（概率论与数理统计专业论文）带干扰风险模型的破产问题研究.pdf

曲阜师范大学硕士学位论文 摘要 古典风险模是人们最早提出的风险模型，也是研究的最为透彻的模型但 该模型过于理想化，现实中有许多干扰项，因此研究带干扰的风险模型是有必 要的g e l b e l s l f i u 罚金折现函数自从1 9 9 8 年由g e r b e r 和s h i u 引入到风险理 论中以来，一直足人们研究风险理论的热点问题本文研究了带干扰风险模型的 g e r b e r s h i u 罚金函数和有关的联合分布等问题 本文共分五章： 第一章介绍了风险模型发展的历史和现状 第二章介绍了部分有关的概率论知识 第三章针对b a r r i e r 分红策略下的干扰风险模型研究了g e r b e r s h i u 罚金折现 函数，首先，利用布朗运动的有关知识首先获得了g e r b e r s h i u 罚金折现函数满 足的积分方程 m 。( u ) = e - ( a + 6 ) 。m s ( u + c t o + a y ) h ( a o y ) d y + ；厂hc 一( a + 6 ) 7 l ( m ) 【小。( “+ 订+ 口“) + ，i 。( u + c f 一盯，) 】以 + o t 。h e - ( a + 6 ) t d t 州划, 1 厂0 托h ”y f t s ( u + c t + c r y - x 帅d f ) + u ( u + c t + a y ，z 一( u + c t + c r y ) ) d f ( x ) ，0 t b ( 1 ) ，u + c t + a y 其中t o 孑，0sn “a 1 ( b 广- u ) ， 然后在此基础上利用m 。( “) 的有界性和函数h 、h 、f 的连续可微性求得 帆( 。t ) 的连续性和二次连续可微性 第四章在第三章的基础上进一步研究了b a r r i e r 分红策略下的带有常数利率 的干扰风险模型，首先运用布朗运动的知识我们得到了该模型的g e r b e r - s h i u 罚 金折现函数的积分方程 m s ( “) = e a o o m 。( ( u + y t o ) ) h ( a ，t ，一1 ( ，o ) ，y ) d y + 百1 厂筹1 一f 一2 2 。e 一 。t ，( ) h ( n f ) f m 。( 驴( u + 。，u ( ) ) + m ，( ( u a u ( ) ) ) 】d + f ne 咄以厂日( l , u - 1 ( ) ，兰，) 蜘( 砂( “+ y ，t ) ) f 匆， o u 厶， ( 2 ) 第1 页 曲阜师范大学硕士学位论文 其中仉( ) = a l f ：，n s ( 一z ) 以f ( z ) + a ( y ) 】，a o = 6 + a ，a ( 掣) = f u ( ”，z j 可) d f ( z ) ，矽( 可，s ) = e ”( y + c 片e - r t d t ) 然后利用，n 。( u ) 的有界性和函数h 、h 、f 的连续可微性求得m 。( “) 的连 续性和二次连续可微陛 最后，我们应用i t 6 公式求得了g e r b e r s h i u 罚金折现函数所满足的积分微 分方程 ；盯2 ： ( ) + ( 川t + c ) 小：( “) = a ( ) r n 。( u ) - a i f o u ，n 。( “z ) c z f ( z ) + 4 ( u ) 】。 u 厶( 3 ) 第五章研究了一类随机保费的干扰风险模型的破产问题设保费率为一任意 的离散随机变量f ( u ) ，取值为k i ，i = 1 ，2 ，p i = p ( ( u ) = ) 则风险模型可表示 为 ( ) c ，( f ) = u + ( u ) 一五十w ( f ) 0 ( 4 ) ( ) 其中( u ) = 晚时，阢( t ) = u 十t 一五+ ( f ) t 0 为带干扰的经典风 险模型， 我们用随机过程和概率论的方法推导破产概率、末离前最大盈余分布、破产 时、破产前瞬时盈余与破产时赤字的联合分布等精算量分布的具体表达式 关键词：干扰风险模型；常数利率；分红策略；g e r b e r s h i u 罚金函数；连续 可微睦；破产概率；破产前瞬间盈余；破产时赤字；联合分布 第1 i 页 曲阜师范大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h ec l a s s i c a lr i s km o d e l ，w h i c hw a sp u tf o r w a r de a r l i e rt h a no t h e rm o d e l sh a sb e e n s t u d i e dm o s tt h o r o u g h b u ti t sa ni d e a lm o d e lb e c a u s et h e r ea r em a n yd i s t u r b a n c e s i nr e a ll i f e s oi t sv e r yn e c e s s a r yt or e s e a r c ht h er i s km o d e lp e r t u r b e db yd i f f u s i o n o e r b e r - s h i ud i s c o u n t e dp e n a l t yf u n c t i o nb e c a m eah o tt o p i cf r o m1 9 9 8 ，w h e ni tw a s i n t l o d u c e di nr i s kt h e o r i e s i nt h i sp a p e r ，g e r b e r s h i ud i s c o u n t e dp e n a l t yf u n c t i o na n d j o i n td i s t r i b u t i o n so fs o m ea c t u a r i a lr a n d o mv a r i a b l e sa r ed i s c u s s e d t h ea r t i c l ei sd i v i d e di n t o5s e c t i o n s c h a p t e r1i sa b o u tt h ed e v e l o p m e n ta n dc u r r e n ts i t u a t i o no fr i s km o d e l 。c h a p t e i 。2i n t r o d u c e ss o m er e l a t e ds t o c h a s t i cp r o c e s st h e o r i e s c h a p t e r3d i s c u s s e sg e r b e r s h i ud i s c o u n t e dp e n a l t yf u n c t i o ni nt h er i s km o d e l p e r tm b e db yd i f f u s i o nw i t hb a r r i e rd i v i d e n ds t r a t e g y f i r s t ，t h ei n t e g r a le q u a t i o no f g e r b e r s h i ud i s c o u n t e dp e n a l t yf u n c t i o ni so b t a i n e df r o mt h ek n o w l e d g eo fb r o w n i a n m o t i o n ， m s ( u ) = e - ( + 鳓。m 3 ( u + c t 0 + a y ) h ( a o ，y ) d y 一a 1 2 阜 + z 幻 e - ( a + 6 h h ( a t ) 【m s ( “+ c t + o a ) + m s ( u + c t a a ) d t 小e 小删州训由 z 0 u + c t + a y r r l s ( u + c t + e y - x 帅) ， ( u + c t + a y z 一( u + c t + 巧秽) ) d f ( z ) 】，0 u b ju + c t + a y w h e r et o 芋0 q u a l ( 广b - u ) ， ( 5 ) o nt h i sb a s i s ，t h ep r o p e r t i e so fc o n t i n u i t ya n dt w i c e c o n t i n u o u sd i f f e r e n t i a b i l i t y f o rm 3 ( 。“) a r ea l s og o tf r o mt h eb o u n d n e s so fm s ( “) a n dc o n t i n u o u sd i f f e r e n t i a b i l i t yo f t h ef u n c t i o n sh 、，za n df c h a p t e r4i sf o u n d e do nc h a p t e r3 i nt h i sp a r t ，w em a k eaf u r t h e rr e s e a r c ho ft h e r i s km o d e lp e r t u r b e db yd i f f u s i o nw i t hc o n s t a n ti n t e r e s tr a t eu n d e rb a r r i e rd i v i d e n d s tx 。a t e g y f i r s t ，w eg e tt h ei n t e g r a le q u a t i o no fg e r b e r s h i ud i s c o u n t e dp e n a l t yf u n c t i o n f r o mt h ek n o w l e d g eo fb r o w n i a nm o t i o n = e a 。“：，n 。( 西( u + y t a ) ) 日( a , v - i ( 。) ) d 可 第1 i i 页 曲阜师范大学硕士学位论文 卜 丢。：暑；( 1 一e 一2 r f 。) 。，一 。u c t ，( “，亡) l ，门s ( 妒( 。上叫卜，。，。，( t ) ) + m 。( ( u n ( ) ) ) k f + f o 。f f 。日( 。t ，一1 ( t ) ，可) 夕。( ( u + y ，t ) ) d s ，。 u 6 ， ( 6 ) w t l e r e 乳( y ) = a 好m s ( y x ) d f ( x ) + a ( 可) 】， a 0 = 5 + a ， a ( s ，) = 芦u ( 可= c v ) d f ( c ) ，曲( ! ，5 ) = e 7 5 ( y + c 片e - r t d t ) t h e nt h et 7 i c e c o n t i n u o u sd i f f e r e n t i a b i l i t ) ro fg e r b e r s h i ud i s c o u n t e dp e n a l t yf u n c - t i o ni sd i s c u s s e db yt h eb o u n d n e s so fm s ( “) 瓤l dc o n t i n u o u sd i f f e r e n t i a b i l i t yo ft h e f u n c t i o n sh ha n df a tl a s t ，w eg e ti t si n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o nb yt h eu s eo fi t 6 sf o r m u l a i 盯2 m + ( r u + c ) m = a 眠( u ) 一a 魄m s u - ：c ) - d f ( r ) + a ( u ) 】o u 6 ( 7 ) 1t i nc h a p t ( 一15 r u i np l o b h 、n lo fr i s km o d e lp e r t u r b e db yd i f f u s i o nw i t hs t o c h a s t i c p r e m i u mr a t ei sc o n s i d e r e d s u p p o s et h ep r e m i u mr a t ei sa n yd i s c r e t er a n d o mv a r i a b l e ( u ) ，w h o s ev a l u e sa r ek i ，i = 1 2 ，t h e nt h ee x p r e s s i o no ft h er i s km o d e li s n ( t ) 【，( ) = u + ( u ) t 一咒+ w ( ) t2 0 i = l ( 8 ) n ( t ) w h e l l ( “) = ，唧) = u + k , t 一置+ w ( t ) f o rt 0i s t h ec l a s s i c a lm 。d e l i = 1 p e r tu r b e db yd i f f u s i o n t h e nt h ee x a c t ( ；x p l ( s s i o i l sf o ra c t u a r i a ld i a g n o s t i c s ，s u c h 豁t h er u i np r o b a b i l i t y ， t h ed i s t r i b u t i o no fe x t r e m es u r p l u sb e f o r er u i n ，t h ej o i n td i s t r i b u t i o no ft h es u r p l u s i m m e d i a t e l yb e f o r er u i n t h ed e f i c i ta t r u i na n dt h er u i nt i m e ，a r ec o n c l n d e dt h r o u g h s t o c h a s t i cp r o c e s sa n dp r o b a b i l i t yt h e o r ym e t h o d s k e yw o r d s ：r i s km o d e lp e r t u r b e db yd i f f u s i o n c o n s t a n ti n t e r e s tr a t e ，d i v i d e n d s tr a t c g y ，g e r b e r s h i up e n a l t yf u n c t i o n ，c o n t i n u o u sd i f f e r e n t i a b i l i t y ，r u i np r o b a b i l i t y ， th es u r p l u si n t m e d i a t e l yb e f o r er u i n ，t h ed e f i c i ta tr u i n ，j o i n td i s t r i b u t i o n 第1 v 页 曲阜师范大学硕士学位论文原创性说明 本人郑重声明：此处所提交的硕士论文带干扰风险模型的破产问题研究， 是本人在导师指导下，在瞌阜师范大学攻读硕士学位期间独立进行研究工作所取 得的成果。论文中除注明部分外不包含他人已经发表或撰写的研究成果。对本文 的研究工作做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确的方式注明本声明 的法律结果将 作者签名 日期：虹月f o 日 f 曲阜师范大学硕士学位论文使用授权书 带于扰风险模型的破产问题研究系本人在曲阜师范大学攻读硕士学位 期间，在导师指导下完成的硕士学位论文本论文的研究成果归曲阜师范大学所 有，本论文的研究内容不得以其他单位的名义发表本人完全了解曲阜师范大学 关j 二保存、使用学位论文的规定，同意学校保留并向有关部门送交论文的复印件 和电子版本，允许论文被在阅和借阅本人授权曲阜师范大学，可以采用影印或 其他复制手段 作者签名 导师签名 表论文的全部或部分内容 脚明年乒月p 日 日期：沙夕年幺月帅 曲阜师范大学硕士学位论文 第一章引言 风险理论的核心内容是破产论破产论的研究从瑞典精算师f i l i pl u n d b e r g 1 1 于1 9 0 3 年发表的博士论文起已有一百多年的历史早期的文献都是对由f i l i p l u n d b e r g 和瑞典数学家l l a r a l dc r a m e r 的创立的风险模型的研究，所以这一模型 又称为经典风险模型或l u n d b e r g _ c r a m e r 模型 风险理论的研究方法主要有f e l l e r 的更新论证和g e r b e r 的鞅方法 随着人类科学知识的不断发展，人们研究的不断深入，风险理论的内容也得 到长足的发展在模型结构上，人们研究的模型不断的改进，文献1 2 】f 3 】【z 1 1 1 5 6 1 1 7 1 1 8 】 等研究r 在经典风险模型基础上加干扰项后的情况 1 9 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 a ) 等文献研 究了常数利率的经典风险模型、随机利率的经典风险模型和带有投资回报的风险 模型有些文献对经典风险模型中的复合p o i s s o n 结构进行了改进，将模型推广 至更新风险模型，如j f l 5 l f l 6 j f l 7 j 等也有蝗文献对经典风险模型中的固定保 费率加以改进，研究了可变保费率，随机保费率的风险模型，如【2 9 1 1 3 0 1 1 3 2 1 等 g e l b e t 和s h i u 是研究风险理论的著名专家，1 9 9 8 年他们在研究风险理论时 提f b + r 罚金折现函数的慨念，开辟了破产理论研究的新方向，随后罚金折现函数 便成为风险理论研究中的热点问题，出现了一大批讨论g e r b e r - s h i u 罚金函数的 文章，如文献f 2 0 1 1 2 1 1 等最近，他们又将金融中的分红问题成功的引入到风险理 论的研究中，再次为人们研究风险理论增添了新元素，研究文献如f 2 1 2 2 1 1 2 3 2 4 】 等 本文足在前人的基础上继续研究带二f 扰的风险模型的破产问题 第】页 曲阜师范大学硕士学位论文 第二章基本知识 本章介绍有关的随机过程基本知识 2 。1 独立增量过程 定义2 1 1 儆立增量过程，设x 了1 = x ( f ) ，t 丁) 为随机过程，如果对于t l t 2 f 儿f 。t 1 j ，l ，增量x ( f 1 ) x ( t 2 ) 一x ( t 1 ) ，x ( t 3 ) 一x ( t 2 ) ，x ( t 。) 一 x ( t 。1 ) 都相互独立，我们称又t 为一个独立增量过程 若对一切0 s t ，增量x ( t ) 一x ( 占) 的分布只依赖于t s ，则称蜥有平稳 增量 有平稳增量的独立增量过程称为平稳独立增量过程 数学期望有限的独立增量过程具有以下两个重要性质： 1 设e l 灭( f ) 】= 0 ( v t r ) ，只= 口( x ( f ) ；t s t ) 贝0 对v s 0 ，xc t ) 服从正态分布，均值为0 方差为c 2 布朗运动过程，有时称为维纳过程，当c = l 时，过程被称为标准布朗运动 可以证明以概率1 , x ( t ) 是t 的连续函数，但是无处可微 以l 记布朗运动过程首次击中。的时刻，当a 0 时 尸( x ( c ) 口) = p ( x ( t ) q 1 7 x t ) p ( t l t ) + p ( x ( f ) 口l 咒 t ) p ( y l t ) ( 2 3 ) 第2 页 曲阜师范大学硕士学位论文 若了jst ，则过程在【0 ，t 】中的某个点击中“，由对称性， 在。之下是等可能的，即 p ( x ( ) 8 i ls ) = 石1 又显然有p ( x ( t ) n f 瓦 t ) = 0 ，从而 由此1 1 了得 在t 时它在“之上或 ( 2 4 ) ，( 咒 一_ = = 一f = f l 一 2 7 ro 2。 ( 2 7 ) 即布朗运动过程以概率1 迟早击中a ，但它的平均时间是无穷的 布朗运动最大值的分布 p 躜孙m m ( 瓦 f ) = 去已p 干伽 ( 2 8 ) 第3 页 曲阜师范大学硕士学位论文 第三章b a r r i e r 分红策略下带干扰的风险模型 本章丰要研究b a r r i e r 分红策略下带干扰的经典风险模型的g e r b e r s h i u 罚金 函数，碍出了g e r b e r s h i u 罚金函数的积分方程，并进一步证明了它的二次连续 可微性。 定义模型 3 1 模型建立 n ( t ) 州) = “+ c t 一五+ 盯w ( = u + c t s ( c ) + a 1 4 ( ) ( 3 1 ) o ：= 1 其中“表示初始准备金；c 是一常数，它表示单位时间内保费收入； n ( 0 ，t 0 ) 是服从参数为a 的p o i s s o n 过程，表示( 0 ，】内发生的索赔次数； 正i + ) 独 立同分布，服从参数为a 的指数分布，表示来到间隔； x i ，j 0 ) 是非负独立同 分布的随机变量序列，分布函数为f ( z ) ( f 1 ( o ) = o ) 期望为肛表示个体索赔量， ( f ) t 0 为一b r o w n 运动，期望为0 ，方差为2 d t ，它表示保险公司的未确定 收益；假设 ( ) ， 玛) ， ( f ) 相互独立 我们考虑模型在b a r r i e r 分红策略下的破产问题，即过程盈余到达边界b 后 将超过b 的部分全部分红，若过程盈余小于b ，则不分红，从而修正余额过程可 记为 d u ( 归 e d t “州 扣小弋f ) ) 妯；( 3 2 ) l d s ( t ) + a d g ( ) u ( t ) = b 定义3 1 1 盈余过程的破产时刻 兀= i n f t ，u ( t ) 0 定义3 1 2 破产概率妒( u ) = p ( 咒 o c i u ( o ) = u ) 类似于d u f r e s n e a n d g e r b e r ( 1 9 9 1 ) 中的讨论，我们也将破产概率细分为由 扰动引起的破产概率和由索赔引起的破产概率，分别记为 f d ( 1 j ) = ，) ( = 乙 o c ) u ( r u ) = o ) u ( o ) = u ) f 。( 札) = p ( 瓦 。u ( l ) o u ( o ) = u ) 日口( u ) = , p a ( u ) + p 。( “) 易知妒( o ) = 恤( 0 ) = l ，帆( o ) = 0 ， 第4 页 曲阜师范大学硕士学位论文 相应地，罚金函数也分为两部分，即 m ( u ) = r r 。d ( u ) + ”1 ，( n ) 其中，n f ( “) = e 【e - 6 兀，( 兀 。c ，痧( 咒) = o ) i u ( o ) = 札j m ，f “) = e 【e 一盯j “( 痧( 丁u 一) ，l 痧( 兀) 【) ，( 7 0 0 ，记 h ( a t x ) _ ( 2 7 r t ) 一；1 妻( e - 掣百雌乒) ( 3 3 ) 以州) = 去旷；。曼f ( 4 川) e - 筚+ ( 4 ) c - 掣 一2 ( 4 k 1 ) e 一生磐】( 3 4 ) 由r e v u z t l l d y o r ( 1 9 9 1 ，p 1 0 5 1 0 6 ) ，我们得到 p ( t w ( t ) d x ) = ( n t ，上) 以z 和p ( d t ) = h ( a t ) d t 定理3 2 1 对于0 u 6 ，n 。( “) 满足如下积分表达式 川，( “) = 、+ 删。川，( u + c t o + a y ) l l ( mt 【j is ，) f t y ；z 。e ( ， ) ，z ( n e ) l 力n 。( u + c t + a a ) 十r r 。，( u + c t - e r a ) 】d + 小e 删锄仁聃匆【以f u + c t + a y 州u + c t + a y - x 妒 + u ( u + c t + a y ，z 一( u + c t + 盯y ) ) d f ( z ) 】( 3 5 ) ju + c t + ( r y 其中，o 孑0 n 掣 证明令r = t o 八丁口a 孔，对t ( o t ) 有0 痧( t ) = ，( t ) 6 ，则p ( t 咒) = 1m 扎所以有瓦= 了1 + 瓦。口n 因此，由风险过程 痧( ) ) 的强马氏性可得 m ，( “) = e 【e 一6 n u ( 厅( 死一) f 痧( 瓦) i ) ，( 了“ 。痧( 兀) o ) l v ( o ) = u 】 =e l e “f e - 6 7 , , u ( u ( 7 0 一) u ( 了j ) ) ，( 瓦 。) 野】 第5 页 塑墨鉴垂叁堂塑主堂堡垒圭 ，一一一一 =e f e “f p 一6 ( 7 1 + z l 。8 7 u ( c ，( ( r + 丁c 。0 7 1 ) ，) 、u ( 丁+ 瓦。f ；) i ) i ) ，+ = ，t uu 盼 。( ) ) 0 乃1 l = e 【e e “【e 鲋i u ( ( ，( 咒一) ，( 咒) 1 ) ，( 死 o 。) 。秽t l 所1 l = y _ , i g - 6 tm ，( u ( t ) ) 】_ 进一步，根据f ( j ，丁盯和n 的人小关系i 叮分成二三部分 7 n ，( u ) = e l e - 6 1 07 n 。( u ( t o ) ) r ( t o r “) i ( t o 死) 】 + e f e 一6 m 。( u o - o ) ) i o - 。t o ) ，( 孔) + e i e 一6 nm ，( u ( n ) ) ，( 丁1 f o ) ，( 乃亿) 】 = l 、4 - 1 2 七i a 由独它性得 e p6 o m ，( + f t o e m 删。厂“m 。( u j 一4 e 栅厂“m 。( 札 一n e m 撇厂。( u 一( 1 + 仃w ( ，o ) ) 】p ( f o t o w ( t o ) d y ) ( 3 6 ) ( 3 ，7 ) + c t o + 盯y ) ( o t o y ) d y ( 3 8 ) = e 【f 。hm 。( + e r a + c z v v ( ) ) j ( 吨st o ) l ( t n ，j ) j ： e f e 一6 nm ，( 札4 - ( + a a ) l ( r 。f o ) ( n ) ( u ( ) = “) 1 + e l e 一 t n m 。( t + c 一口n ) ，( r f o ) ，( 丑) j ( 彤( 下n ) = 一n ) l ：toe 一( 入+ 6 ) m 。( “+ c t + 盯n ) p ( d t ，( ) = 口) j o + 厂e 一( ，十6 ) f ，7 l ，( 仳十 一盯n)p(气tt，iv(ct d t 、) = 一n ) ( 3 ，9 ) + e 一( 十6 ) ，7 l ，( 仳十 一盯n ) p ( 气 ， 、) = 一n ) ( 3 ，9 ) 由p o r t a n ds t o n e ( 1 9 7 8 ) ，有 尸( d ( 飞) ：。) ：尸( r n 毗彤( ) = 一。) = ；p ( 下n d ) = ；h ( a , t ) d ( 3 1 0 ) 所以 j 。：= ；z 。e 一( ，。 d ) f ，z ( c z ) ；门n 。( u + c t + a a ) + 门n s ( v , + c t - o a ) l c f ( 3 _ 1 1 ) 第6 页 曲阜师范大学硕士学位论文 所以 3 = e e 一钉 1 1 7 l 。( ? 上+ r 乃+ c r t 4 ( 乃) x 1 ) ，( 乃t o ) z ( t i ) 。1 1 5 ，( x l u - i - c 乃+ 口w ( n ) ) 】 + e 【e - 5 1 i u ( ( t + c 瓦+ 盯w ( 瓦) ) ，x l 一( u - - fc t t + 盯w ( n ) ) ) ，( 乃t o ) i ( t 1 t o ) i ( x t u + c t l + 口仉7 ( 死) ) 】 =j l - 4 - 3 t( 3 1 2 ) a e 一( + 6 ”d t e m 。( u4 - c t4 - 盯w ( ) 一x 1 ) ，( 亿2 ，) ，( x l u4 - c 正+ 盯w ( 兀) ) 】 厂。a e 一( a + 叭d t r 。e f m ，( “+ c f + 盯p x 1 ) ，( t 彬( ) d 可) ，( x l 0 ，只要证明m 。( u ) 在( e b 一) 上连续即可 设t o 秀0 o 0 使s “ 0 “+ c s + 盯( 5 ) 垡( e 6 一) ) f ， 注意到仇：( u ) 和m ? ( n ) 在( o 6 ) 上有界，从而石 弘盯m ：( u 十c i i + 仃彤( ) ) c f ( ) 是 鞅，记丁：巧 t 1 ，则 m ，( t ，) = e 卜一以r ，7 。( u ( 了) ) j = e 【e6 。? m ( ( ，7 ( 野) ) ( f 霸) j + n ) j 由独谚性得 由i t 6 公式可得 e - m e f e 一6 耳m 。( u + c 巧+ 盯w ( 了i ) ) 】 f r o ta e - c a + 5 ) s e ，( 巧= s ) m 。( a + c a + o w ( 5 ) 一x 。) 卜厶 z a e 。3 厅i ，( 巧 s ) e “碍帆( u + 。霉+ 盯w ( 巧) ) j 如 = ，l ( f ) + 1 2 ( t ) + 5 ( t ) ( 3 2 4 ) ( 3 2 5 ) 州归e 刈e 【e 埘如) + o 耳( 帆知) + 譬m 跏) ) 螂 ( 3 2 6 ) 由。i i m 。，p ( i q = ) = 1 l i m ，p ( t f ) = 0 知 觋地堕= 三粕：伽蜘) _ ( a 删咄) ， 鳃半刮z “吲肌) + ( 让, x - - t z 肌) ) 觋型t ：o ( 3 2 7 )一0t o 二， 从而；c 丁2 m ? ( u ) 十一，。：( t c ) = ( a + j ) ，n ，( 札) 一a 臂m 。( u - x ) d f ( z ) + 铲u ( u , x - u ) d f ( z ) 】 对1 ：由扰动引起破产的罚金函数h i d ( u ) 也有类似结论 第9 页 = 十 + 、j u ，il s n 曲阜师范大学硕士学位论文 定理3 2 5 对于0 u 0 j 当过程盈余到达边界b 后，超过 b 的部分仑部分红，若过程盈余小于b ，则不分红，设修正余额过程为y b ( t ) ，其中 圪：o ) = 仉 破产时刻死定义为乃= i n f t r b ( t ) s0 破产溉率妒( “) 定义为妒( “) = p ( ，i 。阢( o ) = “) ，0 t t 0 为非负j 叮测函数，则g c l 。b e 一s h i u 罚金折现函数定义为 仃t ( u )= e e 一。i 。( 托( = f i ) i 圪( 孔) 1 ) ( 1 i 0 ，设目( ) = 口露e - r s d w o ( s ) ，则b ( ) 是一个，6 随机积分，其对应的 变差过程记为 ( ) = 仃2 e - 2 r s d s = a 。，2 、i e - 2 r t ) t 0 令tr ( s ) = i n f t ； ( ) s ) ，则t ( s ) = 刍2 几磊，0 s 舅 设l l ，f f ) = b ( u ( ) ) ，t 0 ，则( ) 是( 0 舅) 上的一局部标准布朗运动，且 w ( 0 1 = 0 令a o = 巧+ a ，a ( v ) = 工产( z 一) d 声( r ) ，( ! ，s ) = r 7 3 ( + c 片e - r t d r ) 定理4 2 1 设0 u 6 ，则m ，( u ) 满足积分方程 r f “u ) = e a 。 ，( 西( u + o ) ) ( ( 1 ，u 一1 ( t o ) s ) ( 1 9 十；厂万a 2 1 一e 矗“。一入叫( t lh ( 。t ) i m “曲( “+ q ，q t ) ) + m ，( 咖( u 一。( t ) ) ) 】d t z j 【) + 序山钮坼l ( f 岫溉u + y t ) ) d ! ， ( 4 4 ) 其中乳( ) = a f j 孑m 。( 3 ，一x ) d f ( x ) + a ( y ) 】 证明取“坐兰兰毕生塑型，0 n 学， 设呓= i n f t ；i u ( t ) l = o ) 则由= i n f t ；1 w ( t ) l = l b ( 。( f ) ) = a ，知碍= u ( ) 取t = t oa 吃0 正，则易知p ( t 。) = 1 因为对v t ( 0 丁) ，有0 y ( t ) 移，所以p ( tst b ) = 1 ，这样死= r + 瓦。p 丁 从而利用过程r ( t ) 的强马氏性可得 7 n ，( ，( j ) = e 【e “i e 一6 7 j 。( y ( 7 0 一) y ( 7 u ) 1 ) ，( n o 。) 死1 】 =e l e “【e 一6 ( r + t b 。8 r ) u ( y ( ( r + n 。6 丁) 一) ，i y ( t + 死。e t ) i ) i ( t + t b 。o t o o ) i 丁死j j 笫1 2 页 曲阜师范大学硕士学位论文 = e e - 6 i e “ e - 5 & u ( y ( 死一) ，i y ( t b ) i y ( t 。 。) 。p 丁i t 死” = e 【e 埘。m 。( y 。( r ) ) j ( 4 5 ) 根据t o 、垲和m i 的大小关系，可进一步分成三部分 ，l s ( “) = e e 础。，。( y 7 ( t o ) ) i ( t o 世) ，( f o n )