（应用数学专业论文）求解几类非线性矩阵方程的数值算法.pdf

博士学位论文 摘要 非线性矩阵方程的求解问题是近年来数值代数领域和非线性领域中研究和讨 论的重要课题之一，它在结构设计，系统识别，动态规划，自动控制理论，振动理 论，统计学等领域有着广泛的应用本篇博士论文研究了以下几类应用广泛的非 线性矩阵方程： 1 对称非线性矩阵方程： x + a + x 一1 a + b x 一1 b = ， 几 x + 禽x 一氏a = ，o 况1 。 i = 1 2 矩阵的平方根： x 2 一a ：0 3 二次矩阵方程t a x 2 + b x + c = o 本文的主要研究工作如下， 1 第1 章阐述了课题的研究意义和发展概况第2 章，第3 章，第4 章主要研 究了对称非线性矩阵方程，其中第2 章分析了它的h e n i l i t i a n 正定解的存在性和唯 一性，以及正定解的性质并给出了两个数值算法求它的最大h e n i l i t i 缸正定解第 3 章对最大h e m i t i a l l 正定解的敏感性和向后误差进行了分析第4 章讨论了更一 般的对称非线性矩阵方程 2 在科学与工程问题中，求矩阵的平方根是常见的问题，其中n e w t o n 法是比 较好的算法然而，在每n e w t o n 迭代步解l y a p l l n o v 方程比较困难和运算量大，简 化n e 毗o n 法运算量小但数值不稳定在第5 章，将精确线性搜索与n e w t o n 法结合 得到一个算法，该算法具有n 喇o n 法的优点且比n 僦o n 法有较高的效率将精 确线性搜索与简化n e w t o n 法相结合得到一个算法，该算法具有简化n e w t o n 法的 优点且比简化n e w t o n 法有较好的数值稳定性 3 第6 章、第7 章，第8 章主要研究了一般的二次矩阵方程第6 章在n e 吼o n 算法、精确线性搜索和s 啪a i l s k i i 技术基础上提出一个算法，它有局部立方收敛阶。 比n e w t o n 算法有更高的效率第7 章提出不精确n e w t o n 算法，在每迭代步它不需 要精确求s y l v e s t e r 方程的解但算法有超线性收敛第8 章提出了最速下降算法，它 有效避免了某些迭代值n 僦o n 迭代无法进行的情况 此博士论文得到了国家自然科学基金1 0 5 7 1 0 4 7 和教育部博士点基金2 0 0 6 0 5 3 2 0 1 4 的资助 求解几类非线性矩阵方程的数值算法 此博士论文用驴珏x 2 。软件打印 关键词，非线性矩阵方程；h e n n i t i a n 正定解；扰动分析；平方根；n e 毗o n 法；精 确线性搜索；a m a n s k i i 技术；s o r 算法；最速下降算法 a b s t r a c t t h ep r o b l 咖o fs o m n gn o n l i n e a rm a t r i xe q l l a t i o n si so n eo fi m p o i r t a n ti s 趴l e si t lt h e f i e l do fn u m e r i c a l 出g e b r aa n dn o n 1 i n e a rs c i e n c e si nr e c e n ty e a r s a c t l l a l l y ，i ti s 诵d e l y u s e di nm a i l yf i e l d ss u c ha ss t r u c t u r a ld e s i g n ，夥s t e mi d e n t i f i c a t i o n ，d y l l 锄i cp r o 孕a i n - m i n g ，a l l t o m a t i c sc o n t r o lt h e o v i b r a t i o nt h e o 啦s t a t l s t l c t h i sd i s s e r t a t i o nc o n s i d e r sm a i n l yt h ef o l l 傩r i n gn o n l i n e 盯m a t r i ) ce q l l a t l o n s ： 1 s 脚m e t r i cn o n l i n e a rm a t r i 】ce q l l a t i o n ， x + a x 一1 a + b + x 一1 b = ， x + 2 s q l l a r er o o to f am a t r i 】( ， t l 3 q 1 l a d r a t i cm a t r i xe q l l a t i o n ， q x 一氐a = j ，0 蠡1 x 2 一a = 0 a x 2 + b x + c = 0 t h em a j nr e 秘沧r 6 hr e s u l t so nt h i sd i s s e r t a t o n 跚汜a sf o l l o w s 1 w - es t a t et h er e s e a r c hs i g n i f i c a n c ea n dd e v e l o p m e n to f1 1 0 n l i n e a rm a t r i ) ( e q l l a t l o n s i nc h a p 锄1 c h 印t e r2 ，q l a p t e r3 觚dc l l 印t e r4m a i n i yc o n o e ma b 0 1 l tt h es 弦m m 啦 r i cn o n l i n e rm a t r 波e q l l t i o n s i i lc h a p t e r2 ，w es t u d ye ) c i s t e n c ea i l d1 l i i l q l l e n e 蹒o tl t s h e r i m i t i a np o s i t i v ed e f i n i t e l u t i o 璐，m o r e o v e r ，w er e v e a l 髑s e n t i a lp r o p e r t i e s 研t h e s e h e r i m i t i a np o s i t i v ed e f i n i t es o l u t i o 璐s i m u l t a n e i t y ，t w om l m e r i c a la 培o r l t h m s 盯e 昏啪 f o ro b t a i n i n gt h em a x i m a lp o s i t i v ed e l i n i t es o l u t i o n f o rt h em a x i i i l 8 jh e 珊i t i 锄p o s i t i v e d e 6 n i t es o l u t i o n ，w ei r r v 髑t i g a t ei t ss e n s i t i v i t yp r o p e r t ya n db a c k 瓢w de 1 1 r o ra n a l y 鼬sm c h a p t e r3 i nc h 印t e r4 ，w es t u d yt h eg e n e r a l 眄m m e t r i cn o n l m e a rm a t r l xe q l l a t l o n 2 t h ep r o b l e mo ff i n d i n gas q u a r er 0 0 t0 fam a t r i xc a nb eo f t e nm e t l ns c l e n t l n c a i l de n g i n e e r i n gp r o b l 锄s n e w t o n sa l g o r i t h mi st h ep o p u l a ra l g o r i t h mf o rf i n d i n gt h e s a u a r er o o to fam a t r i x h 们旧v e r ，i ti se x p e n s i v ea n dd i m c u l tt oo b t a i nt h e e ) c a c tf ；o l u t i o n 缸i ml y a p 邶1 0 ve q l l a t i o na te a c hn e 毗o ni t e r a t i v es t 印s i m p l i f i e dn e 毗0 n sa l g o r i t h m i sc h e a p e rt h a nn e 毗o na l g o r i t h ma i l di sp o o r 肌m e r i c a ls t a b i l i t y a c c o r d i n gt ot h e s e d e f e c t s ，an e wa l g o r i t h mi so b t a i n e d 坷i n c o 印o r a t i n g e x a c tl i n e 盯c h e si n t on e w t o n l s a l g o r i t h m ，i th 躺n o to n l yt h em 嘶to fn 哪t o n sa l g o r i t h m ，b u ta l s om o r e e t t i c l e n c yt n a n n e 毗o na l g o r i t h m an e wa l g o r i t h mi sg o t t e i lb yi n c o r p o r a t i o n g 以a c tl m e l ；e 盯c h e si n t o i v 谢 求解几类非线性矩阵方程的数值算法 s i m p l i f i e dn e w t o n sa l g o r i t h m i th 嬲n o to n l yt h em e r i to fs i m p l i f i e dn e w t o n sa l g o r i t h m ， b u ta l s ot h eb e t t e rs t a b i l i t yt h a ns i m p l i f i e dn e 吼o n sa 1 9 0 r i t h mi nc h a p t e r5 3 c h 印t e r6 ，c h a p t e r7a n dc h a p t e r8m a i n l yc o n c e ma b 0 1 l tt h eg e n e r a lq l l a d r a t i c m a t r i xe q u t i o n s i nc h 印t e r6 ，骶p r o p o s eaa l g o r i t h mb a s e do nn e 毗o na l g o r i t h m ，e x a c t l i n es e a r c h e f ；a i l ds a l a n s k i it e c h n i q l l e t h ea l l g o r i t h mh a sl o c a lc l l b i cc o i l v e r g e n c eo r d e r i t i sm o r ee m c i e n ta l g o r i t h mt h a nn e 毗o na l g o r i t h m 1 nc h 印t e r7 ，骶r e c a m m e n d 雠 i n 饮a c tn e 毗o na l g o r i t h m t h ea l g o r i t h m ，a te a c hi t e r a t i 、，es t 印，i sn o tt of ；o l 、，es y l v e s t e i e q u a t i o ne x a c t l y 锄ds l l p e r l i e a rc o n v e r g e n c e w bp r o p o f ；et h es t e 印e s td e o e s e n ta 1 9 0 r i t h m i nc h a p t e r8 t h ea l g o r i t h ma o i dt h ei m p o s s i b l es i t u a t i o no ft h en e w t o na l g o r i t h mf o r s o m ei t e r a t i v ev a h l e t h i sd i s s e n a t i o ni l ；s l l p p o r t e db yt h en a t u r 出s c i e n c ef b 眦l d a t i o no fc h i n a1 0 5 7 1 0 4 7 a i l dd o c t o r a t ef 0 1 l n d a t i o no ft h em i n i s t r yo fe d l l c a t i o no fc h i l l a2 0 0 6 0 5 3 2 0 1 4 t h i sd i s s e r t a t i o ni st y p e ；e tb ys o 代w 埘el a l0 x 2 k e yw b r d s ： s y m m e t r i cn o n l i n e 8 rm a t r i ) ce q l i a t i o n ；h e r m i t i a np o s i t i v ed e 6 n i t es o l u t i o n ；p e r t u r b a t i o na n a l y s i s ；s q l l 8 r er o o t ；n 刨n o nm e t h o d ；e x a c tl i n e 跎a r c h e f ；s a m a n s k i i t e c h n i q l l e ；s o ra l g o r i t h m ；s t e e p e s td e c 船e n ta l g o r i t h m v 湖南大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究 所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包 含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品对本文的研究做出 重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完全意识到 本声明的法律后果由本人承担 作者签名； 岔也警 l 啉曙年厂月9 日 学位论文版权使用授权书 本学位沦文作者完全了解学佼有关保留、使用学位论文的规定，同 意学佼保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许 论文被查阅和借阅本人授权湖南大学可以将本学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段 保存和汇编本学位论文 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书 2 、不保密口 ( 请在以上相应方框内打”扩) 作者签名：砬赳辱 日期：暗年n8 日 导师躲纱1 加以爿智乏 嗍：水厂月8 日 狲珈复弓甓磊 博士学位论文 1 1 课题的研究意义 第1 章绪论 矩阵方程是矩阵论中的非常重要的数学分支，在数学本身及其它自然科学中 有着广泛的应用矩阵方程分为线性矩阵方程和非线性矩阵方程求线性矩阵方 程的解在很多的领域有重要的应用，如振动理论，有限元，结构设计，参数识别， 自动控制，电学，生物学等领域，具体如：有限元静力模型修正问题可归结为求解 矩阵方程a x = b 的某种约束解及最佳逼近的问题特别地，对于l y a p l l n o v 方程 a x + x a t = b ，s y l v e s t e r 方程似+ x b + g = 0 和它们的一些变形形式和广义形 式是线性矩阵方程的的热点问题之一，相关成果见参考文献【1 1 1 】 虽然线性矩阵方程在相关领域有大量的应用和研究意义，但由于在近代数学， 应用物理，工程技术，经济理论，管理科学，生物科学等领域中更多的涉及到非线 性矩阵方程的同题，因此对非线性矩阵方程的研究成为计算数学中最活跃的课题 之一，下面例举几个非线性矩阵方程在实际中的简单应用 1 矩阵平方根的应用：满足矩阵方程x 2 一a = 0 的解x 叫矩阵a 的平方根， 其中a 是n n 复矩阵我们知道对任一矩阵a 有极分解式【1 2 】a = p l 巩= 岛， 其中尸l ，局是半正定矩阵，阢，巩是酉矩阵若要求p l ，恳的表达式，怎么办呢? 由于a 斤= p l 仉叼矸= 只竹= 砰，小a = b 赡b = 忍b = 碍，由此两式知， 尸l ，b 分别是a a ，a 的平方根 2 二次矩阵方程的应用【1 3 】：方程似2 + b x + c = 0 叫做二次矩阵方程，其中 a ，b ，c 是n 竹复矩阵拟生灭过程是一个二维马尔科夫( m a r l 【o v ) 链，其转移概 率矩阵为。 其中凡，a l ，a 2 ，凡是方阵，此矩阵经常用于电信，计算机性能，库存控制等随机 性模型中现简要的说明二次矩阵方程在拟生灭过程中的应用令 五：t o 是 一个拟生灭过程其转移矩阵为( 1 1 ) 设矩阵g = ( g 巧) ，【厂= ( ) 如下： 岛= p h ( o ) o 。& ( 0 ) = ( o ，歹) 1 = ( 1 ，i ) 】 = p h ( 1 ) ，y ( o ) & ，y ( 1 ) o 。& ( 1 ) = ( 1 ，j ) 1 = ( 1 ，t ) 】 一1 一 求解几类非线性矩阵方程的数值算法 其中tp mb 】是a 在b 条件下的条件概率且 ，y 0 ) = i n ， t 1 ：磁f ) ，i o ， j ( 佗) = ( n ，1 ) ，( 佗，2 ) ，( n ，m ) ，对v n 1 ，m 为参数 矩阵g ，r ，u 满足如下等式。 g = 扩，r = a 扩 七= 0七= 0 由文【1 4 1 中定理6 2 9 知矩阵g ，咒u 有如下关系式； 由上面四式容易得到： r = a l ( ，一u ) 一1 g = ( j u ) 一1 a 3 u = 也+ a l g u = a 2 十月a 3 g = a 3 十a 2 g + a l g 2 r = a l + 兄a 2 + 萨a 3 显然矩阵g ，r 分别是二次矩阵方程( 1 4 ) ( 1 5 ) 的解 阵g ，r 分别是二次矩阵方程 ( 1 2 ) ( 1 3 ) ( 1 4 ) ( 1 5 ) 又由文 1 4 】中定理8 1 4 知：矩 磊= a x 七 七= 0 ( 1 6 ) ( 1 7 ) 的非负矩阵解集合中按元素的最小解矩阵g ，r 表述了生灭过程马尔科夫( m 跗l c o v ) 链的特性 3 r i c c a t i 方程的应用1 1 5 】：在控制系统的设计应用中，人们关注的是系统的最 优控制和系统的稳定性，在获得最优控制和确定系统稳定性的过程中，有些问题 要归结到非线矩阵方程的求解上解非线性矩阵方程在控制设计中有举足轻重的 作用考虑如下控制问题：假定( a ，b ) 是稳定矩阵对即存在矩阵d 使得a + 口d 是 稳定矩阵，( a ，c ) 是检测矩阵对即( c ，a ) 是稳定矩阵对【1 6 】，系统评价函数( 性能指 标) 为 卵( 让) = 旷( t ) c c t z ( t ) + 缸t 胤( t ) 池 ( 1 8 ) 一2 一 番如 a 霹 + 十 五如如磊 + + 3 1如a | | = 磊磊 中其 3 a 七 x 脚 = z 博士学位论文 其中z 满足 圣( t ) = a z ( t ) + b 缸( t ) ，z ( o ) = z o ，冗= r r ( 1 9 ) 所谓的最优控制问题是寻找一个控制函数也( t ) 使得 卵( 砬) = m i n 叩( u ) 其中砬，t 满足圣( t ) = 缸( t ) + b t i ( t ) ，z ( o ) = 黝从文【17 】中可知最优控制为。 u ( t ) = 一r 一1 b r 尸z ( t )( 1 1 0 ) 其中p 是下面r i c c a t i 方程的唯一正定解 j p a + a t p + q 一尸b r 一1 b r p = 0 ，q = c 矿( 1 1 1 ) 因此，求得( 1 1 1 ) 的唯一正定解在上述最优控制问题中起关键作用 对称非线性矩阵方程x 士x - 1 a = q 的应用，文 1 8 】及其参考文献指出该方 程在梯形网格，动态规划，控制论，随机过滤，统计学等领域有广泛的应用 这儿我们仅举了几个常见的非线性矩阵方程的应用，其实，现代自然科学与 技术发展的一个重要特征是在几乎所有的领域中都出现了非线性现象2 0 世纪下 半叶，非线性科学的研究获得了前所未有的蓬勃发展，其中非线性矩阵方程的求 解是非线性科学的核心，很多来自工程，机械，科学研究等实际问题最终都化为 求解非线性矩阵方程的问题因此非线性矩阵方程的求解已经成为当前各学术团 体，大学，研究机构，实验室，技术公司的热门课题，我国也在”八五计划”，”9 7 3 项目”中把非线性科学作为国家重大课题之一总之，非线性矩阵方程的求解是当 今数学界最活跃的课题之一 1 2 课题的发展概况 非线性矩阵方程的研究一直以来都是非线性科学中一个很重要的课题，它一 直受到各国数学研究者的关注近半个世纪来，对非线性矩阵方程的研究已取得 了很大的进展，其中大部分的研究工作集中在以下几类非线性矩阵方程的研究 1 求矩阵a 的平方根 x 2 一a = 0 ，( 1 1 2 ) 2 二次矩阵方程 a x 2 + b x + c = 0 ，( 1 1 3 ) 其中a ，b ，c 为方阵 3 时离散代数r i c c a t i 方程和时连续代数r i c c a t i 方程 a 2 x + x a x g x + q = o( 1 1 4 ) a r x a x a ：r x g ( j + z g ) 一1 x a + q = 0( 1 1 5 ) 一3 一 求解几类非线性矩阵方程的数值算法 其中ag ，日，为n n 实矩阵，g t = g ，q t = q 4 对称非线性矩阵方程 x + x 一1 a = q( 1 1 6 ) x 一x 一1 a = q( 1 1 7 ) 其中a ，q 为方阵，q 为h e m i t i a n 正定阵 任一复数都有平方根，而任一非零复数都有两个不同的平方根，然而对于方 阵，则情形变得相当复杂，即有的方阵可能存在无究多个平方根。而有的方阵可 能根本不存在平方根r d g e rah 和c h a r 溉rj 【1 9 l 详细述说了方阵有平方根的充 要条件及平方根的个数关于求平方根的数值方法也有许多，综合归纳有s1 矩 阵符号函数法。b e a v e r san ，j r ，d 朗m a n ded 【幻】定义了矩阵符号函数，并得到了 一种迭代算法求矩阵符号函数根据求矩阵符号函数的不同的迭代算法，产生了 不同的求平方根的迭代算法，如z b e a v 盱sa n ，j r ，d e n m a n ded 俐根据符号函数 算法得到求平方根的d b 迭代法k e n n e yc 和l a l l baj 【2 1 l 利用p a d e 迭代方法求 矩阵的符号函数得到一个p a d e 迭代算法，它适合于在并行计算机上运算其它的 如s c l i i l l z 迭代【2 l | ，符号函数投影法c 2 2 】等等2 s d n l r 方法：1 9 8 3 年b j o r c ka 和 h 锄m a r l i n gs c 2 3 】首次引进了在s c l i i l r 分解的基础上的s c l i l l r 方法求矩阵的平方根 它是一个快速稳定的数值算法由于文 2 3 】中的算法是一个复算法，对于要求实矩 阵的实的平方根问题，多出了许多不必要的运算。因此，在1 9 8 7 年h i g h a mnj 删 提出了一个用于计算实矩阵的平方根的算法3 n e 毗o n 方法；n e 毗o n 法是非线 性科学中最常用的数值算法，它具有良好数值特性，如局部二次收敛性，数值稳定 性等1 9 8 6 年h i g h a mnj 矧系统地研究了n 刚o n 法求方阵的平方根并讨论了简 化n e 毗o n 法的简单性和数值不稳定性4 特殊矩阵的平方根；m 矩阵，对称正 定矩阵等在矩阵论及应用中有有重要的作用，由于他们具有特殊的结构，所以求 它们的平方根显得很重要，文 2 6 】系统的研究了m 矩阵的平方根，文【2 7 3 1 】研 究了正定阵的平方根 在复数域内一般的二次方程雠2 + 切+ c = 0 的根的存在性和求根都是很容 易的事，然而对于二次矩阵方程a x 2 + b x + c = 0 则复杂得多1 8 8 4 年矩阵 论的奠基人s l v e s t e rjj 【3 2 】考虑了二次矩阵方程，在文【3 3 】中研究当a = ，时二 次方程( 1 1 3 ) 解的个数判断解的存在性和数值求解是研究二次矩阵方程的两个 主要方面e i s e n f e l dj 例应用压缩原理证明了当系数矩阵a ，b ，c 非奇异且满足 40b 1 al l i | j e i 一1 1 时，方程( 1 1 3 ) 至少存在两个解由于条件a ，b ，c 非奇异 太强，应用有太多的限制m c f a r r a n dje 【矧仅要求系数矩阵b 非奇异且满足于 40j e i - 1 洲a ib _ 1 ci i s6 1 和1 一、1 4 巧2i ib - 1 a l i 1 则二次矩阵方程 存在解并构造一个迭代序列收敛于方程的一个解 l a n c a s t e rp 和r d k n ejg 利 一4 一 博士学位论文 用k a n t o 州c h 定理得到了多种解存在的充分条件h i g h a mnj 和k i mhm 【3 7 】根 据二次特征值方法得二次方程解存在的几个充分条件国内复旦的苏仰峰等得 到系数矩阵只需满足a ，b 非奇异且0b - 1 ai i + 0b _ 1 c0 1 ，则二次矩阵方程存在 最大解和最小解在数值解方面，常用的方法有下面几种。1 特征值方法z 该方 法来源于文【3 9 ，4 0 】，h i g h 锄nj 和k i mhm 【4 1 】根据二次特征值构建解的表达式， 但是该方法要求特征值对应的特征向量至少要有n 个线性无关，否则该方法不能 进行2 s c h u r 方法。h i g h 锄nj 和k i mhm 【3 7 】中，根据矩阵对的广义s c h l l r 分 解构建解的表达式，它是一个数值稳定的方法，但在进行矩阵对的广义s c h u r 分解 的维数是2 n 2 仇3 n e 毗o n 法。解二次矩阵方程最常用的是n e w t o n 法及其与其 它方法的结合文【3 7 ，4 2 4 5 】详细讨论了n e 叭o n 法并分析了它的二次收敛性和 数值稳定性然而n e w t o n 法迭代过程中每步均要求解一个s y l v e s t e r 方程，运算量 很大，并且有时n e w t o n 步长并不是最佳的，在迭代过程中还偶尔会出现目标函数 增大的情况针对此种情况，h 逗h 锄nj 和k i mhm 【4 1 】把最优化理论中的精确 线性搜索运用到n e w t o n 法中，取到了良好的数值效果，大大的减少了n 眦o n 法 的迭代步数4 函数迭代法。改写二次矩阵方程为x = f ( x ) 形式，然后定义迭 代公式x l = f ( 虬) h i g h a mnj 和k i mhm 【3 7 】，b a izz 等】研究了函数迭代。 b u t l e rgj 等【4 7 j 研究了二次方程的非负解 离散和连续代数m c c a t i 方程( 1 1 4 ) ( 1 1 5 ) 在工程和物理方面应用非常广泛，从 六十年代初。国内外学者对此很感兴趣并设计了许多解r i c c a t i 方程的算法这些 算法在有效性，精确性。数值稳定性，并行性等方面各有偏重【鹳1 研究连续代数 r i c c a 土i 方程( c a r e ) 的主要工具之一是它所关联的2 扎阶h 锄i l t o n 矩阵， m = ( 三一 而研究离散代数飚c c a t i 方程( d a r e ) 的重要工具之一是它所关联的2 n 阶辛矩阵束 n x l ：f ao l ，l ：fj 鼍i ， 一q ，o 关于两类r i c c a t i 方程的数值求解，主要有以下几类方法，1 迭代法。文 4 9 ，5 0 】 论述了一类简单迭代法，即把r i c c a t i 方程中的常项矩阵和二次项矩阵全部移到 方程右边构造的迭代法此法形式简单，有全局收敛性但每步要计算l y a p l m o v 方 程或s t e i n 方程，运算量大，收敛速度是线性的文【5 1 5 3 】研究了n e w t o n 迭代 法，它是二阶收敛的，但这种方法的不足也是明显的：每次迭代要求解一个变系 数l y a p l m o v 或s t e i n 方程( 这一点不同于简单迭代，那里是常系数l y a p u n o v 方程) ， 计算量很大2 不变子空间法：1 9 7 9 年，l a u baj 酬创造性地把求解c a r e 与 一5 一 求解几类非线性矩阵方程的数值算法 计算矩阵m 的极大稳定不变子空间联系起来，把计算m 的不变子空间的方法用 于求解c a r e 随后1 9 8 0 年p 印p 嬲等【5 5 j 把l a l l b 的想法用于处理d a r e 不变子空 间方法是向后数值稳定的，但该方法应用了q r 或q z 方法，而q r 或q z 方法收 敛性没有保证，没有充分利用m 或n ，l 的结构3 矩阵符号函数法：对于c a r e ， 根据m 矩阵的符号函数可得到它的解，但每迭代步需计算一个2 n 阶矩阵的逆。运 算量较大b y e r sr 酬提出一种加速技术。可使计算量减少用c a y l e y 变换，该 方法可用于求解d a r e h 蹦a nma 等【5 7 】提出一种并行符号函数方法适合在并行 机上运行4 平方约化法，卢琳璋等【5 剐讨论了与c a r e 密切相关的二次矩阵方 程的性质，给出了在某种条件下平方h 锄i l t o n 矩阵m 2 的反h 锄i l t o n 形式的平方 根存在唯一，而这个平方根包含了c a r e 的解基于此提出了平方约化法该算 法充分利用了m 的h a m i l t o n 结构，但由于要形成舻，m 的模的较小特征值的计 算精度较低运算中用到q r 方法，而q r 法未必收敛等文 5 8 】证明了可通过计 算( + l ) - 1 ( 一l ) 的极大稳定不变子空间来求解d a r e 5 保结构双倍算法。近 年，l i nww ，徐树方，郭春华等研究了双倍算法，该算法来源于不动点迭代即 不动点迭代产生序列冠而双倍算法产生序列恐- 本算法具有二次收敛性和数值 稳定性，详见文献【5 9 6 2 】对于r i c c a t i 方程的研究已有许多的成果，除了以上几 类，还有许多其它的方法详见文献【6 3 8 3 】等 矩阵方程( 1 1 6 ) ( 1 1 7 ) 的最大正定解在工程中有着非常重要的作用，对于方程 ( 1 1 6 ) ( 1 1 7 ) 的解是指它的正定解a n d e r s o nwn 等【1 8 | 于1 9 9 0 年讨论了方程( 1 1 6 ) ， 其后，它们受到许多学者的关注关于矩阵方程( 1 1 6 ) ( 1 1 7 ) 解的存在性研究主要 有下面成果ta n d e r s o nwn 等【1 8 】用短算子( s h o r t e do p e r a t o r ) 得到了正定解存在 的充要条件；e n 孵r d ajc 酬证明了方程( 1 1 6 ) 有解的充要条件是相关的循环算 法收敛于正定解，并得到许多有解的必要条件z h a nxz 等【跖】运用系数矩阵分 解的方法得到方程( 1 1 6 ) 有解的充要条件，其中q = j e 删d ajc 等删论述 了方程( 1 1 6 ) 有正定解，则必有最大正定解和最小正定解而对于方程( 1 1 7 ) ，它总 存在正定解且它是最大正定解【8 7 1 关于方程( 1 1 6 ) ( 1 1 7 ) 数值求最大解主要有以下 几类方法。1 基本不动点迭代t 该法基本思想是根据函数迭代思想构造迭代格式 虬+ l = f ( 虬) ，具体作法是把方程( 1 1 6 ) ( 1 1 7 ) 中常数矩阵。带逆矩阵项全部移至方 程左边来构造迭代法文 8 6 9 2 】研究了此类迭代法并证明当p ( x 云1 a ) 1 时， 此迭代法线性收敛于方程的最大正定解( 兄为方程的最大正定解) i 、，a n o nig 等 删改进了不动点迭代的初值，得到较快的收敛结果x l lsf 阻j 对方程( 1 1 7 ) 稍作 变形得到一类新的基本不动点迭代2 无逆不动点迭代。z h a nxz 【鼬】把求矩阵 m o o r 争p e n r o s e 广义逆的s c h l l z 迭代和不动点迭代相结合构造无逆迭代。它的优点 是每迭代步不要计算矩阵的逆，适合在并行机上运行随后g l l och 等交换无 逆迭代次序，在数值上改进了无逆迭代，但是该方法也是线性收敛到方程( 1 1 6 ) 的 一6 一 博士学位论文 最大正定解s a l a hm es 和a 锄跳mad 删构造了另一种无逆迭代3 n 刚o n 迭代法。g 1 l och 等劁根据n e w t o n 法解r i c c a t i 方程的相关知识移植过来，得到 了当p ( x 云1 a ) 0 和归纳假定有 k + l 一+ 2 = a ( x 嚣l 一肖1 ) a + b + ( 义= l 一符1 ) b o ( 2 8 ) 因此序列 单调下降综上有 k 】是一个单调下降序列且有下界因此序列 收敛于虬满足咒= j 一小矗1 a b k 1 b 且托x ，显然，x l 是方程 一1 1 求解几类非线性矩阵方程的数值算法 ( 2 1 ) 的最大正定解证毕 注记2 2 1 定理2 2 1 的证明过程实际上给了一个计算方程( 2 1 ) 的最大正定解算 法 定理2 2 2 若方程偿u 有一个正定解x ，那么x ，特别，若a 或b 非奇异。则 x 0 ，则x 一1 0 它暗示x 一1 a + b x 一1 b 0 和 x ：j a + x 一1 a b + x 一1 b 0 和 x = j a + x 一1 a b + x 一1 b b f 证明令x 是方程( 2 1 ) 一个正定解，根据定理2 2 1 ，x j 因此有 a + a + j e i + b a + x 一1 a + b + x 一1 j e i = j x b b + 类似我们也能证明x a 证毕 注记2 2 2 定理2 2 3 推广了文 酬中定理3 1 和定理3 2 ( i ) 引理2 2 1 令只q ，r 和s c n n ，那么 t ( p + r 一彤p + q + s s + q ) sr ( p + p + q + q + r + r + s + s ) 一1 2 一 ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 博士学位论文 u = c p + ，彤，q + ，s + ， y = ( ，至羔至) 引理2 2 2 若a 日n n 满足一j a ，那么r ( a ) s 1 证明因为a 日n n ，那么存在一个酉矩阵c 厂c 似“满足扩a u = = 磁凹( a l ，a 2 ，入n ) ， 其中凡冗，i = l ，2 ，礼是a 的特征值，因为，一a 0 ，矿，u 一沪a u 0 ， 即。，一0 ，因此 1 一九0 ， = l ，2 ，孔( 2 1 4 ) 类似地，我们也能证明 1 + 九o ，i = l ，2 ，n ( 2 1 5 ) 根据( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) 有一1 九s1 ，t = 1 ，2 ，佗，因此r ( a ) 1 证毕 定理2 2 4 若方程俚砂有一个正定解，那么矩阵a ，b 必满足以下不等式s 以j r ( a + a ) 1 ，r ( b + b + ) l ， 俐r ( a a ) 1 ，r ( b b + ) 1 一1 3 求解几类非线性矩阵方程的数值算法 证明令x 是方程( 2 1 ) 的正定解首先，我们引进以下记号： ip ：= x 1 2 一x l 2 a + x l 2 b ， iq ：= x 1 2 一x 一1 2 a x 一1 2 b ， ir ：= x 1 2 + x l 2 a + x l 2 b ， is ：= x 1 2 + x l 2 a x l 2 b 经计算，我们得到如下等式t j p + p + q + q = 2 ( ，一a 一) ，劈r + 伊s = 2 ( j + a + ) ， ( 2 1 6 ) iq + q + s + s = 2 ( j b b + ) ，p + p + 冗+ 冗= 2 ( j b b + ) ， 、 j p + r 一冗+ p + q + s s + q = 4 a a a + ， ( 2 1 7 ) iq + r r + q + s + p p + s = 4 b 一4 b + 、。 由于p p + 驴q ，p r + s ，p p + p r 和驴q + 9 s 是半正定，根据( 2 1 6 ) 可得 一j a + ，一j b + 伊j 根据引理2 2 2 ，结论( 1 ) 是显然的 由引理2 2 1 和( 2 1 7 ) 可得 ，( a a + ) =1 4 幸7 ( p + r r + p + q + s s + q ) l 4 木，_ ( p + p + q + q + r + 兄+ s + s ) = 1 4 木r ( 4 ，) = 1 ， r ( b j e i + ) = 1 4 木7 ( q + 兄一r + q + s + p 一尸+ s ) sl 4 宰r ( p + p + q + q + p r + s + s ) = 1 4 掌7 ( 4 j ) = 1 因此结论( 2 ) 成立证毕 注记2 2 3 定理2 2 4 推广文 叫中定理7 文【酬研究了方程( 2 5 ) 并得到了方程( 2 5 ) 有正定解的充要条件是它的系数 矩阵有某种分解在它的基础上我们有如下定理 定理2 2 5