（固体力学专业论文）橡胶类材料硬化的本构研究与非线性有限元分析.pdf

接要 摘要 橡胶材料受力后，产生很大的弹性变形，当外力撤去以后，又能恢复原来 的几何形状，且在变形过程中体积几乎不变，许多橡胶材料在大应变时还呈现 出应力一应变增强或软化的特性，以满足工程上特殊的要求。准确的本构描述 是力学性能分析的基础和关键，长期以来，其本构关系一直是人们研究的热点 与难点。 橡胶材料本构关系的研究常常从应变能函数出发，通过其导出应力一应变 间的关系。到目前为止，可以模拟各向同性超弹性材料应变增强效应的本构方 程研究刚刚开始，且几乎还没有橡胶材料硬化时的本构实验，针对以上问题， 本论文主要进行了以下几方面的工作： 1 在不可压, m o o n e y ，r i v l i n 材料极限伸长模型的基础上，通过本构实验，建立新 的橡胶材料大应变时硬化的本构模型。应变能密度函数由幂律部分和极限伸 氐部分组成，进而又推导了单轴拉伸、简单剪切情况下材料硬化时c a u c h y 应力盯与主伸长丑之间的关系，研究了平面应变时不可压橡胶材料的弹性张 量。 2 根据幽家规范，对某一配方的橡胶材料进行了大j 衄变的硬化试验。在单轴拉 伸实验的基础卜，利用最小二乘法对本构方程与实验数据进行了拟合，确定 了卡于料参数再利用简单剪刨试验对本构方程进行了验证，结果初步表明了 本文提出的新的本构方程的i 叮行性。 3 用非线性有限元方法采用新的本构函数，编制了计算程序，对橡胶材料硬 化时平面应变问题进行了计算，算例表明本文方法的有效性。 本文通过对一类橡胶材料硬化的本构研究，建立了一种新的本构模型，结 合实验与非线性有限元的分析表明该应变能函数较好地描述了橡胶材料在大 应变时的硬化现象，为进一步研究橡胶材料的本构特性奠定了基础。 关键词：橡胶类材料：极限伸长：材料硬化：本构分析；1 e 线性有限元 华南理下大学工学硕士学位论文 a b s t r a c t m a n y r u b b e r l i k em a t e r i a l s e x h i b i ta s i g n i f i c a n t e l a s t i c d e f o r m a t i o nw h e nt h e ya r el o a d e d t h eg e o m e t r yw o u l dw h o l l yr e c o v e r w i t h o u ta n yr e s i d u a ld e f o r m a t i o nw h e nt h e 1 0 a di s r e l e a s e d s o m e t i m e s t h isk i n do fm a t e r i a l ss h o ws o f t e n i n go rh a r d e n i n gp h e n o m e n o na t l a r g e s t r a i n s t h ea c c u r a t ec o n s t i t u t i v e d e s c r i p t i o n i s v er y i m p o r t a n t i n m e c h a n i c a la n a l y s i s ，t h ec o n s t i t u t i v el a wh a sb e e nr e g a r d e da sa v e r y t h e or e t i c a la s p e c tf o ral o n gp e r i o do ft i m e t h es t r e s s s t r a i nr e l a t i o n s h i po ft h er u b b erm a t e r i a lsi s u s u a l l y b a s e do n t h e p o t e n t i a l f u n c t i o no ft h es t r a i n u n t i i n o w ，t h e r e i sn o t a n y c o ns t i t u t i v ee x p er i m e n ta b o u ts t i f f e n i n gi nr u b b e r l i k em a t e r i a ls ，a n de v e n p r o p e rc o n s t i t u t i v ee q u a t i o nt om o d e lt h ei s o t r o p i ch y p er e l a s t i c i t yu n d er s t r a i n h a r d e n i n g s e v er a la s p e c tsa b o u tt h epr o b l e m sd i s c us s e da b o v e h a v eb e e ns t u d i e di nt h i st h e s i s 1 b a s e do nt h e t h e or yo f l i m i t i n g c h a i n e x t e n s i b i i i t y o ft h e i n c o m p r e s s i b l e m o o n e y - r i v l i n m a t er i a l ，an e wc o n s t i t u t i v em o d e lo f s t i f f e n i n g r u b b er l i k e m a t e r i a lsa t l a r g e s t r a i nisc o n s t r u c t e d t h e s t r a i n - e n e r g yd e n s i t yf u n c t i o ni sd i v i d e di np o w erl a wa n d1 i m i t i n gc h a i n e x t e n s i b i i i t y ，t h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nc a u c h ys t r e s s 仃a n dpr i n c i p a l e x t e n s i b i l i t y 五is d e r i v e du n d e rt h ec o n d i t i o no f s i n g l e a x i a l e x t e n s i b i l i t ya n ds i r e p l ys h e a r i n g t h ee l a s t i c i t yt e n s o ri ss t u d i e df ort h e i n c o m p r e s s i b i er u b b e r l i k em a t e r i a l so fp l a n es t r a i np r o b l e ms 2 ，as t i f f e n i n ge x p e r i m e n tw i t hs o m epr e s c r i p t i o no fr u b b er 1 i k em a t e r i a l s h a sb e e nd o n ea c c o r d i n gt ot h en a t i o n a lr e l a t e dn or m b a s e do nt h es i m p l e a x i a le x t e n s i b i l i t y ，t h en o n 一1 i n e a rl e a s t - s q u a r em e t h o d isu s e dt of i tt h e c o n s t i t u t i v e d a t af o rt h en e wm o d e l t h es i m p l e s h e a r i n ge x p e r i m e n ti s u t i l i z e dt op r o v et h ef e a s i b i l i t yo ft h ec o n s t i t u t i v ee q u a t i o n pr o d u c e di n t h i sp a p e r 3 t h en o n l i n e a rf i n i t ee l e m e n tm e t h o di ss t u d i e df or p l a n epr o b l e m s a b s t r a c t w h e r et h en e wc o n s t i t u t i v et a wi se m b e d d e d t h ep r o g r a mi sc o d e dt o c o m p u t e t h e p l a n e s t r a i np r o b l e m t h ec a l c u l a t e d e x a m p l e ss h o wt h e e f f e c t i v e n e s so ft h em o d e lp r o p o s e di nt h i st h e s is k e yw o r d s ：r u b b e r l i k em a t e r i a l ：1 i m i t i n gc h a i ne x t e n s i b i l i t y ；h a r d e n i n g e f f e c t ；c o n s t i t u t i v ea n a l y s i s ；n o n l i n e a rf i n i t ee l e m e n tm e t h o d 华南理工大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研 究所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文 不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研 究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完 全意识到本声明的法律后果由本人承担。 作者签名： 凑砣嘎 日期：2 0 0 5 年6 月 日 学位论文版权使用授权书 本学位沦文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 同意学校保留并向国家有关部门或机构送变论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅。本人授权华南理工大学可以将本学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。 保密口，在年解密后适用本授权书。 本学位论文属于 不保密口。 ( 请在以上相应方框内打“4 ”) 作者签名：弈桫聿 刷雌辄参悟 日期：2 0 0 5 年6 月日 日期：2 0 0 5 年6 月日 第一章绪论 1 1 引言 第一章绪论 橡胶构件在工程中有着广泛的应用，某些构件，就是需要它产生特 大的弹性变形来完成某些特殊功能。自十九世纪橡胶科学的发展以来， 橡胶材料良好的力学性能使它在航空、航天、汽车、电子、结构、医学 等许多领域有着越来越重要的应用，例如：轮胎、胶管、缓冲气囊、密 封圈、减震装置、生物材料等。进入上世纪七十年代，汽车和电子产品 的技术高度化、多样化、确保产品长寿命的要求显著提高，因此，高性 能弹性体材料的作用也就越来越大。橡胶 ：业的蓬勃发展使人们越来越 认识到采用经典的弹性力学分析其结构性能会带来较大的误差。 本构关系是反映物质性质的材料一过程对( t h ep a i r m a t e r i a l pr o c e s s ) 【1 1 ，是物体中应力张量、热流向量、内能、熵等与物 体所经受的温度历史和变形历史之问所应满足的关系，其中也包括热力 学流与热力学力之问的关系。为了准确确定物体在外部因素作用下的响 应，必须知道描述构成物体的物质属性所特有的本构方程。橡胶类材料 受力时不仅具有大的弹性变形，且有随时间变化的粘弹性，其体积几乎 不变，材料参数、儿何形状、外力和位移边界条件也随时间变化。很多 橡胶类材料大应变时还呈现出监力一应变显著增强或软化的效应【2 i 。对 丁二这一类材料，不能再用弹性力学的小变形理论米描述其变彤特征，必 须考虑儿何非线性以及变彤与热、熵之问的关系，j _ l 在应用有限元方法 时，会诱发闭锁等难题【3 i 。自十九世纪以来，国内外研究者对橡胶类材 料的本构关系进行了不断的探讨，如t r e l o a r 、m o o n e y 、r i v l i n 、k n o w l e s 、 o g d e n 、g e n t 、高玉臣等。近几十年虽然取得了很大进步，但仍然存在 不少尚未解决或本质上还不明确的问题。 有鉴于此，本文在研究了m o o n e y r i v l n 橡胶材料极限仲长本构模 型1 4 1 附基础上进行了橡胶材料极限伸长的本构实验，构造了一种更为 合理的新应变能函数，在此基础上利用非线性有限元对平面问题进行了 计算。 华南理j 二大学工学硕士学位论文 1 2 本构原理 材料的本构关系不仅仅是关于材料本身性质的描述，且与其外部环 境和外部作用过程( 温度场及其变化，加载速率等) 紧密地联系在一起。 不同类型的材料，具有不同的微结构，材料中微结构的基本特征及其在 变形过程中的演化规律，对建立本构关系十分重要；本构关系也不仅仅 是对实验数据的简单拟合，在三维应变( 应力) 空间中，有无穷多种应 变( 应力) 和应变( 应力) 率历史为确保本构关系的正确性，必须遵 循以下的共同准则，即本构原理i l j ： ( 1 )坐标不变性原理：本构关系应该与坐标的选取无关，当采用张量 的绝对记法时，这一条件可以自然得到满足； ( 2 )相容性原理：本构关系应该与守恒定律相一致，并满足热力学第 二定律所要求的限制条件； ( 3 )关于材料对称性的不变性原理：本构关系应满足与材料对称性有 关的、在某些变换群下的不变性要求； ( 4 )决定性原理：如果在f 。时刻物体中所有物质点的热力学状态是己 知的，! j 1 1 j 该时刻具有坐标x 的物质点爿在以后的时刻，的应力 a ( x ，) 完全由物体中全部物质点自f 。至，的运动历史所决定： ( 5 ) 局部作用原理：，时刻对应于物质点x 的心力仅仅依赖于该物质点 附近无限小邻域内物质点的运动历史，而与远距离物质点的运动 历史无关； ( 6 )客观性原理( 物质的时空无差异原理) ：材料的本构关系不应随观 测者的改变而改变，本构关系中的张量应该是客观性张量。 本构关系的具体形式有：积分型本构关系，微分型本构关系，率型 本构关系，内变量型本构关系，混合型本构关系等。 从广义上讲，弹性体的本构关系可分为三种类型：c a u c h y 弹性体， g r e e n 弹性体( 超弹性体) ，次弹性体。g r e e n 弹性体( 超弹性体) 一定是 c a u c h y 弹性体，c a u c h y 弹性体也一定是次弹性体，但反之不然。 1 3 橡胶材料本构研究现状 橡胶材料本构研究的进展l i ，是橡胶研究人员与橡胶1 ：业企业及力 学工作者所共同关注的。橡胶材料作为典型的各向同性超弹性体，它的 木构模型归纳起来主要有【6j ：( 1 ) 基于分子链的统计学模型，如：t r e l o a r ； ( 2 ) 基于可i 变量的模型，如：m o o n e y 、r i v l n ；( 3 ) 基于主伸长的连续介质 力学模型，如：v a l a n i s 和l a n d e l 。 第一蠢绪论 对于各向同性材料假设i i ，1 2 ，i ，为右c a u c h y g r e e n 变形张量c 的第 一、二、三基本不变量，对于初始无应力构形的超弹性材料，应变能函 数可表示为 w = w ( 1 1 ，1 2 , 1 3 ) ( 1 1 ) 其中 i l = 护c = c ：，= 吒 i ：= 告 ( 护( c ) ) 2 一护( c 2 ) = i 1 i 2 一c 。c 。 ( 1 - 2 ) 1 3 = d e t c c = f 。f ( 1 3 ) 式中f 为变形梯度，其定义为 f ：竺 ( 1 4 ) 0 x 、。 为变形后与变形前的体积比， j = d e t f f 1 5 ) 1 3 1 本构方程的统计学模型 伴随着现代宏观唯象本构理论的发展，人们从研究材料本身内部的 微观或者细观结构入手，来建立材料宏观性质的本构方程，有人将其称 之为“物理力学”的方法。橡胶弹性体是由共价链连接而成的长链分子 构成的。每一根长链由许多链节组成，分子链之| r j 在许多结点上通过化 学键相连而形成交联网络结构。链一端的结点相对于另一端结点的向量 称之为术端距向量。假定橡胶分子链的长度、排列、结构是统计分布的， 从所考虑的物质的分子或者原子的运动出发，用统计理论的方法，通过 对长链分子弹性性质的研究，可获得橡胶弹性体的宏观本构关系。简化 假设有： ( i ) 链节之i u j 的键角通常保持有一定的角度。“自由连接”链认为，分 子链由相同的链节连接而成，链节之f h j 的键角可以任意变化而不受 限制； ( i i ) 交联点在其平均位置附近的统计涨落运动可以忽略不计； f l i t ) 在变形时，结点间术端距向量的变化与宏观尺度下连续介质的变 形相一致，即服从仿射变换规律： ( i v ) 在计算分子交联网络的应变储能函数时，可以不考虑分子链之间 的相互作用能： ( v ) 在变形过程中，内能没有变化，弹性体的熵是每一个长链分子的 华南理_ t 大学工学硕士学位论文 熵的总和。弹性体的弹性应变能是每一个长链分子弹性应变能的总 和： 橡胶弹性体的长链分子由于其组成原子的微布朗运动，可能有许多 不同的构象。当没有外力作用时，分子链通常总是趋于使其相应的熵取 最大值的卷曲构象。当有外力作用时，分子链的构象也将随之改变，从 而引起构象熵的变化。若分子链为 个长为，的链节组成，末端距向量为 ，如果r 0 = 远远小于n l 则近似采用g a u s s 统计理论。 ( 1 ) n e o h o o k e a n 材料模型 最著名和最简单的统计学模型是n e o h o o k e a n 材料模型，它是各向 同性线性定律( 1 1 0 0 k e 定律) 至大变形的扩展，可压缩n e o h o o k e a n 材料 的势能函数为t 7j 件，( c ) = 兄( 1 n i ，) z 一, u l n j + 丢( i i 一3 ) ( 1 - 6 ) 许多橡胶类弹性材料在变形过程中可近似认为是不可压缩的，此时，= l ， 不可压缩的n e o h o o k e a n 势能函数为 1 w = ( 1 1 3 ) ( 1 7 ) 2 为应力量纲的材料参数，且“= n k ，n 为链密度，k 为b o ltz m a n n 常数， o 为绝埘温度。但材料大变形时，已违反了g a uss 理论，即三兰0 , 4 时， 盯， 就必须考虑非g a u ss 性质。实验研究发现f i e o h o o k e a n 模型预测的橡胶 性能与实际橡胶不符。 ( 2 ) k u h n 和g r u n 模型 k u h n 和g r u n 引入l a n g e v i n 函数 ( x ) = c o t h ( z ) 一一1 ：_ r 0( 1 8 ) 的逆，提出【8 i 产争( 争( 击) ( 1 - 9 ) - 厂为非g a u s s 拉力。在此基础上，有m w a n g 与e g u t h 在19 5 2 年提出 的三链模型6 1 ，p j f lo r y 与j r e h l i erj r ，t r e lo f tr 提出的四链模型1 - 6 i ， 但在双轴拉伸时均与tf e l o a f 的实验不符。a rf u d a 和b o y c e 提出了八链 模型t 6 】 9 i ，t r e l o a r 、p d w u 与e v a l ld erg i e s s e n 又提出了全链模型。 第一章绪论 ( 3 ) a r r u d a b o y c e 应变能函数 a r r u d a 和b o y c e 引入应变能函数模拟单轴拉伸实验，且适用于全应 变范围内及大应变时的应变增强现象，但不适于双轴拉伸。 a r r u d a b o y c e 应变能函数为0 9 】 朐阻埘+ 赤田叫+ 丽1 1 ( 1 3 一? ， + - 丽1 9 ( i ：一8 1 ) + 丽5 1 9 ( i 、5 2 4 3 ) + l 为单位体积内的总链数，应变能函数也可以表示成 w = 砖( i ：一3 i ) ( 1 1 1 ) 但此函数太复杂，在实际中应用并不广泛。 ( 4 ) g e n t 应变能函数 g e n t f l 。在l9 9 6 年提出如下的应变能密度嚼数 w = 一譬，。l n ( 1 一早) ( 1 - l2 ) 其中， ，。，是1 1 3 的檄限值。t ，。斗o 。时，又回到n e e h o o k e a n 应变能形 式。通过对受内日i 的溥壁球体、带空洞的橡胶块、及薄壁圆柱管的计算， 它能拟合不可压缩橡胶材料在大应变时应力一应变蓝线显著增强( 硬化) 的现象，而且比a rr u d a 和b o y c e 的应变能函数简单的多，但不适应于小 变形和中等变形。 a r r u d a b o y c e 与g e n t 提出的戍变能函数，潜在地认为弹性体的分子 结构是非g a u s s 链所以，成变能函数代表了分子链的网状变形性质。 ( 5 ) p u c c i 与s a c c o m a n d i 应变能函数 对g e n t 应变能密度函数进行了修 ( i t , 1 2 ) = _ 钞n ( 1 一导m1 n ( 争 它与简单拉伴时的实验数据非常拟合。 ( 6 ) t a k a m i z a w a 和h a y a s h i 应变能函数 19 8 7 年，t a k a m i z a w a 和h a y a s h i 12 1 提出的本构方程为 w = 一t n ( 1 一q ) 其中： ( 1 13 ) ( 1 1 4 ) 眦m们 与 下p 如吼馘 眈表加其 华南理工大学工学硕十学位论文 q = 与q 碥+ c i 如+ q 吃( 1 - 1 5 ) 岛，c 3 为无量纲的材料常数，材料为各向同性时，q = q = 巳= ( 吩彳厂， 屹为e 在环向和轴向的分量。 e = ( c 一，)( 1 1 6 ) 需要注意的是，( 1 一1 4 ) 式所描述的材料，当应变能密度增加时，( 1 15 ) 式趋于不变。 1 3 2 基于不变量的橡胶类材料本构理论 ( 1 ) m o o n e y 及r i v l i n 应变能函数 l9 4 0 年，m o o n e y i 1 通过物质相变理论和大量实验，讨论了不可压各 向同性超弹性材料有限变形弹性理论，假殴单位体积的储能函数是 c a u c h y gr e e n 张量的第一和第二不变量的函数，提出了橡胶类材料的 应变能形式为 w = ( i i ，i ! ) = i o ( i l 一3 ) + 1 ( 1 2 3 )( 1 一l7 ) “。，。为材料的本构常数。 i9 4 8 年r i v l i n “i 认为橡胶为各向亓j 性，拉压性质相同，他把橡胶的 应变能函数表示成下列级数 ( c ) = 。( i - 一3 ) ( i2 3 ) ( 1 一l8 ) r ，s = o 变形不大时，只取两项( r = o ，s = 1 ；r = 1 ，s = 0 ) 即为式( 1 17 ) 。当只取 项( r = 1 ，s = 0 ) 时，为n o o 一 o o k e a n 材料。m o o n e y r iv n 形式可以较好 地拟合不可压缩橡胶类材料中等应变范围的实验。上两式在数学上虽然 简单，但f i 能很好地说明t r e l o a r ( 1 9 4 4 ) 的实验结果，且不适用于材 料压缩及大应变时的增强现象。r iv li l q 和s a u n d er s 建议将第二项改为 以( i ，一3 ) 为变元的函数f ( 1 ，一3 ) 。 ( 2 ) 改进的m o o t i ey r iv l in 多项式 1 97 1 年，tsc h o e g l 强调保持m o o n e y - r iv lin 多项式的高阶项以更好 地适用丁填充与非填充橡胶5 1 。 三项的m o o n e y r iv l in 彤式为 w = l o ( i i 一3 ) + 风l ( i2 3 ) + “l ( i i 一3 ) ( i2 3 )( 1 一1 9 ) s i g n i or i n i 形式为 第一章绪论 w = i o ( i l 一3 ) + 鳓l ( i2 3 ) + 鸽o ( f 一3 ) 2( i 2 0 ) 三阶不要量形式为 i , v = j o ( ij 一3 ) + - t o l ( 1 2 3 ) + h l ( i l 一3 ) ( 1 2 3 ) + 2 0 ( i l - 3 ) 2 ( 1 2 1 ) j a m e s - - g r e e n - - s i m p s o n 彤式为 肚然i 2 i 等u 】。x l 。 ：， + 2 0 ( i i 一3 ) 2 + 心o ( i i 一3 ) 3 、 ( 3 ) b l a t z 和k o 应变能函数 l9 6 2 年，b l a t z 和k o 1 以实验为依据，为克服橡胶类材料大变形时 在非线性数值模拟中的体积闭锁现象以及橡胶不可压假定所带来的本构 约束，系统地阐述了怎样建立可压缩橡胶类材料本构关系的方法，提出 了针对几乎不可压橡胶材料的本构关系。考虑到体积应变对橡胶材料的 影响，在应变函数中含有了i ；项，应变能函数为 矿= ( t ，一3 ) 7 ( 也一3 ) ”( 以一i ) ” ( 1 2 3 ) 其中= i ，正= i ：i ，也= i ，b o o 。= 0 。通过实验，发现对于连续体橡胶和泡 沫橡胶材料，实验结果与应变能函数的计算结果吻合很好。 ( 4 ) k n o w l e sj 越变能函数 19 7 7 年k n o w l e s 。7 1 提出了幂健型的应变能函数， 2 轰f ( 1 + 缸_ 3 ) ) 1 1 f 2 4 ) 其中， b 和 为无量纲的正的材料参数。当 斗o o 时，应变能函数化为 = 鲁 e x p ( b ( i - 3 ) ) 一1 2 5 ) 即f u n g 18 1 在19 67 年提出的生物类材料的本构模型。此时当6 j0 时，又 回到了n e o h o o k e a n 材料的应变能函数。k n o w le s ，j k 利用此模型对无 限长半平面体的i 型、1 1 型和【i i 型裂纹尖端应力场进行了分析。 ( 5 ) o g d e n 应变能函数 o g d e n f 9 引在1 9 7 2 ，19 8 4 年给出了能精确描述橡胶在有限变形下的 力学响应又便于分析的应变能函数形式能精确拟合t r e l o a r ( 1 9 4 4 ) 的实验结果： w ( 1 i ，1 3 ) = 。，( i 一3 ) ( i ：- 3 ) 。( 1 3 1 ) ( 1 2 6 ) 华南理工人学上学硕士学位论文 p ，q ，取0 ，l ，2 ，系数。，是与变形无关的材料常数。材料不可压 缩时，i ，= 1 ，取 ( i l ，1 2 ) = w ( i l - 3 ) 9 ( 1 2 3 ) 9 ( 1 - 2 7 ) p ，q ，= o 且- t o 。= 0 。当取p = i ，q = 0 和p = o ，q = i 两项时，应变能函数回到m o o n e y r i v l i n 型。 ( 6 ) h a r t s m i t h 应变能函数 h a r t s m i t h 【2 2j 提出将取作两个函数( 1 1 ) 、w z ( 1 2 ) 之和，即 w = 彬( i ，) + ( 1 2 ) ( 1 - 2 8 ) h a r t s m i t h 和gr i s p 把( 1 1 ) 、( 1 2 ) 分别取为 彬( 1 1 ) = ae x p ik ( t 一3 ) 2 ( 1 2 9 ) ( 11 ) = ! 1 2 ( 1 - 3 0 ) 其中h ，鸬和k 为材料常数。这一结论与t r e l o a r 的平面圆橡胶膜的膨胀 实验结果吻合得非常好。a l e x a n d er 发现h a r t s m i t h 理论的嘶( i i ) 指数形 式适应很宽的应变范围，单独的职( i ，) 形式很好的拟合了合成橡胶膜片 简单拉伸和双轴拉伸的实验结果。 f7 ) m u r n a g h a n 应变能函数 m u r n a g h a n 2 3 1 引进三个独立的虑变不变量 d i = i i 一3 ，j 2 = 12 2 i i + 3 ，也= 1 3 一i ! + 1 l 一1( 1 31 ) 这些不变量分刖为应变的1 、2 、3 阶函数，为了使零应力状态与零应变 状念对应，略去j 的线性项，将应变能看成是的函数，并对，将w 展 丌为幂级数，保留至三阶项，可得 w = “t ，2 + ! j i2 + 鸬止+ 胁一3 + 鸬也 ( i 一3 2 ) 其中，h ，( f _ l ，2 ，3 ，4 ，5 ) 是材料常数，“和1 2 由材料的一级响应确定。 舻了g肚= g 百总 ( i - 3 3 ) “一了肚2 “丽 【1 3 3 ) g 为剪切模量，p 为p o is s o n 比，烛，胁，从可用来拟合大变彤的数掘。 ( 8 ) s i m o 和p is t e r 应变能函数 s i m o 和p is t er 【2 4 1 曾利用小变形线性弹性本构关系中的l a m e 系数 五。和or 柬表示超弹性势函数w 。如果w 仅仅是i 和，的函数，则w 的形 式可取为 第一章绪论 w ：l 【一1 o ( i 风l 2 。 其中要求当j = 1 时，万d u = 。，笔箬= l 。特别地，上式中的u ( i ，) 可取为 f 1 3 4 1 ) = 妻( i n t ，) 2 ( 1 - 3 5 ) ( 9 ) 高玉臣应变能函数 高玉臣f 2 5 1 在1 9 9 0 年曾建议将w 取为 脚( 护绀妒飞( t - 3 6 ) 其中- 1 ，：，n ，f 为正的材料参数，为正整数。l9 9 7 年，他又提出了一个 更为简单的超弹性势表达式 嘶圳 m l9 9 8 年他引入三个不变量函数i 2 6 r ：少。，s ：1 _ ：，r ：k ( 1 - 3 8 ) 妒k s 其l pr ，s 表示纯变彤，r 表示体积的变化 足：喜( i ? 一3 i l i2 + 2 i ，) ( 1 - 3 9 ) w = u 1 ( r ”一3 ”) + t 2 ( r 1 ) ”7 t “ ( 1 4 0 ) 其优点在于推出的本构方程中各项有明确的物理意义，c a u c h yj 衄力明显 的分为两部分，从而明确偏应力和静水应力产生的内在原因，以便于在 实验巾对物理常数加以确定。此应变能函数可以描述小应变和有限应变 条件下的力学行为。 ( 10 ) y e o h 应变能函数 19 9 3 年，y e o h 27 i 根据大量实验提出 陟r ( i l ，r 2 ) = a t i o ( j l 一3 ) + 链o ( 1 2 3 ) 2 + o ( j i 一3 ) 3 ( 1 4 1 ) 加入了，的高阶项，与橡胶材料的大变形实验数据吻合良好。且由 单轴拉伸实验确定的材料常数更适用于多种变形彤式，因此可减少材料 的实验。但1 9 9 5 年y e o h 提出在小变形时应用此j 逦变能函数要特别小心。 ( 11 ) 其它形式的超弹性势函数 华南理工夫学上学硕士学位论文 t r e lo a r ( 19 6 9 ) ，l e v in s o b ( 19 7 2 ) ，f a u lk n e r ( 1 9 7 2 ) 等人曾建议 将超弹性势函数的表达式取为i w = - 6 ( i l 一3 ) + ，( 1 3 )( 1 4 2 ) 特别地，上式中的f ( i ，) 可写为 f ( 1 ，) ：h 坠丝1 3 - v l ( i - 2 v ) 1 1 ( i - 4 3 ) 式中v 为常数，相当于经典弹性力学中的p o iss o n 比。 1 3 3 基于主伸长的橡胶类材料本构理论 ( t ) v a l a n is 与l a n d e i 应变能函数 各向同性超弹性体的势函数矿也可以写为主伸长五 = l ，2 ，3 ) 的函 数，它具有如下的对称性条件6 i ： w ( i ，i z ，i ，) = w ( 4 ，也，也) = 缈( ， ，如) = w ( 4 ， ，五)( i - 4 4 ) 19 6 7 年，v a l a n is 与l a n d e l 2 8 1 首先提出以主仲长表示的应变能密 度函数 w = w ( ) ( 1 4 5 ) 在实验的基础上给出： w = 2 a ( 】n 矗一1 ) 】 ( 】- 4 6 ) 式中为剪切模量。此方程在o 6 2 2 5 的范围有效。 ( 2 ) p e n g 和l a n d e l 应变能函数 p e n g 和l a n d e l 应用v a l a n i s 和l a n d e l 的理论，分析得到如下截断 函数1 2 9 1 缈= 喜卜- l n 一i 1 ( i n + l 去( 1 n 2 , ) 3 - 熹( i n ( i - 。) 与已发表的双轴实验数据比较，此方程在l a 2 5 的范围有效。 ( 3 ) o g d e n 应变能函数 1 9 7 2 年，o g d e n l 3 0 1 放弃了应变能函数足主伸长忍心= i ，2 ，3 ) 的偶函数 的假设，并认为采用不变量来描写w 是不必要的复杂化，提出了以主伸 长来描述的应变能函数。 附) 2 善等( 铲咐+ 舻- 3 ) 4 8 ) 第一章绪论 式中，g 、口。为材料常数，其中口。不限于整数和正值，可取任何实数。为 了与经典的弹性理论相一致，以上的材料常数还要求满足6 z n , n = 2 。， 其中的矿为初始剪切模量。当n = 1 ，q = 2 ；或月= 1 和2 ，o q = 2 ，d ：= 一2 ； ( 1 4 8 ) 分剐退化为n e o h o o k e a n 材料或m o o n e y r i v l i n 材料的势函 数。 ( 4 ) c a r r o l i 应变能函数 c a r r o l l 2 1 在2 0 0 1 年提出了一种以主伸长来直接描述极限伸长的应变 能密度函数，用以拟合橡胶材料在大应变时的硬化现象， w g ，五，冯，妒) = w ( 4 ，五，冯) + h o p )( 1 4 9 ) 当 l i r a 。+ 。( 五， ，也，妒) = 形( 矗，五，五)( 1 5 0 ) 即妒为无穷时，又回到应变能的传统形式，旷为所谓的根应变能。 妒= ( 丑+ 一 ) ( 五+ 一五) ( 五+ 一 )( 1 5 1 ) a 为最大主伸长。 ( j ) 改进的c a r r o l l 应变能函数 2 0 0 2 年，h o r g a n 与s a c c o m a n d i l2 l 以c a r r o l l 应变能蛹数为基础，提 出 j 【，( 伊) ：k( 1 5 2 ) 旷采用n e o h o o k e a n 材料与v a r g a 应变能函数，通过计算与t r e i o a r 的实验数据在单轴拉伸、双轴拉伸、纯剪时吻合良好。 ( 6 ) 其它的势函数 对1 二体积不可压缩材料，还常常以修f f 的主仲长i 作为自变量给出 超弹性势， ! 厶：五t ，3 ( 口= 1 ，2 t 3 ) ( 1 5 3 ) 简单拉伸的实验数据表明，由互、五、五表示的畸变部分和由i ，表示的 体积变化部分是相互耦合的。 f o n g 和p e n n ，p e n g 和l a n d e l ，o g d e n 曾先后建议过几种类型的势函 数，实际上鄙是如下表达式的特殊情形 华南理t 夫学j 二学硕士学位论文 岛旷( 五，五，五，t ，) = p o w ( k ，乞，五) + 屁( 互，乞，五) 丸( ，) + g ( ，) ( 卜5 4 ) 1 3 ，4 考虑热一粘弹性的橡胶类材料本构理论 以上的橡胶材料本构模型均未考虑热一粘弹性。在以下的表示式 中，0 表示绝对温度，瑁为单位质量上的熵密度，s 为内能密度，e 为 l a g r a n g e 应变张量，p 为质量密度，妒为单位质量上的h e l m h o l t z 自由能。 ( 1 ) 大变形热一粘弹性本构模型 19 9 7 年r e e s e 与g o v in d je e i 引1 考虑橡胶材料大变形时的热一粘弹 性，建立了一种大变形的热一粘弹性本构理论，包括了全部的热力学范 畴的耦合。模型基于h e i m h o l t h 自由能，分为平衡与不平衡部分，平衡 部分与时间无关，非平衡部分反映时效与粘性影响。 甲= 甲+ 甲恤 ( 1 5 5 ) 其中 中明= ( e o ) 阳( 1 一导) + 如( 甲。) 脚+ ；( ) ( i 一5 6 ) 中瑚= ( e o ) 删( 1 一若) + 赫( w o ) 删( 1 - s 7 ) 南= 晏慨乇妒。) + 警。- 。) ( 1 - 5 8 ) 厶趔= 詈+ g v t r o ，- - 鸯( 。0 ) + 警i ( 1 - 5 n k q ( 0 0 - 0 ) 9 ) ，州趔= 百 ， g 。) + 育。 v ，= i ( o ) = | f 9 - o o - o l n 若 ( 1 - 6 0 ) e 为单位体积的内能，o 为绝对温度，c 为热容量，g 为无量纲函数。 ( 2 ) 非线性热一粘弹性本构模型 h or g a n 与s a cc o m a n d i l 32 1 考虑材料的热一弹性性能，在2 0 0 2 年建立 了橡胶类材料极限仲长的非线性热弹性问题本构模型，利用改进的 r i v l i n s i g n o r i n i 模型，不再用多项式函数型，而是代之以有理函数型， 并研究了非均匀变形问题。对于不可压缩各向同性热一弹性材料极限伸 长时的g e n t 热一弹性模型为 第一章绪论 卢等甜+ 。 警) ) t n 一而犏j + c o - 0 0 - o m 昙) ( 1 6 1 ) 其中，为等温无穷小剪切模量，厶为等温时平均最大伸长，6 为考虑 最大伸长改变时与温度有关的参数。当厶叶o o 时，回到了典型的热一弹 性r l e o h o o k e a n 材料。 充分考虑热力学耦合的大变形热一粘弹性模型，如m i e h e 、h o l z a p f e l 、 s i m o 模型等对粘性性能的研究则局限于线性微分法则。 1 4 橡胶弹性变形的实验研究 橡胶构件在人变形条件下的应力、应变分析，及有关力学常数的测 定，可为正确设计橡胶构件提供有用的数据。在微小变形范围适用的弹 性模量和泊松比两个材料常数已不能再用束分析它的力学状态，欲表达 构件的特性需要测定新的材料常数。橡胶类材料超弹性势的具体函数形 式也需根据实验来加以确定。通常有两种做法：先假定超弹性势具有 某种函数形式，然后再由实验柬确定其中的材料参数( 或函数) ； 对丁- 所要研究的材料，通过实验来探讨超弹性势函数所应具有的形式。 1 4 1trelo ar 的实验 二卜世纪四十年代，t r e l o a r 曾对硫化橡胶进行了一系列实验”i1 3 4 j ， 以检验r l e o h o o k e a n 形式超弹性势的合理性。对于简单拉仲，拉伸方 向上的应力为 仃= 2 p o c l ( 五2 一)( 1 6 2 ) 由不可压缩条件知，在变形前的单何截面积上施加轴向力大小为 t = 要= 2 p o c , ( 2 一a - ) ( 1 6 3 ) 实验表明，n e o h o o k e a n 形式的势函数只能看作是小变形条件下的一种 近似。 t r e l o a r 对正方形橡胶薄板进行了双向拉伸实验，板面上画有方形格 子以便测定变形。又进行了简单剪切的试验，结果表明，n e o h o o k e a n 势函数与实验结果误差较大。 华南理工人学上学硕士学位论文 1 4 2riv | | n 与s a o n d er 的实验 1 9 5 1 年r i v l i n 与s a u n d er i ”i 对t r e l o a r 的双向拉伸实验进行了改进， 他们利用弹簧来实现可以连续变化的加载。实验中，同时改变 和 的值， 但使1 2 ( 或i ) 保持不变，由实验结果提出了超弹性势 = c 1 ( i ，- - 3 ) + ，( i ，一3 ) ( 1 6 4 ) 然后，又进行了纯剪切试验和单拉试验进行验证，并且对m o o n e y r i v l i n 势函数中的材料常数进行了测定，进行了圆柱体的扭转实验。 1 9 5 3 年g u