（基础数学专业论文）rds型李代数(1).pdf

青岛大学硕十学位论义 y 7 3 8 4 4 1 摘要 对李代数的结构和分类问题的研究是代数学研究的基本任务之 。特别是对自 限维李代数结构和分类的研究，是一个非常关键并且具有重要意义的问题。 所谓的r d s ( r e s p e c td i r e c ts u m so f i d e a l s ) 型李代数就是通过对李代数的理 想格进行讨论，从而定义一类特殊的李代数。 这类李代数范围比半单李代数要大，所以对它的结构和分类问题的讨论可 促进整个李代数结构研究的进展。 本论文的主要上作就是对r d s 型李代数进行研究。主要讨论了它的基本性质 并且确定了维数小于等于4 的r d s 型李代数的结构。其中最重要的工作是给出了 四维r d s 型李代数的一个完全分类。 第一章首先引出n r d s 型李代数的定义，接着列举了其主要性质和些重要定 理，其中主要结论是定理i 1 ，这一定理决定了所有的n r d s 型李代数( 2 ) 。 第二章给出了r d s 型李代数定义的一个充分必要条件，叙述并证明了r d s 型 李代数的一系列主要性质。 第三章是本论文的主要内容。这一章在前面工作的摹础上首先给冉1 3 维r d s 型李代数的完全分类结果；在此基础上解决了四维r d s 型李代数的结构和分类问 题。 关键词：理想格；l i d s 型李代数；中心；可解李代数：商代数。 一塑塞一一 a b s t r a c t s t u d vt h ec o n s t r u c t i o na n dt h ec l a s s i f i c a t i o no ft h el i ea l g e b r ai s o n eo ft h eb a s i c w o r ko ft h ea l g e b r a e s p e c i a l l yt ot h ef i n i t ed i m e n s i o n a ll i ea l g e b r ai sav e r yi m p o r t a n t w o r k r d s t y p el i ea l g e b r ai sas p e c i a lc l a s so f l i ea l g e b r a w ed e f i n ei tt h r o u g hs t u d y i t si d e a i i a t t i c e t h i sc l a s so fl i ea l g e b r ai sm o r et h a ns e m i s i m p l el i ea l g e b r a s os t u d yt h e c o n s t r u c t i o na n dt h ec l a s s i f i c a t i o no f i tc a r lh e l pu st os t u d yt h ew h o l el i ea l g e b r a t h em a i nw o r ko ft h i sp a p e ri st os t u d yt h er d s t y p el i e a l g e b r a i nt h i sp a p e rw e s t u d yi t sb a s i cp r o p e r t i e sa n dd e c i d e dt h ec o n s t r u c t i o no f t h er d s t y p el i ea l g e b r at h o s e d i m e n s i o n a li sl o w e ro re q u a lt o4 t h em o s ti m p o r t a n tw o r ko ft h i sp a p e ri st h a tw e g i v e ac l a s s i f i c a t i o no f t h er d s - t y p el i e a l g e b r a t h o s ed i m e n s i o n a li se q u a lt o4 i nt h ef i r s t c h a p t e rw ed e f i n e t h e n - r d s t y p e l i ea l g e b r aa n dg i v ei t sm a i n p r o p e r t i e sa n ds o m et h e o r e m sa b o u ti t t h em a i nt h e o r e mi st h e o r e m l 1 t h i st l e o r e m d e c i d e da l ln - r d s t y p el i e a l g e b r a ( ”2 ) i nt h es e c o n dc h a p t e rw e g i v ean e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n so ft h ed e f i n i t i o n o ft h er d s - t y p el i ea l g e b r a ；t h e nw ei l l u s t r a t ea n d p r o o fs o m eb a s i cl e m m a a b o u tt h e r d s - t y p el i ea l g e b r a t h et h i r dc h a p t e ri st h em a i np a r to ft h i s p a p e r f i r s tw ec l a s s 1 - 3d i m e n s i o n a l r d s t y p el i ea l g e b r a t h e nw e d e c i d e da l l4d i m e n s i o n a lr d s t y p el i e a l g e b r a k e yw o r d s ：i d e a ll a t t i c e ；r d s - t y p el i ea l g e b r a ；c e n t e r ；s o l v a b l el i ea l g e b r a ； q u o t i e n ta l g e b r a 青岛人学硕士学位论文 引言 对李代数的结构和分类问题的研究是代数学研究的基本任务之一。特别是对有 限维李代数结构和分类的研究，足一个非常关键并且具有重要意义的问题。围绕这 一课题的研究也取得了非常丰富的成果，其中最经典也是最完美的结果就是c a f t a n 等人所给出的对特征零的代数闭域上的有限维单李代数的分类1 】：所有的有限维单 李代数全部确定，它们可以由9 种极为简单的d y n k i n 图所唯一刻划，它们分别表示 为爿，口，c 。日，e 。，e ，e 。，f 4 ，g ：。而半单李代数又可以表示成单李代数的直和的形 式。因此，有限维半单李代数的结构问题也随之解决。 但是对一般有限维李代数( 非半单) 的结构和分类问题的研究还远远没有完成。 并且通常研究有限维单李代数的方法( 通过根系来刻画其结构) 也不适用于其他类 型的李代数。因此，寻找新的研究方法讨论一般有限维李代数的结构和分类问题是 当前李代数研究领域的主要问题之一。 在这个问题上，许多数学工作者也做了一些有益的探索并取得了一定的进展， 这些已经取得的成果有下面的一些特点： 一、 所研究的对象是一些较为特殊的有限维李代数。例如：可换李代数、 可解李代数、幂零李代数等等。 二、 得到的大多是关于低维数的( 一般小于等于七) 。 三、所使用的方法不具有一般性。 下面简要介绍下这方面的一些研究成果。 1 9 9 0 年，j p a t e r aa n dh z a s s e r t h a u s 给出了在某些域上的维数小于等于四的可 解李代数的个分类。但是对于更高维数的分类则没有更好的结果i 舶。 1 9 9 1 年，j m a n c o c h e na n dr ，c a m p o a m o r 则将维数小于等于7 的幂零李代数 做出了一个完全的分类。我们知道幂零李代数是可艇李代数的一类。所以它的分类 对我们的研究也是很有帮助的f 3 1 。 1 9 9 4 年b e n i t o 在他的文章中从“几乎”可换李代数出发，讨论了它的理想格满 足的三条主要性质。证明了：若一个可解李代数的理想格同构于某个“几乎”可换 李代数的理想格，则该可解李代数也是“几乎”可换的【4 】。 1 9 9 5 年，p i l a f b e n i t oc l a v i j o 则讨论了理想格满足可补与分配性质的李代数，它 的根的维数最多是1 1 5 1 。 2 0 0 4 年，w a d e g r a f t 则通过定义一些单理想给出了低维( 小于等于4 ) 可解李代数的分类，这里运用了计算机程序来实现其算法。 引言 近年来，通过对李代数的理想格的讨论研究其结构的方法被许多入所使用。1 9 9 8 年，王宪栋在n r d s 型李代数及其构造一文中定义并刻画了r d s 型李代数的特 征n 所谓的r d s ( r e s p e c t d i r e c ts u m so f d e a l s ) 型李代数就是通过对李代数的 理想格进行讨论，从而定义一类特殊的李代数。根据理想格满足的一些条件向给出 的李代数的一簇子类。它的定义可以用如下的一个充要条件来表述。 设l 是域f 上李代数，w 是l 的理想格，则l 是r d s 型李代数营( 1 ) 若 丘，i ，2 w 且，1n ，2 = 0 ，则k n ( ，lo ，2 ) = ( k n ，1 ) o ( k n t 2 ) ( 2 ) 若，! w ， 有，】，z w 使，ln ，2 = 0 且，j = ，j + i ，ln j 2 ，2 = 1 2 + j ln j 2 这类李代数范围比半单李代数要大，所以对它的结构和分类问题的讨论可 促进整个李代数结构研究的进展。 本论文就是在这些研究的基础上所做的进一步的工作。首先给出了n r d s 型 李代数的定义并简单介绍了它的主要性质和几个重要定理；然后根据已经给出的 r d s 型李代数的定义，叙述并证明了r d s 型李代数系列主要性质：接着给出了 1 3 维r d s 型李代数的完全分类结果；最后在此基础上主要解决了四维r d s 型李代 数的结构和分类问题。 第一章首先引出n r d s 型李代数的定义，接着列举了其主要性质和一些重要 定理，其中主要结论是定理1 1 ，这一定理决定了所有的n r d s 型李代数( 2 ) 。 第二章给出了r d s 型李代数定义的一个充分必要条件，叙述并证明了r d s 型李代数的一系列主要性质。 第三章是本论文的主要内容。这一章在前面工作的基础上首先给出1 3 维 r d s 型李代数的完全分类结果；在此基础上解决了四维r d s 型李代数的结构和分类 问题。在给出几个有用的引理后，具体又分两种情况进行讨论。 第一种针对具有一维中心的四维r d s 型李代数。得到的主要结果是： 引理3 2 、3 若l 是r d s 型李代数，则有基e ，f ，g ，h 使： 限，】= 矗 臣盘，一 眠x = 0 或者 青岛大学硕上学位论文 ( 2 ) 成立。 定理3 2 1 设 是r d s 型李代数，则具有引理3 2 3 中所描述的基及由( 2 ) 式所给出的换位关系，并且丑0 ，也0 。 第二种情况针对中心为零的四维r d s 型李代数。主要结论是： 引理3 3 3 若l 是r d s 型李代数，则有基p ，g ，h 使： f 【e ，s l = h 臣籍， l 肛，x 】= x ( x ) h 或者 他州= 厅 占盘i 黝枷渺。 c 其中x i 玟e , f , g ) 【肛，x 】= 五( x ) 定理3 3 1 设是r d s 型李代数，并且具有引理3 3 3 中所描述的基及由( 1 ) 式所给出的换位关系，则必有下列情形之一成立： 丑= 0 ，五0 ，五= 0 ，五( p ) 0 ，兄( 厂) = 0 = 0 ，也= 0 ，也0 ，a ( p ) = 0 ，2 ( f ) 0 ： 定理3 3 2 设是r d s 型李代数，并且工具有引理3 3 3 中所描述的基及由( 2 ) 式所给出的换位关系，则必有下列情形之一成立： 五( p ) 、五( ，) 不全为零 0 ) = 丑( ，) ；0 时，名不全为零，i = 1 ，2 ，3 。 m 椰扣枷枷 k k 陟k 第一章n r d s 型李代数 第一章n r d s 型李代数 本章根据理想格满足的条件，定义了r i - r d s 型李代数。这种李代数具有小根， 特别是当”2 时，根的维数不超过2 ；当 = 1 时，中心的维数也不超过】。 从本章开始，如果不做特别说明，所提到的域指的是特征零代数闭域。 定义】1设厶是域，上李代数，、分别表示厶的理想格，满同 态，：_ 称为r d s 同态，如果它满足下面的条件： ( 1 ) 若。、1 2 ，且n 厶= 0 ，贝j j f ( 1 , ) n f ( 1 2 ) = 0 ； ( 2 ) 若、j ：，且l ，1n = 0 ，则有冬，2 ，使得，ln ，2 = 0 ，且 ，( ，1 ) = ，f ( 1 2 ) = j ：。 定义1 2 如果任何以为定义域的满同态都是r d s 同态，则称是卜r d s 型 李代数( 又称r d s 型李代数) ，记为l r t ； 对n l ，如果的任何理想含于b 一，内，则称是n r d s 型李代数，记为上e ；。 注：r d s 表示r e s p e c td i r e c ts h m so fi d e a l s 例1 1 一维李代数是n r d s 型李代数；二维非可抉李代数是n r d s 型李代数。 ( n 1 ) 通过定义不难验证这一结果是成立的。 例1 2 设f 是零特征代数闭域，则f 上半单李代数是n r b s 型李代数。 因为半单李代数可以写成单李代数的直和的形式，则其理想都是这些单理想的 直和的形式，再根据定义，结论显然是成立的。 这一例子说明n r d s 型李代数是远比半单李代数范围大的多的一种李代数。 下面给出关于n r d s 型李代数的一系列性质和结论。 定理1 1设是可解n r d s 型李代数，且”2 ，则d i m l 2 。进而l = o 或者，是一维李代数或者二维非可换李代数。 证明：殴l 的导代数列为上= 0 3 c ”3 3 上( “= 0 ，且口”o ，则口z 。) 是 可换r d s 型李代数( o i - _ 3 ，则呐，“分别 4 青岛大学硕士学位论文 是三维、二维r d s 型理想，且。cl ( ”“。则产生矛盾，故d i m l 2 。 这个定理是关于可解 i - r d s 型李代数的，下面我们给出一个关于n r d s 型李代数 的一个判别定理。 首先给出几个引理。 引理1 1 设是尸上半单李代数，z l 且到l 的任一单理想的投影不为零， 则有y l ，使得x y 生成的子代数等于。 证明：见参考文献f 8 1 训 引理1 2 设l = s o t 是理想s 和7 1 的直和分解，且s 半单，则，是e 的理想 当且仅当| ，= o ，其中，以分别是髓，的理想。 证明：由引理i 1 可以证明。 定理1 2 设l = s o t 是理想直和，s 半单，则上是n r g s 型李代数当且仅当 ? 、是nr d s 型李代数。 引理1 3 ( l e v i 分解定理) 设是，上李代数r = r a d l 是l 的极大可解 理想，则有三的半单子代数s 使得l = s o r 。这一分解称为j l 的l e v i 分解，称 为l 的l e v i 因子。 定理1 3 对r 2 ，l 是n r b s 型李代数当且仅当r a d l 是下列三个中的一个： o ，一维李代数，二维非可换李代数。 证明：必要性，由假设是2 - r b s 型李代数。令尺= r a d l ，则r 细是上的理 想，从而是r d s 型的。设r 的导代数列是： r = 詹( o ) 3 月( ”) ) r ( ”+ ) = 0 詹( ”) 0 则冗么( m ) 是可换r d s 型李代数， 茸d i m r 么( “) = i ，o ，”。 类似定理1 1 的证明，必有r a d l 的维数不超过2 ，故旯只能是定理中列举的形 式。 充分性，设l = s o r 是l 的l e v i 分解，厅是三的极大可解理想。 若s = 0 结论显然成立i 若s 0 ，s 在r 上的伴随作用使矗成为一个s 模，由表示的w e y l 定理可以i 止 明【s ，r = 0 ，从而上= s o r 是理想直和，再由定理1 2 可知l 是n r d s 型李代数。 第一章n r i ) s 型李代数 推论1 1 设是f 上李代数，且【上，】= l ，则l 是半单的当且仅当l 是2 - l t d s 型李代数。 由定理1 3 我们决定了所有珂2 的情形，以后主要考虑1 一r d s 型的，即r i ) s 型李代数。 青岛大学硕士学位论文 第二章r d $ 型李代数 上一章已经讨论了仃r d s 型李代数( 胛2 时的情形) ，并且证明了对月2 ，l 是n r d s 型李代数当且仅当r a d l 是下列三个中的一个：o ，一维李代数， 二 维非可换李代数。 本章开始对l i r d s 型李代数，也就是r d s 型李代数进行研究，主要介绍kj ) s 型 李代数的一些性质并且证明了可解r d s 型李代数的存在性，构造了一类可解r d $ 型 李代数。 2 1r d 8 型李代数的等价定义和基本性质 首先给出r d s 型李代数定义的个充分必要条件： 引理2 1 1 设是域f 上李代数，是的理想格，则三是r d s 型李代数 ( 1 ) 若k ，1 ，2 w 且，】n ，2 = 0 ，则k n ( ，l0 ，2 ) = ( k n ，1 ) o ( k n ，2 ) ( 2 ) 若l ，l ，2 w ，有，l ，2 使，in ，2 = 0 ，。，l = ，1 + ，ln 。，2 ，2 = ，2 + l ，1n j 2 证明：由定义1 1 和定义1 2 不难验证引理是成立的。 在下面的讨论过程中，一般我们所用的r d s 型李代数定义就是这个充分必要条 件。 下面接着给出r d s 型李代数的些性质。 引理2 ，1 2r d s 型李代数的同态像还是r d s 型李代数。 证明：利用同态基本定理和引理2 1 1 可以证明。 引理2 1 。3 设是幂零李代数，并且是r d s 型的，则d i m 三s l 。进而有： r d s 型李代数的中心的维数不超过1 。 证明；设是非零的幂零李代数，则其中心z ( 工) 0 ，则至少有一个一维理想 厄同态像缀也是幂零的r d s 型李代数。 若d l m l ) l ，将得到一个二维幂零的r d s 型李代数。根据引理3 1 1 验证，这是 不可能的，所以d i m l l ； 又因为r d s 型李代数的中心是个幂零的r d s 型李代数，由上面的证明，所以 r d s 型李代数的中心的维数不超过1 。口 第二章r i ) s 型李代数 根据这一引理，在讨论四维r d s 型李代数的分类时，我们分为中心为零和具有 一维中心两种情况进行讨论。 2 2 可解r d s 型李代数的存在性 由引理1 3 即l e v j 分解定理，我们知道，一个一般的李代数可以分解为其 极大可解理想r = r a d l 和的半单子代数s 的直和的形式；定理1 2 则说明是否是 i c d s 型李代数依赖于r 是否是r d s 型李代数。而例1 2 说明半单李代数就是r d s 型李 代数，所以对r d s 型李代数的研究主要归结于对可解r d s 型李代数的研究。 但是这种可解r d s 型李代数是否存在呢? 下面我们就讨论可解r d s 型李代数的 存在性问题。首先，给出一个r d s 型模的概念。 定义2 2 1 设是一上李代数，彬是 模，如果满足下面条件，则称是r d s 型模： ( 1 ) 若n 、n l 、n ：是m 的子模，且n ，n n ，= 0 ，则 n ( 1o n 2 ) = n n 0 n n 2 。 ( 2 ) 若n 1 、n ：是m 的子模，则有子模n 。、n ：使n 。n n 2 = 0 ，且 川= n j + 1 n n z ，n 2 = n 2 + l f h n2 。 显然，是r d s 型李代数当且仅当p 模( 通过伴随表示) 它是r d s 型模。当 半单时，利用表示理论( 见文献”) 可以对有限维r d s 型卜模做完全分类，这就是下 面的定理： 定理2 2 1 设是f 上半单李代数，r 是有限维卜模， v = “( a ) o k ( 五) o 0 k ( ) ，则v 是r d s 型模当且仅当相应的支配整权 两 两刁；司，即：五五，f j 。 有了上面的这些准备，下面通过对线性变换和不变子空间的准备，构造一类可 解r d s 型李代数并得到：对任何正整数m 至少存在一个n 维的可解r d s 型李代数。 首先引入一个结果，证明过程见文献”“。 引理2 2 1设是可解r d s 型李代数，则： ( 1 ) l = f 厶1 是l 的余维数为l 的理想； 8 青岛大学硕上学位论空 定义。 ( 2 ) l 不能分解为两个非零理想的直和。 为了下面构造可解r d s 型李代数的需要，再给出一个基本，不变子空间的 定义2 2 2 设旷是尸上”维线性空间，7 1 是r 上的线性变换，选取的基 q 。帆，使得： 0 0 l0 ； 0 0 。i j01。0 ； ： 九+ ： j；010 00 + 01 则凡。+ + 凡。，l s f 蔓s ，1 z t 都是矿的不变子空间。简称基本，不变子空间。 引理2 2 2设kt 如上述定义2 2 2 且s = i ，则的非零不变子空间都是基 本，不变予空间。 引理2 2 3 设以t 如上述定义2 2 2 ，则：r 的任何不变子空间都可以表示 为基本，不变子空间的直和元a ，i ，。 证明：必要性：反证。设 = 五= a ，则不变予空间f ( 岛。+ e 2 ) 不能表示成基本 ，不变子空间的直和。 充分性：令= 如l + ，1 f j ，v = k o 0 k 设是任一不变子空间，d ，= b 一i 一，x ， ， 则4 是含在内的基本，不变子空间， 则可以假定4 = f e 】+ + 嘞，1 l ，7 1 是矿上的线性变换，定义v 中乘法使矿成为可换李代数，作分裂扩张：l = f 7 o 矿，则： 上是r d s 型李代数当且仅当，非退化，并且任何特征子空间的维数是l 。 证明：必要性：选取矿的基q ，e 。卫。f e 。，使得：线性变换，在这组基 上的作用如定义2 2 2 中的作用。 若对应特征值砖，特征子空间的维数大于l ，取两个无关的向量d ，p ，令 k = f ( a + ) ，1 = 砌，1 2 = f p ，它们不满足引理2 1 1 中的( 1 ) ，故特征子空间的维 数是i 。 现证，非退化。若不然，设 = o 。因为特征子空间的维数是l ，有 旯，i j ， 由引理2 2 3 ，y 的任何基本7 1 不变不变子空间均可表示成下列基本7 不变不变子空 间的直和： f e j , ，心l + 凡m ，如i + + 如t f e 2 , ，f e 2 , + f e 2 2 ，f e 2 l 十+ i ： f e “，f e i + f e p f e l + + f e 电一 下面分两种情况进行讨论： o ( 2 ) 青岛大学硕上学位论文 t = 1 令i = 凡i l ，2 = ( 凡1 1 + - + f e 2 ，) 0 0 ( f 0 l + + f e m ) o f t 不难验证：厶，如都是f 的理想，并且l = l l o l 。，这与引理3 2 1 矛盾。 k l 令 ，= ( ，l + + f e 2 k ，) o 一e ( f e “+ + f e ， ) e ( f e 1 + 。- + 凡i i 一1 ) o ，1 7 1 l ，= ( n 2 】+ + 女：) o o ( 凡+ + f e 、女、) o ( n l l + + f e 一1 ) o 凡1 容易证明ll 厂是l 的理想，但不存在理想，、，使得，n j = 0 ，并且 ，= ，+ ，n j ，j = j + ，nl ，这与引理2 1 1 的( 2 ) 矛盾 充分性 由假设( 1 ) 式中丑 ，i c j ，且五o ，1 f s ，因此含在r 中的理 想一定是( 2 ) 中某些式子的直和。由于，的作用方式， 的真理想含在v 内，故， 只有有限个非零真理想，它们都是( 2 ) 中某些式子的直和，直接验证可知引理2 1 1 的条件都成立，故是r d s 型李代数。 第三章四维r d s 型拿代数的结构 第三章四维r d s 型李代数的结构 这章在前面结论的基础上，讨论四维r o s 型李代数韵结构，是本论文的主要 部分。 3 1 1 - 3 维r d s 型李代数的结构 酋先给出1 3 维r d s 型李代数的结构，然后在3 维r d s 型李代数的分类的基础 上研究四维r d s 型李代数的结构问题。 定理3 1 1 一维李代数是r d s 型李代数；二维非可换李代数是r d s 型李代数。 这个结论作为前面例l 。i 已经提到的n r d s 型李代数的一种特例，利用定义不 难证明。 对于三维情形，我们知道，一个3 维李代数如果不是半单的，那么它就是可解 的。对于半单的情况，由例1 2 知，3 维半单李代数是r d s 型李代数。这样我们只 要讨论三维可解李代数的情况就可以了。也就是下面的定理 定理3 1 2 设l 是三维可解李代数，口，f , g 是的一组基，则是r d s 型李 代数当且仅当下列情形之一成立： ( 1 ) k 门= o ，【e ，g 】= p ，【f ，g = a t f ( 口o ，1 ) ( 2 ) k ，】= o ，【e ，g = e + f l f ，【厂，g 】- ，( 卢o ) 证明：假定，是代数闭域， 胃c h a f f = 0 或c h a f f 3 。现分几种情况讨论如i - ： ( 三维李代数的完全分类见文献“。) ( a ) 【l ，l 】= o 则三是幂零李代数，而d i m l = 3 ，由引理2 1 3 知，此时上不是 r d s 型李代数。 ( b ) d i m i z ，z l = 2 并且 厶三】= z ( 三) ，其中z ( 上) 是z 的中心，此时三是幂零的， 所以上不是r d s 型李代数。 ( c ) d i m l ，工】_ l并且【，】不含于z ( 三) 内。 这时可选取的基 p ，厂，g ，使得上= ( f e + f f ) 。f g ， p ，门= 8 。而且凡+ 可， 2 青岛大学硕士学位论文 噌都是理想。 取。，= f e + f f ，：= f e + ，1 ( ，+ g ) ，则不存在理想直和，1o ，：使得 ，1 = ，。+ i ，1n j 2 ，= ，2 + 。，n ，2 。由引理2 1 1 ，l 不是r d s 型李代数。 ( d ) d i m l ，上】= 2此时【，l 】是二维可换理想，再区分几种情形( 下面 e ，g ) 是 的基) ： ( 1 ) 乘法表为：【岛，】= 0 ，k g 】= p，【f ，g 】_ 厂 此时容易证明i i = f 心+ 厂) ，1 2 = f ( 2 e + f ) ，k = f ( 3 e + 2 f ) 是理想， 但是k n ( ，l o 2 ) = k 0 ，( k n ，1 ) o ( k 1 3 ，2 ) = 0 ，所以由引理2 1 1 ，l 不是r d s 型李代数。 ( 2 ) 乘法表为：【e ，川= o ，【8 ，g 】_ p ，【厂，g = c t f ( 口o ，1 ) 容易验证l 只有理想：0 ，f e ，f f ，f e + f t ，l 根据引理2 1 1 验证，是r d s 型李代 数。 ( 3 ) 乘法表为：【e ，厂】_ o ，【e ，g 】= e + ，【，g 】_ ， ( 卢喾o ) 容易验证l 只有理想：o ，y f ，f e + 彤，三根据引理2 1 1 验证，是r d s 型李代数。 一一 兰三皇塑整! 旦! 里奎垡塑塑堕塑 _ - _ 一一 3 2具有一雏中心的四维r d s 型李代数 下威我们开始对四维r d s 型李代数的结构的研究。首先讨论的是具有 维中心 的四维r d s 型李代数。先给出几个用到的引理。 引理r2 1 设三是四维李代数，f h 是其一维中心。若l ，f 可解，则l 定 是r d s 型李代数。 证明：由l e v i 分解l = s o 置其中s 是半单子代数，r 是根基。则鼢一定在r 中若不然，砌在s 中，则s 有一维的可解理想f h ( 中心是可解的) ，矛盾。而由 s 半单，则d i m 8 = 3 。所以，s 是三维半单李代数，而r = 砌是r d s 型李代数。从 而工是r d s 型李代数。 引理3 。2 2设x ，y 是线性空间矿上的两个线性变换，d i m v = 2 ， f x ，y = a y ( a o ) 。通过半直积构造李代数l = f x + f y + y ，其中v 是可换的， 则l 不是r d s 型李代数。 证明：不妨假设口= 1 ，其他情况证明类似。取y 的特征向量v ，扩张成y 的一组基， 则删应的矩阵为设删应的矩阵为( ：) ， 由防，r l = l ，得t r d o 即 + 五= 0 ，令 ；一也= 丑， 计算防，y 】= y 得五= 。y = ( ：i ) 其中+ 。此时x = d ；1 ；) 。 容易确定三的理想有0 ， ，毋十乃2 ，啊+ 西2 ，f y 十而、+ 凡2 ，l 。可以验证此 时不是rds 型李代数。 由引理3 2 1 ，我们只要考虑可解的情况就可以了。令厶2 乡厶，则t 、是三 维可解李代数，根据定理3 1 2 ，我们有下面的引理。 引理3 2 3若是r d s 型李代数，则有基e ，f ，g h 使： 4 青岛大学硕士学位论文 或者 1 = 9 1 亍p + z 向，口o ，g j = a f + a ， x 】= 0 ，】= 五 g 子8 + + 砌，卢o ，g j _ 厂+ a 3 h x 】= 0 ( 2 ) 证明：由条件，厶是r d s 型的，故根据定理3 1 2 ，有上述的换位关系。 有了上面的准备，下面我们给出本章的主要结论之一。 定理3 2 1 设是r d s 型李代数，则三具有引理3 2 3 中所描述的基及由( 2 ) 式所给出的换位关系，并且 0 ，也0 3 。 证明：若l 的换位关系由引理3 2 3 中的情况( 1 ) 给出，分情况讨论如下： ( a ) 当 = o 时，令矿= f e + f f + f h ，则矿，y 】= 0 ，1 睫一个可换李代数，f 在r 上作用的矩阵是( 三兰弱，这是一个退化的矩阵，由定理z z 知，不 ( b ) 当五= 0 时，令v = 形+ 鼢，而f e + f g 是二维菲可换李代数且作用在 v = f f + f h 上，出引理3 2 2 ，l 不是r d s 型李代数。 ( c ) 当以= 0 时，令v = f e + f h ，f f + f g 是二维非可换李代数， ( d ) 当丑0 ，五0 ， 0 时，由定理3 1 2 中关于三维r d s 型李代数分类 的结果知，商代数厶的理想为： o ) ，聒，矽，f g + 眵，l 。，这里譬表示元素z 第兰章四维r d s 型李代数的结构 的理想中不存在，i ，2 ，使，in ，2 = 0h ，i = ，l + 。，1n ，。，t ，2 = ，2 + ，1n 以，即不 满足定义中的条件( 2 ) ，故此时不是r d s 型李代数。 若的换位关系由引理3 2 3 中的情况( 2 ) 给出，分情况讨论如下： ( n ) 当 = 0 时，类似中( - ) 的讨论，此时中元素对应的矩阵为 至三量 ，它也是退化的，故此时不是n 。s 型李代数。 ( b ) 当 = 0 时，令v = f e + 砌，f 丁+ f g 是二维非可换李代数， ( c ) 当 0 ， 0 时，由定理3 1 2 中关于三维r d s 型李代数分类的结果 知，厶的理想为：f o ) ，眵，尼+ 痧，厶，这里譬表示元素艇z 在商代数厶中的等 从而，的包含崩的所有理想为f h ，可+ 而，凡+ 可+ f h ，l 。 若还有不含肋的非零理想，在，中取非零元x = k l e + k 2 f + k 3 9 + k 。 ， 左边作用p 得到： t ： 厅+ 岛( e + f l f + 4 h ) 厶 左边再作用e 得： 毛嬲 ，j 屯= 0 j k 2 = 0 ，有x = k , e + k 。h ， 再右边作用，得： k l ，j k j = 0 jk 。= 0 ，这与假设矛盾。 因此，的所有理想为： 0 ) ，f h ，矽+ 励，凡+ 可+ 砌，上。 此时由定义容易证明，三是r d s 型李代数。 1 6 青岛太学砸+ 学位论文 3 3 中心为零的四维r d s 型李代数 本节我们讨论中心为零的四维r d s 型李代数的结构问题，所用方法类似卜第一 节。同样，先给出几个引理。 引理3 3 1设是中心为零的四维李代数，若不可解，则l 一定是r d s 型李代数。 证明：由l e v i 分解l = s o r 其中s 是半单子代数，斤是根基。由，半单，则 d i m s = 3 。所以厅是一维李代数，是月d s 型李代数。从而是r d s 型李代数。 引理3 3 2 可解时，则具有一维理想f h 。 证明：由l i e 定理易知结论成立。 令厶2 ，则厶是三维可解李代数，所以我们有下面的引理。 引理3 3 3 若是r d s 型李代数，则有基e ，f ，g ，h 使： f k ，门= 占豁，- l 陋，x 】= 2 ( x ) h 或者 f p ，州= ，z 旷 e , ，g g l 】= ：e 厂+ + p f + 如“，卢。 ( 2 ) ( 其中x 取e ，g ) 【胁，x 】= 五( 功 证明：由条件，厶是r d s 型的，故由定理3 1 2 ，有上述的换位关系。 有了上面的准备，下面我们给出本章的另外一个主要结论。 定理3 3 1 设是r d s 型李代数，并且三具有引理3 3 3e e 所描述的基及由( 1 ) 式所给出的换位关系，则必有下列情形之一成立： 0 ) 4 = o ，五：o ，冯= o ，名( 0 o ，z ( 厂) = 0 = 0 ，丑= 0 ，冯0 ，z ( p ) = 0 ，名( ) 0 “” 证明： 1 ) 当 o 时，p ，】= 2 1 h 0 ，则f e ，矽均不是的理想。 第三章四维r d s 型李代数的结构 而由定理3 1 2 ，l 的理想有0 ，形，形，府+ 可，i 。 从而的包含，确的理想为砌，凡+ 肋，毋+ 砌，r + 可+ 朋，上。 取j = f e + f h ，i ，2 = 可十砌， 则内不含理想，l ，2 满足，ln ，2 = o 及。，l = ，l + 一n ，2 ，l ，2 = ，2 + j ln ， 即不满足定义中的条件( 2 ) ，故此时不是rds 型李代数。 2 ) 当元= 0 时， ( a ) 五2 0 且五0 ， 由 皇焉勘，此时，凡，巧均不是的鳃类似，中的姚此时t 不是r d s 型李代数。 ( b ) 丑o 且五= 0 时， 若 ( 厂) 0 ，则由胁，s - - 2 ( 厂) 矗知f f 不是的理想，而由也o 推出f e 也彳i 是的理想，类似上面讨论，此时，三不是r ds 型李代数。 若五( p ) = o ，陋，g 】= 0 。令矿= n + 朋，f f + f g 是二维非可换李代数且作用在 v ：f e + f h 上，由引理3 2 2 ，此时不是r d s 型李代数。 下面讨论a ( p ) o ，2 ( f ) = 0 时的情况。此时，l 的结构如下 限】- o ，k ，9 1 - 口+ 五厅 【厂，g 】= o f ，胁，p 】= 2 ( e ) h ，( 口o ，1 ) 门= o ，坼，g l = z ( g ) h 容易看出，此时可是的理想，但f e 不是。 由定理3 1 2 ，l 的包含f h 的理想为肋，n + f h ，矽+ f h ，f e + 矽+ 砌，l 。 假设还有不含f h 的非零理想1 ( r f ) ，在，中取非零元石= k l 口+ 女2 + t 3 9 十女。 ， 青岛太学硕士学位论文 左作用h 得： 庀2 ( e ) + j j ，a ( g ) = 0 。 左作用e 得；k 3 ( e + 2 2 h ) 一女4 五( p ) h = k e + ( t 丑一k 4 五( p ) ) 左作用h 得： 庀，z ( g ) 向，jk ，= 0 jk = 0 。 此时x = 2 厂+ k 4 h ，右作用e 得k 4 五( p ) ，jk 4 = 0 jk 2 = 0 ，矛盾。 f k ，f - o ，k ，g 】= e 十如而 【厂，g 】= a f ，防，p 】_ 五( p ) ，似o ，1 ) i 坼，厂卜o ，协，g 卜o 第三章四维r d s 型李代数的结构 若a ( p ) 0 时，此时f 0 ，形均不是l 的理想。类似上面的讨论，此时不是rd s 型李代数。 下面只须讨论旯忙) = 0 ，2 ( f ) 0 时的情况。此时，三的结构如下 限l = o ，瞳，g 】= p 【厂，g 】= a f + 向，k ，g = 0 ，( 口o ，1 ) 帆】_ 丑( ) 力，陬，g l = 2 ( g ) h 容易看出，f e 是的理想。 假设还有不含f h 的非零理想x ( i r e ) ，在，中取非零元_ f = k l e + 女2 + k 3 9 + t 。h ， 左作用厂得：k ，= 0 j x = k l e + 女2 + k 4 h ； 再作用h 得： ：= 0 ； 再作用厂：从而得到 = k 。= 0 ，矛盾。 所以的理想只有0 ，f h ，f e ，f e + 砌，可+ 肋，n + 黟+ 励，： 易验证，此时上是月ds 型李代数。 定理3 3 2 设是r d s 型李代数，并且具有引理3 3 3 中所描述的基及由 ( 2 ) 式所给出的换位关系，则必有下列情形之一成立： 五( p ) 、2 ( f ) 不全为零 五( p ) = 五( 厂) = 0 时，名不全为零，i = 1 ，2 ，3 。 证明：由定理3 1 2 中关于三维r d s 型李代数分类的结果知，厶的理想为： 0 ， 可，麾+ 咿，厶，这里膏表示元素= r 在商代数厶中的等价类。从而，的包含肋 的所有理想为朋，可+ 砌，凡+ + n ，。 ( 1 ) 当a ( p ) = 0 ，2 ( f ) 0 时 假设l 中还有不含若励的非零理想? ，在，中取非零元z = k j e + k 2 + ，g + k 4 h ， 青岛大学硕士学位论文 对x 右作用厂得：k l a 一k 3 ( 厂+ 五 ) + k 4 a ( 厂) = 一k 3 f + ( k l 一k 3 + k 4 z ( ) ) ， 再左作用h 得：一k 3 j ( f ) h j k 五( ，) = 0 jk 3 = 0 对互左作用h 得：( k 1 2 ( e ) + 七2 a ( 厂) + 七3 旯( g ) ) a ，j 丘l 五( p ) + 丘2 a ( 、，) + 七，2 ( g ) = 0 根据条件和上面的推导有： k ：= 0 。 x = k f f + k 。h 对x 作用g 得：k l ( p + f l f + a z h ) + k 4 2 ( g ) h = t l p + 岛f l f + ( 向五+ k 4 2 ( g ) ) h ， 再左作用h