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一个自由边界问题整体解的存在性和不存在性 中文提要 中文提要 本文研究一个时间导数项系数带有正参数下的抛物型方程的自由边界 问题( 见第一节的( 1 2 ) 一( 1 7 ) ) ，这一问题来自于某些反应扩散方程组对该问 题d h i l h o r s t ，y n i s h i u r a , m m i m u r a 1 已经讨论了解的适定性，在此基础上我 们想研究一下解的具体分布情况我们已经知道当r 取定适当的常数， 取一适当的函数时，随着如的不同取值，解可能为整体解，可能为局部解， 这就启发我们思考一个问题；作为反应扩散方程中的重要参数r ，当它取不 同的值时，方程的解如何分布? 在本文中我们先通过解相应的二阶微分方 程组得到解的具体形式，再由相应的计算和估计得到的等价形式，最后 可以得到本文的主要结论，即定理1 1 和定理1 2 本文的主要结论是t 当丁充分大时，解在时间范围( 0 ，+ o o ) 内存在，也 就是整体解( 定理1 1 ) ；而当r 充分小时，解仅在有限时间范围内存在，这时 解就不是整体解，而是局部解( 定理1 2 ) 关键词：自由边界问题，整体解，存在性，不存在性 作者：殷容 指导教师- 余王辉 t h ee x i s t e n c e o faf r e eb o u n d a r yp r o b l e ma b s t r a c t t h ee x i s t e n c ea n dt h en o n e x i s t e n c eo f g l o b a ls o l u t i o n so faf r e eb o u n d a r yp r o b l e m a b s t r a c t w e s t u d y af r e eb o u n d a r y p r o b l e m o f p a r a b o l i ce q u a t i o n sw i t ha p o s i t i v ep a r a m e t e rri n c l u d e di nt h ec o e f f i c i e n to ft h ed e r i v a t i v ew i t h r e s p e c t t ot h et i m ev a r i a b l et ( s e e ( 1 2 ) - ( 1 7 ) i ns e c t i o n1 ) ，t h i sp r o b l e ma r i s e s f r o ms o m er e a c t i o n - d i f f u s i o ns y s t e m m a n y m a t h e m a t i c i a n s ，d h i l h o r s t y n i s h i u r a ，m m i m u r a 1 | ，i n v e s t i g a t et h ew e u - p o s e d n e s so ft h es 0 1 u t i o n o ft h i se q u a t i o n b a s i n go n i t ，w et r yt od i s c u s st h ed i s t r i b u t i o no ft h i s s o l u t i o n w h e n 下i sa p r o p e r c o n s t a n ta n d v 0ap r o p e rf u n c t i o n ，t h eg l o b a l o rl o c a ls o l u t i o n sc a nb eo b t a i n e dr e s p e c t i v e l yw i t hv a r i a n c e o f 奶i ti s i n s p i r e dt ot h i n ka b o u tt h eq u e s t i o nt h a th o wa b o u tt h es o l u t i o n sw h e n 7 _ ，a ni m p o r t e n tp a r a m e n ti nt h er e a c t i o n - d i f f u s i o ne q u a t i o n i sc h o s e nt o b ed i f f e r e n tv a l u e s i nt h i st h e s i s ，w ec a n g e tt h ee q u i v a l e n tf o r mo f 西b y t h ec o n c r e t ef o r mo fs o l u t i o no f ( 1 2 ) 一( 1 7 ) a n du n i f o r me s t i m a t e s t h e n t h em a i n i d e a ( t h e o r e m l 1a n d1 2 ) i so b t a i n e d o u rm a i nr e s u l t sa r et h e f o l l o w i n g ： i i i f 下i sl a r g e e n o u g h ，t h es o l u t i o n t h ee x i s t e n c e o faf r e eb o u n d a r yp r o b l e m a b s t r a c t e x i s t sf o r0 t o ； ( 1 2 ) ( o ，t ) = 0 = ( 1 ，t ) ， t o ； ( 1 3 ) ”( z ，0 ) = v 0 ( z ) ，嚣 0 ，1 】；( 1 4 ) 警= g ( ”( 姒t ) ) ， t o ；( 1 5 ) 0 0 ，使得一m v 0 ( 。) m 在 0 ，1 1 上成立，则( 1 2 ) ( 1 7 ) 存在唯一弱解 ( ，妒) l 2 ( o ，t ；h 1 ( o ，1 ) ) 伊，1 ( 【o ，t 】) ，其中t 0 ，且成立： t + = + o 。，或者，。- + l t i m 一0 咖0 ) = 0 或1 ( 1 9 ) 在方程组( 1 2 ) 一( 1 7 ) 中，首先来看一类具体情形下解的情况，将f 的值 取为0 1 4 ，令”的初值为? 3 0 = ，而仅令o 的值不同当粕= 0 3 时，自由 边界z = 妒( t ) 直接向左运动，并在一有限的时间范围内到达边界z = o ；当 = 0 3 2 时，自由边界。= ( t ) 先向左，在到达。= 0 前向右拐并在一有限 的时间范围内到达边界z = 1 ；当如= o 4 时，自由边界茹= 在时间范围 0 t o ；( 1 1 0 ) ( o ) = 0 = ( 1 ) ，( 1 1 1 ) ：i 1 ，( 1 1 2 ) 副( 妒) = i ， ( 1 1 3 ) 的唯一解，且满足( t ) - - ，o t + o 。这里我们是取定丁，而令如取不同的 值，得到该自由边界问题解的分布情况但我们都知道，表示自由边界和其 一个自由边界问题整体解的存在性和不存在性 它领域的运动比率的参数r 在方程中是一个很重要的参数，自然，我们就想 知道，当币。给定，而r 取不同的值时，方程的解会是一个怎样的分布情况 呢? 在此我们仍取v o ( x ) = 但机 时，大量的数值运算显示( 详见 1 】- 1 2 1 ) ： 当丁充分大时，解在时间范围0 t 0 ，当t - t + 一0 时，自由边界卫= 妒( t ) 达到边界写= o 或者1 ；面当丁处于两种情形之间，即 既不充分大也不充分小时，解在0 t 0 ，使得当r 递减的通过临 界时，( 1 2 ) ( 1 6 ) 的稳态解就由稳定状态变为不稳定状态在这篇文章中 我们主要就是通过严格的数学方法证明：当r 充分大时，( 1 2 ) 一( 1 7 ) 的解在 时间范围0 t + o 。内存在；而当r 充分小时，解仅在一有限的时间范围 内存在 为了在证明过程中尽量做到简单并得出结论，我们需要用到一些符号 和假设 令 j ”一( z ) = u ( ) ，o s 。西( 。) ，t o 时i ( 1 1 4 ) iu + ( 。) = ( 石) ，咖( t ) s $ 1 t 0 日于 则方程组( 1 2 ) 一( 1 7 ) 就可以用下面的这个自由边界问题等价的表示出来； ； f ： 二一2 一，0 茁 0 ； ；。产= 吐一2 “+ + l ，庐( ) 0 3 ( 1 1 5 ) ( 1 1 6 ) ( 1 1 7 ) 一个自由边界问题整体解的存在性和不存在性一引言 u 孑( 咖( t ) ，t ) = j ( 咖( t ) ，t ) ，t 0 u ；( 0 ，t ) = 0 = 咭( 1 ，t ) ，t 0 v - ( $ ，0 ) = 伽( z ) ，0 zs 妒o ；u + ( z ，0 ) = 咖( z ) ，庐o z 1 鬈= g 慨力) ，t o ； 0 ，互 o ，；) 时v o ( x ) ；， ( 1 2 s ) 其中m 1 和尬为满足条件0 m i i 1 和j 1 m 2 ；的常数由正则性的标 准方法可以知道：若( 1 2 4 ) 一( 1 2 6 ) 成立且( ”( z ) ，币( t ) ) 是( 1 2 ) 一( 1 ，7 ) 的弱解，则 ( ”( z ) ，咖( t ) ) 就是( 1 1 4 ) ( 1 2 3 ) 在i o ，1 o ，t ) 上的唯二古典解进一步可以得 到： 口c 1 + 。，2 挚( 【o ，1 o ，t + ) ) ，v a ( o ，1 ) ；( 1 2 9 ) v 一c 。( n 7 ) ， + c 。( q ) ；( 1 3 0 ) 咖( t ) c 1 + 警( 【o ，r ) ) u c ”( ( o ，t + ) ) ，( 1 _ 3 1 ) 4 蚴 切 删 哪 哟 姐 q o 0 n 一个自由边界问题整体解的存在性和不存在性一引言 其中 q i 。= ( 。，t ) 10 z ( t ) ，0 t t + ) q 丰= ( z ，t ) i 庐( ) 。s1 ，0 力时，( 1 , 1 4 ) 一( 1 2 3 ) 在【o ，1 ( 0 ，+ o 。) 上存在唯一古典解 口 定理1 2 ：假设( 1 2 4 ) 一( 1 2 8 ) 成立，则存在一个仅依赖于m 1 ，m 2 和如 的码 0 ，使得，当0 r 死时，( 1 1 4 ) 一( 1 2 3 ) 在f 0 ，1 f 0 ，t + ) 上存在唯一 古典解，其中； p ( o ，+ o 。) ，而且当札 ； 时，0 融。2 l 口 我们将分别在第二节和第三节中证明定理1 1 和定理1 2 ， 证明的主要思路是通过做一些估计得到下面的这种等价关系： 啪，旷i 1 一 轰勰二热h 1 - - - + + c i 。i t , j - ；啉 然后通过( 1 5 ) 和( 1 8 ) 得到下面的等价关系： 似灿 勰二热_ 竺； 椭 进而证得本文的主要结论 5 一个自由边界问题整体解的存在性和不存在性 二 定理1 1 的证明 二定理l ，1 的证明 引理2 1 ：设咖( 0 ，1 ) 是一固定常数，( 正) l i ( o ，1 】) 是一给定函数， p - ( z ) ，v 2 ( z ) ) 是下面方程的唯一解： 钉：一2 口l = 。( 0 ，妨； 口：一2 v 24 - 1 = ，z ( 妒，1 ) u ；( 0 ) = 0 = 呓( 1 ) 口l ( 咖) = 口2 ( 庐) ； ”；( 钟= ”：( 咖) ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) 则有， 姒萨喇= 型氇慧笋趔+ 击肌咖斌- 悯) 】d s 一1 焉c o s h v 2 7 i 一 ( 1 ，( s ) c 。s h 、j ( 1 一s ) 】d s 口 ( 2 6 ) 瓶s i n h 以j o “叫1 ”。 证明：由( 2 1 ) 和( 2 2 ) ，可得， 1 ( z ) = c 1s i n h v 夏x + c 2c o s h v + 去z 。m ) 鼬【以( z s ) 】d 8 ， ( 2 - 7 ) v 2 ( x ) = d ls i n h x 2 ( 1 一z ) + d 2c o s h 【、互( 1 一z ) + ；+ 去z 1 m ) s i n h 悯s 叫灿， ( 2 8 ) 其中，c 。，c 2 ，d t 和如是待定常数又， 怕) = 以 c l c 。s h i 厄】+ c 2 s i n h 【侗) + z ，( s ) c o s h v 互( z s ) ( 2 9 ) 6 一个自由边界问题整体解的存在幢和不存在性 二 定理i i 的证明 ”：( z ) = 互 d 1c 。s h 讵( 1 一) + d 2s i n h 以( 1 一。) ) ，i ，( s ) c o s h 以( s x ) d 8 ， j o 在( 2 9 ) 和( 2 1 0 ) 中分别令z = 0 和1 ，那么由( 2 3 ) ，有， 又由( 2 4 ) ，( 2 7 ) 一( 2 ，8 ) 和( 2 1 1 ) ，有， o l 。d l = 0 c 2 c 。s h 【嘞一d 2 c o s h 【讵( 1 一) l = 互1 + 去上1 ，( s ) s i n h 以( s 一) 】毗( 2 1 2 ) 由( 2 5 ) ，( 2 9 ) - ( 2 1 i j ，可得， 因此， c 2 s i n h 【倔】+ 如s i n h 娩( 1 一例= 一去d ( 1 弛) c o s h 以( s 一移) 】弧( 2 1 3 )、，ou c 2 c 。s h m 】s i n h ( 讵( 1 一) + s i n h 、醐c 。s h l v g ( 1 一) ) = 击上1 m ) s i l l h 【讵( 1 一训s i i l h ( 以( s 一删一c o s h 【以( 1 一州c o s h 以( s 一删) d s + ；s i n h 以( 1 一妒) ， 故可得， q = 面1b i n h 【以( 1 一例一志z 1 ，( s ) c 。s h 以( 1 叫 d s ( 2 1 4 ) 将( 2 1 4 ) 代入( 2 7 ) ，又由( 2 1 1 ) ，就可以得到( 2 6 ) 口 引理2 2 ：假设( 1 ，2 4 ) 一( 1 2 6 ) 成立，似) 是方程组( 1 1 4 ) 一( 1 2 3 ) 在1 0 ，l 】 o ，t ) 上的唯一解则， 一j 峨 ( 万，t ) ! 且如，ds 石l ，0st t + ；( 2 1 5 ) 7 一个自由边界问题整体解的存在性和不存在性 二定理1 1 的证明 。( 石，t ) 1 曼c 1 ，0 zs1 ，0 t t + 咖) ls m ，0 t i 1 通过对( 1 1 5 ) 一( 1 2 3 ) 运 用极值原理，就可以得到( 2 1 5 ) 又因为m l i 1 ， ；则由( 2 1 5 ) ，( 1 2 1 ) 和( 1 8 ) 得( 2 1 7 ) 成立 下面证明( 2 1 6 ) 令u ( z ，t ) = v ( x ，) 一咖( z ) 则由( 1 2 ) 一( 1 4 ) 和( 1 2 5 ) ，得到关于u ( x ，t ) 的方程组， 其中， 显然， 毗一z $ + 2 u 2g ， “。( o ，t ) = 0 = ( 1 ，) ， u ( x ，0 ) = 0 ， f u ( 。，t ) f 2 ( 竭+ 捣) ， z ( 0 ，1 ) ，0 t t + t 0 t t 7 _ ： 。 0 ，1 1 ， g 三h ( x 一咖( ) ) + 一2 v o g l i l 一 o ，s1 + 2 1 1 u 0 1 1 , 。 【o ，1 ) 由局部护估计和内包含定理，可得 l * ( f 0 ，m c 1 进而( 2 1 6 ) 成立 口 引理2 3 ：假设( 1 2 4 ) 一( 1 2 6 ) 成立令t ( 0 ，t + ) ，扣，订是方程组( 1 1 4 ) 一( 1 2 3 ) 8 一个自由边界问题整体解的存在性和不存在性 二定理1 1 的证明 在【o ，1 o ，t + ) 上的唯一解则对v d ( o ，；) ，成立， s u pi v t ( 1 ，t ) 1 曼g 7 ，当( t ) 1 6 ，t 【o ，t 】时； ( 2 1 8 ) t e o ，明 s u pi v t ( o ，t ) l g r ，当i ； ( t ) tg 0 ，t 时 ( 2 1 9 ) 【0 j 1 其中q 是仅依赖于d ，m t ，她和l l a o l l w ：，* ( ) 的正常数 口 证明：在这里我们仅证明( 2 ，1 9 ) ，( 2 1 8 ) 的证明类似 令u ( z ，t ) = 啄( z ，t ) ，则由( 1 1 5 ) ，( 1 1 9 ) ，( 1 2 0 ) 和( 2 1 6 ) ，得到关于“的方程组： i 乱t 一$ z + 2 u = 0 ，0 。 d ，0 t t ； ju ( o ，t ) = o ，0 t 成立， 而且得到关于u 的方程组， 叫t w 勰+ 2 w = a ( 一肛2 + 2 ) e 1 一肛 o ，0 z p 一1 t0 t t 训( o ，t ) = a e ，0 t t ； 钮( p 一1 ，t ) = a 士“( 芦一1 ，g ) e a 一 ( e 1 ) a c t j a e 0 丁i 因为7 j o 满足( 1 2 4 ) 和( 1 2 5 ) 由标准近似讨论，不妨 段设咖c 2 ( o ，卢。 ) | 兀1 j 且由于a 和弘充分大，故可得； 叫。( z ，。) = - a # e i - 肛+ 硝( 。) 一a p + i i o l i = ，* ( 【。，l 】) 。，。$ 兰五1 对”运用极值原理，可得， 伽( o ，) 。i 。，赫 ，。 一个自由边界问题整体解的存在性和不存在性二定理1 1 的证明 因此我们有， 故 即 牡。( o ，t ) j a p e ，y t 0 ，卵 口二( o ，t ) f a , u e ，0 s t t 又由( 1 1 5 ) ，可得( 2 1 9 ) 成立 口 引理2 ，4 ：假设( 1 2 4 ) 一( 1 2 5 ) 成立，令t ( o ，t ) ，饥奶是方程组( 1 1 4 ) 一( 1 2 3 ) 在 o ，1 】【o ，t + ) 上的唯一解对v 6 ( o ，；) ，若( t ) l 一6 ，v t f o ，t 或者 ( f ) 5 ，v t 【0 ，t 】，贝0 l 【仇( z ，t ) 2 d 。c 6 ( 1 + 下+ t 2 e - - 4 t t ) ，o t ( 2 2 0 ) 0 其中岛为仅依赖于d ，尬，m z 和怖i i 胪，。( ) 的正常数 口 证明：令u = 町，埘+ = 谤，甜= v t 则由( 1 1 5 ) 一( 1 1 9 ) ，可得： 二1 町= u 二一2 u 一，o z 庐( 力，o t t ； ；w = u 壶一2 叫十，币( t ) z 1 ，o t t ； u ；( o ，t ) = 0 = 时( 1 ，t ) ，0 t t ； u 一( 妒0 ) ，t ) = u + ( 咖( t ) ，t ) ，0 t ? ； u ；( ( ) ，t ) = 厶i ( 妒( ) ，t ) + ( 匀，0 t t 在( 2 2 1 ) 两边同乘以纠，再在 0 ，( ) 上积分，由( 2 2 3 ) ，可得： 三2 ，- d 旦t ，( u 一) + ( 啄) 2 2 ( u 一) 2 出 1 0 ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) 一个自由边界问题整体解的存在性和不存在性二定理1 1 的证明 = 掣旷( 懒纠z + u 啪，啪删，珐。 r ( m 2 g ) 相似的，由( 2 2 2 ) 可得t 万1 面d 厶f 。l 。如+ ) 2 d x + 工：，( 心) 2 如+ 2z 1 。+ ) 2 d z = 一磐旷( ) 删2 一州酢h ) 础) ，o t t ( 2 2 7 ) 将( 2 ，2 6 ) 和( 2 。2 7 ) 相加，又由( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) ，得t j 1 d f o t w 2 d x - 4 - 0 1 ( 叫。) 2 d $ + 2 0 1 护d 茹= 一u ( ( t ) ，t ) ( t ) ( 2 2 8 ) 不失一般性，我们可以假设咖( t ) d ，v t 【o ，习，而当( f ) 冬1 d ，v t o ，引 时的证明类似 由引理2 , 3 有， s u pl 叫( o ，t ) 1 岛下 亡 o 刀 成立。因此，0 t t 时， 一u ( 庐( t ) ，) ( t ) i 0 ) i ( ( 妒( t ) ，t ) 一u ( o ，t ) l - i - ( o ，t ) i ) s i 妒7 0 ) f ( z 9 “f c 如f d 。+ 7 一c 备) s ；z 1 ( ) 2 d z + 揪) 恻咖) j + r q ) 。 由( 2 1 7 ) ，有， 一埘( 庐( ) ，t ) 砂( ) 兰；o l ( u 。) 2 出+ m ( 2 m + r 岛) ，o t ( 2 2 9 ) 因此，由( 2 2 8 ) 和( 2 2 9 ) ，有 ；景z 1 u 2 出+ 4 2 1 w 2 如s z m ( z m + r 0 6 ) ，。 ts 丁 ( 。o ) 1 1 一个自由边界问题整体解的存在性和不存在性二定理1 1 的证明 令 则 妒( t ) ：_ r 1 z d j 0 妒7 + 4 t 砂冬2 m r ( 2 m + r g ) 0 t t ，在其两边同乘以e 4 n ，就有， ( 妒e 4 7 。) 7 2 m r e 打。( 2 m + r c a ) 因此当0 t l t t 时，有 妒( ) 妒 t ) e - 4 r c t - t ) + 2 m 丁( 2 m + r c 6 ) e - 4 r t i 9 4 r 。d s 妒( t 1 ) e - - 4 r ( 州- ) + 互1 m ( 2 m + _ r 。) 由标准的近似讨论，不失般性，我们可以假设 铷c 3 ( f o ，如3 ) uc 喝( f 如，1 ) 而且满足下面的相容性条件； 嵋( 妒。一0 ) = u j ( 妒o + 0 ) + 1 故 v t 连续到【0 ，1 】 o ) ( 见 5 ) i $ t 此妒( t ) 连续到t = 0 在上面的不等式中令 t l = o ，可得， z 1 辞如= 1 , d 2 如= 妒( ) s 妒( o ) e - 4 r t + ；肘( 2 m + r g ) 由( 1 。1 5 ) 一( 1 1 6 ) 有， 妒( 。) = z 1 护 ，o ) d 工= z 1 谚( 甄d ) d z r 2 1 + j j 珈j j 。( f o 】) ) 2 ， 一个自由边界问题整体解的存在性和不存在性 二定理1 1 的证明 ：1 ”。2 如丁2 1 + l l v o 哪- ) 2 e - 4 r t + ；m ( 2 m + r 岛) ，o 蜀，那么，相似的，对任意的5 ( 0 ， ) ，必存在一仅依赖于晒， 机和d 的正常数t d ( o ，孔) ，使得， 卜 1 ， t 】，咖。( 盹 啪1 lo 0 ，0 t ( t ) d 时；( 2 3 2 ) ( t ) 毋( t ) 1 5 时口( 2 3 3 ) 证明：由( 1 1 5 ) 一( 1 1 9 ) 和引理2 1 ，有， ( 妒( t ) ，t ) = 自( 咖( t ) ) + ( 2 3 4 ) 其中， 潮= 型尝笋； = 石1 吨( 叫) 酬以( 删一似 一瓦1 趔 1 毗t ) c o s l l 扼( 1 一。) l d 。 、2 7 is i n h , 2如7 、 1 3 f 2 3 5 ) ( 2 3 5 ) 一个自由边界问题整体解的存在性和不存在性 二定理1 1 的证明 显然，o ( i ) 2i 1 ，向且当0 砂 1 时， c o s h 2 ，幽c o s h v 互( 2 一1 ) ， 1 以s i n h 以2 螂一以s i n h 钷。以s i n h 以 因为 。( 妒) 一；= i ( ) 一。( ；) = 扣( 毋一互1 ) ， 其中，f 在庐和 之间，因此有， 。( ) 一：一志( 一；) ，； 一时； 刚) 一五1 一志( 咖一；) ，。 咖互1 时 又由( 2 3 6 ) ，可得，当0 t t 时，有 s 淞如蒯) 5 其中c 为一绝对正常数由( 2 2 0 ) ，有， 川埘( 砉+ 孑1 + e - 讯) ，舛 当t 6 t t 时，我们可以找到一仅依赖于岛和t d 的正常数n ，使得， 时， i i 目t 引时， 钉( 妒( t ) ，t ) 一； o ( 酮，t ) 一0 1 5 ( t ) l 时 0 n 时，t k + o 。即可 1 4 跏 蚴 啊 跏 0 一 口 一个自由边界问题整体解的存在性和不存在性二定理1 1 的证明 反之，若t + + 。，则t 1 t i r a 毋( ) = 0 或者1 不失一般性，我们假设 在这里设d 是一个绝对常数，且0 d ； 情形l ：0 。 i 由( 2 3 1 ) 有，o ( 力 1 6 ，t f 0 ，如】。令 t l 三m i n t ( t 6 ，t ) i 妒( s ) 1 一d ，s ( o ，t ) ，o ( t ) = 1 一d ) 如果t 。不存在，则 ( 2 4 2 ) 0 o ( t ) 1 6 ，0 t t + ( 2 4 3 ) 若t 存在，则z l ( 如，t 。) ，( 1 ) 0 且0 庐( t ) l 6 ，t h t t ) 但是由引 理2 5 知，t = t l 时，( 赴) 0 矛盾故t l 不存在，因此( 2 4 3 ) 成立由 ( 2 。4 2 ) ，存在t 2 渤，t + ) ，使得池) 6 ，移2 ) 0 ，矛盾故t _ + 0 0 成立 情形2 ：； 1 由( 2 3 1 ) 有，5 o ( t ) 1 ，t o ，t 6 成立 t a 三m i n t ( 如，t ) i6 庐( s ) 1 ，s ( 0 ，) ，t ( t ) = 6 ) 又由( 2 4 2 ) ，若t 3 存在，则t a ( 如，t + ) ，( 蜘0 且j 咖( t ) 1 ，0st o ，矛盾，因此丁+ = + o o 定理1 1 证毕 口 1 5 一个自由边界问题整体解的存在性和不存在性 三 定理1 2 的证明 三定理1 2 的证明 引理3 1 ：假设( 1 2 4 ) 一( 1 2 6 ) 成立， 口，妒) 是方程组( 1 t 4 ) 一( 1 。2 3 ) 在 0 ，1 【o ，t ) 上的唯一解令t ( o ，t + ，t + + o o 或者令t ( o ，+ 0 0 ) ，t = + 。则 0 r 1 时，成立； 上r z l m 州) d t q r ( 丁+ 1 ) i u ( z ，) 一( z ) s 岛m a x 1 ，t 2 ) f ( 3 1 ) 0 z 茎1 ，0 t z ( 3 2 ) 其中，q 为仅依赖于m 1 ，尬和j v 0 1 1 w 轴( f o t l 】) 的正常数，岛= 学m a x 皤1 ，a ) ， c ，的定义如( 2 1 6 ) 口 证明：由于“四也是( 1 2 ) 一( 1 7 ) 的解，下面我们就考虑方程组( 1 2 ) 一( 1 7 ) 在 ( 1 2 ) 两边同乘以再在【0 ，l 】x 【o ，t ) 上积分，则可得， ；f 胁) dd 扮) 2 ：0 【- - 2 v + h ( x - m 将( 2 1 5 ) ，( 2 1 6 ) 代入该式，且由h s l d e r 不等式就可得( 3 1 ) 成立 下面证明( 3 2 ) 成立 当z 喙1 时，令 u ( 卫，t ) = v ( x ，t ) 一v o ( x ) 对任意的y ( 0 ，z ) ，由( 2 1 6 ) 有 u ( z ，t ) lsi u ( y ，t ) i + 2 c l ( z 一) ，0 t t 1 6 - - - bt j 由边界问题整体解的存在性和不存在性三 定理1 2 的证明 对上式关于”在睁一弘，。 上积分，其中肛( 0 ，。1 - ) 在后面的证明中再具体定 义，可得 m 州) i 去仁。叭) 协+ c 1 p ，。t t 叉 o 地，驯虮仁。胁圳捌脚讲n 叫。捌r r 故由( 3 1 ) ，有 因此， 珏js 堕坠粤隧+ g “os t “2 | “( 小胚讵一( 磅脚( 1 】t 2 ) g + p ) ，o z ( 3 。) 令= i l 。l _ ，则有r p 一 = 8 p ，故0 f ( 1 时，0 肛 又由( 3 3 ) ，有， i 乱( 茹，t ) l 旦字。a x 曙1 ，e 。) m 瓢 1 ，t 。) ， ，o t 7 因此当；上s1 对，( 3 2 ) 成立， 当0 z 茎；时，( 3 2 ) 仍成立，证明类似 口 定理1 2 的证明；由( 2 1 5 ) ，有， 而锅鲰】 ( 34 ) 其中， 衅而蓊靠蓊，g5 而葡赢丽 s ) 1 7 一个自由边界问题整体解的存在性和不存在性 三 定理1 2 的证明 不失一般性，我们可以假设咖( o ，；) 而当如( j t ，1 ) 时，证明类似 令 由假设( 1 2 4 ) ，有a o i 1 在( 3 2 ) 中令 a o _ 。m a x 】和) t = m i n 8 咖o c ；- 1 ( 1 4 a o ) ，t ) 由( 1 5 ) ，( l 8 ) ，( 3 4 ) 和( 3 2 ) ，有 删g 卜( ) ) 一五1 + c 3 m a x 1 ，t 2 丁 】，。t 。 7 2 仅依赖于m t ，m , 2 和札则由( 3 6 ) 可得， 纵t ) 一百c 5 ；一a 0 】 。，。t e 。 下 乃 由r 的定义，有 故 们) 妯一譬医 0 t o ； v ( x ，0 ) = v o ( x ) ， 0 ，1 ； 堂d t = g ( 口( ，吡 t o ； 0 ( t ) o ； 毋( o ) = 币o ( 0 ，1 ) ， 对其中的重要参数r 进行了分类讨论分别研究了丁充分大和充分小时解 的不同情形，具体方法是：通过解上面的方程组得到方程解的具体形式，然 后利用极值原理和一些具体的的估计找到咖的等价形式 州印一 苎乙搿二；三! 。，_ 篓曼强时 进而得到本文的主要结论t 当丁充分大时，方程的解为整体解；当r 充分小 时，方程的解仅在一个有限的时间范围内存在 一个自由边界问题整体解的存在性和不存在性 参考文献 参考文献 1 h i l h o r s t ，d ，n i s h i u r a , y a n dm i m u r a ，m ，af r e eb o u n d a r yp r o b l e ma r i s i n gm s o m e r e a c t i o n d i f f u s i n gs y s t e m ，p r o c r o y a ls o c e d i n b u r g hs e c t a1 1 8 ( 1 9 9 1 ) ，3 3 5 3 7 8 【2 】l e e ，y m ，s c h a a f , r t h o m p s o n ，r c ，ah o p fb i f u r c a t i o n 讯ap a r a b o 如c f r e eb o u n d a r yp r o b l e m ，j o u r n a lo fc o m p u t a t i o n a la n da p p l i e dm a t h e m a t i c s 5 2 ( 1 9 9 4 ) ，3 0 5 3 2 4 3 f i f e ，p c ，d y n a m i c so fi n t e r n a ll a y e r sa n dd i f f u s i v ei n t e r f a c e s ，c b m s n s fr e - g i o n a lc o n f e r e n c es e r i e si na p p l i e dm a t h e m a t i c s 5 3 ( p h i l a d e l p h i a ：s i a m ， 1 9 8 8 ) 4 jn i s h i u r a ，y a n dm i m u r a ，m ，l a y e ro s c i l l a t i o n s i n r e a c t i o n d i f f u s i o ns y s t e m s s i a m j a p p l m a t h 4 9 ( 1 9 8 9 ) ，4 8 1 5 1 4 f 5 jl a d y z e n s k a j a ，0 a ，s o l o n n i k o v ，v a & u r a l i c e v a ，n u ) l i n e a ra n dq u a s i - l i n e a r e q u a t i o n so fp a r a b o l i ct y p e ，t r a n s l a t i o n so fm a t h m o n o g r a p h s ，2 3 ，1 9 6 8 f 6 】f a s a n o ，a a n dp r i m i c e r i o ，m ，g e n e r a lf r e eb o u n d a r yp r o b l e m sf o rt h eh e a te q u a t i o n ，1 j m a t h a n a l a p p l 5 7 ( 1 9 7 7 ) ，6 9 4 - 7 2 3 f 7 jf a s a n o ，a a n dp r i m i e e r i o ，m ，g e n e r a lf r e eb o u n d a r yp r o b l e m s 扣rm e h e a te q u a t i o n ，2 j m a t h a n a l a p p l 。5 8 ( 1 9 7 7 ) ，2 1 2 2 3 1 2 1 一个自由边界问题整体解的存在性和不存在性 参考文献 8 g r e e n b e r g ，jm ，p e r i o d i cs o