（计算数学专业论文）变分迭代法的若干研究.pdf

摘要 本文主要讨论了变分迭代法 v i m l 及其在求解积分方程数值解方面的应 用。全文共分四章。 第一章首先简单介绍了数值求解积分方程的迭代法和投影法，这些方法为 v i m 的提出奠定了基础；随后介绍了变分法及变分原理的相关概念和定理，这 是v i m 的理论基础。 第二章解释了v i m 中所涉及到的一些基本概念，包括一般的l a g - r a n g e 乘 子、稳定性条件、限制变分等，以便于后面的讨论，同时还介绍了v i m 的基本 原理及其收敛性。 第三章提出了求解第二类积分方程组的变分迭代方法。给出了用m 求解 f r e d h o l m 型和v o l t e r r a 型积分方程组的具体过程，关键是通过对方程两边求导 数，得到适合用v i m 求解的方程的形式，然后根据变分迭代法原理构造相应的 迭代格式；最后用两个数值算例说明该方法的有效性，并与文献中的t a y l o r 展 开法的数值结果作了比较，证明我们的方法具有明显的优越性。 第四章讨论了v i m 在求解高阶的v o l t e r r a 型积分微分方程方面的应用。提 出了一种间接的v i m 法，即将高阶方程转化成方程组的形式，再对此方程组的 每一个变量构造变分迭代格式，这里我们给出了详细的迭代格式的构造过程， 说明间接的v i m 方法求解l a g r a n g e 乘子a 的过程简单，且对每一个函数相应 的入值都是一1 ，因此求解l a g r a n g e 乘子入的过程就可省略，而直接令a = - 1 得到迭代公式；最后，我们给出了两个数值例子，并与文献中的结果作了比较， 表明间接v i m 得到的结果的误差要小于文献中的结果。 关键词：变分迭代方法，变分法原理，限制变分，高阶积分微分方程，第二类的 积分方程组，t a y l o r 展开法 ab s t r a c t t h i sp a p e ri sm a i n l ya b o u ts o m ea p p l i c a t i o no fv i mi nt h en u m e r i c a ls o l u - t i o no fi n t e g r a le q u a t i o n s t h e r ea r ef o u rc h a p t e r si na 1 1 f i r s t ，w em a k eas i m p l ei n t r o d u c t i o na b o u tt h ec o m m o nm e t h o d so ft h ea n - m e r i c a ls o l u t i o nt oi n t e g r a le q u a t i o n s ，i n c l u d i n gi t e r a t i v em e t h o d sa n dp r o j e c t i v e m e t h o d s a l lt h e s em e t h o d sm a k eab a s i so fv i m a tt h es a m et i m e ，w eg i v et h e k n o w l e d g eo fv a r i a t i o n ，w h i c hi st h et h e o r yb a s i so fv i m i nc h a p t e r2 ，w eg i v ea ne l e m e n t a r yi n t r o d u c t i o nt ot h ec o n c e p to fv i m f i r s t ，t h em a i nc o n c e p t si nv i m ，s u c ha sg e n e r a ll a g r a n g em u l t i p l i e r ，r e s t r i c t e d v a r i a t i o n ，c o r r e c t i o nf u n c t i o n a l ，a r ee x p l a i n e dh e u r i s t i c a l l y s u b s e q u e n t l yw eg i v e t h ep r o c e d u r eo fv i ma n das i m p l es t a t e m e n ta b o u tt h ec o n v e r g e n c e i nc h a p t e r3 ，t h ev i mi sa p p l i e dt os o l v et h ei n t e g r a le q u a t i o n ss y s t e mo ft h e s e c o n dk i n d ，i n c l u d i n g t h ef r e d h o l mi n t e g r a le q u a t i o n ss y s t e mo ft h es e c o n dk i n d a n dv o l t e r r ai n t e g r a le q u a t i o n ss y s t e mo ft h es e c o n dk i n d w eg i v et h ec o n c r e t e v i mf o rt h ei n t e g r a le q u a t i o n ss y s t e mo ft h es e c o n dk i n d t h ek e yl i e si nt h e d e r i v a t i o no ft h ee q u a t i o n s ，w h i c hm a k e st h ev i mf e a s i b l e t h e n ，w ec a ng i v e t h ei t e r a t i v ef o r m u l aw i t h o u td i f f i c u l t y l a s t ，t w on u m e r i c a le x a m p l e ss h o wo u r m e t h o di se f f i c i e n ta n dh a v i n ga no b v i o u sa d v a n t a g ec o m p a r e dw i t ht h er e l a t e d r e f e r e n c e c h a p t e r4i sm a i n l ya b o u tt h ea p p l i c a t i o no fv i mi nh i g h o r d e ri n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s 臃g i v ea ni n d i r e c tv i mt os o l v eh i g h o r d e rv o l t e r r a i n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，t h a ti s ，r e d u c i n gt h eh i g h o r d e rv o l t e r r ai n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n st oa no r d i n a r ys y s t e mo fe q u a t i o n s ，t h e nm a k i n ga ni t e r a t i v e f o r m u l af o re a c hv a r i a b l e s t h i sm e t h o dg i v e sas i m p l ee x p r e s s i o no fl a g r a n g e m u l t i p l i e r a ，i ea = - 1 ，w h i c hs a v e 8t h ep r o c e d u r et oc o m p u t ea l a s t ，t h e n u m e r i c a lr e s u l t so b t a i n e dw i t hm i n i m u ma m o u n to fc o m p u t a t i o na r ec o m p a r e d w i t ht h ee x a c ts o l u t i o n sa n dt h er e s u l t sf r o mr e l a t e dr e f e r e n c et os h o wt h ee f f i - c i e n c yo ft h em e t h o d t h er e s u l t ss h o w t h a to u rm e t h o di so fh i g ha c c u r a c ya n d e f f i c i e n tf o rs o l v i n gh i g h o r d e rv o l t e r r ai n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s a b s t r a c t i i i k e y w o r d s ：v a r i a t i o n a li t e r a t i o nm e t h o d ，t h et h e o r yo fv a r i a t i o n a l ，r e s t r i c t e d v a r i a t i o n ，h i g h - o r d e ri n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，i n t e g r a le q u a t i o n ss y s t e mo f t h es e c o n dk i n d ，t a y l o re x p a n s i o nm e t h o d 第一章背景介绍 1 1引言 关于积分方程的数值解，很多学者都有大量的研究【1 5 】 1 6 【2 8 】 3 6 】，主要 方法包括迭代法和投影法。首先我们以第二类的f r e d h o l m 积分方程为例简单 介绍一般迭代法的基本思想。考虑 u k u = 其中，k 是已知的积分算子，且是b a n a c h 空间x 上的紧线性算子，定义x 上 的范数为i i i i f x 是已知的函数，钍x 是待求的函数。 设：_ x 为线性收敛的有界线性算子，即l i 一k i i 一0 ( 竹 o o ) 。设r ：x 为有界线性投影算子，满足： l i r u t i l _ 0 ( n o o ) v u x 具体的迭代格式一般分两类：第一类：求，雹n x ，满足： 一u n = ， = k + ， 第二类：求u n ，锄x ，满足： u n r k u n = p j 砒= k u 竹- t - ， 迭代解砒通常称为s l o a n 迭代解。当( ，一r k ) ，( j 一) q 存在且一致有 界时，两类迭代格式都是唯一可解的。 一般情况下，迭代方法都是与g a l e r k i n 方法和c o l l o c a t i o n 方法结合使用。 迭代法的主要困难在于收敛性的证明以及如何提高收敛阶，而且当精度要求提 高时，必须通过加密剖分来实现，而积分方程的线性方程组是稠密的，当剖分很 细时，生成系数矩阵的计算代价是很大的。 投影法的基本思想是将积分方程转化成线性方程组，常用的投影方法主要 有g a l e r k i n 法和c o l l o c a t i o n 法。下面简单介绍两种方法的求解步骤。 第一章背景介绍 2 1 g a l e r k i n 方法的基本步骤： ( a ) 在可取函数空间日中，寻找一个坐标函数列 ) ，使其线性包在日 中稠密，即 ) 是日的一个完全系，也可将 ) 理解为日的一个 基( 无限维) 。 ( b ) 取定有限个坐标函数仍，歹= 1 ，2 ，令巩为其张成的日的线 性子空间，寻找钍毋满足积分方程u k u = f ( c ) 设近似解u n = 笔l 勺仍，代入积分方程，这样便将积分方程近似地 转化成了线性方程组。 ( d ) 求解线性方程组。 实际运用g a l e r k i n 方法时，通常是将求解空间x 投影到有限维子空间 ，k = s p a n _ p l ，) 。 2 c o l l o c a t i o n 方法的基本步骤： 配点法首先也是要投影离散，然后利用各种方法选取合适的配点岛，i = 1 ，2 ，例如高斯点或区间中点等，同样的方法定义残量，通过令 配点处的残量为零，即，n ( s 1 ) = o ，主= 1 ，2 ，得到线性方程组。 由于投影法都要涉及到子空间基函数的选取，所以投影法经常与小波方法 相结合。这是因为小波具有很多的优点：首先小波基具有标准正交性，以此作 为基函数，得到的线性方程组系数矩阵具有很好的稀疏性，从而简化计算：其次 不同的小波具有不同的性质，可以根据不同的问题选择合适的小波。 1 2变分方法和变分原理 谈到变分迭代法，不得不提到变分及变分原理。在微积分这一学科形成的 初期，牛顿、约翰伯努利等科学家就提出了关于泛函极值的问题，我们把这类 问题称为变分问题，而处理这类问题的方法则称为变分法。它是微分学中处理 有限个变量的函数极值问题的方法的扩展，而随着变分法的发展，则逐步形成 并发展成为变分学。另一方面变分学理论的发展又与力学物理学等的发展密切 相关，从力学的h a m i l t o n 原理、最小位能原理到目前在自然科学和工程技术中 提出的某些”最佳方案”、”最优设计”等，其本质都是变分问题。本文所研究的 第一章背景介绍 3 变分迭代法也是从变分方法和变分原理出发的，因此，在这里简单介绍一下变 分原理所涉及到的基本知识，以便于后面的讨论。 定义1 1 若泛函j v 】的自变量v ( x ) 取函数可1 ( z ) ，则y ( z ) 在y l ( z ) 上的增量是 指y l ( z ) 附近的函数v ( x ) 与y l ( x ) 的差： 6 秒( z ) = v ( x ) 一秒( z ) 自变量y l ( z ) 的增量而( z ) 称为自变量v ( x ) 的变分 定义1 2 如果泛函g v 】的自变量的增量为曲( z ) ，那么 a j = j y ( x ) + 6 可( z ) 】一j 【拶( z ) 】 就是泛函的增量。若泛函的增量t j r 可以表示为 a j = j 【可( z ) - t - 5 y ( x 】一j 阿( z ) 】 = l b c z ) ，6 可( z ) 】- - t - p ( 可( z ) ，6 可( z ) ) m a x l 6 ( z ) l ， 其中v ( x ) 暂时固定，当m a x l ( f y ( x ) i - 0 时，p ( 可( z ) ，6 可( z ) ) - o ，l 囟( z ) ，6 可( z ) 】 关于5 y ( x ) 是线性的泛函，这个线性泛函是泛函增量中的线性主部，称为泛函 j y 】的变分( 一阶变分) ，并记为 6 j = l 【可( z ) ，6 可( z ) 】 定义1 3 泛函变分的另一定义 给定泛函j = ，b ( z ) 】，考虑泛函在可( z ) - t - a s y ( z ) 的值 j v c z ) + q 曲( z ) 】 根据前一定义，若泛函在泛函增量线性主部意义下有变分存在，则 a j = j y ( x ) - t - q 6 秒( z ) 】一j 【秒( z ) 】 = l b ( z ) ，q 6 可( z ) 】- i - 卢( 可( z ) ，q 6 可( z ) ) i 口i m a x l 6 秒( z ) i ， 第一章背景介绍 4 其中秒( z ) ，曲 ) 暂时固定，当q _ 0 时p ( 可( z ) ，q 曲( z ) ) _ 0 ，则可定义泛函的 变分是泛函卅! ，( z ) + a 曲( z ) 】在q = 0 时关于o l 的导数。考虑等式 a j三阿( z ) ，q 曲( z ) 】+ ( ( z ) ，a 5 y ( x ) ) l a i m a x i s y ( x ) 一= _ 一一 q q 因为l 协( z ) ，面( z ) 】关于5 y ( x ) 是线性的，所以 三【可( z ) ，口6 可( z ) 】= o 三 夕( z ) ，艿可( z ) 】 但 故有 而左端等于 1 i m q 。o p ( 可( z ) ，a s y ( x ) ) i a l m a x i s y ( x ) i o t 士l i mj 3 ( y ( x ) ，q 万可( z ) ) m a x l 6 y ( z ) i = 0 “一u l i m 兰坚：l 【( z ) ，j 秒( z ) 】 a - - - , o o t 。1 1 蕊0 似雩) + q 曲( z ) 】| 口= 。 凼此， 羞了的) + q 曲( z ) 】1 0 ：。2 纠y ( z ) ，而( z ) 】 即泛函j = 圳可( z ) 】在y = 秒( z ) 处的变分等于泛函j i y ( x ) + 口勋( z ) 】在口= 0 时 关于q 的导数。 定义1 4 设j 阿( z ) 】是定义在函数距离空间x 上的一个泛函。若存在一个 3 ：，x ，使对一切可x ，恒有 j y + 】g y 】( o rj 陟+ 】j 【们) 则称泛函j b ( z ) 1 在y + 处取得极小值( 或极大值) 。 定理1 1 泛函取得极值的必要条件 若泛函j = j 陌( z ) 1 有变分，且在y = 珈( z ) 处达到极大值或极小值，则在 可= 珈( z ) 处的一阶变分 5 j = l b o ( z ) ，6 可( z ) 】= 0 函数珈( z ) 称为极值函数。 第一章背景介绍 5 证明当v o c x ) ，5 y ( x ) 固定时j y o ( x ) + o r s y ( x ) 】= 妒( q ) 是o l 的函数。因为j l y ( z ) 】 在y = y o ( x ) 处达到极值，所以当q = 0 时妒( q ) 达到极值，即 未川蜘( z ) + 咖( 硼l e ) _ _ o - - - o 故有 5 j = l y o ( z ) ，6 秒( z ) 】= 0 口 变分迭代法就是利用变分原理，通过使泛函在极值点的变分为零，求得方 程的近似解。 第二章变分迭代法原理与概念 2 1引言 近年来，在求解各类微分方程积分方程数值解方面，科学家们作了大量的 研究工作，尤其在实际工程问题中出现的非线性方程及奇异方程的数值解方面 取得了一定的成就，如网格技术、截断技术、样条函数等方法，但这些方法都存 在一定的局限性，例如：网格技术只在网格点处定义解，截断技术计算代价很大 尤其是在问题的非线性性很高时，样条函数需要对边界值进行限制等。 变分迭代法最初来源于量子力学，后来被工程师i n o k u t i 【2 5 】等应用于求解 非线性方程，取得了比较理想的效果，但是由于这种方法识别l a g r a n g e 乘子很 繁，一直未得到普遍的关注和应用。1 9 9 9 年何吉欢7 1 对一般的l a g r a n g e 乘子 做了修正，引入限制变分的概念，提出一种简单而快速的变分迭代方法：首先 设初始迭代为含若干参数的等式，然后利用一般的l a g r a n g e 乘子来构造修正函 数，这里通过变分原理| 4 3 1 确定l a g r a n g e 乘子的最优值。m 法能够得到真 实解的一个收敛的连续逼近解，而且v i m 不受任何限制比如线性化和非线性 问题中的小参数限制等，它以类似的方式处理线性问题和非线性问题，而且其 收敛性理论f 3 1 1 也得到了验证。 近年来许多学者都对变分迭代方法作了大量的研究，证明了v i m 方法是 解决各类问题的强有力的工具。例如文献f 4 1 1 将其用于求解非线性的积分微分 方程，文献【2 6 1 用于求解k d v 方程，文献1 3 7 1 用于求解h e l m h o l t z 方程，文献 【2 7 】用于求解b u r g e r 和双b u r g e r 方程，求解反问题3 0 1 ，求解常微分方程【8 】， 偏微分方程【4 】、积分方程【2 0 】等，也有学者将v i m 方法与现存的方法 2 】进行 了比较，结果证明v i m 法收敛到真实解的速度较快。在这一章里，为了方便后 续章节的讨论我们首先介绍变分迭代法的基本概念和基本原理。 2 2变分迭代法的基本概念 在变分迭代方法的发展过程中，我们引进了一些新的概念和术语【7 】，例如 限制变分、修正泛函等，下面我首先介绍这些基本概念，以便于后面的应用和 讨论。 第二章变分迭代法原理与概念7 2 2 1 一般的l a g r a n g e 乘子 l a g r a n g e 乘子对于大家来说并不陌生，最优化理论及微积分学中都有介 绍。i n o k u t ie ta 1 2 5 】提出了一种一般的l a g r a n g e 乘数方法。为了理解一般的 l a g r a n g e 乘数，我们来考虑下面的代数方程 f ( x ) = 0 ，z r( 2 1 ) 如果z n 是上述方程的一个逼近解，则必有 l ( z n ) 0( 2 2 ) 为了提高逼近精度，我们构造下面的修正方程 z n + 1 = z 疗+ 入，( z n )( 2 3 ) 其中，a 称为一般的l a g r a n g e 乘子，通过令 d x n + l = 0 (24)d x n 。 、， 由此我们得到著名的n e w t o n 迭代公式 x n + 1 = x n 一怒 ( 2 5 ) 我们还可以利用其他方式来构造修正方程，可以把的修正写作 z n + 1 = z n + a 9 ( z n ) ，( z n )( 2 6 ) 这里夕( z ) 是辅助函数，通过对( 2 6 ) 两边关于z n 求导并令左边导数为零可以求 得入的值，从而得到一个一般的迭代公式 z n + - = z n 一而丽g 丽( x n 再) f ( x 丽n ) ( 2 7 ) 这里辅助函数在整个迭代过程中取值都不能太小，1 9 ( ) i 1 ，如果我们选择 9 ( x n ) = e - n ，迭代格式( 2 7 ) 可以改写成 1 - z n 一兀百f 碉( x n ) 当，7 ( z n ) 很小时，这个格式的迭代效率很高。 ( 2 8 ) 第二章变分迭代法原理与概念 8 2 2 2 稳定性条件 最优化问题在现实生活中普遍存在，最简单的问题是求解给定泛函 ，z 2 j = f ( x ，y 7 ；x ) d x + g l ( x ) y l 。：蕾，一9 2 ( x ) y l z ： ( 2 9 ) j 1 的最大值或者最小值y = ，( z ) 。 方程( 2 9 ) 的极值条件( 稳定性条件) 要求 ( f j = 6 f ( z ，矿；x ) d x + 夕1 ( z ) 6 秒i z ：。一夕2 ( z ) 6 引z ：z ： ，z l f z 2 = j f ( x ，矿；x ) d x + g l ( x ) 6 y l z ：z ，一9 2 ( z ) 6 秒i ：z ： 序挚+ 巧d r 奶_ i 妇+ 9 l 驯一。吲州陆i 现 o 挚+ 巧d f d 秒) d x + g l 驯一，- 9 2 ( 郴乩锄 ( 2 【面d f 一五d ( d q 拶f 曲+ 五d ( d 矿f 的) d x + g l ( 郴可 x = z l - 9 2 ( 郴儿砘 昏面d f - _ d ( d q 矿f 州肼【和针“州乩锄刊州乩毡 0 由曲的任意性得 边界条件 面d f 一一d ( d f d xd y i = o ，曲 ” 刁d f ( z - ) 一以1 ) = 。 ( 2 1 0 ) 面d f ( z 2 ) 一班( z 2 ) = 。 ( 2 1 1 ) 等式( 2 1 0 ) 称为e u l e r - l a g r a n g e 微分方程或欧拉方程，等式( 2 1 1 ) 称为自然边 界条件。 2 2 3限制变分 为了说明在变分迭代法中如何使用限制变分，我们考虑一个简单的代数方 程 z 2 3 x + 2 = 0 ( 2 1 2 ) 第二章变分迭代法原理与概念 9 我们把( 2 1 2 ) 式改写成 孟z 一3 x + 2 = 0 ( 2 1 3 ) 其中孟称为限制变量，我们总是假设圣( 初始估计) 是已知的，从( 2 1 3 ) 式中解 得 弘南 ( 2 1 4 ) u山 从而得到迭代格式 z n + 12 二3 - - x n ( 2 1 5 ) 这种方法对于恰当的初始估计是很高效的。 在变分迭代方法中，初始估计经常是设定为某个含参数的等式，通过一步 迭代就可以获得很高的精度，然后将初值或边值代入一步迭代的结果中，确定 出各个待定参数的值，然后开始新的迭代得到更高的精度。下面我们对上例的 初始迭代引入参数b x o = 0 5 + b ( 2 1 6 ) 将( 2 1 6 ) 式代入( 2 1 5 ) 式中得 z 1 = 志= 虿邑= 虿瓦丁雨2 = o 8 ( 1 + 1 6 ) + o ( 6 2 ) = o 8 + o 3 2 + o ( 6 2 ) z 12 虿二百硒2 虿两2 虿百可巧2u 为( 1 + + u 【旷j2u 8 + u 3 z + u 【扩 ( 2 1 7 ) 令z 1 = z o 得b = 0 4 4 1 2 ，利用更新后的初始迭代z o = 0 9 4 1 2 开始新的迭代。 2 3 变分迭代法原理 为阐述变分迭代技术的基本思想，我们考虑一般的非线性系统： 纠u ( ) 】+ 【札( ) 】= g ( t )( 2 1 8 ) 其中l 是线性算子，是非线性算子，g ( x ) 是已知的连续函数，v i m 方法的关 键就是构造非线性系统( 2 1 8 ) 的修正泛函，即： 钍n 洲= 乱以) + 石水乱n ( s ) + 眠( s ) - 9 ( s ) 冲 ( 2 1 9 ) ，这里t n 是第几次逼近解，蟊是限制变分，满足：6 碗= 0 。a 是一般的 l a g r a n g e 乘子，它可以通过变分理论求得。具体求解过程是对( 2 1 9 ) 式两边取 第二章变分迭代法原理与概念 1 0 变分得： 6 = + 6 ( 讹啪) + s ) 刊s ) ) d s = + ( 舰缸小) d s =0 这里在实际计算的时候处理方法是应用分部积分，将入从积分号中提出来，通 过比较方程两边同类项的系数，并注意到( t ) 的任意性得到入的值。很明显， 变分迭代方法的主要步骤就是通过变分原理来确定l a g r a n g e 乘子的值，然后 通过任意选取的初始迭代咖就可以快速的得到u 的逼近解缸1 ，佗之0 ，即 让= l i m n 。 从变分迭代方法的基本思想中可以看出，对于线性问题由于不存在限制变 分的近似问题所以l a g r a n g e 乘子可以精确算出，从而方程的精确解可以通过一 步变分迭代求得。 下面我们简单说明一下变分迭代方法的收敛性问题。对于来源于实际的方 程，我们在寻找数值解时一般假设方程的解是存在且唯一的，对方程( 2 1 9 ) 取 变分并令此变分为零，得到的l a g r a n g e 乘子的值，然后代入修正泛函( 2 1 9 ) ， 这样得到的迭代格式是满足定理( 1 1 ) ( 泛函取极值的必要条件) 的，因此变分 迭代法是收敛的。 第三章变分迭代法求解第二类的积分方程组 3 1引言 在这一章里，我们分别考虑第二类的f r e d h o l m 积分方程组和第二类的 v o l t e r r a 型积分方程组： ，1 f ( s ) = c ( 8 ) + g ( 8 ，t ) f ( t ) d t ，0 s 1 f ( o ) = a( 3 1 ) ，0 ，1 8 f ( s ) = c ( s ) + g ( 8 ，t ) f ( t ) d t ，0 s 1 f ( 0 ) = a ( 3 2 ) - ，0 其中 。 f ( s ) = 【y l ( 8 ) ，厶( s ) ，厶( s ) 】t ， g ( 8 ) = 【g l ( s ) ，9 2 c s ) ，鲰( s ) 】t ， g ( 8 ，t ) = 【k 0 ( s ，t ) 】，i ，j = 1 ，2 ，n g ( 8 ，亡) 、c ( s ) 是给定的已知函数，f ( s ) 是待求的函数，a 、b 是已知的初值列 向量。这里我们假设方程组有解。 对于第二类的积分方程组，很多学者都有研究。主要方法有小波的方法和 t a y l o r 展开的方法。文献【1 7 】【2 9 】【4 0 】介绍了一种t a y l o r 展开的方法。我们首 先以f r e d h o l m 型积分方程组( 3 1 ) 为例说明文献【1 7 2 9 】中的t a y l o r 展开法的 基本思想。考虑( 3 1 ) 中的第i 个方程： 五( s ) 5 卯( s ) + 0 仁。k o ( s ，t ) 办 ) 出，t = 1 ，2 ，死 将f j ( t ) 在t = s 处t a y l o r 展开得： 乃( 亡) = 乃( s ) + 乃( s ) ( 亡一s ) + + 嘉乃m ( s ) ( t s ) m + e ( z ) ， 这里e ( t ) 为t a y l o r 展开的余项 e ( ) 5 虿i 面乃m + ”( s ) ( 亡一s ) m + 1 + ( 3 3 ) ( 3 4 ) 第三章变分迭代法求解第二类的积分方程组1 2 如果用y j ( t ) 在t = s 处的t a y l o r 展开式的前m 项来近似代替并舍掉余项，将 此近似代入( 3 3 ) 式整理得 胁) 一妻j = l 妻r = o 粉s ) 【z 1 槲m - 5 ) r d 司吲s ) ，渊，2 ，m ( 3 5 ) 如果上式中的积分项可以求出，那么就将( 3 3 ) 式转化为可解的常微分方程组， 当然这还需要构造一定数目的边值条件。为此，对( 3 3 ) 式两边求导得： ( s ) = 9 ：( s ) + ，( s ，t ) f j ( t ) d t ， ( 3 6 ) - ，o = 二 ； 枞s ) = 批) + z 善掣( s ，蝴灿， ( 3 7 ) 其中，锚( i n 。( s ，) = o k t j ( s ，o a s m 将( 3 6 ) ( 3 7 ) 中的f a t ) 用f a s ) 代替得到： 胁) - o 善龇啪蝴) 瑚s ) ， ( 3 8 ) ； 烈s ) - r i o 善尼批州蝴) 2 批) ， ( 3 9 ) 这样( 3 8 ) ( 3 9 ) 与( 3 5 ) 式联立得到一个仇阶的线性代数方程组，并且可以求得 分析解和数值解。但是这种方法也存在一定的缺陷：首先因为 ( s ) 与爿( s ) 不 是独立的，方程组有时未必有解：其次，利用t a y l o r 展开式近似时，取得项数 多了计算会很烦琐甚至无解，项数少了又很难保证精度。本文提出用变分迭代 的方法来求解积分方程组，在简单的两三步迭代之后就可以得到远远优于文献 【17 】f 2 9 1 中的结果。 3 2 v i m 法求解积分方程组 由变分迭代法的基本思想，我们知道应用v i m 法的关键是要有导数项然后 通过变分原理及限制变分的方法求得l a g r a n g e 乘子入，为此我们首先通过对方 程组两边求一次导数，得到相应的等价问题，再对该问题应用变分迭代法求解。 第三章变分迭代法求解第二类的积分方程组 1 3 算法3 1 ( v i m 算法) 通过对方程组似砂何纠两边求导得到： ( s ) = g 7 ( s ) + 琏8 ，t ) f ( t ) d t ，0 s 1 ( 3 1 0 ) ( s ) = g ( s ) + k ( s ，s ) f ( s ) + 琏( s ，t ) f ( t ) d t ，0 s 1 ( 3 1 1 ) 根据变分迭代法的原理，为了求解p _ 砂式和似j f ，我们构造下面形式的修 p 8r l r + 1 ( s ) = r ( s ) + a ( s ，7 ) 咒( 7 - ) 一g ，( 7 ) 一群t ，亡) r ( 亡) 出) d 7 ，( 3 1 2 ) j 0 ，0 r + l c s ，= r c s ，+ 上8a c s 7 ，t e c 7 ，一g ，c 7 卜k c 丁，7 - ) r ( 7 - ) 一z 下群( 7 f n ) 。d 3 r ， 3 d ，r ， 这里的下标n 表示迭代次数 通过对变量足( s ) 取变分，并注意到6 r ( o ) = 0 ，我们可以得到迭代格式： ，1 8，上 r + l ( s ) = r ( s ) 一 ( 7 ) 一g ，( 7 - ) 一群t ，t ) f n ( t ) d t d r ， ( 3 1 4 ) j 0j 0 r + 1 c s ，= r c s ，一z 。t 只c 7 ，一g ，( 丁，一k 7 ，r ( 7 ) 一r 群( 兀t ) r ( 亡) d 。t 3 d 1 t 5 , ， 下面我们通过两个具体的数值例子来阐述这一求解的过程。 准确解为： = 9 1 ( s ) + 詹( s t ) 3 f l ( t ) d t + 詹( s t ) 2 f 2 ( t ) d t ， ( o ) = 0 ， = 仍( s ) + j ：( s t ) 4 f x ( t ) d t + 片( s t ) 3 f 2 ( t ) d t ，2 ( o ) = 0 ， ( 3 1 6 ) 夕。( s ) = 1 一丽1 1s + 丢s 2 一亏1 s 3 仍( s ) = 一亏1 一丽4 1 s+82 q - 2 1 3 2 s a 一1 s 4 ( s ) = 8 2 ， ( s ) = 一s + s 2 + s 3 0 0 厶 ，、l ，中 其 第三章变分迭代法求解第二类的积分方程组1 4 通过对方程两边求导数得： 爿( s ) = 9 ( s ) + 詹3 ( s o v , ( o a t + 詹2 ( 8 一t ) a ( t ) d t ， 以( s ) = 必( s ) + f 0 14 ( s t ) 3 f l ( t ) d t + 詹3 ( 8 一t ) 2 f 2 ( t ) d t ， 为了表达简单我们引入几个记号： r ( 厶) b ( 厶) ( 3 1 7 ) = 鲥s ) + 1 3 ( s 叫2 m 啪+ 1 2 ( s 叫刖她n _ 0 1 ，啦1 8 ) = 必( s ) + 0 1 4 ( s 一亡) 3 ( t ) m + 13 ( s t ) 2 ，2 ( t ) m ，佗= 。，1 ，2 ，( 3 - 1 9 ) n + 1 = n +，1 n + 12 ，1 n + 厶+ 1 = 厶n + 选取初始迭代： j j j j a ( t ) 【爿n ) 一日( ( 亡) ) 】d t ，佗= 0 ，1 ，2 ， a ( t ) 【尼n ( ) 一易( ，n ( 亡) ) 】d t ，n = 0 ，1 ，2 ， o = a x ，厶= 6 z ， 其中a 、b 为待定参数。 在式( 3 1 8 ) ( 3 1 9 ) 中令n = 0 得： 只( 如) = 夕i ( s ) + z 13 ( s z ) 2 。( ) d + j 厂0 12 ( s 一亡) ( z ) 出j o h i = o + 入( 亡) 【片o ( t ) 一f l ( f o ( t ) ) d t j 0 由变分原理可得入( ) = - 1 把式( 3 2 2 ) 代入式( 3 2 3 ) 中得： 12 丽1s ( 一2 2 + 1 0 0 s 一2 0 s 2 + l o b ( 一4 + 3 s ) + 1 5 n ( 3 4 s + 2 s 2 ) ) 同理可得： ( 3 2 0 ) ( 3 2 1 ) ( 3 2 2 ) ( 3 2 3 ) ( 3 2 4 ) f 2 1 = 击3 ( _ 4 1 + 9 s + 1 1 5 s 2 - 2 0 s 3 - 1 _ 1 5 b ( 3 - 4 s + 2 8 2 ) + n ( 一4 8 + 9 0 s 一8 0 s 2 + 3 0 s 3 ) ) ( 3 2 5 ) 将初始条件 ( o ) = 0 ，a ( o ) = 0 代入( 3 2 4 ) ( 3 2 5 ) 得： 1 , 1 ( o ) f 2 , ( o ) = o ， =o ( 3 2 6 ) 第三章变分迭代法求解第二类的积分方程组 1 5 表3 1 ：例1 的数值结果 s e ( 6 ( s ) )e ( ，2 ( s ) ) oo0 0 22 4 4 7 6 5 争31 3 4 9 7 5 e - 3 0 43 7 5 9 3 0 争32 2 7 0 3 6 e 3 0 64 2 7 11 5 e - 32 8 7 1 6 3 e - 3 0 84 3 1 6 9 9 争33 2 4 6 4 8 e - 3 1 04 2 3 2 2 1 争33 4 7 1 0 9 e _ 3 由此可以看出初始条件是自动满足的，也就是说方程组( 3 1 6 ) 的解是不依赖于 参数a 和b 的，从而我们可以任意选取a 和b 的值，这里取a = 1 ，b = 1 ，得 t = 一丽1 7 s + 丢s 2 + 百8 3 ，2 l = 一而1 1 s + 互1 0 3 s 2 + 西1 3 5 a + 百8 4 - 7 6 8 7 1 2 5 4 7 9 1 。 6 7 。 22 厕s + 面藏而s 一丽s 。 ， 2 9 2 5 3 6 7 6 3 4 1 5 9 ，1 2 6 4 8 4 3 ， 6 7 肠。3 0 2 4 0 0 0 s + 虿丽s + i 菊丽s 。一4 7 - 2 5 s 4 ，1 3 2 1 6 1 2 8 0 0s + 1 2 0 9 6 0 0 0s 。一丽s 。 ，2 3 2s+矿一vvv。-1587600002 4 1 9 2 0 0 0 7 2 5 7 6 0 0 0 7 2 5 7 6 0 0 s q j w。 。 v。 表l 给出t - - 次迭代的数值结果，其中e ( f i ( s ) ) i = 1 ，2 表示逼近解与真实解 ( s ) 在8 点处的绝对误差。从表中可以看出经过三步迭代就得到了较好的精 度。 例3 2 考虑下面的v o l t e r r a 型积分方程组 j ( s ) = 夕1 ( s ) + 片( s t ) 3 f 1 ( t ) d t + 片( s t ) 2 f 2 ( t ) d t ， 【，2 ( s ) = 9 2 ( s ) + 石( s 一) 4 6 ( t ) d t + 片( s t ) 3 a ( t ) d t ， 、l j ， 723 ， ，fk 1 1 = = 、-，、l， 0 0 ，j， 如 第三章变分迭代法求解第二类的积分方程组 1 6 其中， 方程组的精确解为： 9 1 ( s ) = 1 + s 2 一百8 3 一百8 4 ， 9 2 ( s ) = 1 + 8 - - 8 2 一百8 4 一百8 5 一高 1 ( 8 ) = 1 + s 2 ，厶( s ) = 1 + s 一8 3 按例1 中同样的方法我们得到： f 1 ( 厶) = f 2 ( 厶) = 1 n + 1 = 如n + 1 = 鳅s ) + z 5 3 ( s 叫2 m 踟hz 8 2 ( s 叫m 悯佗= 0 1 1 ，2 仕2 勘 9 ：( s ) + 0 13 ( s 一) 2 n ( 芒) d + 0 12 ( s t ) f 2 n ( t ) d 亡，礼= 。，1 ，2 ( 3 伪) n + a ( t ) 【爿n ( 亡) 一目( 厶( z ) ) 】d 亡，礼= 0 ，1 ，2 ， ( 3 3 0 ) ，2 n + 入( 亡) 【以n ( 亡) 一f 2 ( a ( t ) ) 池，钆= 0 ，1 ，2 ， ( 3 3 1 ) 应用变分原理易得入= 一1 。选取初始迭代 o8 ) = 1 + a 8 ，知( s ) = 1 + b s ，整 理得： 1 1 2 丽1 ( 6 0 + 6 0 s 2 + 5 ( 一l + 6 ) s 4 + 3 a s h ) ( 3 3 2 ) 厶。= ( 1 + s - 8 3 + 嘉( 一1 + 6 ) s 5 + 丽a 8 6 面8 7 ( 3 3 3 )