（无线电物理专业论文）多层椭球粒子对高斯波束的散射.pdf

摘要 本文从理论上研究了多层共焦和非共焦椭球粒子对高斯波束的散射，主要成 果如下： 1 我们研究了多层共焦椭球粒子对高斯波束的散射，把入射高斯光，散射场，各 层椭球内的电场和磁场用适当的椭球矢量波函数展开，应用电磁场边界条件， 写出确定各展开系数的方程组，求出散射场系数，进而求出散射场及散射截面。 2 以双层椭球为例，我们提出了一种研究同心非共焦多层椭球粒子散射的方法， 首先把两层椭球之间的电磁场用对应于两个椭球坐标系的椭球矢量波函数展 开，这两个椭球坐标系分别与两层椭球的边界面相联系，在每层椭球边界面上 分别应用边界条件，建立关于各展开系数的方程组。然后根据椭球矢量波函数 与球矢量波函数的关系，把两层椭球之间的电磁场表示为球矢量波函数的级数 形式，由球矢量波函数的正交性，进一步建立各展开系数之间的关系。通过以 上讨论，即可建立起足够多的决定各展开系数的方程，求出散射场系数，进而 求出散射场及散射截面。该方法目前在文献上还不能查到。 关键词：电磁散射高斯波束多层共焦椭球粒子 介质镀层导体椭球同心非共焦双层椭球 a b s t r a c t t l i st h e s i si nt h e o r yd e a l sw i t he l e c t r o m a g n e t i cw a v es c a t t e r i n gb ym u l t i l a y e r e d c o n f o c a la n dn o n c o n f o c a l s p h e r o i d a lp a r t i c l e s i l l u m i n a t e db yg a m s i a nb e a m s ，i n w h i c ht h em a i nc o n t r i b u t i o i l sa r ea sf o l l o w s ： 1 i nt h ec a s eo f m u l t i l a y e r e dc o n f o c a ls p h e r o i d a lp a r t i c l e s ，t h es c a t t e r e d f i e l d sa sw e l l a st h ef i e l d sw i t h i ne a c h l a y e r a r eo b t a i n e di nt e r m so fi n f i n i t es e r i e sw i t l l s p h e r o i d a lv e c m r w a v ef u n c t i o n sb yu s i n g 姐a p p r o p r i a t ee x p a n s i o no ft h ei n c i d e n t g a u s s i a n b e a m b y v i r t u eo ft h eb o u n d a r yc o n d i t i o n s ，w ew r i t et h es e to fe q u a t i o n s f o rd e t e r m i n i n gt h eu n k n o w ne x p a n s i o nc o e f f i c i e n t sa n dt h e ns o l v ei t f r o ma l l t h e s ed i s c u s s i o n s ，t h es c a t t e r e df i e l d sa n dn o r m a l i z e ds c a t t e r i n gc r o s ss e c t i o n sa r e c o m p u t e d 2 w e p r e s e n t a l la n a l y t i cs o l u t i o nt ot h es c a t t e r i n go fg a u s s i a nb e a m sb yac o n c e n t r i c m u l t i l a y e r e dn o n - c o n f o c a ls p h e r o i d a lp a r t i c l eb yt a k i n gac o n c e n t r i ct w o - l a y e r e d o n ea sa 1 1e x a m p l e b e c a u s et h eb o u n d a r i e so ft h e s et w ol a y e r sa r cc o n n e c t e dw i t h t w od i f f e r e n t s p h e r o i d a l c o o r d i n a t e s y s t e m s ，f i r s t l y , t h ee l e c t r o m a g n e t i c f i e l d s b e t w e e nt h ei n n e ra n do u t e rb o u n d a r i e sa r ee x p a n d e di nt e r m so ft h es p h e r o i d a l v e c t o rw a v ef u n c t i o n sw i t hr e f e r e n c et ot h e s et w os y s t e m s ，a n dt h ee l e c t r o m a g n e t i c f i e l d sw i t h i nt h ei n n e rb o u n d a r yw i t hr e f e r e n c et ot h es y s t e mf o ri t s e c o n d l y , t h e e l e c t r o m a g n e t i cf i e l d sb e t w e e nt h ei n n e ra n do u t e rb o u n d a r i e sa r ee x p r e s s e di n t e r m so fi n f m i t es e r i e s 、析t l ls p h e r i c a lv e c t o rw a v ef u n c t i o n su s i n gt h er e l a t i o n s b e t w e e nt h es p h e r o i d a lv e c m rw a v ef u n c t i o n sa n d s p h e r i c a lo n e s b ya p p l y i n gt h e b o u n d a r yc o n d i t i o n sa n dt h eo r t h o g n n a l i l yo fs p h e r i c a lv e c t o rw a v ef u n c t i o n s ，a n a d e q u a t en u m b e r o fr e l a t i o n sb e t w e e nt h eu n k n o w nc o e f f i c i e n t si sg e n e r a t e d f r o m a l lt h e s ed i s c u s s i o u s ，t h es c a t t e r e df i e l d sa n dn o r m a l i z e ds c a t t e r i n gc r o s ss e c t i o n s a r ec o m p m e d a sf a ra sw ek n o w , s u c ham e t h o dh a sn o tb e e np r e s e m e di nt h e l i t e r a t u r e k e y w o r d ：e l e c t r o m a g n e t i c w a v e s c a t t e r i n g g a u s s i a nb e a m m u l t i l a y e r e dc o n f o c a ls p h e o r i d a lp a r t i c l e c o n d u c t i n gs p h e r o i dc o a t e d w i t hac o n f o c a ld i e l e c t r i cl a y e r c o n c e n t r i cn o n - - e o n f o e a lt w o - - l a y e r e ds p h e r o i d 创新性声明 y 5 8 3 4 5 7 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢中所罗列的内容以外，论文中不 包含其他人已经发表或撰写过的研究成果；也不包含为获得西安电子科技大学或 其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做 的任何贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任。 本人签名：毛蝰整日期：二d o 华 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西安电子科技大学有关保留和使用学位论文的规定，即：研究 生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属西安电子科技大学。本人保证毕 业离校后，发表论文或使用论文工作成果时署名单位仍然为西安电子科技大学。 学校有权保留送交论文的复印件，允许查阅和借阅论文：学校可以公布论文的全 部或部分内容，可以允许采用影印、缩印或其它复制手段保持论文。 本人签名：重点堡垫 导师签名： 日期： 2 oo 弘f 日期：洲丛 绪论 一粒子对光束散射的研究 随着激光技术的发展，在许多实验中都采用激光作为光源，如用激光相多普 勒仪，通过测量粒子散射强度的分布，研究粒子的形状，尺寸，折射率和运动速 度；在环境科学中，也可通过测量大气悬浮微粒对光束的散射来监测大气污染等。 因此研究粒子对光束的散射是近年的热点。在处理许多实际问题时，为了研究问 题方便起见，经常采用一些简化模型，如将粒子简化为球形，柱形，椭球等等。 有关球和柱的散射问题已为众多学者所研究。m o r i t a ，t a m 和c o o r i v e a u ( 1 9 7 8 年) 等人研究了球形粒子对波束的散射，l w d a v i s 在1 9 7 9 年提出了高斯波束的平面 波角谱展开形式【l 】，为研究粒子散射提供了一条途径。1 9 8 0 年g g o u e s b e t 、 g o r e h a n 等人根据d a v i s 的结果，利用b r o m w i c h 公式深入研究了均匀球对波束的 远区散射，提出了广义米氏理论，给出了一种计算在轴球形粒子对高斯光束散射 的级数方法，以及高斯波束在球坐标系中展开系数的三种计算方法 9 1 【1 2 l 。吴振森【3 9 l 等人改进了多层球形粒子对高斯波束散射的数值计算。j p b a r t o n 柏】 4 3 1 导出了 t e m 0 0 高斯波束电磁场分量的高阶近似表达式，采用分离变量法分别研究了球形 粒子、椭球形粒子、无限长圆柱对高斯光束散射的强度分布。e l s a y e d e m k h a l e d 4 4 1 _ 锸】等人研究了涂层球在离轴高斯波束中的散射。t k o j i m a 研究了柱形粒子对二维 高斯波束的散射，吴振森等人研究了多层柱的高斯波束散射【5 0 1 ，s k o z a k i i s 】给出了 导体和介质圆柱对高斯波束的散射结果。 与此相比，对椭球粒子散射的研究文献就相当少，其主要原因在于椭球波函 数的表述形式十分复杂，给理论推导以及数值计算带来了许多困难，特别是对边 界条件的处理更为困难。然而由于椭球粒子的模型更接近实际粒子。如气象观测 和实验都己证实大气中的许多粒子在下落过程中常呈椭球形，因而很有必要详细 研究椭球粒子的散射特性。关于平面波的散射，f m i c h a c ls c h u l z 等人用t 矩阵方 法研究了椭球粒子在平面渡中的散射问题 3 4 1 【3 6 1 ，b a t c s h w a rp s i n h a 等人研究了介 质镀层导体椭球对正入射平面波的散射【5 l ，s h o j ia 髓f 2 4 】啦q 利用分离变量法，求 解了椭球粒予在平面波中的散射，提出了一种处理椭球粒子散射边界条件的理论 方法，较好的解决了边界条件问题。文章被许多文献所引用，“a b s o r p t i o na n d s c a t t e r i n go f l i g h t b y s m a l l p a r t i c l e s ”一书大量引用了其方法和结果【4 】，是一种公 认的研究椭球粒子对平面波散射的重要方法。然而他对边界条件的推导部分数值 结果有误，韩一平等人 2 2 1 纠正了其中的错误参数，给出了正确结果。关于离斯光 多层椭球粒子对高斯波束的散射 的散射，根据我们对s c i ，e i 等最新的检索，j p b a r t o n 作过这方面的工作 6 6 1 一【6 ”， 但是他的理论存在着一些缺陷；1 其理论无法给出高斯光在椭球坐标系中的展开形 式；2 边界条件是通过积分方法处理，是一种近似方法，在计算中会带来一定的 误差；3 饱在文献 6 6 】中所给公式( 3 0 ) ( 3 2 ) 以及( 4 0 ) ( 4 2 ) 有误。韩一平等人研究了 单层椭球粒子对高斯光的散射 6 1 _ i ”。对于多层椭球，b a t e s h w a rp s i n h a 等人研究了 介质镀层导体椭球对正入射平面波的散射【s 1 ，l e - w e il i 等人研究了椭球天线罩对椭 球天线发射电波的影响【6 5 1 ，然而均未涉及到高斯光。 目前，分析电磁场对球形粒子，柱形粒子，椭球形粒子以及其它不规则形状 粒子散射的方法主要有：分离变量法，微扰法、有限元方法，t 矩阵方法，点匹配 法，扩展边界条件法，有限差分法等，在分析各种粒子散射时，每一种方法都有 其优缺点，如分离变量方法主要用于精确求解形状十分规则的粒子，如球形，柱 形，糖球形粒子等，而微扰法局限于粒子几何形状略偏离球形，t 矩阵方法提供了 一种采用较少的计算步骤数值求解问题的方法等。在理论上主要运用瑞利近似、 波恩近似、m i c 理论等，处理很大尺寸参数的粒予时用几何光学近似解。 二本文的内容安排 第一章首先介绍了椭球坐标系的定义，并通过分离变量法求解了在椭球坐标 系中表示的标量波动方程，矢量波动方程的解借助s t r a t t o n 的方法由标量波动方 程的解而得到然后给出了韩一平等人 2 2 3 8 1 提出的一种将高斯波束用椭球矢量波 函数展开的方法，该方法方便的计算出了高斯光在椭球坐标系中的波束因子。解决 了这一理论难点，为进一步研究椭球粒子散射打下了基础。 第二章是对多层共焦椭球粒子电磁散射的研究，首先把入射高斯波束，散射场 各层椭球内的电场和磁场用适当的椭球矢量波函数展开。然后应用相应的电磁场 边界条件，采用s h o j ia s a n o 等人1 2 4 1 提出，已得到普遍公认的处理椭球粒子电磁 散射边界条件的方法，写出确定各展开系数的方程组，求出散射场系数，进而求 出远区散射场以及散射截面。 第三章研究了同心非共焦多层椭球粒子电磁散射，该问题目前在有关文献上 还不能奁到。本章以双层为伊j ，提出了一种方法。首先把两层椭球之间的电磁场 闻对应于两个椭球坐标系的椭球矢量波函数展开，在每层椭球边界面上分别应用 迭界条件，建立关于各展开系数的方程组。然后根据椭球矢量波函数与球矢量波 函数的关系，把两层椭球之间的电磁场表示为球矢量波函数的级数形式，由球矢 量波函数的正交性，进一步建立各展开系数之闯的关系。通过以上讨论，即可建 立起足够多的决定各展开系数的方程，进而求出各待求物理量。 绪论 三、本文特色及创新之处 1 本文首先总结了韩一平等人【6 l 【7 l 【16 】【2 0 f 2 ：2 1 在研究单层椭球粒子对高斯波束散射方 面所取得的成果，在此基础上，提出了一种研究共焦介质镀层导体椭球粒子和 多层共焦椭球粒子对高斯波束散射的理论方法，该理论也适用于平面波的情 况。在所查到的有关文献中【5 】【6 5 】所采用的方法均与本文不同，且均未涉及到高 斯光。用该理论我们给出了共焦介质镀层导体椭球粒子对平面波和高斯光散射 的数值结果，其中平面波的情况与文献 5 的结果相一致。关于多层共焦椭球 粒子对高斯波束的散射，由于没有相关文献结果可供比较，本章把多层球粒子 作为其一个特例，所得结果与韩一平，法国g g o u e s b e t 等人的结果一致，从 一个方面证明了该理论的正确性。 2 关于多层非共焦椭球粒子对高斯波束的散射，由于在处理边界条件时用到不同 椭球坐标系中椭球矢量波函数的转换【6 8 l 。【7 0 】，推导非常复杂。我们以两层为例， 提出了一种简单的方法，成功的解决了该问题。在所能查到的文献上还没有类 似方法。为证明该理论的正确性，我们把多层共焦椭球粒子作为其一特例，从 理论和数值结果上都得到了一致的结果，从一个方面验证了该理论。 !童星塑壁垫主翌壹堑鎏塞堕墼塾 第一章入射高斯波束在椭球坐标系中的展开 本章介绍了椭球坐标系的定义，并通过分离变量法求解了在椭球坐标系中表 示的标量波动方程，矢量波动方程的解借助s t r a t t o n 的方法由标量波方程的解而 得到韩一平等人f 1 6 】提出了一种将高斯波束用椭球矢量波函数展开的方法，先将高 斯波束用球矢量波函数展开，再将球矢量波函数用椭球矢量波函数表示，方便的 计算出了高斯光在椭球坐标系中的波束因子。解决了这一理论难点，为进一步研 究椭球粒子散射打下了基础。 1 1 旋转椭球坐标系 长旋转椭球和扁旋转椭球坐标系可以通过二维共焦椭圆坐标系的旋转而得 到，如绕长轴旋转就形成长旋转椭球坐标系，绕短轴旋转就形成扁旋转椭球坐标 系。我们以z 轴为旋转轴。 r = 一c o s 万3 r 2 0 玎= c o s 丌3 s 厅6 1 叩= c 、午 瓢?。僻 燮燮- 图1 1 长旋转椭球坐标系 死| 6 1 如图1 1 ，在长旋转椭球坐标系中，其坐标与直角坐标的交换关系为： 1t x ；，( 1 一，7 2 ) j ( f 2 一1 ) ic o s # 1l y = 厂( 1 一零2 ) j ( f 2 1 ) i s i n # ( 1 一1 ) z t 栩 其中，为半焦距长度 第一章入射高斯波束在椭球坐标系中的展开 细 h 甜 旦：血 ( 靠一1 ) 2 “为椭球表面上一点的径向坐标。 1 f o o ，0 s 2 x 。 ( 1 - 2 ) ( 1 - 3 ) 偏心率p = l 厶，一1 s 玎s 1 ， 征檄限情况f ，当f 一0 时，或f 为有限，而f _ 0 0 时，长旋转和扁旋转椭球 坐标系就变为球坐标系。 f c 斗，r 斗c o s 6 ( 当f 斗时) 其中r 和口为球坐标。 直角坐标系的单位矢量和长旋转椭球坐标系的单位矢量关系为： a x 一岛广2c o s a ( - 岛卜“咖， c q 矿叮葛 - 2s i n = ；- - 悔卜咖，m s ， 铲叩( 舄卜f 磷卜 m s ， ，叫瓦纛南卜叫丙格而卜 占刊击糕而卜吐两嵇两卜m ， = a 且： 多层椭球粒子对高斯波束的散射 打= ，7 2 一c o s 玎= ，= ，g2 + ，72 1 弦 m 臼_ 簪糟 j c o s 口= 翌 ： 口2 + r 2 一l 弦 7 7 = 0 一c o s 厅j r = c o s 万 缫靴 德癸 图l i2扁旋转椭球坐标系 对于扁旋转椭球坐标系，其坐标与直角坐标的变换关系为： 三 ! x = f ( 1 一，7 2 ) 2 ( f 2 + 1 ) 2c o s y = ，( 1 一可2 ) 2 ( f 2 + 1 ) 2s i n 庐 z = 细 其中 一1 s r s i ，0 s f a o ，0 9 妒2 石 直角坐标系的单位矢量和扁旋转椭球坐标系的单位矢量关系为： 铲f 磷卜魄一，7 ( 器 i c o s 妒a 。- s i n 旭 矿玎古甜s i n 慨一文笋甜s m 声a + c o s 帆 妒，7 ( 崭 i ”f 高卜 球坐标系的单位矢量与扁旋转椭球坐标系的单位矢量关系如下： ( i - 8 ) ( 1 - 9 ) ( 1 - 1 0 ) 第一章入射高斯波柬在椭球坐标系中的展开! 且 ，：缸丙铡；p 让再彩碉卜 百= 刁 i 孑f ；j 赢i ? ，一吐i r ：了赫j a 。 ( - - ) = a ，：g z 一刁：+ l 声 s 证口= 鬻 c o s 拈南譬2 一矿+ l 1 2 旋转椭球标量波函数 1 2 1 长旋转椭球标量波函数 标量波动方程 v 2 矿+ 七2 = 0 ( 1 - 1 2 ) ( 1 - 1 3 ) 其中k = 石是波数，是角频率，占是介质的介电常数。岛= 竺= 冬，五，c o 靠 是电磁波在真空中的波长，光速，设复折射率疗= i = 丹+ i n ”，所以波数还可 写成 七= 如疗 在长旋转椭球坐标系中标量波动方程可以写为： 高( 1 一纠南+ 毒c f 2 叫嘉+ 若毛最鲁c f 2 一相 少= 。 ( 1 1 4 ) 其中c = 肛，方程( 1 1 4 ) 在长旋转椭球坐标系中可以分解为三个关于矶孝，妒的二 阶线性常微分方程。 关于毋的方程是 多层椭球粒子对高斯波束的散射 嘉删) + m 2 口o ( 加。( 1 - 1 5 ) 关于f 的方程是： 球- ) 警 - 圳产剖伽。 m ，s ， 关于玎的方程是： 班智2 芦铲 + 锚帕2 一禹卜刎瑚 m 聊 式中m 2 和k 为分离常数，显然，其通解形式为 p ，。= r 。，( c ，o s ，。( c ，叩) 妒( 矿) 其中妒) 的解是e x p ( i m 妒) ，c o s t ，s i n ， = 0 1 ，一，2 ) ， 标量波动方程( 1 一1 4 ) 的解可以写为： y 。o ；f ，玑) ：s i n ( c ，玎) 置。( c ，f ) 。? 8 m 庐( 1 1 8 ) s i n , , m ( c ，可) 是第一类角函数，( 为了方便起见，在下面对第一类角函数省略了 标号( 1 ) ) 。五( c ) ，= 所，m + 1 ，m + 2 ，) 是一个与c 有关的对应于本征函数 s i n , , ( c ，r ) 的本征值，第一类长椭球角波函数可以用第一类连带l e g e n d r e 函数的级 数来表示： ( c ，j 7 ) = 口r m n ( c ) 黑，( 卵) ( 1 - 1 9 ) 这里d y 是待定的与椭球坐标系有关的展开系数，在求和上的撇号表示当 一m 是偶数时，求和仅对，的偶数求和，当行一m 是奇数时，求和仅对r 的奇数求和， 长旋转椭球角波函数不仅依赖于角分量，而且依赖于介质，其特征量为c 。 在这里我们采用f e r r e t s 定义的连带l e g e n d r e 函数 删- ( 1 詈掣s 1 ( 1 鳓 种) _ ( - 声掣 1 一 根据s t u r m l i o u v i l l e 微分方程的一般理论，第一类角波函数最( c ，功在间 隔一1 q l 上形成一个正交系满足正交关系： 第一章入射高斯波束在椭球坐标系中的展开 ! f 。( c ，r ) s 托，叩) 却= 如k ( i - 2 1 ) 其中k 可以利用连带l e g e n d r e 函数的归一化因子得到 n m n = 2 ，e 霎。 镶 驴 o2 第二类角函数的定义是 础( c ，叩) = “，a ml c j m + ，( 7 7 ) ( 1 2 2 ) q 暑，( 玎) 是第二类连带l e g e n d r e 函数。 第三、四类角函数可以表示为 辚：( c ，r ) = s 凛( c ，印) + z s _ 0 ( c ，叩) 踟( 岛r ) = 黜( c ，叩) 一母碧( c ，1 7 ) 关于孝的径向函数满足的微分方程( 1 1 6 ) ，由径向函数所满足的微分方程可 以得到径向函数的表示式： 桃护殍1 洲( ( 刊2 - 1 h i 驴叫您) 半龇， 其中相应于，= i 时，z ：，( c f ) 是球b e s s e l 函数，_ ，= 2 时，z 2 ，p f ) 是球n e u m a n n 函数，- ，= 3 ，4 时，z 2 ，( c o 、z 黠( c f ) 分别是第一种，第二种球h a n k e l 函数。 由于第一类角波函数和第一类径向波函数都是积分函数，满足同样的微分方 程，因而它们必然彼此成正比，我们可以得到它们之间的关系是： s 二( c ，= ) = - - r m o ( c ) 碟( c ，：)( 卜2 4 ) 多层椭球粒子对高斯波束的散射 篙鬻”艰偶数 2 卵( c ) c 删( 旦警) ! ( 兰芸) ! 、 ( 2 删砌1 ) ! 曲r = l ，( c ) 掣 2 矗? ”( c ) c + l 掰! ( ：! ! 二i 生) ! ( - ! ! ：! ：型) ( 行一胁) 是奇数 第二类角波函数和第二类径向波函数也彼此成正比 且 础= 踞( 叩) = 础( c ) 职( c ，z ) ( 1 2 5 ) ( 1 2 6 ) 一m ) 是偶数 ! _ “竺n 丢- m - 淼1n焉+m+掣1(2m3 ) ( 2 mm喜吼，掣”。嫩数 一 一1 ) 研! ( 甩+ + 1 ) ! c ”一2鲁” ，! 7 5 、 ( 1 2 7 ) 只要c 不是过于大，这些展开式收敛性十分好。类似角函数，第三、四类长旋 转椭球径向函数可表示为 r 黛( c ，f ) = r 册( c ，f ) + f r 0 ( c ，f ) j 絮( c ，f ) = r 册( c ，0 一t 8 2 ( c ，f ) 它们满足的一些基本公式有 尺1 2 ( c ，f ) = r 船( g 0 c o s n x r 2 ( c ，f ) = 一r 袋。一i ( c ，o s i n 栉咒0 ( c ，f ) s 缎( c ，一r t ) = ( 一1 ) 咯? ( c ，节) 跌心训币矿詈舞础( c 彩 1 2 2 扁旋转椭球标量波函数 ( 1 2 8 ) ( 1 - 2 9 ) ( 1 3 0 ) ( 1 - 3 1 ) 波动方程在扁旋转椭球坐标系中可以写为： 高( 1 一引南+ 毒c f2 毒+ 端等+ 文f 2 + 叩2 ， 妒= 。c z ， 等警婴沏 第一章入射高斯波束在椭球坐标系中的展开卫 同样由分离变量法可以得到对应的常微分方程： 茜 ( 1 一矿卢坚弓产 + l 。卜动矿一丁= m 矿2 ，功= 。 m ， 靴+ - 净产h u 廿霄2 一南卜峨柳= 。m ，4 ， 由此得到第一类扁旋转椭球角函数 ( 一i c ，7 ) = n t ( - i c ) ? l ，( 玎) ( 1 ，3 5 ) 第二类扁旋转椭球角波函数 踟( - i c ，刁) = d t ( 一耙) 鳙，( 叩) ( 1 - 3 6 ) 以及角函数与径向函数之间的关系 ( - f c ，把) = 础( 一i c ) 础( 咖，捃)( 1 3 7 ) 础，i z ) = 础( 嘞) 础( 一i c ，i z )( 1 3 8 ) 径向函数 怕叫伊孓壶鬲例2 驴坐掣貔， ( 1 3 9 ) 标量波动方程的解可以写为： 矿。( - i c ；f f ，玑i i ) ：s 。( 一i c ，7 ) r 。( 一缸，f ) 。? 3 m ( i - 4 0 ) d ” s i n 由上面讨论看出，借助转换式 i c 士i c 0 - 4 1 ) 可以将长椭球的方程及其函数转换到扁椭球系统中，从而得到相应的扁椭球方程 和函数，这给我们的研究带来了许多方便。因此在后面的讨论中，我们只需详细 的讨论长椭球粒子( 或扁椭球粒子) 的散射特性，通过上面的转换式，就可以将 结论从一个系统转换到另一个系统。在本文下面的研究中，我们主要以长椭球系 统为例，详细的讨论其各种特性。 1 3长旋转椭球矢量波函数 我们假设在椭球内外的电磁场中电场和磁场所含时间因子是e 印r i c of j ，不含 l2 多层椭球粒子对高斯波束的散射 时间因子的电场矢量和磁场矢量满足矢量波动方程： v2 e + k2 e 2o n 4 2 ) v2 h + k2 h ：0 、 矢量波动方程的解可以借助s t r a t t o n 的方法由标量波方程的解而得到 m m = v ( a y 。) ( 1 4 3 ) n 。= k 一1 v m 。 ( 1 4 4 ) a 可取单位矢量或矢径，我们定义下列椭球矢量波函数 m 。州( c ；r ，f ，妒) = v 嘭“( c ；i ，f ，p ) r “h n 。扣m g - ，r e ) = k v x m 。7 0 ( c ；r ，f ，妒) ( f _ 1 , 2 ，3 ) d mo m n ( 1 - 4 5 ) m ，巾( c ；r l ，f ，妒) ，n 。州( c ；r ，f ，妒) 在长椭球坐标系中的表示式为 。枷。朋 m 争i nm 分，州，a r 州篓，a 一 2匹赢s一(c，们r业(c，f)(一s，)inc。sm庐a- 一i ；j 。：。孑! 零孙s 一( c ，卵) r 糕( c ，f ) ( 一s t i ) n c 。s m a r + f 茜( c 朋碟( 吖卜秘一c 朋虿d 础( 吖) 篡删旭 n ：柳= ：4 a 口+ ，a f + ，。a d 脚d ”口。舯d 咖p 2 篇c 缸毒( 僻r 2 碱专( 辫纠 + 志刚：呐，一 ( f 2 1 ) j 矿( f 2 一叩2 ) i 卜刍( 老婴三手瓯。) 善月2 + f 茜( 毒焉争面d 氏 r 2 生，鹊 第一章入射高斯波束在椭球坐标系中的展开旦 一赢刚篓m 批+ 专辫 x 一万茜帆础一矿与专妇盥) 芝。m 帆 ( 1 - 4 7 ) m 。巾1 ( c ；r ，f 妒) 、n 。州( c ；r ，6 - ，p ) 下角标中的e 和。表示的是奇数和偶数，它们取 dm口m 决于c o s r a # 或s i n r a # 。 为：在长旋转椭球坐标系中的电场分量与直角坐标系中的电场分量之间的关系 眦f 岛卜f ( 舄 ；洲蝴( 爵) ； 铲e 叩( 善； ；c o s ，叩悖荨卜1 叫古翁 以= 一e 。s i n # + e yc o s 妒 i 4 高斯光用平面波展开的一阶表示 图i 3 入射高斯波束 如图i 3 ，一单色近轴高斯光，束腰半径为w 。，在均匀介质中沿z 轴正向传 多层椭球粒子对高斯波束的散射 播，高斯波束的中心位于坐标系o x y z 的原点0 处，椭球形粒子的圆心在坐标系 o 一y z 的原点。在坐标系0 工一yz 中，入射的耐斯波束的电磁场可以分解为t e 和 t m 坡。坐标轴o x 平行于0 一，其它相应各轴也相互平行，0 一y z 坐标系的原点0 在o x y z 坐标系中的坐标是( ，y 。，z 0 ) ，我们定义 p 。= 厢 省去时间因子e x p ( 一i o j f ) ，高斯光电磁场分量的一阶表示为【3 9 】： 。 e ( x ，y ，z ) = 民ke x p ( i k z ) e ( 墨y ，z ) = 0 e ( 圳，z ) = 孥e ( w ，z ) 影( 五y ，z ) = 0 q ( x ，y ，：) = h o 甲oe x p ( i k z )( 1 4 8 ) 碰( w ，z ) = 垄譬q ( 训，z ) 其中 h o = e o j y 占o 。 2 弘e x 卅眯2 可) 】_ 绯x p ( 半 ( 1 - 4 ，) e o 是束腰中心电场幅度， x = 饥，j ，= r w o ，z = 掌， 岛= ( ，一才，= 圳s = 乎= 古 复振幅满足抛物型方程 每+ 可0 2 附2 z 等= 。 ( 1 4 8 ) 式近似满足麦克斯韦方程，它们的相对误差是o ( s2 ) 。当 ： 时的渐近表达式，我们忽 略高于1 ，的高阶项? 可得第三类矢量椭球波函数的渐进表达式【6 】【3 8 】： m e m r ( 3 ) ( - 0 “m 寰笋i 1e 自( 舢s i n 。m m 口s m 肛l _ 1 ) c o s m e 州r ( 3 ) 呻州“小鼍铲耋脚 一坩， 口f 盯c o s 誓。，( 3 ) 呻删“m 鼍产耋m 妒 ：。“3 ) ，一一o ”m ：! ! ! ! ! ；：莒旦! i le m ( 一s ；i l l t t l lc o s 妒 ( 2 1 6 ) m 叮s m f肘i _ j 把由( 2 8 ) 一( 2 1 5 ) 所求出的散射系数口。，晟，矢量椭球波函数的渐进表达式 ( 2 1 6 ) 代入展开式( 2 - - 3 ) 和( 2 - - 4 ) ，可以得到在长旋转椭球系中散射场的 渐进表示形式为： ( t em o d e ) 一乓= 勉= 兰e x p ( r 等) 弘学+ 尾笺芦s 协 吐社。 乓= 锰= 豢e x p ( r 等) 善陋。訾+ 尾警1 c o s 多层椭球粒子对高斯波束的散射 我们定义散射截面 删h 矿时 任忉 = 等 i 正( 口) 2 s i n 2 矿+ 阢( 疗) 2c o s 2 纠 其中e 。是入射平面波电场或高斯光腰束中心电场的幅度 正( 口) = 砉【凡訾+ 口。t a s , o ( c , c o s o ) l 。 一。 疋( 口) = ：萎e 。l s 。壁学+ 口。警】 本论文我们计算归一化散射截面刀寸伊，谚) 五2 。 2 2 共焦介质镀层导体椭球粒子的散射 ( 2 - 1 8 ) 如图2 2 建立直角坐标系o x y z , 一共焦介质镀层导体椭球的中心在0 点，入 射高斯光沿正z 轴方向传播，其腰束中心也在d 点。镀层椭球的介电常数和磁导率 分别用毛，“表示，半长轴和半短轴用口和6 表示，导体椭球用d 和e 表示，半 焦距为，椭球的主轴沿正：轴方向。我们同样取介质磁导率等于真空磁导率，光 在真空中传播以及电磁波时谐因子为。1 “。 汹。：一 ! 一 洒一 f 厂，、| 公 牡 、 图2 2 共焦介质镀层导体椭球对正入射高斯波束的散射 入射高斯光，散射场和介质内场都可以展开成椭球矢量波函数m ( c ，f ，叩，) 0 1 h n ，( c ，f ，叩，) ( f = 1 ，2 3 ) 的无穷级数。以t e 模为例： o l “ 第二章多层共焦椭球粒子对正入射高斯波束的散射 e 。= ，g 。【m 掣( c ，f ，r ，) 州- 1 0 i - r ( 。d 、 c ，f ，r ，) 】 n m l ( 2 - 1 9 ) 肌壶挈w g r l ar ( 1 ) lt 删) 一i s 几r ( m dc 后删) 】 ( 2 - 2 0 ) e 。= i ”l h 1 - 1 p “m r ( 3 ( c ，f 刀，妒) + f n 嚣( c ，f ，7 ，) 】 ( 2 2 1 ) - i h 5 = 面k 善7 ”k i t r ( 3 ) z ，锄矿) 一溉刚( c ，协妒) 】 ( 2 _ 2 2 ) e ”2 善”峨m ：泖( q ，f ，刁，妒) + 髟m m r ( 2 ( q ，f 办) + 以n ：饼( c 1 ，f 肌)( 2 2 3 ) + i y n 搿( q ，f ，叩，驴) 1 h = 挈帆m ：脚“办卅m t t a 。r ( 2 ) ( c 办扩蛾州一m ) ( 2 埘) 一l 。g 。m ，r l ( 。2 ( c l ，f ，叩，) 】 其中口。和成为散射场的展开系数，瓯，几和，：为介质镀层内场的展 开系数，毛= 羁，c 1 = k , f ，c = k o f ，k o 为a 射波的波数，厩为镀层介质相对 于真空的折射率，q 表达式的意义如上所述。 各个分界面上的边界条件可表示为： f = ： e ，w = e j + e ：h ；= h ；+ h ； f = f ： 醚= 0 e ；= e ；+ e ；h ：= h ；+ h ；e ：= 0 ( 2 - 2 5 ) 卣，厶分别是镀层外表面和内表面在长旋转椭球坐标系中的径向坐标。利用上述边 界条件，参照2 1 对椭球粒子边界条件问题的处理，可以列出如下关于各未知系数 的方组： n = l ”q 卜硼( c ) 一帆c ) 】= n - i ”k 咿( c ) + 夙咄( c ( 2 _ 2 6 ) 一瓦u ( c i ) 一u 0 v ( c 1 ) 一， k ：、( c i ) 一，b - l 。( 2 ( q ) 】 多层椭球粒子对高斯波束的散射 ，g 。卜u 0 ( c ) 一k p ) 】= f ”【口。u 0 ( c ) + 鼠k ? 、( c ) “ ( 2 - 2 7 ) k 女1 。, sv 掣o 。( q ) 一i k l ( 2 1 f ( c 1 ) 一u 乳q ) 一_ k i k 咿( c ) 丘厅 ，g 一批c ) 一昭。( c ) 】_ f ”h 搿。( c ) + 夙x ( c ) 一瓯x 0 ( c 1 ) 一n l ( 2 。( c 1 ) 一，y o ( c 1 ) 一，：k 譬。( c 1 ) 】 i ”g j x 弧c ) 一_ 乳c ) 】= z i l 口。z ( c ) + 夙毋。( c ) 一t k l i ( c 1 ) 一下k l 。 。2 ( c 1 ) 一阜n y ( 。i ( c 1 ) 一争，：x ( c i ) 】 肝疗 c疗 ( 2 - 2 8 ) ( 2 - 2 9 ) f ”【瓯u 2 ( q ) + u 譬 0 1 ) + 以k ：n ( c 1 ) + ，。j ，l ( 。2 ( c 1 ) 】= o ( 2 - 3 0 ) n l i 一【瓯x 0 。( q ) + 剜x 譬 ( c 1 ) + 以y l ( t 、t ( c i ) ，。i y ( 2 ) , t ( c 1 ) 】- 0 ( 2 - 3 1 ) 月- l 把由方程( 2 2 6 ) 一( 2 3 1 ) 求出的散射系数，成和m ：3 ( c ，f ，1 7 ，) 。 0 1 月 n ：3 1 ( c ，厶叩，) 渐进表达式( 2 - 1 6 ) 代入( 2 2 1 ) ，( 2 - - 2 2 ) ，则远区的电场和磁场， 口1 月 以及归一化散射截面石盯( 口，) z 2 即可求出。 2 3 散射截面的数值计算 图2 3 计算了参数为c a 。= 5 9 5 7 5 j9 9 2 9 2 ，羁= 1 5 ，1 3 3 ( i = l ，2 ) ， 可= 3 9 7 1 7 的双层共焦椭球粒子分别在平面波和腰束半径为w o = 3 2 ( g a u s s i a n b e a m 1 ) ，w o = 2 2 ( 6 a u s s i a nb e a m 2 ) 的高斯光正入射下归一化散射截面 x # ( e , o ) a 2 的角分布。( t em o d e ) 第二章多层共焦椭球粒子对正入射高斯波束的散射 s c a t t e r i n ga n g l ee ( d e g r e e ) 图2 3 平面波，高斯光w o = 3 2 ( 6 a u s s i a nb e a m 1 ) ，w 0 = 2 五( g a u s s i a nb e a m 2 ) 正入射下双层共焦椭球粒子k a j = 5 9 5 7 5 ，9 9 2 9 2 ，冠= 1 5 1 3 3 ( i 2 1 ，2 ) ，矿3 3 9 7 1 7 的归一化散射截面万玎( b 0 ) 五2 图2 4 给出在腰束半径为w 。= 2 5 2 的高斯光正入射下，参数为 k a 。= 1 4 8 9 3 8 ，8 9 3 6 3 ，羁= 1 5 ，1 3 3 ( f - 1 ，2 ) ，( 可= 5 9 5 7 5 ) 的双层共焦椭 球粒子和参数为k a 。= 1 4 8 9 3 8 , 1 1 9 1 5 0 ，8 9 3 6 3 ，羁= 1 5 ，1 4 1 5 ，1 3 3 ( f = 1 ，2 ，3 ) ( 矿= 5 9 5 7 5 ) 的三层共焦椭球粒子的归一化散射截面刀仃 o ) 刀。 s c “e m ga n g l oe ( d e g r e e ) 垄多层椭球粒子对高斯波束的散射 图2 4 高斯光w o = 2 5 2 正入射下，双层共焦椭球粒子k a ，= 1 4 8 9 3 8 ，8 9 3 6 3 瓦=