（应用数学专业论文）双随机环境下的两阶段规划问题.pdf

摘要 基于双随机理论，本文提出了一类两阶段双随机规划模型，并对这类模型的数 学性质进行了研究在一般补偿情形下，我们讨论了可行域的凸性及目标函数的凸 性；在固定补偿情形下，证明了目标函数的连续性和可微性此外，本论文还研究 了与双随机规划模型有关的三个解的概念，它们是分布解、补偿解和期望值解通 过这三个解的概念，定义了两个重要的优化指标，一个是双随机解的价值，另一个 是完全信息期望值对这些指标的性质，本文也进行了研究 本文的创新点为； 提出两阶段双随机规划模型，从而推广了随机优化理论； 讨论可行域的凸性，目标函数的凸性、连续性和可微性； 给出与双随机规划有关的三个解的概念，并讨论了它们的性质 关键词两阶段双随机规划；凸性；可微性；补偿解；完全信息期望值 a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，b a s e do nb i r a n d o mt h e o r y , an e wc l a s so ft w o s t a g eb i r a n d o m p r o g r a m m i n gm o d e li sp r o p o s e d ，a n ds o m em a t h e m a t i c a lp r o p e r t i e so ft h em o d e l a r ea l s os t u d i e d i nt h ee a s eo fg e n e r a lr e c o u r s em a t r i x ，w ed i s c u s st h ec o n v e x i t y o ff e a s i b l es e ta n dt h ec o n v e x i t yo ft h eo b j e c t i v ef u n c t i o n ；i nt h ec a s eo fc o m p l e t e r e c o u r s em a t r i x ，w ep r o v et h ec o n t i n u i t ya n dt h ed i f f e r e n t i a b i l i t yo ft h eo b j e c t i v e i n a d d i t i o n ，t h r e es o l u t i o nc o n c e p t sw h i c ha r er e l a t e dt ot h i sb i r a a l d o mp r o g r a m m i n g m o d e la r ep r e s e n t e d ，t h e ya r ed i s t r i b u t i o ns o l u t i o n ，r e c o u r s es o l u t i o na n d e x p e c t e d v a l u es o l u t i o n b a s e do nt h et h r e es o l u t i o nc o n c e p t s ，t w oi m p o r t a n ti n d e x e s ，t h e v a l u eo fb i r a n d o ms o l u t i o nm a dt h ee x p e c t e dv a l u eo fp e r f e c ti n f o r m a t i o na r e d e f i n e d ， a n dt h e i rr e l a t i o n sa r ea l s os t u d i e d t h em a j o rn e wr e s u l t sc a nb es u m m a r i z e da sf o l l o w s ： t w o s t a g eb i r a n d o mp r o g r a m m i n gm o d a li sp r o p o s e d ，w h i c hg e n e r a l i z e sr a n d o r ao p t i m i z a t i o nt h e o r y ； t h ec o n v e x i t yo ff e a s i b l es e t ，a n dt h ec o n v e x i t y ，t h ec o n t i n u i t ya n dt h ed i f f e r e n t i a b i l i t yo ft h eo b j e c t i v ef u n c t i o na r es t u d i e d ； t h r e es o l u t i o nc o n c e p t sw h i c ha r er e l a t e dt ob i r a n d o mp r o g r a m m i n ga r ed e - f i n e d ，a n dt h e i rr e l a t i o n sa r ed i s c u s s e d k e y w o r d s t w o s t a g eb i r a n d o mp r o g r a m m i n g ；c o n v e x i t y ；d i f f e r e n t i a b i l i t y r e c o u r s es o l u t i o n ；e x p e c t e dv a l u eo fp e r f e c ti n f o r m a t i o n i i 河北大学 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他 人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得河北大学或其他教育机构的学位或证书 所使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确 的说明并表示了致谢。 作者签名：丝垃日期：卫年月 里 曰 学位论文使用授权声明 本人完全了解河北大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留并向国 家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。学校可以公布 论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年月日解密后适用本授权声明。 ， 2 、不保密d 。 ( 请在以上相应方格内打“”) 作者签名：邀逝 导师签名：赳盘奎 日期：生上年月! ! 日 日期：! 年互月! 竺日 第1 章引言 1 1 不确定规划的研究现状 不确定规划产生于上个世纪五十年代，它是随着数学规划的应用日渐广泛、深 入而产生的当数学规划问题中的数据带有不确定性时，确定性的数学规划模型不 再适合于实际问题，因而提出了各种不同类型的不确定规划模型考虑如下的确定 的数学规划模型： m i nz = f ( c z 1 = c t x s t g ( a ，z ) 一a xsb z 0 、 其中l 是m n 维常数矩阵，c b 为常向量，x 是决策向量，该模型中的系数 ( a ，c ，b ) 是确定的我们要解决的问题是求一个决策z ，使得它满足所有的限制且使 目标函数f ( c ，z ) = c 7 。达到最小然而由于现实生活中大量存在的不确定因素， 有时我们无法得到确切的系数( a ，c b ) ，由此人们建立了随机规划 1 4j 和模糊规划 分别研究当确定规划中的某些或全部系数是具有已知的( 联合) 概率分布或可能性 分布的随机变量或模糊变量时所出现的问题，概率论和可能性理论 6 - 8 】为其发展奠 定了坚实的理论基础因其具有广泛的应用价值，近年来一直倍受重视，许多学者 在这方面作了大量的工作 9 1 8 】 随着科学研究的深入发展，许多学者注意到生活中还存在着一种双重不确定的 现象，主要包括模糊随机现象，随机模糊现象，双随机现象和双模糊现象这种现 象集两种不确定为一体，能够更好的描述一些复杂的问题已有学者在这一方面做 了深入的探讨和研究，建立了双重不确定理论盼”_ 2 “，并在这一理论的基础上发展 了双重不确定规划 1 92 5 】 不确定规划问题的划分有各种不同的方法，如果按模型中优化的目标和约束条 件的形式，可分为：期望值模型、机会约束模型和相关机会模型 但就不确定规划的发展状况来看，还是只局限在单阶段模型的研究上，对两阶 段或多阶段模型的研究主要集中在随机规划阳】，而两阶段模糊规划的研究也刚刚 开始2 6 l ，下面我们简单回顾一下随机环境下的两阶段规划问题 鎏j 盔堂垄登巫主芏垡丝塞 考虑随机线性规划问题 fz ( w ) = r a i n ，( “) z 4 j z ：b ( 。) ( 1 2 j l。0 其中z 舻，丽c ) ，a ( n ，) 和b ( “) 分别是n 维随机向量，m n 阶随机矩阵和m 维随机向量假设该问题的决策z 必须在观察到随机变量的实现值之前做出，我们 称之为第一阶段决策变量这一阶段称为问题的第一阶段不论第一阶段决策变量 z 取什么值，一般不会使约束条件对任何样本值都满足因此，需要引入第二阶段 决策变量，又称为补偿变量该变量的作用是在观察到随机变量的实现值后，对由 笫一阶段决策引起的偏差进行补偿 设补偿量为y 且满足如下条件 f 戮= 叫r a i n 裟q l 咖 。， i 裂驴m “净 u 刮 ( 1 4 ) 其中c 渺，e 表示数学期望1 9 5 5 年，d a n # z i g l l q 在将线性规划用于飞机航班 设计问题时考虑到客流量是随机的，于是首先建立了两阶段有补偿问题 1 2 论文研究的主要内容 本文着重探讨双随机环境下的规划问题双随机规划是随机规划的一种自然推 广，它假设模型中的参数是双随机变量，在文献【2 2 】中，p e n g 和l i u 首先对这一 广，它假设模型中的参数是双随机变量，在文献f 2 2 1 中，p e n g 和l i u 首先对这一 ，一 urqe+r o ， 三警。 ，_ij【、 现象展开了研究，提出了双随机期望值模型，这属于单阶段规划模型，本文在此基 础上研究两阶段双随机规划模型 本文的着眼点在于双随机环境下的两阶段规划问题，用于处理带有“补偿”的 双随机规划问题，这是一个全新的领域本文旨在建立相对完整的双随机环境下的 两阶段规划理论体系，给出了两阶段双随机规划模型由于我们所提出的问题是 在双重不确定环境下的规划问题，在求解上是非常复杂的，因此我们着重从理论上 讨论了该模型的一些性质，为进一步设计有效算法提供理论依据继而提出了一些 与双随机规划模型有关的解的概念如分布解、补偿解和期望值解用这三个解的概 念，我们提出了两个重要的指标，一个是双随机解的价值( v b s ) ，另一个是完全信 息期望值( e v p i ) ，最后讨论了一些关于三个解的不等式以及v b s 和e v p i 的关 系 2 1 双随机变量 第2 章双随机理论 众所周知，变量在不确定规划中有着不可替代的作用因此，我们首先回顾双 随机变量简单来讲，双随机变量就是取值为随机变量的随机变量，它的定义如下： 定义2 1 ( 2 2 】设f 为从概率空间( n ，p r ) 到随机变量集合的函数若对任意的 b o r e l 集1 3 ，p r 已b ) 为u 的可测函数，则称为双随机变量 例2 ，1 设q = u 1 ，u 2 ，u 。) ，定义 已一( ”掣掣：哗) ， 其中鼽= l ，并且仇) ，i = l ，2 ，他，是服从如下分布的随机变量 “小( 辎粉 其中登q ：l ，r g ，：1 ，2 ，。，是实数，则是一个双随机变量 例2 2 ( 均匀分布) 称双随机变量服从均匀分布，如果对每一u q ，有 矗“( x ( u ) ，y ( u ) ) ，其中x 和y 是随机变量，我们记之为u ( x ，y ) ， 例2 3 ( 正态分布) 称双随机变量f 服从正态分布，如果对每一u q ，有 矗一( x ( u ) ，y ( u ) ) ，其中x 是随机变量，y 是取值为正的随机变量，我们记之 为一( x ，y ) 例2 4 ( 指数分布) 称双随机变量服从正态分布，如果对每一u q ，巳的 概率密度函数表示如下 。( t ) = 殳) 戈p ( 一x ( 。m ，；薹： 其中x 是取值为正的随机变量，我们记之为e x t ( x ) 关于双随机变量，我们有如下性质： 定理2 1 【2 2 】设为定义在概率空间( q ，p r ) 上的双随机变量，b 为驼中的 一个b o r e l 集，则p r 矗b 是一个随机变量 定理2 2 设为定义在概率空间( q ，p r ) 上的双随机变量，如果对任一 u j n ，期望值e 有限，则e 】是一个随机变量 在双随机理论中，双随机向量的定义如下： 定义2 2 设为从概率空间( q ，p r ) 到n 维随机向量集合的函数，如果对 任意的b o r e l 集口 舻，p r 已b ) 为u 的可测函数，则称为双随机向量 定理2 3 2 2 】如果( “，。) 是一个双随机向量，则1 ，已，厶为双随 机变量反之，如果，。是双随机变量，且对任意的u q ，随机变量 ，。，矗，。是独立的，则( ，6 ，。) 是一个双随机向量 2 2 双随机事件的机会 首先我们来看双随机事件的本原机会的定义 定义2 3 吲设为定义在概率空间( q ，p r ) 上的n 维双随机向量，b 为舻 中一个b o r e l 集，则双随机事件( b ) 的本原机会定义为从( 0 ，1 到 0 ，1 】的函 数： c h b ) ( 口) = s u p f l l p r c o n i p r 矗b ) 芦 a ) 鉴于本原机会定义为一个函数，而非实数，下面我们给出度量双随机事件的一 个新的定义 定义2 4 设为定义在概率空间( n ，p r ) 上的双随机变量，b 为跣中一个 b o r e l 集，则双随机事件 b ，的平均机会定义为 c h b = p r 已( u7 ) b p r ( 咖) n 亦可以写为 c h b 一0 1 c h b ) ( ) d d 例2 5 设双随机变量服从如下分布：u ( o ，u 十1 ) ) 其中u “( 1 ，2 ) ，则双 陋t l 争1 一t u ! 三l t 明卡列仇芸刀： 。 c h 0 l =p r 0 已s1 ) p r ( d u ) j n = 上z 1 击姗c 山， = f f a 1 1 n ( 山) = ，2 击，n 2 3 双随机变量的数字特征 以上我们给出了双随机变量的两种机会的定义，除此之外，双随机变量的期望 值( 又称均值) 同样是我们所关心的一个重要优化指标，它的定义如下： 定义2 5 矧设为定义在概率空间( q ，p r ) 上的双随机变量，则的期望值 定义为 r + 。 r 0 e 畦 = p r c z ! e 乜 r d r 一p r u l e 已 r d r ， j0jo o 要求上式右端中两个积分至少有一个有限 由定义2 5 可知，期望值e 圈可以表示成：e 【】= 耽( e 。，( w ，) 】_ 下面定理表明期望值算子具有线性性质 定理2 4 【1 8 设，和2 是两个具有有限期望值的双随机变量，则对任意的实数 a 和b ，我们有 e a l + b 纠= a e 1 + b e f 2 下面我们给出双随机变量的另一数字特征：方差，它是用于度量双随机变量与 其均值的偏离程度的指标，是衡量双随机变量取值分散程度的一个尺度 定义2 6 1 2 2 】设为定义在概率空间( q ，p r ) 上的双随机变量，且具有有限期 望值e ，则双随机变量的方差定义为： v = e 【嬉一e ) 2 l 定理2 5 设为一双随机变量，则对任意的实数a 和b ，我们有v k + b 1 = a 2 v 抖 此外，我们给出双随机变量的另外几个数字特征 定义2 7 对任意的正整数k ，我们定义e f 2 】为双随机变量的k 阶原点矩 定义2 8 对任意的正整数k ，我们定义e 瞎一e 蚓) 为双随机变量的k 阶 中心矩 给出两个双随机变量和叩，我们除了讨论和叩各自的数字特征之外，还需 用到描述和叩之间相互关系的数字特征 定义2 9 设和目是具有有限期望值e 嘲和e 叩 的双随机变量，则双随机 变量和q 的协方差定义为： c o v ，叩 = e ( 一e 刳) ( 叩e h ) 7 第3 章两阶段双随机规划 在这一章里，我们将给出两阶段双随机规划模型，并讨论模型本身具有的一些 3 1 模型的建立 鉴于实际生活中存在的大量的双随机现象，我们有必要通过优化的方法来研究 这些问题，p e n g 和l i u 2 引已经建立了双随机环境下的期望值模型和本原机会约 束规划模型但是这些模型都是单阶段的而在现实生活中，一个决策过程常常是 需要分阶段的，两阶段或多个阶段基于此，我们给出了双随机环境下的两阶段规 划，它的一般模型可以表示为如下形式： 其中 该模型也可以写成 c t x + e 。 q ( z ，u ) b x 0 ， m i nz = c t x + e 。 既， m i n 西( 铀 g st a z = b w 。( c 0 7 ) 可= h 。( u 7 ) 一死( u 7 ) z z 0 ，y 0 f 3 1 ) ( 32 ) 在模型( 31 ) 或( 32 ) 中，x 舻，是第一阶段决策向量，y 舻2 是第二阶段决 策向量，c 舻，和b g p 是已知确定向量，a 。为确定矩阵q 和h 是 定义在概率空间( q ，p r ) 上的双随机向量，t 和w 是定义在概率空间( q ，p r ) 上的双随机矩阵，称为补偿矩阵对每一u n ，q , o 和 。是定义在概率空间 ( f 2 7 ，7 ，p r ) 上的随机向量，咒和w 。是定义在概率空间( q 7 7 ，p r ) 上的随机矩 一8 一 z z咖札a ，、【 净 洲 叫一挑护脚幢 阵对每一u q 和u 7 q 7 ，有钆( u 7 ) 蹰”，丸( u 7 ) 卵1 。，而死( u ，) 】仉乞( u 7 ) 分 别为”2 n 1 和m 2 n 2 维矩阵 如果我们用维( n = 礼2 + m 2 + m 2xn 1 + m 2 几2 ) 的双随机向量丁= ( ，h 7 ，乃，了k 。，i h ，i 。) 来代表模型中的双随机成分，其中正和分别 表示矩阵丁和w 的第i 行( i = l ，m 2 ) ，则该模型又可表示为如下形式： fm i n z = c 7 z + e f 呼，( 洲 i s t a z ：b( 3 3 ) l( ) 可= ( ) 一t ( ) 。 iz 0 ，y 0 例3 6 我们考虑如下的两阶段双随机规划问题 r a i n z = 2 z + 耽( 比， 增n o ( u 7 ) + ) s t y = 已( u 7 ) + x 茁0 ，y 0 ， 具甲一“( u 一1 ，u 十lj ，咖u 一“【2 ，3 j 以上模型等价于 警。藏，低田陋血仁“h 圳 即 f 霉2 塞；+ 2 叫删l 经过计算，得到该模型酶最优解为z ；：0 ，最优值为矿：5 3 2 一般补偿情形下模型的性质 ( 3 4 ) 首先，我们在一般的意义下讨论模型的可行集 在两阶段双随机规划问题中，决策者是按照“取定决策变量z 的值一观察到 双随机变量f 的实现值一制定第二阶段决策变量y ”的顺序来进行最优决策制定 的在这一过程中，决策者需要解决两个最优化问题一个是第二阶段问题，又称 一9 一 甍幺h ，。 。， 1 裂增砘。也净 。 。c z ，u 7，=篓：4吾u。1w么u。”豢喜差! 一攀。引州囟炉m 瓣熬梳 m mz = 舯c t x 玩+ q s ， 为第二阶段问题的弱可行集显然有k 2c 鲜 至此，我们需要考虑的另一个优化问题为： 二篙扛 江， 对任意给定的u q ，我f f j 得n - - 个带有补偿的随机规划问题，因此定义 k 毛= x l p r q 。( z ，u 7 ) 0 0 ：1 ) 作为该随机规划问题第二阶段的弱可行集，并且定义 鲍，。( “7 ) = x l q 。( z ，u 7 ) 。) 为第二阶段问题的基本可行集我们考虑使得 q 。( z ，u 7 ) o 。) 以概率1 成立的那 些u ，并令e = w l p r q 。( 。，u 7 ) ) = 1 ) ，则有p r e = 1 例3 7 考虑第二阶段形式如下的两阶段双随机规划问题： q ( z ，) = m i n y l y = 1 一z ，y o 可 其中服从于( 0 ，u 上的三角分布，且u 为服从于【0 ，1 上均匀分布的随机变量 对任意的( o ，u ，该问题中y 的最优值为宁，因此 q ( 茁，) t 1 - - x ， 。1 当= 0 时，只有当z = 1 时才有y 的存在，使得0 y = l 一。因此对z l ，都 有q ( x ，0 ) = + 对任意给定的u ( 0 ，1 】，的取值为0 o ，“】_ 如果岛( o ，“j 】，我们有 扔，。( u 7 ) = z i q 。( z ，u 7 ) 。 = x l q ( x ，f ) o o ) = x l x 1 如果已= 0 ， 我们有尬。( o ) = x l x = l 在这种情况下，因为已：0 以零概率实现，因此 嗡= z l p r q 。( z ，u 7 ) o 。) = 1 ) = z l z 1 ) 对于u = 0 ，已= 0 我们有磁= x l p r q o ( x ，0 ) 。 = 1 = z i z = 1 因此 且有 硭= 倒c h q ( z ，) = 1 = x i p r u i p r q 。( z ，u 7 ) 。) = l = 1 ) = z l z l e = w i p r q 。( 。，u 7 ) 。) = 1 ) = “i u ( 0 ，1 ) 而 ，垆啪出，u ，) = ：”t i - - x 静= 掣 和 ) _ e 觯，洲= z 1 掣：山一 因此 。= 。f q ( 。) o 。) = z l 。= 1 ) 于是尬= z l z l 严格包含于砑 以下我们讨论模型的一些基本性质 命题3 1 集合砑是一个闭凸集 证明：首先，我们证明f 的凸性 令巩k l ；z 2 k 定叉 e 一 w p r q 。( 甄，u 7 ) 一1 ) ，i = 1 ，2 而对于给定的u 巨，i = 1 ，2 ，定义 置= u 7 l q u ( u7 ) 。) 于是 因此 p r 毋) = p r 只 = 1 ， i = 1 ，2 p r e ln 岛 一1 一p r e ；u 毯) = 1 ， p r f ln 最) = l p r 矸uf g ) 一1 我们可知，对于任一( u ，u ) ( e 1 n 岛) ( f 1 n 咒) ，存在y ，y 。，使得 w 乙( 。7 ) 1 = 。( u 7 ) 一咒( “7 ) z 1 ，y 1 0 ， w 乞( u7 ) 掣2 = 。( u 7 ) 一死( u7 ) z 2 ， y 2 0 因此，对于任一a ( 0 ，1 ) ， 1 p 亿( u 7 ) a 可，+ ( 1 一a ) 。 = 。( u 7 ) 一死( u 7 ) a z l + ( 1 一a ) x 2 ， 且 a 1 + ( 1 一a ) y 2 0 所以 e a 一 c z l p r q 。( a z l + ( 1 一a ) z 2 ，u 7 ) o 。) = 1 ) de 1n e 2 对任意的u e 1ne 2 ，有： 兄= u 7 i ( 7 。( a z ，+ ( 1 一a ) x 2 ，u 7 ) 。o ) d 日n f 2 这意味着p r b = p r f a = 1 这就建立了g f 的凸性 现在我们证明j 节是闭的 设 戤，i = 1 ，2 ， 为k f 中收敛于士的序列，则对于 e i = c j i p r q 。( 甄，u ) ) = 1 ) ， 以及对于给定的w 易，z = 1 ，2 ， 只= u q 。( x i ，u ) o 。) 我们有p r 日) = p r 只) = 1 令 a 女一n 蜀，中= n 只 显然，我们有：a k + 1 a k 和吼。1c 吼 因而lima k = na k = ne ， r o 。 = 1z = 1 1 i r a 中k = n 西k n 只 k _ o o k 二1o = 1 13 由证明的第一部分，用归纳法得 p r a k ) 一p r q j k ) = 1 ，k = 1 ，2 又知 p r q 晟) = p r 牌a * ) = 熙p o o o o r 一1 t 一1 k _ r 一 和pr( 只 = p r f l i m 中 = 1 i mp r 0 ，对于任意的 p 0 ，有 i = 1l = 1 于是= z 矾( u 7 ) 可一k ( u ) + 死( u 7 ) 刮i o ，v y o ) 是圣的一个邻域由于 k ) 收敛于圣，故一定存在茁对于这一z 女， 因此，存在y k 0 ，使得 这与孤矛盾，因此宕j 哆 命题3 2q 。( z ，u ) 几乎必然是砑上的凸函数 证明：令z l 硭，z 2 k 岁以及e i = w t p r q 。( 翰，u 7 ) 。 = l ，i ：1 ，2 对于给定的u 历，给出e = u ，| q 。( 翰，“7 ) o o ，i = l ，2 于是由命题3 1 的证 明可知 p r e 1 _ n e 2 ) = 1 ，p r 毋n r ) = l 因此，对任意的，u ) ( e n 岛) ( 五n 而) 和任意的 ( o ，1 ) ，我们只需 证明： q u ( a z l + ( 1 一) 、) z 2 ，u 7 ) q u ( z l ，u 7 ) + ( 1 一a ) q u ( z 2 ，u 7 ) ， 此处 iq u ( u 卜m ，i n 虻r ( u 协) s t 讥( 地( 一驰协； ( 3 8 ) l 乙( u 7 ) = 。( u 7 ) 一兄( u ) z ； 。7 【 y = 0 ， 以及 fq 。( a 茁1 + ( 1 一a ) z 2 ，u 7 ) = r a i n 菇( u 7 ) 可) 2 s t ，、 f 3 9 ) l 乞( u 7 ) 掣= h w ( u ) 一咒( u ) ( a z l + ( 1 一a ) z 2 ) 。 i y 0 令玑，i = 1 ，2 ，为( 3 8 ) 的可行解，则对任一a ( 0 ，1 ) ，a 可1 + ( 1 一 ) 2 是( 3 9 ) 的可 行解 如果q 。( 孔，) ，i = 1 ，2 都是有限的，则我们选取y ；为( 3 8 ) 的解因此， q 。( 入z t + ( 1a ) z 2 ，u )西( u 7 ) ( a 可。+ ( 1 一a ) y 2 ) = a q 。扛1 ，u ) 4 - ( 1 一a ) q 。( 。2 ，u ，) 如果吼( 轧u 7 ) = 一。而q 0 ( z 。，u 7 ) 是有限的，则存在y + 0 ，使得 仉么( u ) 掣+ = 0 且西( u ) 爹+ 0 ，a y l + ( 1 一a ) y 2 + 肛目4 是( 3 9 ) 的可行解，且当肛一时， 矗( u7 ) ( ) 、可14 - ( 1 一a ) 可2 + p 可+ ) * 一o 。 因此，q 。( ) 、z 1 + ( 1 一a ) x 2 ，u 7 ) = 一o o 在这种情况下， q 。( a z l + ( 1 一入) z 2 ，7 ) q 。( z 1 ，“7 ) + ( 1a ) q 。( 石2 ，。7 ) 也是成立的 如果q 。( z 。，u ) = 一。而q 。( z ，u 7 ) 是有限的，按照同样的方法可以证得： q w ( a 工l4 - ( 1 ) z 2 ，7 ) a q 。( z 1 ，u 7 ) + ( 1 一a ) ( 了u ( z 2 ，7 ) 因此，q 。( z ，“7 ) 几乎必然是鲜上的凸函数 命题3 30 ( z ) 是上的凸函数，从而也是凸集 证明：对任意的x i k 2 ，i = 1 ，2 ，则3 ：i 磁，i = 1 ，2 ，由命题3 2 ，对任何 a ( 0 ，1 ) ，几乎必然地有： q 。( a z l4 - ( 1 一a ) z 2 ，u ) q 。( x l ，u 7 ) + ( 1 一a ) q 。( z 2 ，) 一15 因此，两边对u 7 取积分，有 q ( a z l + ( 1 一a ) 茁2 ，u ) a q 0 1 ，u ) + ( 1 一a ) q ( z 2 ，u ) 对u q 几乎必然成立，两边再对u 取积分，有 q ( a x l + ( 1 一a ) x 2 ) a q ( x 1 ) + ( 1 一a ) q ( z 2 ) 成立 故q ( x ) 是鲍上的凸函数，同时证明娲也是凸集 命题3 4 如果钆( u 7 ) = q o ，w 。( u 7 ) = w o ，则对任意给定的z k i ，q 。( z ，u 7 ) 是( k ( u ，) ) 兄( u ，) ) 上的凸函数，从而q ( x ，u ) 和q ( x ) 也是( 虬( u ，) 1 死( u ，) ) 的凸函 数 证明：为了证明该凸性，我们定义f ( h 。( u r 死( “j ，) ) = r a i n q t 1 = 。( u 7 ) 一 兄( u x ，y o 考虑两个不同的向量( 危1 ，。( u ，) 丑，。( u ，) ) 和( 2 ，。( u ，) j 正，。( u ，) ) ，则 v a 0 ，1 】，考虑其凸组合( k ，) ，死( u ，) ) = ( a h i ，。( u 7 ) + ( 1 一a ) h 2 ，。( u ，) 正，。( u ，) + ( 1 一a ) 乃。( u ，) ) 设y ；和醛分别为f ( h z ，。( u ，) 乃，。( u ，) ) 和f ( h 2 ，。，) 噩，。( u i ) ) 的最 优解，则y = a 吠+ ( 1 一a ) 虻是f ( h 。( u ，) ，死( u ，) ) 的可行解，令y + 为，( k ( u 气死( u ，) ) 的最优解，则有 ，( 虬( u ) ，死( 。，) ) = 蠢矿q b = 蠢( a 掣；+ ( 1 一a ) 粥) = a 露衍+ ( 1 一a ) 莳虻 = a f ( h l ，( u 7 ) ，乃，。( u 7 ) ) + ( 1 一a ) ，( 。，。( u ) ，乃，。( u ) ) 因此函数，( 虬( u ，) ) 死( u ，) ) 是凸函数，从而q 。( 。，u 7 ) 为( 虬( u ，) 死( u ，) ) 上的凸 函数而q ( x ，u ) = e 。，【q 。( z ，u ，) ，q ( x ) = e 。 q ( z ，u ) 】，故q ( x ，u ) 和q ( x ) 也是 ( k ( u ，) 死( u ，) ) 上的凸函数 命题3 5 如果丸( u 7 ) = h o ，咒7 ) = t o ，肌( u 7 ) = w o ，则对任意给定的ze k i ，吼x ，u 7 ) 是钆( u 7 ) 的凹函数，从而q ( x ，u ) 和q ( x ) 也是钆( u ) 的凹函数 证明：我们定义，( 钆( u ，) ) = m i n q t ( w 7 ) y l w o y = 一蜀z ，y o ) ，考虑两个不 同的向量q l ，。( u 7 ) 和q 2 ，( u ，) 对v a 0 ，1 】，考虑其凸组合钆( u 7 ) = a q l , w ( u 7 ) + ( 1 一 a ) q 2 ，。( u ，) 】设计是函数f ( q l ，。( u ，) ) 的最优解，畦是函数y ( q 2 ，。( u ，) ) 的最优解，又 设y + 是，( 钆( u ，) ) 的最优解，则y 4 是y ( q l ，。( u ，) ) 和f ( q 2 ，。( u ，) ) 的可行解，我们有： ，( 吼，( u ) ) = 西( “j ，) y + = ( a t 一t d 7 ) + ( 1 一a ) g 己( u ) ) 可+ = a g l ( u 7 ) 可+ + ( 1 一a ) g 乙( u 7 ) 可+ a 井0 ( u ) 鲥+ ( 1 一a ) q 乙( 叫7 ) 虻 = a y ( q l ，( u 7 ) ) + ( 1 一a ) ，( 啦，。( u ，) ) 因此，( 钆( u ，) ) 是凹函数，从而q 。( z ，u 7 ) 是( u 7 ) 上的凹函数，我们已知e ( x ，u ) = r ，【吼( 。，u ，) 和o ( x ) = r q ( z ，u ) ，故q ( z ，u ) 和q ( z ) 也是钆( u ) 上的凸函数 命题3 6 如果钆) = q o ，k ( u 7 ) = h o ，已( u ) 一t o ，吼( u 7 ) = w o ，那么对于 z k 1nk 2 ，q 0 ( z ，u ) 是。的凸函数，从而q ( 茁，u ) 和q ( z ) 也是z k xnk 2 上 的凸函数， 证明t 令y ( x ) = m i n q o r i 掣= h o 一蜀z ，y o ，考虑两个不同的向量。1 和 , 2 2 ，对协( 0 ，l 】，考虑其凸组合。= a z l + ( 1 一a ) z 2 ，我们设y ；和醛分别为，( z 1 ) 和，( 。2 ) 的最优解，则y a y i + ( 1 一a ) 缆是，( 茁) 的可行解，令y + 是，( z ) 的最 优解，则有： ，( z ) = 酊可+ q y =孝( a 可；+ ( 1 一a ) 掣；) a t 蝣+ ( 1 一a ) 菇坊 a ，( 。1 ) + ( 1 一a ) 厂( z 2 ) 因此函数f ( x ) 为一凸函数，从而固0 ( z ，u ) 是z k 1 f k 2 上的凸函数，而0 ( z ，u ) = 玩“吼( 墨u ，) 和e ( x ) = 玩 q ( z ，u ) j ，因此e ( x ，u ) 和q ( z ) 也是z 玛n 玛上的 凸函数 3 3 固定补偿情形下模型的性质 下面我们考虑固定补偿情形，即假定补偿矩阵为一固定矩阵，那么我们就 一17 能更好的刻画可行区域，从而简化计算在这一情形下，我们可以得到有关模型目 标函数的一些很好的性质 命题3 7 若e 2 一o 。，则k 2 一k f 证明：已知k 2ck f ，故只需证明磁ck 2 对任意的。砰，定义三舻 为双随机变量的支撑，即满足条件c h 三 = 1 的渺的最小闭子集其中 的值由( u ，u7 ) 确定令= 三n 引一o o q ( z ，) + 。，z k f ) ，则对任意给 定的z 砑和e ，可以用基本解表出o 。( z ，u 飞亦即 q 。( z ，u 7 ) = 豇( u ) 耳1 k ( u7 ) 一死( u ) z ， 其中_ 日：是乞( u 7 ) 中对应于即( u ，u 7 ) 实现值的最优可行基，而i 为对应于且 的q 的分向量 又知对任意给定的z 趔，可以被划分为有限多个b o r e l 子集( e = e 1t o 2u u 。) ，每一b o r e l 子集。对应于一最优可行基且由s c h w a r z 不等式， q ( z ，) 均平方可积，即v e ic ( j = 1 ，2 ，n ) ，有： q 。( z ) = e e 。 q ( z ，) + o 。 从而 q ( z ) = e z 0 ( z ，) = e z 。 q ( z ，) + e 。 q ( z ，) 】+ + e z 。 q ( z ，) 0 0 故z k 2 ，因此有k 2 = k f 命题3 8 如果e 妒】o o ，则q ( z ) 是上的 l i p s c h i t z 连续函数 证明：设k 2 ，i = 1 ，2 ，则由以上假设，我们可知存在fcn 和f 7cq 7 ，且 e r f = 0 ，p r f 一0 ，使得 c o 0 ，i 一1 ，m 0 我们已经知道，第二阶段规划的最优值的数学期望q ( x ) 或者是一o o ，或者对 每一zej 哆为有限，在完全固定补偿情形中，j 蹬= 舻在实际应用中，假定 q ( x ) 在整个舻上有限是有实际意义的使这一性质成立的一个简单条件是： 命题3 1 2 给定完全固定补偿和e 2 】 0 3 或推论3 1 的可积性条件之一，贝4 0 ( z ) 是有限的当且仅当对任意的u e ， z i w 丁z 钆( ) 0 证明：对任意给定的。舻，由w 的完全固定性可知，问题 f 钆( 叫，) _ m ，i n 酊( u 协 s t w y ：卜吼弘 ( 3 - 1 1 ) 1= k ( u ，) 一瓦( u 弘 p “ 【y 0 对每一 ，“7 ) ( q ，q 7 ) 有可行解，由命题3 ，7 可知，q ( 。) 是有限的当且仅当对任 意的u e ，白0 ( z ，u 7 )