（概率论与数理统计专业论文）panel数据模型的广义p值检验.pdf

摘要 摘要 本文主要利用利用广义p - 值和广义置信区间的概念研究了p a n e l 数据模 型中未知参数的精确检验和置信区间问题 p a n e l 数据模型是类广泛应用于经济、生物、医学计算机等领域的线 性混合效应模型该模型中的假设检验问题受到了学者们的广泛的关注，但由 于方差分量未知，很多假设检验问题都很难给出精确检验t m i 和w e e r a h a n d d 提出盼广义p - 值和广义置信区间是解决假设检验问题中存在冗余参数的灵活 而有效的途径本文就是基于广义p 值和广义置信区间概念对p a n e l 数据模 型中未知参数的各类假设检验和置信区间问题进行了探讨，给出了参数的精 确检验和置信区间 对于回归系数我们分别考虑了几种重要情形的检验和置信区间问题，得 到了基于广义p - 值理论方法的精确检验和精确置信区间进一步讨论了本文 所提出检验和置信区间在尺度变换下的不变性模拟结果表明，本文提出的检 验从功效来看具有一定优良性 对于方差分量，我们研究了单个及其任意线性组合的假设检验问题和置 信区问，建立了单边假设问题的精确检验和方差分量的置信区间，并讨论了所 构造检验和置信区间在尺度变换下的不变性通过模拟给出了检验的功效。 模拟结果表吼本文提出的检验具有较好的功效 基于广义p _ 值和广义置信区间获得精确检验和置信区间的方法是处理冗 余参数存在情形的有效途径，并具有计算方便和易用于小样本问题的特点 北京工业大学理学硬士学位论文 关键词，p a n e l 数据模型广义p - 值 广义置信区间 回归系数方差分量 a b s t r a c t ht h i sp a p e r ，w ec o n s i d e rt h et 明t j 丑ga n dc o n f i d e n c ei n t e r v a lp r o b l e m so f u n k n o w np a r a m e t e r si np a n e ld a t am o d e l sb y u s i n gt h ec o n c e p t so f g e n e r a l i z e d p - v a l u ea n dg e n e r a l i z e dc o i l 丑d e n c ei n t e r v a l p a n e l d a t a m o d e l i s a l l i m p o r t a n t t y p e o f l i n e a r m i x e de f f e c t s m o d e l w h i c h i sw i d e l yu s e di nf i e l d ss u c h 衄e c o n o m i c s ，m e d i c a ls c i e n c e ，b i o l o g ya n dc o n 3 o p u r e rs c i e n c e t h et e s t i n gp r o b l e m so fp a n e ld a t am o d e l sh a v er e c e i v e dc o n - s i d e r a b l ea t t e n t i o ni nt h el i t e r a t u r e s b u tf o rs o m ep r o b l e m sw ec a n te s t a b l i s h e x a c tt e s t sa n dc o n f i d e n c ei n t e r v a l sb e c u a s ot h et h ev a r i a n c ec o m p o n e n t sa r e u n k o w l l t h eg e n e r a l i z e dp - v a l u ea n dg e n e r 捌c o n f i d e n c ei n t e r v a ld u et o t u s ia n dw c e r a h a n d ia r en i m b l ea n de f f e c t i v ea p p r o a c h e st os o l v et h et e s t i n g p r o b l e m sw i t hn u s i a n c ep a r a m e t e r s t h i sp a p e rs t u d i e st h et 喊i n ga n dc o n - f i d e n c ei n t e r v a lp r o b l e m so fu n k n o w np a r a m e t e r si np a n e ld a t am o d e l sa n d e s t a b l i s h e st h ee x a c tt e s t sa n dc o n f i d e n c ei n t e r v a l sb a s e do i lt h ec o n c e p t so f g e n e r a l i z e dp - v a l u ea n dg e n e r a l i z e dc o n f i d e n c ei n t e r v a l f o rt h er e g r e s s i o nc o e f l l e n t s ，w ec o s i d e rt h et e s t i n ga n dc o n f i d e n c ei n t e r v a l p r o b l e m su n d e rs e v e r a li m p o r t a n tc a s e 8 ，a n do b t a i nt h ee x a c tt e s t sa n dc o n f i - d e n c ei n t e r v a l sb a s e do ng e n e r a l i z e dp - v a l u et h e o r e t i c a lm e t h o d w ea l s od i s c u s s t h ei n v a r i a n c eo ft h e s et e 8 t 8a n dc o n f i d e n c ei n t e r v a l su n d e rs c a l et r a n s f o r m a - t i o n r e s u l t so fs i m u l a t i o ns h o w sg e n e r a l i z e dp - v a l u et e s th a sg o o dp o w e r s 一 f o rt h ev a r i a n c ec o m p o n e n t s ，w ed i s c u s st h et e s t i n ga n dc o n 6 d e n c ei n t e r v a l p r o b l e m so fs i n g l ea n da r b i t r a r yl i n e a rc o m b i n a t i o na n de s t a b l i s he x a c tt e s t s a n dc o n f i d e n c ei n t e r v a l s w ea l s od i 目3 t l b 8t h ei n v a x i a n c eo ft h e s e 僦sa n d c o n f i d e n c ei n t e r v a l su n d e rs c a l et r a n s f o r m a t i o n t h ep o w e r so ft h e s et e s t sa r e a l s oo b t a i n e db ys i m u l a t i o n s t h em e t h o d so fo b t a i n i n ge x a c tt e s t sa n dc o n f i d e n c ei n t e r v a l sb a s e do n g e n e r a l i z e dp - v a l u ea n dg e n e r a l i z e dc o n f i d e n c ei n t e r v a la r ef e a s i b l ew h e nt h e r e & f en u i s a n c ep a r a m e t e r s t h e s em e t h o d sa r ec o n v e n i e n tt oc o m p u t ea n de a s y t oa p p l yt os m a l ls a m p l ep r o b l e m s k e y w o r d s ：p a n e ld a t am o d e l s ，g e n e r a l i z e dp - v a l u e ，g e n e r a l i z e dc o n f i d e n c ei n - t e r v a l ，r e g r e s s i o nc o e f l i e n t ，v a r i a n c ec o m p o n e n t s 一 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表和撰写过的研究成果，也不包 含为获得北京工业大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材 料，与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作 了明确的说明并表示了谢意 签名。握盎日期：q ：曼：查 关于论文使用授权的说明 本人完全了解北京工业大学有关保留、使用学位论文的规定， 即s 学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学 校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复 制手段保存论文 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：拯磊导师签名： 第1 章绪论 第1 章绪论 线性模型是几类统计模型的总称，它包括了线性回归模型方差分析模 型，协方差分析模型、混合效应模型，纵向数据模型，生长曲线模型和半相依 模型等许多生物医学，经济、管理地质、气象农业，工业，工程技术 等领域的现象都可以用线性模型来近似描述，因此线性模型成为现代统计学 中应用最为广泛的模型之一本文所讨论的就是一类在计量经济学、医学、计 算机、生物等社会领域中被广泛应用的p a n e l 数据模型 1 1 p a n e l 数据模型 p a r t e l 数据模型有时也称为截面日寸i 序数据模型，假定我们抽取个容量为 n 的截面样本，对样本中每个体观澍t 个时间单位，就得到了个容量为n t 的新样本，这就是p a n e l 数据模型p a n e l 数据模型又称为t 叫c s ( t i m e ss e t i e s c r o s ss e c t i o n ) 模型，它是把时间序列沿空问方向扩展，或是把截面数据 沿时间方向扩展的二维结构的数据集合与单纯时间序列或截面数据相比， t c c s 数据为研究提供了更多的样本点，从而有利于深入分析复杂经济问 题正如截面数据一样，p a n e l 数据模型能够描述某一时期( 或时间点) 各个 个体的状态及其之间的差异；也正如时闻序列一样，p a n e l 数据模型能够描 述每个个体随时间推移所发生的变化，p a n e l 数据模型本质上是具有套误差 结构( n e s t e de r r o rs t r u c t u r e ) 的线性回归模型，它常常产生于重复测量试验， 两极抽样调查以及含时间和个体的经济调查近年来，计量经济，市场分析 区域经济等领域的专家学者对该模型进行了广泛的研究，取得了很多成果 与一般的时间序列和截面数据模型不同的是p a n e l 数据模型的变量有两 个下标假设我们对n 个个体( 如个人，公司、城市国家或地区等) 进行了 t 次观测，观测数据可写为 强= 岛+ p + i t s + 钆，i = 1 ，n ；t = 1 ，t( 1 1 ) 北京工业大学理学硕士学位论文 这里撇表示第t 个个体在时刻t 的某项经济指标玩= ( l ，x i a ) 是已 知向量，它刻画了第i 个个体在时刻t 的一些自身特征p = ，风) 为 未知回归系数 m 是第i 个个体效应，为随机误差例如在测量某个时 期人们的收入状况时，鲰表示个人收入，z 证则表示一系列诸如文化水平、 年龄、性别等变量，胁可以看作没有被观测到的个人能力，乩可看作是通 常回归模型中的随机误差 如果我们感兴趣的就是这n 个个体本身，那么m 是非随机的这种情形 下的参数估计和假设检验问题在( b a l t a g i 【4 】) 的第二章有详细讨论如果我们 的目的是研究整个市场的运行规律，那么m 就是随机的 记 y = ( 口1 1 ，y l t ，抛1 ，y 2 t ，y n l ，y n t ) x = ( 2 7 1 1 ，x l t ，3 5 2 1 ，2 ：2 t ，正1 ，x n t ) 仉= 如0 1 t ，p = ( p l ，m ) ，= ( e l l ，e l t ，i ，e n r ) 这里圆表示k r o n e c k e r 乘积，1 。表示元素全为1 的。维列向量 则模型( 1 1 ) 可表示为 y = 1 n t 届o + x p + 巩p + e( 1 2 ) 如果假设所有雎和“都相互独立，且如一n ( 0 ，以) ；n n ( 0 ，o 。2 ) 则 c o v ( y ) = 咋“1 u l t + a e l n t = ( k o 矗) + 砰i n t 这里j r = 1 t 1 5 - ，吒和2 是方差分量 在( 1 1 ) 中。如果进步将时间效应也考虑近来，则模型( 1 1 ) 改写为 撇= 廓+ 吐卢+ 雕+ 沁+ 8 l t ，l = 1 ，n ；t = 1 ，r( 1 3 ) 如果假设时间效应也是随机的，且沁一n ( 0 ，畦) ，丸与所有雎和钿都相互 独立记现= 1 o 昂，a = ( a l ，b ) 则得到如下模型 = l 胛岛+ x 卢+ 巩p + 巩入+ e( 1 4 ) 2 一 第1 章绪论 此时观测向量的协方差为 c o y = 以o j r ) + 蠢( j o i t ) + 霹抽 其中吒，一和是方差分量 模型( 1 4 ) 就是本文所要研究的模型本文的目的就是对( 1 4 ) 中回归系 数卢和方差分量( 畦，砖，霹) 的各类假设问题进行检验，并构造置信区间 1 2p a n e l 数据模型的研究介绍 p a n e l 数据模型作为一种广泛应用于计量经济学的线性统计模型，不仅 受到经济学家也受到了统计学家的广泛关注近年来有不少这方面的研究成 果发表本节主要介绍一下p a n e l 数据模型在参数估计和假设检验方面的一 些主要结果 1 2 1p a n e l 数据模型中的参数估计 回归系数的估计除了较为常见的最小二乘估计( t h el e a s ts q u a r ee s t i m a t e ， 简记为l s e ) ，最佳线性无偏估计( t h eb e s tl i n e a ru n b i a s e de s t i m a t e ，简记为 b l u e ) 以及b e t w e e n 估计和w i t h i n 估计以外，w a l h u s ，a m e m i y a , s w a r 等都 给出了不同的回归系数估计( 详见b a l t a g i 【4 】) 由于协方差中存在未知参数， 在实际应用中( b l u e ) 是难以实现的王松桂和范永辉【6 】给出了个两步估 计协方差的精确表达式，同时获得了该两步估计优于l s e 和w i t h i n 估计的 简单充分条件范永辉【7 】在他的硕士论文中还给出了卢的个无偏估计类 对于方差分量的估计， b a l e s t r a 给出了正态假设下最佳二次无偏估计 ( b q u e ) ，w a l l a n c e 和h u s s i a n 提出在随机效应精确分布未知的情形下使用一 般的最小二乘估计( o l s e ) 更为合理a m e m i y a 给出了方差分量的a m e m i y a - t y p e 估计 s w a m y 和a r o r a 则通过b e t w e e n 回好和w i t h i n 回归得到方差 分量的一组估计除此之外，n e r l o v e 也给出了方差分量的一种估计这些结 论在b a l t a g j 【4 】的2 3 中有详细讨论 一3 北京工业大学理学硕士学位论文 1 2 2p a n e l 数据模型中的假设检验 p a n e l 数据模型本质上是具有套误差结构( n e s t e de r r o rs t r u c t u r e ) 的线性 回归模型对于p a n e l 数据模型中回归系数的线性假设问题的检验，在2 1 中 将介绍一般的套误差结构的线性模型的此类假设问题的检验，在此就暂不加 详述至于方差分量的显著性假设问题的检验主要有tl a g r a n g e - m u l t i p l e ( 简 记为l m ) 卡方检验 h o n d a 1 2 】提出的标准的l m 检验；k i n g 和w u 提出 了一个局部平均最优势检验另外，b a l t a g i ，c h a n g 和l i 1 4 】针对假设问题 凰：配= 砖= 0 提出了个新的卡方检验m o u l t o n 和r a n d o l p h 则建立 了方差分量的显著性假设问题基于方差分析( a n o v a ) 的f 检验详细讨论 参见b a l t a g i 【4 】 1 3 本文内容和结构 本文的主要耳的是构造p a n e l 数据模型( 1 4 ) 中回归系数和方差分量的 各类单边假设问题的精确检验和置信区间对于回归系数。对回归系数的般 齐次线性假设问题。基于广义检验变量给出了一个新的精确检验，并得出了 回归系数的置信水平为1 一a 的广义不变置信域；对单个回归系数单边假设 检验问题以及两个回归系数比较的假设检验问题在也获得了尺度变换下保持 不变的广义p 值检验和广义置信区间对于方差分量我们给出了单个和任意 线性组合形式的精确检验和置信区间，研究了它们在尺度变换下的不变性 相应的模拟结果在文中列出本文具体内容安排如下t 在第二章，我们首先通过对线性模型中假设检验问题研究现状的介绍，引 入了广义p _ 值检验和广义置信区间的概念，并将不变检验的概念作为个预 备知识引入作为一个具体例子我们介绍了b e h r e n - f i s h e r 问题的广义p 值 检验最后，我们对广义p 值和广义置信区间在线性模型假设检验问题中的 应用进行了介绍 4 第1 章绪论 在第三章，我们首先对含有个体、时间，随机误差三个随机效应的p a n e l 数据模型进行了分析。获得了未知参数的一些优良估计我们基于这些估计构 造了回归系数的广义p - 值检验和广义置信区间，并考虑了它们在尺度变换下 的不变性文中分别考虑了回归系数的多个线性无关情形、单个情形以及两个 差情形的假设检验问题最后，对本章提出的检验给出了模拟结果 在第四章，我们由具体到一般，讨论了从单个方差分量到多个方差分量 任意线性组合的假设检验问题基于广义p 值检验和广义置信区间的理论获 得了方差分量的精确检验和精确置信区间，讨论了它们在尺度变换下的不变 性最后，我们对本章提出的假设检验进行了功效上的模拟 在本文的最后，我们对本文的研究结果加以了总结，对进步的研究方向 进行了展望 一5 北京工业大学理学硕士学位论文 第2 章广义p - 值检验和广义置信区间 在构造线性模型中参数的精确检验和置信区间时常会由于冗余参数的存 在而难以实现，k w t s u i 和s w e e r a h a n d i 2 1 1 和s w e e r a h a n d i 2 2 】提出的 广义p - 值检验和广义置信区间的方法是解决这一问题灵活而有效的方法许 多文献对此进行了研究【2 1 3 9 1 ，在介绍广义p - 值检验和广义枢轴量之前。本 章首先将简单介绍一下线性模型中假设检验问题的研究现状 2 1 线性模型中假设检验 线性模型中的假设检验问题特别是方差分量模型中的假设检验问题是近 几十年来线性模型中较为活跃的方向之一其主要考虑的是两类假设问题的 检验t 一类是固定效应的原假设问题王b ：胃卢= d 的检验f 另类是对方差分 量的显著性检验问题h o ：砰= 0 的检验通常的检验方法是利用方差分量平 方和分解的方法导出精确f 检验在一定的正态性和独立性假设下，该检验 具有良好的性质( 如一致最优不变( u m p i ) 性，一致最优无偏( u m p u ) 性， 一致最优相似( u m p s ) 性) s e e l y 和e i - b a i o n u n i 4 1 】给出了混合模型( 平衡 或非平衡) 在满足一定条件下固定效应和方差分量的w a l d - t y p e 的精确f 检 验并且对于平衡情况w a l d - t y p e 的精确f 检验与方差分量平方和分解的方 法导出精确f 检验是一致的 在有些精确检验不存在的情况下近似检验也常作为参数检验的一个重要 处理方式如在单向分类套误差模型中，回归系数的原假设问题凰：日卢= d 的广义最小二乘( g l s ) f 检验( 文献中记作f c l s ( p ) ) 中含有未知参数， r a o ，s u r t r a - d h a r 和y u e 1 3 】对参数进行了估计给出了一可行性f 检验另外 一种选择就是忽略群内相关性采用标准的最小二乘f 检验) w u h o l t 和 h o m e s 2 0 对( 足) 进行了修正给出一种新的检验f ( 力事实上这些检验都是 f 检验，但它们要么不精确，要么就损失了信息 w a n g 和l i s k i 1 6 对它们 功效分别进行了研究另外，w a n g 和m a 1 9 还对此模型提出了两个精确的 一6 一 第2 章广义p - 值检验和广义置信区间 f 检验如和研，并利用昂和玮，构造了个检验模拟结果表明其效果 优于前述三个检验 但在很多情况下，如冗余参数存在或对参致进行单边假设检验时都难以 构造其精确检验和相应置信区间广义p - 值检验和广义置信区间的提出，使 其成为解决上述问题的有效工具，2 2 中将引入这两个概念 2 2 广义p 值检验和广义置信区间 2 2 1 广义p 值检验和广义置信区间 广义p - 值检验最初是为了解决单边假设检验问题中由于冗余参数存在而 无法获得传统p - 值检验而提出的k w t s u i 和s w e e r a h a n d i 2 1 】通过解决 b e h r e n s - f i s h e r 同题引入了广义p - 值检验的概念 设z 为分布依赖于参数向，的随机变量其中叩为检验参数，6 为冗 余参数，且5 可以为参数向量假设要检验的问题是 丑b ：町珈h 风：呀 ，】d( 2 1 ) 这里，) 0 为预先给定的值记z 为z 的观测值 定义2 2 1 设五( z ，z ，仉为随机变量z ，z 的观测值z ，及参数( 目，的 函数如果正满足 ( 1 ) 噩( 五乞 7 d ，的分布与冗余参数无关 ( 2 m ( 互z ，7 ，6 ) 的观测值乃( ；，：，口，回与未知参数无关 ( 3 ) 对于固定的z 和6 ，噩( 五。，目，6 ) 的分布关于q 随机单调增( s t o c h a s t i c a l l y i n c r e a s i a g ) 或随机单调减( s t o c h a s t i c a l l yd e c r e a s i n g ) 则称孔( z ，。，仉6 ) 为一个广义检验变量当乃( 互z ，仉6 ) 的分布关于，7 随 机单调增时，对于检验问题( 2 1 ) 定义广义p 值为 p = p r ( 死( 五z ，目，6 ) 噩( z ，o ，叩，回i 目= 7 0 ) 当丑( z ，z ，仉研的分布关于q 随机单调减时，对于检验问题( 2 1 ) 定义广义p - 7 一 北京工业大学理学硕士学位论文 值为 p = p r ( t z ( z ，= ，q ，乃( ：，：，目，6 ) i 町= 伽) 对于给定水平a ，如果p n 则接受原假设，反之拒绝由条件( 1 ) ( 2 ) 可知， 广义p - 值与任何未知参数无关，所以是可以计算的 定义2 2 2 设乃( 互z ，7 ，6 ) 为随机变量z ，z 的观测值z ，及参数加，6 ) 的 函数如果满足 ( 1 ) 乃( z ，z ，仉j ) 的分布与未知参数无关 ( 2 ) 乃( z ，z ，口，6 ) 的观测值死( z ，z ，仉6 ) 与冗余参数无关 则称正( z ，毛目，为个广义枢轴量对于感兴趣的参数的广义置信区 间可以利用死( z ：，仉6 ) 来构造例如，当乃( z ，z ，仇d ) = 7 时。若b ( 1 一 a ) 表示。t 2 ( 互z ，目，6 ) 的1 一q 分位数，则t 2 ( z a ) 就成为目的广义置信 上限广义置信下限和双边置信限类似可碍详细讨论参见n 戚和w e e r a - h a n d i 【2 l 】，w e e r a h a n d i 2 2 2 2 2 不变检验 不变检验的概念事实上是统计决策问题在变换群下的不变性以及不变决 策函数的概念在假设检验问题中的应用 设x 取值于可测空间，b x ) ，分布族为( 昂：口e ) ，o o 为e 的非空真 子集考虑假设检验问题 - o ：口o o h 历：口0 一o o = 0 1( 2 2 ) 设g 是一个变换群，其中每个元g 是由z 到刀上的双方单值一一可测变 换，即对任何a b k 有g - z a = 0 ：g a a ) b x ，又对任何口0 及 g g ，在x 一岛时g x 的分布仍在族( r e ：口0 ) 中，即存在石0 使得 x 一局净g x 一片把万记为矽，可以证明( 参见陈希孺【2 】) ：所有虿构成一 8 第2 章广义p 值检验和广义置信区间 个群如果 g o o = g o ：0 o o = o o ，9 e 1 = o t ， v g g 则称检验问题( 2 2 ) 在变换群g 下不变如果一个检验咖满足 毋( 9 z ) = = 妒( z ) ，y g g ，z 石 则称是( 2 2 ) 的个不变检验当然只有在检验问题本身不变时，才有不变 检验可畜 2 3 b e h r e n s - f i s h e r 问题的广义p 值检验 在本节，我们引入b e h r e n s - f i s h e r 问题的广义p 值检验作为一个例子来 介绍广义值检验的应用 例2 1 设五，恐，和m ，k ，k 为来自两个独立正态分布( p 1 ，砰) 和( 助，西) 的独立样本，试构造假设问题 凰：p l 一助s0 h 玩：p l 一助 0 ( 2 , 3 ) 的检验 设叉，f ，研，岛分别为p 1 ，舰，盯 ，磅的极大似然估计，则应有； 又一( p l ，磊) ，u = 筹一碟一l f 一( | 【2 ，譬) ，v = 喾一稚1 并且舅，歹，研，毋是相互独立的设( 茁，_ ，鳄，磅) ，。和分别为( x ，_ 研，研) ) ( 和y 的观测值记口= 缸i 一_ i 2 ) ( 鲁+ 譬) ( 或等价的p l 一脚) 为感兴趣的 参数，6 = ( ， ，以) 为冗余参数定义 酏y 隅 伽i x 珂鲁+ 争( 磊+ 静( 2 4 ) 由m 一助= o 时z = ( 叉一- 八d 。d 。) 一 一n ( o ，1 ) 且与号 一碟一1 ，鲁一 a 象1 相互独立，故t 的分布与冗余参数无关，且其观测值t = 虿一可与未知 9 北京工业大学理学硬士学位论文 参数无关，对于给定的毛f ，6 ，t 的分布关于口( 或者说关于p 1 一化) l 暄机单调 增因而t 是一广义检验变量定义广义p 值 p = 所( ? t l e = 0 ) = p = p r ( t z 一别口= 0 ) = p r ( 于( m + n 一2 ) 一；( 喜+ 窖；) ；2 茸一分 = 岛( 雪【( 一一_ ) ( 鲁+ 芒) 一i ( m + n 一2 ) 】 这里于= z c u + y ) ( m + n 一2 ) _ 服从自由度为m + n 一2 的$ t u d e n b t 分 布且与b = u 渺+ v ) 一b e t o ( 2 尹，2 笋) 独立m ( ) 为自由度m + n 一2 的s t u d e n t - t 分布的分布函数，e b 表示b 对求期望由此我们便得出了一 个对b e h r e n a - f i s h e r 问题的广义p _ 值检验当p 大于预先给定水平口时，接 受原假设。反之拒绝 2 4 广义p - 值理论在线性模型中的应用 实际应用表明在精确f 检验不存在或冗余参数存在时，基于广义p - 值检 验和广义置信区间来获得精确检验和置信区问的方法是富有成效的在混合 效应模型中对于对方差分量的原假设问题日0 ：砰= 0 ，可以给出通常的f 检 验但当原假设问题为一般的单边假设问题h o ：砰s o 时为一已知正 数) ，却难以构造精确f 检验w 鼬a n d i 2 2 利用广义p - 值理论对单向分类 方差分量的单边假设问题给出了精确检验，并说明了在勖= 0 时广义p - 值检 验就退化为传统f 检验同时他还对多向分类模型中方差分量的单边假设问 题给出了基于广义p - 值的精确检验z h o u 和m a t h e w 2 7 把这种方法应用到 混合效应模型中，分别对对单个方差分量的显著性和和两个独立平衡模型方 差分量的的比较建立了精确检验，并把部分结果推广到非平衡情况c h i 和 w e e r a h a n d i 3 1 ，w e e r a h a n d i 和b e r g e r 利用广义p - 值对协方差具有组内相关 结构的简单生长嶂线模型中回归系数建立了精确检验，l i n 和l e e 2 6 将他们 的结果推广到具有等相关结构的简单生长曲线模型t s u i 和w e e r a h a n d i 2 1 1 还讨论了广义p - 值检验的不变性有关广义p - 值理论应用方面的文献还有 1 0 第2 章广义p - 值检验和广义置信区间 很多【2 1 3 剐 w e e r a h a n d i 2 2 构造了不同指数族均值差异性的广义置信区间，并构造 了混合模型方差分量差异的广义置信区间 k m h n a m o o r t h y 和m a t h e w 3 3 利甩广义枢轴量对对数正态分布的均值建立了置信区间 2 5 本章小结 本载西过对线性模型中假设检验问题研究现状的介绍，引入了广义检验 变量和广义枢轴量的概念，给出了不变检验的精确定义介绍了基于广义检 验变量和广义枢轴量构造广义p - 值检验和广义置信区间的方法本章还将 b e h r e n s - f i s h e r 问题的广义p - 值检验作为个例子引入，对广义p - 值理论在 线性模型中的应用进行了简要的介绍! 一1 1 北京工业大学理学硕士学位论文 第3 章回归系数的精确检验 本章主要考虑的是p a n e 数据模型中回归系数的精确检验和置信区闻， 并在尺度变换下研究它们的不变性 3 1p a n e l 数据模型的分析 本文所要研究的p a n e l 数据模型为 舰= 岛+ 翰n 风+ + 。鼬风+ 地+ k + n ，t = 1 ，一，；t = 1 ，t ( 3 1 ) 此即为模型( 1 3 ) 这里钕表示第个i 个体在时刻t 因变量的观测值；，表示 第f 个个体上第j 个自变量在时刻t 的取值；p = 1 ，凤) 为未知回归系 数；似为第个个体的效应，假定这n 个个体是从个大的总体中随机抽取的， m 是随机的；凡表示时刻t 的时间效应，也视为随机的；社为随机误差假定 所有脚，丸和都彼此独立，且以一n ( 0 ，吒) ，沁一n ( 0 ，氓) ，一n ( o ，) ( 3 1 ) 可记为 f = 1 n t 届o + 邵+ t ( 3 2 ) 其中 掣= ( 掣l l ，! ，l t ，抛1 ，管2 r ，z 1 ，掣r ) x = ( a ：l l ，1 r ，现l ，：2 t ，x n l t ，胛) = ( 霉m ，嚣船，z 妇) t = ( i n 0 1 t ) p + ( 1 n o i t n + p = ( 卢1 ，p ) 7 ；a = n l ，a t ) ；e = ( n ，g i t ，e n l ，e 胛) 则有 e = c o y ( = 畦( b 圆j r ) + 氓( a n o i r ) + 坼 其中a t = 1 r l ；，知= 1 n 1 ，胁= 如o i t 记 矗= 夸，厶= 鲁，勖= 如一j n ，e - r = 昂一j j r 1 2 第3 章回归系数的精确检验 则 c o v ( u ) = 酲( e n o f - , r ) + ( 聪+ 砖) ( 脚。昂) + ( 叫+ ) ( 矗o e - r ) + ( 瞩+ 蠢+ 砖) ( 矗。五) 白；q l + 砖q 2 - i - 磅锄+ 磅吼( 3 3 ) 其中砰= 砖，司= 弼+ 砖，砖= 嘲+ ，一= 嘲- i - 嘲+ 司 q l = e n o f - , r ，q = e n o j 5 r ，q 3 = 五。岛，o = 矗o j r 对于上述分解有以下引理 引理3 i ( 1 ) q 1 q 2 ，q 3 ，矶为对称幂等阵； ( 2 ) q 1 ，q 2 ，q 3 ，钆丙两相互正交； ( 3 ) q l ，q 2 ，q 3 ，识的秩分别为( 一1 ) ( t 一1 ) ，n 一1 ，t 一1 ，1 该引理前两条可以直接利用q l ，q 2 ，醌，识的定义来验证，对于( 3 ) 我们由 r k ( e m ) = 一1 ，r k ( e r r ) = t 一1 ，r k ( j - ) = r 女( 品) = l 利用 r k ( aob ) = r k ( a ) r k ( b ) 立得( 3 ) 成立相关依据参见王松桂，史建红等【1 】 分别用q l ，q 2 ，q 3 左乘原模型由于f _ , r l t = o ，e l r = 0 ，有 ， i 讥= q l y = 口l 叉p + q 1 u 皇q 1 x f l + 1 1 1 i 轨= q 2 可= 泓卢+ q 2 t 圭q l x p + 坳 ( 3 4 ) l 【l = q a y = q 3 x z + 铂 皇q 3 x p + 坳 其中j 沁= q e u = 0 ，c “) = 砰q ，l = 1 ，2 ，3 假定( x q x ) ， = 1 ，2 ，3 均存在，这在实际数据观测中是容易满足的则在( 3 4 ) 各子模型中可得到卢 的l s 估计为 屈= ( x 7 q x ) - 1 x q t 弘i = 1 ，2 ，3 由最小二乘统理论知反分别为上述三个模型中卢的最佳线性无偏估计，且 e d ，( 赢) = 砰( x q x ) - 1 圭( 砰) ， f = 1 ，2 ，3 一1 3 北京工业大学理学硕士学位论文 砰：簧：塑：丛立丝堕坚幽( 3 5 ) m f k 蚓卢+ 慨。， 吲叫小 r 、 1 4 第3 章回归系数的精确检验 在此模型中利用分块矩阵求逆公式( 详见【1 1 ) 可以直接计算得p 的l s e 为 伊= 陋7 ( 抽一) 圈- 1 x 7 ( 抽一再盯 由于：l q = i s r 一，故( 3 6 ) 中尻s = 伊 引理3 3 色s ，研，磅，露相互独立 事实上，我们可以发现鼠s 是赢，岛，岛的个线性和，由庑，岛，岛和 研，受，霹的相互独立性立得引理3 3 成立 最后，需要说明的是本节中的估计是我们后面讨论假设检验的依据。为了 减少符号不一致造成的不便，在本章及下一章中我们在用到本节的估计时都 采用与本节一致的符号 3 ；2 回归系数的齐次假设检验 。 对于回归系数的齐次假设检验问题，本节将提出几个基于广义p 值方法 的新的精确检验，并且这些检验还具有良好的统计性质设假设问题， h o ：即= 0 h h x ：日卢0( 3 7 ) 这里日是m k 矩阵，其秩为m ，则日卢为m 个线性无关的函数在实际 应用中有很多重要的问题可以归结为此种形式的假设检验问题我们继续沿 用3 , 1 中的估计及其记号由上一节的分析易得出 压一n ，e 1 ( 砰) ) ， z - ( 砰) = 砰( x q z x ) _ 1 h 8 l n ( h , 6 ，h c e i ( a h 定义 t l l = ( 日岛) 旧( e l ( 砰) 日1 ( h 口i ) - ( h b - ) 7 日( e l ( 砰s f 2 ) 日，l - 1 ( h b ，) ( 3 , 8 ) 这里6 l ；( b l l ，6 l k ) 为厦的观测值可见， ( 日芦- - - 0 时，( 邱t ) ，i h ( s - ( 砰) l 川一1 ( h 禽) 一镌，由赢，m = 警一磅。相 互独立，t l l 的分布与其中的冗余参数醒无关； 一1 5 北京工业大学理学硕士学位论文 ( 6 ) 噩l 的观测值t n = 0 与未知参数无关i ( c ) 又乃l 为z 确l 的正定二次型，故其在备择假设下的取值要比原假设下大 因此。( 3 8 ) 对假设检验问题( 3 7 ) 定义了个广义检验变量，据此定义p - 值 p n = p r ( 丑l o i h 卢 = 0 ) = p r ( h l ( 日6 1 ) ，【日( e l l s i h 。1 ) 日1 1 ( 啦) = 1 一e v 。 f x 2 ( h b l ) 旧( e l ( n l s ；嵋1 ) 上1 - 1 ( 日6 1 ) ( 3 9 ) 这里a l = ( h a ) 阻( e l ( 口 ) 卅一1 ( h a ) 一豫，a 5 1 h 卢= 0 时且由声1 和研 的独立性知a 1 和，h = 等一磅独立式中j 礁( ) 表示碟的分布函 数，蜀 表对求期望 同样我们可以利甩( 3 4 ) 中另外两个子模型中卢的b l u e 来构造假设检 验问题( 3 7 ) 的广义p 值检验，定义广义检验变量如下t 乃。= ( h a ) 7 日( e z ( 司) 日1 - 1 ( 日岛) 一( h b , z ) 旧( e 。( 司霹舅2 ) 卅- 1 ( h b 2 ) 丑3 = ( h a ) 【日( e s ( 司) 卅- 1 ( z 噙) 一( 日6 3 ) 旧( e a ( 醒霹s 2 ) z r l _ 1 ( 日6 3 ) 其中符号含义与( 3 8 ) 中一致，则广义p 值计算式分别为t p 1 2 = 1 一t 【( 日6 2 ) 阻( 砀( 砌s ；v 矿1 ) h q 1 ( 日6 2 ) 】 p 1 3 ；1 一e m , f x z 【( h b 3 ) 旧( e 3 ( n 3 霹瞄1 ) 日1 - 1 ( 日6 3 ) 】) 除此以外我们还可以利用及卢的l s e 来构造假设检验问题( 3 7 ) 的广义p 值 检验，定义 乃t = ( 日声沾) h ( e l s ( a ，以，砖) 1 - 1 ( h a s ) 一( h b l s ) 阻( e 朋( 口 s ；耳2 ，以s l s 2 ，酲8 i s 亨2 ) 日】- 1 ( h b l s ) = a 一( h b l , s ) h ( e i , s m l s ；v 7 1 , 他磅屹。1 ，m 霹瞄1 ) ) 日1 - 1 ( h b l s ) 其中b l s = ( 屯s l ，k 舭) 为几s 的观测值 ”= ( h 西l s ) h ( e l s ( a ，磋，靠) 王川- 1 ( e r 色s ) 一礁，日卢= 0 时易见t ( 口) 日卢= 0 时，由晚s 与砰独立，知”与k 相互独立，故分布与冗余 - 1 6 一 第3 章回归系数的精确检验 参数( 砰，砖，碚) 无关； ( 6 ) 2 1 1 4 的观测值札= 0 与未知参数无关； (