（计算数学专业论文）曲线坐标系下poisson方程的局部间断有限元方法研究.pdf

摘要 摘要 本文着重探讨p o i s s o n 方程在在柱坐标系或球坐标系下的数值求解，使用的数 值方法是局部间断有限元( l o c a ld i s c o n t i n u o u sg a l e r k i n ，简称l d g ) 方法，此时 的p o i s s o n 方程系数在r = 0 处产生奇性。对p o i s s o n 方程的球对称或柱对称问题，我 们设计了三种l d g 格式，其中l d g 方法i 是工作的起点。方法i 和方法均基于变分 等式的坐标变换，而仅仅在于检验函数空间的选取略有不同方法i 的检验函 数空间为加权的分片多项式，而方法i i 的检验函数空间为普通的分片多项式。为 克服系数奇性的困难，方法在靠近零点的单元上，对检验函数空间加权处理，使 得格式积分存在。方法与前两者的区别仅仅在于辅助变量的选取方式，力图扩 大可以数值求解的函数范围。我们还讨论了柱对称等二维问题的l d g 方法，针对 问题的特点将直角坐标系中的弱形式变换到不同的坐标系。本文进行了大量的数 值实验，详细比较了各种格式的误差大小和收敛阶。数值实验表明l d g 方法可以 用于求解奇异系数椭圆问题，并得到满意的数值效果。当采用分片k 次多项式求 解光滑解时，原始变量的误差可以达到后+ 1 阶，而辅助变量的误差也达到了k 阶。 同时，数值实验表明l d g 方法也可用于求解非光滑解。 关键词：局部间断有限元奇异系数椭圆方程数值比较 a b s t r a c t a b s t r a c t i nt h i st h e s i sw ec o n c e n t r a t ee f f o r t so na p p l y i n gt h el o c a ld i s c o n t i n u o u sg a l e r k i n ( l d g ) m e t h o dt on u m e r i c a l l ys o l v et h ep o i s s o ne q u a t i o n si nc y l i n d r i c a la n ds p h e r i c a l c o o r d i n a t e s i nt h e s ec o o r d i n a t e s ，t h ec o e f f i c i e n t so ft h ee q u a t i o n sa r es i n g u l a ra tt h e p o i n tr = 0 a sf o rt h ep r o b l e m sw h i c ha r es p h e r i c a l l yo rc y l i n d r i c a l l ys y m m e t r i c ，w e d e s i g nt h r e el d g s c h e m e sa n dt h el d gm e t h o dii st h es t a r t i n gp o i n to ft h ew o r k t h e l d gm e t h o dia n d1 1a l eb o t hb a s e do nt h e c o o r d i n a t et r a n s f o r m a t i o no ft h ev a r i a t i o n a l e q u a t i o nb u tt h e ya l ed i f f e r e n tf r o me a c ho t h e ri nt h ec h o i c eo ft e s ts p a c e n et e s t s p a c eo ft h el d g m e t h o dii st h es p a c eo fw e i g h e dp i e c e w i s ep o l y n o m i a l sw h i l et h e o n ef o rt h el d gm e t h o di ii st h es p a c eo fu s u a lp i e c e w i s ep o l y n o m i a l s i no r d e rt o c o n q u e rt h ed i f f i c u l t yo ft h es i n g u l a rc o e f f i c i e n ta n dm a k es u r et h a tt h ei n t e g r a le x i s t ， t h el d gm e t h o d1 1m a k eal i t t l em o d i f i c a t i o no ft h et e s ts p a c ea n dt h ew e i g h e ds p a c e i su s e di nt h ee l e m e n tn e a r7 = 0 t h el d gm e t h o di nd i f f e r sf r o mt h eo t h e rt w o m e t h o d sb yt h ew a yo fs e l e c t i n gt h ea u x i l i a r yv a r i a b l e ，t y i n gt os o l v em u c hm o r ep r o b l e m sb yt h em e t h o d s o m ep r o b l e m sw h i c ha r es i m p l i f i e di n t ot w o d i m e n s i o n a lo n e b e c a u s eo fs o m ek i n do fs y m m e t r y , s u c ha sc y l i n d r i c a l l ys y m m e t r i ca n ds oo n ，a l ea l s o c o n s i d e r e di nt h i sp a p e ra c c o r d i n gt ot h eb a c k g r o u n do fe a c hp r o b l e m ，w eg e tt h e w e a kf o r mb yt r a n s f o r m i n gt h ew e a kf o r mi nt h ec a r t e s i a nc o o r d i n a t e si n t ot h e a p p r o p r i a t ec o o r d i n a t e s w em a k eag r e a td e a lo fn u m e r i c a lc o m p a r i s o no nt h ev a l u eo ft h e e r r o ra n do r d e ro fc o n v e r g e n c eb e t w e e nv a r i o u ss c h e m e s a n dt h er e s u l ts h o w st h a tt h e l d gm e t h o dc a nb ea p p l i e dt ot h ee l l i p t i cp r o b l e m sw i t hs i n g u l a rc o e f f i c i e n t sa n dg e t s a t i s f y i n gn u m e r i c a ls o l u t i o n s w h e np i e c e w i s ep o l y n o m i a l sw i t hd e g r e eo fka r eu s e d t os o l v es m o o t hp r o b l e m s ，t h ea c c u r a c yt ot h e p r i m a lv a r i a b l ei si n ( 尼+ 1 ) t ho r d e r , a n d t h ea c c u r a c yt ot h ea u x i l i a r yv a r i a b l ec a nr e a c h 七t ho r d e r t h en u m e r i c a le x p e r i m e n t s a l s os h o w st h a tt h el d gm e t h o dc a l lb eu s e dt or e s o l v et h en o n - s m o o t hs o l u t i o n s k e yw o r d s ：l o c a ld i s c o n t i n u o u sg a l e r k i n s i n g u l a rc o e 所c i e n t e l l i p t i ce q u a - t i o nn u m e r i c a lc o m p a r i s o n 南开大学学位论文使用授权书 根据南开大学关于研究生学位论文收藏和利用管理办法，我校的博士、硕士学位获 得者均须向南开大学提交本人的学位论文纸质本及相应电子版。 本人完全了解南开大学有关研究生学位论文收藏和利用的管理规定。南开大学拥有在 著作权法规定范围内的学位论文使用权，即：( 1 ) 学位获得者必须按规定提交学位论文( 包 括纸质印刷本及电子版) ，学校可以采用影印、缩印或其他复制手段保存研究生学位论文， 并编入南开大学博硕士学位论文全文数据库；( 2 ) 为教学和科研目的，学校可以将公开 的学位论文作为资料在图书馆等场所提供校内师生阅读，在校园网上提供论文目录检索、文 摘以及论文全文浏览、下载等免费信息服务；( 3 ) 根据教育部有关规定，南开大学向教育部 指定单位提交公开的学位论文：( 4 ) 学位论文作者授权学校向中国科技信息研究所和中国学 术期刊( 光盘) 电子出版社提交规定范围的学位论文及其电子版并收入相应学位论文数据库， 通过其相关网站对外进行信息服务。同时本人保留在其他媒体发表论文的权利。 非公开学位论文，保密期限内不向外提交和提供服务，解密后提交和服务同公开论文。 论文电子版提交至校图书馆网站：h 仕p ：2 0 2 1 1 3 2 0 1 6 1 ：8 0 0 1 i n d e x h t m 。 本人承诺：本人的学位论文是在南开大学学习期间创作完成的作品，并已通过论文答辩； 提交的学位论文电子版与纸质本论文的内容一致，如因不同造成不良后果由本人自负。+ 本人同意遵守上述规定。本授权书签署一式两份，由研究生院和图书馆留存。 作者暨授权人签字： 2 0 年月日 南开大学研究生学位论文作者信息 论文题目 姓名学号答辩日期年月日 论文类别博士口 学历硕士口硕士专业学位口 高校教师口同等学力硕士口 院系所 专 业 联系电话e m a i l 通信地址( 邮编) ： 备注：是否批准为非公开论文 注：本授权书适用我校授予的所有博士、硕士的学位论文。由作者填写( 一式两份) 签字后交校图书 馆，非公开学位论文须附南开大学研究生申请非公开学位论文审批表。 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体，均己在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 学位论文作者签名： 年月日 第一章引言 第一章引言 1 1 问题背景 p o i s s o n 方程的数值模拟在流体力学计算中非常重要，本文关注其在具有某种 对称性( 轴对称，旋转对称) 几何区域上的数值模拟。这类问题具有很多的实际 背景。比如在化工领域中常见的发生在圆柱形或者球形催化剂颗粒上的稳态不可 逆等温反应问题，当催化剂颗粒上的的反应物浓度仅在半径方向上有浓度变化， 那么由于区域的对称性，从而实际问题的解也具有相应的圆柱旋转对称性或者球 旋转对称性。 在曲线坐标系中来进行p o i s s o n 方程的求解，主要有如下两个优点： 对于二维几何区域( 如圆盘、圆环、扇形区域) ，或者三维区域( 如圆柱体、球 体) 等曲边区域，如果直接在直角坐标系中采用有限元方法求解，通常的( 直 边) 网格剖分会带来求解区域的近似，从而限制了高精度方法的应用。然而， 在曲线坐标系中上述区域转化为直边区域，区域剖分非常简单地避免区域近 似带来的误差。 对于具有某种对称性的真解( 区域同时具有对称性) ，l a p l a c e 方程在曲线坐标 系中所依赖的独立变量个数会少于直角坐标系中的变量个数。因而离散问题 的未知数个数会显著下降，从而降低求解问题的计算量，同时减少或避免数 值解的非对称性误差。 但在，在曲线坐标系下p o i s s o n 方程将会带有奇异的系数，这使得数值模拟和 理论分析都产生新的困难。如何采用合适的数值方法克服奇异系数的困难，保持 降维求解的优点，是一个非常有意义的工作。目前已经有很多关于这方面的工作， 详细内容见第三小节。 本文将针对具有不同边界条件的一维边值问题给出了数值上完全可行的三种 局部间断g a l e r k i n ( l o c a ld i s c o n t i n u o u sg a l e r k i nm e t h o d ，简称l d g ) 格式，并给 出些收敛阶数值结果和简略点评各种l d g 方法的优劣；然后，我们将对三类降 维后的奇异系数二维问题给出具体的l d g 方法的实现以及数值实验。本文工作的 第一章引言 重点在于设计一些格式，并通过直观的数值结果给出方法的优劣性评论；具体的 理论分析暂时不做考虑。 图1 1 柱坐标系( r ，0 ，z ) 图示 图1 2 球坐标系( r 0 ，妒) 图示 1 2 曲线坐标系中l a p l a c e 算子的简化 针对几种常见的对称性问题，本节给出柱坐标系与球坐标系的的三维l a p l a c e 算子的简化表达式。 1 2 1 坐标变换 首先给出三种坐标系中的散度与梯度算子的表达式【2 2 】，其中柱坐标系与球 坐标系见图1 1 与图1 2 。 2 第一章引言 坐标系名称向量v 的散度算子分量标量u 的梯度算子分量 v v 】z = 器 w l 霉= 赛 直角坐标( z ，y ，z ) v v 】掣= 筹 v 乱】= 器 v v 】：= 饕 w l ：= 磐 柱坐标( r ，0 ，z ) 玑v - v v 】b r 三i 鏊m ) 黜三蓦 【 = 三r 纽。_ 0 0 v 叫：= 爱 v v 】z = 警 v u 】，= 舒 球坐标( r ，0 ，妒) v v 】伊= 南茄( s 口2 ) v i n 7 0 蚴 黜三；y 嘉o u 【v v 】i p = 南舞( v 札 妒= 丽瓦 表1 1 v = 【v l ，v 2 ，忱】的散度v v ，以及札的梯度v u 根据表1 1 ，三种坐标系下l a p l a c e 算子可以表述如下： 1 直角坐标系： v v = ( e 。丕+ 唧瓦0 + e ：丕) ( e z 瓦0 + 岛瓦0 + 如瓦0 ) ：黑+ 旦+ 一0 2 (11)oa z 2 y 2 。o z 2 ”一7 2 柱坐标系： v v = 3 球坐标系： ，0 10 0 、 【岛历+ 呦历+ e z 瓦j ( 1 2 ) v - v = ( e r 芦1 而0 酽m 口志鼢叫蝇志南) ( e ，丽0 + e p 1 历0 + e 妒丽1 面0 )【、e r 丽怕p 历托妒丽历7 = ；10 ( r 2 导) 十丽1 品( s m 口嘉) + 丽1 硒0 2 m 3 ， 不难看到：l a p l a c e 算子在柱面坐标系中的；畚和专杀都具有奇异系数( 因为 当r o + 时，；，1 一o 。) 。球面坐标系中也有类似的情况。在数值格式的设计中， 3 、 a瓦：百 d o 竺舭 + a一硼严一萨一删沪一舻 勖 1 一产 + + 、， 一 a 丽 a一加1一r 岛 户一产 厶r 竺舭 第。章引言 我们必须要克服这个困难，并探讨对数值效果的影响。 1 2 2 l a p l a c e 摹i 子的简化 本节给出一些特殊情形下l a p l a c e 舅 子的简化。 对于柱坐标系( r ，0 ，z ) ，如果问题的解关于某( 几) 个独立变量无关，问题可 以降维得到简化。具体地讲，问题可以总结为以下三类： 塞= 舅= o ， 号乱= 昙昙( r 赛) c 嘉一o ，令o r ( r 赛) + 象 m 5 ， 爱= 0 ，兮乱= 吾嘉( r 赛) + 1 丽0 2 u 6 ， 对于球坐标系( r ，0 ，妒) ，如果问题的解关于球坐标系的某( 几) 个独立变量无 关，问题也可以降维得到简化。具体来讲，问题可以总结为以下两类： 嘉= 嚣一o ，兮去未( r 2 等) 舅一o ，号刍杀( r 2 筹) + 丽1 孙n 口品) ( 1 7 ) ( 1 8 ) 本文第二章将对( 1 4 ) 与( 1 7 ) 类型的一维奇异系数椭圆方程进行l d g 方法的 数值求解，着重讨论给出的三种数值方法以及数值效果的比较。在第三章中，我 们分别对二维问题( 1 5 ) ，( 1 6 ) 以及( 1 8 ) 用l d g 格式进行数值求解。值得注意的是， 表达式( 1 6 ) 以及( 1 8 ) 中的独立变量虽然都是( n 口) ，但因为所在的坐标系不同，有 着不同的含义。具体来说，首先见图1 1 所示，柱坐标系下，考虑一个三维圆柱状的 物理区域。如果解乱沿柱向导数为零，那么用任意一个垂直于轴向的平面截柱子都 得到一个圆盘，口不随这些圆的位置变化，即u 只依赖于( r ，0 ) ，这时u 化为( 1 6 ) ； 再看图1 2 ，在球坐标系下考虑一个三维球状的物理区域。如果解u 沿方向导数为 零，即u 沿z 轴旋转而解不变。那么在圆内取任意一个以z 轴为直径的半圆，将这个 半圆绕z 旋转，u 不随半圆位置而变化或者说u 只依赖于( n0 ) ，这时u 化为( 1 8 ) 。 1 3 求解奇异系数方程的历史回顾 奇异系数椭圆方程的数值求解已经备受关注。关于一维定解问题( 1 4 ) 与( 1 7 ) 的 4 第一章引言 数值方法主要有差分法、配置法和有限元方法。下面分别简要叙述之。 ( i ) 差分法：差分方法是数值求解偏微分方程定解问题的经典方法。其基本 思想是把连续的定解区域用有限个离散点( 节点) 构成的网格来代替，把连续定解 区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似，把原方程和 定解条件中的微商用差商来近似，于是原微分方程和定解条件就近似地代之以 代数方程组，即有限差分方程组，解此方程组就可以得到原问题在离散点上的 近似解。然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近 似解。j a m e t 在 1 2 】中根据方程的两种等价表达方式给出了两种经典的三点差分 格式并着重对0 0 ，但是实际计算我们用的是数值积分公 式，所以2 1 3 中第二项的积分是不会产生问题的，即实际计算中我们采用g a u s s 数 值积分公式，故不会遇到分母为零的情形。图中的数据点包括盯= 0 的情形。 当形状因子n = l 时，我们不难从图2 3 和图2 4 中看到如下现象。就l 2 均方误 差度量而言，有 1 当有限元空间次数七= 1 时，若盯取值为o ，1 附近时，可以保证函数值绝对误 差比较理想，而o r 取值为0 5 左右可使导数误差比较小。 2 当有限元空间次数k = 2 时，若盯取值为 o ，1 】区间内的任何数时，都可以同时 1 3 第二章一维奇异系数椭圆方程题的三种l d g 方法 七礼 孔一“ l f l o r d e r 乱一让 1 1 2 o r d e r i钆一乱 j | o o o r d e r 2 03 9 2 9 4 e 0 0 33 8 2 6 1 e 0 0 31 3 9 1 3 e 0 0 2 14 07 6 7 6 9 e 0 0 41 9 8 0 59 7 7 5 5 e 0 0 41 9 6 8 73 9 7 9 6 e 0 0 31 8 0 5 7 8 01 9 3 5 7 e 0 0 41 9 8 7 7 2 4 7 4 4 e - 0 0 41 9 8 2 l1 11 3 3 e 0 0 31 8 3 7 8 1 6 04 8 4 8 5 e 0 0 51 9 9 7 26 2 2 9 2 e 0 0 5 1 9 8 9 9 3 0 7 0 4 e 0 0 41 8 5 8 3 2 07 2 9 2 l e 0 0 59 7 2 5 9 e 0 0 53 31 2 3 e 0 0 4 24 09 1 9 6 5 e 0 0 62 9 8 7 2 1 2 2 8 8 e 0 0 52 9 8 4 64 3 0 2 8 e 0 0 52 9 4 4 5 8 0 1 1 5 3 5 e 0 0 62 9 9 5 l1 5 4 4 0 e 0 0 62 9 9 2 55 4 7 11 e 0 0 62 9 7 5 4 1 6 01 4 4 5l e 0 0 7 2 9 9 6 81 9 3 5 0 e 0 0 72 9 9 6 36 8 9 5 6 e 0 0 72 9 8 8 l 2 01 5 4 1 3 e 0 0 6 1 8 5 0 6 e 0 0 65 9 0 5 3 e 0 0 6 34 0 9 7 8 4 4 e 0 0 83 9 7 7 61 1 8 0 1 e 0 0 73 9 7 1 03 7 8 9 5 e 一0 0 73 。9 6 1 9 8 0 6 17 6 4 e 0 0 93 9 8 5 67 4 6 4 5 e 0 0 93 9 8 2 72 3 9 2 8 e 0 0 83 9 8 5 3 1 6 03 8 8 2 3 e 01 03 9 9 1 84 6 9 8 3 e 0103 9 8 9 81 5 0 2 0 e 0 0 93 9 9 3 7 2 02 3 3 7 8 e 0 0 82 9 9 3 4 e 一0 0 87 4 7 3 0 e 0 0 8 44 07 3 1 7 2 e 0 1 04 9 9 7 79 4 5 4 3 e 一0 1 04 9 8 4 72 4 3 8 9 e 0 0 94 9 3 7 4 8 02 2 8 9 9 e 01 14 9 9 7 92 9 6 9 9 e o1l4 9 9 2 57 7 8 6 6 e 0l l4 9 6 9 1 1 6 07 31 9 4 e 0 134 9 6 7 49 7 7 1 4 e 一0 1 34 9 2 5 72 6 5 9 l e 0 1 24 8 7 2 0 磊。仇 q q h l l l o r d e r q q h l l 2 o r d e r iq q h i | o 。 o r d e r 2 08 2 0 81 e 0 0 21 0 6 7 9 e 0 0 l3 3 4 3 5 e o o l 14 03 9 6 0 8 e - 0 0 21 0 5 1 35 1 9 6 7 e 0 0 21 0 3 9 11 6 0 4 7 e o o l 1 0 5 9 1 8 01 9 5 2 7 e 0 0 2 1 0 2 0 32 5 8 4 7 e 0 0 21 0 0 7 67 9 3 8 9 e 0 0 21 0 1 5 3 1 6 09 7 1 2 9 e 0 0 3 1 0 0 7 51 2 9 2 6 e 一0 0 20 9 9 9 73 9 5 8 9 e 0 0 21 0 0 3 8 2 02 2 6 0 5 e 0 0 32 7 8 9 4 e 0 0 38 4 8 0 2 e 0 0 3 24 05 5 4 0 1e 0 0 4 2 0 2 8 76 8 6 4 0 e 0 0 42 0 2 2 92 0 4 3 6 e 0 0 32 0 5 3 0 8 01 3 8 l l e 0 0 42 0 0 4 l1 7 1 2 5 e 0 0 42 0 0 2 95 0 3 8 8 e 0 0 42 0 2 0 0 1 6 03 4 5 3 7 e 0 0 5 1 9 9 9 64 2 8 31 e 0 0 51 9 9 9 41 2 5 2 8 e 0 0 42 0 0 8 0 2 04 0 7 8 3 e 0 0 5 5 8 5 4 2 e 0 0 53 7 5 6 0 e 0 0 4 34 04 8 2 9 l e 0 0 63 0 7 8 l6 9 8 4 4 e 0 0 63 0 6 7 34 5 3 6 5 e 一0 0 53 0 4 9 5 8 05 9 0 4 2 e 0 0 73 0 3 2 08 5 8 51 e 0 0 73 0 2 4 25 6 2 0 8 e 0 0 63 0 1 2 7 1 6 07 3 1 1 2 e 0 0 83 0 1 3 61 0 6 6 2 e 0 0 73 0 0 9 47 0 1 0 5 e 0 0 73 0 0 3 2 2 07 1 0 4 2 e 0 0 78 7 7 7 8 e 0 0 72 1 9 4 2 e 0 0 6 44 04 3 4 4 9 e 0 0 84 0 3 1 35 3 8 5 8 e 0 0 84 0 2 6 61 3 1 2 3 e 0 0 74 0 6 3 5 8 02 7 0 3 6 e 0 0 94 0 0 6 43 3 5 4 9 e 0 0 94 0 0 4 88 0 6 4 3 e 0 0 94 0 2 4 4 1 6 01 6 8 7 3 e 0 1 04 。0 0 2 12 0 9 5 6 e 0104 0 0 0 85 0 1 71 e 一0 1 04 0 0 6 6 表2 1l d g 方法i o = 1 , u u _ i l ( 上) ，q g ( 下) 的三1 ，l 2 ，l 。范数和精度阶。 1 4 第二章一维奇异系数椭圆方程题的三种l d g 方法 图2 1l d g 方法i ，a = 1 ，u u h ( 左) 与q q h ( 右) 通常l 2 误差的精度阶。 o r d _ d m 1 2 州冒一i u l 州曲d 口_ 1 2 m ，一i q q _ 图2 2l d g 方法i ，a = 2 ，让一钍 ( 左) 与g q h ( 右) 通常三2 误差的精度阶。 保证函数值与导数值的绝对误差比较理想。 3 当有限元空间次数k = 3 时，若盯取值在o 或者1 附近时，可以同时保证函数值 与导数值的绝对误差比较理想。 4 当有限元空间次数k = 4 时，若盯取值在0 ，1 ，2 或3 附近时，可以同时保证函数 值与导数值绝对误差比较理想。 根据以上依赖关系的分析，在数值精度阶计算中通常取仃= 1 。 对于形状因子a = 2 时的结论很类似，故此处不再详细说明。 对于形状因子a = l ，依次选取k = 1 ，2 ，3 ，4 次间断有限元空间，观察三种误 差度量下的精度阶。我们仍然给出误差阶图2 5 以及具体的误差表格2 2 。 从误差阶图2 5 或者从误差表格2 2 中，我们清楚看到对于l d g 方法，当当间 断有限元空间的次数为k 时，函数值误差u 一乱i l 在三种通常误差度量下的误差阶 1 5 第二章一维奇异系数椭圆方程题的三种l d g 方法 庇n 扎一2 h l l l o r d e r 一u h f l 2 o r d e r i j 让一饥 o r d e r 2 03 3 0 18 e 0 0 34 0 9 9 5 e 0 0 31 1 7 3 2 e 0 0 2 14 08 4 1 7 1 e 0 0 41 9 7 1 91 0 5 3 7 e 0 0 31 9 6 0 02 9 l l8 e 0 0 32 o 1 0 4 8 0 2 12 4 6 e 0 0 41 9 8 6 12 6 8 11 e 0 0 41 9 7 4 68 0 7 2le 0 0 41 8 5 0 9 1 6 05 3 4 3 3 e 0 0 5 1 9 9 1 46 7 7 81 e 0 0 51 9 8 3 92 2 8 7 7 e 0 0 41 8 1 9 0 2 07 4 3 0 0 e 0 0 59 9 5 3 5 e 0 0 53 5 3l2 e 0 0 4 24 09 2 9 1 5 e 0 0 62 9 9 9 4 1 2 4 3 4 e 0 0 53 0 0 1 04 4 51 7 e 0 0 52 9 8 7 7 8 01 1 5 9 8 e 0 0 63 0 0 2 01 5 5 3 2 e 一0 0 63 0 0 0 95 5 6 8 2 e 0 0 62 9 9 9 1 1 6 01 4 4 9 2 e 0 0 73 o 0 0 61 9 4 0 8 e 一0 0 73 o 0 0 56 9 5 6 1 e 一0 0 73 0 0 0 9 2 0 1 5 8 0 4 e 一0 0 61 9 1 3 8 e 0 0 66 1 0 6 7 e 一0 0 6 34 09 9 3 0 2 e 0 0 83 9 9 2 31 2 0 5 9 e 0 0 73 9 8 8 24 0 0 0 0 e 0 0 73 9 3 2 3 8 0 6 2 2 8 9 e 0 0 93 9 9 4 87 5 6 4 5 e 0 0 93 9 9 4 72 5 5 6 4 e 0 0 83 9 6 7 8 1 6 03 9 0 0 8 e 一0 1 03 9 9 7 14 7 3 5 7 e 0103 9 9 7 61 6 0 7 0 e 一0 0 93 9 9 1 7 2 02 3 5 3 4 e 0 0 83 0 5 6 8 e 0 0 88 0 2 5 9 e 0 0 8 44 07 3 3 6 3 e 0 1 05 0 0 3 59 5 5 5 4 e 0 1 04 9 9 9 52 5 2 9 4 e 0 0 94 9 8 7 8 8 02 2 9 3 3 e 0 114 9 9 9 52 9 8 6 0 e 0l l5 0 0 0 l7 9 3 3i e 一0 l l4 9 9 4 8 1 6 07 4 3 5 5 e 0 134 9 4 6 99 8 0 11 e 0 1 34 9 2 9 12 6 0 6 9 e 0 124 9 2 7 5 南佗 q q h 1 l o r d e r i i q 一吼f | 2 o r d e r l i q q h l l o o o r d e r 2 08 6 8 5 5 e 0 0 21 1 6 7 4 e 0 0 15 4 0 0 3 e o o l 14 04 0 8 5 0 e 0 0 2 1 0 8 8 35 4 6 3 2 e - 0 0 2 1 0 9 5 52 6 5 2 8 e o ol 1 0 2 5 5 8 0 1 9 8 4 l e 0 0 21 0 4 1 82 6 5 31 e 0 0 21 0 4 2 01 3 2 0 4 e 0 0 11 0 0 6 5 1 6 09 7 9 1 8 e 0 0 31 0 1 8 91 3 0 9 9 e 0 0 21 0 1 8 36 5 9 4 8 e 0 0 21 0 0 1 6 2 02 2 5 4 1 e 0 0 3 2 7 8 4 6 e 0 0 3 8 0 4 5 6 e 0 0 3 2 4 0 5 5 3 9 6 e 一0 0 42 0 2 4 76 8 6 4 0 e 0 0 42 0 2 0 32 0 0 0 2 e 0 0 3 2 0 0 8 1 8 01 3 8 1 3 e - 0 0 42 0 0 3 81 7 1 2 6 e 0 0 42 0 0 2 84 9 9 7 9 e 0 0 42 0 0 0 7 1 6 03 4 5 4 0 e 0 0 51 9 9 9 74 2 8 3 2 e 0 0 51 9 9 9 51 2 4 8 5 e 0 0 42 0 0 1 l 2 04 3 9 3 5 e 0 0 56 8 8 4 5 e 一0 0 56 5 6 9 2 e 0 0 4 34 05 0 2 4 7 e 一0 0 63 1 2 8 37 6 8 6 l e 0 0 63 1 6 3 08 1 0 5 6 e 0 0 53 0 1 8 7 8 06 0 2 4 0 e 0 0 73 0 6 0 29 0 4 2 4 e 一0 0 73 0 8 7 51 0 0 9 9 e 0 0 53 0 0 4 8 1 6 07 3 8 3 9 e 0 0 83 0 2 8 3 1 0 9 5 3 e 0 0 73 0 4 5 3 1 2 6 1 3 e 0 0 63 0 0 1 2 2 07 0 9 3 9 e 一0 0 78 7 5 3 5 e 0 0 72 0 4 9 7 e 0 0 6 44 04 3 4 5 4 e 0 0 84 0 2 9 05 3 8 4 8 e 0 0 84 0 2 2 91 2 7 4 9 e 0 0 74 0 0 7 0 8 02 7 0 4 2 e 0 0 94 0 0 6 23 3 5 4 9 e 0 0 94 0 0 4 57 9 6 5 2 e 0 0 94 o 0 0 5 1 6 01 6 8 8 5 e 0 1 04 0 0 1 42 0 9 5 7 e 0 1 04 0 0 0 84 9 8 5 3 e 0103 9 9 7 9 表2 2l d g 方法i i ，口= 1 , u 一 u h ( 上) ，g 一吼( 下) 的l 1 ，三2 ，l 。范数和精度阶。 1 6 第二章一维奇异系数椭圆方程题的三种l d g 方法 都在七+ 1 附近，而导数值误差口一口 在三种通常误差度量下的误差阶都在k 附近。 计算还发现当形状因子a = 2 时收敛阶结论是完全相同的。其中图2 6 即是形 状因子a = 2 时的误差收敛阶图。 2 2 3l d g 方法i i i 对于光滑解的数值结果 对同样的测试问题，这里我们用l d g 方法来计算以观察计算效果。 首先我们注意到不同的中间变量，即当b 取不同时对方法误差的绝对值大小 有影响。这里我们给出当间断有限元空间次数k = 1 ，2 ，3 ，4 时，在h = 杀的均匀网 格上，函数值及导数值的通常l 2 误差，分别对若干个不同的b 值的变化关系图表。 大体上讲我们可以从图2 7 和图2 8 中看到对于三2 均方误差度量而言， 1 对于形状因子a = 1 时，当有限元空间次数k = 1 时，6 取值为o 附近时可以保 证函数值绝对误差比较理想，而对中间变量误差而言，6 取值为1 左右可以使 其比较小。当有限元空间次数k 1 时，6 取值为0 ，1 两个数附近时可以同时保 证函数值与中间变量误差比较小。 2 当形状因子a = 2 时，当有限元空间次数k = 1 时，6 取值为0 附近时可以保证 函数值绝对误差比较理想，而对导数值误差而言，6 取值为2 左右可以使得导 数误差比较小。当有限元空间次数k = 2 n t ，b l o t 值在f 0 ，1 1 时可以保证函数值 误差比较小，而6 取值在 1 ，2 】时导数值绝对误差比较理想。当有限元空间次 数k = 3 ，4 时，6 取值在0 ，l ，2 附近时可以保证函数值误差比较小，而b 取值在区 间1 ，2 1 时导数值绝对误差比较理想。 根据以上依赖关系的分析，在精度阶计算中取b = 1 ，对于形状因子a = 1 ， 依次选取k = 1 ，2 ，3 ，4 次间断有限元空间进行l d g 方法的数值求解。图2 9 以及表 格2 3 。给出了当a = 1 时三种度量下的方法精度阶。我们可以清楚地看到：对 于l d g 方法，当间断有限元空间的次数为k 时，函数值误差u u 危在三种度量 下的误差阶都在k + 1 附近，而导数值误差g 一吼在在三种通常误差度量下的误差 阶都在k 附近。 当形状因予a = 2 时，收敛阶结论几乎完全一致，见图2 1 0 。 2 3 三种l d g 方法的比较 关于三种l d g 方法误差表格中的数据，我们都采用了相同的通常的己1 ，三2 以 1 7 第二章一一维奇异系数椭圆方程题的三种l d g 方法 七礼 lu u h1 o r d e r l 札一乱 1 1 2 o r d e r 钆一钆h l i o o o r d e r 2 03 4 7 7 6 e 0 0 3 4 5 8 8 5 e 一0 0 32 71 2 5 e 0 0 2 14 08 7 7 4 8 e 0 0 41 9 8 6 71 1 6 8 7 e 0 0 31 9 7 3 18 2 0 1 8 e 0 0 31 7 2 5 6 8 02 19 6 2 e 0 0 41 9 9 8 42 9 5 4 9 e 0 0 41 9 8 3 72 4 3 9 3 e 一0 0 31 7 4 9 5 1 6 05 4 9 3 7 e 一0 0 51 9 9 9 27 4 4 0 5 e 一0 0 51 9 8 9 77 13 2 6 e 0 0 41 7 7 4 0 2 07 6 2 2 9 e 0 0 59 6 5 4 2 e 0 0 52 7 4 3 8 e 0 0 4 24 09 5 4 4 4 e 0 0 62 9 9 7 61 2 0 9 6 e 0 0 52 9 9 6 73 4 7 9 4 e 0 0 52 9 7 9 3 8 01 1 9 3 6 e 0 0 62 9 9 9 31 51 6 0 e 0 0 62 9 9 6 24 3 6 5 7 e 0 0 62 9 9 4 6 1 6 01 4 9 3 3 e 0 0 72 9 9 8 7 1 8 9 7 7 e - 0 0 72 9 9 7 95 4 7 1 0 e 0 0 72 9 9 6 3 2 01 5 4 9 7 e 0 0 62 11 8 4 e 0 0 61 9 3 6 3 e 一0 0 5 34 09 6 2 6 4 e 0 0 84 0 0 8 8 1 2 2 1 4 e 0 0 74 1 1 6 4 9 8 4 9 6 e 0 0 74 2 9 7 1 8 0 6 0 4 2 4 e 0 0 93 9 9 3 87 4 7 2 8 e 0 0 94 0 3 0 74 9 6 0 9 e 一0 0 84 3 1 1 4 1 6 03 7 9 5 2 e 0 1 03 9 9 2 94 6 5 6 9 e 0104 0 0 4 22 5 9 5 8 e 0 0 94 2 5 6 3 2 02 3 4 0 0 e 0 0 82 9 2 1 9 e 0 0 8 7 2 2 4 4 e 0 0 8 44 07 2 9 6 4 e 0105 0 0 3 29 1 1 3 l e 0 1 05 0 0 2 82 2 9 1 0 e 0 0 94 9 7 8 8 8 02 2 8