（计算数学专业论文）用acbd理论研究偏微分方程（组）的求精确解方法.pdf

摘要 本文根据吴文俊院士提出的数学机械化的思想，在导师张鸿庆教授“a c = b d ”理论 的指导下，以构造性的变换和符号计算为工具，研究在弹性力学、流体力学、空气动力 学、等离子体物理、生物物理和化学物理等现代科学技术中引出的非线性发展方程的若 干求精确解的方法。 第一章介绍了数学机械化的思想与计算机代数，回顾了孤立子研究的历史与发展以 及非线性偏微分方程精确解的若干构造性方法。 第二章在“a c ：b d ”统一理论框架下考虑非线性偏微分方程( 组) 精确解的构造。给 出了“a c = b d ”理论的基本思想和应用，通过具体的变换给出了构造c - d 对的算法。 第三章主要推广t a - r l h 函数方法并介绍了我们推广的一种直接求解非线性发展方程 的方法一广义的r i c c a t i 方程有理展开法。并将它们分别应用n h s 方程，复杂的k d v 方程 以及( 2 + 1 ) 一维k d v b u r g e s 方程。获得了这些方程许多新的精确解( 孤波解、类孤波解、周 期解、类周期解、有理解等) 。 关键词：数学机械化，孤立子，非线性发展方程，“a c = b d ”理论，c d 对，t a n h 函数 法，广义的r i c c a t i 方程有理展开法，符号计算，精确解。 r e s e a r c ho ft h em e t h o df o rg e t t i n gt h ee x a c ts o l u t i o n so f p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ( s ) w i t ht h ea c = b d t h e o r y a b s t r a c t i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，b ya p p l y i n gt h ei d e a so ft h em a t h e m a t i c sm e c h a n i z a t i o ni n t r o d u c e d b ya c a d e m i c i a nw uw e n j u n ，u n d e rt h ei n s t r u c t i o no ft h ea c = b dt h e o r yp u tf o r w a r db yp r o f z h a n gh o n g q i n g ，w i t ht h ea i do fc o n s t r u c t i v et r a n s f o r m a t i o na n ds y m b o l i cc o m p u t a t i o n ，c o n - s i d e rs o i n em e t h o d ss e e k i n ge x a c ts o l u t i o n sf o rt h en o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n ( s ) a r i s i n gf r o m t h ef i e l d so ff l u i dm e c h a n i c s ，a e r o d y n m a i c s ，p l a s m ap h y s i c s ，b i o p l l y s i c sa n dc h e m i c a lp h y s i c s c h a p t e r1o ft h i sd i s s e r t a t i o ni sd e v o t e dt oi n v e s t i g a t i n gt h ei d e a so fm a t h e m a t i c sm e c h a - n i z a t i o na n dc o m p u t e ra l g e b r a ；r e v i e w i n gt h eh i s t o r ya n dd e v e l o p m e n to ft h es o l i t o nt h e o r ya n d t h ec o n s t r u c t i o no ft h en o n l i n e a rp a t t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n c h a p t e r2c o n c e r n st h ec o n s t r u c t i o no fe x a c ts o l u t i o n so fn o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a - t i o n ( s ) u n d e rt h eu n i f o r mf r a m ew o r ko f “a c = b d ”t h e o r yt h eb a s i ct h e o r ya n da p p l i c a t i o n a b o u t “a c = b d ”m o d e la n dt h ec o n s t r u c t i o no ft h eo p e r a t o r so fca n dda x ei n t r o d u c e d 1 1 1c h a p t e r3 t h et a n hf u n c t i o nm e t h o di si m p r o v e da n dan e wg e n e r a l i z e dr i c c a t ie q u a t i o n r a t i o n a le x p a n s i o nm e t h o dw h i c hw eh a v ei m p r o v e di sp r e s e n t e d a n dt h e na p p l yt h em e t h o d s t ot h eh - se q u a t i o n ，t h ec o m p o u n dk d ve q u a t i o na n dt h e ( 2 + 1 ) 一d i m e n s i o n a lk d v - b u r g e s e q u a t i o n ，r e s p e c t i v e l y f i n a l l y ，w ed e r i v em a n yn e w e x a c ts o l u t i o n s ：s o l i t a r ys o l u t i o n ，s o l i t a r y - l i k es o l u t i o n ，p e r i o d i cs o l u t i o n ，p e r i o d l i k es o l u t i o n ，r a t i o n a ls o l u t i o n ，a n ds oo n k e y w o r d s ：m a t h e m a t i c sm e c h a n i z a t i o n ls o l i t o n ，n o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n ，a c = b d t h e o r y , c dp a i r ，t a n hf u n c t i o nm e t h o d ，n e wg e n e r a l i z e dr i c c a t ie q u a t i o nr a t i o n a le x p a n s i o n m e t h o d ，s y m b o l i cc o m p u t a t i o n ，e x a c ts o l u t i o n i i i 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的 研究工作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致 谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也 不包含为获得大连理工大学或其他单位的学位或证书所使用过的 材料。与我一同工作的同志对本研究所做的贡献均已在论文中做 了明确的说明并表示了谢意。 作者签名：壬蔼 日期：迦：! ：万 大连理工大学硕士学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完奎了解“大连理工大学硕士、博士学位论文版权使用 规定”，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借闭。本人授权大连理工大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论 文。 作者签名 导师签名 圣蛰 2 年立月日 5 1 第一章绪论 本章简要介绍了数学机械化思想与计算机代数，孤立子研究的历史与发展，以及非线 性偏微分方程解的若干构造性方法( 如b ；i c k l u n d 变换和d a r b o u x 变换、p a i n l e v d 奇性分析、 齐次平衡法、“a c = b d ”框架下的精确求解等) 。 1 1数学机械化与计算机代数 十六、十七世纪以来，人类历史上经历了一场史无前例的技术革命，出现了各种类 型的机器，取代各种形式的体力劳动，使人类进入一个新时代。几百年后的今天，电子计 算机已开始有条件地代替一部分特定的体力劳动，因而人类已面临另一场更宏伟的技术 革命，处在又一个新时代的前夕。数学在这场新的技术革命中，无疑将扮演一个重要的角 色。与工业革命相适应出现了解析几何与微积分这些数学上的伟大创新，在目前这一以 计算机为标志的信息革命时代，数学又应该有什么样的创新与之相适应呢? 机械化的动作，由于简单刻板，因而可以让机器来实现，又由于往往需要反复千百万 次，超出了人力的可能，因而又不能不让机器来实现。因之，机械化为机器化进而自动化 铺平道路，是它们必不可少的前奏。就这一意义来说，数学中的某些脑力劳动与体力劳动 颇有共同之处，它们也同样可以机械化。 正是基于这种考虑，我国著名数学家，首届国家最高科技奖获得者之一，吴文俊院 士【l l 昌导数学机械化研究。2 0 世纪7 0 年代，中国科学院院士吴文俊先生由中国的传统思想 出发，从几何定理证明入手始数学机械化研究，所建立的数学机械化方法，不仅将中国传 统数学发扬光大，而且也为国际自动推理的研究开辟了颞的前景。1 9 7 8 年，吴先生在中 国科学上发表了题为初等几何判定问题与机械化原理的论文吼1 9 8 4 年，吴先生的学 术专著几何定理机器证明的基本原理由科学出版社出版，这部专著建立了各类几何的 机械化定理，阐明几何定理机械化证明的基本原理。1 9 8 5 年，吴先生的论文关于代数方 程组的零点发表1 3 ，具体讨论了多项式方程组所确定的零点集。这篇重要文献，是正式 建立求解多元多项式方程组的吴文俊消元法的重要标志。自此“吴方法”宣告诞生，数学 机械化研究揭开新的一页。“m e c a r t h y 程序验证奖”得主j s m o o r e 认为，吴先生的工作 “不仅奠定了自动推理研究的基础，而且给出了衡量其它推理方法的明确标准”；“在吴方 法建立以前，定理机器证明的研究处于一片茫然之中，吴不仅冲破了这种沉寂的局面，而 且带来了极为光明的前景”。 1 9 8 9 年，在r i t t ( 4 等人工作的基础上，吴先生将吴代数消元法的思想推广到微分情形， 创立了吴微分消元法【5 】，提出了吴微分特征列的概念，完善和发展了特征集理论。高小山 研究员、张景中院士、周咸青教授【6 。0 】合作提出了基于几何不变量的“消点法”，实现 用a c = b d 理论研究偏微分方程( 组) 的求精确解方法 了自动生成几何定理可读证明这一目标。依据这一方法编制的程序已经用于证明了数百 条定理。这一工作被认为是五十年g e r l e n t n e r 的经典工作及七十年代吴方法以来这一领 域又一重要进展。美国数学会“自动定理证明成就奖”及“j m a c a r t h e y 程序验证奖”得 主b o y e r 称，该工作“是自( 五十年代) s l a g l e 与m o s e s 符号积分程序以来自动推理界最重 要的一件单独的事情”。该工作“在使计算机象具有算术天才那样具有几何天才这一不可 避免的过程中将是一座里程碑”。自动推理界权威l o v e l a n d 在a im a g a z i n e 的文章中将这 一工作列为近年来自动推理界“重要进展”的第一项，称“在几何中证明有意义的定理并 给出可读证明( g e l e n t n e r 五十年代的重要工作) ”近年来才由周咸青，高小青，张景中的几 何定理证明器超过。”在几何自动推理方面，他们提出了微分几何的自动定理证明的新方 法，所编程序自动证明了上百个定理并发现了新结果。 王东明研究员、高小山研究员等【1 1 1 2 】研究用吴方法证明构造型定理与轨迹求解问 题；林东岱研究员、刘卓军研究员【13 1 将吴方法推广到有限几何；高小山研究员等人【1 4 】研究 用吴r i t t 分解算法证明定理：李洪波研究员、程民德教授【1 目提出了基于c l i f f o r d 代数与吴 方法的向量算法，这一算法不仅可以用来证明初等几何定理，还可以证明微分几何中的定 理。石赫研究员【1 6 】利用吴代数方法，研究了著名的y a n g - b a x t e r 方程的解的问题。王世坤 研究员等人| 1 7 】将吴方法应用于研究y a n g - b a x t e r 型的解的结构问题。 此外，吴方法还有许多重要的应用。李志斌教授和他的学生基于t a n h 函数方法和椭 圆函数展开法在m a p l e6 平台上编制了计算孤子方程精确解( 孤波解、双周期解) 的软件 包r a t h 【1 8 】。近年来，范恩贵f l q 教授在这方面也做了大量的工作，受到国内外同行的广泛 关注。他推广了t a n h 的方法，椭圆函数展开法和一个广义的代数方法，借助于计算机并 利用吴方法得到了很多方程的精确孤波解。闰振亚博士基于两种r i c c a t i 方程，提出了 求解非线性发展方程的更为有效的算法，以此为基础并应用吴代数消元法，郑学东硕士【2 l 】 编制t m a p l e 软件包。朝鲁 2 2 】教授将吴微分特征列法( 吴微分消元法) 应用于微分方程对 称计算，取得了很好的结果。 近年来，张鸿庆教授及其课题组成员在微分代数方程的代数化和机械化方面做了大 量的工作f 2 3 _ 2 q 。张鸿庆教授早在1 9 7 8 年，将代数化的思想引人了微分方程中，给出了具 体的代数化算法，解决了大量力学中方程组的解的恰当性问题。随后，证明了非齐次线性 算子方程组a u = ，的一般解为u = g ”+ e ，其中”满足方程组d v = 9 ，d 是对角矩阵，用代 数方法给出了g ，d ，e 的具体构造方法。用此方法可以给出各种弹性力学位移函数和应力 函数的机械化算法，构造数学物理中一系列方程的一般解。谢福鼎博士利用吴微分特 征列理论研究了”c d ”对框架下，线性偏微分方程组的完备性。 计算机代数兴起于上世纪6 0 年代初，是介于计算机，数学与人工智能之间的一门边 缘学科，计算机代数的主要研究内容是计算机上数学公式演绎的算法和系统应用。其发 展，大致可分为以下几个阶段 3 1 1 ： 2 大连理工大学硕士学位论文 1 2 0 世纪6 0 年代：发展初期，着重于多项式算术，积分方法； 2 2 0 世纪7 0 年代：诞生了m a c s y m a ，r e d u c e ，以及用于抽象域的s c r a t c h p a d i i ； 32 0 世纪8 0 年代：多项式时间方法，因式分解等的研究，m a p l e 与m a t h e m a e i c a f 目续发 布。 4 2 0 世纪9 0 年代：微积分，数学的w e b 发布，黑箱符号对象； 5 本世纪初：符号计算，数值计算，几何，组合与逻辑范例的融合。 计算机代数的主要功能在于：在计算机上以符号形式进行运算，实现公式的机器推 演。如果和初等数学相比，寻常的数值计算可比拟为数值计算，而符号计算可比拟为代数 运算( 故有计算机代数之说) 。前者只适合于个例分析，后者的结果则具有普遍性。由于计 算机代替了人工的推导，演算速度成千万倍地增加，使得原来令人望而生畏的复杂计算变 得简易快洁。在最初的十几年间，计算机代数也被叫做：符号与代数计算、公式处理、机 器代数等。于是在1 9 7 9 年，美国加州理工学院的e e g 教授统一了计算机代数的名称和定 义：“计算机代数是一门利用数学、计算机进行代数和解析处理或操作的学科”。1 9 8 2 年， 德国卡尔斯鲁厄大学的r l o o s e 教授又进行了进一步的拓广和补充：“计算机代数是设计、 分析、改造和应用代数算法的计算机科学分支”。计算机代数的最早出现公认以1 9 6 0 年 美国麻省理工学院的m c c a r t h y 推出的l i s p 语言为标志。在随后的十几年间，计算机代数的 发展引起了国际计算机科学界的重视。美国的计算机协会组织了符号与代数处理专业组 ( s p e c i a li n t e r e s tg r o u po ns y m b o l i ca n da l g e b r a i cm a n i p u l a t i o n ，简称s i g s a m ) ，其成员遍 布世界3 0 多个国家。这个国际组织每两年召开一次国际会议( 简称i s s a c ) ，专门交流计算 机代数方面的研究成果。西欧各国计算机工作者组织了欧洲符号和代数处理专业委员会 ( s y m b o l i ca n da l g e b r a i cm a n i p u l a t i o no fe u r o p e a n ，简称s a m e ) ，定期召开简称a a e c c 的 国际会议。这两大组织还分别创办了计算机代数刊物s i g a mb u l l e t i n 和j o u r n a lo fs y m b o l i c c o m p u t a t i o n 。这些学术活动大大地推动了计算机代数的发展。 在过去的三十几年间，符号计算软件取得了诸多的成就。其中l i s p 在符号计算软件 中起了重要作用。3 a m e ss l a g l e 写的第一个符号积分程序以及稍后由j o e l m o s e s 写的符号积 分程序都是用l i s p 写成的。1 9 7 1 年，第一个基于l i s p 的通用符号计算软件m a c s y m a 问世， 它提供了计算极限和解方程的功能。a c h e a r n 用l i s p 开发了符号计算系统r e d u c e ，后来 成为一个广泛应用的通用软件。另一个广泛应用的通用软件是用c 语言写成的m a p l e 。与 其它符号计算系统比较，m a p l e 的效率比较高，这是由其自身的设计特点决定的。m a p l e 系 统的核心由尽可能小的关于基本运算的程序组成，这些运算包括：指令函数，整数，有理 数和多项式运算以及空间管理。该软件的其它部分是由m a p l e 语言写成的软件包。这些软 件包的管理很灵活，用户可以加入，改变和删除函数。目前m p l e 已有大量专用软件包。最 引人注目的商业系统是由s t e p h e nw o l f r a m 组织编写的m a t h e m a t i c a 。该系统是用c 语言写 成的，有很新颖的特点。例如：“代数发动机”和用户接口有本质的区别；综合了符号计算， 3 用a c = b d 理论研究偏微分方程( 组) 的求精确解方法 数值计算和作图功能；具有结构清晰的用户编程语言等。与其它系统相比，m a t h e m a t i c a 不 仅成功吸引了很多学术界以外的注意，也得到了大量用户的支持。从上个世纪6 0 年代至 今，各类符号计算软件层出不穷，各有特色，为相关学科研究提供了极大的方便。 众多用户多年来的经验证明符号计算软件有诸多优点： l 、它使用户避免大量的繁琐计算。利用符号计算软件，用户可以把繁琐复杂的计算 交给计算机，而集中精力研究用什么样的算法解决问题。 2 、它使用户容易使用先进的的数学技术( 例如：因式分解，符号积分，吴方法等) 。 通用的符号计算软件不仅有操作符号计算的能力，而且还实现了很多强有力的和复杂的 算法。 3 、它帮助研究者完成大量繁琐运算的证明。例如：四色定理的证明，为了得到结论， 需要验证大约2 0 0 0 多种地图满足某些性质，这只能通过计算机来完成。 4 、它帮助研究者通过大量例子进行试验，验证猜想。 5 、它使一些古老的数学问题获得新生。例如：大整数的素数判定和分解，该问题在 编码理论中有重要应用。 6 、它促使研究者改进已知的算法和发明新算法。 当然符号计算软件也有其不足之处，主要表现在： 1 、计算机代码的局限性。利用符号计算软件时，常会遇到时问和空间的限制，其原 因部分在于运用的是准确运算和符号表达式，部分在于缺乏有效的算法。 2 、中间表达式膨胀。使用符号计算软件时一个常见的也是最严重的问题就是中间表 达式膨胀。中间表达式的规模与输入表达式的规模之间的关系可能是线性的，也可能是 指数的甚至是双指数的。 3 、输出难于管理。用户可能发现系统会返回难于处理的大型输出。例如一般4 次多项 式的完全解集，其公式会超出整个屏幕。 4 、可靠性。软件中所含的错误是一个重要的问题。大多数通用系统的基本运算，如 大整数加法和乘法，都是非常可靠的，但是关于复杂算法的软件，很可能有错误。 随着计算机代数的发展和计算机性能的改进，符号计算软件必然会越来越趋向于成 熟。尽管如此，作为符号计算软件的用户，仍然有必要追求算法上的创新，从而进一步提 高符号计算的效率。 1 2 孤立于理论的历史与发展 谈到孤子的历史，我们还得从1 9 世纪英国苏格兰一位造船工程师约翰斯科特罗素 ( j o h ns c o t tr u s s e l l ) 谈起。1 8 3 4 年，一次偶然的机会，r u s s e l l 观察到了从爱丁堡到格拉斯 哥的运河中浅水面上形成的保持原有形状和速度不变，圆而光滑、轮廓分明、孤立的水 4 大连理工大学硕士学位论文 波。1 8 4 4 年，r u s s e l l 在第1 4 届英国科学促进协会上的一篇题为论波动的报告中记述了 他1 8 3 4 年观察到的这种奇特的水波现象，并称这种波为孤立波( s o l i t a r yw a v e ) 。但限于当 时的数学理论和科学水平，人们无法从理论上给予这种现象一个圆满的解释，科学家们 甚至怀疑孤立波现象是否真正存在。 在随后的几年，a i r y 、b o u s s i n e s q 和r a y l e i g h 等人相继对孤立波进行了研究。a i r y 得出 结论：r u s s e l l 所提到的孤立波根本不存在；s t o k e s 使用了正确的方程，却得到了错误的结 果；b o u s s i n e s q 和r a y l e i g h 分别从数学角度证明了孤立波的存在性。b o u s s i n e s q 为近似描述孤 立波，提出了一个非线性发展方程，后来被命名为b o u s s i n e s q 方程。但是，b o u s s i n e s q 和r a y l e i g h 的工作仍然没有使那些对孤立波感兴趣的科学家们完全信服。这也促使荷兰数学家k o r t e w e g 和他的博士生d ev r i e s 对水波现象作进一步研究。 1 8 9 5 年，k o r t e w e g 和d ev r i e s 根据流体力学研究了浅水波的运动，在长波近似和小振 幅的假定下，求得了单向运动的浅水波运动方程，即著名的k d v 方程。通过一定的数学变 换，k d v 方程变为如下形式 “+ 6 仙u + n z z z = 0 ， 其中“为波形函数。k o r t e w e g 和d ev r i e s 从上式求出了与r u s s e l l 所发现的孤立波现象一致的 结果，即具有不变形状的脉冲状孤立波解。k d v 方程的解，准确地描述了浅水波的非线性 特性：行波速度依赖于其本身的振幅，当两个这样的脉冲波沿着同一方向运动时，波峰高 的脉冲波的行进速度快，因此会赶上前面波峰低的波而发生碰撞。 然而这样的孤立波是否稳定，两个这样的孤立波碰撞后是否形变，这一直是科学家 们感兴趣而又无法证实的问题。因此在没有新的发现之前，k d v 方程以及孤立波仍长期 处于被埋没之中。 1 9 6 5 年美国普林斯顿( p r i n c e t o n ) 大学的两位应用数学家m d k r u s k a l 和n z a b u s k y j 匝 过数学模拟方法深入地研究了等离子体中孤立波碰撞的非线性相互作用过程。他们意外 地发现，两个孤立波在碰撞后各自的波形与行进速度居然都能保持不变，仅仅是相位发 生了改变。这一性质使人们联想起质点粒子和波粒二象性等熟悉的现象。只有粒子的碰 撞才会有类似的情形出现，于是将这种波定名为孤立子( s o l i t o n ) ，以反映其粒子属性。 “孤立子”没有明确的定义，但是它可用来描述一个非线性方程或非线性体系的任 意解，若此解满足：1 可表示成一个固定形式的波；2 是局部的、衰变的或在无穷大时变 为常数；3 可与其他的孤子进行强烈的相互作用。在相互作用后即使叠加原理成立其形式 亦不会改变。 总之，k r u s k a l 和z a b u s k y 的这一研究工作为推动孤立子理论的发展，树立了一个重要 的里程碑。此后，科学家们对孤立子的研究兴趣和热情便一发难收，在很多学科领域都发 现了孤立子运动形态，相应地，在数学上，发现了一大批具有孤立子解的非线性发展方 程，而且已逐渐建立起较系统的研究孤立子的数学物理方法。 5 用a c = b d 理论研究偏微分方程( 组) 的求精确解方法 目前，较为完整的孤立予理论体系正在逐步形成，国内外在这方面出版了很多专 著【n _ 3 目。孤立子理论已经被应用于解决等离子体物理、凝聚态物理、生物学和非线性 光学等领域中某些难以解决的问题，以及非线性作用下的运动规律等。从数学方面来看， 已经发现一大类非线性发展方程具有孤波解，求解方法也出现了许多独特的分支。 1 3 构造非线性偏微分方程精确解的若干方法 寻找方程的解( 包括数值解和精确解) 是一个非常古老而且很重要的课题。有时为很 准确地研究物体变化的性质，我们需要寻求其对应方程的精确解。自从k o r t e w e g 和他的博 士生d ev r i e s 提出k d v 方程并获得其精确解以来，一大批非线性方程解的构造引起了人们 的极大兴趣。但由于非线性偏微分方程自身的复杂性，用现有的方法无法求出其非平凡 解，即使获得了方程的精确解，也只是少数的一些解，无法求出其全部解，并且对不同类 型的方程，用的方法可能也不一样，至今还没有任何一种方法可以囊括四海，包罗万象。 正如k l e i n 所说：“微分方程求解只是技巧的汇编”。值得庆幸的是，经过数学家和物理学 家们的不断努力，发现了孤立子理论中蕴藏着一系列构造精确解的有效方法，如反散射 方法、b i c k l u n d 变换、d a r b o u x 变换、齐次平衡法、p a i n l e v e 奇性分析法等等。随着各种求 解方法的出现，不但过去难于求解的方程得到解决，而且新的、具有重要物理意义的解不 断被发现和应用，出现了一个层出不穷的势头。限于篇幅问题，下面仅对几个常见的方法 作简单介绍，而对其它方法不作任何解释，有兴趣的读者可查阅文献了解具体的内容。 1 散射反演方法 反散射方法，由于求解过程中用至l j f o u r i e r 变换及逆变换，又称为非线性f o u r i e r 变换 法反散射方法是当前求解可积非线性系统的重要方法，它的基本思想是将这类非线性 问题通过常微分算子与本征值转化为线性问题来求解。1 9 6 7 年，伽德纳( c s g a r d n e r ) 等 人( 简称g g k m ) 在研究k d v 方程时，利用量子力学中s c h r s d i n g e r 方程的反散射论证 ( 正散射问题和反散射问题) 将k d v 方程的初值问题转化为三个求解线性方程的问题，得 到了孤子解，这种处理问题的方法称为反散射法。1 9 6 8 年p d l a x l 4 0 分析了g g k m 用 于求解k d v 方程初值问题的上述思想，整理提出了用反散射方法求解其它偏微分方程 ( p d e ) 的更一般的框架，同时指出，用反散射方法求解p d e 的前提是找到该方程的l a x 表 示( l a x 对) 。1 9 7 2 年，z a k h a r o v 和s h a b a t 并i 用l a x 的思想，用反散射方法求解非线性s c h r s d i n g e r 方程，第一次用实例证明了反散射方法的更一般性。1 9 7 2 年，w a d a t i l 4 1 1 用类似方法求解 了m k d v 方程。1 9 7 3 年，a b l o w i t z ，k a u p ，n e w e l l 和s e g u r 4 2 】编制了用反散射方法求解大批 偏微分方程的软件包。1 9 7 5 年，w a l d q u i s t 和e s t a b r o o k 【4 3 】提出了含有两个非线性p d e 的延 拓结构法。该方法的一个重要应用是：借助l i e 代数，可以得到方程的l a x 表示，这为用反 散射方法求解方程提供了必要条件。但是，用w - e 方法求解太复杂。利用陆启铿教授建立 6 大连理工大学硕士学位论文 的非线性联络理论，郭汉英教授等人简化了w - e 方法，完整地建立了非线性方程主延拓 结构的理论和方法。李翊神教授【“】、屠规彰教授为发展这一方法做了很好的工作。反 散射方法的出现不但对应用技术提供了崭新的方法和概念，而且对数学自身的发展有着 深远的影响。 2 b a c k l u n d 变换$ 口d a r b o u x 变换 1 8 8 5 年，瑞典几何学家b i c k l u n d 在研究负曲率曲面时，发现s i n e - g o r d o n 方程 ( 1 3 1 ) 的两个不同解u 和“7 之间有如下的关系式 f ：= 一u 。+ 2 0s i n ( 型) ， ( 1 3 2 ) 【u ，_ u c + ：s i n ( 型笋) 其中n 是参数。这就是著名的b i c k l u n d 变换。其特点是：已知s i n e - g o r d o n 方程的一个解u ， 解上述一阶方程组，就可以得到其另一个新解。根据上述结果还可以得到一个非线性叠 加公式 u 3 = 4a r c t a n ( 篙t a n 半) 椭( 1 删 n o4 这样，如果己知方程( 1 3 1 ) 的三个解u o ，u l 和u 2 ，就可以通过叠加公式求得新解u 3 ，而不 必再求解方程组( 1 3 2 ) 3 3 , 3 4 1 。b g c k l u n d 变换当时并没有引起人们的足够重视。在被冷落了 近百年以后，到了2 0 世纪6 0 年代，由于非线性光学和晶体位错等许多领域的研究都和s i n e g o r d o n 方程有关，这个变换才重新受到重视。1 9 7 3 年，w a h l q u i s t 和e s t a b r o o k 发现k d v 方程 也具有类似的b g c k l u n d 变换。1 9 7 6 他们提出了求解非线性方程的b g c k l t m d 变换的延拓结构 法，将b ；i c k l u n d 变换、守衡律及反散射变换统一在一个拟位势中。1 9 8 3 年，w e i s s ，t a b o r 和c a r n e v a l e 推广了常微分方程的p a i n l e v 6 可积的判定方法，提出了偏微分方程的p a i n l e v d 可积 的判定方法，并用其获得了一些可积方程的b a c k l u n d 变换。 一百多年以前，d a r b o u x 研究了一维s c h r o d i n g e r 的特征值问题 也。一( z ) = a ( 1 34 ) 其中u ( 。) 是给定的函数，称为势函数，a 是常数，称为谱参数。d a r b o u x 发现了这样一个 事实：设u ( z ) 和( z ， ) 是满足( 13 4 ) 酗j n 个函数，对任意给定的常数抽，令f ( x ) = ( 扎1 0 ) ， 即，是( 1 3 4 ) 当a = a o 时的一个解，则由 u。=。，u。，+：2。(1。n。f，)。x，x一,争。，。， c - 。s ， 用a c = b d 理论研究偏微分方程( 组) 的求精确解方法 所定义的函数“、一定满足和( 1 3 4 ) m 样形式的方程 一虬。一u 7 曲= a ( 1 3 6 ) 这样这个借助于，( z ) = 母( 扎知) 所作的变换( 1 3 5 ) 将满足( 1 3 4 ) 的一组函数( u ，咖) 变化为满 足同一方程的另一组函数( u 7 ，) ，这就是原始的d a r b o u x 变换 ( u ，曲) 一( u ，) ( 1 ，37 ) 在，0 0 k 它是有效的。d ”b o u x 变换的基本思想为：利用非线性方程的一个解及其l a x 对 的解，用代数算法及微分运算来获得非线性方程的新解和l a x 对相应的解。有时人们也 称d a r b o u x 变换为b 诎l u n d 变换。1 9 7 5 年，w a d a t i 等人将d a r b o u x 变换推广到m k d v 方程和s i n e - g o r d o n 方程。中科院院士谷超豪等人陋叫将其推广到k d v 族、a k n s 族和高维方程组，并 将这个变换应用到微分几何中的曲面论和调和映照中。 王明亮教授和李志斌教授提出了求b 诎l u n d 变换的简洁而有效的方法。范恩贵教 授进一步发展了这一工作| 1 9 】。闰振亚博士 2 0 】、陈勇博士和李彪博士也作了许多工 作。 3 双线性方法 1 9 7 1 年，h i r o t a b l 入了双线性方法，用于构造许多方程的多孤子解和b 姚l u n d 变换。晟 近，胡星标教授1 4 q 等人很好地发展了该方法，并且给出了解的互换定理和解的非线性叠加 公式。1 9 8 8 年b o i t i 等人研究了( 2 + 1 ) 一维模型，提出了孤立子解的一种特例d r o m i o n 结构。随 后，人们证明其它( 2 + 1 ) 维方程也拥有d r o m i o n 结构。1 9 9 6 年，楼森岳教授用h i r o t a 方法研究 了一个( 3 + 1 ) 维k d v 型方程，证明了该方程拥有丰富的类d r o m i o n 结构。1 9 9 3 年，r o s e n a u 和h y m a n 为了研究非线性色散模型的影响，提出了k ( m ，n ) 模型，并且给出了该方程在分段 连续情况下的c o m p a c t o n 解，该解具有弹性碰撞等有趣的类似于孤立子解的性质。 4 p a i n l e v 6 检验 用反散射法求解方程的初值问题的前提是寻找该方法的l a x 对，但拥有l a x 对的方程 不一定可用反散射法求解。1 9 7 8 年，a b l o w i t z ，s e g l l r 和r a m a n 发现：对于可以用反散射方法 求解的非线性演化方程来说，其相似约化的所有常微分方程都有p m n l e v 性质，因此他们 给出一个猜测p m n l e v 6 猜测：一个完全可积的偏微分方程的每一个相似约化的常微分方 程具有p m n l e v 6 型，或者约化的o d e 经过变量变换之后具有p a i l l l e v 6 型。这个猜测提供了一 个证明一个p d e 是否完全可积的必要条件。1 9 8 3 年，j w e i s s ，m t a b o r 和g c a r n e v a l e 【5 0 引入 了p d e 的p m n l e v 6 性质( 或称p m n l e v p d e 检验) 的概念，并且提出了一个与a b l o w i t z 用于判 定o d e 的p m i l l e v 6 性质类似的算法，利用p d e 的p m n l e v f ip d e 检验可导出l a x 对和b g c k l u n d 变换。1 9 8 4 年w e i s s 5 1 又推广了蹦n l e v 6p d e 检验的使用范围，引入条件p m n l e v 6 性质的概 念。1 9 8 2 年k r u s k a l 等人将奇异流形上的函数( 不妨设两个变量z ，t ) 假设为其中一个变量 8 大连理工大学硕士学位论文 的线性关系，h p ( x ，) = z + 庐( ) 。这大大简化了计算的复杂性。一般说来，p a i n l e v o d e ( 或p d e ) 检验不研究负共振点的性质。1 9 9 1 年j i m b o ，f o r d y 和p i c k e t i n g 研究了负共振 点的重要意义，并且指, h t l c h a z y 方程具有负共振点( - i ，一2 ，一3 ) 。曾云波教授盼5 3 】改进 了p a i n l e v 6 截尾展开，导出了t o d a 方程的b g c k l u n d 变换，给出了从给定具有p a i n l e v 6 性质的 方程出发去构造具有p a i i f l e v 6 性质的一族方程的一般方法。 5 齐次平衡法 1 9 9 5 年，王明亮教授等人m 5 5 】提出了齐次平衡法，用来求解非线性偏微分方程的精 确解，1 9 9 6 年高以天教授和田播教授改进了该方法，来研究f 2 + 1 ) 维方程的解。随后，他 们又给出了非线性偏微分方程的更一般形式的解。1 9 9 8 年范恩贵教授和张鸿庆教授【2 4 进 一步发展了齐次平衡法，不仅得到了更多类型的精确解，也找到了得到b d 【l u n d 变换的另 外一种途径。之后，闫振亚博士和张鸿庆教授【2 0 再次发展了该方法，并且利用该方法推 广了s i n e - c o s i n e 法、t a n h 函数法和椭圆函数法等，获得了非线性偏微分方程的更丰富的精 确解的形式。 6 a c = b d 框架下的精确求解 1 9 7 8 年，张鸿庆教授【5 7 】提出了偏微分方程求解的构造性的机械性算法，即“a c = bd ” 方法。他借助于代数的理论来构造偏微分方程的解，在一个统一的框架下解决了大批力 学问题所对应的偏微分方程组的求解问题。 构造微分方程精确解的方法还有许多，但是由于非线性方程本身的复杂性，使得这 类努力的结果往往得到只是少数的解，至今尚无统一的方法来构造精确解。 9 第二章“a c = b d ”理论与c d 对的构造方法 构造微分方程的解析解是既重要又困难的课题。长期以来，许多数学家和物理学家 作了大量的工作，提出了很多求解方法。但是仍有许多重要的具有实际物理意义的方程 ( 组) 无法求出显示的解析解或仅求出很少类型的解。在求解中，往往一种方法只能用来 求解一类方程或某些特殊类型的解，很难有适合于各类方程( 组) 的统一方法。本章介绍 “a c = b d ”理论及其在微分方程( 组) 中的应用，并介绍了c d 对的常用构造方法。 2 1“a c = b d ”理论及其在微分方程中的应用 1 9 7 8 年，张鸿庆教授( 5 7 】总结了弹性力学方程组的各种一般解，用代数的概念和构造 方法，给出了统一理论和公式，并提出了恰当解这一重要概念，得到统一的求恰当解的方 法，并推广到了一般化的线性算子方程组理论中。随后，张鸿庆教授和他的学生们进一步 发展和完善了这一工作，逐步形成了微分方程( 组) 求解的“a c ：b d ”理论。 定义2 1 ：设x 是线性空间，a ，b ，c ，d 是从x 至, j x 的算子，对任意口x ， a c ( ) = a ( c v ) ，b d ( v ) = b ( d v ) 如果对 i f ：x ，a c v = b d v ，则称a c ：b d 。 定义2 2 ：如果对于算子a ，存在算子b ，c ，d ，使得a c = b d ，c k e r d = k e r a ，其 d o k e r a = ua u = o ) ，k e r d = ld v = o ) ，则称a u = 0 是可积系统。若c k e r d k e r a ，但c k e r dck e r a ，则称a u = 0 为部分可积系统。 定义2 3 ：算子c 和d 称为算子 的g d 对，如果系统： ：三： 皿， i d ( 叩) ：o 1 ) 其相容条件恰为a u = 0 ，其中u 为参数，“恰”的意义为：如果系统( 2 1 1 ) 的另一个兼容 条件为a u = 0 ，那么k e r a ck e r a 。 若c ( v “) = o - i 写为u = c v ，d ( v “) = o 可写为d v = 0 ，那么a 有显式的c d 对。 若c k e r dck e r a ，则对d v = o 的任意解 ，若u = c v ，, u a u = 0 。 若c k e r