（基础数学专业论文）最高阶元素的个数及子群的弱s半置换性对有限群结构的影响.pdf

最高阶元素的个数及子群的弱s 一半置换性对有限群结构的影响 摘要 最高阶元素的个数及子群的弱s 一半置换性对有限群结构的影响 摘要 本文研究最高阶元素的个数及子群的弱s 一半置换性与有限群的结构之间 的关系主要结果如下： ( 1 ) 定理设p 1 3 为素数，m 是正整数，g 是有限群如果i m ( g ) i = 6 矿， 那么g 是可解群 定理设p 5 为素数，m ，t 为非负整数，g 是有限群如果j m ( g ) j ： 2 5 ”一p ，那么g 是可解群 ( 2 ) 利用极小子群和4 阶循环子群，p ：阶子群的弱s 一半置换性得到了有 限群p 一幂零性和超可解性的充分条件，同时也得到了关于具体的群系的一 些结论； 关键词：最高阶元；弱s 一半置换；可解群；超可解群；p 一幂零群；群系 作者：徐勇 指导老师：黎先华( 教授) t h ei n f l u e n c eo fe l e m e n t so ft h em a x i m a lo r d e r a b s t r a c t t h ei n f l u e n c eo fe l e m e n t so ft h em a x i m a lo r d e ra n dw e a k l y s - s e m i p e r m u t a b l ep r o p e r t i e so fs u b g r o u p so nt h es t r u c t u r eo ff i n i t eg r o u p s a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w es t u d yt h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h es t r u c t u r eo ff i n i t eg r o u p sa n d t h ee l e m e n t so ft h em a x i m a lo r d e ra n dw e a k l ys - - s e m i p e r m u t a b l ep r o p e r t i e so fs o m e s u b g r o u p s t h em a i nr e s u l t sa r et h ef o l l o w i n g ： ( 1 ) l e tpi sp r i m e ，mi sap o s i t i v ei n t e g e r ，gi sa f i n i t eg r o u p ，i fi m ( g ) i = 印“ t h e ngi ss o l v a b l eg r o u p l e tp 5 ，pi sp r i m e ，m ，ti sn o n - n e g a t i v ei n t e g e r s ，gi saf i n i t eg r o u p ，i f m ( g ) l = 2 5 p t h e ng i ss o l v a b l eg r o u p ， ( 2 ) w e o b t a i ns o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n so np - n i l p o t e n c yo ff i n i t eg r o u p sb yu s i n g t h ew e a k l ys - - s e m i p e r m u t a b l ep r o p e r t i e so fs o m em i n i m a ls u b g r o u p s ，c y c l i cs u b g r o u p so f o r d e r4 ，s u b g r o u p so fo r d e rp 2 m e a n w h i l e ，w eg e ts o m er e s u l t sa b o u tc e r t a i nf o r m a t i o n ； k e y w o r d s ：t h em a x i m a lo r d e r ；s o l v a b l eg r o u p ；w e a k l ys - s e m i p e r m u t a b l es u b g r o u p s ； s u p e r s o l v a b l eg r o u p ；p - n i l p o t e n tg r o u p ；f o r m a t i o n i i w r i t t e nb yx uy o n g s u p e r v i s e db yp r o f l ix i a n h u a 苏州大学学位论文独创性声明及使用授权的声明 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师的指导下，独立进 行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含 其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果，也不含为获得苏州大学 或其它教育机构的学位证书而使用过的材料。对本文的研究作出重要贡 献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人承担本声明的法律 责任。 研究生签名：兰筮重 e l 期：趁丝生堡璺 学位论文使用授权声明 苏州大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、清华大学论文 合作部、中国社科院文献信息情报中心有权保留本人所送交学位论文的 复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本 人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文 外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分 内容。论文的公布( 包括刊登) 授权苏州大学学位办办理。 研究生签名： 钨尊 日期：，沙。乃单4 日，r 目 导师签名：鍪叁垒 日 最高阶元素的个数及子群的弱5 一半置换性对有限群结构的影响 引言 引言 文【1 8 】研讨了最高阶元个数对有限群的影响，证明了当i m ( g ) i = 2 ，2 1 + 1 ， 妒( 七) ，l m ( g ) 2 0 l ，2 p ，2 p 2 ，2 p 3 ，6 p 0 为素数) ，2 m ( m ，3 0 ) = 1 或l o p ”白5 为素数) 时，g 为可解群当i m ( g ) l = 4 p 时，在文【9 】中作者证明除g 同构于岛外g 是可解群当l m ( g ) i = 1 叻0 5 为素数) 时，在文【1 2 】中作者证明g 是可解 群当i m ( g ) l = 3 0 时，在文献【1 3 】中作者给出了群g 的结构，并证明了它是 可解群本文的第二章在此基础上继续讨论了群的最高阶元素的个数对有限 群结构的影响第一节讨论了最高阶元素个数为助m 的有限群，我们得到定 理2 1 第二节讨论了最高阶元素个数为2 5 ”p t 的有限群，我们得到定理2 2 从子群的性质出发来研究群的结构，是研究有限群的结构的一个基本方 法而利用一些特殊子群的性质来刻画有限群的结构在有限群的研究中占有 很重要的地位为了寻找刻画或者揭示群的结构的好方法，人们引入了一些 概念，有力地推进了有限可解群论的发展 用子群的各种弱正规性来研究群的结构曾引起不少人的兴趣g 的子群 日称为在g 中是拟正规的( q u a s i n o m a l ) 或置换的( p e r m u t a b l e ) ，如果任意t g ， h t = t 日成立这个概念在1 9 3 9 年首先被o r eo ( 【1 6 】) 提出并研究群g 的 一个子群日称为s 一置换( s p e r m u t a b l e ) 或5 一拟正规( s q u a s i n o m a l ) 或7 r 一 拟正规( 7 r q u a s i n o r m a l ) ( 1 7 ) ，如果对v p s y z p ( g ) ，h p = p h 成立作为s 一拟 正规概念的推广，陈重穆在文【1 8 】中引进了s 一半正规子群的概念群g 的一 个子群日称为s 一半正规( s s e m i n o r m a l ) 或s 一半置换( s s e m i p e r m u t a b l e ) ，若 对任意p 忪i ，只要0 ，i h i ) = 1 就有日p = p h 成立，其中p s y z p ( g ) 群g 的 一个子群日称为c 一正规的( c n o r m a l ) ( 1 9 ) ，如果存在n 璺g ，使得g = h n ，且 日nn h a ，其中h a 为包含在日中的g 的极大正规子群群g 的一个子群 日称为弱s 一置换的( w e a k l ys p e r m u t a b l e ) ( 2 0 ) ，如果存在tqq g ，使得g = 日t ， 且日nt 也g ，其中风g 是由日的所有在g 中s 一置换子群生成的子群利 用上面提到的这些子群的概念来研究群的幂零性，超可解性已经获得了丰富 的结果特别地，在文【2 0 】中，a l e x a n d e rn s k i b a 得到 定理( s k i b a ) 设厂是一个包含甜的饱和群系，e 鱼g 使得a e 厂假设 p s y l p ( f + ( e ) ) ，如果每一个非循环的p 都有子群d ，1 l d l l p i 且对所有的 与d 的阶相等的子群日在g 中弱s 一半置换，则g 尹 最高阶元素的个数及子群的弱s 一半置换性对有限群结构的影响 引言 本文的第三章利用下面的概念来研究群的结构 定义1 设日是g 的子群，我们称日在g 中弱s 一半置换( w e a k l ys s e m i p e r - m u t a b l e ) ，如果存在g 的次正规子群t 使得g = 日t 且h nt 飓g 其中风g 是由日的所有在g 中s 一半置换子群生成的群 定义2 设日是g 的子群，我们称日为弱i 一可补的( w e a k l y 否- s u p p l e m e n t e d ) ， 如果存在g 的子群t 使得g = h t 且日nt 日- g 显然s 一置换子群、c 一正规子群、弱s 一置换子群、s 一半置换子群都是 弱s 一半置换子群在文【2 0 】中有例子说明弱s 一置换子群是s 一置换子群、 c 一正规子群的真推广下面只需说明弱s 一半置换是弱5 一置换、s 一半置换 的真推广 例1 设g = a 5 ，h = a ，t 5 s y 毛( g ) 贝0 有r a 4 = , 4 4 r ，取p 2 = ( ( 1 5 ) ( 2 3 ) ) ，则 有p 2 a 4 a p 2 ，又知g 为单群，故t 只能取g = a 5 ，所以g = 日t 且h n t = h ， 故日是a 。的弱5 一半置换子群而非弱s 一置换子群 例2 设g = & ，h = ( ( 1 2 ) ) 取t = a 4 ，则g = 日t 且日nt = 1 因此 日是g 的弱s 一半置换子群取马= ( ( 2 3 4 ) ) ，则有p 3 h h b ，所以日不是g 的童一半置换子群 在第三章的第一节主要讨论有限群g 的极小子群，4 阶循环子群的弱s 一 半置换性对g 的p 一幂零性，超可解性的影响，也得到了关于具体的群系的 一些结论第二节主要讨论有限群g 的p 2 阶子群的的弱s 一半置换性对g 的 p 一幂零性；超可解性的影响，也得到了关于一些具体的群系的一些结论 在本文中，所有的群都是有限群，g 表示有限群我们用丌e ( g ) 表示群g 中 元素的阶的集合，k = m 凹亿( g ) ，礼是g 中k 阶循环子群的个数丌( ) = 仞是素 数，p i t ，7 r ( g ) = 7 r ( i g i ) ，尬( g ) = z g i o ( x ) = 2 ，z 丌e ( g ) ) ，m ( g ) = ( a l a 蚴( g ) ) 特别地，m ( g ) = 地( g ) ，n ( g ) = 肌( g ) ；妒( z ) 为欧拉函数另外，设p 是一个 素数，矿i l 蚓，表示p “il g i 但矿+ 1fl g i ；m g 表示m 是群g 的极大子群； h g 表示日是g 的真子群；ac h a rg 表示以是g 的特征子群；用厂表示群 系( f o r m a t i o n ) 用甜表示超可解群系每个群g 都有一个最小的正规子群，满 足g i n 厂，这个唯一确定的g 的正规子群称为g 的厂一剩余( 歹一r e s i d u a l ) ， 记作伊另外，我们用琢( g ) 表示g 的厂一超中心伊一h y p e r c e n t r e ，详见【2 1 ， i v ，6 8 】) 文中其余的符号和术语是标准的( 参见【2 2 ，f 2 3 】) 2 最高阶元素的个数及子群的弱s 一半置换性对有限群结构的影响一 一些引理 第一章一些引理 引理1 1 设g 是有限群，l 是群g 中阶循环群子群的个数则i m , c g ) l = 劬( t ) 证明：设日，和凰为g 的t 阶循环子群若日，和风不同，则风n 尻 h 1 ， 也即是风n 凰中不包含t 阶元又因为每一个t 阶循环群子群有；6 ( t ) 个t 阶 元，所以j 舰( g ) j = 如( t ) 引理1 2 ( f 2 1 ) 若l m c g ) i = 垆( 七) ，则g 是超可解群 定义( 【2 】) 设h g ，h 称为g 的r 一全子群，如果h = ( a l a 尬( 日) ) ，并 且i n n ( n o ( h ) ) 可迁地作用在尬( 日) 上 引理1 3 ( 【2 】) 设h = ( 口a l a 尬( 日) ) 1 ，如果i 尬i = g 7 r ( g ( 日) ( 日) ) ， 则日是g 的r 一全子群，并且如果q = 2 ，则i n n ( n o ( h ) ) 二重可迁地作用在 珥( 日) 上 引理1 4 ( 【2 】) 设矿是一个群，r ( y ) ，7 = f i r 2 ，( r l ，7 ：2 ) = 1 3 ，6 1 ( 6 ) l ：( 3 ”) ，m 满足方程组： ：1三2或i：1三2u146 其中u ，t 为奇素数，6 1 ，c 1 t14 t j口vzj l tw 葡耳剁 ，-r)l 13 ”+ = 呐13 m + = 6 丌。7 叫丹m 。二。二 引理1 9 ( 【9 】) 设g 是有限群，g 中有n 个后阶循环群子群a i ，江1 ，2 ，n 把这儿个j 阶循环群子群按共轭分类，设他们有5 个轨道设a 。，a 2 ，a 为每一个轨道的代表，啦为包含a 的轨道的长度，则： ( 1 ) 他= l g ：g ( a ) l ，n = t t l + 锄+ + 7 l 。，7 r ( 啦) u7 r ( a ) = i t ( n 1 ) u7 r ( g ( a 1 ) ) ( 2 ) 丌( ( 珐( a i ) ) = 7 r ( a i ) ，i n c ( a ) ：( 强( a ) ii 妒( 七) ，i g l = i g ：n a ( a ) l l n a ( a ) ： ( a ) i i ( a ) l ，i = 1 ，2 ，5 引理1 1 0若i m c g ) i = 2 m ，这里m 是奇数，则有： ( 1 ) 七= 4 ，q 或2 口r ，这里口是奇数 ( 2 ) 若g 不可解，则走= 2 q 7 ，其中q 为奇素数，并且 ( g 一1 ) 是个奇数， g 的s y l o w2 - 子群s 有一个极大子群是初等交换的 ( 3 ) 若g 不可解，后= 1 4 ，i g i = 2 3 7 卢，则g 型a l 2 ( 7 ) ，其中a 是初等 交换2 一群 证明：( 1 ) - ( 2 ) 就是【l ，引理2 7 】( 3 ) 的证明含在【1 ，引理3 4 ( 2 ) 】的证明中 引理1 1 1 ( 【2 7 】) 设g 是有限群，a ，b 是g 的子群，如果aqq g ，则 anbqq b ；如果aq 司g ，bq 司g ，则( a ，b ) qq g ；如果aqg ，a k ，则 k n 司 j g n 铮kqq g 引理1 1 2 ( 3 a ，性质1 】) 设a 为g 的s 一半置换子群，a h g ，则a 在日中5 一半置换 引理1 1 3 ( 【3 1 ，性质2 】) 设a 为g 的s 一半置换子群，且a 为p 一群， n 旦g ，贝i ja 在g n 中s 一爿厶置换 引理1 1 4 设a 为g 的弱s 一半置换子群( 弱否一可补的) ，a h g ，则 a 在日中弱s 一半置换( 弱i 一可补的) 证明：因为a 在g 中弱s 一半置换，所以存在g 的次正规子群r ，使得 4 最高阶元素的个数及子群的弱s 一半置换性对有限群结构的影响 一一些引理 a t = g ，a ot 也g ，由引理1 1 2 知鬼g 鬼日，所以h = a toh = a ( t n 膏) ， ( tn 日) na 鬼日所以a 在日中弱吾一可补的又由引理1 1 1 知? nhq i h ， 所以a 在日中弱5 一半置换 引理1 1 5 设a 为g 的弱5 一半置换子群，且a 为p 一群，( i n ，p ) = 1 ， n 塑g ，贝! fa 在g n 中弱s 一半置换 证明：因为a 在g 中弱3 一半置换，所以存在g 的次正规子群丁，使得 a t = g ，a ot a - g 因为( i n i ，p ) = 1 ，所以n o p ( g ) t ，由引理1 1 1 知 t n 1 3 为素数，m 是正整数，g 是有限群如果i m ( g ) i = 6 p m ， 那么g 是可解群 证明：设k = m 凹丌e ( g ) ，g 有佗个k 阶循环子群，则每个k 阶循环子群 有垆( 七) 个k 阶元，因此，i m ( g ) i = 印( 七) = 印m 设k = 西1 谬西，o t i 1 ， p l 之p 2 p 1 3 ， 由引理1 5 知，d 必同构于l 2 ( 1 7 ) ( 2 4 3 21 7 ) 但在l 2 ( 1 7 ) 中有8 阶循环子群， 由引理1 1 0 知，此不可能因此g 的非a b e l 单截断只能是甄一单群由引 理1 ：8 知，g 的单截断否只能同构于下述甄一单群之一t 。 ( i ) 若否竺l 2 ( ) ，z 是素数，且满足方程： t 2 1 = 2 。3 d 矿，其中c 1 ，d 1 ，e 1 ，t 和u 是素数， u 3 因为i 三2 ( 亡) i = 垒篷业2，所以丌( - _ ) = 2 ，3 ，乱，t ) = 2 ，3 ，p ，7 ) 因为邸 1 3 矛盾因此西箬l 2 ( 7 ) ( i i ) 若否垡l 2 ( 2 ”) ，且m 满足方程组： ；：= ：；三3 u t d 其中m 1 ，仳，t 为素数，t 3 ，d 1 因为i l 2 ( 2 “) i = 2 ”( 2 m + 1 ) ( 2 一1 ) ，所以7 r ( - ) = _ 【2 ，3 ，t | ，t ) = 2 ，3 ，p ，) 若 u = p ，t = 7 ，则2 = 3 r d p = 3 ( 6 p ”- j + 1 ) d p 1 7 p + 3 3 ，矛盾 若u = 7 ，t = p ，贝42 = 3 p d 一( 6 p m 一5 + 1 ) = 3 p d 一助m j 一1 ，由1 j m 一1 得p3 ，矛盾所以召喾l 2 ( 2 m ) ( i i i ) 若否竺l 2 ( 3 ”) ，且m 满足下列方程组之一： 瑟：1三2扩或：。m：1三2u14其中t ，t 为奇素数，6 1 ，c 1 t 14 t b 13 m + ： 或13 m + ： 具甲u ，t 力命系甄，6 1 ，c 1 8 最高阶元素的个数及子群的弱5 一半置换性对有限群结构的影响二最高阶元素个数与有限群的结构 因为i l 2 ( 3 m ) i = 3 m ( 3 m + 2 1 ) ( 3 m - - 1 ) ，3 2 g i ，所以m = 1 ：此不可能所以否喾 l 。( 3 m ) 故假设不成立，所以g 可解 情形2 1 4 ：当n = 3 p j ( 1 歹仃l 一1 ) ，i m ( g ) i = 6 p m 时，妒( 七) = 2 p j ，七= r 或2 r ，其中，_ = 2 p ”o + 1 为素数假设g 不可解，由引理1 1 0 知，k = 2 r ，按 照情形2 3 的讨论可得，丌( g ) = ( 2 ，3 ，p ，r ) ，并且g 的非可解单截断只能是甄一 单群由：l 挑= 妒知，存在i 使得3 2t 啦由i n a ( a t ) ：c g ( a ) i i 妒( 七) 和 i g l = 他i n a ( a i ) ：( a ) i i ( a ) i 知，3i ll g l 由引理1 8 知，g 的单截断否只 能同构于凰一单群l 。( t ) ，l z ( 2 m ) 和l 2 ( 3 ”) 之一，因此证明与情况2 1 3 一样 情形2 1 5 ：当礼= p m ，i m ( g ) i = p - , 时，妒( 七) = 6 ，k = 7 ，1 4 ，9 ，1 8 假设g 不可解，由引理1 1 0 知，k = 2 q i ，因此k = 1 4 ，1 8 当七= 1 4 ，设7 7 r ( g ) 2 ，7 ) ， 那么r 岩丌( ) ) 并且r 1 3 ， p = 1 7 如果g 不可解，那么g 有一合成因子w 是 2 ，3 ，1 7 - 群，从而由引理 1 5 知，w 垡三2 ( 1 7 ) 因为l 2 ( 1 7 ) 中有8 阶元，此与g 的s y l o w - 2 子群有极大子 群是初等交换群矛盾故假设不成立，所以g 可解 情形2 1 6 ：当n = 3 p ”，l m ( g ) i = 印”时，妒( 七) = 2 ，k = 3 ，4 ，6 设r 丌( g ) 2 ，3 一如果，丌( ( a ) ) ，那么g 有七r 价元，一个矛盾，因此rg 丌( ( a ) ) 由i n g ( a i ) ：( a ) i l 妒( 七) 和i g i = 啦i g ( a ) ：( a ) i i ( a ) l 知，ri 啦，其中 i = 1 ，2 ，5 由：1 啦= 他知，7 i = p 这与r 七矛盾故7 r ( g ) 2 ，3 ) ，所 以g 为可解群 情形2 1 7 ：当佗= 6 p ”，i m ( g ) l = 6 p “时，垆( 忌) = 1 k = 2 此时g 为初等 交换2 群，故i m ( g ) i 为奇数，矛盾因此这种情况不存在 定理证毕。 注：特别地，当m = 1 时，即为文【1 】的主要结果 9 最高阶元素的个数及子群的弱s 一半置换性对有限群结构的影响二最高阶元素个数与有限群的结构 2 2 最高阶元素个数为2 5 m p 。的有限群 定理2 2 设p 5 为素数，m ，t 是非负整数，g 是有限群如果i m ( g ) i = 2 5 mp t ，那么g 可解群 证明：设七= m 丌e ( g ) ，g 有几个七阶循环子群，则每个七阶循环子群有 妒( 七) 个七阶元，因此，i m ( g ) i = 叩( 七) = 2 5 ”矿设七= p a l p 尹p a ，o t i 1 ， p l 3 ，又i m ( g ) i = 2 5 ”p t ，所以n 3i5 矿，且m = i g ：n a ( p 3 ( g ) ) lii g i ，故 有n ai ( 5 ”矿，2 。3 5 ) = 5 ，与n 3 三1 ( r o o d 3 ) ，矛盾所以假设不成立，故g 可 解 情形2 2 1 0 ：当n = 2 5 m p t ，l m ( g ) i = 2 5 ”矿，妒( 七) = 1 ，k = 2 ，则g 是初 等交换2 ，群，故g 的最高阶元素个数是奇数，矛盾 因为2 p 2 ，2 5 m ，1 0 p ，2 p 3 ，l o p 都是2 5 m p 的特殊形式，所以有以下推论： 推论2 3 1 3 1 设p 5 为素数，g 是有限群如果l m ( g ) l = 2 p 2 ，那么g 是可解群 推论2 3 2 s l 设g 是有限群如果i m ( g ) i = 2 5 m ，那么g 是可解群 推论2 3 3 1 6 1 设p 5 为素数，g 是有限群如果l m ( g ) i ；1 0 p m ，那么g 是可解群 推论2 3 4 1 7 设p 5 为素数，g 是有限群如果l m ( g ) i = 2 p 3 ，那么g 是可解群 推论2 3 5 【1 2 l 设p 5 为素数，g 是有限群如果i m ( g ) i = 1 0 p ，那么g 是可解群 推论2 3 6 设p 5 为素数，t 为非负整数，g 是有限群如果l m ( g ) i = 2 p t ， 那么g 是可解群 最高阶元素的个数及子群的弱s 一半置换性对有限群结构的影响 三 弱8 一半置换子群 第三章弱s 一半置换群与有限群的结构 3 1 极小子群，4 阶循环子群为弱5 一半置换子群的有限群 定理3 1 1 设g 为有限群，p 为g 的一个素因子，且( i g i ，p 一1 ) = 1 ，n 里g ， a l n 为p 一幂零群，若的一个s y l o wp - 子群的每个极小子群和4 阶循环子 群都在g 中是弱i 一可补的，则g 为p 一幂零群 证明：假设定理不真，设g 为极小阶反例，则g 不是p 一幂零群对任意 的h 2 显然t 为g 的真子群，故t 幂零不防 设qqt ，所以t g d q ) ，由g 为非p 一幂零群，则必有i g ：g d q ) i = p 由 s y l o w 定理知p = 幻+ 1 且k 0 ，所以有qi ( 1 a l ，p 一1 ) = 1 ，矛盾 当i g ：t l = 1 时，也即是r = ( z ) 在g 中s 一半置换，则r q = q r g ， 由pnr q = r ( p f - iq ) = r 塑r q 知r q n c ( r ) 因为p o ( p ) 是初等a b e l p 一 群，所以r o ( p ) o ( p ) 璺p o ( p ) 又q n d n ) ，贝! jr 西( p ) o ( p ) 璺g 圣( p ) ，即 r o ( p ) 璺g ，且满足圣( p ) 2 ，则p 为p 阶循环群，与i p i p 2 矛盾 若p = 2 ，则由p 为循环群可知g 是p 一幂零群，矛盾 综上极小阶反例不存在，定理得证 推论3 1 2若g 的一个s y l o w2 一子群的所有2 阶及4 阶子群在g 中弱 5 一半置换( 5 一半置换，c 一正规) ，则g 为2 一幂零群 推论3 1 3设p 为g 的最小素数，且p 2 若g 的一个s y l o wp 一子群 的所有p 阶子群g 中弱s 一半置换( s 一半置换，c 一正规) ，则g 为p 一幂零群 定理3 1 4设p 是g 的s y l o w2 一子群若p 是交换群，且p 的每个2 阶子群在g 中弱3 一半置换，则g 为2 一幂零群 证明：设g 是极小阶反列由引理1 1 4 知，条件是子群遗传的，所以g 为内2 一幂零群根据引理1 2 3 可设g = p q ，其中p ，q 分别为g 的s y l o w2 一 子群，s y l o wq 一子群，p 司g 且e x p p 4 ，q 为循环群 因为p 交换，由【2 4 】定理1 1 ( 7 ) 知p 为初等交换群，从而e x p p = 2 任取 z p ，则d ( z ) = 2 由题设知，存在t q 司g 使得( z ) t = g 且( 2 ；) n t ( z ) i g ( z ) 若( z ) nt = 1 ，则i g ：t i = 2 ，所以t 甸g ，又因为t 为2 一幂零群，所以 正，c h a rt 司g ，又显然有正，= g 2 ，所以g 2 ，司g ，故g 为2 一幂零群，矛盾所 以对任意的z p 都有( z ) nt = ( z ) i g = ( z ) ，故( z ) 在g 中s 一半置换，所以 ( z ) q = q ( z ) ，又q 为循环群，所以( z ) q 为超可解，故qq ( z ) q ，即驴= q ，由 z 的任意性知q 司g 矛盾 故极小阶反例不存在，所以g 为2 一幂零群 定理3 1 5设g 的每个p 阶子群含于瓦( g ) 中，且4 阶循环子群在g 中弱s 一半置换，则g 为p 一幂零群 1 4 最高阶元素的个数及子群的弱s 一半置换性对有限群结构的影响 三 弱s 一半置换子群 证明：设g 为极小阶反例h 2 ，则 e x p p = p 若p 2 ，则由题设知p z o o ( g ) ，从而由文【2 6 】知，瓦( g ) q 为幂零群， 所以g = p q = 瓦( g ) q 为幂零群矛盾故p = 2 设z p ，下证z n a ( q ) 若 d ( z ) = 2 ，则( z ) 含于瓦( g ) ，又瓦( g ) q 为幂零群，故驴= q ，所以z g ( q ) ；若 d ( z ) = 4 ，则由题设知( 正) 在g 中弱s 一半置换，所以存在t 3 q g 使得( x ) t = g 且扛) i - it ( x ) s a 往) 贝i jl g ：t i = 1 ，2 ，4 当i g ：t i 1 时，因t 司 3 g ，贝i j 存 在m 2 ，则由题设知np 瓦( g ) 又因为e p 为q 群，g n 为 p 一幂零群，所以c nnp 为p 一幂零群，而g nnpsa n g i p ，所以 q ( n o p ) n n p 塑a n n p 若q ( n n p ) = g ，则g = 瓦( g ) q 为幂零群矛盾，故 q ( n a p ) g 由g 的极小性知q ( n a p ) 为p 一幂零群，所以qc h a rq c n a p ) g ， 故q 司g ，矛盾，所以p = 2 由定理3 1 5 知1 n g ，所以为p 一幂零群，令 n = px 口，其中p s z y p ( g ) ，e s l y 。( ) ，则p = n a p p ，m = n a q q 若口= q ，则qc h a rn qg ，故qqg ，矛盾若口= 1 ，则n p ，又g i n 为 p 一幂零群且p 一幂零群为饱和群系，所以p n ，故n = p 由定理3 1 5 知g 为p 一幂零群，故1 g 2 ，则有d ( z ) = p 2 ，又由题设知，存 在tq i g 使得( z ) t = g 且( z ) nt ( z ) i g ( z ) 若( z ) nt = 1 ，则i g ：t i = p ， 即t 为g 的极大子群，又tqq g ，所以t 司g 又由g 的极小性知t 为p 一 幂零群，所以g 为p 一幂零群矛盾故( z ) nt = ( z ) i g = z ) ，即( z ) 在g 中5 一 半置换，所以z ) q = q ( z ) ，由s y l o w 定理知qq ( z ) q ，否则有幻+ 1 = p ，其中 k 0 ，k z + ，即qi ( 1 a l ，p 一1 ) = 1 矛盾，故驴= q 由z 的任意性知q 司g ， 矛盾，