（基础数学专业论文）minkowski四维时空m4的主要性质及粒子的相对论运动方程.pdf

摘要 本文由两部分组成，首先将引入m i n k o w s k i 向量空间u ，u 被赋予一个非退化的 内积，而且这一内积并非恒为正，因此关于向量长度，及两向量之间的夹角等概念 就没有意义了。第一部分介绍m i n k o w s k i 四维时空中直线与直线及直线和m 4 子流形 的位置关系，特别突出分离函数在其中的作用第二部分将首先建立在m 4 中运动粒 子的相对论性方程并与牛顿的经典运动方程相比较，进而给出动能、质量等概念的 相对论表达式。 关键词：m i n k o w s k i 四维时空，分离函数，运动粒子的相对论性方程 a b s t r a c t t h i sa r t i c l ec a nb ed i v i d e di n t ot w op a r t s f i r s t ，w ew i l li n t r o d u c ef o u r - d i m e n s i o n a lv e c t o rs p a c ev 4 t h i sv e c t o rs p a c ei se n d o w e dw i t han o n d e g e n e r a t e di n n e rp r o d u c tw h i c hi sn o t p o s i t i v ed e f i n i t e t h e r e f o r e ，t h ec o n c e p t so ft h en o r m ( o rl e n g t h ) o fa f o u r - v e c t o ra n do ft h ea n - g l eb e t w e e nt w of o u r - v e c t o r sh a v et ob ea b a n d o n e d i nt h ef i r s tp a r t , w ew i l lb r i e f l ym e n t i o n t h er e l a t i v ep o s i t i o nb e t w e e nt w os t r a i g h tl i n e sa sw e l la ss t r a i g h tl i n e sa n dt h em i n k o w s k i s u b f l a ti nm i n k o w s k im a n i f o l dm 4 w ew i l le s p e c i a l l yh i g h l i g h tt h er o l ei nw h i c ht h es e p a - r a t i o nf u n c t i o np l a y s i ns e c t i o nt w o ，p r e r e l a t i v i s t i cm e c h a n i c si sb r i e f l yr e v i e w e d i nt h es e t t i n go fp r e r e l a - t i v i s t i cm e c h a n i c si ns p a c ea n dt i m e ，t h eo m e n t u mc o n j u g a t et ot h et i m ev a r i a b l et u r n so u tt o b et h en e g a t i v eo fe n e r g y a f t e rt h i s ，t h er e l a t i v i s t i cm e c h a n i c si si n v e s t i g a t e d k e yw o r d s ： f o u r - d i m e n s i o n a lm i n k o w s k is p a c e ， s e p a r a t i o nf u n c t i o n ，s h er e l a - t i v i s t i ce q u a t i o no fm o v i n gp a r t i c l e 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。 据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或撰写 过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说 明并表示谢意。 作者签名：奎l 萄i 尘l 日期：丛型芷么主一 学位论文授权使用声明 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留学 位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版。有权将学位论 文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅。有权将学位论文 的内容编入有关数据库进行检索。有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的 学位论文在解密后适用本规定。 学位论文作者签名：! j 磊监导师签名：址 导师签名：么翌圣 日期：边1 2 五：竺：p 日 期：至生墅：f 旦 第一章引言 f i t z g e r a l d 和l o r e n t z 分别在1 8 8 9 年、1 8 9 2 年通过在运动方向上引入长度收缩而 改变了g a l i l e a n 变换规则。引入的收缩概念解释了m i c h e l s o n m o r l e y 试验，但都 被f i t z g e r a l d 和l o r e n t z 认为是一种数学上的技巧而不是自然规律。在1 8 9 8 年l a r - m o r 为了试图找出使m a x w e l l 方程保持不变的变换而引入了类似的时间膨胀概 念。p o i n c a r e 也在1 9 0 5 年发现了l o r e n t z 变换并断言它是自然界的不变群。e i n - s t e i n 从物理学角度出发发现了l o r e n t z 变换，e i n s t e i n 是这些人中唯一一个发 现l o r e n t z 变换的哲学内涵，这一变换实际上否定了绝对的时空观。他指出任何 惯性系在描述自然规律方面的等价性，并指出光速是一切物体运动的最大速度， 即光速对于一切惯性系来说都是相等的。这样m i c h e l s o n m o r l e y 试验就与理论相 一致了。m i n k o w s k i 则把e i n s t e i n 的两条基本物理原理用一条数学定理来描述，即 “所有的自然规律都可表述为在绝对时空流形m 4 上的张量场方程 。本文将在文 献【2 】、【3 】、【5 】、【9 】等的基础上探讨相对论时空m 4 的主要性质及粒子在此时空背景 下的运动方程。 在引入m i n k o w s k i 流形之前将首先介绍m i n k o w s k i 四维向量空间u ，u 被赋予一 个非恒为正的内积，我们需定义一个新的概念：分离函数，它是长度概念的推广。 在u 中向量可分为类空、类时及零向量三类。可以证明两个类时向量不可能m 一正 交。 m i n k o w s k i 四维时空m 4 允许存在一个整体定义的坐标图，m 4 ) 。在此坐标图 下基向量m 一正交，即对于任意p m 4 有 【e i ( p ) e a p ) 】= d , j 】= lo o0 o1o o o o1o o o o一1 第一章引言 在此基底下我们将首先定义m 4 中三类曲线：类时曲线、类空曲线及零曲线，给出沿 世界线的时空问隔s ( 们，h i c k s ( 参见【1 】) 证明了可以从类时间隔得到类空间隔，此即命 题3 。从m 4 中两条直线m 正交的定义出发可以证明m 4 中的勾股定理及验证一条类 时直线和一条类空直线m 正交的一个方法。通过定义两直线间的距离d ( s ) s y n g e ( 参 见【5 】) 证明了m 4 中两直线保持平行的充要条件是d ( s ) 为定值。 不同类型的2 平面与光锥相交时，其公共部分也将不同，这将在命题6 中证明。 这一部分的最后将证明一个与直观不相符的命题( 参见【4 】) 。 第二部分探讨粒子在m 4 中的运动方程，即粒子的相对论运动方程。由于爱因斯 坦狭义协变原理( 参见【1 0 】) 有质量的粒子在m 4 中的运动曲线必然是类时的，我们定 义其切向量矿( s ) ( 其中s 为固有时) 为沿曲线的四速向量，通过固有时s 与实际测量 时间t 之间的关系命题9 证明了四速向量矿( s ) 与实际测量速度伊( f ) 有如下关系： i v k ( t ) l l u k ( s ) l ， 关于这方面内容可参阅【8 】、【1 1 。为了从牛顿运动方程过渡到相对论运动方程需要 引入m 4 中粒子的四维动量向量p k ( s ) ，在将牛顿运动方程在尬中作形式推广的基础 上，为赋予该方程以物理内涵就需要引入运动质量、相对论三维力等概念( 请参阅文 献【7 】、 9 】、【1 0 】) 。这一部分的最后将以带电粒子在电磁场中的运动为例具体讨论相 对论运动方程的物理含义。 2 第二章m i n k o w s k i 时空地及分离函数 本章将首先引入m i n k o w s k i 四维向量空间u ，根据向量与自身的内积将向量分 为三类：类时向量，类空向量及零向量。n o l l ( 参见 2 】) 根据s c h w a r z 不等式证明了 两个类时向量不可能m 一正交，实际上两个类时向量的内积属于区间( 一o o ，一l 】，这是 命题2 的内容。在狭义相对论中时空是平坦的m i n k o w s k i 四维流形m 4 。在m 4 中 任取一点沛，做以翮为顶点的锥体，m 4 就被划分为关于如的三部分，这是由光 速是物体运动的最大速度这一性质决定的。我们将在m 4 中引入一个重要概念 见定 义3 】：即沿曲线的时空间隔，命题3 说明如何从类时间隔得到类空间隔，本章的最后将 给出s y n g e ( 参见【3 】) 证明的尬中两条直的世界线平行的一个充要条件。 定义1 m i n k o w s k i 向量空问v 4 定义在实数域r 上，除满足一般线性空间的定义外还 要满足： i l ：a b r ，叉寸v 口，b v 4 如：a b = b a ，尉口，b v 4 厶：( 砌+ l a b ) c = a ( a c ) + t z ( b c ) ，叉拟，p r ，a ，b ，c u ( 2 1 ) 厶：a x = o 对所辄v 4 ，当且仅当a = 0 d 1 ：d i m v 4 = 4 另外取e t 。e 2 ，e 3 e d 作为v 4 的基。则关于这个基的度量张量的分量定义为： g 玎兰e i e y ， f ，j 1 ，2 ，3 ，4 ( 2 2 ) 由如知鼢= g y if ，j 1 ，2 ，3 ，4 四维单位向量定义为i = i a 矩阵 g i j 的特征值是以t 特征方程的根： d e t g q 一, t 6 q 】= 0 3 ( 2 3 ) 第二章m i n k o w s k i 时空m 4 及分离函数 由于g i j 是对称的( 2 3 ) 的根全为实数。又由非退化性定理1 4 g i j 的根非零。要 求g j 的特征值的符号满足： s 1 ：, t l 0 ，也 0 ，也 0 ，山 0 ，“称为类空向量 ( i i ) 任意向量怯1 1 4 。若h u o ，h 称为类时向量 ( i i i ) 任意向量u 1 1 4 ，若u - u = 0 。u 称为零向量 命题1 v 4 中任意两类时向量不可能m 正交 证明? 设u ，v 是两类时向量，因此有： u u = d u u u j = u a u 口一( “4 ) 2 0 ，v = d , j c v j = 俨俨一( v 4 ) 2 0 由以上两式得 讥瓦刁移 l u 4 v 4 1 由s c h w a r z 不等式得 i “口俨l 0 下面解出此方程，为此目的考虑2 个三维空间单位向量： a 口a 口= 1 ，铲铲= 1 在球坐标下可写为： a 1 = s i n ( 0 ) c o s ( c ) ，a 1 - - s m ( 0 ) c o s ( 6 ) 4 ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) 口 ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 第二章m i n k o w s k i 时空他及分离函数 a2=sin(o)a s m s i n ( ：) 铲= s m ( 旬s i n ( 参) = 西1 石广=i 秽) s l n ( 妒j a 3 = c o s ( o ) 。a 3 = c o s o ) 其中o 0 l r , 0 舀7 r ，0 g r , 0 丌 设沙是向量口p ，扩的夹角，则有 c o s 缈= a 口a 口= c o s o c o s + s i n o s i n o c o s ( 一多) ，0 缈l r 我们总可以将t 表达为： 尸= ( s i n h x ) a 口，严= ( s i n h k ) f i 口， ，= c o s h x 0 尹= c o s h k 0 其中z ，名r 因此有： 一t f = c o s h xc o s h 名 c o s 2 ( 砂2 ) + s i n 2 ( 砂2 ) 】一s i n h xs i n h 名 c o s 2 ( 砂2 ) 一s i n 2 ( 沙2 ) 】 = c o s h ( x 二- 射c o s 2 ( 砂2 ) + c o s h ( x + 启) s i n 2 ( 砂2 ) 0 做另外一个变换石= s i n ( 够，2 ) ，x 【o ，1 】，有 y 兰一t f = c o s h ( x + 启) 一c o s h ( x 一2 ) x 2 + c o s h ( x 一妫三八曲 ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) 由于x 【0 ，1 】，所以当c o s h ( x + 启) 一c o s h ( , t 一聊 0 时，( 曲为抛物线的一部分且 厂( 力0c o s h ( x 戈) sy c o s h ( x + , 宕) 当c o s h ( x + 戈) - c o s h ( x - , ) 0 时，厂( 曲为抛物线 中满足厂0 的一部分，且c o s h ( x + 戈) y c o s h ( x 戈) 当c o s h ( x + 霄) 一c o s h 钾- 2 ) = o 时，( 力是一条直线且厂( 功= o ，y = c o s h ( x + 劝= c o s h ( x 一启) 在以上三种情况中都 有m i n c o s h ( x + 聊，c o s h ( x 一劝 y m a x c o s h ( x + 劝，c o s h ( x 一名) l 因为函数c o s h ( x ) 有 最小值l ，无最大值。所以l y o o ，即一o o c o s h ( x 一启) ，y = 1 时x = o ，c o s h ( x 一名) = 1 ，因此砂= 0 , x = 名，即0 = 务，= 参，t = f 4 = 声；因此f = 当c o s h 倪竹) c o s h ( x - ) p ) 时， 最小值即c o s h ( x + 启) = 1 ，x = 1 因此砂= 丌疋= - 2 ，含= i 一p ，参= 7 1 + ，即尸= 尹，尹= 尹，t = 消c o s h f x + 妫= c o s h ( x 一名) 时，最小值为1 对于v x 【o ，l 】都成立。所 以c o s h ( x + 妫= c o s h ( x 一名) - - = 1 ，因此彤= 戈= 0 ，即尸= 产= 0 ，一= 尹，所以t = f 1 ：3 类似于m i n k o w s k i 向量空间中的向量可根据与自身的内积而划分为类时、 类空及零向量，在尬中可根据曲线y 上任一点p 处切线的内积0 0 = t r ( f ) ，) = 叫dd x 西1 ( t ) d m 西( t ) 将曲线区分为类时、类空及零世界线。 5 第二章m i n k o w s k i 时空胁及分离函数 有质量的物体的轨迹满足： 如掣警 o 因此有质量物体运动轨迹的切向量是类时的。 质量为零的光子或其它粒子的运动方程满足： 如掣掣= o 因此无质量物体运动轨迹的切向量是零的 对于假设中的快子，其轨迹的切向量是类空的 关于不受外力作用的自由粒子，它的运动方程满足： 可d 2 彤i ( t ) = o ( 2 2 2 ) 的一般解为： = 形( f ) - - e o + v k ( t ) ， 其中，矿是积分常数对于已知的粒子满足d , j 0 顶点在x o r 4 的光锥对应于如下点集： n x o 兰f x ：d u ( x 一4 ) ( x j 一) = o ) ， ( 2 2 0 ) ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) 其中一是m i 蜘s l d 坐标。时空中的事件可以按照它们相对于光锥的位置分为三 类。对于对应于如下点集的事件 i x ：d , j ( 一4 ) ( x j 一) o , x o 0 ) 6 ( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) 第二章m i n k o w s k i 时空慨及分离函数 称为相对于勋的现在事件。这一概念推广了牛顿关于现在事件的概念。这样的划分 不因观察者的不同而不同。 对于在锥面上且x 4 x g o 的点满足 堕型篁鲁霉型i 鲨：l ( 2 2 8 ) 酽一蝶i 、 以上表达式的物理意义是在我们的单位下光速值是1 ，因此光锥代表了光在时空 中的传播。 定义3 一奈可微的世界线y ? 【口，b 】_ 慨的时空分离函数 s = s = r 咖舻r 正掣掣胁 亿2 9 ， 以上方程是曲线弧长概念的推广。当y 是连续分段可微的世界线时方程( 2 2 9 ) 推广为： 兰r 孵+ f 届雾 其中a t l 0 如( 一) ( c j a 7 ) 0 如( 一b i ) ( c j b j ) - - - 如【( 一a i ) 一( 一日) 】【( 一a j ) 一( b j 一口j ) 】 = d o r c a i ) ( c j 一口) + 如( 一a i ) ( b i 一) 0 因此连接b ，c 的直线均是类空的，并有关系式： 【s ( ，3 ) 】2 = 【s ( y 1 ) 】2 + 【s ( ，2 ) 】2 这正是推广的毕达哥拉斯定理。 当y l 是类空，忱是类时的时候 d t j 州一a i ) ( b j d 、) 0 幽( 一a i ) ( d 一) 0 ， = 影( ) = f i s 7 + b ”，d 】 j t t j = 一1 ，4 0 若f ，= t 则y ，平行。 现假设y ，7m 一正交，我们有 d k j g k 一、) t j = d k j o k s l + b k 一s 一栌、) t j = 0 i = q k l j l k ) - r d d a ( b c b c 、) 一武 由( 2 4 0 ) ( 2 4 3 ) 得： t 一= 一【产+ ( d 】f f j ) 一1 i s + 矿三七一矿+ ( d i f l i t j ) 一1 【商卵尸七( 扩一6 。) 】 沿7 的两直线之间的距离 【d ( s ) 】2 三【s ( 劢】2 = 以j ( 七一) ( 一) ( 2 4 0 ) ( 2 4 1 ) ( 2 4 2 ) ( 2 4 3 ) ( 2 4 4 ) ( 2 4 5 ) = i 1 一( d i j t i l j ) 一2 】，一 2 d q f f t j + ( d k l ? f ) 一1 f q l s + c 矗庐秒 ( 2 4 6 ) 命题4 设7 。是由( 2 4 0 ) - ( 2 4 1 ) 表示的两条直的类时世界线。则7 平行的 充要条件是d ( s ) 是一个常数o 证明? ( i ) 假设y ，是平行的。则矿= 产并且由( 2 4 0 ) ( 2 4 1 )( 2 4 6 ) 我们 得咴，矿f ，= 一1 ，1 一( d i j l i t j ) 一2 = 0 ，t j + ( 反，产，) ，= 0 ，即【d ( j ) 】2 = 面庐秒因此d ( d 是一个 常数。 ( i i ) 假设d ( j ) 是一个常数。则由方程( 2 4 6 ) 得： t 2 嘉 【d ( s ) 】2 l = o ， 2 【l 一，j ) 以】= 0 ， 奶，j = 士1 ( 2 4 7 ) 由命题2 知d i j # t j = 一1 又由推论2 1 得，= ，因此y 和平行。 口 9 第三章地中的平坦子流形 本章讨论尥中平坦子流形的性质， 关系。首先将引入平坦子流形的概念， 重点探讨2 一平面吮与直世界线的位置 命题5 证明平坦子流形3 = x ：a f 一= o ，6 i j a i a ， o l 与直世界线y ：一= a t ，t rm - - i e 交。2 一平面0 2 可分为三类：类时， 类空及零2 一平面，命题6 介绍g e l d ( 参见 8 】) 证明的过原点的光锥与过原点的2 一 3 三忸：a f + b = 0 ，5 i j a i a j 0 1cr 4 z 2 三 x ：a f 一十b = 0 ，a ：+ = 0 ，5 i j a i a j 0 ，5 q a i a ： o ，a ；l l a i l 三协：a f 一+ b = 0 ，a ：+ = 0 ，a ；一+ 7 = o 眺矧 当砀过原点时，由于系数矩阵的秩假设为2 ，可写为： x 1 = 日l 瓦+ 易l 可p = 口2 瓦+ 参再 1 0 ( 3 1 ) 第三章尥中的平坦子流形 ，= 瓦，= - 其中佩刃r 2 由于( 3 1 ) 的解空间是2 维的，我们可以将表示为对称参数形 式： 2 三 工：= a i u + b i v ，口f a j 0 ，5 i j b i b j 0 ，a i , t b i ，( “，1 ，) r 2 1 ( 3 2 ) y 为一条直的世界线，如果子流形矿中每条与y 相交的直世界线都与7 正交，则 称y 与子流形矿m 一正交。 命题5 令砀= 协：a i x i = o , 6 i j a i a j o ) 贝值世界线y ：一= a tt r 与0 3 胁正交。 正p ：令) = a i 气1 ) ，因此我们有奶一1 ) = d q x 。a 圾1 ) - 似f 一) = 0 n 定义6 4 a 兰( d i b i ) 2 一( a i a ) ( b j b j ) 则有 ( da o 时2 一平面观称为类时的 ( 叻a 0 ，u 有两个不同的解。将此两解带入( 3 2 ) 得： 一= 。形( 1 ，) 三 ( n t a k ) 一1 【一( 口，+ 一】+ b i v 三n i l ， ，= 彤1 ( 1 ，) 兰- a ( a k a k ) _ 1 【，+ v 】一b 1 ，三n ”，1 ， ，。 。，一 。， 其中，r 由于n f n = n , i l = 0 ，所以( 3 4 ) 表示两条零线。 ( i i ) 对于类空2 平面，a 0 一d k t d , z k ( s ) t d 2 l ( s ) 0 ( 5 4 ) 1 5 第五章粒子的相对论运动方程 由上面第一式知彤4 在【o ，j l 】上可逆，因此 定义沿曲线的四速向量： 即沿曲线的单位切向量。 由( 5 6 ) ( 5 4 ) 可知： s = j 矽( ) = 5 尹( 力t t o ，t l 】 揶) 三挈， 如扩( s ) “。( s ) = 一1 为了得到我们实际上测量的速度，我们将运动曲线重新参数化， ( 5 5 ) ( 5 6 ) ( 5 7 ) r = 影口( j ) = 彤口【夕( f ) 】_ 彤陋( f ) ，x 4 = o q l ：1 1 4 ( t ) = 厶 伊兰掣 ( 5 8 ) 命题9 m t n k 0 w s n 速度矢量的分量和s 之对应的可测量的速度矢量的分量有如下不 等关系式： 证明? 由方程( 5 7 ) 得： 因此 即有 旷( f ) i i u 口( s ) l 等】2 一嘶掣掣乩 【警】2 = 一嘶 挈儿警】1 掣 等】_ 1 ) _ = 【1 - 1 如俨( 力伊( f ) r 旧钏- 一嘶俨( o v a ( 纠- | 乩 ( 5 9 ) ( 5 1 0 ) 因此， i = 一d s ii d s 一1 = h ) 【l - 如v 口( 帆卅 即1 1 尸( f ) l i “口( 力i 口 1 6 第五章粒子的相对论运动方程 设物体的静质量为m ( s ) 则物体的四维动量向量定义为： p k ( s ) 三m ( s ) d k ，u ( j ) = m d k f u ( s ) 由( 5 7 ) 可得 扩e k ( s ) p l ( s ) = 一m 2 对于一个受外力作用的粒子，四向量的运动方程是： 晏卜掣】= 陬删一耐；学j 其中工三( x 1 , x 2 ，x 4 ) ，u 兰( “1 ，u 2 ，u 3 ，u 4 ) f k ( x ，h ) 为外力场的分量， 程( 5 1 ) 的自然推广。 命题1 0 固有质量m ( s ) 沿世界线为定值的充要条件是： d k td “写4 ( s ) f “) i 三o 证明? 由( 5 1 2 ) 得 ( 5 1 1 ) ( 5 1 2 ) 这是牛顿运动方 ( 5 1 3 ) 掣挚! + m ( s ) 掣：f k ( x , u ) l d sc l sc l s 等式两边乘么，( d g c ( s ) d s ) 并求和得 1 d m ( s ) d ，掣掣堋s ) d k f 掣掣：d k l f k ( x , u ) 一d 9 5 t ( s ) ， c l s口sd sa s c l sd s 简化为 掣( _ 1 ) + 知) 五d d j l 口 s k ( s ) d 瘦口5 s t ( s ) = c l - k l 氅塑耿圳) i = - ，。l x ，“儿 因此 一下d m ( s ) = d k l 掣m 砒 一- = j 一，l 工，髓，l 所以d m ( s ) d s = 0 的充要条件是以“d 。形七( s ) d s ) f l ( x 蹦) l善, 0 1 3 推论1 若m ( s ) 是沿世界线的正的恒定常数，并且外力分量p ( x ，“) i 不恒为零， 则f k b ，烈为沿此世界线的类空向量o 1 7 第五章粒子的相对论运动方程 证明? 由前述定理得 幽丝掣f 7 ( 五砒三o ， a s 因此d 影( s ) d s 和( x ，比) i 沿世界线m 正交。但d 3 c 七( s ) d s 对于有质量的粒子来说 是类时的，由方程( 2 2 ) ， ( 2 5 ) 知一0 ，“) 1 一是类空的。 口 义。 下面我们将通过( 5 1 2 ) 与牛顿方程( 5 1 ) 的对比得到相对论运动方程的物理意 假设我们有一个沿世界线的可微函数，由( 5 8 ) ， ( 5 1 0 ) 得： 八s ) = ，( 夕( d ) 三一( 力， 百d f ( s ) = 掣掣_ 【1 一如啪此订! a p 以( 0 1 一= 一一= i 一力口v - v l l d sd sd t l 一 u p j 、。j 、h d t 将以上等式带入相对论运动方程( 5 1 2 ) 得： 爰 纠( f 妒( f ) 1 _ 籼伊( 力( 明】 = 【l 一籼伊( f ) ( f ) 】p ( 工，u ) l 三严( f ，工，v ) l ：彤跏( 力肚学， 并且有 鱼d t 弦( f ) 【1 一籼伊( f ) 矿( 力叫 = 【1 5 缈v a ( t ) v r ( t ) 1 f 4 ( x ，u ) l 如果我们引入以下概念： 运动质量三m y ( t ) 三彬( d 【1 一( s p r v a ( t ) v y ( t ) 一 相对论三维力三产( ) l 兰【1 一d 西俨( f ) 矿( 力】f 口( ) i 。 方程( 5 1 5 ) 可以写为： 知尬( 力啪) 】= 严( ) 1 这正可以看作是( 5 1 ) 的合理推广。 1 8 ( 5 1 4 ) ( 5 1 5 ) ( 5 1 6 ) ( 5 1 7 ) 第五章粒子的相对论运动方程 为了解释( 5 1 6 ) 我们假设m ( s ) = 删( f ) = m ，m 为常数。由命题( 1 0 ) 得： 嘶矿( s ) p ( ) 1 一u 4 ( s ) 一( ) i = 0 因此 p ( ) i = 如俨( f ) 矿( ) i 【l - 啊伊( f ) 矿( f ) p ( ) i = 如俨( f ) 严( ) i 。 将以上等式代入方程( 5 1 6 ) 得 m 爰【1 一勃伊( 缈】_ ；= 如俨( 扩( - - ) | 一 ( 5 1 8 ) 与( 5 2 ) 作对比，( 5 1 8 ) 可解释为： 粒子能量的增加等于外力对粒子所做的功。按照此解释可定义如下量： 相对能量兰e ( d 兰m v 三m 1 一嘞伊( f ) ( 例一 2m 相对动能量r ( 1 ，) 三e ( d e ( 0 ) = ，l 【l 一籼伊( d 旷( f ) 】- 一1 ) ：昙，孢瓯泸俨( f ) 伊( d + 0 ( i o ( i v 1 4 ) 2 百m d n 归y “【f ，v 【 + 。) 静质量兰e ( 0 ) 兰m o = m 有质量的带电粒子在电磁场中运动遵循l o r e n t z 运动方程。 义为 ( 5 1 9 ) l o r e n t z 四维力场定 f ，蹦) 兰e f ；( x ) u 7 ， 其中f i j ( 曲= 一如( 力，e 是电荷量。注意到 r 阮比) i = e u u j ( 工) i 兰0 因此由命题( 1 0 ) 知，沿运动曲线的固有质量肘( j ) = m 是一个定值。 ( 5 2 0 ) 得l o r e n t z 运动方程为 m 学= e u j e u 砖洲x - ：一= ，；lj l 口s 。 由( 5 1 5 ) 得上式的三个分量的方程是 m 丢 v w ) 【l 一6 # y ：v y - 2 】 1 9 ( 5 2 0 ) 由( 5 1 2 ) ( 5 2 1 ) 第五章粒子的相对论运动方程 = d e 口( 功+ 占p # r v a ( t ) - r ( x ) l ，：彤如，一：f ， ( 5 2 2 ) 其中俨( 曲三日( 功，风( 曲三( 1 2 ) e 口p r f a r ( x ) ，并且锄是全反称的置换算符，规定e 1 2 3 = 1 分量酽( 功，俨( 曲分别是电磁向量。由方程( 5 1 6 ) 得 m 乙a 11 一嘞伊( f ) 矿( 一7 2 】 = e 6 , z w 口( t ) e p ( x ) l ，；彤l h o ) 一- f 等式右边即电场对带电粒子所做的功。由磁场所做的功正好为零。 参考文献 【1 】n j h i c k s ，n o t e so nd i f f e r e n t i a lg e o m e t r y , v a nn o s t r a n d ，l o n d o n 1 9 7 1 p p 2 7 ，3 0 】 2 d l o v e l o c ka n dh r u n d ，t e n s o r s ，d i f f e r e n t i a lf o r m s a n dv a r i a t i o n a lp r i n c i p l e s ，j o l l i lw i - l e ya n ds o n s ，n e wy o r k ，1 9 7 5 p 6 1 】 【3 】w ：n o l l ，n o t e so nt e n s o ra n a l y s i s p r e p a r e db yc c w a n g ，t h ej o h n sh o p k i n su n i v e r - s i t y , m a t h e m a t i c sd e p a r t m e n t ，19 6 3 【p 61 】 【4 】j l s y n g e ，r e l a t i v i t y ：t h es p e c i a lt h e o r y , n o r t h h o l l a n d ，a m s t e r d a m ，1 9 6 4 【5 】j l s y n g ea n da s c h i l d ，t e n s o rc a l c u l u s s ，u n i v e r s i t yo ft o r o n t op r e s s ，t o r o n t o ，19 6 6 【6 】p g b g e r g m a n i n t r b d u c f o nt ot h et h e o r yo f r e l a t i v i t y , p r e n t i c e - n e wj e r s e y 19 4 2 【7 】e a m d i r a c ，c a n a d j m a t h 2 ( 19 5 2 ) 【8 】i m g e l f a n da n ds v f o m i n ，c a l c u l u so fv a r i a t i o n s ，p r e n t i c e n e wj e r s e y , 1 9 6 3 9 】c l a n c z o s ，t h ev a r i a t i o n a lp r i n c i p l e s o fm e c h a n i c s ，u n i v e r s i t yo ft o r o n t o p r e s s ，t o r o n t o ，1 9 7 7 【1 0 】j l s y n g e ，r e l a t i v i t y ：t h es p e c i a lt h e o r y ，n o r t h - h o l l a n d ，a m s t e r d a m , 1 9 6 4 【11 】c l a s s s i c a ld y n