（大地测量学与测量工程专业论文）基于天文水准的gps跨障碍高程传递研究.pdf

中南大学硕士学位论文 摘要 远距离、高精度的跨障碍高程传递一直是工程测量中的一个难点，传统方法 的困难来自于远距离观测的分辨率过低。随着跨越距离的增大，其精度迅速降低 甚至无法观测( 如跨越距离超过1 0 k m ) 。 g p s 技术的优势之一是测量范围大、测站间无需通视，这样，g p s 具备解决 上述问题的潜力。但一个关键问题是；障碍物两侧的高程系统并不一致( 即使是 同一高程系统，在观测前仍需视为不同的高程系统) 。因此无法直接采用常规的数 值拟合方法。为解决这一问题，本文提出了一种基于天文水准原理的g p s 方法， 通过测定障碍物两侧的高程异常差来实现高程传递。 众所周知，g p s 水准的实质是拟合测区的似大地水准面形状，而反映似大地 水准面形状的一个关键量就是地面垂线偏差。地面垂线偏差的几何意义可看作是 似大地水准面的法线方向与参考椭球面( 或平均椭球面) 的法线方向之间的空间 夹角，在椭球面一定的情况下，它只与似大地水准面的形状有关，而与其绝对位 置无关。也就是说，垂线偏差不会受到高程系统不同基准的影响。这样，尽管障 碍物两侧的高程基准不一致，但垂线偏差是属于同一系统的。我们可以设想：如 果采用g p s 水准来分别拟合障碍物两侧的似大地水准面形状，再进而求得垂线偏 差，则两侧的垂线偏差都是属于w g s 8 4 系统的；由两侧所求的垂线偏差进行拟 合，再根据天文水准原理，便可求出障碍物两侧的高程异常差。这便是新方法的 基本思路。 根据以上设想，本文的研究分为五个部分：首先根据斯托克司理论和莫洛金 斯基理论推导出高程异常与地面垂线偏差的严密关系式；在此基础上研究由g p s 水准测定地面垂线偏差的具体实旌方法并分析精度；然后根据天文水准原理研究 实施“天文g p s 水准”的可行性、具体实施方法并分析精度；为进一步增大跨障 碍测程和提高精度，根据天文重力水准原理和地壳均衡理论，研究实施“天文g p s 均衡水准”的可行性、具体实施方法并分析精度；最后结合实例进行试验，初步 检验了新方法所能到达的实际精度。 关键词：跨障碍高程传递，地面垂线偏差，高程异常差，g p s 水准，天文水 准，天文重力水准，地壳均衡理论 主堕查兰堡主堂堡垒奎 a b s t r a c t t h eh e i g h tt r a n s f e ra c r o s so b s t a c l ew i t hl o n g d i s t a n c ea n dh i g hp r e c i s i o ni s o n e o fd i f f i c u l t i e si n e n g i n e e r i n gs u r v e y a l lt h et i m e t h em a i nt r o u b l eo ft r a d i t i o n a l m e t h o d si sl o wr e s o l v i n gp o w e ro fd i s t a n tm e a s u r e m e n t w i t ht h ed i s t a n c ea c r o s s o b s t a c l ei n c r e a s i n g ，t h ea c c u r a c yb e c o m e sl o w e ra n dl o w e r i f t h ed i s t a n c ei so v e r1 0 k i l o m e t e r s ，a l lt h et r a d i t i o n a lm e t h o d sa r ei n v a l i d o n eo f a d v a n t a g e sg p sp o s s e s s i n gi sd i s t a n tm e a s u r i n g w i t h o u ti n t e r v i s i b i l i t y ， s og p sh a sap o t e n t i a lt os o l v et h ea b o v ep r o b l e m t h es i x t y f o u r d o l l a rq u e s t i o ni s t h a tt h eh e i g h td a t u mi nb o t hs i d e so f o b s t a c l ei sn o tc o n s i s t e n t e v e nt h e yb e l o n gt o t h es a m eh e i g h ts y s t e m ，t h e i rd a t u ms h o u l db et r e a t e di n c o n s i s t e n t c o n s e q u e n t l yt h e g e n e r a lg e o m e t r i c a lf i t t i n gm e t h o dc a nn o tb eu s e dd i r e c t l y an e wm e t h o di nt h i s p a p e ri so f f e r e dt os o l v et h eq u e s t i o n ，w h i c hi s b a s e do na s t r o n o m i c a ll e v e l i n ga n d u s e sg p st om e a s u r eh e i g h ta n o m a l yd i f f e r e n c eb e t w e e nb o t hs i d e so f o b s t a c l e a se v e r y o n ek n o w s ，t h en a t u r eo fg p sl e v e l i n gi st of i t s h a p eo f l o c a l q u a s i g e o i d t h ek e yv a l u ec o r r e s p o n d i n g t os h a p eo f q u a s ig e o i di ss u r f a c ed e f l e c t i o no f t h ev e r t i c a l i ta p p r o x i m a t i v e l yc a nb el o o k e du p o na ss p a t i a l a n g l eb e t w e e nq u a s i g e o i d sn o r m a la n de l l i p s o i d a ln o r m a l f o r t h ec e r t a i ne l l i p s o i d ，s u r f a c ed e f l e c t i o ni s o n l yr e l a t e dt ot h es h a p eo fq u a s ig e o i d ，n o tt oa b s o l u t ep o s i t i o n i no t h e rw o r d s ， d e f l e c t i o no ft h ev e r t i c a li sn o ta f f e c t e db yt h eh e i g h td a t u m a c c o r d i n g l yw ec a n d e s i g nan e w m e t h o d ，i nw h i c hw e f i r s t l yu s eg p sl e v e l i n gt of i ts h a p eo f l o c a lq u a s i g e o i di nb o t hs i d e so fo b s t a c l e ，s e c o n d l yd e t e r m i n es u r f a c ed e f l e c t i o n sw h i c ha r e b e l o n g e d t ow g s 一8 4 ，i nt h ee n d a d o p tp r i n c i p l eo f a s t r o n o m i c a ll e v e l i n ga n di s o s t a s y t oc o m p u t eh e i g h ta n o m a l yd i f f e r e n c eb e t w e e nb o t hs i d e so fo b s t a c l e t h ea b o v ei s b a s i ct h o u g h to f t h en e wm e t h o d f r o mt h ea b o v e t h o u g h t ，t h es t u d yo f t h i sp a p e ri sd i v i d e df i v es e c t i o n s t h ef i r s t o n ei st od e d u c et h er i g o rr e l a t i o nb e t w e e nh e i g h ta n o m a l yd i f f e r e n c ea n ds u r f a c e d e f l e c t i o nf r o ms t o c k s sc o n c e p ta n dm o l o d e n s k i j sc o n c e p t t h es e c o n do n es t u d i e s h o wt ou s eg p s l e v e l i n gt om e a s u r es u r f a c ed e f l e c t i o no f t h ev e r t i c a l t h et h i r do n e s t u d i e sh o wt op u tg p sa s t r o n o m i c a ll e v e l i n gi np r a c t i c e t h ef o r t ho n es t u d i e sh o w t op u tg p sa s t r o i s o s t a t i c l e v e l i n gi np r a c t i c e ，w h i c hi sb a s e do na s t r o g r a v i m e t r i c l e v e l i n ga n di s o s t a s ya n di no r d e r t oi m p r o v e r a n g ea n da c c u r a c y t h ef i f t ho n ei st o i n i t i a l l yt e s tp r a c t i c a la c c u r a c yo f t h e n e wm e t h o dc o m b i n e di n s t a n c e s k e yw o r d s ：h e i g h tt r a n s f e r v e r t i c a l ，h e i g h ta n o m a l y d i f f e r e n c e ， a s t r o g r a v i m e t r i cl e v e l i n g ，i s o s t a s y a c r o s so b s t a c l e ，s u r f a c ed e f l e c t i o no ft h e g p s l e v e l i n g ，a s t r o n o m i c a ll e v e l i n g ， 中南大学硕士学位论文 第一章绪论 第一节前言 一、问题的提出 远距离、高精度的跨障碍高程传递一直是工程测量中的一个难点，其主要困 难来自于客观条件的制约：观测距离过远，目标照准困难，大气垂直折光影响严 重，气象因素干扰大等。传统的跨河水准测量方法，如光学测微器法、倾斜螺旋 法、经纬仪倾角法等，只能应用于跨越距离较短的情况( 3 k m 以下) ，而且存在 着观测条件要求苛刻、耗时费力、成功率低等问题。以武汉长江：二桥的建设为例， 其跨河水准路线长约1 8 0 0 m ，选用两台n j 0 0 4 水准仪，采用倾斜螺旋法按二等跨 河水准要求施测，历时两个多月才得以完成，其艰巨性可见一斑。近年来，自动 寻标全站仪的出现为该问题的解决提供了一定的帮助：采用两台自动寻标全站仪 做e d m 三角高程测量，以自动目标识别保证照准精度，以严格同步对向观测削 弱大气垂直折光的影响，设计多条观测路线构成具有外部检核条件的跨越四边 形。试验证明：该方法在l k m 的跨越距离上、在l 小时内可达到一等水准的精 度。但该方法受到自动目标识别技术的制约，观测距离有限，无法从根本上 解决问题。如果跨越距离较大( 如超过1 0 k m ) ，采用上述方法是不可想象的。而 目前大型工程的建设趋势己对此提出要求，如跨海隧道和桥梁等，因此，探索新 的有效方法具有重要意义。 二、g p s 水准方法的应用现状 g p s 相对于传统大地测量方法的优势之一是测量范围大、测站问无需通视， 在数十公里的范围内采用差分方法可获得高精度的三维坐标差：平面精度为1 2 p p m ，高程精度为2 3 p p m 。这样，g p s 技术为上述问题的解决提供了个可 能的有效途径。但关键问题是：障碍物两侧的高程系统并不一致( 即使是同一高 程系统，在观测前仍需视为不同的高程系统) ，因此无法直接采用常规的数值拟 合方法( 由两侧的g p s 水准点拟合测区的似大地水准面形状) ，否则两侧存在的 系统误差将严重扭曲所拟合的似大地水准面。根据目前的文献资料，一种简单的 方法是直接采用外推：先由障碍物- n 的g p s 水准点拟合该侧的似大地水准面 形状，然后外推至障碍物的另一侧。显然，这种方法只能适用于跨越距离较短、 似大地水准面的形状比较规则、精度要求不高等情况，因此实用价值不大。另一 种改进的方法是在两侧的拟合方程组中加入一个待定的系统差参数 第1 页 ! 塑查兰堡圭兰堡垒苎 f ，= ，( x 。，y ) f ，= ，( x m ，y m ) ( 1 - 1 ) f 。= f ( x 。m y “) + f f 。= ( z 。，y 。) + g 式中l 撑珊存点为障碍物一侧的g p s 水准点； ( m + 1 ) # 门社点为另一侧的g p s 水准点； e 为两侧高程的系统差。 再由上式将系统差参数与多项式拟合系努：一并求解。显而易见，这种方法的实质 是将障碍物两侧的似大地水准面形状视匈致，因此可用同一个单曲面来拟合， 故其使用是有前提条件的。可以想见，如果跨越的距离较大或地形起伏剧烈、短 波分量的影响明显，则障碍物两侧的似大地水准面形状会有很大的差异，其拟合 误差会迅速增大以致失去意义。该方彩i 自勺成功实例也从一个侧面说明了这一点， 它们均是长江中下游平原地区或沿海t z 原地区、3 k m 以下的跨河水准测量。 第二节 j ；f 究方向和主要内容 一、新方法的提出及其基本思“吾 由第一节的分析可知，署习g p s 技术实施跨障碍高程传递的关键在于测区 似大地水准面形状的确定，丽反映似大地水准面形状的个关键量就是地面垂线 偏差。地面垂线偏差的几何翟义可看作是似大地水准面的法线方向与参考椭球面 ( 或平均椭球面) 的法线玎向之间的夹角，在椭球面一定的情况下，它只与似人 地水准面的形状有关，雨与其绝对位置无关。也就是说，垂线偏差不会受到高程 系统不同起算基准的影响。这样，7 尽管障碍物两侧的高程系统荠不一致，但其垂 线偏差是属于同一系缪的。这便是新方法的关键所在。 首先由障碍物碡则的g p s 水准成果分别拟合各自的似大地水准面形状，再 由此分别解求地面矛j 线偏差。如上所述，两侧所求的垂线偏差是属于同一系统 ( w g s 一8 4 ) 的。目：于地面垂线偏差表示了似大地水准面的倾斜，即可通过地面 垂线偏差来计算高瞿异常差：因此，再由所求垂线偏差进行拟合，可进而求出障 碍物两侧的高程异常差。这便是新方法的基本思路。 二、研究的主要内容 本文的研究力争将以上提出的新方法付诸实旋，使该方法能够适用于数十公 里距离的跨障碍高程传递，理论上要尽可能严密，方法上要尽可能简单易行，以 具有较高的实用价值。研究的主要内容为： 1 学习研究确定大地水准面形状和似大地水准面形状的基本理论和方法，重点 第2 页 中南大学硕士学位论文 是斯托克司理论和莫洛金斯基理论，推导出高程异常与垂线偏差的严密关系 式； 2 研究由g p s 水准测定垂线偏差的可行性，提出具体的实施方法，并进行精度 分析； 3 学习研究天文水准和天文重力水准的基本原理和方法，研究实施“天文g p s 水准”的可行性，提出具体的实施方法，并进行精度分析； 4 研究根据地形和地壳均衡理论拟合( 内插) 垂线偏差的基本原理和方法，研 究实施“天文g p s 均衡水准”的可行性，提出具体的实施方法，并进行精度 分析； 5 结合实例进行试验，检验新方法所能到达的实际精度。 第3 页 ! 堕查堂堡主兰堡堕苎一 第二章由g p s 水准测定地面垂线偏差 第一节确定大地水准面形状的斯托克司方法 一、斯托克司方法概述 地球表面形状的不规则和内部密度的分布不均匀使得大地水准面成为一个 较复杂的曲面。为了研究大地水准面的形状，需要选择一个旋转椭球体作为正常 重力基准( 如同几何大地测量中选择一个参考椭球面作为投影基准面样) ，这 个旋转椭球体称为水准椭球( 或正常椭球) 。以水准椭球体所产生的重力场作为 正常重力场，把它作为已知值，然后想办法求出地球重力场与正常重力场的差异， 以此为根据计算大地水准面与水准椭球面的差异，便可确定大地水准面的形状。 这就是斯托克司方法的基本思想。 根据斯托克司定理，如果已知一个曲面的形状、它的总质量和旋转角速度， 则可单值地求得这个曲面上及其外部空间任意一点的重力位和重力。因此，根据 斯托克司定理和所选择的水准椭球可求得相应的正常重力场。由于水准椭球面与 大地水准面无法完全重合，导致同一点上的实际重力位和正常重力位之间总会存 在差异，这个差异就称为扰动位，即 t = w u( 2 1 ) 式中肜为实际重力位； u 为正常重力位。 扰动位反映了重力位水准面和正常位水准面之间的差异。对于大地水准面扰动位 而言，即反映了大地水准面差距和大地水准面上的垂线偏差。因此，只要获得某 点的扰动位数值，即可解算该点的大地水准面差距及其垂线偏差。 斯托克司方法应用的先决条件是水准面外部不能有质量存在。由于实际的大 地水准面外有大陆存在，因此必须先将大陆质量消除，但同时保证地球的总质量 不变，然后才能应用该方法。 图2 1 假设大地水准面外没有质量，同时地 球总质量不变。见图2 1 ，设s 为平均椭球 体面，为大地水准面，p o 点为三面上的 p 点在s 面上的投影，用表示p 点上两 个面之间的距离p j p o ( 即大地水准面差距) 。 平均椭球体面上的正常重力位u 0 和大地 水准面上的重力位相等，由此p 点的扰 动位为 。 瓦w o u u 。一u ( 2 2 ) 第4 页 中南大学硕士学位论文 根据位理论，两个水准面之间的距离可用两者之问的位差求得 ：一塑：一生坠：墨( 2 - 3 ) ，oy o，o 上式即为大地水准面扰动位与大地水准面差距的关系式，称为布隆斯公式。 二、大地水准面扰动位与大地水准面垂线偏差的关系 扰动位除了和大地水准面差距有关外，还和垂线偏差有关。所谓垂线偏差， 就是某点的重力方向占。与正常重力方向y 之间的夹角。由于大地水准面离平均 椭球面很近，i f ：常重力方向y 和平均椭球面的法线方向y 。可视为一致。如果火地 水准面和平均椭球体面s 平行，则垂线偏差为零。因此可以说，垂线偏差表示 了两个面的倾斜隋况。 为讨论方便，首先规定垂线偏差的正负号：若重力方向磊偏在正常重力元的 西南方，则认为垂线偏差的子午分量f 和卯酉分量町为正，反之为负。 选择一个坐标系，如图2 1 2 ：原点设在尸 点：z 轴与正常重力万向万重合；轴为子 午圈方向，正向指北；，轴为卯酉圈方向， 正向指东。因此，当垂线偏差的分量f 和口 为正时，重力孑。在x 轴和y 轴的分量g 。、 岛为负。由图分析可得 f 错= 一旦 j 1 ( 2 m l 留矸：一旦 图2 - 2 根据位理论，重力在各坐标轴上的分力为 k 警 k 婴 乜5 l 。砂 由于兀= 一u ，上式可写为 f ，一强 p i i 。：盟 i 6 7 却 第5 页 62 础良彬一 + + 中南大学硕士学位论文 根据所选择的坐标系，正常重力r 。的方向垂直于妤平面，故警= a 砂u = 。，上 式变为 将上式代入( 2 - 4 ) 式，得 留掌一1 孕g ；僦 t g l 7 _ = - - 一1 孕 g ：砂 ( 2 7 ) ( 2 8 ) 上式即为大地水准面扰动位与大地水准面垂线偏差的关系式。 由于垂线偏差的分量通常小于l7 ，因此喀 tf 、曾叮一r ；同时用y o 代替g ：，则上式可简纯为 ( 2 9 ) 若将x 、y 的坐标微分用子午圈弧长和卵酉圈弧长的微分表示，并用地球曲率半 径r 代替子午圈曲率半径和卯酉圈曲率半径，则上式司改写为 善= 一丽1 瓦a t o 叩= 一而1 瓦a t o 此外，还可写出大地水准面垂线偏差和大地水准面差距的关系式 ( 2 1 0 ) 由于垂线偏差的数值很小，上两式中天文经纬度 、庐的精度要求不高，故也可 用大地经纬度厶b 代入计算。 三、重力测量基本微分方程和大地水准面扰动位的解 扰动位无法直接测得，但由于它是重力位与正常重力位之差，医此与重力异 常即重力和正常重力之差是有关的，我们可以通过重力异常来解算执。动位。 大地水准面上的重力异常有两种：一种是大地水准面上尸点的实际重力箩。 第6 页 堕缸一砂 = = 默 易 i 一妙 ，一，一 一 一 = | f 掌 叮 型规湍志 甜一缸拼一砂 主堕查兰雯主兰篁丝兰 与平均椭球面上相应的p o 点的正常重力y o 之差，称为混合重力异常( g o r o ) ； 另一种是p 点的实际重力f o 与其正常重力r 之差，称为纯重力异常( g o r ) 。 解算扰动位通常是采用混合重力异常。 可导得大地水准面扰动位t o 和混合重力异常( g o - - y o ) 的关系式 p “：一堡一盟( 2 - 1 2 ) g 。一，。一育一畜 驯 式中月为平均椭球体的平均半径； p 为大地水准面的法线向量，可看作球面的向径。 该式即为重力测量的基本微分方程。 上式需利用边值问题进行解算。由于扰动位是一个微小量，因此在解算 晶时，将边界面即大地水准面当作球面看待。解算出来的在球外是调和的、 在无穷远处是正则的，在球面上则满足上式。 解算上式首先要构造一个辅助函数，将混合边值问题化为狄义赫里边值问 题，以使用布阿桑积分公式。同时要求：平均椭球体的质量等于大地水准面内的 质量；平均椭球体的质心和大地水准面的质心均与坐标原点重合。最后可导出球 面外整个外部空间的扰动位 t 2 去j j ( 岛一) 。s ( p ，i f ，) d c r ( 2 _ 1 3 ) 式中。为整个球两； d 口为流动点所对应的球面面元； s ( p ) 为广义斯托克司函数 s ( p m = 善一罢+ 一1 一等c o s 9 - 了3 r c o s g ，- i n ppp 半2 ：p 墅唑( z 划) r o 式中r 为流动点至计算点的距离； p 为流动点至球心的距离： 月为球半径； 妒为流动点至计算点的球面距( 球心角) 。 假设p = 月，则获得球面上的扰动位( 即大地水准面扰动位j 死 瓦= 去g 盱蹦删如 式中s ( 沙) 称为斯托克司函数 、 s c y ，= c s c 詈一ss i n 詈+ 1 - 5 c o s 9 - 3 c o s 9 i n ( s i n 詈+ s i n2 詈 四、斯托克司公式和温宁曼尼兹公式 第7 页 ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) 中南大学硕士学位论文 获得大地水准面扰动位t o 后，即可由布隆斯公式求出大地水准面差距n - 赤扣吖0 ) 州叻如 。1 7 为实际应用方便，将球面面元d 口写为显式，do 的坐标为球面距和方位角a d a = r 2 s i n d v d a ( 2 1 8 ) 将 式代入( 2 1 7 ) 式，即获得大地水准面差距的计算式斯托克司公式 2 赤肌( 9 0 _ 心( 啪y d i f ，谢 ( 2 - 1 9 ) 为计算方便，上式中的正常重力y 0 可用球面上正常重力的平均值歹代替 歹= 去黟如= 去驴s i n2 触巩( + 割z 。， 式中r 。为赤道上的正常重力； 夕为重力扁率。 再将大地水准面扰动位t o 代入扰动位与垂线偏差的关系式，可导出大地水准 面e 的垂线偏莘计算式温宁曼尼兹公式 弘一去r 4 f 咖一去n 式中国( ) 为温宁曼尼兹函数 q ( 们一等咖y 品跏) ( 2 - 2 2 ) 而 ： - 一r 万跏卜号cos2里雌id+ 1 2 s i n 詈埘出2 詈+ 专垅s 血2 瓢i n 知n2 詈) j 石跏) - _ 号卜詈。z 出2 詈+ 专垅s 血2 纠s i n 知n2 剖 l2 j 再次指出：( 2 - 1 9 ) 式和( 2 2 1 ) 式是用大地水准面上的重力异常计算大地 水准面差距和大地水准面上的垂线偏差分量。 五、重力归算 用斯托克司公式和温宁曼尼兹公式计算大地水准面差距和垂线偏差有两个 前提：一是大地水准面的外部没有质量存在；二是所用的重力异常是大地水准面 上的重力异常，即实测重力值f 必须是大地水准面上的数值g 。但实际上大地 水准面外有大陆存在，而观测也是在地面进行的。为满足上述要求，必须进行重 第g 页 2 烈 幽 如 如 爿 4 m c s )、j 渺 渺 9 q 、， ) 一 一 中南大学硕士学位论文 力归算：对地球质量进行调整，使其全部质量包含在大地水准面内部；将地 面重力值改正到大地水准面上。归算要求：大地水准面外没有质量；不改变 地球质心的位置；地球的总质量不变；不改变大地水准面的形状。但目前的 任何一种归算方法都无法完全满足该要求。 重力归算的具体实施是将地球质量调整以后的影响计算出来，在| | 垂= 力观测值 中加以改正。目前的改正计算主要有：空间改正，层间改正，局部地形改正和地 壳均衡改正。 ( 1 )空间改正 空间改正是将正高为风的重力点上的重力观测值g 归算成大地水准面上相 应点的重力值g o ，归算时不考虑地面和大地水准面之间的质量，只考虑高度对 重力的改正。 为简便起见，归算时把大地水准面看成半径为月的不旋转的均质圆球。由于 改正值很小，这样的假设对结果不会造成影响。由万有引力公式可导得 hh 2 1 9 = 2 f 。i 。3 蒂( 2 - 2 3 ) 将地球的平均重力值r 和地球的平均半径r 代入e 式，得 】g = o3 0 8 6 h p 一0 7 2 1 0 7 h ； ( 2 2 4 ) 式中的正高以米为单位，l g 以毫伽为单位。第二项在一般情况下可不必考 虑，但在高程特别大的地区必须顾及。将地面上的重力值占加上空间改正值l p ， 再减去椭球体上的正常重力值r o ，则获得空间重力异常 ( g o 一，o ) = g + 1 9 y o ( 2 - 2 5 ) ( 2 )层间改正 空间改正没有顾及地面和大地水准面之间的质量对地面重力的影响，由于斯 托克司方法是将大地水准面看作边界面，因此必须顾及这一中问层质量的对地面 重力的影响。这一改正计算称为层间改正。 改正时假设地面是与大地水准面平行的曲面，即不顾及地形的起伏。由万有 引力公式积分可得 咄一吾矧即鲁 弦z e ， 式中y 为把地球当作均质圆球时的引力； 月为地球的平均半径： 占为中间层的密度； 占。为地球的平均密度； a 为中间层的半径。 上式在一般情况下只需计算括号内的第一项，只有在高程特别大的地区才需 第9 页 中南大学硕士学位论文 顾及第二项。因此将 ，、疗、j 。的数值代入上式后，并取占3 26 7 ，可得 2 9 = 一01 1 8 h 。 ( 2 - 2 7 ) 空问改正和层问改正两项之和称为布格改正，即 a g 布= l g + 2 9 ( 2 2 8 ) 将地面上的重力值加上布格改正再减去椭球体上的正常重力值，则得布格异常 ( g o y o ) 布= g + 1 9 + 2 9 一，o ( 2 2 9 ) ( 3 )局部地形改正 层间改正并未顾及地面地形的起伏，实际情况与此不符，尤其是在丘陵和山 区。对地面点周围地形起伏部分的质量影响进行改正计算，称为局部地形改正。 如果地形改正的计算顾及整个地球表面的地形影响，则称为完全地形改正， 此时其计算公式非常复杂。而实际上由于远区域的地形影响较小，且它对计算区 域内所有点的影响几乎相同( 相差微小) ，所以在一般情况下只需计算一定半径 内的地形影响，故称为局部地形改正。同样由万有引力公式积分可得 3 9 = ，腓r 高一 ( 2 _ 3 0 ) 妒+ ：j 2 式中，为万有引力系数； a 为局部地形改正的半径； h 为流动点和计算点的高差，为平面坐标，、0 的函数。 由于地球表面地形的复杂性，h 很难写出精确的解析式，因此上式的积分无 法进行。为解决这个问题，一般采用模板法进行计算：将改正区域分成不同宽度 的n 个环带，再由计算点做若干条辐射线，将各环带分成k 扇区；取每个扇区的 平均高程和积分上下限，可得各扇区的地形改正；再累加成整小区域的局部地形 改正。 船= 杰圭孚g 。1 r 何雨+ 肝) ( ：引) 空间改正、层间改正和局部地形改正之和称为地形改正：，即 g 地= l g + 2 9 + 3 9 ( 2 - 3 2 ) 而空间改正和局部地形改正之和称为法耶改正，即 船法= a 1 9 + 3 9 ( 2 3 3 ) 将地面上的重力值加上法耶改正再减去椭球体上的正常重力值，则得法耶异常 ( g o y o ) 法= g + 】占+ 3 占一，o ( 2 3 4 ) ( 4 )地壳均衡改正 第1 0 页 中南大学硕士学位论文 引起重力异常的原因除了大地水准面之上的大陆质量外，还与大地水准面之 下的地壳质量有关。大量的实际测量结果证明，大地水准面之下的地壳质量与大 地水准面之上的大陆质量存在着某种补偿关系。普拉特和爱黎分别由此提出了两 种地壳均衡学说。这两种学说虽不相同，但计算结果差别不大。其中普拉特学说 由海福特导出计算公式，称为普拉特一海福特系统，由于其计算简单，因此大都 采用该系统。 普拉特一海福特系统认为：海面到均衡面( 或称抵偿面) 的深度d 几乎处处 相等，海面以上的地壳部分密度等于整个地壳的平均密度占，高出海面的质量被 海面以下的地壳亏损密度所补偿。将海面以下的地壳部分分割成截面相同的柱 体，同一柱体的密度相同，不同柱体具有不同的密度。由于补偿效应，山区柱体 的密度较小，海洋柱体的密度较大。这样，对于顶面平于海面的柱体，其密度不 需任何补偿，即就是地壳的平均密度占；对于顶面高于海面的柱体，其密度( 海 面以下) 一定比平均密度d 小，设为占，则 占d = 6 日。+ 占l - d ( 2 - 3 5 ) 式中的h 。，为高出海面的柱体( 即陆地柱体) 的顶面高程。 设j 。= 占一6 ，则民称为补偿密度，它表示把高出海面的质量移到海面以f 使之 补偿为平均密度时需增加多少密度。由上式可得陆地柱体的补偿密度 耻警 协s s ， 瓯= ( 2 3 6 ) 川 对于水深为p f 的海洋柱体，海水密度为1 0 3 ，则 6 l ( d e ) + 10 3 p = d d ( 2 - 3 7 ) 对应的补偿密度为 耻警 ( 2 - 3 8 ) 地壳均衡改正就是求出各个柱体的补偿密度占。对计算点的引力。按计算局部 地形改正同样的方法，由( 2 3 1 ) 式可得大陆地区的地壳均衡改正公式 咏= 车孝孚华幢珥一历可一厨瓦面一肛丽) ( 2 3 9 ) 式中的嘎为计算点的高程。 空间改正、层间改正、局部地形改正、地壳均衡改正之和称为均衡改正，即 船均= 】g + 2 9 + 3 9 + 4 9 ( 2 4 0 ) ! 宣查兰堡主堂篁丝奎一 将地面上的重力值加上均衡改正再减去椭球体上的正常重力值，则得均衡异常 ( g o y o ) 均= g - k 1 9 + 2 9 + 3 曼+ 4 9 y 。 ( 2 4 1 ) ( 5 )各种重力归算的比较 如前所述，重力归算应该满足四点要求：大地水准面外没有质量；不改变地 球质心的位置；地球的总质量不变；不改变大地水准面的形状。为达到该目的， 首先分析一下各种重力归算方法的物理意义。 空间改正。地面点的重力值加上空间改正后，相当于把该点下降到海面上， 但不改变影响该点的地壳质量引力，这就好象把高出海面的质量按原来的状 态压入海中。 布格改正。地面点的重力值加上布格改正后，相当于将高出海面的质量移开。 法耶改正。地面点的重力值加上法耶改正后，相当于在空问改正的基础上， 再将该点周围地形除去凸出部分和填平凹下部分，使之成为平坦状态，并将 厚度为峨的平面层压缩为一片无限薄的平面层。 均衡改正。地面点的重力值加上均衡改正后，相当于地球自然表面和海面重 合，地形质量填补在海面与抵偿面之间，使地壳构造均匀。 由以上分析可知：法耶改正是将外部质量压缩在大地水准面上，成为平面层； 布格改正是将这个平面层的质量排除掉，不做任何补偿，这样将导致地壳质量不 足；均衡改正是将海面以外的质量压入海中，而且调整地壳内部的密度以补偿大 陆的质量。 以上几种归算都将地球质量做了一些调整，因此大地水准面都有变化；其中 布格改正将大地水准面外的质量去掉而不做任何补偿，均衡改正则较大地改变了 地球的质量分布，所以这两种改正使大地水准面产生了很大的变形。此外，布格 改正改变了地球的总质量，而法耶改正和均衡改正则无，最后，无论哪种归算， 都使地球质心产生了位移。 由此可知：斯托克司方法研究的不是真正的大地水准面形状，而是调整后的 大地水准面形状。或者说：斯托克司方法无法精确地、只能近似地获得大地水准 面形状。 第二节确定似大地水准面形状的莫洛金斯基方法 一、莫洛金斯基方法的基本原理 鉴于斯托克司方法的固有缺陷，莫洛金斯基在斯托克司理论的基础上，发展 了直接采用地面重力异常去研究地球自然表面形状的方法，即莫洛金斯基方法。 莫洛金斯基方法与斯托克司方法有许多相同之处，它也是通过扰动位来解算 所有的有关数据，但根本区别在于：这种方法是采用地面上的重力异常去解算地 面上的扰动位，由此避免了重力归算的困难。所以莫洛金斯基方法是严密的，它 第1 2 页 中南大学硕士学位论文 不需要关于地壳密度的任何假设。 图2 - 3 在莫洛金斯基理论中，大地高的划分 采用了正常重力位。见图2 - 3 ，假设过a 点的重力位为矾，现在爿、07 两点之问 选择一点，使的正常重力位等于 4 点的重力位玎- ，n 点称为似地形点。 点到07 点的距离( 即似地形点到平均椭 球面的距离) 称为a 点的正常高日，： 点到4 点的距离( 即似地形点到地面的 距离) 称为4 点的高程异常f 。 根据位理论和似地形点的定义 p a - 一。一呢2 j 0g dh(2-42) l 】 t n u 旷u w 2 ，7 d h 式中删为07 间的单元高差，r 为与之相应的正常重力值 积分平均值y 。代替，则a 点的正常高为 h ，2 瓦1 j o a g d h 再来考虑高程异常。根据位理论，由虱2 3 可知 u u u 。= j ：y d t i ( 2 4 3 ) 如果用07 间的 ( 2 4 4 ) ( 2 4 5 ) 由于a n 的距离很小，上式中的r 可用点的y n 来代替，则 ， 7 , d m = j ：y n d b = h d h ； ( 2 4 6 ) 册即为a ，蠢的高程异常。，同时考虑到一u a = 一u 。= 瓦，故 f ：互( 2 4 7 ) y 一 式中乃称为地面点a 的扰动位。将上式和( 2 。3 ) 比较，可以看出两式在形式上 是相同的，但计算高程异常采用的是地面上的扰动位，而计算大地水准面差距采 用的是大地水准面上的扰动位。 ， 二、似地形面和似大地水准面 似地形点所构成的曲面称为似地形面。由上可知，大地高被似地形面分成两 部分：似地形面到平均椭球面的距离是正常高；到地面的距离是高程异常。 第1 3 页 中南大学硕士学位论文 知，。荔耘 但是按照通常的概念，总是利用大地水 。l准面将大地高分成两部分，即正高和人地水 ，“l准面差距。为了和习惯上的概念相统一，将 1 一 大地高用似大地水准面分成两部分，如图2 - 4 才一似太地术准面所示：从地面起算向下量取各点的正常高， 一一磊；矗驴或从椭球面起算向上量取各点的高程异常， 可以得到一个曲面，称为似大地水准面。 图2 - 4 三、地面重力测量基本微分方程和地面扰动位的解 地面扰动位可以通过地面重力异常来解算。 地面重力异常也有混合重力异常和纯重力异常之分：混合重力异常( 占。一 y n ) 是地面a 点的实测重力占a 与相应的似地形点上的正常重力r _ v 之差；纯 重力异常( g 一y 4 ) 是地面4 点的实溅重力g 与其正常重力y a 之差。解算地 面扰动位采用的是地面混合重力异常。 y 是将椭球面上的正常重力r o 归算到似地形面而得。由于_ i _ f 常重力场是比 较规则的，它的全部质量都包含在椭球体内，其外部没有任何质量，因此可以按 空间改正求得 y 。= y o 一0 3 0 8 6 h( 2 4 8 ) 式中的胃应是正常离，由于正常高和水准测量高程相差不大，所以可用水准测 量高程。这个改正是严格的，因为它不涉及到地球质量的调整。又因为似地形面 与地面比较接近，所以混合重力异常( g a r ) 也是较小的数值。 地面扰动位霸和地面混合重力异常( f 一r ) 的关系式为 乳铂：一堡一挚 ( 2 4 9 ) po p 式中的p 为似地形面上点的正常等位面的法线向量。该式即为地面重力测量基本 微分方程。它与( 2 - 1 2 ) 式是相似的，但后者的边界面是大地水准面，而前者的 边界面是地面。 上式同样采用边值问题进行解算。但由于地形表面远比大地水准面复杂，不 能将其看作球面，因此无法求得它的格林函数，也就不能用格林方法解算。莫洛 金斯基根据积分方程用逐次趋近法进行解算，最后的结果为 第1 4 页 皇直盔兰堡主兰堡垒茎一 l = t o + 正+ 一 瓦2 4 去 j ( g a - y n 脚 ( 2 ，。) z =6 9 1 s ( y ) 如 式中s ( ) 称为斯托克司函数； 疗为平均椭球体的平均半径； 0 为整个球面； 占g = 寺盯( g a - y n ) 挚矾n 由地形表面与球面的差别造成。式 中日，和日，4 分别为流动点和计算点的正7 蔷高；r 为它们之间的距离。， 由上式可以看出：地面扰动位乃是l 的级数式；其中而项是将地形表面看 成球面时的扰动位，为乃的主项，称为零次逼近公式；白于地形表面是与球面 相差较大的复杂曲面，因此还要加上酌正项n 、疋等，如+ n 称为一次逼近 公式，+ 乃+ 死称为二次逼近公式。在实际中一般采用霉次逼近即可，对个别 地形起伏很大的地区则采用一次逼近 四、高程异常和地面垂线偏差 将( 2 5 0 ) 式代入( 2 4 7 ) 式，获得高程异常的计算公式 f 2 f 。+ 厶+ 铲赤黔m c 帕，协，。， 氧2 赤g 略心渺 1t 再来考虑地面垂线偏差。由推导( 2 9 ) 式的同理可得 ( 2 5 2 ) 将x 、j 的坐标微分用予午圈弧长和卯酉圈弧长的微分表示，并用向径f 代替子 午圈曲率半径和卯酉圈曲率半径，上式改写为 卜去p 器7m0 9 p 南品鬻y pc o s 妒。仇 第1 5 页 ( 2 5 3 ) 喝卜毽喝一砂 。一。一h 一 一 1 1 1 1 芦， 町 ，：l 中南大学硕士学位论文 上式中的天文经纬度 、毋可用大地经纬度三、占代替。 将( 2 5 0 ) 式代入上式，获得地面垂线偏差的计算公式 毒= 吉o + 吉l + 。 毛= 一去r 4 r ( 乳一，。) - q ( y ) c o s a d q d a 弘一去r 4 j ：r 国i 嘶) c o s a d g 幽一l ( g a 2 t 。 、| 1 c 3 h r 一 ( 2 5 4 ) 7 7 = 叩o + 叩1 + 。 ”一去r 4 r ( 乳一，。) 似疗s i n a d y a a ”一去j ：4 r 断踟，s i n a d v t 谢一砉( + 2 t o ) s e c b o h r 一 五、莫洛金斯基方法存在的问题* 莫洛金斯基方法在理沦上要比斯托克司方法严密，后者因解决不了重力归算 问题而只能获得近似结共，前者则避免了重力归算，因此具有重大的理论意义。 但莫洛金斯基方法在实用上还存在不少问题，主要是：第一，地面上的重力资料 不足：第二，计算比斯托克司方法复杂得多；第三，似大地水准面没有物理意义。 第三节 由g p s 水准测定地面垂线偏差的方法研究 众所周知，利用g p s 。可高精度地测得地面点位间的大地高差a h ，结合精密 水准测量所测定的正常高差日，可获得相应点位间的高程异常差f ，即确 定了相应区域的似大地水准面形状，再由此即可求彳导地面垂线偏差。 一、美国