（岩土工程专业论文）半无限空间中隧道问题的复变函数解法.pdf

硕l 学位论义 摘要 半无限空间中孔洞受径向力作用下的问题已由v e r r u i j t ( 1 9 9 8 ) 采用复变函数 解答，而在切向力作用下的解答尚无文献报导。本文应用v e r r u i j t 的解法，采用 共形映射方法，把含括一个圆形孔洞的半无限空间区域映射为圆环域。然后把这 个区域内的解析函数展成l a u r e n t 级数的形式。利用m u s k h e l i s h v i l i 的复变函数 解法，求得洞周定向均布面力作用下的应力场和位移场。最后分析了受力不同角 度、不同埋深对应力场和位移场的影响。分析的结果对非开挖地下钻探的定向控 制技术有指导意义。 半无限空间中孔洞受均布位移作用下的问题已由v e r r u i j t ( 1 9 9 7 ) 采用复变函 数解答，而本文中给定椭圆化位移边界条件下的解答尚无文献报导。本文应用 v e l r u i j t 的基本解法，采用共形映射方法，把含括一个圆形孔洞的半无限空间区 域映射为圆环域。然后把这个区域内的解析函数展成l a u r e n t 级数的形式。利用 m u s k h e l i s h v i l i 的复变函数解法，求得隧道洞周给定位移条件下的应力场和位移 场。分析了不同埋深、不同泊松比对位移场的影响，不同埋深对应力场的影响。 最后分析了5 个隧道实测数据与四种不同位移边界条件解的对比情况。分析的结 果表明：作者给出的第三、第四边界条件的精确解对盾构隧道的设计有重要的实 践意义。 对于深埋隧道，利用m i n d l i n 给出的、半无限空间重力隧洞初始应力场下的 完整应力解分析了洞室周边的应力分布规律，用数值方法计算出了最大压应力的 位景；结合m o h r - c o u l o m b 屈服条件，研究了洞室周边出现塑性点时洞室直径、 圈岩粘聚力、内摩擦焦与相对埋深的关系，以便工程设计应用。 关键词：共形映射，半无限空间，洞周定向均布面力，洞周给定位移条件，应力 场与位移场 硕士学位论文 a b s t r a c t u s i n gt h ec o n f o r m a lm a p p i n g ，t h er e g i o no fah a l fp l a n ee x c l u s i o no fah o l ei s t a n s f e r e di n t oac i r q u e t h e nt h ea n a l y t i cf u n o t i o n sc a l lb ee x p a n d e da sl a u r e n ts e r i e s i nt h i sr e g i o n t h es t r e s s e sa n dd i s p l a c e m e n t su n d e rr o t a t i o n a lu n i f o r m a ls u r f a c e f o r c e sc a nb es o l v e d b yt h ec o m p l e xm e t h o df o u n d e db ym u s k h e l i s h v i l i t h e i n f l u e n c eo ft h es t r e s s e sa n dd i s p l a c e m e n t sd u et od i f f e r e n ta n g l e 、d e e p t hi s d i s c u s s e d t h er e s u l t si su s e f u l li nt h ed i r e c t i o n a id r i l l i n ga n dt h ec o n t r o l l a b l e c o n s t r u c t i o no f n 0 一d i gg u i d e db o r i n g u s i n gt h ec o n f o r m a lm a p p i n g ，t h er e g i o no fah a l fp l a n ee x c l u s i o no fah o l ei s t a n s f e r e di n t oac i r q u e t h e nt h ea n a l y t i cf u n c t i o n sc a nb ee x p a n d e da sl a u r e n ts e r i e r s i nt h i sr e g i o n t h es t r e s s e sa n dd i s p l a c e m e n t su n d e rc e r t a i nd i s p l a c e m e n tc a nb e s o l v e db yt h ec o m p l e xm e t h o df o u n d e db ym u s k h e l i s h v i l i t h ei n f l u e n c eo ft h e d i s p l a c e m e n t sd u et od i f f e r e n td e e p t h 、d i f i e r e n tp o i s s o n sr a t i oi sd i s c u s s e d a n dt h e i n f l u e n c eo ft h es t r e s s e sd u et od i f f e r e n td e e r l t hi sd i s c u s s e da l s o t h er e s u l t si s o b v i o u st h a tt h ee x a c ts o l u t i o n so ft h et h i r da n dt h ef o r t hb o u n d a r yc o n d i t i o n s u g g e s t e db yt h ea u t h o ri si m p o r t a n ti nt h ed e s i g n i n go fs h i e l dt u n n l i n ga f t e rt h e c o m p a r i s i o no ft h es o l u t i o n su n d e rt h ef o u rd i f f e r e n tb o u n d a r yc o n d i t i o n sw i t ht h e d a t ao b s e r v e di nf i v ed i f f e r e n tt u n n e l s u t i l i z i n gt h ec o m p l e t es t r e s ss o l u t i o no ft h eg r a v i t yt u n n e li nah a l f p l a n es o l v e d b vm i n d l i n w ea n a l y s et h es t r e s s d i s t r i b u t i o na r o u n dt h ep e r i p h e r yo ft h et u n n e l a n dd e t e c t et h em a x i m u mc o m p r e s s i v es t r e s su s i n gn u m e r i cm e t h o d c o m b i n i n gw i t h t h em o h r - c o u l o m by i e l dc r i t e r i o n w ea n a l y s et h er e l a t i o nb e t w e e nt h e t h ed i a m e t e r 、 t h ec o h e s i o n 、t h ea n g l eo fi n t e r n a lf r i c t i o na n dt h er e l a t i v ed e e p t hw h i c hi sv e r y c o n v e n i e n tf o re n g i n e e r i n gd e s i g n k e yw o r d s ：c o n f o r m a im a p p i n g ，ah a l f p l a n ew i t hah o l e ，r o t a t i o n a ls u r f a c ef o r c e s a l o n gt h eh o l e ，c e r t a i nd i s p l a c e m e n ta i o n gt h eh o l e ，t h es t r e s s e sa n dd i s p l a c e m e n t s i l 硕l 学位论文 1 1 课题背景 第一章绪论 1 1 1 工程背景 盾构法是在软土底层中修建隧道的一种施工方法，用此法修建隧道在国外已 有近1 8 0 年的历史。最早是在1 8 1 8 年由法国工程师m j b r u n l 发明的，并于1 8 2 5 年开始用个矩形盾构在英国伦敦的寨晤士河下面修建世界第一条水底隧道。 2 0 世纪5 0 年代初，东北埠新煤矿用直径2 5 m 的手掘式盾构及小型混凝土 预制块修建蔬水巷道，这是我国首条用盾构掘进机施工的隧道。 1 9 6 3 年，上海隧道工程股份有限公司研制了直径4 2 m 的手掘式盾构并进行 浅埋和深埋隧道掘进试验，隧道掘进长度6 8 m 。 1 9 9 0 年，上海地铁1 号线工程全线开工。上海地铁2 号线的1 0 号盾构由上 海隧道工程股份有限公司自行设计制造。 1 9 9 9 年5 月，上海隧道股份研制成功国内第l 台3 8 m 3 8 m 矩形组合盘式 土压平衡顶管机，在浦东陆家嘴地铁车站掘进1 2 0 m ，建成2 条过街人行地道。 2 0 0 0 年2 月，广州地铁2 号线海珠广场至江南新村区间隧道采用上海股份 改制的2 台直径6 ，1 4 m 复合型土压平衡盾构，在珠江底风化岩地层中掘进。 2 0 0 1 年以来，广州地铁2 号线、南京地铁2 号线、深圳地铁1 号线、北京 地铁5 号线、天津地铁1 号线先后从德国、日本引进1 4 台直径6 1 4 m 6 3 4 m 土 压盾构和复合型土压平衡盾构，掘进地铁隧道5 0 k m 。 2 0 0 3 年，上海地铁8 号线首次采用双圆隧道新技术，从日本引进2 台直径 6 5 2 0 m m w 1 1 1 2 0 双圆形土压盾构，掘进黄兴路站一丌鲁路站2 6 k m 的区间隧 道。 2 0 0 4 年，上海上中路越江隧道工程引进世界最大直径1 4 8 7 m 的泥水加压盾 构，在黄浦江掘进施工两条隧道，隧道结构为双层4 车道。 盾构隧道已经成为我国城市地铁隧道的主要施工方法。 用盾构法修建水底公路隧道、地下隧道、水工隧道及小断面市政隧道等在世 界各地得到了广泛的应用。盾构法施工除了城市地下工程发展的需要外，它有以 下几点突出的优越性： 1 1 对环境影响小：出土量少，周围地层沉降小，对周围构造物的影响小； 施工时可不影响地面的交通或航道通航：振动和噪声小，对施工地区附 硕士学位论文 近居民几乎没有干扰。 2 ) 可在盾构设备的掩护下安全地进行土层开挖与衬砌的支护工作。 3 ) 抗地震性能好。 4 ) 适用地层范围宽，软土、砂卵土、软岩、直到岩层均可使用。 5 ) 由于不需降低地下水位，则可减小地表沉降 因此，盾构隧道的修建不仅仅在于隧道本身的修建，它还要对隧道的地表和 地层的变形进行必要的控制。导致地表和地层变形的因素很多，如隧道的埋深、 隧道的直径、地层的特性、盾构的施工方法、向衬砌背面的注浆工艺、地面建筑 物的基础型式等等，是一个综合性的问题。大致展述如下： 1 )建造隧道的过程、地下水位的变化总会引起土层初始应力场的改变，从 而导致应力重分布和相应的地层移动。 2 )降水措施引起土层内的动水压力，导致土层中有效应力的增加，因此有 固结沉降。 3 )地表下沉与隧道的埋设深度及埋置土层的性质有关，一般隧道埋设越 深，盾构掘进时对地表沉降的影响越小，反之则影响越大。故国外曾有人提 出盾构掘进时埋深不少于两倍盾构直径。 4 )盾构尾部建筑空隙充填不实是导致地表下沉的重要因素之一。此外压注 材料的性能及填充量等均对地表的沉降量及速率有很大的影响。 5 )隧道衬砌结构受力后产生的变形也会导致地表的微量下沉。根据国外测 定约为总地表变形的2 3 。 6 )地表沉降与盾构法修建隧道的施工速度有关。 每一因素对变形影响的分析既离不开理论的指导也离不开经验的总结。本文 主要以复变函数作为工具，从理论的角度对隧道变形和应力场分析进行尝试。 随着盾构隧道的广泛发展，盾构隧道已经成了土木工程中重要的一个领域。 工程的发展必然要求相应力学理论的发展。 隧道工程力学t 2 【”1 4 | 【5 l1 6 11 7 的研究已经成了现代工程力学中的一个重要 分支。线弹性隧道力学是隧道工程力学的一个研究方向。客观的隧道问题是三维 问题。把纷繁的边晃条件做某一种简化就得到了半无限空间含括一个孔洞的问 题。 1 t 2 三维问题向二维问题的转化 2 0 世纪初j e 脏r y 在他的论文“p l a n es t r e s sa n dp l a n es t r a i ni nb i p o l a r c o o r d i n a t e s ”i a l 中指出，弹性体在给定外力条件下的平衡问题自e u l e r 那个年代 丌始就是一个大难题，这引起了许多应用数学家的极大兴趣。许多数学家就致力 于该问题的研究。而问题往往是多样性的，因此弹性力学问题解的方法也是多样 坝l 位论史 性的，目前人们对它的认识则是建立对弹性问题数学特解不断艰辛累积的基础之 上。这恰恰是认识论的内容。半无限空间含括一个孔洞在不同边界条件下位移场 和应力场求解的问题是弹性力学问题大家庭之一。孔洞外域各场的求解在实际情 况下都是三维空间问题。然而人们对这类三维问题解法获知甚少，求解上的难度 是非常大的。这就迫使我们要采用二维平面问题分析的方法来取彳导问题的简化。 这种简化也是具有一定的实践意义的。 1 i 3 二维问题的直角、极、双极坐标的求解 二维弹性问题由a i r y 在1 8 6 2 年首先获得了突破，在直角坐标下他导出一个 重调和函数( ，各应力可由该函数的偏微分直接求得。在常体积力和无体积力的 条件下满足v 4 u = 0 。由复合函数的一些性质，则可以导出极坐标和双极坐标下 各应力的表示，位移由应力的表达式通过积分获得。1 9 0 1 年m i c h e l l 给出了极坐 标下应力函数的普遍形式，它跟势函数很接近，即所谓的“逆向理论”，为在边 界上旅加任意荷载的两个偏心圆、半无限空间含括一个孔洞问题的求解开辟了一 条新的道路。到了1 9 1 2 年，在边界应力能展成傅立叶级数的条件下，f i l o n 教授 给出了位移和应力的完整解答。1 9 2 0 年j e f f e r y t 射给出了双极坐标的完备解答。 x 1 rr d ；b l i _ 删 ，昆 、ih 卜! | _ 卜_ 上h 矿a 。q二二 一，：一w d h 、j r r _ f 。r w d ty 圈1l 假设的边界蔫件 f i g 1 1 a s s u m e db o u n d a r yc o n d i t i o n s l “：o 图1 2 烈极坐标 f i g 1 2b i p o l a rc o o r d i n a t e $ 不同的求解方法加深了我们对问题的认识。 在半空间含括孔洞或是偏心圆问题外的大部分问题中，相对来说，人们对直 角坐标和极坐标的使用频率比较高( 因为问题的普遍性) ，因此在这有必要简介一 下双极坐标。 图1 1 给出了直角坐标系下隧道的构形。见为隧道半径，d 为隧道直径， 为隧道内周线最高点a 到水平地表的距离，f 为隧道中心到水平地表的距离，b 为隧道内周线最低点，d 为隧道围岩内任- n 水平地表的距离。 图l ，2 给出了双极坐标系下隧道的构形。只( o ，一d ) 、6 ( 0 ，n ) 为双极点，口为原 点到极点的距离。口和为双极坐标的两个变量，a = i o g ( f i r 2 ) 巾r 2 分别为隧 道围岩内任一点到双极点的距离，= 岛一0 2 ，鼠、0 2 为隧道围岩内任一点与极 硕上学位论文 点贯、b 的连线分别与x 轴f 方向形成的夹角。口= 0 为地表线，口= q 为隧道内 周线。d 、町由方程组( 1 1 ) 求得。 乏蔫。 ( 1 一) 直角坐标系与双极坐标系的转换公式如下： x + 砂= i a c o t h ( 口+ f 卢) ( 1 2 ) 即x = i i 面as i n 丽f l ，y = 赢a 而s i n h 口。 或者写成： 口+ f 口：l o g 兰! l ! 竺! ( 1 - 3 ) x + i ( y 一1 当口= 喁，卢= 0 和= 万分别对应洞室内表面最低点b 和最高点a 。 因此平面坐标之间相互变换均为函数表示的变换关系，是物质点的表达方式 发，拦了变化，显而易见，这种变换不会改变问题解的本身。 1 1 。4 二维问题的复变函数求解 由于双极坐标法一般只求得应力场，但位移场的给出相对困难。而且孔洞距 离地表较近时，双极坐标法往往给出错误的数值计算结果。这种情况迫使专家学 者们去寻求极坐标、双极坐标以外的解法。 1 7 7 7 年e u l e r 首创虚数单位符号“f ”，并系统地建立了复数理论1 9 1 。到了1 9 世纪，复变函数的理论经过法国数学家c a u c h y 、德国数学家r i e m a n n 和 w e i e r s t r a s s 的巨大努力，已经形成了非常系统的理论，并且深刻地渗入到多种数 学分支。 2 0 世纪以来，复变函数理论1 9 1 已被广泛地应用在弹性力学领域，如徐芝纶 m l 、t i m o s h e n k o 1 、m u s k h e l i s h v i l i t “】、路见可i ”1 等人的力学专著中都有相关的 论述。复变函数在推导平面弹性静力问题的最大优点在于：能把某些复杂几何构 形的单连通域共形映射为几何构形较为简单的单连通域( 例如单位圆内域或外 域) ；能把含括一个孔洞的半无限空间共形映射为圆环域，然后在这些区域内运 用解析函数理论，将待求的解析函数就由该区域的边值条件来确定。故本文的研 究中心为：含括一个孔洞的线弹性介质( 本构模型) 的半无限空间( 隧道构形模 型) 在应力边界条件下和不同位移边界条件下的性状分析。 1 2 国外研究现状简介 1 ) 1 9 2 0 年j e f f e r y t 8 1 给出了双极坐标的平面应力和应变的完备解答。该完备 解答建立在：边界应力能展成傅立时级数的形式：边界上施加的力在总体上 碗士学位论文 点球只的连线分别与x 轴正方向形成的夹角。口= o 为地表线，a = 瞄为隧道内 刷线。d 、q 可由方稗绸( 1 一1 1 求得。 ll = a c o t h a ln 1 、 1 坞= a c s c h a j 直角坐标系与烈极坐标系的转换公式如下： x + ：衙c 础；她+ i p ) z ( 1 _ 2 ) 即x = 丽五as i ；n 7 面 ， y = 忑a 五s i n 二h 面a 。 或者写成： 口+ 够：l o g 型业型 ( 1 。3 ) 。x + i ( y 一口) 当= 啦，卢= 0 和卢= 口分别对应洞室内表面最低点b 和最高点a 。 因此平面坐标之问相互变换均为函数表示的变换关系，是物质点的表达方式 发生了变化，显而易见，这种变换不会改变问题解的本身。 i i 4 二维问题的复变函数求解 由于双极坐标法一般只求得应力场，但位移场的给出相对困难。而且孔洞距 离地表较近时，双极坐标法往往给出错误的数值计算结果。这种情况迫使专家学 者们去寻求极坐标、般极坐标以外的解法。 1 7 7 7 年e u l e r 首创虚数单位符号i ，并系统地建立了复数理论t 。到了1 9 世纪，复变函数的理论经过法国数学家c a u e h y 、德国数学家r i e m a r m 和 w e i e r s t r a s s 的巨大努力，已经形成了非常系统的理论，并且深刻地渗入到多种数 学分支。 2 0 世纪以来，复变函数理论1 9 1 已被广泛地应用在弹性力学领域，如徐芝纶 l io i 、t i m o s h e n k o l 、m u s l d a e l i s h v i l i r ” 、路见可m 1 等人的力学专著巾都有相关的 论述。复变函数在推导平面弹性静力问题的最大优点在于：能把某些复杂几何构 形的单连通域共形映射为几何构形较为简单的单连通域( 例如单位圆内域或外 域) ；能把含括一个 l 洞的半无限空间共形映射为圆环域，然后在这些区域内运 用解析函数理论将待求的解析函数就由该区域的边值条件来确定。故本文的研 究中心为：含括一个孔洞的线弹性介质( 本构模型) 的半无限空间( 隧道构形模 型) 在应力边界条件下和不同位移边界条件下的性状分析。 1 2 国外研究现状简介 1 ) 1 9 2 0 年j e f f e r y i ”给出了双极坐标的平面应力和应变的完备解答。该完各 解答建立在；边界应力能展成傅立叶级数的形式；边界上施加的力在总体上 解答建立在：边界应力能展成傅立叶级数的形式；边界卜施加的力在总体上 硕上学位论文 点贯、b 的连线分别与x 轴f 方向形成的夹角。口= 0 为地表线，口= q 为隧道内 周线。d 、町由方程组( 1 1 ) 求得。 乏蔫。 ( 1 一) 直角坐标系与双极坐标系的转换公式如下： x + 砂= i a c o t h ( 口+ f 卢) ( 1 2 ) 即x = i i 面as i n 丽f l ，y = 赢a 而s i n h 口。 或者写成： 口+ f 口：l o g 兰! l ! 竺! ( 1 - 3 ) x + i ( y 一1 当口= 喁，卢= 0 和= 万分别对应洞室内表面最低点b 和最高点a 。 因此平面坐标之间相互变换均为函数表示的变换关系，是物质点的表达方式 发，拦了变化，显而易见，这种变换不会改变问题解的本身。 1 1 。4 二维问题的复变函数求解 由于双极坐标法一般只求得应力场，但位移场的给出相对困难。而且孔洞距 离地表较近时，双极坐标法往往给出错误的数值计算结果。这种情况迫使专家学 者们去寻求极坐标、双极坐标以外的解法。 1 7 7 7 年e u l e r 首创虚数单位符号“f ”，并系统地建立了复数理论1 9 1 。到了1 9 世纪，复变函数的理论经过法国数学家c a u c h y 、德国数学家r i e m a n n 和 w e i e r s t r a s s 的巨大努力，已经形成了非常系统的理论，并且深刻地渗入到多种数 学分支。 2 0 世纪以来，复变函数理论1 9 1 已被广泛地应用在弹性力学领域，如徐芝纶 m l 、t i m o s h e n k o 1 、m u s k h e l i s h v i l i t “】、路见可i ”1 等人的力学专著中都有相关的 论述。复变函数在推导平面弹性静力问题的最大优点在于：能把某些复杂几何构 形的单连通域共形映射为几何构形较为简单的单连通域( 例如单位圆内域或外 域) ；能把含括一个孔洞的半无限空间共形映射为圆环域，然后在这些区域内运 用解析函数理论，将待求的解析函数就由该区域的边值条件来确定。故本文的研 究中心为：含括一个孔洞的线弹性介质( 本构模型) 的半无限空间( 隧道构形模 型) 在应力边界条件下和不同位移边界条件下的性状分析。 1 2 国外研究现状简介 1 ) 1 9 2 0 年j e f f e r y t 8 1 给出了双极坐标的平面应力和应变的完备解答。该完备 解答建立在：边界应力能展成傅立时级数的形式：边界上施加的力在总体上 硕l 学位论文 处于平衡状态。然而解答的过程相当繁琐，而且未能给出位移边界条件下该问题 的解答。可以想象，即使可解，解答过程应当是繁伉的。从另一个角度看，双极 坐标的在应力边界条件下的解法也具有优点：能把偏心圆、全空间含括双圆及半 空矧含括个孔洞的复连通域里的问题归到同一个问题的求解过程中。j e f f e r y 在推导他的应力势函数的过程中，分析了几种作用在极点的典型平衡力系所对应 的势函数，这对1 9 3 9 年m i n d l i n 采用试凑的办法起到了一定的作用。 2 ) 1 9 3 9 年r a y m o n dd m i n d l i n 【1 4 1 肯定了s y a m a g u t i 和h s c h m i d t 工作： 考虑了隧道开挖体重力的影响；有应力集中现象。同时指出缺点：没有考虑水 平边界条件对隧道周围介质应力场和位移场的影响。由此，m i n d l i n 采用和j e f f e r y 同样的双极坐标解法，在应力势函数的推导过程中加入了介质所受的重力场和初 始应力场。首先他从满足隧道周边的无法向和切向应力条件开始，提取出包括开 挖体重量的应力势函数，然后为了满足位移单值和水平面无法向和切向应力边界 条件采用试凑的办法展开了一系列的工作。过程颇具艰辛。遗憾的是，文中未给 出位移场的公式，可以想象，那是一个很复杂的公式，则解析成了一个问题。而 且在该论文公式( 5 1 ) 中可以看出，当a = 0 ，级数本身不收敛。 3 ) 1 9 8 7 年c s a g a s e t a1 1 5 1 给出了土体缺失条件下不排水变形的分析。缺点在 于：s a g a s e t a 把孔洞周边的均匀变形作为了问题的边界条件，而实际隧道变形 具有椭圆化性；当镜像法的边界条件作修正时，直接将其边界反力作用在没有 孔洞的半空间上，当隧道浅埋时，采用布新耐斯克解的误差可想而知：土体是 不可以压缩的材料。 4 ) 1 9 9 6 年a v e r r u i j ta n dj r b o o k e r i “改进s a g a s e t a 的两个假设：士体是 可以压缩的材料：隧道变形可以椭圆化。但s a g a s e t a 方法的固有缺陷仍然存在， 而a v e r r u i j ta n dj r b o o k e r 采用了这个结论。 1 9 9 7 年a v e r r u i j t t ”l 采用复变函数给出了满足水平面无法向和切向应力的 第一边界条件和孔洞周边的位移可展成映射后域内单位复数的幂级数形式的第 二边界条件的解的递推公式。其后给出洞室周边在均布位移条件下解的递推公式 并编程做了计算。 随后一年，a v e r r u i j t ”教授给出了满足水平面无法向和切向应力的第一边 界条件、孔洞周边的应力可展成映射后域内单位复数的幂级数形式的第一边界条 件的解的递推公式。其后给出洞室周边在均布法向应力条件下的精确解并编程做 了计算。v e r r u i j t 教授9 8 年封闭解和9 7 年的解析解均为精确解，是应力边界条 件或位移边界条件下的附加应力场和位移场的求解。在第三、四章中会有表述。 5 ) 1 9 9 8 年n l o g a n a t h a na n dh g p o u l o s1 1 9 1 把1 9 9 6 年a v e r r u i j ta n d j ，r b o o k e r 的工作进行了拓展，以土体缺失函数占。，替代了土体缺失常数毛。这个 硕十学位论文 工作非常有意义：整个封闭解既有理论又有经验因子。但必须指出，采用镜像理 论求解该问题的缺陷仍然存在。 6 ) 2 0 0 1 年a n t o n i ob o b e t ”1 试图解决隧道衬砌与隧道周边土体两种不同介质 相互作用的组合问题。但在隧道衬砌与土体的变形协调条件中无形地采用了某种 特定的假设( 先是土体均匀变形，与衬砌接触后共同变形) ，这种假定违背了他的 初衷。 7 ) 2 0 0 4 年、2 0 0 5 年k y u n g h op a r k 口1 】 2 2 1 给出隧道孔洞周边四种变形模式， 但对应力函数的简化似乎没有说服力。 1 3 本文的主要研究工作 1 ) 在第三章，本文采用复变函数求解孔洞周边定向均布面力作用下含括圆 形孔洞的半无限空间问题，避免了双极坐标法计算上的困难，而且直接给出位移 场。法向均布面力作用下带有圆形孔洞的半无限空间问题已由a v e r r u i j t 采用复 变函数解得。本文解得了切向均布面力作用下的情况。最后分析了受力不同角度、 不同埋深对应力场和位移场的影响， 2 1 在第四章，本文采用复变函数求解孔洞周给定位移条件下含括圆形孔洞 的半无限空间问题。均布位移条件下带有圆形孔洞的半无限空间问题已由 a v e r r u i j t 采用复变函数解得。然而隧道周边的径向变形并非是均匀的，将会有 椭圆化的变形发生。p a r k 总结了以往一些学者研究的隧道变形模式，简化出四种 用三角级数表示的变形模式，然后采用极坐标的通用解法并附加了一些限定，给 出了应力场和位移场的解答。但是此解法并不严密。作者采用复变函数方法获得 了相应其他三种位移条件下的严密解答。该解答对盾构隧道的现场监测和设计有 指导意义。 3 ) 在盾构隧道工程的施工过程中，隧道衬砌与盾构机尾部总存在一定的间 隙、隧道管片外要进行压力注浆、盾构机的推进有个空间效应、具体的施工因素 等等使得隧道周边的变形椭圆化。隧道周边不同的椭圆化的变形相应土体不同的 应力场和位移场。从已有的隧道变形模式出发，本文给出了问题的精确解，分析 了4 种不同边界条件下隧道的位移场和应力场，并与5 个不同隧道的实测资料进 行了比较，结果表明，第三、第四边界条件的解更具有实践意义。 4 ) 在附录i 中，本文对m i n d l i n 给出的半无限空间重力隧洞完整应力解进 行拓展应用，用数值方法计算出了最大压应力的位置；结合m o h r - c o u l o m b 屈服 条件，研究了洞室周边出现塑性点时洞室直径、围岩粘聚力、内摩擦角与相对埋 深的关系。最后对天台桐柏抽水畜能电站隧洞工程进行分析运用，具有良好的可 6 操作性。这些研究很大程度上方便了工程设计人员对洞室临塑状态的判断。 1 4 本章小结 本章对半无限空间隧道课题的背景和研究方法作了简明的阐述，同时给出了 本论文的研究工作内容。 本章参考文献 1 王毅才隧道工程人民交通出版社，2 0 0 1 2 关宝树隧道工程设计人民交通出版社，2 0 0 3 3 关宝树隧道结构力学计算人民交通出版社，2 0 0 4 4 关宝树隧道力学概论西南交通大学出版社，1 9 9 3 5 黄绍铭高大钊等软土地基与地下工程中国建筑工业出版社2 0 0 5 6 张风祥等盾构隧道施工手册人民交通出版社，2 0 0 5 7 张风祥等盾构隧道人民交通出版社，2 0 0 4 8 g b j e f f e r r y p l a n es t r e s sa n dp l a n e s t r a i ni n b i p o l a r c o o r d i n a t e s t r a n s a c t i o n so f t h er o y a ls o c i e t y ，l o n d o n ，e n g l a n d ，19 2 0 9 钟玉泉 复变函数论，高等教育出版社，2 0 0 4 l o 徐芝纶弹性力学 高等教育出版社，2 0 0 4 i 1s e t i m o s h e n k oj n g o o d i e r t h e o r y o f e l a s t i c i t y 清华大学出版社，2 0 0 4 l2n i m u s k h e l i s h v i l i m a t h e m a t i c a l t h e r o y o f e l a s t i c i t y i m e m a t i o n a l p u b l i s h i n gl e y d e n ，1 9 5 4 13 路见可 平面弹性复变方法，武汉大学出版社，2 0 0 2 年 1 4r a y m o n dd m i n d l i n s t r e s sd i s t r i b u t i o na r o u n dat u n n e l ， a s c e ，1 9 4 0 15c s e g a s e t a a n a l y s i s o fu n d r a i n e ds o i ld e f o r m a t i o nd u et o g r o u n dl o s s g e o t e c l m i q u e3 7 ，n o 4 ，3 0 1 3 2 6 ，1 9 8 7 硕- l 学位论史 l6a v e r r u i j ta n dj r b o o k e rs u r f a c es e r l e m e n t sd u et od e f o r m a t i o no fat u n n e li n a ne l a s t i ch a l f p l a n e g e o t e c h n i q u e4 6 ，n o 4 ，7 5 3 7 5 6 ，19 9 6 17a v e r r u i j tac o m p l e xv a r i a b l e s o l u t i o nf o ra d o f o r m i n gc i r c u l a rt u n n e li na n e l a s t i ch a l fp l a n e i n t e r n a t i o n a lj o u r n a lf o rn u m e r i c a la n da n a l y t i c a lm e t h o d si n g e o m e c h a n i c sv 0 1 2 1 ，7 7 8 9 ，1 9 9 7 18a v e r m i j td e f o r m a t i o n s o fa l le l a s t i ch a l fp l a n ew i t hac i r c u l a rc a v i t y i n t j s o l i d ss t r u c t u r e sv 0 1 3 5 ，1 9 9 8 19n l o g a n a t h a na n dh g p o u l o s ，a n a l y t i c a lp r e d i c t i o nf o rt u n n e l i n g - i n d u c e d g r o u n dm o v e m e n t si nc l a y j o u m a lo fg e o t e c h n i c a la n dg e o e n v i r o n m e n t a l e n g i n e e r i n g ，s e p t e m b e r , 1 9 9 8 2 0a n t o n i ob o b e t a n a l y t i c a ls o l u t i o nf o rs h a l l o wt u n n e l si ns a t u r a t e dg r o u n d j o u r n a lo fe n g i n e e r i n gm e c h a n i c s ，2 0 0 1 21k y u n g 。h op a r ke l a s t i c a ls o l u t i o nf o rt u n n e l i n g - - i n d u c e dg r o u n dm o v e m e n ti n c l a y s i n t e r n a t i o n a lj o u r n a lo fg e o m e c h a n i c s ，d e c e m b e r 2 0 0 4 2 2k y u n g h op a r k a n a l y t i c a ls o l u t i o nf o rt u n n e l i n g i n d u c e dg r o u n dm o v e m e n ti n c l a y s t u n n e l l i n ga n du n d e r g r o u n ds p a c et e c h n o l o g y ，2 0 ( 2 0 0 5 ) 2 4 9 2 6 1 8 硕土学位论文 第二章国外近期研究状况及复变函数解法基础 2 1s a g a s e t a 的镜像方法 s a g a s e t a 首先把求解问题的方法进行了分类。根据边界条件的输入和期望 目标的输出，应力应变问题大致可阻划分为四类：力一力问题：位移一位移 问题；力一位移或位移力问题；混合输入或混合输出问题。因此，我们可 以在特定的类别中采用一些必需的简化手段以便快速求解和判断问题。基于隧道 开挖引起土体的缺失和求解位移场，问题就被归入应变控制问题( 第类) 。 一般应力应变问题的控制方程有三个：平衡方程、本构方程和边界方程。当 土体不可压缩时= 0 5 ，由线弹性本构方程可以导出t = 0 。显然，边界方程和 方程e , i = o 不是求出位移场的充分条件。若已知位移场的方向，则问题可解。 畸7 l 一一x 一 s u r f a c e 1 - ， ( 冲)， ，2 j p ( x , y , z 一一l 一一，一。7 f h l c 萤c i h ，y 。，知j 图2 1 直角坐标系中的源( 汇) 点 如图2 1 ，在全空间里，若己知某一源点或汇点的状况，根据问题的对称性 和流体力学的知识就可以求出全空间的位移场。而实际隧道在土体缺失的条件下 与半空间问题最为接近，因此求解半空间问题就需要有一定的技巧。整个求解步 骤见图2 , 2 ，推导过程见论文【1 】。但值得注意的是，文中土体缺失定义为：3 维 v = 4 3 疗a 3 ；2 维v = 石a 2 单位长度，其中a 为当量球体半径或圆柱体半径。 显然孔洞周边的均匀变形作为了问题的边界条件。在三维中，求解结果如下： s x = 昙妄f 乃斋【毛e ( 婶+ 1 f f ( 女) 】j 口( 2 1 ) 其中 疋= 昙矿ke 去i i i ；。严i s l e ( + f ( 】d 口 ( 2 2 ) l e - 1 + 1 攻专+ 1 厶= 一( 口2 + 工2 + 2 2 2 ) 硕上_ 学位论文 ，。：一l + 2 a ( a - ，x ) 。 鬈 = ( n x2 + z 2 “2 咋= ( 盯+ x2 + z 2 “2 最为平行j 轴方向位移，鼠为平行y 轴方向位移。 a c t u a lp r o b l e m $ u r l a 髓 os n k r ，# 0 rr 、0 s t e p1 - - i n f i n i t e m e o i u m 皇竺地竺生一一一。：嘞 r 蒋r o o s i n k s t e p 2 - - i m a g e e l n k e o u r o e ( a 】n e g a t i v e i m a g e 0 | m a g e s o u r ( ；e s u r f a c e ( i g n o r e d 一) 筝耋矗如 o $ 1 n l ( c b ) p o s i t i v e i m a g e oi m a g e s i n k s u r l a c e ( i g n o r e 0 1 t ，f o 一r 女。t o os i n k s 洲t o n = ，+ 粼：粥) l a c t u a l i o = o b l 鲫 图2 2 分析步骤 但s a g a s e t a 的解法存在如下缺点：把孔洞周边的均匀变形作为了问题的边 界条件，而实际隧道变形具有椭圆化性；当镜像法的边界条件作修正时，直接 将其边界反力作用在没有孔洞的半空间上，当隧道浅埋时，采用不考虑隧道存在 的布新耐斯克解的误差是严重的；土体是不可以压缩的材料。 2 。2v e r r u i j t 和b o o k e r 对s a g a s e t a 镜像法的改进 1 0 一 一 等 坝士学位论文 a v e r r u i j ta n dj r b o o k e r m 所做的是对c s a g a s e t a t 1 工作的改进。他们承继 了s a g a s e t a 的解题技巧，并改进了两个假设：土体是可以压缩的材料：隧道 变形可以椭圆化。 卜 ，： 隧 、_ 、 一一，一一一 一一 _ 。 戮- 图2 3 土体缺失和椭圆化变形 a v e r r u i j ta n dj r b o o k e r 把椭圆化变形分解成两部分：其一为均匀的径向相 对体缺失s ；其二为椭圆化相对变形d 。求解的位移公式表示如下： q 一警咕孚，一等c 号- z + 竿，四，q 一哼丁卜百了+ r j ( 2 - 3 ) 驴丝【哗一鼍】-28r2hm【学+ 群m 】( 2 _ a ) 片i+ i i 一 、7 其中 聊。t 二，z t2 = 一h