（电路与系统专业论文）耦合混沌系统的振荡消失及同步与反同步特性研究.pdf

摘要 本文从探究两个等同或非等同混沌子系统耦合发生振荡消失现象的规律，推广到 对任意多等同混沌子系统耦合发生的集体振荡消失现象规律的研究，以及关于耦合混 沌系统的同步与反同步现象的研究。着重从理论上分析了耦合混沌系统中发生振荡消 失、同步与反同步现象的充要条件，结合数值计算，特别是通过电路实验( 包括电路 仿真实验) 充分验证了理论分析结果的正确性，以及文中所提出的研究方案的可行性。 以状态变量的共轭耦合方式，分别对两个等同子系统的耦合、失配子系统的耦合 以及异结构子系统的耦合产生振荡消失的条件做了理论分析。利用局部线性稳定性理 论，得到耦合系统产生振荡消失的解析条件，通过数值模拟与电路实验观察到振荡消 失现象，很好地验证了理论分析结果的正确性。 本文还利用非延迟变量共轭耦合方案，分别以全局耦合和局部耦合两种方式，对 耦合多等同子系统中出现振荡消失现象的条件进行了研究。不仅设计出新的耦合方 案，还从理论上论证了在新的耦合方案下系统实现振荡消失的解析条件，深入分析了 不同耦合间的过渡关系、拓展局部耦合( 多层耦合) 发生振荡消失的解析条件等。特 别地，在选定参数的情况下，自行设计出由子电路级联方式构成的耦合系统电路。电 子线路实验得到的结果以及用数值计算获得的结果都与理论分析的结果一致。 我们还提出耦合系统中同步与反同步可共存的设想，从理论上提出两者共存的条 件及变量耦合的方式，并从数值计算给出实现两者共存的解析条件。在具体的c h u a 式电路模型上观察到了同步与反同步共存的实验结果。此外，考虑到延迟系统具备较 好的应用潜力，我们还进一步研究了延迟混沌系统中的同步与反同步现象，从理论上、 数值计算和电路实验方面都得到了一致的结果。 本文将理论分析与数值计算紧密结合起来，并设计模拟电路进行电路实验，所得 出的关于振荡消失及同步与反同步结果，无疑会为实际应用提供重要的理论与实验依 据。 关键词：混沌系统；延迟混沌系统；振荡消失；同步；反同步；共轭耦合；局部 耦合；全局耦合；电路实验 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , l a wo fa m p l i t u d ed e a t hf o rt w oi d e n t i c a lo rd i f f e r e n td y n a m i c a ls y s t e m s w a se x p l o r e d ，w h i c hw o u l db ee x t e n d e dt oa m p l i t u d ed e a t ho fc o l l e c t i v eo s c i l l a t i o n sw i t h a i la r b i t r a r yn u m b e ro fi d e n t i c a ld y n a m i c a l s y s t e m s ，m e a n w h i l e ，t h ep h e n o m e n ao f s y n c h r o n i z a t i o na n da n t i s y n c h r o n i z a t i o na r ea l s os t u d i e d c o m b i n e d i n gw i t ht h e o r e t i c a l a n a l y s i sa n dn u m e r i c a lc a l c u l a t i o n ，n e c e s s a r ya n ds u 伍c i e n tc o n d i t i o n sf o ra m p l i t u d ed e a t h o rs y n c h r o n i z a t i o na n da n t i - s y n c h r o n i z a t i o ni nc o u p l e dc h a o t i cs y s t e m sw a s o b t a i n e d ，a n d c i r c u i te x p e r i m e n t s ( o rc i r c u i ts i m u l a t i o n s ) h a v eo b t a i n e ds h m c i e n ta n dc o r r e c tr e s u l t s w h i c hd e m o n s t r a t et h em e t h o d sw ep r o p o s e d b a s e do nc o n j u g a t e - v a r i a b l ec o u p l i n g ，w eh a v es t u d i e do na m p l i t u d ed e a t ho f c o u p l e d d y n a m i c a ls y s t e m sw i t ht w oi d e n t i c a lc h a o t i co s c i l l a t o r s ，t w om i s m a t c hc h a o t i co s c i l l a t o r s a n dt w od i f f e r e n tc h a o t i co s c i l l a t o r sr e s p e c t i v e l y w eo b t a i n e dt h ea n a l y t i c a lc o n d i t i o n sf o r a m p l i t u d ed e a t ht h r o u g hl i n e a rs t a b i l i t yt h e o r y , a n do b s e r v e dt h ep h e n o m e n av i an u m e r i c a l s i m u l a t i o na n dc i r c u i te x p e r i m e n t s a m p l i t u d ed e a t hi nb o t hg l o b a la n dl o c a lc o u p l i n gs y s t e m s ，w h i c hc o u p l e d 谢t ha l a r g en u m b e ro fi d e n t i c a lc h a o t i co s c i l l a t o r s ，w a ss t u d i e db a s e do nn o n - t i m e d e l a y v a r i a b l e s c o n j u g a t ec o u p l i n g n e wc o u p l i n gs c h e m ew a sp r o p o s e d , a n da n a l y t i c a l c o n d i t i o n sf o ra m p l i t u d ed e a t hw e r ea c h i v e dt h r o u g ht h e o r e t i c a la n a l y s i s a l s o ，t r a n s i t i o n r e l a t i o n sb e t w e e nd i f f e r e n ts t y l e so fc o u p l i n gw e r e d e e p l ya n a l y s i s ，a n da n a l y t i c a l c o n d i t i o n sf o ra m p l i t u d ed e a mi nl o c a lc o u p l i n g ( o rm u l t i p l en e i g h b o rc o u p l i n g ) w e r e e x p a n d e d c i r c u i t sf o rc o u p l i n gs y s t e m sw i t hp a r t i c u l a rp a r a m e t e r sw e r ed e s i g n e d ，w h i c h a r ec o n n e c t e dw i t ha d j u s t a b l en u m b e ro fs u b c i r c u i t s ，a n dt h er e s u l t so fn u m e r i c a l s i m u l a t i o na g r e ew e l lw i t ht h a to fc i r c u i te x p e r i m e n t s f i n a l l y , w ec o n s i d e rt h es y n c h r o n i z a t i o na n da n t i s y n c h r o n i z a t i o nc o e x i s t e n c ei n c o u p l e dc h a o t i cs y s t e m s t h e o r e t i c a lc o n d i t i o n sa n dw a y so fv a r i a b l ec o u p l i n gw r e p r o p o s e d , a n da n a l y t i c a lc o n d i t i o n sw e r eo b t a i n e db yn u m e r i c a lc a l c u l a t i o n s a l s o ，w e h a v eo b s e r v e db o t hs y n c h r o n i z a t i o na n da n t i s y n c h r o n i z a t i o np h e n o m e n ai ns p e c i a lc h u a s c i r c u i t i na d d i t i o n , t a k i n gt h ep o t e n t i a la p p l i c a t i o n so ft i m e d e l a y e ds y s t e mi n t oa c c o u n t ， w eh a v ef u r t h e rs t u d i e d s y n c h r o n i z a t i o n a n da n t i s y n c h r o n i z a t i o nc o e x i s t e n c ei n t i m e - d e l a y e dc h a o t i cs y s t e m s ，a n dr e c e i v e dc o n s i s t e n tr e s u l t si nt h e o r e t i c a la n a l y s i s ， n u m e r i c a lc a l c u l a t i o n sa n dc i r c u i te x p e r i m e n t s 1 1 1 et h e o r e t i ca n dn u m e r i cm e t h o d sa r ei n t e g r a t e dc l o s e l yi nt h i sp a p e r t h er e s u l t s a b o u ta m p l i t u d ed e a t h ，s y n c h r o n i z a t i o na n da n t i - s y n c h r o n i z a t i o n , p r o v i d e i m p o r t a n t t h e o r e t i c a la n de x p e r i m e n t a lf o u n d a t i o nf o rp r a c t i c a la p p l i c a t i o n i i k e yw o r d s ：c h a o t i cs y s t e m ；t i m e - d e l a y e d c h a o t i c s y s t e m ；a m p l i t u d ed e a t h ； s y n c h r o n i z a t i o n ；a n t i s y n c h r o n i z a t i o n ；c o n j u g a t ec o u p l i n g ；l o c a l c o u p l i n g ；g l o b l ec o u p l i n g ；c i r c u i te x p e r i m e n t i i i 独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师指导下独立进行研究工作所取得的成果。据 我所知，除了特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果。 对本人的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确的说明。本声明的法律结果由本 人承担。 学位论文作者签名：昊姐砉 学位论文使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：东 北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子版，允许 论文被查阅和借阅。本人授权东北师范大学可以采用影印、缩印或其它复制手段保存、 汇编本学位论文。同意将本学位论文收录到中国优秀博硕士学位论文全文数据库 ( 中国学术期刊( 光盘版) 电子杂志社) 、中国学位论文全文数据库( 中国科学技术信 息研究所) 等数据库中，并以电子出版物形式出版发行和提供信息服务。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：嚣= 终 日 期：垒生凹 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 指导教师签名：蚴 日 期垒孚岬 电话： 邮编： 东北师范大学硕士学位论文 引言 混沌现象存在于自然界和人类社会的许多系统中，它是发生于大量非线性系统 中其状态量随时间或空间或时空间复杂变化的动力学行为。混沌现象早在2 0 世纪初 就被法国学者庞伽莱发现，到2 0 世纪6 0 年代，洛伦兹发现了“蝴蝶效应 ，随后， 费根鲍姆发现了倍周期分岔通向混沌中的普适常数，引起了学术界对混沌的特别关注 n 1 。经过近半个世纪的探讨与研究，人们对混沌运动的规律及在自然科学各个领域的 表现已有较为全面和深入地认识与了解，如何应用混沌研究成果为人类服务成为当前 非线性物理领域关于混沌研究的重要课题之一心3 4 j 1 。 混沌运动的基本特征是：对初值具有敏感性；其轨道是由无穷多不稳定的周期 轨道组成；其轨道具有遍历性( 各态历经性) 。这些特点使混沌特性在加速流体混合、 保密通讯等方面具有可利用的潜能；但混沌特性的存在也会产生不利影响，例如半导 体激光阵列中混沌运动减弱输出光的相干性，电子线路中的类噪声干扰等。因此，采 用适当的方法和策略积极主动且有效的控制混沌，充分发挥混沌的可用性，努力消除 混沌的有害性，对混沌的应用有着极为重要的意义。1 9 9 0 年美国马里兰大学的物理 学家o t t 、c r r i b o g i 及y o r k 三人首次从理论上提出了一种参数微扰反馈控制混沌的具 体实施办法，简称o g y 方法1 。几乎与此同时，美国海军实验室学者p e c o m 、c a r r o l l 发表了混沌运动轨道同步化的论文，提出混沌自同步的方案口1 。自此之后，各种控制 和同步混沌的方法相继出现，人们对混沌现象的认识得到进一步加深。 混沌同步的方法有多种，大体上可以分为：驱动一响应同步法( 完全替代方法) h 1 及其各种变形( 例如：主动一被动分解同步法部分替代等) 嘲、变量耦合同步法阳1 训、 变量反馈同步法n 1 1 、自适应同步法、变量延迟同步法n 2 3 和外部噪声驱动同步法，等等。 如果按照驱动信号施加的方式，混沌同步又可分为连续信号驱动和脉冲信号驱动 1 3 , 1 4 而脉冲信号驱动又可以分为周期脉冲信号驱动和随机脉冲信号驱动两种方式。 按照驱动系统与响应系统的输出是否相同，混沌同步可分为精确同步、广义同步、 相同步等n 钔。精确同步( 即完全同步) 是指从不同初始条件出发的两个混沌系统，随时 间的推移其轨道趋于一致；而反同步( 反相位同步) 表现为随时间演化，同步系统的状 态变量趋向于绝对值相等而位相相反，在很多系统中该现象都已被观察到n6 1 7 1 。利用 混沌信号的伪随机性及混沌系统的同步( 或反同步) 性实现混沌保密通信是非线性科 学领域研究的重点课题之一u 8 1 9 趵1 。 延迟系统是指系统的动力学特性除了与当前时刻的状态有关，还与前面某时刻 的状态有关。延迟方程相当于无穷阶自治方程或多变量自治方程组，这使得它的解比 非延迟方程的解更具有多样性或不确定因素，因此很容易得到振荡解以至混沌解。也 正是这类系统具有无穷维的性质，将能更好地利用其时序的伪随机性和同步性功能实 东北师范大学硕士学位论文 现加密功能或保密通讯。因此对于延迟方程同步现象的相关研究将会为实际应用提供 一个很好的平台。 振荡消失( 振幅死亡) 在控制混沌的振动动力学方面有重要作用，它具体是指几 个非线性振子在某种形式的相互耦合作用下，随时间演化的终态为某个平衡态，也即 振荡的振幅为零( 或称停止振荡) 瞳。近些年来，在生物、化学、电路、光学等许多 系统中人们都观察到了振荡消失现象的发生乜2 2 3 2 4 ，绷。1 9 9 8 年，r e d d y 、s e n 及j o h n s t o n 提出延时可导致振荡消失瞳，之后，有关振荡消失现象的研究就相继展开来。振荡消 失现象与同步、锁频等不同，仅用相位模型无法得到解释，必须考虑振动的振幅对同 步动力学的影响哺3 。关于振荡消失的研究主要有变量耦合乜7 i 、近邻耦合晗8 瓤3 们与全局 耦合等口，综合其各文献报道的方法，一个共同的特点是均采用同一变量间的耦合， 当然这一耦合方式的物理思想十分明确。最近，有学者提出采用变量共轭耦合形式也 会使系统产生振荡消失口铂，这里所指的共轭变量是系统间不同的变量，其主要原理是 用不同变量相差之后所构成的反馈信号，作为各系统间的耦合作用量，客观地讲，这 类作用方式的物理思想还是有一定的局限性，但其新颖的构思，还是吸引我们再深入 去探究。 综上所述，本文主要从以下几个方面展开研究： 1 采用共轭变量耦合方式，对两个子系统耦合实现振荡消失进行理论研究，解析地 确定其实现振荡消失的条件，并从数值计算和电路实验等方面验证该方案的正确性； 2 基于非延迟变量的局部变量耦合，构造任意多个等同子系统实现振荡消失的耦合 方式，研究不同耦合尺度( 即耦合子系统个数) 下的解析条件； 3 将非延迟项的共轭耦合扩展到全局耦合，实现任意多个等同子系统振荡消失； 4 研究混沌系统的同步行为，在同一耦合系统中实现同步与反同步共存，并在电路 实验中观察到这一现象； 5 以延时系统作为元胞，研究该类耦合系统中实现同步与反同步的方法。 2 东北师范大学硕士学位论文 第一章共轭变量耦合实现振荡消失 非线性振荡系统通过相互耦合作用还可以产生诸如周期、准周期锁频、混沌、超 混沌、振荡消失( 振幅死1 2 ) 等合作行为。在诸多的合作行为中，多数行为可通过耦合 系统中各非线性振子的相位作用关系进行解释，但振荡消失现象却与非线性振子的振 幅相关。之前的振荡消失都是采用延时变量耦合方式实现的，由于延时的存在实际上 将系统扩展到了无穷维数，因此理论分析比较困难，应用起来也较复杂。0 7 年有学 者提出，采用非延时变量的共轭耦合方式也能实现系统的振荡消失，并且该方法在两 个等同极限环振子及等同混沌振子耦合系统中都已得到证实，其研究方法采用了数值 计算的方式。 本章将针对具体的混沌模型，分别从等同振子耦合、参数失配振子耦合、不同结 构振子耦合等方面，从理论与数值计算上讨论振荡消失的条件，并通过电路实验验证 理论与数值计算结果的正确性。 1 1s p r o t t - j 系统的振荡消失 本节利用共轭状态量的耦合方式，针对s p r o t t - j 混沌系统引，推导出该系统实现 振荡消失的解析条件，并在具体设定的参数条件下用数值计算和模拟电路进行验证。 考虑到实际问题中真正完全等同的系统还是理想化的，而参数失配系统更能反映真实 的情况，因此我们将在参数失配的条件下，研究这类系统实现振荡消失的问题，并进 一步讨论耦合系统出现振荡消失的参数区间和振荡消失与参数失配间的关系。 s p r o t t - j 混沌子系统如下 f 戈= a z j c ，= b y + z ( 1 1 ) 【三：一x + y + y 2 在取口= - b = 2 0 的条件下，其最大李氏指数为k = o 0 7 6 3 3 ，即子系统是混沌的， 它的混沌吸引子如图1 1 所示。而且分析可知该系统只有一个不稳定中心点( 0 ，0 ，o ) 。 3 东北师范大学硕士学位论文 a ) 在三维空间中 目i 1 1 1 理论分析与数值模拟 在j - y 二维平面上 子系统的混沌吸引子 在共轭变量耦合的方式下，耦合系统可写成 葺。q o i 且= 岛h + 气 z l = 十y 【+ y + k ( x 2 屯2 q 2 2 扎= b t y t + z ： j 2 叫2 + y 2 十一十k ( x i 其中a 、a 2 、b 、也均为常数，k 为耦合系数。当k = 0 时，系统解耦。分别讨论下 列两种情况； ( 1 ) 等同子系统，即两子系统中的所有参数均相等，取q a 2- b , 也= 2 0 ； ( 2 ) 失配子系统，即两个子系统全部或部分参数不同，取q = - b , = 2 0 而a 2 = 18 、 h = - 22 。 首先讨论等同子系统的情况。此时祸合系统( 12 ) 只有一个与k 无关的不动点 0 ( 0 ，0 , 0 , 0 ，0 ，0 1 。在共轭耦台方式下，要找到使系统( 12 ) 出现振荡消失现象的参数k 的 取值范用，可利用常系数微分方程的局部稳定性理论“，讨论系统( 12 ) 在平衡点附近 线性稳定性的规律。 在平衡点o 附近，线性化系统f l2 ) ，得其雅可比矩阵为 002 0 2 1 i1女 000 000 k00 000 000 k0 0 002 0 21 一l 1 ( 13 ) 2 啪 东北师范大学硕士学位论文 对应4 的特征方程为 p 0 2 6 + p l 旯5 + 仍旯4 + 死名3 + p 4 名2 + 岛名+ p 6 = o ( 1 4 ) 其中 p o = 1 0 ，p l = 2 k + 4 ，p 2 = 七2 + 8 k + 6 ，p 3 = 4 k 2 + 1 0 k + 1 2 ，p 4 = 1 2 k + 1 7 ， p 5 = - 1 6 k 2 + 1 6 k + 8 ，p 6 = 一1 6 k 2 + 1 6 。 利用r o u t h h u r w i t z 判据，确定使下列各不等式 a 。= p t 岛 p 5 ： p n 仍 p 4 ： o o o 。： o ( m ：6 ；且v i m ，有p i = 0 ) 均成立的k 值集合，即保证方程( 1 4 ) 的所有根具有负实 部泓1 。利用m a p l e 软件平台计算出的结果是 0 4 k 1 0 ( 1 5 ) 为验证数值分析的正确性，以k 为变参量，画出耦合系统( 1 2 ) 在七( o ，1 ) 范围内 的分岔图，如图1 2 ( a ) 所示。可见，随着k 的增大系统沿反向( 相对坐标轴方向而言) 倍周期分岔的道路被逐渐控制到一周期，最后达到振荡消失状态，即趋于平衡点，注 意到系统达到振荡消失的k 值范围与式( 1 5 ) 相同。在上述取值范围内任取一后值，如 取k = 0 9 ，代入系统( 1 2 ) ，数值计算( 1 2 ) 得如图1 2 ( b ) 所示的振荡消失的结果，系统( 1 2 ) 经历了一段短暂的振荡之后趋向于平衡状态。 ( a ) 分岔图( b ) 振荡消失状态图 图1 2 等同系统耦合数值计算 再讨论子系统间参数失配的情况。在系统( 1 2 ) 中，仍取q = 一6 l = 2 0 ， a 2 、6 2 分别取1 8 和一2 2 ，后一组参数下的子系统仍处于混沌状态，其吸引子如图1 3 所示。 耦合后的系统仍有平衡点o ( 0 ，0 ，0 ，0 ，0 ，o ) ，在此点附近线性化系统( 1 2 ) ，得矩阵 5 东北师范大学硕士学位论文 4 = 0o o一2 一l1 oo o0 七0 4 的特征方程为 20 1o - kk 0o oo o一1 o0 oo oo 01 8 - 2 21 1一尼 ( 1 6 ) g o 名6 + 9 1 a 5 + q 2 旯4 + q 3 2 3 + 9 4 五2 + 9 5 名+ 9 6 = 0 ( 1 7 ) 其中 9 0 = 1 0 ，q l = 2 k + 4 2 ，q 2 = k 2 + 8 4 k + 6 2 ，q 3 = 4 2 k 2 + 1 0 6 k + 1 1 7 6 ， q 4 = o 8 k 2 + 1 1 7 6 k + 1 7 5 2 ，q 5 = - 1 5 1 2 k 2 + 1 6 7 2 k + 7 1 6 ，q 6 = 一1 5 8 4 k 2 + 1 5 8 4 。 类似上述关于稳定性的讨论，得到方程( 1 7 ) 的所有根均具有负实部的充要条件是 0 3 8 6 k 1 0 ( 1 8 ) 图1 4 ( a ) 为在j j ( o ，1 ) 范围内变化时，耦合系统的分岔图，图1 4 ( b ) 贝l j 给出k = o 9 时， 数值计算得到的系统状态图，图中呈现的振荡消失区间与理论分析的结果是吻合的。 图1 3 吸引子 ( a ) 分岔图( b ) 振荡消失状态图 图1 4 失配系统耦合数值计算 理论和数值计算结果均表明：非等同情况下，系统( 1 2 ) 仍存在振荡消失的现象。 从式( 1 5 ) 和式( 1 8 ) 可见，耦合等同子系统和耦合参数失配子系统达到振荡消失状态的 6 东北师范大学硕士学位论文 k 值上限均为恕。= 1 0 ，这是因为当k = 1 0 时，方程( 1 4 ) 和( 1 7 ) 中的常数项p 6 ( 或q 。) 为 零，也就是说这两个方程均有一个零特征根，此为稳定性发生变化的临界条件。实际 上，无论是等同还是参数失配下的耦合系统，固定参数口1 、6 l ，而在嘞、6 2 有效取 值的范围内，任意取值都有当k = 1 0 时，风( 或q 。) = 0 ，故耦合系统振荡消失的上界不 变。根据从r o u t h h u r w i t z 判据得到的系列不等式，结合数值计算可得到耦合参数失 配子系统振荡消失的下边界，图1 5 ( a ) 给出由失配参数口，决定的耦合强度k 的下边界 线，这条线与k = 1 0 直线所围平面区域即为振荡消失区域。图1 5 ( b ) 给出失配参数如 决定的耦合强度k 的下边界线，同样这条线与k = 1 0 直线所围平面区域也是失配耦合 系统的振荡消失区域。从这两张图中可见：参数失配对耦合强度k 有影响；两条下边 界线包：= 乞：( 呸) 和包：= 包：( 6 2 ) 分别呈现单调减小和单调增加的态势。实际上，呸从 1 7 变化到3 0 的过程中，系统( 1 2 ) 中的子系统经历了由混沌的反序列、反向的倍周 期序列的过程，而6 ，从一3 2 变化n - 1 4 的过程中，子系统经历了由倍周期序列到反 序列混沌带过程，如图1 6 所示。 4 0 3 0 n k2 0 1 0 o ( a ) 6 2 2 0 图1 5 耦合强度红的下边界曲线 1 82 02 2 2 2 62 1 13 0 口2 ( a ) 6 2 = - 2 0 ( b ) 口2 = 2 0 图1 6 子系统分岔图 7 ( b ) a 2 = 2 0 东北师范大学硕士学位论文 综上可知，对于s p r o t t - j 耦合系统，参数等同与失配状况将导致系统发生振荡消 失的下边界有所变化，进一步分析表明，参数失配愈明显，达到振荡消失所要求的下 界值愈大，耦合强度值的范围越窄。 1 1 2 电路实验 图1 7 是对应于耦合系统( 1 2 ) 的模拟电路。实验中为避免由于信号的变化幅度过 大而导致通过集成器件的信号失真情况发生，先对系统( 1 2 ) 中各变量做标度变换： u 矗= o 2 誓，= 咒，= o 2 z i ( f 1 ，2 ) 。 尺冗2 ( a ) 子系统的电路( b ) 耦合系统电路 图1 7 模拟电路 电路中乘法器的增益系数是- 0 1 v ，各电容和电阻值分别为c = 1 0n f ，足= 2 0k q ， 兄= r = 1 0 0k q ，b = 5 0 0k q ，r 6 = 5 0k q 。通过调节子电路中的墨和恐，即实现 对参数q 和岛( 待l ，2 ) 的调节。而对耦合强度的调节，则通过改变凡。和凡：的大小 来实现。 在子电路图1 7 ( a ) ( k = 0 的解耦状态) 中，分别取置= 5 0k q 和r = 5 0 k q ，即 a = 2 0 和b = - 2 0 ，此条件子电路处于混沌态，实验观察到的混沌吸引子如图1 8 ( a ) 所 示。而当选择口= 1 8 、6 2 2 时，对应于电阻足= 5 5 6k q 、恐= 4 4 5k q ，其混沌吸 引子如图1 8 ( b ) 所示。 8 东北师范大学硕士学位论文 材；i7 v ( a ) a = 2 0 ，b = - 2 0( b ) 口= 1 8 ，b = 一2 2 图1 8 子电路的混沌吸引子 根据理论分析的结果，选择k = o 9 ，相应设置凡。= 民：= 1 1 1k q ，不论在等同子系 统还是在非等同子系统的情况下，实验观测到的输出信号以。和虬：都在经历了短暂的 振荡后，停留在平衡态上，即振荡消失，如图1 9 所示。 a 厂 f 一，一r a ，| 、一 0 1 03 0郅0l o 2 0 40 5 0 t m st m s ( a ) 等同系统耦合嘞参数失配系统耦合 图1 9 电路仿真结果( 实线表示以l ，虚线表u z 2 ) 1 2l o r e n z 系统的振荡消失 自从1 9 6 3 年l o r e n z 发现l o r e n z 系统以来，至今人们已经对这个系统进行了大 量而深入的研究。到目前为止，l o r e n z 系统的动力学行为已经比较清楚。其动力 学方程为 i 文= i x ( y - x ) 夕= y x 一汜一y ( 1 9 ) i 三= 砂一肚 当取i x = 1 0 ，= 8 3 ，厂= 2 8 时，l o r e n z 系统有一个混沌吸引子，如图1 1 0 所示。 9 东北师范大学硕士学位论文 尹、嘲 一 tx 圈1 1 0l o w n z 吸引子 此时，该系统具有三个平衡点： 晶= ( o ，o ，o )( 鞍点) 只= ( i i 面，鬲；面，7 1 ) = ( 砸，6 压，2 7 )( 焦点) = ( 一：i 两，一面歹二西，7 一1 ) = ( 一瓶，_ 6 三，2 7 )( 焦点) 在本节中欲实现两个子系统耦舍，并且最后各自稳定在焦点r ( 或置) ，达到振荡 消失状态。 1 2 1 理论分析 设( ，勺) = ( 6 压，瓶，2 7 ) ，欲使子系统稳定在点s ( 或卫) 时我们提出的 耦合方式如下： 置= a i y 【一x 1 y j2 m 一玉0 1 一m 宣= h 一肛+ 女 ( 屯= d ( y 2 一屯) 儿5 2 而2 2 一y 2 = 儿一肛2 + t ( z i1 0 1 g = ( ，如，：c o ，虬，气) 是耦合系统( 1 _ 1 0 ) 的稳定点。与上节( i2 ) 式相比，这里并未采用 变量直接共轭耦合的方式，而是将变量与其稳定志之间的距离( 差值) 作为耦合量，再 把距离之间的差值反馈回子系统中去。其实如果采用菸轭变量直接耦合，也可以实现 耦合系统的振荡消失，但最后的稳定状态不是子系统原有的不动点，而是由耦合系统 决定的新的不动点。3 ”1 ，其值与耦合强度的太小有关，理论上也难以分析。而采用式 ( 1 1 0 ) 的耦台方式，就可以保证s 是耦合系统的稳定点，这样，讨论系统的振荡消失 东北师范大学硕士学位论文 问题就可以转化为讨论系统在点的稳定性问题。 首先讨论振荡消失时稳定点为0 = ( 6 乏，6 , 5 ，2 7 ，6 , 5 ，砸，2 7 ) 的情形，相应的有 ( 而，y o ，z o ) = ( 6 , f 2 ，6 4 ，2 7 ) 。在定点墨附近线性化方程( 1 1 0 ) ，得其雅可比矩阵为 a ： - 1 01 0oo 00 1 - 1- 6 4 2000 砸6 应一昙一七七 oo j 000- 1 01 0 0 0001 - 16 2 后0 0 砸觚一墨一后 对应该矩阵的特征方程为： p 0 2 6 + a + 见名4 + p 3 2 3 + 肌五2 + 鼽五+ 风= o ( 1 1 2 ) 其中， 纠。a 秘+ 了8 2 p 2 = k 2 + 1 4 _ _ j _ _ 8 8 七+ 学p 3 = 2 2 k 2 + 1 5 j 1 _ _ _ 坐0 后+ 丁5 0 8 4 8 p 4 = 1 2 1 n 半七+ 了4 4 6 6 5 6 见= 3 1 6 8 0 k + 2 9 1 8 4 。p 6 = - 7 2 0 0 “2 0 7 3 6 0 0 利用r o u t h h u r w i t z 判据，由m a p l e 软件平台计算出方程( 1 1 2 ) 的所有根具有负实部的 k 值范围为 0 3 2 4 o 2 5 6 ( 1 2 4 ) 1 3 3 数值模拟与电路实验 在( 1 2 4 ) 式所确定的范围内，选取七= 5 ，并令( ，y o ，毛) = ( 觚，6 , 5 ，2 7 ) ，数值计 算耦合系统( 1 1 9 ) 实现振荡消失的结果如图1 1 7 ( a ) f i f i 示，其结果与理论分析相符的。 图1 1 7 ( b ) 对应( x o ，y o ，z o ) = ( 一6 , 5 ，一6 , 5 ，2 7 ) ，同样，耦合系统( 1 1 9 ) 也发生振荡消失， 其结果也与理论分析是相符的。 ( a ) 不动点为只 ， ( b ) 不动点为罡 图1 1 7 数值计算结果 在系统( 1 1 9 ) 中，做变换( ，v l ，m ，吃，吃，心) = ( 五，乃，毛，恐5 ，y 2 5 ，：2 1 0 ) ，且仍有 ( “o ，v o ，w o ) = ( 而5 ，y o 5 ，气1 0 ) = ( + 1 7 ，1 7 ，2 7 ) ，则耦合系统( 1 1 9 ) x n - i 表示为 1 6 东北师范大学硕士学位论文 2 i l = 一( h + m ) q = u l + 吖+ 七 5 ( “2 一u o ) 一( v l 一0 ) 】 啦= b u l c i 4 1 1 + 甜l 疗2 = 似v 2 1 1 2 ) 9 2 = 7 u 2 1 0 u 2 w 2 一v 2 + 七【0 2 ( u l o ) 一( 屹一v o ) 】 也= 2 5 u 2 v 2 一w 2 由此设计出的耦合电路如图1 1 8 所示。其中虚线框i 和i i 内分别为r o s s l e r 与 l o r e n z 系统的子电路，而耦合电路部分的与吒均接直流电压源，其值为1 7v 或- 1 7 v ，具体由振荡消失的目标态来决定，且电路中所有乘法器的增益因子均为0 1 v 。 对应电路中其他各项参数为：c = 1 0n f ，r = 蜀= 是= 尼= 蜀：= 1 0 0k q ， 心= 3 1 2 5l ( q ，恐= 3 3 3 3k q ，民= 2 2 2 娩，冗7 = p k = r g = 1 0 尬，墨o = 3 5 7m ，墨l = 1k q ， 尾3 = 4k d ，墨4 = 3 7 5k q ，r k = 5 0 0k q ，民= 2 0k q 。而氏仅由耦合强度k 决定，当k = 5 时，相应的取氏= 2 0k q 。图1 1 9 为凡= 2 0k q 时，耦合电路的实验结果，与数值计 算完全相符。 图1 1 8 耦合系统模拟电路 1 7 东北师范大学硕士学位论文 4 2 、 幽 脚o - 2 n w 2 v “2 、1 7 2 一 i t l i a 一 i y ， 6 z ，1 、1 1 、1 v 。 4 幽。 母 4 夥0 ， 杞卜一1 1 1 、v 1 ，1 4 1 v “z ，y 2 i i 一 0 s1 01 505 1 01 5 于m s t | m s ( a ) u o = v o = 1 7v( b ) u o = v o = 一1 7v 图1 1 9 实验结果 引文 3 2 1 提出通过共轭变量耦合实现系统的振荡消失，是在两个等同子系统耦合 的基础上进行的，而且采用数值计算的方法给出振荡消失，最后所趋向的振荡消失态 无法预测。在本章中，我们所实现的振荡消失都是使系统最终停留在其自身的不动点， 并能够由理论分析与数值计算得出实现振荡消失的具体解析条件。需要指出的是，在 数值计算的过程中，要适当注意变量初值的选取，尽量使其在目标态附近。当耦合强 度的取值比较接近上下边界值时，若选取的变量初值距离目标态比较远，由于混沌系 统具有对初值的极端敏感性，系统最后仍会达到振荡消失状态，但该状态具有随机性， 可能就不是我们所要求的目标态。 1 8 东北师范大学硕士学位论文 第二章近邻耦合实现振荡消失 所谓近邻耦合是指对于每一个子系统，它只受到与它相邻的两个或多个子系统的 耦合作用，而与其他子系统没有直接联系。在本章中，我们讨论等同的三阶混沌子系 统j = f ( x ) 经有限个数的近邻耦合作用实现振荡消失，且假设耦合作用的强度随格点 距离d 的增加而呈指数减小，= 2 刊。1 表示衰减因子。则个等同子系统，层近邻 耦合( 即第f 个格点的单侧近邻数为，) 的一般形式为 ， 毫= ，( 置) + k a j ( u 州+ ，- 2 v ，) ( i - 1 ，2 ，) ( 2 1 ) j = l 采用周期边界条件，置= 置+ ，x - - ( x ，y ，z ) 丁，甜，v e ( 工，y ，z ) 并且“1 ，。式中k 为耦 合矩阵，取值如下： k ：= ( k , 0 ，o ) t ( 0 , k ，o ) t ( 0 , 0 ，后) t ，( 1 ，= 力 ， = y ) 以下将举出具体的例子，说明如何利用近邻耦合实现系统的振荡消失。并进行理 论分析，得出耦合条件的解析表达式。 2 1 耦合的r o s s l e r 系统理论分析 基于( 2 1 ) 式所提出的耦合方式，选择个r o s s l e r 子系统，层近邻耦合( 即第z 个格 点的单侧近邻数为，) 的一般形式为 ， 毫= 一乃一弓+ 七( 毛+ d + 毛一d - 2 x f ) d = l 或= 而十哪 ( f = 1 , 2 ，)( 2 2 ) 之= 氓+ ( 薯一c ) 毛 这里已选择= z ，v - - x o 子系统参数为：口= 西8 ，6 = 素，c = 兰。后表示耦合强度， 取正值。很显然，对于任意的，n ，零点都为子系统的一个稳定点，且也是耦合系 统( 2 2 ) 的定点。本文所研究的振荡消失即是使系统最后稳定在该定态点，也即讨论系 统( 2 2 ) 在零点的稳定性l 口- j 题。 1 9 东北师范大学硕士学位论文 2 1 1 最近邻耦合 首先，仅考虑最近邻系统间的耦合作用，即，= 1 ，此时( 2 2 ) 式可化为 f 毫= 一以一2 f + 后( 孔l + 乞一l - 2 x j ) 彰= 毛+ 睇 ( i = 1 2 ，n ) ( 2 3 ) 【毛= 魄+ ( 薯一c ) z ， 根据线性稳定性理论，在零点附近线性化方程( 2 3 ) ，得其雅可比矩阵为 j = 彳 口o bab 0b彳 boo b 0 0 彳 ( 2 4 ) 其中，a 和b 都为三阶矩阵，且有 彳：f 矧一0 斗 l b 0 - c )i , o 0 o j 矩阵( 2 4 ) 的特征方程为( 见附录a ) d e t a + 2 c o s o b - a i = p 0 2 3 + 届名2 + p 2 2 + p 3 = o( 2 5 ) 其中吃：掣 聊：