（凝聚态物理专业论文）一维自旋系统的热纠缠.pdf

学位论文独创性声明 本人郑重声明： l 、坚持以“求实、创新”的科学精神从事研究工作。 2 、本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究 成果。 3 、本论文中除引文外，所有实验、数据和有关材料均是真实的。 4 、本论文中除引文和致谢的内容外，不包含其他入或其它机构 已经发表或撰写过的研究成果。 5 、其他同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了声踞并表示 了谢意。 作者签名：毽益趣 日期：工b 日 学位论文使用授权声明 本人完全了解南京师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学 校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电 子版和纸质版；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论 文进入学校图书馆被查阅；有权将学位论文的内容编入有关数据库进 行检索：有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在 解密后适用本规定。 作者签名：翟垒2 j 日 期：。 且! 三旦 一维自旋系统的热纠缠 摘要 本文在零温纠缠的基础上，对一维处于横场中的各向异性x y 模型在有限温 度下的热纠缠行为作了较为系统的研究，我们通过协作参量的概念，数值地研究 了三种x y 自旋链：均匀链，周期为2 和周期为3 的链，结果发现，在某些各向 异性参数范围内，总存在一个交换相互作用参量的区域，在此区域内，存在多个 临界温度，同时，我们给出了出现这种现象的各向异性参数的范围。另外，我们 还研究了在量子相变点附近的热纠缠行为，发现周期为2 和周期为3 的自旋链的 协作参量的偏微商a ，c 与均匀链有着相似的行为。 然后，我们研究了一维处于横场中的各向异性x y 模型在有限温度下的热纠 缠的熵的行为。作为一个简单的例子，我们先研究了三自旋模型的热纠缠的熵的 行为。结果发现，两子系统的部分熵并不相等，这与零温时的情况不同。然后我 们研究了无穷长均匀链的部分熵，也发现了同样的行为。我们引入了量子互熵的 概念，发现随着子链长度的增加，量子互熵具有对称的性质，并且随着温度的增 加呈指数衰减趋势。同时我们也给出了量子互熵随温度，最近邻相互作用的变化 规律。 最后，我们研究3 ( 1 2 ，1 ) 混合自旋各向异性x y 模型的热纠缠行为，我们通 过n e g a t i v i t y 的概念，具体地研究了两个自旋系统的热纠缠行为，发现该系统也 存在一个临界温度露，当温度大于露时，量子纠缠消失。 关键词：热纠缠； 各向异性；x y 携型；临界温度；协作参量：部分熵； n e g a t i v i t y 一维自旋系统的热纠缠 a b s t r a c t b a s e do nt h ee n t a n g l e m e n ta tz e r ot e m p e r a t u r e ，w es t u d yt h et h e r m a le n t a n g l e m e n t i na n i s o t r o p i cx ym o d e li nat r a n s v e r s ef i e l da tf i n i t et e m p e r a t u r e t h eb e h a v i o r so f t h et h e r m a le n t ；a n e ：c m e n to ft h r e ec a s e so ft h ex yc h a i n s ：u n i f o r mc h a i n , p e r i o d - t w o a n dp e r i o d - t 1 1 r e ec h a i n s a r es t u d i e db yu s i n gt h ec o n c u l t e n c e i ti sf o u n dt h a tf o r s o m ea n i s o 廿o p i cp a r a m e t e r s ，t h e r ei sar e g i o no ft h ee x c h a n g ei n t e r a c t i o n , i nw h i c h t h et h e r m a le n t a n g l e m e n th a sm o r et h a no n ec r i t i c a lt e m p e r a t u r e s a tt h es a l n et i m e w eg i v et h er e g i o no fa n i s o t r o p i cp a r a m e t e ri nw h i c ht h i sp h e n o m e n o nh a p p e n e d w e a l s od i s c u s st h eb e h a v i o ro f t h et h e r m a le n t a n g l e m e n ta tt h ev i c i n i t yo fq u a n t u mp h a s e t r a n s i t i o no f p e r i o d i ca n i s o t r o p i cx yc h a i n sa n df i n dt h a ta l lt h ed e r i v a t i v e s o ch a v e t h es i m i l a rb e h a v i o r sa st h a to f u n i f o r mc h a m t h e nw es t u d yt h ep a r t i a le n l r o p yo fe n t a n g l e m e n to ft h i sm o d e la taf i n i t e t e m p e r a t u r e a sas i m p l ee x a m p l e ，w es t u d yt h ep a r t i a le n t r o p yo fe n t a n g l e m e n to f t h i n e q u b i l ss y s t e m i t i sf o u n dt h a tt h ep a r t i a l e n t r o p yo fo n cs u b s y s t e mi s n t e q u i v a l e n tt ot h a to f t h eo t h e rs u b s y s t e m , w h i c hi s n tt h es a n l ew i t ht h ep a r t i a le n t r o p y a tz e r ot e m p e r a t u r e t h e nw es t u d yt h ep a r t i a le n t r o p yo f e n t a n g l e m e n to f i n f i n i t es p i n c h a i n ，w h i c ha l s oh a v et h es i m i l a rb e h a v i o ra st h et h r e es p i nc h a i n , s ow ei n t r o d u c e t h ec o n c e p to fm u t u a le n t r o p y w es t u d yt h em u t u a le n t r o p yo ft h i sm o d e la n df i n d t h a tt h em u t u a le n t r o p yi ss y m m e t r i c a lw i li n c r e a s i n gt h en u m b e ro fs p i n so f s u b c h a i n a n dm u t u a le n t r o p yd e c a y se x p o n e n t i a lw i t i li n c r e a s i n gt e m p e r a t u r e w e a l s og i v et h ep l o t so fm u t u a le n t r o p ya sf u n c t i o no ft e m p e r a t u r e ，n u m b e ro fs p i n so f s u b c h a l na n dt h en e a r e s tn e i g h b o ri n t e r a c t i o n f i n a l l y , b yu s i n gt h ec o n c e p to f n e g a t i v i t y , w ei n v e s t i g a t et h et h e r m a le n t a n g l e m e n t o f ( 1 2 ，1 ) m i x e d - s p i na n i s o t r o p i cx ym o d e la n do b t a i nt h en u m e r i c a lr e s u l t so ft h e t h e r m a le n t a n g l e m e n to f t w os p i n si nat r a n s v e r s ef i e l da tf _ m i t et e a n p e m t u r e w ef i n d t h a tt h e r ee x i s t sac r i t i c a lt e m p e r a t u r e ，a f t e rw h i c ht h ee n t a n g l e m e n tv a n i s h e s k e yw o r d s ：t h e r m a le n t a i - l g l e m e m ；a n i s o t r o p y ；x y m o d e l ；c r i t i c a lt e m p e r a t u r e ； 2 二丝鱼堕墨丝竺垫型丝 笪! ! 苎生 c o n c l i i t f f 1 c o ；p a r t i a le n t r o p y ；n e g a t i v i t y 3 一维自旋系统的热纠缠 第一章前言 第一章前言 量子力学是极其深刻的非经典的理论，它是近代自然科学的基础。量子力学 与信息科学相结合导致量子信息学的诞生。量子信息学是以量子力学的态叠加 原理为基础、研究信息处理的一门新兴前沿科学，主要包括量子通讯和量子计算 机两个部分。量子通讯的巨大功效来自量子纠缠。对量子纠缠的深入研究无论是 对于量子信息的基本理论还是对未来潜在的实际应用都将产生深远的影响。 对量子纠缠的研究，从时间上可以分为几个阶段：首先是在1 9 3 5 年，爱因斯 坦等三人为了和玻尔论战关于量子力学的基本解释而提出t e p r i t 2 1 的理想试验； 在5 0 年代玻姆为此理想试验提出了自己的新的理论；在1 9 6 4 年贝尔提出的著名的 贝尔不等式 3 1 ，将e p r 同玻尔的争论从哲学范畴提升到可以为物理实验所验证的 范畴；7 0 年代后，众多的物理学家用实验验证了量子纠缠的存在。9 0 年代后，随 着对量子纠缠的认识进一步加深，对量子纠缠的研究也更加广泛和深入，发现贝 尔的结论也有不成熟的地方。目前纯态的量子纠缠已经研究得很清楚了，并认为 相当完美。混合态的量子纠缠仍在探讨，原因是混合态的量子关联信息隐含在经 典关联之中。一些特殊的方法即将混合态的关联信息“提纯” 4 , 5 , 6 , 7 , 8 1 。事实上， 这些方法表明不违背贝尔不等式的混合态仍然能够显示量子力学关联，我们可以 从中提纯出违背贝尔不等式的最大纯度的纠缠态。所以，贝尔不等式理论并不是 量子纠缠理论的最终理论，它为我们开启了量子纠缠领域 9 1 的许多有意义的基础 问题。 量子纠缠作为一种重要的资源已广泛地应用于量子信息处理和传输【l o 】，正 是由于它在量子隐形传输、量子密码术、量子计算机和量子信息方面的潜在的应 用，量子纠缠得到了广泛地研究。众多研究热点中纠缠度量问题始终处于中心地 位，它也是现代量子力学中没有完全解决的问题之一i l l 】。纠缠的量度方法有形 成纠缠度【1 2 a 3 1 、提纯纠缠度1 4 】、部分熵纠缠度【4 】和相对熵纠缠度f 1 5 , 1 6 。由 w j o n e r s 【1 2 】提出的形成纠缠度已被广泛地应用在量子纠缠的研究中 1 7 , 1 8 , 1 9 , 2 0 , 2 l 2 2 1 。 对于自旋为l 陀的系统，w o o t t e r s 引入了协作参量的概念来研究量子纠缠。近年 来，在有限温度下的热纠缠引起了人们的极大兴趣，无外场的有限长的各向异性 x y 模型【2 1 1 和一维各向同性海森堡模型【1 9 1 得到了研究，发现这些模型存在一个i 临 4 一维自旋系统的热纠缠 第一章前言 界温度的现象。在对两量子比特海森堡模型】的纠缠的研究中，发现多临界温 度现象。另外，量子相交是由量子涨落引起的零温相变阱l 。在实验中绝对零度 是很难达到的，所以在有限温度下的量子相变附近的纠缠特性引起了广泛的关注 【17 ，1 8 2 5 ，2 6 1 。与形成纠缠度相关的协作参量在临界点附近受到很大的影响【1 6 m ， o s t c r l o he t a l l l 发现在横场中的一维伊辛模型中，协作参量对相互作用的偏微商 在相变点具有发散行为。近来，该一维伊辛模型在量子相变点附近的热纠缠行为 也得到了研究【2 7 1 ，不过仅分析了量子相变而没有讨论临界温度。在对横场中周 期和准周期各向异性x y 链的量子相变的研究中皿8 1 发现该模型在某些各向异性 参数范围内存在不只一个量子相变点。借助协作参量的概念，该模型在相变点附 近的零温纠缠得到了研究【2 ”，发现均匀链和周期链的协作参量对相互作用的偏 微商有着相似的行为。那么，该模型在有限温度的热纠缠行为是一个非常有意义 的研究课题。 物理概念及理论都是逐步深入的，量子熵的概念和理论也不例外。它的发展 大致经历了以下几个阶段：一九三二年，v o nn e u m a n n 首先将玻尔兹曼经典熵推 广到量子熵1 3 0 。一九八九年，p h o e n i x 和k n i g h t 口k ) t 3 1 ，3 2 ，3 3 , 3 4 1 - 首先用v o nn c u m a n n 量子熵研究了光场与原子相互作用时两者之间纠缠的动力学性质，深刻地揭示了 双量子系统量子纠缠的动力学本质；一九八三年至一九九八年o h y a 等提出的量 子互熵理论m 】是量子通讯领域研究量子力学通道传递信息能力的有用工具，它 是把经典通讯理论推广到量子领域的重要尝试；随着量子信息学的飞速发展，于 一九九六至一九九七年期间c e r f 和a d a m i 等人把经典通信熵理论成功地推广到量 子领域，提出了量子信息熵理论1 3 6 ( 内容包括量子条件熵、量子互熵等) ，从而实 现了熵理论从经典领域到量子领域的巨大飞跃，为理解和解决量子计算、量子通 信、量子隐形传态、量子测量等问题提供了理论基础，大大促进了量子物理特别 是量子信息学的发展；量子熵另一个重要的应用是度量各子系问的纠缠程度，虽 然量子约化熵理论能很好地度量两体纯态系统中子系间的量子纠缠，但对于两体 混合态系统子系间的纠缠不能用它来度量。一九九七年左右，v e d r a l 和p t e n i 等提 出了量子相对熵纠缠理论1 5 阍，量子相对熵纠缠度不仅可以用来度量两体混合态 系统两子系间的量子纠缠，而且在量子测量和量子信息处理领域起着很重要的作 用。 一维自旋系统的热纠缠 第一章前言 近来，在零温时的部分熵得到了广泛的研究 2 5 , 3 7 , 3 8 , 3 9 。v i d a le ta l 嘲研究了 】( 1 和x x z 模型的基态的部分熵，发现当哈密顿量经历量子相变点时，部分熵随着 其中一个子系统的自旋数目的增加呈对数增加。但在有限温度下的部分熵的行为 却没有得到很好的研究。 各向异性x y 模型，已经得到了广泛深入的研究 2 8 2 9 1 ，但仅仅局限在自旋为 1 2 的系统，对于自旋为1 2 的系统，存在一种有效准确的计算方法即借助协作参 量的概念，所以自旋为1 2 的系统已经得到比较全面的研究。但对于自旋为1 的系 统，却没有得到很好的研究。p e r e s h o r o d c c k i 等人定性地给出了判断一个态是否 是纠缠态的标准 4 0 , 4 ”，v i d a l 和w e m e r x 进行了定量地推广1 4 2 | ，他们给出了计算 量子纠缠的另一种方法即采用n e g a t i v i t y 来量度纠缠。利用这种方法，( 1 2 ，1 ) 混合 自旋海森堡模型得到了很好的研究 4 3 1 。同样地，我们也可以把这种方法运用到 在横场中的( 1 2 ，1 ) 混合自旋各向异性x y 模型中，研究了温度、外场和两自旋间 相互作用对纠缠的影响。 在文章的第二章，我们首先给出了热纠缠的定义以及几种重要的纠缠度，然 后利用协作参量的概念研究了在横场中均匀和周期性各向异性x y 链的热纠缠 行为，并且讨论了量子相变点附近的热纠缠行为。发现在某些各向异性参数范围 内，热纠缠有三个临界温度乇，乇，在r 毛和乇 + 1 1 l ) 2 ( 2 2 ) i o 一 = ( 1 0 0 ) - - 1 1 1 ) ) i 2 ( 2 3 ) i 甲+ = ( 1 0 d + 1 1 0 ) ) i 2 ( 2 4 ) i 甲一) = ( i0 1 ) - 1 1 0 ) ) 2 ( 2 5 ) 是纠缠态，它们的密度矩阵不能写成( 2 1 ) 式那样的直积形式。 如果系统处于热平衡，这时系统的状态要由与温度隋关的密度算符p ( r ) 来 表示，p ( r ) = c x p ( 一h k 口t ) z ，其中，醍系统的哈密顿量，丁是系统的温度， 7 一维自旋系统的熟纠缠第二章一维各向异性x y 模型的热纠缠 z = t r e x p ( - h k 。丁) 】是系统的配分函数，是玻尔兹曼常数，在这篇文章中我 们取为l 。由于代表一种热平衡态，因此存在于这个态中的纠缠就叫做热纠缠【1 9 1 。 2 1 2 热纠缠的度量 量子纠缠的定量描述是指如何用一个具体的量来度量纠缠程度的大i x 4 羽。 量子纠缠的重要性使得对它的定量研究显得尤为重要，并成为了量子信息理论研 究的热点之一。所谓纠缠度，就是指所研究的纠缠态携带纠缠量的多少。纠缠度 的提出，为不同纠缠态之间建立了可比关系。纠缠状态所纠缠的粒子数量越多， 对经典物理学的偏离越明显，获得有用量子效应的机会就越大。所以，在量子信 息领域中，纠缠通常被看作是非局域的“信息源”。于是，如何对纠缠定量化就 显得十分重要。到目前为止，除了对两体系统的纠缠度取得了一些肯定的结论以 外，对如何量度多体系统的纠缠度尚处于起步阶段，还没有一个普遍接受的标准， 仍处于探讨之中隅5 0 , 5 1 , 5 2 1 。 作为对纠缠程度度量的纠缠度须满足以下几个条件【1 5 1 ： ( 1 ) 可分离态的纠缠度为零，即： e ( 力= 0 ( 2 6 ) ( 2 ) 局部幺正操作不改变纠缠度： e ( 力= e ( u ao u 。p u jo u ；)( 2 7 ) ( 3 ) 在局部量子操作和经典通讯下平均纠缠度不应增加。因为局部量子操作和经 典通讯不会引起量子关联。也就是说，如果我们有一个系综处于态p 上，经过局 部量子操作和经典通讯后，处于态岛上的子系综的几率为p ，则： e ( p ) 只e ( 肛) ( 2 8 ) l ( 4 ) 可加性。设各态1 4 马 ，1 4 8 2 i 以e 可能是纠缠态， l a b ) 爿a 1 8 1 ) o 一z 岛) o o i 彳。e ，则i a b 的纠缠度e ( j a b ) ) 为 e ( 1 a b ) ) = e ( j 一一蜀 ) + e ( i 一2 岛) ) + + e ( 1 4 ，玩 ) 几种主要的纠缠度 8 一雏自旋系绕的热纠缠第二章一维各向异性x y 模型的热纠缠 目前，大部分纠缠度都是通过量子熵来定义的，除了对两体纯态纠缠得到了 一些肯定的结果外，对于两体混合纠缠态以及多体纠缠态的纠缠度量仍在探讨之 中，几种主要的纠缠度为【5 3 1 ： i 部分熵纠缠度 部分熵纠缠度b p v o n n e u m a n n 约化熵。它仅能描述两体纯态之间的纠缠，不 能描述两体混态的纠缠。 对于一个由两个子系统4 和b 组成的二体纯量子态p 知，因为两个子系统的复 合系统可进行s c h m i d t 分解，所以两子系统的纠缠度相等。既定义部分熵纠缠度 为【4 】： s ( 邝) = - t r ( p et r i p , )( 2 9 ) s ( p q ) = 一t r ( p oi n p q ) ( 2 1 0 ) 其中，p ，= 吼p 蚀，如= 砩p 垃。这里户啦为整个体系的约化密度矩阵， 珥( i = p ，q ) 表示对予系统的变量作求迹操作。 部分熵纠缠度表征了系统局域的混乱程度。它说明，量子态的纠缠越厉害， 从局部上看“局部态”的“不确定程度”就越大。由于纯态( 单一量子纯态) 的量 子熵为零，所以纠缠态的局部一定比整体更加混乱。对于形如i o ) 。圆i 、壬， 。的直 积纯态，有耳= 0 ；对于两个量子比特的最大纠缠b e l l 基，可以得到耳= i n 2 。 为了研究方便，有时候把v o nn e u m a n n 熵j 的定义中的对数底数取成2 ，从而将b e l l 基的纠缠度归为i 。 用密度矩阵( 量子信息论) 代替概率( 经典信息论) ，两体系统的量子互熵定义 为d 6 】： s ( a ：b ) = 一t r p l 0 9 2 p m 】 2 s ( a ) + s ( b ) 一s ( m ) ( 2 1 1 ) 式中肋为互振幅算符： p 。口2 l i m 。 ( p ao 岛) 1 p 岩”r ( 2 1 2 ) 2 形成纠缠度 9 一维自旋系统的热纠缠 第二章一维备向异性x y 模型的热纠缠 怎样度量混合态的纠缠程度是非常棘手的问题对于两体混合态的纠缠度到 目前为止已提出了多种定义其中包括形成纠缠度。 ( 1 ) 定义： 对两体混态以。，形成纠缠度艮( 户o ) 的定义为： 乓( ) 2 珊；另品( f ” ) ( 2 1 3 ) 其中 p f ，| 彬 ) 为p 如的任意一种分解方式。 即 如= p ，l 妒。”i ( 2 1 4 ) 而品( 1 ) 为1 的部分熵纠缠度，式( 2 1 3 ) 中求极小值是对的所有可能的分 解方式求的，i 奶) 为任意的两体归一纯态，不一定相互正交。 ( 2 ) 物理意义：通过局域操作和经典通讯( l o c c ) 过程，为制备纠缠态p 所消耗掉 的b e l l 的最小数目。 ( 3 ) 性质： a ) 当且仅当为可分离态时，有睇( ) = 0 ， b ) 对于纯态刮) 。( l ，形成纠缠度与部分熵纠缠度相等，这个从定义很容 易知道。一般两体量子态形成纠缠度的计算并不简单，但是对于两能级体系，即 a 体系和b 体系态空间都是2 维时，可以将形成纠缠度直接算出。此时，记 万= ( 盯d o r 7 ) 以仃o 口)( 2 1 5 ) 算子卢筘不一定厄米，但半正定。设其根为砰，且按递减顺序排列，即 如i z ) = 霹i e )( a 五冯五)( 2 1 6 ) 记 c ( ) = m a x o ， 一五一五一五)( 21 7 ) 可以证明c 5 4 】，儿的形成纠缠度为： 廓( 驴日 峄) 其中 日( z ) = 一x l 0 9 2x - ( 1 - x ) l 0 9 2 ( i - x ) 1 0 ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) 一维自旋系统的熟纠缠 第二章一维各向异性x y 模型的热纠缠 容易知道睇是c ( 以。) 的单调函数，当c ( 成。) 从0 变化到1 时，耳也从0 变化到l ， 所以协作参量c ( p , o ) 成为量度纠缠的很好的方法。在本文中，我们用协作参量 的概念研究了一维各向异性x y 模型的热纠缠。 3 相对熵纠缠度 相对熵在经典信息论中描述两个概率分布的可分辨性。用密度矩阵代替概率 分布，可把相对熵推广到量子的情况。1 9 9 7 年w e d r a l 等提出了用量子相对熵度量 双体混合态的纠缠度，称为相对熵纠缠度 1 s , 1 6 , s s l 。其理论要点如下： ( 1 ) 定义：态的相对熵纠缠度的定义为 ( 力= g 嘎s ( p 。口么) ( 2 2 0 ) u 尸h 和是两个密度算符，定义如对的量予相对熵为【1 6 1 ： s ( p , o l ) = t r ( p l 0 9 2 p - p l 0 9 2 盯)( 2 2 1 ) 图1 相对熵图外圆r 表示所有的态密度矩阵，内圆d 是外圆r 的子集，表示所有的可 分离态，态盯属于纠缠态，p 是使距离取得最小值的可分离态。 ( 2 ) 物理意义： 既然量子相对熵形象地表示两个量子态之间的距离，根据相对熵纠缠度的定 义，不难看出它的物理意义：态p 。与分离态间的最小“距离”。一个给定的量 子态与分离态的最小“距离”是一定的，这个最小“距离”越大，纠缠态的纠缠 度就越大a 因此相对熵从最小“距离”的意义上度量了双体混合态的纠缠程度。 4 n e g a t i v i t y 一维白旋系统的热纠缠第二章一维各向异性x y 模型的热纠缠 以前所做的工作大部分考虑的是自旋为；的系统的量子纠缠，对于自旋为； 的系统，已经有了许多好的方法来研究，但对于混合自旋或者高自旋的系统，因 缺乏好的方法而没有得到很好的研究。二零零二年。v i d a l 和w e m e r t 4 2 t 提出了一 种量度量子纠缠的方法即借助n e g a t i v i t y 的概念，混合自旋或者高自旋的系统可 以得到有效的研究。态p 的n e g a t i v i t y 定义如下： h ) = j 以i ( 2 2 2 ) 式中“是矿的负的本征值。是将密度矩阵p 对第一个子系统进行部分转置得 到的。 2 2 横场中各向异性x y 模型 2 2 1 引言 自从1 9 6 0 年以来，一维自旋链已经得到了广泛的研究 5 8 5 7 j 鼬蝤o l 。l i e be t a l 。 严格求解了包含最近邻相互作用的一维铁磁链的x y 模型【“。在这篇论文中，通 过j o r d a n - w i g n e r 变换，啥密顿量可以表示成费米子的产生和湮灭算符的二次形 式，这个二次形式可以通过b o g l i u b o v 变换进行对角化。在这一部分，我们将运 用相同的办法来求解在有限温度下的横场中的各向异性x y 模型，我们得到了两 点关联函数和磁化率 阳。从而可以帮助我们求解两格点密度矩阵，最终求 得x y 模型的热纠缠。 然后我们研究了均匀链和周期x y 链，我们采用数值的方法得到了协作参量 随着温度和相互作用的变化，发现在某些参数范围内，热纠缠有着多个临界温度， 我们还通过协作参量的微商研究了在量子相变点附近热纠缠的行为。 2 2 2 横场中各向异性x y 模型的哈密顿量 我们讨论的模型是由按链状排列的n 个l 2 自旋组成的，并且只考虑最近邻 自旋闻的相互作用，它的哈密顿量可以写作： 日一善1 净”咖以i + ( ，刊咖矧m ? l -l i 一维自旋系统的熟纠缠 第二章一维各向异性) 【y 横塑的热纠缠 其中、吖、即泡利矩阵： = ( ? ：) ：吖= ( ? - f ；= ( ：三) 以为最近邻相互作用，h 为外加均匀横场，是在砂平面中描述各向异性的参量 ( 0 ， 1 ) ，n 为格点的数目。当h = 0 时，方程( 1 ) 变成各向异性x y 链( 无夕 场) ： 当，= l 时，对应的是横场中的量子伊辛模型r i s i n g m o d e l ) 。 1 影= 去 = x , y ，z ) 是1 2 自旋算符( a = 1 ) 。格点指标刀的范围取决于边界条件 二 的选定，这里我们选择周期性边界条件，即0 0 。；吖，+ z 吖，。s 吖， 于是，i n n 。我们现在定义一个无量纲的量五= 以h ，如果 = 五，这个模 型是均匀链，如果五，= 五，五。= 脚，这个模型对应的是周期为2 的链。如果 五。= 。= 五，五，+ ：= 肜，这个模型就是周期为3 的链。 引入上升和下降算符 = s ：+ i s ；a i = s ：一 s ；2 2 4 、 由泡利算符的性质可知 f = ( 矿- l - a ，) 2 ；= ( 酊一a t ) 2 i ；s j = a ；a ，一l 2( 2 2 5 ) 因此，哈密顿量改写成 日= 【一矿。+ 五y 酊。】+ 日c - ( 2 a + , a j - 1 ) ( 2 2 0 ) ， ， ( 2 2 3 ) 所定义的上升和下降算符只是部分具有费米子算符的性质，又部分满足玻 色子算符的对易关系，即 口，带 = 1 ；砰= ( 酊) 2 = o ( 2 2 7 ) 筇，巳】= 【，矿】= q ，a j = o ， i _ ， ( 2 2 s ) 为了便于求解h 的本征值，j o r d a n 和w i 髓e 跚引用了如下变换： q ；e x p 防f 巧口j k 很容易得到其反变换 t - i = 露e x p 【- 万f a ；a ，】 l i - l q ；e x p 防f c ，k l 一l 西；0 e x p 防f c 白】 i 可以验证c + 和c 是费米子算符，满足反对易关系 并且 所以，对i = 1 ，2 ，n - 1 ( 2 2 9 ) ( 2 3 0 ) c f ，c = 毛 c ，勺 ； 一，c j = o ( 2 3 1 ) t c t = t a j 吒。= c ，。，酊，= 0 c 荔 但是，对于循环的链，边界项并不满足关系式( 2 3 3 ) ，而是 酊q = 一c ；c 1e x p ( n q ) c 嘉q 口；口? = 一c ；c ；c x p ( i 瓜q ) c ：c j 1 q - z 0c j = ( 矸+ 习 i1 因此在j o r d a n - w i g n e r 变换下，哈密顿量( 2 2 3 ) 变成： ( 2 a 2 ) ( 2 3 3 ) h ：羔 一乃o j c 川+ 略，勺) 一2 c ；c j + 卜挈( c ；c 知一c 厶c ；) 】+ 日c ) + = 一乃o j c 川+ 略，勺) 一+ 卜等( c ；c 知一c 厶c ；) 】+ 日c ) + + 以( c ；c 1 一c c j ) + a ，( c ：；0 c ，c 1 ) e x p ( i n f 2 ) + 1 】( 2 3 4 ) 同前人讨论横场中的量子伊辛模型和量子x y 模型一样，对较大的系统，后面的 修正项可以忽略，这样我们所研究的系统的哈密顿量为： 日= 水”j 1 l钟盼叫+ ( 2s 5 ) j j t 二 j 其中， 1 4 一维自旋系统的熟纠缠 第二章一维各向异性x y 模型的热纠缠 a q = 一 6 i n 一九pj i _ 1 2 6 9 b h = 一 徊i m + 九j y 6j j - 、 4 ，= 一知= a 。 骂2 y 2 一t l ( 2 3 6 ) 哈密顿量( 2 3 5 ) 是二次型的，它通过b 0 9 1 i u b o v 变换，得到对角化后的形式： 日= ( 磙仇一二) 1 ( 2 3 7 ) 其中： 仉：三【魄+ 妒。) c j + 魄一) 0 】 以= 去【魄+ 妒。) o + 魄一。) q 】 i = 一警，一i n + ，丁n 一- 由此可得方程组： j ( a 一占) 丸= a l 死 【( 一+ 曰) 死= a j 丸 再进行一次代换，就有一对本征方程 最( 爿一曰) ( 彳+ 占) = a = ：无 眵l ( 彳+ 固口一占) = 魑玩 所以a ：可以从如下方程得到 d e t ( a 一回( 彳+ 回一a ：，】= 0 矩阵( a 一曰) ( 4 + b ) 可以写作： 其中 m 1 确、2m 1 3 00 m 1 n m i j f m 1 m 2 3m 1 3m e 0 0 m l n m n m n 工0 0 m n 婶五m n n dm n n m 1 - 2 4 + ；1 2 ( 1 一，) 2 + 鬈( 1 + ，) 2 ，m 2 = 4 ，m j = 4 4 0 一广) ， ( 2 3 8 ) ( 2 3 9 ) ( 2 4 0 ) ( 2 4 1 ) ( 2 4 2 ) 一雏自旋系统的热纠缠 第二章一维各向异性x y 模型的热纠缠 嵋。 ，i = 知q 五( 1 一，2 ) ，m 一= 4 如； 鸩j = 4 ，鸩。= 4 + 碍( 1 一，) 2 + 矸( 1 + 2 ，鸩j = 4 五，鸩，= 也五( 1 一，2 ) ， m 2 = x , a ( 1 - r 2 ) ； m 2 = 一2 缸l ( 1 一，2 ) ，m - l = 4 砧，m ，= 4 + 2 ( 1 一，) 2 + 髭1 ( 1 + ，) 2 ， 朋：“l = 4 ，m 一2 = + l ( 1 一，2 ) ； j 】l 如j ；4 如， 如。= 五 ( 1 一广) ，m 一2 = 知一2 如- 1 ( 1 一厂) 2 ，m 一- i = 4 如一， m n = 4 + 露( 1 一y ) 2 + a 乳1 ( 1 + 力2 所以方程( 2 4 0 ) 可以写作： 人：奶j = 2 丸1 0 一，2 ) 奶2 j 十4 a h 奶- 1 乒+ 4 + 砰( 1 一，) 2 + 罡1 ( 1 + y ) 2 】奶j + 4 五p ，i + 1 上+ 五 + l ( 1 一广) + 2 j ( 2 4 3 ) 方程( 2 3 9 ) 可以写作： p 丸= 一( 1 一y ) 丑一1 y 聃l 一2 一( 1 + y ) 五妒1( 2 4 4 ) l a k = - ( 1 + 力 1 丸h 一2 丸j 一( 1 一，) 丸川 对于有限的系统，我们可以数值地计算两格点密度矩阵，在文章【5 司中，l i e be t a l 给出了两格点的关联函数： ( 一町) = g m g j 。 g i i 、i f g i + ug l 舢2 ，、i ( o , 。y o ，y ) - - i k 邑+ l l q 山l g f + d ( 2 4 5 ) ( 2 4 6 ) ( 砰嘭) = 瓴q q 嘭 ( 2 4 7 ) ( ) = 丙i 乍g 。 ( 2 4 8 ) 其中g = 一莘如t a l l h 哇肚。) ，这里= 西1 ，七是玻尔兹曼常数，我们取i ；l 。 格点i 和j 之间的协作参量定义为： 1 6 二丝垒堑墨竺堕垫型丝 墨三兰二丝查塑墨竺型堡翌堕垫竺堕 c ：= m a x o ，吒一吃一弓一 ( 2 4 9 ) 其中是下列矩阵的本征值的平方根： r = 岛磊，磊= p o 盯) 店p 7 o r 7 ) 格点f 和jl - i 拘自旋的密度矩阵为： 功5 乃( 咖去三。叼， 但5 0 其中p = p = 护( 群吖岛) = ( 彤彤) ，砰是格点f 上的泡利矩阵，曰= ，是一个 2 x 2 的矩阵，这时我们可以写出岛的表达式： 1 乃2 i p + p n + p n + p 嚣 岛i + + p i 十扫女 只o + 只，+ 印+ 蛾 只l 一慨2 + 扣：i p 成。一 + p | ，一识： p * 一p + p 一p ” a ，+ 如4 - 机一识1 只。一只，+ 驷一护口 p m + p n i p m 一印4 p t i + p + 妒1 2 一i p 2 i p + p n p 一p ” + 醪一马i 一妒 只i 一驴n 一驷：l p p m 一只，一f p + f p 口 m 一妒缸一p + 枷站 p 一p n p * + p ” ( 2 5 1 ) 对于一维的x y 自旋系统，因为哈密顿量是厄米算符，所以露= 向，也eg l o b a l p h a s ef l i ps y m m e t r y 表明 o - ；o i ，岛】= o ，所以( 2 5 0 ) 式的非零系数为 p o o ，p ，p 3 0 ，p l 。，p 2 2 ，另外，p o e = 1 ，因为密度矩阵的迹必须归一。 我们得到： 其中 所以 岛2 q l 0 0 臼2 2 0 岛4 0 0 q 4 0 0 0 地学，铲学，= 生学 = 垃导鸭= 生学，= 生学 1 7 ( 2 5 2 ) 一维自旋系统的热纠缠 第二章维各向异性x y 模型的热纠缠 r = 吒+ q l a 0 0 o 2 砚4 口“ 0 a 刍+ 口血码3 2 o o 2 屹+ 屹 o 2 q l q 4 0 o 吒+ q 1 口4 4 ( 2 5 3 ) r 的本征值为： 2 = 无+ q l a 4 4 2 q l t l 4 4 0 ( 2 5 4 ) 。= 龙+ a r i a 3 3 2 龙玛3 o ( 2 5 5 ) 所以我们得到矩阵r 的本征值的平方根： 1 一 ，i 。= 玄 ( a l p n ) ( 1 + 风3 + + 见3 ) ( 1 一p 0 3 一p 3 0 + p 3 3 ) 】 ( 2 5 6 ) 1 一 = 去l + 如) ( 1 一几+ 一p 3 3 ) ( 1 + p 0 3 一p 3 0 一- 0 3 3 ) 】 ( 2 5 7 ) 将( 2 5 6 ) 和( 2 5 7 ) 式代入( 2 4 9 ) 式就可以得到协作参量c 。 2 3 均匀链的热纠缠 如果我们选择疋= t ，则该模型是均匀链，方程( 2 4 3 ) 可以写作： a 玉“= 卯( 1 一，2 ) y f - 2 j + 4 旯_ l + 【4 + a 2 ( 2 + 2 y 2 ) 】七 + 4 a 弘，“u + 兄2 ( 1 - r 2 ) + 2 ( 2 5 8 ) 利用前面介绍的方法，我们可以研究x y 链的任意两自旋的纠缠，我们对有 限长链进行计算，得到矩阵( a 一占) ( 爿+ b ) 的本征值和本征态矢，然后利用得到 的本征值和本征态矢我们就可以求得密度矩阵的系数凡。，从而把密度矩阵求 出，我们就可以得到x y 链的任意两自旋的协作参量随着温度和最近邻相互作用 的变化，如图2 1 。利用反周期边界条件 凹】，我们得到偶数链的协作参量与奇数 链有着相同的行为，如图2 1 和2 3 ( a ) 。而且我们也计算了自旋数为4 0 和1 0 0 的 链，发现链的长度对协作参量的影响不大，如图2 2 和2 3 ( a ) 。 图2 3 中我们给出了不同各向异性参数y 的协作参量随着温度和最近邻相互 作用的变化，从图2 3 ( a ) 中我们可以看到，对于较小和较大的名，当温度比较低 时，协作参量总是大于零，直到温度增大到临界温度，协作参量减小为零。在五 的中间区域，协作参量有三个临界温度毛，乇，乇，在丁 毛和乇 r 的区域，另外两 个在 吩的区域( 相应地，c = 弓一眨- r t 一) 。对于较大的2 ，如图2 5 ( 0 ，一z 和石的交点在，i 弓的区域，仅有一个临界温度。 对于均匀链，文章 2 s l 中得到该模型有一个量子相变点，为了研究在该量子 相变点附近的热纠缠行为，我们研究协作参量的偏微商a 。c 在不同温度下随着最 近邻相互作用的变化，发现得到的结果与文章f 2 7 】中的结果相似，如图2 6 。 = 丝皇塞墨竺塑垫型丝 蔓三兰二丝鱼塑墨丝型堡型塑垫型丝 c t 、铆- f j 、 i 。 、三5 一， 乏三 蛐 o 赫 蚴 c 也憾 札l d 螂 o 舳 “ 曲 矗i 越 t i | l 已：一一一一_ ! _ o 2 图2 5 ：协作参量c ，函数石( 实线) ，一石( 短划线) ，五( 点线) 随温度r 的变化示意 图t ( a ) ，( ”，( c ) 分别对应五= o 1 ，0 8 和3 ，y = 0 2 一维自旋系统的热纠缠 第二章一维各向异性x y 模型的热纠缠 图2 6 ：均匀链在量子相交点附近协作参量的偏微商a z c 随着相互作用五的变化示意图 插图( a ) 给出了在量子相交点