（基础数学专业论文）两类半线性椭圆方程的多解的存在性问题.pdf

福建师范大学翁盛花硕士学位论文 内容提要 本文主要考虑了半线性椭圆方程： r 一南一烈叩卜荔笺 i “q o ) ， ( 1 1 ) o na n 的多重正解的存在性问题，其中0 q 是r “( 3 ) 中具有光滑边界的有界区域， 0 是一个参数， ：nx 豫一r 满足一定的条件，0 p 芦= ( ( 一2 ) 2 ) 2 这里的可是h a t d y 不等式 g 厶静蜒上，i w i “ 中的最佳常数，0 g 1 0 是一个参数，假设非线性项，( “) 在“= 0 附近是超线性的，即，：豫一皿满足： ，吲爬) 且i 鸳m ) ( 峭归，当。 ， 。i 2 n ：銎( f ) 本文共分四章 第一章，介绍上述两类半线性椭圆问题的研究背景 第二章，介绍几个标准s o b o l e v 空间的基本知识，以及一些记号说明并给出了 ( p s ) 条件的定义 第三章，对于p ，口的不同取值情况，分别采用平移方法，对称山路引理等讨论 了半线性椭圆方程( 11 ) 的多重解的存在性结果 第四章，研究半线性椭圆特征值同题( r ) 的多重变号解的存在性利用简单 的山路引理我们得到了方程( r ) 的变号解个数对参数a 的依赖关系 关键词：超线性问题；极小极大定理；椭圆正则性估计；( p s ) 条件；特征值 临界点；h a r d y 不等式 u 0 越一 ，f、 福建师范大学翁盛花硕士学位论文 a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，w ea r ed e v o t e dt ot h es t u d yo ft h ee x i s t e n c ea n dm u l t i p l i c i t y r e s u l t so fp r o b l e m ： r 一南一州刚卜：笺嚣 ， w h e r e0 qa n dncr ( 3 ) i sab o u n d e dd o m a i nw i t hs m o o t hb o u n d a r y , 0 s 卢 芦= ( ( 一2 ) 2 ) 2 ； h e r e 面i st h eb e s tc o n s t a n ti nt h eh a r d yi n e q u a l i t y e 上砰u 2 出厶 v 缸1 2 出 0 q 1 p 0 是 一个参数， ：q r r ，0 p 芦= ( ( 一2 ) 2 ) 2 这里的芦是h a r d y 不等式 g 上荠如上。i v u 中的最佳常数，0 q 1 p 2 一1 ，其中2 + = 2 n ( 一2 ) 就是所谓的临界 s o b o l e v 指数 对于椭圆方程- a u = u 一+ x u q ( p ) ，早在7 0 年代就有相关方面的研究：在 1 9 7 3 年，aa m b r o s e t t i 与p h r a b i n o w i t z 证明了：当p = 2 + 一1 ，0 0 都存在一个非平 凡解在分析中有个著名的h a r d y 不等式： g 上。砰1 2 2 出上i v u l 2 如 p = 万= ( ( v 一2 ) 2 ) 2 是该不等式的最佳常数，也就是说当p 万时，方程一a u = 肛寺无解于是，对于0 肛 豇我们考虑了更一般的椭圆方程( 1 1 ) 对于这个 问题也有一系列的研究：在1 9 9 8 年，g a r c i a 等人考虑了a = 0 ，1 p 2 一1 的情形，他们得到了( 1 1 ) 存在一个正解的结论；而在2 0 0 4 年，陈建清证明了当 0 卢 皿，p = 2 + 一1 ，0 q 0 ，当a ( 0 ，”) 时，( 1 1 ) 至少 存在两个正解在上述的研究成果中，他们考虑了p ，q 分别取特殊值2 + 或1 的情 形，那么对于0 qsl 0 是一个 参数，假设非线性项，( “) 在让= 0 附近是超线性的，即f ：豫一r 满足： v 福建师范大学翁盛花硕士学位论文 ，g ( r ) 且掣川t p - 2 t ) _ l 对2 0 是一个参数， ：qx r r ，0 p 西= ( ( 一2 ) 2 ) 2 这里的可是h a r d y 不等式 g 上阡u 2 如上 v u l 2 如 ( 可见【3 0 ，7 1 理2 1 ) 中的最佳常数，0 q 1 0 是一个参数，假设非线性项，( “) 在“= 0 附近是超线性的，即，：r r 满足； r 盟w 、q ，c ( r ) 且! i m 仲) 川t p t ) = 1 对2 p 2 + ：= n - 2 ：( f ) l 十，l n2 z 解的存在性问题有很多种研究方法，如不动点方法、拓扑度方法等而我们主 要是采用变分方法，所谓变分方法就是把求方程的解归结为求相应的泛函在一定条 件下的极值问题或i 缶界点问题而从2 0 世纪7 0 年代开始，临界点理论就得到了迅 速的发展数千篇不同论题的文章大大地丰富了它的内容，很多结论不断地渗透到 数学的各个分支，如非线性偏微分方程及常微分方程，哈密顿系统，拓扑，黎曼几 何等而这些最终都基于变分法的发展。变分法主要用于研究在某些特定条件下的 最优时间，速度，能量，以及盈利等它有着长远的历史并随着数学及其他科学的 发展不断更新天文学，机械学，物理学，所有的自然科学，技术以及经济运作规 律都遵循着变分原理而变分法的主要目的是要找出被这些原理所约束的解，从费 尔马开始，就有找出一个给定泛函的极小点的论题 福建师范大学翁盛花硕士学位论文 经典的变分法理论是通过解e u l e r - l a g r a n g e 方程来找极小点的，然而极少的 e u l e r - l a g r a u g e 方程能被明确地解出来，这个方法在运用上很受限制相反地， d i r i c h l e t 在研究共形映射时，他引入了以下的d i r i c h l e t 原理，即找到一极小化序 列 ) c0 ，1 ( u 。) 一i n f i ( u ) l u e ) ，若存在“o e 使得t 。一“o 在某种意义 下满足1 ( 4 。) 一j ( u o ) ，那么“o 就是e u l e r - l a g r a n g e 方程的解这就为解微分方程 提供了一个直接的方法在这个方法中，极小化序列的位置是不受限制的作为它 的一个改进方法，e k e l a n d 变分原理 2 6 1 ( 也可见【5 2 】) 是非常基础的。但直到7 0 年 代才被发现 几何中的变分法的一个典型问题是要找到一个给定的黎曼流形( m ，g ) 上两点 q 0 ，q l 之间的测地线问题很显然，在q o ，q l 之间存在很多测地线，但是，除了那些 长度最短的测地线之外，我们该如何找到其他测地线呢? 在闭测地线的创始人g d b i r k h o f f ( 1 9 1 7 ) 的工作的影响下，以分析与拓扑理论相结合的方法：极小极大方 法就产生了1 9 2 5 年，h m m o r s e 继承了b i r k h o f f 在动力学方面的工作，推 广其极小极大原理，第一次得出m o r s e 不等式，之后形成了m o r s e 理论，这一理论 是把拓扑学与分析学合成为大范围分析的开端 极小极大方法可以看作是对具有d i r i c h l e t 边值条件的l a p l a c i a n 特征值的极 大极小性质的突破，l j u s t e r n i k s c h n i r e l m a n n ( 1 9 3 4 ) h 1 】成功地发展了这一方法 他们引入了拓扑不变量：范畴( c a t e g o r y ) 的概念 5 0 年代m a k r a s n o s e l s k i a 7 j 在研究一类积分方程的非线性特征值问题时，引入了与群z ：有关的拓扑指标：亏 格( g e n u s ) 在极小极大理论中，g e n u s 具有与c a t e g o r y 同样重要的地位在我们 的文章中，我们主要也将采用极小极大方法 对于椭圆方程一= 矿+ a u q ( p ) ，早在7 0 年代就有相关方面的研究：在 1 9 7 3 年，a a m b r o s e t t i 与p h r a b i n o w i t z 证明了：当p = 2 + 一1 ，0 0 都存在一个非平 凡解在分析中有个著名的h a r d y 不等式： g 厶静出上i v 砰如 p = 西= ( ( 一2 ) 2 ) 2 是该不等式的最佳常数，也就是说当p 万时，方程一u = p 寺无解于是，对于0 p 皿我们考虑了更一般的椭圆方程( 1 1 ) 对于这个 问题也有一系列的研究：在1 9 9 8 年，g a r c i a 等人考虑了a = 0 ，1 p 2 一1 的情形，他们得到了( 1 1 ) 存在一个正解的结论；而在2 0 0 4 年，陈建清证明了当 2 第1 章前言 0sp 皿，p = 2 一1 ，0 q 0 ，当a ( 0 ，”) 时，( 1 1 ) 至少 存在两个正解在上述的研究成果中。他们考虑了p ，q 分别取特殊值2 + 或1 的情 形，那么对于0 q 1 0 ，( b ) 都存在无穷多个解的结论这也 就是说对于n = 1 的情形，( 只) 的解的个数是不依赖了参数a 的；而对于n2 2 的情形，情况却完全不同在第四章中我们讨论这类方程的变号解个数对参数a 的 依赖关系 1 2 主要研究问题 本文主要讨论三个方面的问题 1 ) 当0 q 1 p 2 一1 时，( 1 1 ) 的正解的存在性如果0 p 0 ，使得当a ( 0 ，”) 时，( 1 1 ) 至少存 在两个正解 2 ) 当q = 1 p 2 一1 时，( 1 1 ) 的正解的存在性假设0 q c r 一( 3 ) 是有界的开区域，0sp 皿，我们采用山路引理证明了( 1 1 ) 存在一个正解，若 0 0 ，使得f ( u ) n ，i i “l | = ，； ( i i ) 存在e e 邱( o ) ，使得( e ) s0 令r 是e 中连接0 和e 的道路的集合，即 r = ( - y c ( 【o ，1 】，e ) ：1 ( o ) = 0 ，7 ( i ) = e ) 再记 归1 i n “ft m a xf ( y ( 吼 则c a ，且若，满足( p s ) 条件，那么c 是，的临界值 引理2 2 3 ( 形变引理阳1 ) 设e 是b a n a c h 空间，i c 1 ( e ，r ) 且满足( p s ) 条件则对任意的c 驶，f 0 ，以及琏的任一领域o ，存在( 0 ，0 及 口g ( 【o ，1 】x e ，e ) 使得 1 。q ( 0 ，u ) = u ，对任意的t e 4 第2 章预备知识 2 。当x ( u ) 【c 手，c + 司时，对任意的t 【0 ，1 】都有目( t ，t ) = u 成立 3 。对每个t 【0 ，1 ，目( t ，“) 是从e 到e 的同胚映射 4 。对所有的【0 ，1 1 ，u e ，都有帅( t ，t ) 一t 0 1 5 。对所有的t 【0 ，1 】，u e ，都有，( q ( t ，u ) ) j ( u ) 6 。y ( 1 ，厶+ ：o ) cl 一。 7 。若蚝= 0 ，则q ( 1 ，l + 。) c l 。 8 。若j ( u ) 关于u 是偶的，则h ( t ，“) 关于是奇的 引理2 2 4 ( b r e z i s l i e b 引理引理1 3 2 】) 设n 是r “中的开子集，且( u 。) c p ( n ) ，1 p o 。若 a ) ( “。) 在p ( q ) 中有界， b ) u 。一u 几乎处处于q 上， 则有 皇恐( m ；一i “n u 喀) 。怫 引理2 2 5 ( s o b o | e v 嵌人定理定理18 】) 下面的嵌入映射都是连续的： h 1 ( r 。v ) c p ( 豫。) ，2sp o 。，n = 1 ，2 ， h 1 ( r 。) cl p ( r ) ，2 p s2 ，n 23 ， d 1 ，2 ( r v ) cl 2 ( 豫v ) ，n 3 引理2 2 6 ( r e l l i c h 嵌人定理定理l9 】) 若i n i ，则下面的嵌入映射是紧 的： 硪( q ) cl p ( f 2 ) ，1s p 0 是一个参数 ：f 2x r r ，0 肛 面= ( ( 一2 ) 2 ) 2 这里的口是h a r d y 不等式 g 上。静蜒上。i v u 陋 ( 可见 3 0 ，引理2 1 】) 中的最佳常数，0 q 1 p 2 + 1 ，其中2 + = 2 n ( 一2 ) 就是所谓的临界s o b o l e v 指数 对于p = 0 ，( 1 1 ) 的解的存在性问题( 可能是多重解) 已经被广泛地研究过 ( 例如【1 ) ；当 是次线性时，如 = a u q ，0 q 0 都存在唯一一个正解，而当 = a i u r l “时，变分方法 保证了( 1 1 ) 存在无穷多个非平凡解( 例如见【l 】的相关结果) 对于超线性问题， 如 = a u + j u p - 1 u ，1 p 2 一1 我们可以证明对于所有的a ，( 1 1 ) 都存在无 穷多个带正能量的解，并且当a 3 ，0 a a l 以及n = 3 ，a a 0 都 存在一个正解更进一步地，当n 是一球型区域时，这个正解是唯一的( 4 6 ，5 1 ) 在这一章中，我们首先考虑以下半线性椭圆方程的正解存在性： _ 7 i n n 0 ) ， i n 叭 0 ) ， ( 1 2 ) o n0 n m 划 + 对 “ u u = u 南 一 u 福建师范大学翁盛花礤士学位论文 在定理3 1 1 中，我们考虑r0 q 1 p 0 充分小时，( 1 2 ) 至少存在两个正解；而当口= 1 p 2 一1 时， 若0 0 都存在一个非平凡解 我们首先定义空1 9h 为日3 ( n ) 在范数： i l u l l “= ( ( i v 砰i 一尚舻) 酬胆 下的h i l b c r t 空1 9 由于我们是采用变分方法来考虑这些问题，我们首先在h 上给 出( 1 1 ) 的e u l e r - l a g r a n g e 泛函： 孙) = ；扣巩卜南铲- f ( u ) 】如 = 犰v u1 2 一南呐如一寿弘+ ) p + * d x - 击弘叩“如， 这里的“+ = m a x u ，o ) ，( u ) ：= ( 矿) + a ( 矿) 。，f ( u ) ：= ( 1 l + ) p + 1 ( p - i - 1 ) + a ( u + ) 。“i ( qj r1 ) 由h a r d y 不等式，我们可以得到范数”札等价于范数1 1 ( 3 0 ，引理3 1 j ) 与 4 3 ，附录b 】i g 样的证明，我们知道以c 1 ( 日，r ) 如果u 是以( “) 的临界点，那么对于任意的妒c 铲( q ) ，都有( 以( “) ，妒) = 0 成立，其中 ( ( u ) ，妒) = v u v ，o - 若c _ u 妒) 如一j f ( u + ) i p 如一a ( 矿) 。l p 如 这是方程( 1 1 ) 弱解的定义事实上，用u 一= m a x 一u ，0 ) 乘以方程一a u - 南u = ，( u ) 的两边并且在n 上积分，我们就得到 o = ( i v u f 2 一南( u 一) 2 ) 如= 1 2 8 第3 章一类半线性椭圆方程的多重解的存在性问题 因此“一= 0 ，即u 0 由椭圆正则性估计( 【3 2 ，第9 章】) 知u c 2 ( q o ) ) ，再由 强极大值原理就得到t i 是正的，因此是方程( 1 1 ) 解这就说明了山( u ) 在日上的 临界点就是方程( 1 1 ) 的非负弱解 我们的主要结果是； 定理3 1 1 1 4 8 】假设0sp 0 ，使得当 a ( 0 ，a ) 时，( 1 2 ) 至少存在两个正解 注3 1 2 当a = 0 ，1 p 2 + 一1 时，j g a r c i a 与i p e r a la l o n s o 在【3 0 】中 已经证明了( 1 2 ) 至少存在一个解；而当p = 2 + 一1 时，陈建清博士【2 0 】证明了当 a 充分小时，( 1 2 ) 至少存在两个正解 定理3 1 3 假设0 q c r “( 3 ) 是有界的开区域，0 肛 0 ，( 1 4 ) 存在一个非平凡解 定理3 1 4 【4 8 l 假设0 p 0 ，使得当 a ( 0 ，a ”) 时，( 1 3 ) 有无穷多解 定理3 i 5 假设0 q c r ( n 3 ) 是有界的开区域，0 肛 皿，q = 1 p 2 一1 ，则( 1 2 ) 存在一个正解，若0 a a 1 注3 1 _ 6 当q = 1 ，p = 2 一1 时，陈建清博士【2 1 ，定理1 3 】证明了当 充分 小时，( 1 2 ) 存在一个正解 3 2 定理3 1 1 的证明 在这一章节里，我们将具体给出定理3 1 1 的证叽首先我们将证明存在一个 正数”，使得对任意的a ( 0 ，a + ) ，以达到局部极小，接下来我们可以证明这个极 小值点就是( 1 2 ) 的一个正解为了说明这一点，我们首先给出以下的紧性结果： 命题3 2 1 假设u 。) ch 满足厶( u 。) 一c ，( u 。) 一0 在h - 1 中，则 u 。) 在日中有收敛子列 证明：由于 厶( u 。) = ；( iv u 。1 2 一毒耷“：) 出一矿i 万( “：) 9 “出一丢毛( 钍：) 针1 如， ( ( u 。) ，u 。) = f ( 1v 让。1 2 一若_ u ：) 如一( u ：) ，“如一a ( 钍：) 9 + 1 出 当n 充分大时， ( p + 1 ) c + 1 + o ( 1 ) 0 钍。i i 。 9 堡塞堑堇查兰叁壁垄堡圭兰堡丝塞 ( p + 1 ) 山( u 。) 一( 五( ) ，。) = ( 学圳叫卜( 蔫- 1 ) a ( 种“如 = 字牡i x ) - 丁q ) 懈嘣 字o “。 曙+ i a 。c q 丁- p ) f f 矿t 由0 口 1 知( “n 在日中有界，从而有一子列，我们不妨设为本身满足； 一“o 在日中， “n _ u 0 ，o e 在n 上。 札n _ u o 在l 7 ( q ) 中，对1 0 ，有皿山( ) ： t l l l l ： o 若，( 矿) 4 + 1 d z 0 ，则当t 0 充分小时，矗( 毋) 0 使得t 一c l t ；一c 2 a t j = 0 ，并且我们很容易可以得 到当a 一0 时，有“一0 从而存在乃，a 0 使得当“ t 0 ，当h 0 ，我们就有 o = i n ，f 以( u ) 0 在n 0 ) 上对于口h ，其对应方程为： 一口一南”= ( u 巾) 嵋+ a ( u 柙) u ； ( 2 1 ) 定义 ，扛，t ) = 1 + 一1 氓+ 1 u + 。一a u 知 ： ( 。) g ( ) = 9 ( z ，t ) d t ， 与 枷) = ； v 砰一南一出一g ( 州。 现在我们得到了在h 上的临界点与方程( 2 1 ) 的非负弱解的一一对应关系而 且假设u 在弱解的意义下满足方程( 2 1 ) ，则由正则性估计知u 在古典意义下也满 足方程( 2 1 ) 福建师范大学翁盛花硕士学位论文 接下来我们将证明第二个正解的存在性 引理3 2 2 = 0 是l 在h 上的一个局部极小 证明：对任意的u + 岛c 日( b p 已经在前面选定) ，记 = 矿一 一，萨= m a x ：t ：v ，0 ) 我们有 ( ”) 犰v u l 2 一舞固如 击小u a + p + l - - l z p l 一+ 1 ) u 扩】出 击 蝌q + l - - u r l - ( q + 1 ) u 扩】如 由矗的表达式及直接计算可得 枷) = ； v ”i 一南( ”- ) 2 ) 如+ 厶( u - i - v + ) 一坼) 由于“ 是以在h 上的个孤立局部极小值点，故口= 0 是在日上的一个局 部极小更进一步，由于以满足( p s ) 条件，则存在j 0 及q 0 使得 l 扣) 2d 0 当l 。= a 时 定理3 1 1 的证明 同样可以证明对所有的c 都满足( p s ) 。，可参看【3 1 注意到 ( b + d ) m2b m + d m + mb m - t d ，m 1 ，b ，d 0 则对于每一个a 0 ，由于p 1 ，由g 的定义( 看( 2 2 ) 式) 知 g 扛，a ) o + p t 最一1 a ， 口 故对任意的 0 ， 而tz“-tgctv)+ 譬矿而矿+ 1 + 等嵋矿。 从而有( 切) 一一o 。当t 0 0 时，且存在 日使得( 1 ) 0 由g 的定义及u a 是( 1 2 ) 的一个正解。我们就可以知道 u 一u 在q 上到此我们就完成了定理31 1 的证明 口 3 3 定理3 1 3 的证明 在这一节里我们将证明定理3 1 3 的结论，在h 上定义泛函 砸) = 犰v u 胛一尚u 驰一；门札。i pd x - ；门u 。1 2 出， 并且对于任意的妒c 铲( q ) ， ( 五( 峨妒) = ( v “。v 妒一南训如一i p - 2 u , , - ，o d x - a “驯z 现在我们要证明五满足( p s ) 条件，这个证明包含在以下两个引理中 引理3 3 1 假设0 p 面= ( ( 一2 ) 2 ) 2 ，则对任意的序列 u 。) c 础( n ) 满足 五( u 。) 一c ，五( u 。) 一o ，n o o 在硪( n ) 中有界 证明：由于 驰。) = ； v u n j 2 一南国如- ；门u 。i pd x - ；门州i 如， ( 五( 岫m = v u v 妒- 尚u 。洲z 一门训坤u 。妒出一a j 厂w 如- ( 3 1 ) 选取2 q 2 知 u 。) 在础( n ) 中有界 口 1 3 福建师范大学翁盛花硬士学位论文 引理3 3 2 在引理3 3 1 的假设下，序列 。) 在日中有收敛子列 证明：由引理3 3 1 知， u 。) 中存在子列不妨设为本身满足 u 。一u 在日中， u 。一让在口( n ) 上。对l r a ； ( i i ) 存在e a b ln x 与r p 使得若qe ( 巧n y ) o r e ；0 r p 使得j ( u ) 0 ，当u y s p a n e 且i iui l 于时，则对任意大的t ， q = ( 巧n y ) o t e ；0 t q 口 命题3 , 36 五满足引理3 3 3 的条件( 越) 证明：首先，对于任意的y y ，我f r l i t t ( 3 2 ) 式有 五( ，) = ；i ( iv y1 2 一蠢吊v 2 ) 如一；i ，i 如一；- i v1 2 如 ；( t 叫扣v y l 2 一南们出一；1 门v i = ；( i - , v k ) i iy 牡弘1 阢 从而五( ) 0 ，由于在y 上所有的范数都等价令e ：= k + ，( 一a p 1 1 = 1 2 ) 的第 五 + 妒女+ 1 ) 一。o ， t _ o o 1 5 福建师范大学翁盛花硕士学位论文 由注3 3 4 ，我们让t 取的充分大，且定义q = ( 百；n y ) o r e ；0 r t ) 使得注 3 3 4 的结论成立 口 对于c a 的证明同于【4 3 ，定理5 3 1 的证明，到此我们完成了定理3 1 3 的证 明 3 4 定理3 1 4 的证明 这一节我们将要证明( 1 4 ) 有无穷多个非平凡解，我们在日上定义以下的e u l e r l a g r a a g e 泛函： 撕) = 犰v u l 2 一南出- 专门卵“出一击1 i 1 如 我们先做一些准备工作 命题3 4 1 山c 1 ( 日，豫) 证明：假设u 。一t 在日中，则对任意的妒曙( q ) ，我们有 ( 五( u ) ，妒) = v u v 妒- 舞“妒) 出一i u l 叫z ai “1 4 哦 且 札。一u 在上，( q ) 上， 1 0 使得 ( i ) 山( “) 2q ，对任意的0 让忆= p 都成立； ( i i ) 以在廓( b p = “h ：i i “忆p ) ) 上下方有界； ( 俐) 以在b ，上满足( p s ) 条件 现在我们固定 ( 0 ，a ”) 有了前面的准备工作，我们接下来要给出定理3 1 4 的证明，我们将采用同于【3 】第五部分的方法 定理3 14 的证明令 = ach ：0 垡a ，让a = 一u a ) 对于a ，我们用7 ( a ) 表示a 的z 2 指标( 可参看【3 ，4 3 1 ) 我们同时令 a m p = a ：a 紧，a c b p ，7 ( a ) n ) 显然对所有的n = 1 ，2 ，都有a 。，0 ，这是由于 岛，。：= a ( 域n 展) a 。 这里的g n = s p a n e l ，e n ) ，e 是算子一一静的第i 个特征向量( 2 1 ，命题 2 1 1 ( 也可参看1 3 6 1 ) ) 让 k ，一2 。班。m 。a 。xg 1 7 福建师范大学翁盛花硕士学位论文 由( 说) 知每个k ，。都是有限的，而且有 k ，p 0 便得 6 ：= t j 睦，以( u ) 0 2 以( o ) 选取u h 使得u 0 在n 上，则对t 0 ，我们有 珈) _ t 2 ( i v u1 2 一南u 2 肛詈卜+ ) p 如一警弘+ ) 2 如 由p 2 知存在e ：= t u 使得i l e i 。 r 且五( e ) 0 由山路引理知：五有- a - , 3 ： 的临界点目 j ，一“一南u = ( ”1 + 肘i n q o 【“础( q ) 存在一非平凡解钍用“一乘以上述方程的两边并在n 上积分得： o = ( iv u i 一许( n 一) 2 ) 出= i n - o 因此u 一= 0 ，即0 由椭圆正则性估计知u c 2 ( q 0 ) ) ，再由强极大值原理就 可以得到u 是正的。因此是( 1 3 ) 的解 口 1 9 福建师范大学翁盛花硬士学位论文 第4 章半线性椭圆特征问题的多重变号解的 存在性 4 1 引言 这一章我们主要学习一类半线性椭圆特征方程： - x u “。i n 。， c r ， 在r “( 2 ) 中具有光滑边界的有界区域n 上的多解问题，其中a 0 是一个参 数，假设非线性项，( “) 在t = 0 附近是超线性的，即f ：r r 满足： 舢( r ) 且娥坤) ( 删归1 对2 0 ，当i “l 0 很小时； 下得到了同我们的结论相同的结果【2 4 ，定理2 】 在这一章里，我们的安排如下；在第二节里我们先给出一些引理，而定理4 1 1 的证明将在第三节中给出 第4 章半线性椭圆特征问题的多重变号解的存在性 4 2 一些引理 首先我们令y ( t ) = f c t ) - itl p - 2 t ，则由条件( f ) 知 啄孙) 川t 1 9 。t ) = 0 因此若5 0 足够小，则存在g 0 使得 i 歹( t ) i g t i p _ 1 ，t 【- - 2 5 ，2 司，a n dg 一0 a s5 0 ( 2 1 ) 取6 0 充分小使得 。 0 与q = 口0 ) 0 使得 证明：对s 2 ，k 0 ，定义 “i l 一( n ) c iu i ； fr52，0rk， ( r ) = 一5 k ( 。一2 ，- ) 1 。r 力+ ，o 一5 2 “2 = - ：兰。 【一( 5 。2 1 ( 一r ) + ( 1 一) 护2 ) ，r - k 让妒( r ) = 片( r ) 1 2d r ，则 r 州i s 面南i ( r ) 1 2 ( 2 5 ) 由于是方程一a v = 口( u ) 在n 上的解，且咖( “) h o ( q ) ，由( 2 5 ) 式及h s l d e r 不 等式知 ，v 乱v ( 庐( 札) ) j n 函f l 俨i2 i 吣汗 函( z i 堋i 宁( 上训啪 ( 2 6 ) 另一方面有， 上v u v ( 如) ) = fl 以训2 i v u l 2 = fl v ( m | 2 c ，( 上训4 ) ； 其中c = c ( q ，p ) 0 且q p 因此 ( 上u ) ；薪岛( 上m i ) 孚( 上训咿 2 2 ， ， m 渺 0 _ c i | u u 口fnfn小吐吐 = 一 0 使得 。 i 让i l i n ) - 2 ) 上的c 2 非负解，其中1 o 口铮让一u p o ) ；u u 甘u 一 p o 同时我们令w = p u ( - p ) 设0 r ，i = 1 ，2 ，n _ o o “_ 呻o o ) 且 u 虮m 川a x 胁i ( “) 0 使得颤2c ( k + 1 ) 1 一d 对任意的k n ，其中，y = ( 2 n ) p ( p 一2 ) 当n = 2 时，对任意的5 0 存在常数g ，d 。使得馥q k p o _ 2 ) 一d 。在这 里我们要说明的一点是：c k = 以由c k 及缸的定义显然有c k 靠，若存在某些 k 。，i = 1 ，2 ，使得c l + 了2 - v + l c $ 删i q1 ，j = 1 ，2 ， ( 3 2 ) 如 嘲 r h h u b 厶破。爆甩采 得 们 可 我 此 时 由 同 对k n ，定义 b 玉1 = u = 口+ t e k + 1u 扎，t 0 ，i i “0 r “1 ) 令o b l l 为b 矗1 在x k + l 中的边界 对j = 1 ，2 ，定义 b = ：l 三善嚣璺，i ：塞蒜：蠹 c k j + 1 + 挚扩a p ( p 一2 iq 对任意的妒n b ，定义 庐( 乱) = ( ) ， 一( 一仳) u b + + l i u b 矗+ 1 容易看出a k j + 1 故对任意的咖h b ，由( 2 4 ) 可得 ，厶删u ) ) 。邕，啪( u ) ) 一2 p c 6 护a p ，( p 叫in ueb七+ l u b 玉+ l p = 。吕譬。婀( u ) ) 一2 p p c , 扩妒( p 一2 in u e b k 】+ l 、一川 p c k ，+ l - - 墼p 扩a p ( p 一2 i n i ， 又由( 3 1 ) 得 墨譬如 ( ( u ) ) m 擎j ( i j 5 ( u ) ) u 口乏+ lu 日乏+ 1 故屯2c k j c k i + l 一孚护 ( p 一2 lni + 1 + 孚扩a p ，( p 一2 lqi 断言2 c k j 为厶 的临界值 若葛不是厶， 的临界值，则由形变引理( 见【3 9 】) 可知，存在( 0 ，i 1 ) 及同 胚映射q ：明) 一硪( n ) 使得：q ( 墩押u ) c 穗u w 且q = i d 在 硪( q ) ( 糠慨嚎4 ) ( 3 3 ) 第4 章半线性椭圆特征问题的多重变号解的存在性 上，兵中坛 = t ui 6 ( “) 曼c j 设l - l k j 满足；m a x 。b 乏+ 。厶， ( 妒( “) ) 丽+ 则由( 33 ) 和断言1 可得： 目o n ，且 m a x 厶 ( 町。( t 上) ) 0 ，使得对任意的a 有 i “i l l ( n ) s6 a 1 ( p 一钔， 1s i j 则由引理4 21 可知，当a 且ist j 时，a 一1 ( p 一2 ) “i 为方程( r ) 的解 故 骢( a ) = + o 。 福建师范大学翁盛花硬士学位论文 结论 定理3 1 1 【4 8 】假设0sp 0 ，使得当 a ( 0 ，a 4 ) 时，( 1 2 ) 至少存在两个正解 定理3 1 3 假设0 nc r “( n 3 ) 是有界的开区域，0 卢 0 ，( 1 4 ) 存在一个非平凡解 定理3 1 4 4 8 】假设0 缸 0 ，使得当 a ( 0 ，a ”) 时，( 1 3 ) 有无穷多解 定理3 1 5 假设0 qcr “( 3 ) 是有界的开区域，0 p | 西，q = 1 p 2 + 一1 ，则( 1 2 ) 存在一个正解，若0 a a 1 定理4 1 1 假设，满足条件( f ) ，那么有1 i 翠( a ) = + 对于方程( 1 1 ) ，我们还可以考虑更一般带奇异点的算子，在同等条件下( 满足 h a r d y 不等式) 应该可以得到同定理3 1 1 及定理3 1 5 相似的结论 福建师范大学翁盛花硕士学位论文 参考文献 1 】a a m r o s