（基础数学专业论文）关于d空间的若干结果.pdf

山东大学博士学位论文 关于d 空间的若干结果 郭洪峰 ( 山东大学数学学院，山东，济南2 5 0 1 0 0 ) 中文摘要 作为现代数学的一个重要分支，一般拓扑学自开创至今蓬勃发展，特别是 在二十世纪四十年代到七十年代期间更是经历了一段辉煌时期在拓扑学的 发展过程中，各类具有良好性质的拓扑空间越来越多的被引入进来，充实了 一般拓扑学的研究范畴d 空间类正是在这种大形势下产生的上世纪七十 年代，v a i ld o u w e n 在他的博士论文中引入了d 空间的概念；后来在著名的论 文“s o m ep r o p e r t i e so ft h es o r g e n f r e yl i n ea n dr e l a t e ds p a c e s ”中，v a nd o u w e n 与p f e f f e r 明确地给出了d 一空间的定义并进行了探讨，这也是第一次在正式 出版论文中出现了有关d 空间的结果。d 一空间有着许多良好的覆盖性质；同 时，v a i ld o u w e n 还提出了一些关于d 空间的有趣的问题。这些因素的存在引 起了其他拓扑学家的注意，他们开始投入到d 一空间理论的研究中尤其是在 近些年来，诸如a r h a n g e l s k i i 与b u z y a k o v a ，g r u e n h a g e ，f l e i s s n e r 与s t a n l e y ， 彭良雪，林寿等国内外著名的拓扑学家做了大量工作，发表了一系列关于d 一 空间理论的重要论文这些工作不仅发展了d 空间的理论体系，更是激发了 更多的拓扑学工作者对d 一空间理论的研究热情 在第一章中，首次证明了t 一可度量化空间是d 一空间d o w ，j u n n i l a 以 及p e l a n t 2 0 0 6 1 定义了t 可度量化空间的概念，它是具有点可数基的空间类的 严格推广。另外，g r u e n h a g e 在“an o t eo nd s p a c e s ”一文中定义了近良好关 系，为发现新的d 一空间类提供了一些有效方法在第1 3 节中，通过建立t 一 可度量化空间上的近良好关系，证明了任一t 一可度量化空间都是遗传d 一空 间，并且得到了一些重要推论在第1 4 节中，对d 空间的并空间理论进行 了探讨并以第1 3 节中得到的结果作为基础，引入了强点可数可扩张网络的 概念，证明了有限多个具有强点可数可扩张网络的子空间的并是d 一空间，进 而又证明了有限多个s c r e e n a b l e 盯一子空间的并是d 一空间。 山东大学博士学位论文 在第二章中，工作分为两个部分在第2 3 节中，主要对局部上存在d 一空间 性质的空间( 称之为局部d 一空间) 进行了探讨，证得了每一个s u b m e t a c o m p a c t 局部d 一空间是d 一空间。在第2 4 节中，继续对d 一空间的并空间理论进行研究， 主要针对满足o p e n ( g ) 的空间展开工作，证明了有限多个满足o p e n ( g ) 的子空 间的并是d 空间值得注意的是，a r h a n g e l s k i i 在“d s p a c e sa n d f i n i t eu n i o n s ” 一文中证明了有限多个具有点可数基的子空间的并是d 一空间由于每个具有 点可数基的空间都是满足o p e n ( g ) 的，因此上述结果推广了a r h a n g e l s k i i 的 结论 在第三章中，引入了一类严格弱于d 的空间，称之为线性d 一空间。在第3 3 节与第3 4 节中对该类空间进行了深入探讨。首先给出了该空间类的几种等价 刻画，之后得出了一些结果：每一个6 良加细空间是线性d 一空间；一个拓扑空 间是d 一空间，如果该空间是有限多个线性d 一空间的并。a r h a n g e l s k i i 多次在他 的文章中提出了这样一个问题：如果一个可数紧空间是可数多个d 子空间的 并，那么该空间是不是紧空间? 该问题分别被j u h a s z 、g e r l i t z 与s z e n t m i k l o s s y 1 2 0 0 5 ，以及彭良雪【2 0 0 7 所独立解决。在第3 4 节中将这样的结果进行了推 广，证明了可数紧空间是紧致的如果该空间是可数多个线性d 一子空间的并 另外，还证明了一个具有可数e x t e n t 的空间x 如果是有限多个5 0 - 加细子空 间的并，则x 是l i n d e l s f 空间在第3 5 节中，考察了d 仃一空间与线性d 一空 间的关系，得知线性d 一空间同样是d 盯一空间的严格推广 在第四章中，主要针对a r h a n g e l s k i i 提出的一个问题进行了回答在 “d - s p a c e sa n dc o v e r i n gp r o p e r t i e s ”一文中，a r h a n g e l s k i i 引入了a l e x a n d r o f f - d o w k e re x t e n s i o n 的概念，并提出了这样的问题：从内在的形式出发，分别 刻画具有点可数基的空间类与具有盯不交基的空间类的a l e x a n d r o f f - d o w k e r e x t e n s i o n 第4 3 节给出了这两种空间类的a l e x a n d r o f f - d o w k e re x t e n s i o n 的刻 画：一个空间是m e t a l i n d e l 6 f 空间( s c r e e n a b l e 空间) 当且仅当该空间在具有点 可数基的空间类( 具有盯一不交基的空间类) 的a l e x a n d r o f f - d o w k e re x t e n s i o n 中从而回答了a r h a n g e l s k i i 的上述问题。 关键词：d 一空间；t 一可度量化空间；强点可数集族；s c r e e n a b l e 空间；s u b m e t a c o m p a c t 空间；线性d 一空间；a l e x a n d r o f f - d o w k e re x t e n s i o n 山东大学博士学位论文 s0 m er e s u l t so nd s p a c e s gu oh o n g f e n g ( s c h o o lo fm a t h e m a t i c s ，s h a n d o n gu n i v e r s i t y ，j i n a n2 5 0 1 0 0 ，p r c h i n a ) a b s t r a c t a saf u n d a m e n t a lb r a n c ho fm o d e r nm a t h e m a t i c s ，g e n e r a lt o p o l o g yh a sd e v e l o p e dr a p i d l yi nt h ep a s to n eh u n d r e dy e a r s e s p e c i a l l yb e t w e e n19 4 0 sa n d 19 7 0 s ，g e n e r a lt o p o l o g yw e n tt h r o u g has p l e n d i dp e r i o d d u et ot h er a p i dd e v e l o p m e n t ，i ti sg e t t i n gm o r ea n dm o r ei m p o r t a n tt oo t h e rs u b j e c t si nm a t h e m a t i c s a c c o m p a n y i n gt h i sd e v e l o p m e n tp r o c e s s ，v a r i o u sc l a s s e so ft o p o l o g i c a ls p a c e s w i t hi m p o r t a n tp r o p e r t i e sw e r ei n t r o d u c e d ，w h i c hb r o a d e n e dt h er e a l mo fs t u d y a n dr e s e a r c hi ng e n e r a lt o p o l o g y t h ec l a s so fd s p a c e sw a ss u c ha l le x a m p l e i nt h el a t e19 7 0 s ，e v a nd o u w e ni n t r o d u c e dt h ec l a s so fd s p a c e si nh i st h e s i s l a t e ri nt h e i rf a m o u sp a p e r “s o m ep r o p e r t i e so ft h es o r g e n f r e yl i n ea n d r e l a t e ds p a c e s ”v a nd o u w e na n dp f e f f e re x p l i c i t e l yd e f i n e dd s p a c e sa n dg o t s o m er e s u l t so nd s p a c e s t h i si st h ef i r s tp u b l i s h e dp a p e rc o n t a i n i n gr e s u l t so n d s p a c e s i ti sn o td i f f i c u l tt os e et h a ts u c hs p a c e sh a v es o m ei m p o r t a n tc o v e r i n g p r o p e r t i e s ；m o r e o v e r ，s o m ei n t e r e s t i n gp r o b l e mw a sp r o p o s e db yv a nd o u w e n t h e s em a k ei th e l p f u lt os t u d yd s p a c e s t h e nm o r ea n dm o r et o p o l o g i s t sb e g a n t oc o n s i d e rt h ec l a s so fd s p a c e s e s p e c i a l l 3 ，i nm o r er e c e n ty e a r s ，m a n yf a m o u s t o p o l o g i s t sh a v ed o n eal o to fv a l u a b l ew o r k ，s u c ha sa r h a n g e l s k i i ，b u z y a k o v a ， g r u e n h a g e ，f l e i s s n e r ，s t a n l e y ，l i a n g x u ep e n ga n ds h o ul i n ，e ta 1 a l lt h e i rw o r k h a sn o to n l yi m p r o v e dt h et h e o r yo nd s p a c e s b u ta l s oa t t r a c t e dm o r ea n dm o r e p e o p l ew h op a ya t t e n t i o nt ot h i sc l a s s i nc h a p t e r1 an e wc l a s so fs p a c e si sd i s c o v e r e dw h i c hi m p l i e sd ：t m e t r i z a b l es p a c e s d o w ，j u n n i l aa n dp e l a n t 2 0 0 6 】d e f i n e dt h i sw e l l b e h a v e d c l a s so fs p a c e s b yt h ed e f i n i t i o no ft - m e t r i z a b l es p a c e s ，w ek n o wt h a tt h i sc l a s s i sag e n e r a l i z a t i o no ft h ec l a s so fs p a c e sw i t hap o i n t c o u n t a b l eb a s e b e s i d e s i n i i i 山东大学博士学位论文 h i sp a p e r “an o t eo nd s p a c e s ”g r u e n h a g ed e f i n d e dt h en o t i o no fa n e a r l yg o o d r e l a t i o n ，a n dt h e no b t a i n e ds o m er e s u l t sw h i c hh e l pt od i s c o v e rm o r ec l a s s e sw i t h d p r o p e r t y i ns e c t i o n1 3 an e a r l yg o o dr e l a t i o no nat - m e t r i z a b l es p a c ei sc o i l s t r u c t e d ；t h e ni ti ss h o w nt h a te v e r yt - m e t r i z a b l es p a c ei sd i ns e c t i o n1 4 ，w i t h t h eh e l po ft h er e s u l to b t a i n e di ns e c t i o n1 3 t h ec a s eo fu n i o n so fs o m ec l a s s e so f d - s p a c e si so b s e r v e d ；m o r e o v e r ，t h en o t i o no fa s t r o n g l yp o i n t c o u n t a b l ye x p a n d a b l ef a m i l yi si n t r o d u c e d t h e ni t i sp r o v e dt h a tt h ef i n i t eu n i o no fs u b s p a c e s h a v i n gs t r o n g l yp o i n t - c o u n t a b l ye x p a n d a b l en e t w o r ki sad - s p a c e ；h e n c ei tc a l l b eo b t a i n e dt h a tt h ef i n i t eu n i o no fs c r e e n a b l e 仃一s u b s p a c e si sd i nc h a p t e r2 ，t h ew o r ki sd i v i d e di n t ot w op a r t s i ns e c t i o n2 3 ，i ti ss h o w n t h a tt h el o c a ld p r o p e r t yi m p l i e sg l o b a ldi ns u b m e t a c o m p a c ts p a c e s i ns e e t i o n2 4 ，t h eu n i o no fd s p a c e si so b s e r v e da g a i n i ti so b t a i n e dt h a tt h ef i n i t e u n i o no fs u b s p a c e ss a t i f y i n go p e n ( g ) i sd a si sw e l lk n o w n ，s p a c e sw i t ha p o i n t c o u n t a b l eb a s es a t i s f yo p e n ( g ) s ot h i sr e s u l tg e n e r a f i z e sa r h a n g e l s k i i s r e s u l to b t a i n e di nh i sp a p e r “d s p a c e sa n df i n i t eu n i o n s ”t h a tt h ef i n i t eu n i o no f s u b s p a c e sw i t hp o i n t c o u n t a b l eb a s ei sd i nc h a p t e r3 ，ag e n r a f i z a t i o no fd s p a c e si si n t r o d u c e d ，w h i c hi sc a l l e dl i n - e a r l yd s p a c e s i ns e c t i o n3 3a n d3 4 ，s u c hs p a c e si so b s e r v e di nd e t a i l a tf i r s t ， s o m ec h a r a c t e r i z a t i o n so fl i n e a r l yd s p a c e sa r eg i v e n t h e nt h ef o l l o w i n gr e s u l t s a r es h o w n ： e v e r y6 0 r e f i n a b l es p a c ei sl i n e a r l yd ：t h ef i n i t eu n i o no fl i n e a r l y d s u b s p a c e si sl i n e a r l yd a r h a n g e l s k i im e n t i o n e dm a n yt i m e si nh i sp a p e r sa p r o b l e mw h e t h e rac o u n t a b l yc o m p a c ts p a c ei sc o m p a c ti ft h es p a c ei st h eu n i o n o fc o u n t a b l ym a n yd s u b s p a c e s t h i sw a ss o l v e dp o s i t i v e l yb yb o t hj u h a s z ，g e r l i t z ，s z e n t m i k l o s s y 2 0 0 5 a n dp e n g 2 0 0 7 i n d e p e n d e n t l y i ti ss h o w ni ns e c t i o n 3 4t h a ts u c hr e s u l tc a nb eg e n e r a l i z e dt ol i n e a r l yd s u b s p a c e s m o r e o v e r ，i ti s o b t a i n e di ns e c t i o n3 4t h a ta s p a c eo fc o u n t a b l ee x t e n ti sl i n d e l s fp r o v i d e di t i st h eu n i o no ff i n i t e l ym a n y5 0 一r e f i n a b l es u b s p a c e s i ns e c t i o n3 5 ，i ti sp r o v e d t h a tt h ec l a s sl i n e a r l yd s p a c e si sa l s oas t r i c tg e n e r a l i z a t i o no fd 盯一s p a c e s i nc h a p t e r4 ，a l ls n s w e ri sg i v e nt oap r o b l e mp r o p o s e db ya r h m l g e l s k i i i n h i sp a p e r “d s p a c e sa n d c o v e r i n gp r o p e r t i e s ”a r h a n g e l s k i id e f i n d e dt h en o t i o n i v 山东大学博士学位论文 o fa l e x a n d r o f f - d o w k e re x t e n s i o n ，a n da s k e dt oc h a r a c t e r i z ei ni n t r i n s i ct e r mt h e a l e x a n d r o f f - d o w k e re x t e n s i o no fc l a s s e so fs p a c e sw i t ha p o i n t c o u n t a b l eb a s ea n d s p a c e sw i t ha0 一d i s j o i n tb a s er e s p e c t i v e l y i ns e c t i o n4 3t h ep r o b l e mi ss o l v e db y t h er e s u l tt h a tas p a c ei sm e t a l i n d e l s f ( s c r e e n a b l e ) i fa n do n b ，i ft h es p a c ei si n t h et h ea l e x a n d r o f f - d o w k e re x t e n s i o no fc l a s s e so fs p a c e sw i t hap o i n t c o u n t a b l e b a s e ( s p a c e sw i t ha 盯一d i s j o i n tb a s e ，r e s p e c t i v e l y ) k e yw o r d s ：d s p a c e ；t - m e t r i z a b l es p a c e ；s t r o n g l yp o i n t c o u n t a b l ef a m i l y ； s c r e e n a b l es p a c e ；s u b m e t a c o m p a c ts p a c e ；l i n e a r l yd s p a c e ；a l e x a n d r o f f - d o w k e r e x t e n s i o n 山东大学博士学位论文 符号说明 v i 自然数集 最小的无限基数 最小的不可数基数 集合4 的闭包 集族 集族p 的并 集族p 的交 集合s 的势 集合g 的内部 ue “：una 仍) u “：z v ) u u 纠：zeu ) 习 “ ： ： “ z 岛 虱伊咿咿悱砒眦 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独 立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本 论文不包含任何他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本 论文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标 明。本人完全意识到本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名：耋龟丝：蜂 日期：函旦盘：篁：拗 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许 论文被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文全部或部 分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制 手段保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：。醺堕蜂导师签名期：，2 越，s ， 第一章t 一可度量化空间的d 一空间性质 1 1引言 作为现代数学的一个重要分支，一般拓扑学自开创至今蓬勃发展，特别是 在二十世纪四十年代到七十年代期间，一般拓扑学经历了一段辉煌的发展时 期。随着拓扑学的理论日趋成熟与完善，它已经渗透到其他多个数学分支中 而在拓扑学自身的发展过程中，各类具有良好性质的拓扑空间越来越多的被 引入进来，充实了一般拓扑学的研究范畴d 一空间类正是在这种大形势下产 生的在【1 】中，v a nd o u w e n 引入了d 空间的概念；并在后来发表的论文【2 中，v a i ld o u w e n 与p f e f f e r 对d 一空间进行了进一步探讨，这也是第一篇出现了 有关d 空间结果的出版论文从那以后，该类空间就引起了拓扑学家的注意。 尤其是在近些年来，众多国内外拓扑学家在这方面做出来许多重要工作，诸 如a r h a n g e l s k i i 与b u z y a k o v a ( 见【3 7 1 ) ，g r u e n h a g e ( 见 8 】) ，f l e i s s n e r 与s t a n l e , 5 r ( 见 9 】) ，g e r l i t z 、j u h a s z 与s z e n t m i k l o s s y ( 见【l o ) ，彭良雪( 见【1 1 1 3 】) ，林寿 ( 见 1 4 ) 等都发表了有关d 一空间理论的重要论文这些工作不仅发展了d 一 空间的理论体系，更是激发了更多的拓扑学工作者对d 一空间理论的研究热 情 由d 一空间的定义不难发现在d 空间中空间的e x t e n t 与空间的l i n d e r l 6 f 数是一致的；每一个可数紧的d 一空间是紧空间并且每一具有可数e x t e n t 的d 一 空间是l i n d e l 6 f 空间。所有这些性质使得d 一空间类在研究拓扑空间的覆盖 性质中有着重要的作用。d 空间理论能够成为目前一般拓扑学研究的一个热 点，除了与其具有的良好的性质有关以外，还有一方面重要原因就是许多关 于d 一空间的有趣问题至今仍然没有得到解决，这使得对d 一空间的研究更具 吸引力，从而越来越多的拓扑工作者开始注意到d 一空间并投入到该领域的 研究当中在 2 中，v a nd o u w e n 就提出了是否每一个正则的l i n d e r l s f 空间 是d 一空间，以及是否存在一个次仿紧空间或者m e t a 紧空间不是d 一空间等 问题；a r h a n g e l s k i i 在 4 】中提出了是否有限个d 一空间性质关于有限并是封闭 的等一系列问题 山东大学博士学位论文 为了更好的研究和了解d 空间，a r h a n g e l s k i i 和b u z y a k o v a 在 3 中对具 有点数基的空间类的d 一空间性质进行了比较全面的论述，证明了具有点可数 基的空间是d 一空间，对d 空间类进行了极大的推广紧接着，a r h a n g e l s k i i 又在 5 中做了进一步的工作，证明了有限多个具有点可数基的空间的并是d 一 空间 另一方面，度量空间理论一直是拓扑学研究的经典课题，随着对度量空间 的深入研究，各类广义度量空间应运而生同时各种性质的网络更是成为定 义一些重要的广义度量空间的依据，这使得对网络性质的研究具有深刻的意 义。在【1 5 中，d o w 、j u n n i l a 以及p e l a n t 引入了一类具有很好性质的空间：t 一 可度量化空间，并且证明了每一个m e t a l i n d e l 6 f 的o r 空间是t 一可度量化空 间；另外，他们证明了，对每一个紧致的h a u s d o r f f 空间，空间g ( k ) 是t 一 可度量化的值得一提的是，t 可度量化空间是具有点可数基的空间的严格 推广( 见 1 5 ) 因此，研究这类空间的d 一空间性质，将有助于我们进一步推 广d 一空间类的范畴 为研究d 空间性质，g r u e n h a g e 在【8 中定义了近良好关系，得到了一些 重要结论，为我们发掘一些新的d 一空间类提供了理论依据以及有效方法在 第1 3 节中，我们正是通过建立t 可度量化空间上的近良好关系，并依据一 些已知的重要结论，证明了任一t 一可度量化空间都是遗传d 一空间，进而得到 了一些重要推论在【7 中，b u z y a k o v a 证明了对任一紧致的正则空间x ，空 间g ( x ) 是遗传d 一空间，回答了【3 ，问题2 3 】，但是其证明过程非常复杂，然 而由于这样的空间q ( x ) 是t 一可度量化空间( 见【1 5 ) ，因此由我们的结论可 知g ( x ) 是遗传d 一空间，大大简化了证明难度 在 1 5 】中，点可数可扩张网络的概念被引入，该种网络同样是点可数基的 推广，由于具有该种网络的空间是t 可度量化的，因此是d 空间。在第1 4 节 中我们对该种网络进行了强化，引入了强点可数可扩张网络的概念，证明了具 有该类网络的空间的有限并是d 一空间；紧接着我们证明了每一个s c r e e n a b l e 盯一空间都具有强点可数可扩张网络，从而得知有限个s c r e e n a b l e 盯一子空间的 并是d 一空间 最后，本章中的所有空间均为n 空间 2 山东大学博士学位论文 1 2 预备知识 二十世纪七十年代，v a i ld o u w e n 引入了d 一空间的概念。我们首先给出这 一概念及其一些相关概念的定义 定义1 2 1 1 2 空间x 到其拓扑丁的映射称为x 上的邻域指派矽，如果 对任意的x x 都有z 多( z ) 空间x 称为d 一空间，如果对空间x 上的 任一邻域指派，都存在x 的某一离散闭集a ，使得集族( a ) 覆盖x 这里 的( a ) = ( z ) ：x a ) 定义1 2 2 1 8 1 给定空间x 上的邻域指派妒，集合z 称为一闭的，如 果x ，x 7 z 净z ( z ，) ( 即，zc 矽( z ) ，对所有的z z 都成立) 。 对任一集合a ，我们记【刎“= bca ：i b l u ) ；对一集族厂，令厂“= hc 芦：i h i u ) g r u e n h a g e 通过下面方式定义了近良好( n e a r l yg o o d ) 关系 定义1 2 3 i s 空间x ( 或者从x 到 “) 上的关系月称为近良好的，如 果对任意的z 一a ，都存在某一y a 满足x r y ( 或者存在某一b 卅“满 足x r b ) 下面我们再给出t 一可度量化空间及其它的一些定义 定义1 2 4 1 1 5 1 空间x 的覆盖c 称为t h i c k 一覆盖如果满足下面条件： 对所有的h 】妯，我们可以指派l ( h ) c 妯并令l ( h ) = uc ( h ) ， 使得acu l ( h ) ：h 【刎“) 对所有的acx 都成立 定义1 2 5 1 1 5 】空间( x ，7 - ) 称为t 一可度量化空间，如果存在x 上的度量 拓扑7 r 满足7 - c7 r ，并且存在从 “到】“的一个映射：日如，使得对 任一acx ，都有万cu 丑郦u 如”成立 注在丑一空间中，定义1 2 4 中的指派“c ( 日) c “可以减弱为“( 日) c ( 见 1 5 ，引理2 1 ) 同样如果( x ，丁) 是乃一空间，在定义1 2 。5 中令指 派日一如从】“到 x 。就足够了 在【1 5 中，作者引入了与l i n k i n gs e p a r a b l ep r o p e r t y ( 见【1 6 】) 相关的点可 数可扩张集族的概念并指出两者之间的关系如同t h i c k n e s s 对于t 一可度量化 3 山东大学博士学位论文 性质的约定性一样。由于我们在本章中将研究具有点可数可扩张网络的空间 的d 空间性质，下面我们来看这类集族的定义 定义1 2 6 1 1 5 空间x 的子集族c 称为点可数可扩张的，如果c 有一个 点可数的开扩张，即存在开集族 g l ：l c ) 使得，对所有的l c 都 有lcg l ，并且对每一z x ，集族 己c ：z g l ) 都是可数的同样，对 其他性质p ，我们也以同样的方式定义尸一可扩张的集族 定义1 2 7 1 1 8 1 拓扑空间x 的子集族w 称为x 的网络，如果对每一z x 及包含点z 的邻域u ，存在w 中的元素彤，使z wcu 由于在第1 4 节中研究某些集族的时候，我们要用到比“点可数”更强的 一种条件，称之为“强点可数”，下面给出其定义。 定义1 2 8 某一拓扑空间的子集族c 称为强点可数的，如果c 的任一c e n t e r e d 子族都是可数的其中，集族甜称为c e n t e r e d 集族【2 0 ，如果对任意 的以v 纠，都存在f 甜使得fcuny 注不难证观每个具有有限o r d e r 的集族都是强点可数的。另外，每一个矿一 强点可数的集族是强点可数的；因此，每个盯一不交的集族是强点可数的 定义1 2 9 1 1 9 1 空间x 称为s c r e e n a b l e 空间如果x 的任一开覆盖都存在6 r 一 不交的开加细 定义1 2 1 0 1 8 】设 e ：，y a ) 是一族不相交的拓扑空间，即7 丫号 码n - = 仍在集x = u 1 上规定u cx 是空间x 的开集，如果对每 一7 a ，un 墨是k 的开集这样就定义了x 上的一个拓扑，我们就称该 拓扑为空间族 墨：7 a ) 的拓扑和。 最后，我们再给出两个在一般拓扑学中常用的概念 定义1 2 1 1 空间x 的子集族c 称为孤立的，如果c 是相对离散的，即c 在uc 中是离散的 定义1 2 1 2 空间x 的不交覆盖称为x 的一个分割 这里没有定义的概念和术语，请查阅 1 5 ，1 7 2 1 】等 4 山东大学博士学位论文 1 3t 一可度量化空间是d 一空间 定理1 3 1 每一t 一可度量化空间是遗传d 一空间。 在给出定理1 3 1 的证明之前，我们需要下面两个引理。 引理1 3 2 1 1 5 1 空间x 是t 可度量化的当且仅当x 具有一个由可数 个t h i c k 分割的并构成的网络 引理1 3 3 8 】令是空间x 的一个邻域指派如果存在从x 到】“的 近良好关系r ，使得对任意的h 】“，r - 1 ( 日) u 矽( h ) 是可数个扣闭的集 合的并那么存在空间x 的离散闭集d 使得u 咖( d ) = x 。 定理1 3 1 的证明：设x 为t 一可度量化空间由于t 可度量化性质具有 遗传性( 见【1 5 】) ，即每一个x 的子空间都是t 一可度量化的，因此我们只需要 证明空间x 是d 空间 由引理1 3 2 ，存在空间x 的一个网络厂= u n 。厶使得每一个只都 是x 的一个t h i c k 分割那么对所有的n u 以及h “，我化可以指 派兀( 日) 巧u 并令r ( 打) = u 只( 日) 以使一acu r ( 日) ：h 刎 “) 对每 一个acx 都成立 要证明x 为d 一空间，设西为x 上的任一邻域指派通过以下方式定义 一个从x 到【x 】妯的关系： x r h 铮3 n u ，f 兀( h ) ，使得x fc ( z ) 为证冗是一个近良好关系，任取acx 及o 一a 。因为丁是空间x 的 网络，所以存在某一m u 及r 磊使得z f xc ( z ) 由于万cu f m ( h ) ：h 卅 ) ：f 兀) 由于只是空间x 的离散集族，可知集族是空间x 的开覆盖；又由于x 是s c r e e n a b l e 空间，集 族有盯一不交的开加细k = u 尼印k ，忌 定义 瓦佗，k = fnv ：f 只，v k ，尼) ， 对所有的n ，忌u 易知每一个k ，k 都具有不交的开扩张，k ，并且u 础印k ，k 为空间x 的 网络 结合定理1 4 7 与引理1 4 8 ，我们可以得到下面结果 定理1 4 9 如果一个空间是有限多个s c r e e n b l e 盯一子空间的并，那么该空 间是d 一空间 1 0 第二章局部d 一空间及满足o p e n ( g ) 的空间 2 1引言 在学习和研究一般拓扑学时，考察空间局部的性质是一种很自然也很有 价值的研究方式。从空间的每一点出发考察一些局部的属性，进而来研究整个 空间的某些属性，这是研究局部性质的常用途径比如在研究度量空间以及 广义度量空间时，众多拓扑学家从局部出发，通过刻画每一点的邻域基的属 性，进而得到整个空间的刻画或某些重要性质在这一点上，尤为突出的就是 在解决经典的m 问题( 即是否有m 3 号m i ) 时，拓扑学家试图从每一点的邻 域基的情况来突破这一难题( 见【2 7 ，2 8 等) 虽然至今还未能彻底回答该问 题，但是许多重要结果已经得到，这不仅对该课题研究有很重要的指引作用， 同时也让我们更好地了解了m 空间 第2 3 节主要研究局部d 一空间性质，并结合其它一些空间性质来研究整 个空间的d 一空间性质值得注意的是，从v a nd o u w e n 引入d 空间的概念开 始，直到现在都存在这样一个开问题：是否每一个s u b m e t a c o m p a c t 空间都是 d 空间，或者能否找到一个不是d 一空间的s u b m e t a c o m p a c