g h 商 方法作了一些深入的探讨。灵敏度方法是基于新结构的特征值和特征向量的t a y l o r 级数展开式，利用特征参数( 模态) 的灵敏度分析结果以及原结构的特征值和特征 向量，估计新结构的模态参数。摄动方法( 也叫小参数法) 与灵敏度方法在一定意 义上等价的，即也以计算由结构修改引起的特征值和特征向量改变量来代替对新 特征值问题的常规重分析阱”。 摄动方法是结构动力学修改重分析的重要理论工具和计算方法，对它的研究 已经相当深入。r a y l e i g h 是研究结构动力学修改重分析问题的先驱者，在其名著中， 就应用摄动分析方法对无阻尼和有阻尼结构振动特征值和特征向量重分析问题均 做了研究，这是特征值问题摄动理论的奠基性工作。s h r 6 d i n g e r l 9 2 6 年在研究量子 力学中的一种h e m i t e 矩阵特征值问题的近似求解方法时，较系统的发展了这种摄 动理论，他首次提出了重特征值情形的摄动分析技术，因此，特征值问题的摄动 重分析方法也被称为r a y l e i g h s h r 6 d i n g e r 方法。j o n e ( 1 9 6 0 ) 、w i l k i n s o n ( 1 9 6 5 ) 、 - 4 一 w i l c o x ( 1 9 6 6 ) 、h i r s c h f e l d e r ( 1 9 6 9 ) 等人进一步探讨和推广了r a r l e i g h s h r 6 d i n g e r 方 法。此外，对于结构系统只存在孤立特征值的最简单情况，r o g e r s ( 1 9 7 0 ) ，p l a n t ( 1 9 7 3 ) ， r u d i s i l l ( 1 9 7 4 ) ，n e l s o n ( 1 9 7 6 ) $ 1 1 c h e n ( 1 9 7 7 ) 等人也相继发表了关于矩阵摄动法的 论文，张德文( 1 9 8 3 ) 对c h e n ( 1 9 7 7 ) 的矩阵摄动法进行了补充等等【2 ”。 由于在大型复杂结构( 尤其对称结构) 、空| 白j 结构振动分析和频率优化结构 动态优化设计中往往出现重特征值问题【2 ，因此，结构( 动) 力学界许多学者和 研究人员也对重特征值及其特征向量的摄动分析方法进行过研究。h a u n g r o u s s e l e t ( 1 9 8 0 ) 、胡海昌( 1 9 8 1 ) 和陈塑寰( 1 9 8 1 ) 彼此独立提出了这种复杂情况的矩阵摄 动法的基本思想。后来，o j a l v o ( 1 9 8 8 ) ，m i l l s c u b a n ( 1 9 8 8 ) ，d a i l e y ( 1 9 8 9 ) ， m i l l s c u b a n ( 1 9 9 0 ) ，张德文( 1 9 9 2 ) ，t i n g y uc h e n ( 1 9 9 3 ) 等对重特征值情况的摄 动方法、特征解的导数计算和灵敏度分析进行了系统的研究。王文亮、胡海昌 ( 1 9 9 3 ) 提出的重特征值的小参数法，是对d a i l e y ( 1 9 8 9 ) i 作的补充和推广。 比重特征值更为常见的是密集特征值( 其中也可能包括重特征值) ，与其相 应的特征向量往往是病态敏感的，其摄动性念与重特征值情形相似。对于此种情 况的矩阵摄动问题，一直未有妥善的处理办法。国内学者胡海昌对此进行了多年 深入的研究( 1 9 8 3 ，1 9 8 7 ，1 9 9 1 ) ，提出了基于模态缩减的结构动力学重分析方 法，上述问题才得到比较有效的解决。此外，孙久厚、朱德懋( 1 9 9 2 ) 提出了振动系 统作小修改的一种近频耦合模态予空f 日j 摄动法。陈敬育、刘济科和张令诚( 1 9 9 5 ) 也对此问题提出了一种改进的摄动法。对于高度集聚的密集特征值，可直接采用 重特征值的摄动重分析方法。对于一般情形，更为常见的是采用r o m s t a d 等( 1 9 7 3 ) 和胡海昌( 1 9 8 3 ) 提出的基于模态缩减的结构动力学重分析方法，即将新结构的 特征值问题投影到原结构的密集特征值组的不变特征子空间中，得到一缩减的低 阶特征值问题。 当结构修改量不大时，摄动方法是有效的。但是基于结构小修改的模态摄动 重分析方法一般难以满足工程实际问题中结构大修改量的要求，为了有效的利用 摄动重分析方法简便、快速和高效的特点，可以采用分步( 增量) 摄动策略，即 分步摄动方法等。王龙生等( 1 9 8 4 ) 、b r o o k s ； l l s h a r p ( 1 9 8 7 ) 、吕振华等( 1 9 9 0 ，1 9 9 1 ) 先后对此方法进行过研究。后者还将其与一类摄动迭代方法相结合，提出了一种 高精度的摄动分析算法。模惫摄动方法还可应用于比例阻尼结构的摄动重分析问 题，通过对结构阻尼参数矩阵的摄动，简洁地求得结构的实际阻尼复模态参数， 从而可避免求解二次广义特征值问题的困难。这种摄动解法曾在r a y l e i g h 的书中提 出，c h u n g 年n l e e ( 1 9 8 6 ) 、郑兆昌等( 1 9 8 5 ，1 9 9 0 ) 和吕振华等( 1 9 8 8 ，1 9 9 0 1 9 9 2 ) 对其做了进一步的研究和发展。 另一类完全不同的结构动力学重分析方法是基于局部非小量修改情形而提出 的。y o u n g ( 1 9 4 8 ) 、l e e 年l l s a i b e l ( 1 9 5 2 ) 、d a s 和n a v a r a t n a ( 1 9 6 3 ) 等较早探索了这条 途径，1 9 6 8 年，w e i s s e n b u r g e r j 继之提出的“特征值修改方法”奠定了这类重分析 方法的基础。p o m a z a l 和s y n d e r ( 1 9 7 1 ) 把此类方法推广到了阻尼振动系统，并考虑 了非对称矩阵、重特征值和部分模态展开等情形。h a l l q u i s t 和l s y n d e r 等在随后几年 又对这类方法及其应用作了广泛的研究。朱光汉和郭平( 1 9 8 8 ) 基于机构阻尼复 模态特征值修改方法分析了结构局部修改对模态参数的最大可能影响程度。还有， 王小刚等( 1 9 9 0 ) 把局部修改重分析方法推广到了粘弹性阻尼振动系统等等。 常规的动力学重分析方法包括矩阵摄动法以及改进的矩阵摄动法和由摄动法 拓展出来的一些方法如扩展的组合逼近法、p a d e 逼近法等等。由于特征对关于结 构参数的依赖关系是高度非线性的，因此一般的动力学重分析方法如摄动法仅适 用于结构参数( 主要指尺寸) 的小修改。近年来，使用缩减基逼近的方法如组合 逼近法已经被提出来计算结构参数修改后的固有频率与振型，精度较高，目前，这 种方法已成为一种有效处理包括线形重分析、非线形重分析和动力学重分析等在 内的统一方法。组合逼近法有的摹向量利用特征对关于结构参数的泰勒展开2 9 , 3 0 ， 有的基向量是利用解一个静力学问题的二项式展- 丌【3 i 3 2 1 0 但是，究竟如何选取基 向量仍然是一个有待解决的研究课题。虽然摄动法最初的出发点是为了解决小修 改量的尺寸修改重分析问题，但是这些以矩阵摄动法为基础的改进方法和扩展方 法也能用于大修改量的尺寸修改重分析问题，效果也不错【3 3 ，3 4 , 3 5 1 。应该说，这些 常规的动力学重分析方法以及近年来新出现的动力学重分析方法很多都是建立在 矩阵摄动法的基础上并改进或扩展而来的，因此，它们的适用性受到了限制，通 常只能解决尺寸修改的动力学重分析问题。近年来，有学者探索结合两种重分析 方法而形成新的动力学重分析方法的途径，如陈塑寰、吴柏生、黄海等人将摄动 和p a d e 逼近法、迭代和组合逼近相结合而形成的新的动力学重分析方法等脚“1 。 这些方法可以用于结构形状修改和拓扑修改( 包括自由度增加) 的动力学重分析。 但到目前为止，还没有真诈形成一些卜分简便、快速、高效和通用的拓扑修改动 力学重分析方法。 前述的研究都是以实模念理论分析为基础的，但对于具有任意阻尼的系统、 非保守力作用下的动力系统、阻尼陀螺系统、气动弹性系统，粘弹性系统和土一结 构或液体一结构相互作用的体系以及具有特殊吸能装置或吸能措施的结构控制体 系等【3 8 1 ，一般不再满足c a u g h e y 阻尼的对角化条件，因而不能通过实模态解耦，这 就需要采用复模态理论，其相应的动力学重分析也需要采用复模态的重分析方法 3 9 1 。p l a n t 等人最早对复模态矩阵摄动法这个问题进行了研究。随后，郑兆昌 西e 工、业厶生亟土堂位监塞筮= 室绪j 盒 ( 1 9 8 5 ) 、郑兆昌，谭明一( 1 9 8 5 ) 、李培均，郑兆昌( 1 9 9 0 ) 采用基于实模态 理论的摄动方法来求解系统的复特征值和特征向量，详细探讨了多自由度系统复 模态理论的一阶摄动方法、重特征值及高阶摄动方法、非对称系统复特征值问题 的摄动迭代方法。刘满、陈塑寰( 1 9 8 6 ) 借助状态空间，导出了孤立复特征值及 相近特征值情形的复模态矩阵摄动公式。刘济科等人也对孤立复特征值摄动问题 进行了进一步的补充和完善，并提出了一些可以解决孤立复特征值、重复特征值 和相近复特征值等三种复特征值情形的统一的、通用的复模态重分析方法【4 0 1 。 由于一般矩阵复特征值问题的重特征值( 特征向量系) 可能是亏损的( 即其 几何重数小于代数重数) ，而且具有亏损特征值的矩阵可能是减次的( 既其同一 重特征值出现在其j o r d a n 标准型矩阵的一个以上不全为一阶的约当块中) ，所以在 进行复特征值问题的摄动重分析时，必须根据特征值问题的不同性质采用与之相 应的复模态重分析方法。目前，把复特征值问题分为以下六种情形：( 1 ) 非亏损 矩阵的褶异特征值：( 2 ) 亏损矩阵的相异特征值；( 3 ) 非亏损矩阵的重特征值： ( 4 ) 非减次亏损系统的非重特征值；( 5 ) 非减次亏损矩阵的重特征值；( 6 ) 减 次矩阵的亏损重特征值。针对复特征值问题的这六种不同情形，都有学者进行了 不同程度的研究。r e l l i e h ( 1 9 3 7 1 9 5 3 ，1 9 6 9 ) 的早期关于亏损矩阵特征值问题的 研究成果是后来有关研究工作的基础。至于非亏损矩阵相异特征值的摄动重分析 闯题，以m e i r o v i t e h 的研究结果最为重要。刘满( t 9 8 6 ) 等推导过非亏损实对称矩 阵对( 代表粘性阻尼系统) 特征值问题的重特征值算式。l e u n g ( 1 9 9 0 ) 对上述六 种情形( 尤其是亏损矩阵情形) 的摄动重分析方法进行了较全面的阐述。上述的 摄动研究多限于参数对称变化的情况，但是在许多实际结构系统中，特别是存在 流固耦合的系统，参数的非对称变化往往不可避免。因此，陈德潜、于建华也提 出了结构参数非对称变化特征值问题的一种摄动解法等“。此外，有人对流体一固 体耦合振动( 颤振) 和结构稳定性( 屈曲) 等特征值重分析问题也进行了有益的 探索。较之实模态，复模态重分析方法的研究时间还不算长，这也导致了目前复 模态重分析方法的研究仍然停留在矩阵摄动法的阶段，只能解决尺寸修改的复模 态重分析问题，而形状和拓扑修改研究的工程实际意义更大，应用前景更值得人 们期待，在参数优化的研究比较成熟以后，这两者就顺理成章的成为了目前结构 优化设计研究的热点，因此，迫切需要研究新的复模态重分析方法来解决目前结 构形状和拓扑修改的复模态重分析问题。 目前，大多数的重分析方法都是以有限元方法为基础的。边界元法是继有限 元法后新的数值方法。在有些问题上，边界元法更为精确和有效，尤其在形状修 改和优化中较之有限元法方便得多，因此，以边界元方法为基础的重分析方法的 研究也是一条寻求高效、高精度重分析方法的重要途径。k a n e ( 1 9 9 0 ) 等、s a i g a l ( 1 9 9 0 ) 采用迭代法作为求解修改结构静响应的边界元重分析方法。l e u ( 1 9 9 9 ) 将 k i r s c h 约减法扩展并推广到了以边界元法为基础的重分析问题1 4 2 1 。刘寒冰( 1 9 9 6 ) 等将摄动理论与边界元相结合，提出了边界元摄动法【4 3 1 。 总而言之，目前，基于实模态理论和复模态理论的结构尺寸修改重分析方法 的研究已经比较成熟，已能够解决修改量较大的工程实际尺寸修改重分析问题， 而形状和拓扑修改方面的动力学重分析方法还不成熟，还不完善，处理这两方面 的动力学重分析问题效果还很有限。因此人们追切需要研究新的方法来解决形状 和拓扑修改( 尤其是自由度增加) 的结构动力学重分析问题。 1 3 本文的研究内容 本文主要进行结构动力学重分析方法的研究，用来解决实模态和复模态的拓 扑修改和布局修改问题，其中以增加自由度的结构拓扑修改为主。重分析方法适 用的结构包括桁架、刚架、板结构以及板与杆的组合结构等等。 第二章主要介绍实模态重分析方法的基本理论包括单步摄动法、矢量逆迭代 法、子空间迭代法以及瑞利商逆迭代法等基本的求解广义特征值问题的数值方法 或常规的动力学重分析方法。 第三章将单步摄动法与瑞利商逆迭代法有机的结合起来，用于解决自由度增 加的结构拓扑修改以及布局修改的实模态重分析问题。最后用几个算例进行了验 证，说明了这两种方法结合的有效性和可行性。 第四章主要介绍复模态重分析方法的理论包括一般阻尼结构的复模态状念空 间建模和基本的复模态重分析方法摄动法及其二阶摄动公式的详细推导等。 第五章将复模态子空间缩聚技术和瑞利商逆迭代法两者相结合，从而形成了 一种关于复模态重分析的方法一结构拓扑修改重分析的复特征子空间缩聚瑞利商 逆迭代法，并通过自由度增加的结构拓扑修改重分析的数值算例有力的验证了结 构动力学修改重分析的复特征子空间缩聚瑞利商逆迭代法的效果，该方法精度较 高，适用于包括尺寸、形状修改和自由度增加的拓扑修改等在内的结构修改复模 念重分析问题。 第六章对全文进行了总结，提出了需要改进的地方，并对未来的研究提出了 展望。 一8 2 1 引言 第二章实模态重分析的基本方法 特征值问题的解，特别是系统特征值包含了大量的系统动态特性数据，而且 特征值问题的解又是用分析方法求解系统响应所必需的步骤 4 4 1 ，因此充分了解广 义特征值问题对于了解振动系统的动态特性及振动响应的求解是很重要的，对于 无阻尼结构的模态分析来说，采用的是实模态理论。结构优化设计是一个反复修 改的过程，为了了解结构修改后新结构的动态特性，就必然要进行动力学重分析。 对于大型复杂结构的动力学重分析来说，一般首先采用各种离散化方法如有限元 法或边界元法等，建立结构的离散化力学模型，即把一个无穷多自由度的系统， 通过离散化的方法，转变为一个近似的多自由度系统，即便如此，此时，其单元 数目和自由度数目仍然很大，因此每次修改后进行完整动力学分析的计算量很大， 耗费时问相当可观，极大的影响了优化设计的效率，这不得不促使人们去寻求简 便、快速的动力学重分析方法来解决结构( 尤其是大型复杂结构) 优化中动力学 重分析计算量大的问题。 由于特征值问题的解能加深我们对振动系统动态特性的了解，因此人们对特 征值问题的研究由来已久，产生了大量的数值计算方法。根据实模态重分析问题 的特点和性质，对这些数值方法进行适当的发展，就可以用于上述实模态重分析 问题的数值求解。r a y l e i g h 商是最简单的动力学重分析方法。此外，基于小修改 的摄动方法的研究也已经相当深入，成为动力学重分析的强有力的理论工具，己 可以广泛应用于工程实际结构优化设计的动力学重分析问题。摄动方法的分类很 多，既有一阶摄动和高阶摄动方法的划分，也有单步摄动和多步摄动方法的区别。 矢量迭代方法也是结构动念特性分析中经常使用的方法，它又包括矢量正迭代法 和矢量逆迭代法两种，其中又以矢量逆迭代法最为常用。而子空间迭代法和 l a n c z o s 方法是目前求解大型特征值问题最有效的方法m j ，将它们进行适当的改 动，并保留它们各自的优点，应当可以很好的用于大型复杂结构优化设计的动力 学重分析。在数学上求解广义特征值问题的方法很多，原则上，都可以用来进行 重分析，但是振动系统的特征值问题有其自身的特点，即一般只需要求其若干低 阶的部分特征对，这也是因为在后续的求解系统的响应时，其前几阶固有频率及 其相应的主振型占有主要的地位。因此，本章主要介绍在系统振动特征值问题分 析中一些常用的求解低阶特征对的方法以及一些基本的重分析方法。 本章主要介绍单步摄动法5 4 6 t 4 7 】、矢量迭代法、予空间迭代法i 鹕】和瑞利商 ( r a y l e i g h q u o t i e n t ) 逆迭代法等基本的动力学重分析方法理论，为下一章提 出的新的实模态重分析方法作铺挚。 2 2 单步摄动法 若考虑结构修改是小的尺寸修改，并假定结构修改后新结构的特征向量相对 于原初始结构的特征向量变化不大( 这要求新结构相邻固有振动频率互相分离) ， 也即有 p f z 甲) ，其中 p ，及 p ) ：分别是结构修改前后的第f 阶特征向量，那 么，将这样假设得到的修改后新结构的近似特征向量代入瑞利商可以估计得到新 结构的近似特征值： 九：= 九+ 九。= ；菩i i 舞c z - z - ， 1 吵) j ( 置+ a k ) p ) ，一九， 甲 ? ( m + m ) p ，m z 】几= i 一 i 二一二j 甲) j ( 肘+ m ) 妒) 。 、 上述两式( 2 2 1 ) 和( 2 2 2 ) 中，k 、m 分别是初始结构的刚度矩阵和质量矩阵，九 是初始结构第i 阶特征值；厝、m 分别是结构修改后新结构相对于初始结构的 刚度矩阵增量和质量矩阵增量，九是初始结构的第i 阶特征值增量，e 是结构修 改后新结构的第i 阶特征值。这罩初始结构的特征向量已经关于初始结构的质量 矩阵归一化。以后所有的实模态重分析章节中，都对初始结构的特征向量和结构 修改后新结构计算求得的近似特征向量进行了同样的处理，不再另外予以说明。 那么，进一步化简( 2 2 ，2 ) 式可得 九：倒攀二生坐丝堕( 2 2 3 ) 矽) ? ( 五f + 膨) p ) ， 、 用( 2 2 1 1 式即可获得结构修改后新结构的近似特征值，再利用上述获得的近 似特征值可以进一步推导得到结构修改后新结构的近似特征向量，具体过程如下： 首先，假定结构修改后新结构的特征向量有如下的形式， p ：= 掣) ，+ 吵) ，( 2 2 4 ) 再根据结构修改后新结构的特征向量关于其刚度矩阵和质量矩阵正交的性质，有 掣 ：。( + k ) 妒 ；= p ：1 ( m + a m ) r ) ：= 0( j i ) ( 2 - 2 5 ) 把( 2 2 - 4 ) 式代入上式，可得： 妒) l ( 置一九j m ) 掣 。* 一 掣) ：( 耳一九? m ) ( p ) 。 ( 2 2 6 ) 甲 ，假设由所有异于i 阶的初始结构特征向量叠加得到，即有 妒 ，= c 妒) ， ( 2 - 2 _ 7 1 ) 其中， 铲等篙( 2 - 2 - 7 - 2 ) 这是单步摄动法第一步迭代获得的结构修改后新结构的近似特征值和特征向量。 每次将上一步迭代获得的近似特征向量代入( 2 2 1 ) 式，可以得到下一步迭代更加 精确的近似特征值；再将每一次迭代获得的近似特征值代入( 2 2 7 ) 式，同样可以 得到下一迭代更加接近精确值的近似特征向量，如此反复迭代，直至新结构的近 似特征值和特征向量最终收敛。一股来说，只需要一两步迭代，就可以达到收敛， 再多的迭代，对结果并无大的改善。因此，一般的单步摄动法就取第一步迭代的 结果。 基于单步摄动法难以满足工程实际优化设计中结构大修改量( 一般为尺寸修 改1 的要求，有人采用分步( 增量) 策略，这就是多步摄动法的理论基础。多步摄 动法的计算步骤与单步摄动法相似，它们同属于矩阵摄动法的范畴，因此在这里 将这两种方法的异同和优劣进行了比较，以便更好的了解单步摄动法及摄动法的 基本思想。这两种方法肯定有相同或相似的一面，也有不同的地方。多步摄动法 把结构整个一次修改的修改量分成许多步小的修改量，每一步进行小的摄动，计 算求得每一步小摄动的近似特征值和特征向量，然后，一步步增加摄动量，也就 是说，它把一个大的结构修改，看成是由一系列小修改组成的，前一步小修改得 到的摄动结果作为后一次小修改的初始信息。而单步摄动法把一个大的修改看成 一步修改，然后采用迭代的方法改善前一步迭代获得的结果。换句话说，多步摄 动法是采用分步摄动的策略推进的而单步摄动法是采用迭代的方式进行的。这 两种方法的推导也基于不同的近似，多步摄动法忽略了表示新结构特征值和特征 向量变化的级数的高阶项，而单步摄动法是基于这样的假设，结构修改后新结构 的特征向量变化不大，可以通过初始结构的特征向量计算得到结构修改后新结构 的特征值相对于初始结构特征值的增量。尽管多步摄动法试图通过分步增量的策 略来求得结构大修改后新结构的近似特征值和特征向量，但由于近似的缘故，每 一步都会有误差，误差会不断地累积，因此，对于大的结构修改，多步摄动法得 到的结果往往是不够精确的。单步摄动法的误差虽然不是累积的，但是如果结构 修改后新结构的特征向量变化很大，那么单步摄动法得到的结果也