（应用数学专业论文）一类时滞微分方程的多重周期解的研究.pdf

删f 卿螋 r e s e a r c ho nm u l t i p l ep e r i o d i cs o l u t i o n sf o r ac l a s so fd i 肋r e n t i a ld e l a ye q u a t i o n s 一“ ad i s s e r t a t i o ns u b m i t t e dt o s o u t h e a i s tu n i v e r s i t y f o rt h ea c a d e m i cd e g r e eo fd o c t o ro fs c i e n c e b y c h e n g r d n g s u p e r 、r i s e db y p r o f e s s o rx uj u n 妇a n g d e p a r t m e n to fm a t h e m a t i c s s o u t h e a s tu 1 1 i v e r s i t y 0 c t 2 0 0 9 东南大学学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发 表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或证书而使用 过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明 并表示了谢意 研究生签名：碰鱼筮一， 日期：j 固也“ 东南大学学位论文使用授权声明 东南大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学位论文的 复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文本人电子文档的内 容和纸质论文的内容相一致除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可 以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容论文的公布( 包括刊登) 授权东南大学研 究生院办理 研究生签名：f 筮丛 导师签名： 日期：血争 摘要 本文把一类自治时滞微分方程的周期解的存在性问题用多种方法推广到非自治的 情形当方程中的函数，依赖于变量t 时，这给问题的讨论带来实质性的困难本文就这 个问题做了下面几方面的工作 1 、由于在非自治情形下，对应的变分泛函不再具有s 1 不变性因此在自治情形下 的方法都不能用来研究非自治系统的周期解的存在性我们首先考察下列非自治的时滞 微分方程 z 7 ) = 一【，( t ，z ( t 一7 ) ) + ，( t ，z 一2 7 ) ) + + ，( t ，z ( 亡一( 7 i 一1 ) 丁) ) 】( 1 ) 首先将它约化成一个等价的h 锄i l t o n 系统，然后构造一个辛变换对此h 锄i l t o n 系统实施 变换最后我们用广义的m o r s e 指标理论和g a l l e r k i n 逼近原理来研究变换后的h a 而l t o n 系统，得到了其满足一定对称性的周期解的存在性，从而给出最初的时滞微分方程的周 期解的存在性 2 、我们考察了具有超线性性质的时滞方程的周期解的存在性即方程 z ) = 一，( 屯z ( t r ) ) ，( 2 ) 其中厂c ( r ”，r n ) 与前面，在原点和无穷远处满足渐进线性条件不一样，这里， 在原点和无穷远处满足超线性性质而且，不仅依赖于而且是一个向量函数我们将 它约化成一个等价的h a n l i l t o n 系统，然后运用环绕的思想得到了此h 锄m t o n 系统的周 期解的存在性，从而得到原时滞方程周期解的存在性 3 、对于时滞微分方程中时滞的个数不多于两个的情形，我们用约化的方法和m a s l o v 指标的估计得到了下面两个非自治的时滞方程， z 7 ) = ， ，z 0 一r ) ) ， ( 3 ) 和 z 7 ) = 一夕 ，z ( t n ) ) 一g ，z ( 亡一2 7 1 ) ) ， ( 4 ) 的周期解的存在性结果除此之外，我们还用拓扑度的方法得到了具有下面形式的非自 治时滞微分方程 z 7 ) = ，( z 0 一下) ) + e 9 0 ，z 一7 - ) ) ， ( 5 ) 的周期解的存在性结果，其中r o ，f o 是一个小参数 4 、我们直接利用变分的方法考察了下面时滞微分方程 z 心) = 一， o r ) ) ， 并得到了其周期解的存在性结果这就是说我们可以不必要把时滞方程约化成一个等价 的伴随系统，然后通过研究伴随系统的解来给出原方程的解，而是直接对时滞方程建立 变分泛函，考察此泛函的临界点的存在性 5 、我们考察了具有l i p s c h t i z 性质的时滞微分方程的周期解的周期下界估计具体 的说，在h i l b e r t 空间里考察下列方程 他 z 他) = 一，( z ( t 一鼢) ) ( 7 ) 七= 1 和 n z 心) = 一9 ( t ，z ( t b ) ) ， ( 8 ) 七= 1 其中z r p ，c ( r p ，r p ) ，9 c ( r r p ，r p ) 及r o ，s o 是两个给定的常数我们首 先推广了w i r t i n g e r 不等式，然后运用此不等式及时滞方程自身的性质得到了上面两个 方程的周期解的周期的下界估计 在b a n a c l l 空间考察了下面两个时滞方程 z ) = ，( z 一r 1 ) ，z 一r 2 ) ，z o r n ) ) ， 一 ) = 9 ，z 一s 1 ) ，z 一s 2 ) ，z 一s m ) ) ( 9 ) ( 1 0 ) 当，和9 满足适当的l i p s d l t i z 条件，运用一个积分不等式我们得到了这两个方程的周 期解的周期下界 关键词：h 砌1 t o n 系统，周期解，变分法，时滞微分方程 一 a b s tr a c t t h i sp a p e rw eg e n e r 龃i z et h ee ) c i s t e n c ep r o b l e n l so fp e r i o d i cs o l u t i o n sf o rac l a s s0 fa u t o n o m o u sd i 艉r e n t 谢d e l a ye q u a t i o n st on o n a u t o n o m o u sc a s e 8 w h e nt h ef u n c t i o n s ，i nt h e r i g h ts i d e0 ft h ee q u a t i o r l sd e p e n do n ，t h e r e 钌es o m ed i m c u l t i 铬i nn a t u r ei ns t u d 姐n gt h e e ) 【i s t e n c eo fp e r i o d i cs 0 1 u t i o n so ft h en o n a u t o n o m o l l se q u a t i o i l s w eh a v ed o n et h ef o l l o 耐n g w d r k 1 s i n c et h ef u n c t i o n a l sa r en o ts 1 i n v a r i a n ta n y m o r e ，t h em e t h o d su s e di na u t o n o m o u s c a s e sc a nn o tb eu s e dt os t u d yt h en o n a u t o n o m o l l sc a s e s w es t u d yt h ef o u 仞l r i n gn o m a u t o n o m o u sd i 丑e r e n t i a ld e l a ye q u a t i o n s z 7 ( t ) = 一【，( t ，z 一r ) ) + ，( t ，z 0 2 7 ) ) + + ，( t ，z 一( n 1 ) 7 ) ) 】 ( 1 ) w e 丘r s tr e d u c et h ee q u a t i o n st oe q u i v 址e n th 锄i l t o n i a ns y s t e m s t h e nw e n s t r u c tas y m - p l e c t i ct r 锄1 s f o m a t i o nw h i c hc h a n g 豁t h eh 砌l t o l l i a ns y s t e m st on e wh 龇m l t o i l i a ns y s t e m s f i n a u y ，w e 璐eg e n e r a d i z e dm o r i n d e xt h e 0 叮缸dg 出e r l 【i na p p r 豳a t i o ns c h e m et os t u d y t h en e wh 甜1 1 i l t o m a ns y s t e m sa n do b t a i nt h ee ) 【i s t e n o eo fp e r i o d i cs o l u t i o n sw i t hp r o p e rs y m - m e t r i cs t m c t u r e t h e s es o l u t i o n s 舀v es o l u t i o i l st ot h ed e l a ye q u a t i o n s 2 w es t u d yt h ee x i s t e n c e0 fp e r i o d i cs o l u t i o n so ft h ef o u a 而n gd i & r e n t i a ld e l a ye q u a t i o n s z 孙) = 一，( t ，z 0 一，) ) ， w h e r e ，c ( r r n ，r i ) h e r e ，s a t i s e ss u p e rl i n e a u rp r o p e r t i e sa to r i 百na n d a ti n 丑n i t yw h i c h i sd i 丘色r e n tt ot h ec a s et h a t ，s a t i s 6 e sa s y m p t o t i c a u yl i n e a rp r o p e r t i e sa to r i 西na n da ti n 丑n i t y m o r e a v e r ，i sav e c t o rf u n c t i o n w br e d u c et h ee q u a t i o nt oa ne q u i 、试e n th a m i l t o n i a ns y s t e m t h e nw eu s el i n l c i n gi d e at os t u d yt h ee ) ( i s t e n c eo fp e r i o d i cs o l u t i o n so ft h eh 锄i l t o n i a ns y s t e m f i n a u yw eg e tt h ee ) 【i s t e n c eo ft h ed i 髓r e n t i a ld e l a ye q u a t i o i l s 3 f 0 rd i 髓r e n t i a ld e l a ye q u a t i o n sw i t hm o r et h a n 佃od e l a y s ，w ea p p l yr e d u c t i o nm e t h o d a n de s t i m a t i o no fm a s l o vi n d e xt os t u d yt h ee ) c i s t e n c eo fp e r i o d i cs o l u t i o n so ft h ef o l l a 而n g 栅on o n - a u t o n o m o u se q u a t i o 璐 z ) = 一，( 亡，z ( t 一丁) ) ， z 7 ) = 一夕 ，z 一7 1 ) ) 一夕 ，z 一2 7 1 ) ) n 1 b e s i d et h i s ，b yu s i n gt o p o l o 留d e g r e e ，陀g e tt h ee ) d s t e n c eo fp e r i o d i cs 0 1 u t i o i l sf o rt h ef o l l o w i n g n o n - a u t o n o 加埘l se q u a t i o n s z 7 ) = ， 一下) ) + 叼( t ，z 0 一丁) ) ， w h e r e7 0 ，e 0i sal i t t l ep a r 锄e t e r 4 b y 印p m n gv 甜i a t i o n 酊m e t h o d sd i r e c t l y w eo b t a i nt h e 喇s t e n c eo fp e r i o d i cs o l u t i o 璐 d rt h ef o n o 而n ge q u a t i o n s z ) = 一，( z 一，- ) ) t h a ti st os a yt h a t ，ed on o tn e c e s s 盯i l yr e d u c et h ee q u a t i o i l st ot h er e l a t e ds y s t e m s t h e n t h r o u g ht h es t u d 妒n go ft h er e l a t e ds y s t e m s ，s o l u t i o n so ft h eo r i 百n 2 l le q u a t i o n s 盯eg o t t e n w r e c 0 1 1 s t r u c tav a d a t i o n a lf u n c t i o n a l lf o rt h ed e l a ye q u a t i o n sd i r e c t l y - t h e nw eg e tt h ee x i s t e n c e o fc r i t i c a lp o i n t s0 ft h ef u i l c t i o n a lb yp s e u d oi n d e xt h e o 够 5 w - e 丘r s ts t u d yt h el o w e rb o u n do fp e r i o d i cs o l u t i o n sf o rd i & r e n t i a l ld e l a ye q u a t i o n s 而t hl i p s c b t i zp r o p e r 锣i nh i l b e r ts p a c e p r e c i s e l ys p e a 心n g ，w es t u d yt h ee q u a t i o n s n z 心) = 一，( z ( t 一鼢) ) 缸= 1 t l z 7 ) = 一夕 ，z 一后s ) ) ， 七= 1 w h e r ez r p ，c ( 科，舯) ，9 c ( r 舯，r p ) a n dr o ，s 0 龇e 舀眦c o 璐t a n t s w e 丘r s tg e n e r a l i z ew i r t i n g e ri n e q u a u 姊t h e nu s i i l gt h i si 1 1 e q u a n t ya n dt h ep r o p e r t i e s0 ft h ed e l a y e q u a t i o 璐t h e 如圆e l v e s ，w eg e tt h ee s t i m a t i o no fl o w e rb o u n df o rt h ep e r i o d i cs o l u t i o n so ft h e d i 丑 ：e r e n t i a ld e l a ye q u a t i o n s b e s i d et h i s ，w ea k 妁c o i l s i d e rt h ef o l l a w i n gd e l a ye q u a t i o n si nb a n a c hs p a u c e s z ) = ，( z ( t r 1 ) ，z 一r 2 ) ，z 0 一) ) ， z 7 ( t ) = 9 0 ，。o s 1 ) ，z o s 2 ) ，z 一s m ) ) ( 9 ) ( 1 0 ) w h e i l ，a n d 夕s a t i j s 丘e ss u i t d b l el i p s c h t i zc o n d i t i o n s ，u s i n ga ni n t e g r a b l ei n e q u a l i t y w eg e tt h e 1 0 1 盹rb o 吼d sf o rp e r i o d i cs o l u t i o n so ft h ee q u a t i o n s k e yw b r d s ： h a l i i l i l t o n i a ns y s t e n l j s ，p e r i o d i c8 0 l u t i o n s ，v a u r i a t i o n a lm e t h o d s ，d i 丑i e r e n t i a l l v v 目录 第一章引论 1 1 1 变分原理简介 1 1 1 1 e k e l a n d 变分原理一 1 1 1 2 极大极小原理 2 1 1 3 畴数理论 6 1 1 4 指标理论 7 1 1 5m o r s e 理论 1 1 1 2h 锄i l t o n 统简介 1 3 1 3 时滞微分方程周期解问题简介 1 4 1 4 本文的主要工作 1 7 第二章具有偶数个时滞的方程的周期解 2 7 2 1 基本假设和主要定理 2 7 2 2 定理的证明- 2 8 2 2 1 等价的h 砌1 t o n 系统 2 8 2 2 2 线性部分的约化2 9 2 2 3 一些引理 3 2 2 2 4 定理2 2 1 的证明 3 8 2 2 5 定理2 2 2 的证明3 9 第三章具有奇数个时滞的微分方程的周期解 4 l 3 1 基本假设和主要定理。 4 1 3 2 等价的h 锄i l t o n 系统 4 2 3 3 主要定理的证明 4 7 第四章具有超线性性质的时滞方程的周期解 4 9 4 1 基本假设和主要定理 4 9 4 2 主要定理的证明 5 0 们 4 3 附录5 9 第五章具有不多于两个时滞的方程的周期解( i )6 1 5 1 基本假设和主要定理6 1 5 2 一个时滞的情形6 2 5 2 1m a s l 0 、r 指标简介6 2 5 2 2 定理的证明6 3 5 3 两个时滞的情形6 6 第六章具有不多于两个时滞的方程的周期解( i i ) 6 9 6 1 基本假设和主要定理 6 9 6 2 主要定理的证明7 0 第七章时滞微分方程周期解存在性的直接方法 7 4 7 1 基本假设和主要定理 7 4 7 2h i l b e r t 空间上的变分泛函 7 5 7 3 主要结论的证明7 9 第八章 具有l i p s c h t i z 性质的时滞微分方程的周期解的周期下界估计 8 4 8 1 基本假设和主要定理8 4 8 2 在i 王i l b e r t 空间的情形8 5 8 3 在b a n a c h 空间的情形8 9 8 3 1 自治的情形8 9 8 3 2 非自治情形。 9 2 参考文献 9 3 附录一 博士期间完成论寒列表 9 8 附录二致谢 9 9 第一章引论 1 1 变分原理简介 自然界的一个普遍原理是：很多现象的平衡状态经常变现为能量在一定条件下的 极值特性这可以归结为求某个泛函在一定条件下的极值或临界点问题，这就是变分原 理变分原理在微分几何，积分方程，偏微分方程和很多数学物理问题中有着广泛的应 用比如，微分几何中的等周问题、测地线问题和极小曲面问题等都可以看做是变分问 题而且在经典力学和场论中，物质的运动规律都遵循h a m i l t o n 最小作用原理，也就是 存在某个泛函使得对应的运动方程就是这个泛函的e l l l e r 方程 变分原理中的基本问题是如何判别个给定泛函的临界点的存在性即：，伊( x ，r ) ， 其中x 是某个空间，所谓泛函，的临界点就是某个z x 使得，7 ( z ) = o ，这个方程通 常称为泛函，的e u l e r 方程现在随着变分原理的不断发展已有很多方法来处理这一问 题这里我们主要简要介绍其中的几个方法，包括e k e l a n d 变分原理，极大极小原理，畴 数和指标理论以及m o r s e 理论 1 1 1e k e l a n d 变分原理 e k e l a n d 变分原理是指下面的定理 定理1 1 1 设( x ，d ) 是完备的度量空间，：x r u + o 。 是下方有界的下半连续 泛函，并且不恒等于+ o 。，则对任何 0 以及任何z m 使得 ，( z ) ，( y 。) 一d ( 魄，z ) ，v 奎x ，z 骓 推论1 1 2 设( x ，d ) 是完备的度量空间，：x _ r u + ) 是下方有界的下半连续 泛函，并且不恒等于+ o o ，则对任何 o ，存在骓m 使得 ，( 魄) ，( y 。) 一d ( 拈，z ) ，v z x 推论1 1 3 设x 是日口n 口c 空间，c 1 ( x ，r ) 下方有界，则对任何 o ，存在 魄m 使得 并且 ，( 骓) 打i 丘x ，( z ) + e ， ，7 觚) i i 从推论1 1 4 ，我们可以得到，的近似极值点的存在性为了能从近似极值点的存在性得 到极值点的存在性，我们还需要一些紧性条件添加在，上 定义1 1 1 伊口2 口妇胁以e 条件，设x 是b 口几o c 空间，称，c 1 僻，r ) 满足( p 劝条 件是指如果任何序列【z n ) cx 满足，( z n ) 有界且，7 ( z n ) 一o ，则 【z n ) 有收敛的子列 推论1 1 4 设x 是b 口行口如空间，c 1 ( x ，r ) 下方有界满足( 删条件，则，可以 取到极小值 1 1 2 极大极小原理 极值问题的进一步发展是临界点理论，其主要任务是研究泛函的临界点的存在性， 多重性以及临界点附近空间的拓扑性质这其中的主要方法有极大极小原理，l j u s t e m s 出n i m l m a n n 畴数理论，指标理论和m o r s e 理论它们的主要依据是形变引理具体的 说，称 = 和x ：，( z ) 6 ) 为泛函，c 1 ，r ) 的一个水平集若泛函在两个水平 集之间没有临界点，则在一定条件下，其中一个水平集可以形变收缩到另一个水平集上 去这也就是说如果两个水平集的拓扑性质不一样时，那在这两个水平集之间必有临界 点存在而泛函水平集之间的形变是通过与此泛函有关的向量场规定的流线来实现的， 因此有必要构造伪梯度向量场，分析( p s ) 条件的作用，建立形变引理，从而得到一般形 式的极大极小原理最后我们介绍一些具体的极大极小原则，比如著名的山路引理 ： 第一章引论 设，c 1 ( q ，r ) 是一个定义在b a n a c h 空间x 的某个开子集上的泛函首先我们引 进下列符号 k = z x ：，7 ( z ) = o ) ，甬，c = z k ：，( z ) = c ) ， 五= z x ：，( z ) c ) ， b _ = 【z x ：i l z 0 p ) ，品= a 召_ d ( z ，f ) = i n ， 0 z y 0 ，可f ) ，乃= 【z x ：d ( z ，f ) o 以及配的领域，存在( o ，e o ) 和7 7 c ( o ，l 】x ，x ) 使得 p j 对任意的z x ，7 7 ( o ，z ) = z 俐对任意t 【o ，1 】，如果i ，( z ) 一c i o ，则，7 ( t ，z ) = z 俐，7 ( 1 ，厶+ ) c ，c 一 似j 如果j 乙= d ，则7 ( 1 ，4 e ) c ，c 一 例如果，是偶的，则对任意的t 【o ，1 】，7 ( 亡，z ) 对z 是奇的 下面给出一个一般的极大极小原则 定理1 1 6 限大极小原理，设x 是j e 7 0 n 口c 空间，是x 的子集族，c 1 ( x ，r ) ， 令 c = 垫s u p ，( z ) f 芦、 如果： ( 1 ) c 是南穿数； 俐存在印 o 使得对任何的连续映射7 ：x x 满足叩i ，c 咖d i ，c 一。，以及任何 f ，均有，7 ( f ) ，； 俐，在，一1 ( ( c 一o ，c + e o ) ) 满足f p 印条件 则c 是，的临界值 极大极小原理并没有给出极小极大值的具体构造方法，而只是提供一种构造极小极 大值的基本原则这个原则的关键在于构造一个子集族厂构造子集族的方法主要有两 种一种是借助于拓扑学中的环绕的概念来构造子集族，另外一种利用畴数及指标和伪 指标来构造子集族我们先来介绍前一种 设x 是一个b a n a c h 空间qcx 是其中的一个有边的闭b a n 础流形，具有边界 a q 又设s 是x 中的一个闭子集 定义1 1 3 称a q 与s 是环绕的是指。 ( 1 ) 8 qns = q ， 例对任意连续的：q _ x 满足j = i d 加均有 ( q ) ns 0 第一章引论 如果，c 1 ( x ，r ) 在a q 与s 上的值是可以分离的，即存在实数p q ，使得 ( 1 1 2 ) i n f ， ( 1 1 3 ) z s 一。 、7 则有下列定理 定理1 1 7 设x 是一个b 帆口c 空间，c 1 ( x ，豫) 满足以j 矽，以j 剀，并且在 厂( q ，。o ) 上满足( p 研条件如果s u q ，( z ) 0 时，令 a = c ( 【o ，1 】，x ) ： ( o ) = 口， ( 1 ) = z o ) 则c = i n f as u p t 【0 7 1 】，( ( t ) ) 是，的正临界值且c q 5 东南大学博士学位论文 例1 1 2 设x 是一个b 口n d c 空间x 1 是它的一个有穷维线性子空间，恐是它的 补空间：x = x 10 恐令 s = 恐，q = b nx 1 ， 则a q 与s 环绕 例1 1 3 设x 是一个b 口n 口c 空间x l 是它的一个有穷维线性子空间，托是它的补 空间：x = 置。配又设e 拖，i i e | i = 1 ，设p 1 ，以， o ，令 s = 弼n a 研，q = t i + t e ：t 正x 1nj e i 岛，t 【o ，p 1 】) ， 则a q 与s 环绕 1 1 3 畴数理论 一个泛函在一个流形上具有临界点的个数与流形本身的拓扑性质是有关的，这一 抽象的理论最初是由l u s t e m i k 和s d l n j r e l m a n 以及m o r s e 各自进行独立研究的，从而 产生了l l 塔t e r n i k - s d m i r e l m a n 畴数理论和m o r s e 理论这一节里我们主要介绍l l l s t e r i l i k s d 埘r e l m a n 畴数理论l l l s t e r n i k - s d l n j r e l l 衄畴数是一个拓扑不变量，利用它可以估计 流形上泛函临界点的个数的下界 定义1 1 4 设m 是一个拓扑空间，a 是m 的闭子集令似) = i n f m z + u + o 。) ：| m 个可缩闭集f 1 ，玛，使得acu 罂1 只) 我们称( a ) 为a 的畴数 其中f 是可缩的是指在m 上，它可以形变到一点即：f 上的恒同映射i d f 在m 上同 伦于常值映射 由定义，畴数有下列基本性质 1 、t ) = 0 乍兮a = 毋； 2 、( 单调性) acb = 今t ( a ) t ( b ) ； 3 、( 次可加性) c o t 似n b ) t ) + t ( b ) ； 4 、( 规范性) t ( 切) ) = l ，v p m ； 5 、( 形变不减性) 设有妒：【o ，1 】m ，使得妒( o ，) = t d ，妒( 1 ，) = ，则对任意的闭子集 a 有 。耐( a ) o 耐( ( a ) ) 第一章引论 7 6 、( 连续性) 设a 是m 的个紧子集，则必有a 的个闭领域，使得aci 秕( ) c ，使得 t ) = t ( ) 7 、若t ( a ) = m ，则a 中至少含有m 个不同的点 8 、若a 是紧子集，则t 似) + o 。 为了能将畴数结合极大极小原理，对泛函，的临界点个数做出估计我们需要把一 些概念如临界集等推广到一个c 2 一o f i n s l e r 流形上去设，c 1 ( m ，r ) ，称p m 是一个 临界点，是指形0 ) = p ，称k = 妇m ：珂) = 9 ) 为临界集类似的可以定义正则值、 正则点和临界值记琏= kn 广1 ( c ) ，称，c = p m ：，p ) c ) 为水平集 利用畴数可以产生一列子集族： 氕= a l ：c 口t ( a ) 后，七= 1 ，2 ，) ， 其中口是m 上的闭集全体由于畴数具有形变不减性，所以氕关于形变映射是不变 的因此它蕴含了只要 鲲2 腹骝m ) ，七= 1 ，2 ， 一。 是有限的则只要，具有形变性质，就是，的临界值我们有下列重要的l u s t e r n i k - s c h n j r e l m a n 重数定理 定理1 1 9 ( 工伽抛m 溽& 佗i 化胁口n 重数定理) 设m 是一个c 2 一。屁船f e r 流形， c 1 ( m ，r ) 满足( p 条件则当 一o 。 c = c m + 12 + 22 = c 七+ m + o 。 时，至少有七个不同的临界点属于也 推论1 1 1 0 设，满足定理j j 9 中的条件，并且是下方有界的，则，至少有( m ) 个不同的临界点 1 1 4 指标理论 具有对称性的泛函有着很丰富的临界点理论所谓对称性是指存在着群的作用，泛 函在此群的作用下是不变的在这一节里，我们主要介绍z 2 指标和s 1 指标理论 8 东南大学博士学位论文 设g 是一个紧拓扑群，x 是一个b a n a c h 空间考察g _ x 上的一个等距在 上的线性算子u 僻) 的一个连续表示丁( g ) ，即的g ，有唯一的等距在上的线性算子 乃c 僻，x ) 与之对应，并且这对应是一个同态： ( 1 ) 毛。啦= 马1 马2 ，的1 ，夕2 g ， ( 2 ) ，z ) 一乃0 ) 是g x _ x 连续的 子集ecx 称为是乃不变的，如果。 马e = j e 7 ，v 9 g 映射 ：e x 称为是乃等变的，如果 ( 乃z ) = 乃危( z ) ，v 0 ，z ) g e 函数，：e _ x 称为是弓不变的，如果 ，( 马z ) = ( z ) ，v 0 ，z ) g e 可以验证，当，c 1 ( m r ) 并且是t ( g ) 不变时，其临界集k ，k 以及水平集厶都是 t ( g ) 不变的 例1 1 4 设x 是一个b d 他d 如空间，g = z 2 即由【e ，一e ) 组成的群：e 2 = ( 一e ) 2 = e ，e ( 一e ) = ( 一e ) e = 一e t ( g ) 是正z = z ，殳。z = 一z ，比x 于是一切关于原点对称的子 集e 都是t ( z 2 ) 不变的，一切奇映射 ： ( 一z ) = 一z 都是r ( z 2 ) 等变的，而一切偶函数 ，：，( 一z ) = z 是r ( z 2 ) 不变的 例1 1 5 设x 是一个b 口n 口c 空间，妒( s 1 ，x ) 是定义在s 1 上取值于妒的周期函数 的全体，1 p o o 又设g = s 1 = e 2 丌“：s 【o ，1 】) 是按乘法组成的拓扑群定义 ( 正u ) ( t ) = u ( s + t ) ，v s 【0 ，1 】， 则t ：s 1 一u ( 驴( s 1 ，x ) ) 是一个连续表示 现在对每个t ( g ) 不变的闭子集，我们定义一个正整数或，称之为此集合的指标， 使得它也能起到像畴数类似的作用 定义1 1 5 设表示b 彻n c 空间x 中一切t ( g ) 不变的闭子集的全体 日表示x 到自身的一切r ( g ) 等变的连续映射的全体 第一章引论 9 i ：_ z + u + 。o ) ，其中z + 表示非负整数集称i 是一个t ( g ) 指标，如果下列条 俐( 单调性) 以c 口= 净i ( a ) 曰，姒，b j ( ? ) ( 次可加性) i ( au b ) i ( a ) + i ( b ) ，姒，b ； ( 彳) ( 超变性) i ( a ) i ( ( a ) ) ，v ( a ，危) 日i ( 5 ) ( 连续性) 拟，若4 紧，则存在a 的一个邻域，使得ac 仳( ) c ， 定理1 1 1 l 设x 是一个b o n 口c 空间，g 是一个紧拓扑群r ( g ) 是它的一个等距在 上线性连续表示，又设m 是t ( g ) 不变的，嵌入在x 内的c 2 一。子流形，c 1 ( x ，r ) 是r ( g ) 不变的，满足( p s 条件设c r ，是比的一个闭邻域又设t 是一个r ( g ) 2 t ( 摧m 骝m ) ，m = 1 ，2 ， 其中acm ，a ，则 ( j ) 当一o o + 。时，是，的临界值； ( 功若一o o c = c m + 1 = = c l + 七 + o 。时，则 有了一般的指标理论以后，为了估计临界点的个数，问题在于对给定的表示t ( g ) ， 如何确定它的指标现在来讨论z 2 群的不变指标，也称之为亏格( g e n u s ) 定义1 1 6 设x 是一个b 口n 口铣空间，= a x ：一a = a ，万= a g = 踢有 表示：正= t d ，l 。= 一记，则是t ( g ) 不变的取日= ：x x 连续： 扛) = fm 讯 n z + ) | 奇连续妒：a r n 口) ， ，y ( a ) = o ，当a = o ， 【+ ，不存在奇连续妒：a _ p p ) 1 0东南大学博士学位论文 经过逐条验证指标的定义满足的性质( 1 ) ( 5 ) ，可得到 引理1 1 2 亏格7 是上关于t ( z 2 ) 不变的规范指标 这样我们可以把定理1 1 1 1 具体化，从而得到下面的定理 定理1 1 1 2 设x 是一个b 口礼d c 空间，m 是x 中的c 2 一。对称子流形，c 1 ，r ) 是一个满足( 脚条件的偶泛函，若令 2 1 ( 耀m 骝m ) ，m = 1 ，2 ， 则 ( j ) 当一o o + 时，c r ，l 是，的临界值； ( 2 ) 若一 c = + 1 = = + 七 + o 。时，则 ，y ( 致) 后； 俐s + 1 现在我们来建立s 1 群的不变指标 定义1 1 7 设x 是一个b 口n 口c 空间，s 1 = e 徊：口【o ，2 7 r ) 是以普通乘法构成的紧 李群设t ：s 1 _ c ( x ，x ) 是一个等距在上的表示 记= acx ：a 是t ( s 1 ) 不变的闭子集 日= 危：x x 连续，且t ( s 1 ) 等变) 定义 ，y ( a ) = m i n 后z + ：| c ( a ，c 七 p ) ) ，j n z + 满足：妒( 乃( z ) ) = e n 口( z ) ，v ( z ，e 徊) a s 1 ) ， 若不存在这样的映射，定义7 似) = + 经过逐条验证指标性质( 1 ) ( 5 ) ，y ( a ) 是一个s 1 不变的规范指标下面我们给出 两个估计，y ) 的方法令f 缸( s 1 ) = 【z x ：乃( z ) ( t ) = z ( t ) ，w 【o ，2 7 r 】) 定理1 1 1 3 设y 是x 的一个闭不变的子空间且有有限的余维数设a 是x 的一 个闭不变的子集如果f 缸陋1 ) ck any = d ，则 1 ，y 似) 去。碱m y 第一章引论 定理1 1 1 4 设z 是x 的一个不变的子空间且有有限的维数，d 是z 中。的一个 不变有界的开邻域如果f 锄( s 1 ) cz = o ) ，则 ，y ( a d ) 三出m z 1 1 5m o r s e 理论 m o r s e 理论用同调群来刻画一个流形上的临界点的性质，它深刻地揭示出了临界点 的形态是怎样影响水平集之间的变化的本节主要介绍m o r s e 理论的一些基本概念和结 果 下面我们总假设x 是一个实可分的h i l b e r t 空间 设，c 1 ，r ) ，z o 是它的一个孤立临界点，即存在z o 的邻域u 使得z o 是，在u 内唯一的临界点 定义1 1 8 设，( z o ) = c ，在矿内只有z o 是临界点令q ( z o ，) = 日口( 厶n 阢( ，c z o ) nu ；q )