信号与系统连续系统的拉普拉斯变换分析课件.ppt

第四章连续时间信号与系统的复频域分析 在前一章里 我们学习了傅里叶变换 用傅里叶分析法分析信号与系统的频域特性 傅里叶分析法带来的好处建立了信号与其频谱之间一一对应的关系 可以得到信号的频谱分布 带宽等频域特性 可以得到系统在频域的系统函数 方便理解系统的传输特性 同时易于求取系统的零状态响应 时域分析方法对于复杂的系统只能求得结果 不能从物理概念上解释为什么得到这种响应 从而在系统分析 设计和调整上遇到困难 傅立叶分析法可以从频谱的观点说明激励与响应之间的差异情况 物理概念清楚 方便系统分析 设计和元件参数调整 例如 有科学家在应用傅里叶分析法求响应时 觉得对具有初始条件的系统问题 不能利用傅里叶变换求得系统的完全响应 一些常用信号因不满足狄里赫利条件而不存在傅里叶变换 如 而不能用傅里叶分析法分析 这个科学家就是法国的拉普拉斯 他希望能解决上面问题 然后提出了新的变换方法 被称为拉普拉斯变化法 本章即学习和研究用拉普拉斯变换分析法分析信号与系统 主要内容 由傅里叶变换导出拉普拉斯变换 讨论拉普拉斯变换的基本性质和常用信号的拉普拉斯变换对 讨论线性系统的拉普拉斯变换分析法 并运用该分析法分析线性系统 4 1拉普拉斯变换 4 2拉普拉斯变换的性质 4 3拉普拉斯反变换 4 4连续时间系统的复频域分析 4 5系统函数 4 6系统函数及其零 极点分布与系统的时域和频域特性 4 7双边拉普拉斯变换 4 8连续时间系统的s域模拟 4 9系统的稳定性内容回顾 本章内容安排 作业 4 1 1 5 4 2 2 4 6 4 44 8 2 4 10 4 6 1 2 4 9 1 2 4 10 1 3 4 4 11 1 4 134 15 4 19 1 4 35 4 1拉普拉斯变换laplacetransform 1从傅里叶变换到拉普拉斯变换 当函数满足狄里赫利条件时 可构成一对傅里叶变换 绝对可积极值数目有限有限个间断点 很多信号因为不满足绝对可积 不存在傅里叶变换 为使更多的函数存在变换 引入一衰减因子与相乘 使满足绝对可积 求其傅里叶变换 积分变换式须有严格的数学证明 不能随意给出 下面由傅里叶变换式推导拉普拉斯变换式 与 比较 显然 由傅立叶反变换 令 则 由此得到双边拉普拉斯变换 拉普拉斯正变换 拉普拉斯逆变换 得到单边拉普拉斯变换 如无特别说明 拉普拉斯变换均指单边拉普拉斯变换 表征了正弦函数和余弦函数振幅随时间变化的情况 称为衰减因子 表征了正弦函数和余弦函数的角频率 称为振荡因子 拉普拉斯变换的理解 才得到拉普拉斯变换式 所以 拉普拉斯变换存在的充要条件是 或 2拉普拉斯变换的收敛域 f t 不同 则满足条件的 不同 若 时 比如 的拉普拉斯变换的收敛域为 绝对可积 则 称为收敛坐标 称为收敛轴 收敛域的边界 收敛轴 解 推广 任何时限有界的函数 其拉氏变换的收敛域就是整个S平面 即 解 下面讨论一些典型函数拉普拉斯变换的收敛域 时 解 根据定义 同理 的收敛域 的收敛域 所以时间函数只有在给定收敛域内与其拉普拉斯变换式一一对应 为什么要讨论收敛域 对于某个信号 只要能够找到收敛坐标 就存在拉普拉斯变换 如果找不到收敛域 则该信号不存在拉普拉斯变换 对于单边拉斯变换 不会存在拉斯变换对不是唯一对应 可以不标收敛域 双边拉斯变换的收敛问题比较复杂 会出现不同的原函数的像函数是一样的 需要标注收敛域 严格来讲 求拉氏变换时 应同时给出收敛域 3 1单位冲激函数 即 3 2单位阶跃函数 即 3常用信号的拉普拉斯变换 3 3指数信号 即 而 傅立叶变换中由于有些信号不满足绝对可积条件 频谱函数中含有冲激函数 而拉斯变换增加了衰减因子 使信号收敛 象函数中不含冲激函数 因此 拉斯变换后的函数形式比傅立叶变换简单 方便进一步运算 表4 1常用函数的拉普拉斯变换表 1 线性性质 若 式中 和为任意常数 证明 4 2拉普拉斯变换的性质 与傅里叶变换类似 拉普拉斯变换也有许多重要性质 掌握好这些性质 有助于求解一些复杂信号的拉普拉斯变换 则 解 由欧拉公式和线性性质 同理 若 则 2 时移 延时 性质 这里研究单边拉氏变换 所以没有以免移到左半平面 注意 适用时移性质 解 4种信号波形如图4 4所示 a b 图4 4例4 5的4种信号的波形图 c d 周期信号的拉普拉斯变换等于 利用时移性质求有始周期信号的拉普拉斯变换 例4 6求下图所示信号的拉普拉斯变换 其第一个周期函数的拉普拉斯变换为 所以 解 如果信号函数既有时移又有尺度变换 则其拉普拉斯变换为 3 尺度变换性质 注 对双边拉氏变换 存在 例4 7已知 求 的拉普拉斯变换 解 由尺度变换性质和时移性质 4 频移性质 可以为实数或复数 解 因为 由频移性质 证明 由拉普拉斯变换定义有 同理可推得 5 时域微分性质 运用分部积分法 例4 9 和 的波形如图 a 和 b 所示 求 及其一阶导数的拉普拉斯变换 b a 解 1 求的拉普拉斯变换 应用时移性质和线性性质有 由于单边拉氏变换的积分是从 开始的 故 的拉普拉斯变换与 相同 即 由图 a b 可得 b a a 由 的表达式求 b 利用时域微分性质求 6 时域积分性质 有 推广到n重积分 例4 10求图 a 所示函数的拉普拉斯变换 a b 解 解题思路 的波形如图 b 所示 则 由时移性质和线性性质得 由图 b 可知 是因果信号 再由时域积分性质可得 求 由时域积分性质得 而 所以 以此类推 可以求得 7 复频域微分性质 还可求得 解因为 所以 8 复频域积分性质 初值定理只适用于在原点处没有冲激的函数 9 初值定理 的所有极点在s平面的左半平面内 原点处可有单阶极点 则 的终值 10 终值定理 满足此条件才存在终值 初值定理只适用于在原点处没有冲激的函数 证明 初值定理的证明 能够建立sF s 和f t 之间关系的表达式是 取极限 如果f t 在t 0处无冲激 则该项为0 解 11 时域卷积定理 12 复频域卷积定理 表4 2拉普拉斯变换的性质及定理 有始周期信号 4 3拉普拉斯反变换 拉普拉斯反变换 由象函数求原函数 拉氏变换的提出是为了克服傅里叶变换的缺点 一些常用信号不存在傅里叶变换求傅里叶反变换困难 难以利用傅里叶变换分析法求系统的响应 不能求全响应 拉普拉斯反变换怎么求 好求吗 求拉氏反变换的方法 查表法查常用函数的拉普拉斯变换表和拉氏变换性质表求拉氏反变换 适用于简单函数情况 部分分式法部分分式法是将复杂象函数分解为多个简单函数之和 然后分别求其原函数 适用于有理函数的情况 留数法留数法则是利用复变函数中的围线积分和留数定理进行 既适用于有理函数也适用于无理函数 1 部分分式法 式中 0 0 0 由 得 对真分式进行部分分式展开 分别代入 可得 则 求待定系数 再由表4 1中公式10可得 则有 所以 略 则 再将上式两边对s求导 以此类推 可求得重根项对应的所有系数 其求解的一般公式为 则 为单根 为三重根 则 从而 复变函数理论中的留数定理 沿围线C的积分等于围线C中被积函数各极点上的留数之和 拉普拉斯反变换式为 2 留数法 那么 从而由留数法求拉普拉斯反变换的公式为 t 0 t 0 可以证明 当为真分式时 沿L路径的积分为零 所以 留数法与部分分式法本质上是一样的 所以 与例4 17的计算结果相同 4 4连续时间系统的复频域分析 连续时间系统的复频域分析法即拉普拉斯变换分析法 本节讨论用拉普拉斯变换求连续时间系统的响应 一 用拉普拉斯变换法求解线性常系数微分方程 上式也可写为 根据时域微分定理 下面将微分方程变换到S域求解 对系统方程两边求拉斯变换 则 仅与系统的初始状态有关 仅与激励有关 拉氏反变换 即 方程两边拉氏变换得 在s域解代数方程 拉氏反变换后即得时域响应 解 对微分方程两边取单边拉氏变换 有 即 得 将 和已知的各初始值代入上式 得 对以上二式取反变换 分别得零输入响应和零状态响应 系统的全响应 通过拉普拉斯变换可以将微分方程转换为代数方程求解 使系统分析简化 如果电路本身很复杂时 列写其微分方程就比较困难 怎么办 将电路的时域模型转换成s域模型 再建立系统方程 这就是s域模型法 二 电路的s域模型法 如同频域模型法求解电路 对任意节点 流出 或流入 该结点的象电流的代数和恒等于零 KCL KVL的时域形式 对任意回路 沿该回路闭合巡行一周 各段电路象电压的代数和恒等于零 1 KCL和KVL的s域形式 KCL KVL的S域形式 拉氏变换 R L和C元件的时域关系分别为 2 电路元件的s域模型 拉氏变换 图4 10s域元件的串联模型 电阻 电感 电容 将式 4 57 到 4 59 对电流求解 得到 与此对应的s域网络模型如图4 11所示 图4 11s域元件的并联模型 电阻 电感 电容 电路元件的s域模型总结 在S域模型中 动态元件的初值转换为电压源或电流源 串联形式是元件与电压源串联 适用于串联回路应用KVL情况下 并联形式是元件与电流源并联 适用于并联回路应用KCL情况下 1 建立电路的s域模型 2 列写电路的s域KCL KVL方程 3 解出所求量的象函数 3 用拉普拉斯变换法分析电路 有了S域的电路元件模型 就可以在S域里分析电路 步骤如下 在复频域里分析电路相对于在频域里分析电路的优势是可以将初始条件包含进去 4 拉普拉斯反变换 得所求量的时间函数 例4 21电路如右图所示 解先求电路的初始状态 画电路的s域模型 电路以并联为主 S域采用电流形式的串联模型 令 则 解得 拉氏反变换 列写S域方程 小结 连续时间系统的复频域分析法即拉普拉斯变换分析法 其特点是 该方法能将时域中的微分方程变换为复频域中的代数方程 使求解简化 微分方程的初始条件可以自动包含到象函数中 直接求得方程的完全解 用该方法分析电路时 可以不列出系统的微分方程 而直接利用电路的s域模型 列出电路的s域方程 先求出响应的象函数 再由拉氏反变换求得原函数 一 系统函数的定义 4 5系统函数 定义 系统的零状态响应的象函数 与激励的象函数 之比为 系统函数 用 表示 即 系统函数的特性 是频域的系统函数 简称为频响函数 是复频域的系统函数 证明性质1 一个线性非时变系统 可由n阶常系数线性微分方程描述 即 设系统初始状态为零 对上式两边进行拉普拉斯变换 由系统本身决定 与激励无关 略 证明性质2 在第二章时域分析中得到 求拉氏变换 而 所以 系统函数在系统分析中的作用 通过分析系统函数的零 极点分布 来 分析系统的时域特性和频域特性 确定系统的稳定性 利用系统函数 求解系统的零状态响应 二 利用系统函数 求解系统的零状态响应 利用系统函数 求系统的零状态响应的基本步骤 1 计算 2 求激励信号 的象函数 求出响应 的象函数 3 按式 4 对 求拉普拉斯反变换即得时域零状态响应 略 解 零初始状态下 对方程拉氏变换 在s域求H s 拉氏反变换得h t 例4 23下图所示电路 求电路的零状态响应 解 该系统的系统函数为 为了计算方便 令 则 则 激励信号 略 4 6系统函数的零 极点分布与系统的时域和频域特性 n阶系统的系统函数为 定义 系统的零极图 则系统的极点为 二重极点 系统的零点为 零极点分布如右图所示 角将由极点和零点共同决定 也完全由 的零 极点位置决定 那么 系统的冲激响应 也就是说 部分分式法和留数法都可以说明这一点 而幅度和相 系统的时域特性由h t 确定 稳定性 因果性 因为 完全由它的的零 极点位置决定 二 零极点分布与系统的时域特性 显然 极点位于S的左半平面时 h t 绝对可积 系统稳定 归纳 系统临界稳定 系统不稳定 2019 12 19 85 可编辑 时域中的波形 s平面上的零 极点 略 时域中的波形 s平面上的零 极点 略 建立H s 与H j 的关系 系统的频域特性由H j 确定 频率特性决定了系统对频率的选择性和通频带宽 三 零极点分布与系统的频域特性 将相应的复数因子都可以表示为矢量形式 表达式还是复杂 零点矢量模的积 极点矢量模的积 零点矢量夹角和 极点矢量夹角和 由H s 的零极点分布得到系统的频域特性步骤 H s 易求 首先求出H s H s 表达式简单 求出H s 的零极点 画出零极图 在零极图上 让s沿j 轴从0向 变化 观察零点矢量和极点矢量的变化 由 例4 25研究图1所示RC高通滤波网络的频响特性 解 1 求H s 2 画零极图 图1 举例说明 则 也即 不变 3 在零极图上 让s沿j 轴从0向 变化 分析H j 如何变化 4 绘制出幅频特性和相频特性曲线 极点决定了幅频特性的截止频率 例4 26研究图4 24所示RC网络的频响特性 解 1 求H s 零 极点分布图 2 画零极图 3 在零极图上 让s沿j 轴从0向 变化 分析H j 如何变化 4 绘制频响曲线 a 幅频响应曲线 零 极点分布图 b 相频响应曲线 极点决定了幅频特性的截止频率 轴从0向 变化时 A从1 RC逐渐增大到 从0增加到90 极点位置决定了幅频特性的截止频率 由此可见 一阶网络具有一个极点 对于无源网络该极点总位于负实数轴上 其零点决定了网络是低通网络 高通网络还是全通网络 归纳得 一阶系统零极点分布与系统频率选择性的对应关系 高通 低通 全通 同理可推得二阶系统 系统设计时 可以通过改变零极点位置来改变系统的频率特性进一步 通过MATLAB仿真 选择优化零极点位置 及优化系统设计 4 7双边拉普拉斯变换 一 双边拉普拉斯正变换 双边拉普拉斯变换的定义如下 一般情况下 信号是有始信号 系统是因果系统 所以用单边拉氏变换就可以分析 但有时还要考察 区间的情况 如周期信号 平稳随机过程等 或者分析理想系统 这时就需要用双边拉氏变换来分析 下标d表示双边拉普拉斯变换 存在的条件 那么 变成了以 为自变量的右边函数 因此 求单边拉氏变换已经很熟练 能否通过单边拉式变换求取 比较 1 和 2 式可知 拉氏变换 反过来 求出双边拉氏变换后 同时给出收敛域 判断是否有公共收敛域 有 则 无 则不存在双边拉氏变换 解 首先求右边函数的拉氏变换 求左边函数的拉氏变换 右边函数的收敛域 左边函数的收敛域 其收敛域如图所示 对于右边函数 收敛域应满足 则 对于左边函数 收敛域应满足 则 通常像函数可以表示为 象函数的极点与收敛域的关系 极点在收敛域的右边 极点在收敛域的左边 结论 求拉氏变换的收敛域时 可以直接由象函数的极点给出 右边函数 左边函数 对于双边拉氏变换的象函数 可以根据收敛域确定极点对应的函数是左边函数的象函数还是右边函数的象函数 在求解双边拉普拉斯反变换时 首先确定哪是右边函数的象函数 哪是左边函数的象函数 然后分别对右边函数和左边函数进行拉氏反变换 二 双边拉普拉斯反变换 确定左边函数和右边函数的方法 根据极点与收敛域的位置关系 对应右边函数 对应左边函数 解 1 其极点分布和收敛域如图4 31所示 的求取如下 图4 31例4 29 1 的收敛域 最后得其解为 2 图4 32例4 29 2 的收敛域 收敛域和极点分布如图4 32 2 例4 29 3 的收敛域 3 左边函数拉氏变换的说明 根据左边函数拉氏变换的步骤可得若F s 对应的右边函数为f t t 则其对应的左边函数为 f t t 若f t t 的象函数为F s 则f t t 的象函数为 F s 三 双边信号作用下线性系统的响应 分析 求 而 解题方法 略 均为左侧极点 对应的右边时间函数为 故系统的响应 因为公共收敛域为 4 8连续时间系统的s域模拟 系统模拟不是仿制真实系统 而是在实验室里用模拟装置组成实验系统 使得它与真实系统具有相同的数学模型 是数学意义上的模拟 根据系统的数学模型 用基本运算单元和图形符号来表示系统的功能或系统的输入输出关系 系统的模拟 2 4节已讨论 S域的运算关系更简单 1 加法器 加法运算式 一 基本运算器的S域模拟 2 标量乘法器 标量乘法的关系式 3 积分器 在初始条件为零时 积分器的输出信号与输入信号的关系为 若初始条件不为零 则为 1 一阶系统的模拟 设一阶系统的微分方程为 对应的系统函数表示为 所以一阶系统的复频域模拟图为 二 连续时间系统的s域模拟 S域的方程为 因为 二阶系统的微分方程 对应的系统函数表示为 二阶系统的复频域模拟图如图所示 2 二阶系统的模拟 S域的方程为 首先用积分器建立起输出与其各阶导数的关系 然后用加法器建立起输出的最高阶导数与其低阶导数和激励的关系 对比时域的模拟 一阶系统为 二阶系统为 S域模拟与时域模拟是一致的 依此类推 对一个n阶系统 若其微分方程为 对应的系统函数表示为 则其n阶系统的复频域模拟图为 3 n阶系统的模拟 S域的方程为 若系统的微分方程中含有输入函数的导数项 即系统既有极点 也有零点时 当 其系统函数为 与前面2 4节n阶系统的时域模拟方法类似可以得出一般n阶系统的s域模拟图 其中令 其微分方程为 要求 在系统的微分方程 系统函数 系统模拟图之间 知道一个能立刻推出另两个 常见的组合形式有级联 并联 混联等 复杂系统可以分解成多个简单系统的组合后 进行模拟分析 4 其他形式的模拟 1 级 串 联形式 分解为基本一阶子系统相乘的形式 级 串 联系统的系统函数是各子系统函数的乘积 对应系统级联 串联 系统的串联形式模拟用以调整系统的零 极点 观察系统的时域和频域特性 S 1 S 1 例如 系统并联的模拟框图 并联系统的系统函数是各子系统函数的和 2 并联形式 系统的并联形式模拟用以调整系统的极点和留数 观察系统的时域和频域特性 S 1 S 1 最基本的反馈系统方框图 3 反馈系统 指系统的输出或部分输出反过来馈送到输入处 从而引起输出本身变化的闭环系统 例如 系统模拟方法不同 系统设计时 调整参数有所不同 直接形式可调整的是微分方程的系数 级联形式可调整系统的极点与零点 由于H s 的零极点位置直接影响系统的时域特性和频域特性 所以在S域模拟实验 MATLAB仿真 比在时域更方便 更有实际意义 并联形式可调整系统的极点与留数 4 9系统的稳定性 一系统稳定的定义和条件 在研究和设计各类系统时 系统的稳定性是一个重要的问题 稳定性是系统本身的特性 与激励无关 二系统稳定的判定方法 1时域判断方法 2S域判断方法 或 因果系统 因为H s 的零 极点决定了时域的特性 所以可以由H s 的极点分布来判断 对于因果系统 h t 衰减 h t 等幅 h t 增幅 比时域方法简单 例4 31已知某线性时不变系统的系统函数为 试判断该系统是否是稳定系统 解 由 可知h t 为右边函数 该系统为因果系统 得极点 两极点均在左半s平面 所以该系统是稳定的 由 略 根据前面判定系统稳定性的方法 需要求出系统函数的全部极点 才能确定系统是否稳定 然而对于三阶以上的高阶系统 求解系统的全部极点较繁琐 而实际上 判断系统稳定性 并不需要知道极点的确切位置 而只要了解它是否在左半S平面上 三罗斯 霍尔维茨准则 Routh Hurwitz 罗斯 霍尔维茨提供了判断方程是否有正实部根的简便方法 不用解方程 1 霍尔维茨 Hurwitz 判断法 若 1 系数无缺项 2 ai 0i 0 1 n则D s 称为霍尔维茨多项式 系统无正实根 稳定 的必要条件 H s 中的D s 应为霍尔维茨多项式 2 罗斯 Routh 判断法 罗斯准则 罗斯阵列中 1 阵列中首列元素同号时 其根全位于s左半平面 2 阵列中首列元素有变号时 则含有s右半平面根 个数为变号次数 1 D s 应为霍尔维茨多项式 2 排列罗斯阵列 3 由罗斯准则判断D s 0根的分布 4 判断系统的稳定性 罗斯 Routh 判断法 第一步把的所有系数按如下顺序排成两行 构筑Routh阵列的步骤 第二步 排列Routh阵列规则如下 在该阵列中 头两行就是前面特征方程的系数所排成的两行 依次类推 排列到a0为止 设方程为 阵列中的第一列 构成的数列称为罗斯数列 下面各行按如下公式计算 这样构成的阵列中共有 行 以后各行为零 由阵列中的第一列 构成的数列称为罗斯数列 依此类推 例4 33试判断特征方程 对应的系统是否稳定 构建罗斯 霍尔维茨阵列 罗斯 霍维茨数列为8 2 1 11 5 此特征方程对应的系统不稳定 该数列两次变换符号 所以特征方程有两个正实部的根 解 方程的系数均为正 且不缺项 满足必要条件 1 5 0 0 0 0 0 11 5 解系统函数为 系统的特征方程为 构建罗斯 霍维茨阵列 系统稳定条件为 及 在计算罗斯 霍尔维茨阵列时 可能会遇到某行首项 的情况 而因为下一行的所有元素都要以 行计算 遇到这种情况时 就用一个无穷小的量去代替零 为分母 将无法继续进 继续排出阵列 然后令 加以判定 计算罗斯阵列特殊情况1 解 罗斯 霍尔维茨数列变号两次 系统不稳定 系数均为正 不缺项 满足必要条件 构建罗斯阵列 计算罗斯阵列特殊情况2 在计算罗斯 霍维茨阵列时 如遇到连续两行数字相等或成比例 则下一行元素将全部为零 阵列也无法排下去 1 审查罗斯 霍尔维茨数列 判定系统的稳定性 2 审查辅助方程的根是否在s的右半平面 列表时先用全零行的上一行构成辅助方程 它的根就是原方程的根 再将辅助方程求导 用求导后的方程代替全零行 解 方程的系数均为正 且不缺项 满足必要条件 第三行出现全零行 辅助多项式为 求导得 以4 6代替全零行系数 继续构建阵列 罗斯 霍尔维茨数列无符号改变 解得 系统函数在虚轴上有四个单极点 故系统为临界稳定 为方便后面的运算 在阵列左方标注该行首项的s幂次 构建罗斯 霍维茨阵列 求辅助方程的根 内容回顾 拉普拉斯变换 双边拉普拉斯变换按左边函数和右边函数分别进行 双边拉氏变换存在的前提条件是左边函数和右边函数具有公共收敛域 收敛域 右边函数 则 取其公共收敛域即可 左边函数 则 取其公共收敛域即可 像函数的极点在收敛域的右侧 像函数的极点在收敛域的左侧 双边函数 是左边函数和右边函数的公共收敛域 像函数的极点在收敛域的两侧 时限有界函数的收敛域为整个s平面 常用信号的拉普拉斯变换 1 1 信号在S域的形式比频域的形式简单 求反变换容易 通常在S域求系统的响应 拉普拉斯变换的性质 拉普拉斯反变换 查表法部分分式法留数法 求解线性常系数微分方程 连续时间系统的复频域分析 电路的s域模型法分析电路 利用傅立叶变换只能求得零状态响应 双边拉普拉斯反变换按左边函数和右边函数分别进行 系统函数 系统模型 系统函数与系统模拟图