（应用数学专业论文）关于拟半连续格的若干问题和强代数格的一些范畴性质的研究.pdf

摘要 本文拓展了半连续格理论的框架，引入了拟半连续格和拟半代数格等概念， 讨论了它们的一些基本性质；给出了强代数格和强算术格的拓扑表示定理，即以 强代数格为对象，广义序同态为态射的范畴与以有由超紧开集组成的基的s o b e r 空间为对象，连续且逆保超紧开集的映射为态射的范畴的对偶等价性以强算术 格为对象，广义序同态为态射的范畴与以有由超紧开集组成的基且它关于有限交 封闭的s o b e r 空间为对象，连续且逆保超紧开集的映射为态射的范畴的对偶等价 性；最后证明了z 二代数偏序集范畴对偶等价于强代数格范畴的一个满子范畴 关键词：拟半连续格；拟半代数格；强代数格；强算术格；拓扑表示 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , a sag e n e r a l i z a t i o no fs e m i c o n t i n u o u sl a t t i c e s ，t h ec o n c e p t so f q u a s i - s e m i e o n t i n u o u sl a t t i c e sa n dq u a s i s e m i a l g e b r a i cl a t t i c e sa l ei n t r o d u c e da n d t h e i r s o m eb a s i cp r o p e r t i e sa l ei n v e s t i g a t e d t h et o p o l o g i c a lr e p r e s e n t a t i o nt h e o r e m so f s t r o n g l ya l g e b r a i c l a t t i c e s b yt h ec a t e g o r yo fs o b e rs p a c e sw i t h ab a s i so f s u p e r - c o m p a c to p e ns e ta n ds t r o n g l ya r i t h m e t i cl a t t i c e sb yt h ec a t e g o r yo fs o b e r s p a c e sw i t hab a s i so fs u p e r - c o m p a c to p e ns e tc l o s e du n d e rf i n i t ei n t e r s e c t i o n sa l e o b t a i n e d f i n a l l y , w ep r o v et h a tt h ec a t e g o r yo fz - a l g e b r a i cp o s e t si sd u a l l ye q u i v a l e n t t oaf u l ls u b c a t e g o r yo ft h ec a t e g o r yo f s t r o n g l ya l g e b r a i cl a t t i c e s k e yw o r d s ：q u a s i - s e m i c o n t i n u o u sl a t t i c e ：q u a s i s e m i a l g e b r a i cl a t t i c e ；s t r o n g l y a l g e b r a i cl a t t i c e ；s t r o n g l ya r i t h m e t i cl a t t i c e ：t o p o l o g i c a lr e p r e s e n t a t i o n n 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作 的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表 示谢意。 学位论文作者签名：争丽华 签字日期：加2 年，月7 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解江西师范大学研究生院有关保留、使用 学位论文的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印 件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权江西师范大学研究生院 可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采 用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：1 争丽华 签字日期：加8 年上月j 日 导师签名： 签字日期： 、盯吟， 一德月缆伽 矽 关于拟半连续格的若干问题和强代数格的一些范畴性质的研究 己l 言 l口 自从上世纪六十年代以来，由于计算机科学所引起的关注和数学若干领域取 得了重要进展，计算机科学和纯数学的交叉的研究，特别是拓扑结构、格序结构、 范畴结构等在计算机科学中的应用引起了人们的极大关注这些结构及其相互交 叉内容的研究越来越受到数学家和计算机科学家的重视 上世纪七十年代初，著名数学家和理论计算机科学家s c o t t i 】创立了连续格理 论，为确定性程序的指称语义奠定了坚实的基础其后，p l o t k i n 指出需要更一 般的数学对象用于建立非确定程序的指称语义的数学模型，因而形成了d o m a i n 这一重要概念从此，d o m a i n 的结构理论成为研究形式指称语义学至关重要的 一部分【2 1 d o m a i n 理论发展的另一个动力来自纯数学的若干领域大约与s c o t t 工作的同一个时期，著名数学家h o f i - n a n n 、l a w s o n 、k e i m e l 等人由于各自的深 入研究，他们从不同的途径独立地进行了连续格理论的探究( 参看文献【3 】) 二十 世纪八十年代以后，对更为一般的具有某种连续性的格序结构的研究逐渐成为国 内外数学家和理论计算机科学家的研究热点 无论从数学的角度还是从计算机程序指称语义学的角度而言，d o m a i n 理论 研究的一个重要方面是尽可能地将连续格理论推广到更为一般的格序结构上去， 特别是更加一般的子集系纠4 _ 1 0 1 g i e r z ，l a w s o n 和s t a l k a l 在文【1 3 】中给出了一种 重要的思路，即将“点一与“点 之间的w a y b e l o w 关系推广至“集 与“集 之情形，由此引入了拟连续格另外g i e r z 、l a w s o n 、b a n d e r 、e m e 、h u t h 、j u n g 、 k e i m e l 、赵东升等人分别引入并研究了超连续格、z 连续格、f s - 格和半连续格( 参 见文 5 ，6 ，1 1 ，1 2 】) ，它们属连续格最为成功的推广之列，丰富和扩充了连续格理论 研究具有某种连续性的格序结构的范畴性质是d o m a i n 理论研究的另一个重 要方面在文1 1 4 中，s t o n e 给出了b o o l 代数的经典拓扑表示定理，其后，代数 与拓扑的交叉研究，尤其是一些代数结构的拓扑表示问题引起了人们广泛的兴 趣在文【1 】中，s c o t t 给出了连续格的拓扑表示定理，即以分配连续格为对象、 保任意并、有限交和w a yb e l o w 关系的映射为态射的范畴与以局紧s o b e r 空间为 对象、连续且逆保紧饱和集的映射为态射的范畴对偶等价在文 1 5 】中又给出了 完全分配格的拓扑表示定理，即以完全分配格为对象、保有限交的广义序同态为 态射的范畴与以局部超紧的s o b e r 空间为对象、连续且逆保饱和超紧的映射为态 射的范畴对偶等价文【1 6 】证明了z - 连续偏序集范畴对偶等价于完全分配格范畴 的一个满子范畴 江西师范大学2 0 0 8 届硕士学位论文 本学位论文的主要工作是在文 1 3 的基础上，将赵东升在文 1 2 d p 引入的 半连续格概念进行推广，引入了拟半连续格的概念，讨论了其一系列基本性质； 给出了强代数格和强算术格的拓扑表示定理；在 1 6 的基础上证明了z - 代数 偏序集范畴对偶等价于强代数格范畴的一个满子范畴 全文共分4 章，具体章节和主要内容如下： 第一章预备知识 主要介绍全文所需要的一些概念和符号 第二章拟半连续格 本章引入了拟半连续格和拟半代数格的概念，讨论了它们的基本性质 第三章强代数格的拓扑表示定理 本章主要讨论了以强代数格为对象，广义序同态为态射的范畴s c d 与以有由 超紧开集组成的基的s o b e r 空间为对象，连续且逆保超紧开集的映射为态射的范 畴b s s o b 对偶等价性；证明了对象是强算术格的s c d 的满子范畴s a r 与对象为有 由超紧开集组成的基且它关于有限交封闭的s o b e r 空间的b s s o b 的满子范畴 c s s o b 对偶等价 第四章z 二代数偏序集范畴对偶等价于强代数格范畴的一个满子范畴 本章主要讨论了以z 二代数偏序集为对象，保z - 集的并及保z b e l o w 关系的映 射为态射的范畴与以r ：犯) 在三中并稠密的强代数格三为对象，以保任意并和任 意交的映射为态射的范畴是对偶等价的 2 关于拟半连续格的若干问题和强代数格的一些范畴性质的研究 1预备知识 定义1 1 t 1 7 1 格三的理想门尔为半素理想，若v 五弗础，当x a y i 和x 人z d 时， 有x o , v z ) e i 用r d 倒表示l 中所有的半素理想组成的集合用尉倒表示l 中 所有的理想组成的集合显然当三为分配格时，- 有r d c l ) = i d ( l ) 定义1 2 1 1 2 】设工为完备格，珥6 上称口仁6 ，若vi _ r d c l ) ，挺w j 硝 记 i l 口= ( 臌z 仁口) 称为半连续格，若va 吐，a v i j 口工称为强连续格，若 va 乱，a = vl j , a 显然强连续格是半连续格，但反之不真( 参看0 2 1 ) 定义1 3 f 3 1 设三为完备格，缈是由l 的子集构成的集族定义伊上的序关系 如下：彳b fb ct 彳称集族伊是下定向的，若ve ，e 9 ，存在f 伊，使 互，五f ，即个，个互n 个e 定义1 4 【1 8 1 设工为完备格，u c _ l 称【厂为中半s c o t t 开集，若满足：( 1 ) 泸 fu ( 2 ) vz s r d c i ，) ，v 尾u u c l i 氧l j 半s c o t t 开集的补集称为半s c o t t 闭集三 中半s c o t t集全体构成一拓扑称为半s c o t t 拓扑，记为q ( 三) 称c r , ( l ) vc o ( r ) 为 l 上的半l a w s o n 拓扑，记为丑( 上) 定义1 5 【1 9 】拓扑空间( x ，万，) 称为完全序不连通的，若协，y ，石4 ；y ，存在 开且闭的上集【，使工u ，y 芒u 定义1 1 1 t 1 8 l 设厶m 为完备格，i t s e l f f ：工专m 称为保半素理想的，若厂保序， n v p r a ( l ) ，有上厂( p ) r d ( m ) 定义1 7 t 1 8 】设厶m 为完备格，映射厂：三一m 称为保半素理想并的，若厂保 序，且v p r a ( l ) ，有f ( v p ) = v f ( p ) 引理1 8 【1 8 l 设s ，r 为完备格，映射g ：s 一丁是格同态( 即保有限交和有限 江西师范大学2 0 0 8 届硕士学位论文 并) ，贝0v q r d ( t ) ，g 卅( q ) r d ( s ) 定义1 9 【3 1 设s ，r 为偏序集，g ：s 一丁，d ：t 寸s 称( g ，d ) 为s 到丁的一个 g a l o i s 联络，若( 1 ) g ，d 保序，( 2 ) v ( s ，f ) sx 丁，g ( s ) t s d ( f ) 此时称g 为d 的 上伴随，d 为g 的下伴随 定义1 1 0 1 8 1 设厶m 为完备格，映射厂：三一m 称为半连续格同态，若厂保 半素理想并，且有保有限交的下伴随 定义1 1 1 3 1 设上是偏序集，称映射厂：一三为投影算子，若厂保序且 厂2 = f 若厂是上的投影算子且厂1 工，则称厂为三上的闭包算子 ， 定义1 1 2 2 0 j 石，y l ，称xqy ，若 厶当y v x 时，3 z x 使x z 记 i l ，工= 钞：y 司x ) 若x 司x ，则称z 为强紧元，全体强紧元之集记为k ，( 三) 易证q 满足以下性质：( 1 ) 若x 司y ，则x y ( 2 ) 若, x 司j ，1 ，则”司， ( 3 ) v x 趴 o o i x ， 定义1 1 3 t 2 0 1 称三为强代数格，若坛，石= v ( 山xn 墨( 三) ) 命题1 1 4 【2 1 l 下述各条件等价： ( 1 ) 三为强代数格 ( 2 ) 工为完全分配格和代数格 ( 3 ) 工为代数格和完全h e y t i n g 代数 ( 4 ) v x ，y l ，若xqy ，贝0 玉k ( 三) 使x z y ( 5 ) 帆，y 厶若y 戤，则卫k ，( ) 使z y 且z 缸 定义1 1 5 称关系寸可乘，若v a ，z ，y l ，当口司x ，口司y 时，有口qx 弘 定义1 1 6 2 2 1 设厶m 为完备格，映射厂：三专m 称为广义序同态，若厂保任 意并且厂保任意并，其中f ：m 专是厂的上伴随 命题1 1 7 t 2 3 1 设厶m 为完备格，厂：三一m 若三为完全分配格，则厂是广义 序同态当且仅当厂保任意并且保q 4 关于拟半连续格的若干问题和强代数格的一些范畴性质的研究 记p o s e t 为以偏序集为对象，保序影射为态射的范畴s e t 表示集合范畴 定义1 1 8p o s e t 上一个子集系统z 是个映射，其中对p o s e t 的每个对象 a ，z ( a ) 是彳的下集构成的子族，且满足下列条件： ( s 1 ) v x a ，山j z ( 彳) ； ( s 2 ) 若厂：彳专b 是保序映射，则v d z ( 彳) ，上厂( d ) z ( 曰) ； ( s 3 ) 存在p o b ( p o s e t ) 使z ( p ) 含有p 的非单点的非空子集； ( s 4 ) v 缈z ( z ( 4 ) ) ，u 伊z ( 彳) 。 ， z ( a ) 的元素叫做z 理想若c s 彳且上c z ( 彳) ，则称c 为z - 集由( s 2 ) 知， 一个z - 集在保序映射下的像是z - 集 定义1 1 9 t 1 6 1 偏序集4 称为是z - 完备的，若v d z ( 彳) ，v d 存在易证彳是 乙完备的当且仅当彳的每个乃集在彳中上确界存在 + 定义1 2 0 t 1 6 1 设4 ，b 为z - 完备的偏序集，f ：a 寸b 是映射y * f 是保z - 理想 的并，若切z ( 彳) ，f ( v d ) = v f ( d ) 注1 2 l 。( 1 ) 厂保z - 理想的并当且仅当保z - 集的并 ( 2 ) 若厂：a 专b 保z 理想的并，则厂保序 定义1 2 2 t 1 叼设4 是z - 完备偏序集，j ，y a ，称xz b e l o wy ，若y d z ( a ) ， y v d j x d 记x ：y 记u ：石= yea ：y ：x 若工 ：石，n xy gz 紧元全 体z - 紧元之集记为疋( 彳) 易证关系 ：满足以下性质：( 1 ) 石- 4 ：yjj j ，；( 2 ) xsa ：b syj x ：y 5 江西师范大学2 0 0 8 届硕士学位论文 2 拟半连续格 2 1 拟半连续格 。定义 2 1设三 为完备格，彳，b 三称a 仁b ，若 v i r e ( l ) ，v i 个bj 价个a 仍( 营，n 么咖 将扛) 仁占和a 仁扛) 分别简 记为工乍口和彳乍x 记国( 力= 妒：f o 切且f 乍工 其中z 删表示工中所有有 限集构成的集族 注2 2a 乍b 一般推不出a b ( s p 个bs 个a ) 命题2 3 设三为完备格，彳，b ，c ，d ，f ，g l 则： ( 1 ) 若f a 仁b g ，则f 仁g ( 2 ) a 乍b 当且仅当v x b ，a 仁工 ( 3 ) a 仁b 当且仅当t 么仁个君 、( 4 ) 若a 仁b 仁c ，则a 仁c ( 5 ) 若a 仁b ，c 乍d ，则彳u c 仁b u d ：( 6 ) 若，go = a ，贝i fvg 仁a ，其中fvg = x vy ：xef ，y g ( 7 ) 若j u 吒但) 则u 仁工 。( 8 ) a 仁a 当且仅当个a 吒犯) ( 9 ) 若么础则a 仁b 若三为分配格，则么枷a 仁且 证明( 1 ) ，( 3 ) ，( 4 ) ，( 5 ) ，( 7 ) 和( 9 ) 根据定义容易得到 ( 2 ) 若ac ：b ，则v xeb ，有txc tb ，即b b - 由( 1 ) 有ac = x 反之，若 v k b ，a 乍工贝0v i r d ( l ) ，若v ，个b ，贝0 了6 b 使vi 个6 ；从而由a 仁b ， 6 关于拟半连续格的若干问题和强代数格的一些范畴性质的研究 有个彳n ，0 故a 仁b ( 6 ) 设f ，gc ：彳v i r d ( l ) ，若vl 个a ，贝0fai 谚，gni i z i ，即 3 d l fni 和d 2 gn i 所以d lv 畋fvgnz 故fvg 仨a ( 8 ) 个a 盯，( ) v 1 r a ( l ) ，v i 个a i n 个a 移a 仁a 命题2 4 设三为完备格，则下述条件等价： ( 1 ) v x l ，np ，：f 国( 工) ) 个x ( 2 ) v x ，y 厶x 瓤存在有限集f l 使f 仁xry 仨个f ( 3 ) v x l ，厂兀f ，；l 旨x s u p f ( f ) ：f c o f x ) 由( 3 ) ，有y x ； f 。e m ( 工) 所以np f ：，c o ( x ) 个兑 定义2 5 称完备格为拟半连续格，若满足命题2 4 中的等价条件 注记2 6 ( 1 ) 半连续格是拟半连续格 ( 2 ) 拟连续格是拟半连续格 ( 3 ) 分配的拟半连续格是拟连续格 一般说来，拟半连续格不是半连续格，拟半连续格不是拟连续格 例2 7 令= p u 【0 ，1 l 其中口是不属于单位闭区间 o ，1 】的任一元在三中定 义偏序关系如下：1 2 口 l ；v x ，y e 【o ，1 】，z y 当且仅当按 o ，1 q 6 1 拘自然序x y 当然v xe o , l 】x _ 1 2 ，有x a 易证尺d ( 三) = 仁，【o ，x ：x o ，l z l 故 工仨口x 【0 ，1 2 , vb 三：石仁a ) = 1 2 故三不是半连续格v x o ，1 ) ， 口j x ) 仁珥 7 江西师范大学2 0 0 8 届硕士学位论文 a h 燃n i f ：f o j ( a ) = 1 a 其余点可类似验证故上为拟半连续格 例2 。8 令l = 【0 ，1 ) u 0 ，1 - 定义中的定义偏序关系如下： ( 口，6 ) 以刃管口= c ，6 以v x l ，0 x 1 容易验证有限集f l 0 ，；从而 n ( 个p ，有限且风1 ) 屯l ，所以不是拟连续格又三中的半素理想只有，容易 验证为拟半连续格 。 定理2 9 设厶，厶为拟半连续格，则厶厶为拟半连续格，且对任意有限集 f = 互e ，x = ( 而，x 2 )厶厶，有，仨x 当且仅当v f 1 ，2 ) ，f 仨t 证明 1 。设f 仁x 下证e 仁葺，( 江1 ，2 ) 弘n a ( l , ) o = 1 ，2 ) 令i = 厶1 2 显 然，为厶厶中的理想下证，为厶厶中的半素理想v c = ( c l ，c 2 ) ，d = ( d 1 西) ， e = ( e l ，e z ) e 厶厶，若c d j ，cae i ，贝4 对i = 1 , 2 有c ；ad i ，c i g ；由 r d 心) ，有c ：fa ( 4v 岛) ；从而有ca ( d v e ) i 故，为厶x 厶中的半素理 想若而v l i ( i = l ，2 ) ，则x v i 由f 乍x 有fni 谚；从而en ，f 谚( f - l ，2 ) 故 e 仁毛g = 1 ，2 ) 2 。设e 仁气( f = l ，2 ) 下证f 仁工对厶厶中的任意半素理想 i = 融，u ) ：珞厶，u 厶，f 名) ，令厶= 如；：f 兄) ，厶= “：f 五 先证i i ，2 是半素 理想显然，厶是理想v z l ，z 2 ，毛厶，若z la z 2 ，z 1 人z 3 ，则3 v l ，吃厶，使 ( z l z 2 ，m ) ，和( z laz 3 ，屹) j 由i 为下集，有0 j 慨v j 吻) z ( z j 吻 心) “令 c = ( z l ，m ) ，d = ( z 2 ，v 2 ) ，口= ( z 3 ，屹) 则cad i , c a e i 由，为厶厶中的半素理想， 有c ( dve ) j ；从而z l ( z ：vz 3 ) 故为厶的半素理想同理可证厶为岛 的半素理想下证f 仁工设，为厶厶中的半素理想，x v 1 则 毛a v l i ( i = 1 ，2 ) 由e 仨五o = l ，2 ) 和厶与厶是半素理想，有en 钆 任取岛鼻n i a i = 1 ，2 ) 则3 a l i ( i = 1 ，2 ) ，使他，口：) ，( q ，如) ，；进而有 va l ，a 2v6 2 ) ，又由i 为下集，有( 6 l ，6 2 ) ，所以f f ll 谚 故f 仁工 s 关于拟半连续格的若干问题和强代数格的些范畴性质的研究 由l 。和2 。，有p g ge c o ( x 。) ph ：h a ，( x 2 ) - - t ( g x h ) ： ( g 奶出1 ) 地1 ) p ，：f c a ( z ) j ；从而由a , l 2 为拟半连续格，有n o f ： 咫叫 n 个g ：g o a , x 1 ) ) ph ：日国( x ：) ) 个个工：= 个x 故厶厶为拟半 连续格 。定理2 1 0 设三为拟半连续格，m 三在三的诱导序下为完备格，若m 为三 的半s c o t t 闭集rr a ( m ) r d ( l ) ，则m 为拟半连续格 证明先证对于任意有限集f 厶x m ，若f 仁x ，有fn m 仁工由【1 8 】 知，m 为三的半s c o t t 闭集当且仅当m 为下集且m 对中的半素理想并封 闭v i r d ( m ) ，由r d ( m ) r d ( l ) ，有i r e ( l ) 若工v i ，由f 乍x 有 个fn i i z i ，即3 b f ，z i ，使b z 1 m ，由肘为下集，从而6 mn ，则 个| i ，( f n m ) n i o ；故有f a m 仁j i ，工再证n 个肼g ：g m ( 硼) 且g 乍mx t m 工pf ：f 缈( x ) nm = 缸n 个f ：f 缈( x ) = p 肘( ，n m ) ：，国( x ) ) t 肘旷 r i m ) ：凡正一tf n m 仁m x c _mg ：gem ( 口且g 仁| l ，x 故n t ：g 劭哆g 厶 x c n tf ：f e o , ( x ) n mc _ tx n m = 个m 石所以m 为拟半连续格 推论2 1 1 设三为拟半连续格，下集m 三对中的任意并封闭，且包含映射 i ：m - - ) l 保半素理想，则m 为拟半连续格 命题2 1 2 设s ，丁为完备格，( g ，d ) 为s 与r 之间的g a l o i s 联络，则： ( 1 ) g ：s t 保半素理想并，d ：t 专s 保有限交可推得g 保半素理想，rd 保集合间的仁关系( ，g t ，若f 仁g ，则a ( f ) 仁d ( g ) ) 。 ( 2 ) 若g 是保有限并的满射，则v f ，g t ，当d ( p ) 乍d ( g ) 时，有f 仁g ( 3 ) 若丁为拟半连续格，则d 保集合间的仨可推得g 保半素理想并 证明( 1 ) 先证g 保半素理想r d ( s ) ，下证山g ( ，) r e ( t ) v x ，y ，z t ，若xay 山g ( ，) ，xaz j ，g ( ，) ，由d 为g 的下伴随及d 保有限交， 9 江西师范大学2 0 0 8 届硕士学位论文 有d ( x ) d ( y ) j ，d ( x ) d ( z ) j ，由j r d ( s ) ，有d ( x a ( y v z ) ) = d ( x ) a ( d ( y ) v d 仁) ) 五 进而工 ( yvz ) 山g ( ，) 再证d 保集合间的仁关系v f ，g t ，若f 仁g ，下证 d ( f ) 乍d ( g ) v p r d ( s ) ，若vp 个d ( g ) ，由g 为d 的上伴随及g 保半素理想 并，有vg ( p ) = v 山g ( p ) 个g ；从i i f n 山g ( p ) i z i ；进而d ( ，) np 谚 ( 2 ) 设v f ，g t ，若d ( f ) 乍d ( g ) ，下证f 乍g v i r d ( t ) ，若vi tg ，即 3 a g ，使a v i ；由d 保任意并，有d ( a ) d ( v i ) = v d ( i ) 令p = g 。1 ( ，) ，由引理1 8 及g 为满射，有p r d ( s ) 且g ( 聊= ，；从而d ( a ) r a g ( p ) v p ，即vp 个d ( g ) ； 又由d ( f ) 乍d ( g ) 有p n 个d ( f ) 1 2 i ，则3 b f ，c p ，使c d ( 6 ) ，从而g ( c ) b ，即 个fn g ( p ) = 个fm i 1 2 i ，故f 仁g ( 3 ) v i r d ( s ) ，由g 保序，有g ( v i ) v g ( i ) ，下证g ( v i ) v g ( o 对任意有限 集f 仁g ( v z ) ，由d 保集合间的仁关系，d ( f ) 仨d ( g ( v i ) ) v i ；从而 个d ( f ) o i i z i ，贝i j3 z j ，c f ，使z d ( c ) ；进而c g ( z ) v g ( ，) ，即vg ( ，) 个，； 由丁为拟半连续格，有vg ( ，) n p ，：，国( g ( v 功) 个g ( v d ，故g ( v ，) v g ( ，) 定理2 1 3 设m 为拟半连续格，( g ，d ) 是三与m 间的g a l o i s 联络，若g 是保 半素理想并的单射，且d 保有限交，则三为拟半连续格 证明 g 单则d 满，且有d 。g = 1 工显然l = d ( m ) 是完备格协，y 厶若 工苌 则z = 矾g g ) ) 甚d 圆) = 弘由d 保序，有g ( x ) 姜g t y ) ，由m 为拟半连续格，存在有 限集fc m ，使f 仁g ( x ) 且g ( y ) 萑个f 由命题2 1 2 ( 1 ) 有d ( ，) 乍d ( g ( 工) ) = 工且 y 仨个d ( ，) ( 若y 个d ( f ) ，则3 c f ，使y d ( c ) ；进而g ( y ) c ；故g ( j ，) 个f 矛 盾) 由命题2 4 ( 2 ) ，三为拟半连续格 推论2 1 4 设三为拟半连续格，若包含映射i ：m 寸l 为半连续格同态，则m 为拟半连续格 推论2 1 5 设三为拟半连续格，c ：三一三是保有限交和定向并的闭包算子，则 1 0 关于拟半连续格的若干问题和强代数格的一些范畴性质的研究 c ( l ) 为拟半连续格 证明 由文献 3 】中0 - 2 5 ，有c ( l ) 为完备格显然( f ，c 。) 是c ( l ) 与三间的g a l o i s 联络其中f ：c ( l ) 专l 是包含映射，c 。：l c ( l ) 是c 的余限制下证f 保半素理 想并由文献 3 中0 3 1 2 有c ( l ) 对任意交封闭且c ：三专l 保有限交，进而有 c 。：l 斗c ( ) 保有限交又由文献 3 】中o 3 1 2 ，得c 。保任意并v i r d ( l ) ，若 i c ( ) ，贝0v 。( di = c 。( v 上，) = c ( v 工，) = v c ( ，) = v l i ，即i ( v 。( 工) ，) = v 工f ( ，) ，故f 保半素理想并再由推论2 1 4 即得 命题2 1 6 设为拟半连续格，若v x l ，f 缈( 工) ，3 b f ，使b 仁工，则上为半 连续格 证明反设三不为半连续格，则3 x l ，使x 某vl l 石，由l 为拟半连续 格，3 f o j ( x ) ，使vi j 工仨个f ，由已知条件，有3 b f ，b 仁x ，则b vi i 石，故 vi lx 个f 矛盾 定理2 1 7 设为完备格，v x l ，d h l 若h 乍x ，存在有限集fc _ th ， 使f 乍工，则三为拟半连续格 证明 v x ，y 厶若工勘则工从上y 吒( 三) ，由命题2 3 ( 7 ) ，z 山y 仁五又 由条件，存在有限集，趴上y ，即y 萑个f ，使f 仁工故l 为拟半连续格 推论2 1 8 设三为完备格，v x 厶u o r ，( ) ，若x u ，存在有限集f 三，使 x i n t ( d 个，个，u ，则己为拟半连续格 在拟连续格的研究中，r u d i n 引理( 参见文献 3 9 在讨论拟连续格的插入性质 和其上s c o t t 拓扑的s o b e r 性等方面起着重要的作用下面我们引入强r u d i n 性 质的概念，并讨论它与分配格的联系 定义2 1 9 完备格三称为具有强r u d i n 性质的，若伊为由三中非空有限集构成 的下定向族，存在定向集d u ，郇f ，使d nf i z i ( v f 缈) 且上d r d ( l ) 定理2 2 0 完备格工为分配格三具有强r u d i n 性质 江西师范大学2 0 0 8 届硕士学位论文 证明必要性：由r u d i n 引理及分配格中r d ( l ) = i d ( t ) 即得 充分性：v x ，y ，z l ，xa ( yvz ) ( x y ) v ( x z ) 显然成立只须证明： x a ( y v z ) o y ) v o z ) 分下面两种情况： 1 。 若x a y = x a v g )或者x a z = x a ( y v z )时 ，则 x a ( yvz ) ( xay ) vo az ) 显然成立 2 。若x a y x a ( y v z ) 且x a z x ( y v z ) 时，令f l = x a y ，f z = x a z ， 辟 o 缈) v o 人力) ，则伊= 佤，e ，e 是下定向族，根据条件三具有强r u d i n 性质， 存在定向集d 互u 最ue ，dnf , i z io = 1 ，2 ，3 ) 且占d r d ( l ) 由此可知 d = y ，工 z , ( x ay ) v ( xaz ) ) ，由xay 山d ，工 z 山d 及上d r d ( l ) ，有 x a ( yvz ) 上d 由工人j ，xa ( yvz ) rx z xa ( y vz ) 得至l jx a ( v v z ) ( x a y ) v ( x 柚 众所周知，连续格上的w a y b e l o w 关系具有插入性质，拟连续格上的关系 具有插入性质，半连续格上的关系仁具有插入性质由定理2 2 0 知，在一般情况 下拟半连续格不具有强r u d i n 性质于是我们有下述 问题：拟半连续格是否具有插入性质? 2 2 拟半代数格 定义2 2 1 完备格称为拟半代数格，若v x ，j ，l ，当x 桫时，：i f c o m f i n ( x ) ， 使j ，叠个，其中删锄( 力= p ：f 0 引，fc = fc ：x 注记2 2 2 ( 1 ) c o m f i n ( x ) 为下定向集族 ( 2 ) 拟半代数格是拟半连续格 定理2 2 3 设厶，2 为拟半代数格，则厶厶为拟半代数格 证明由定理2 9 容易得到 命题2 2 4 设三为完备格，f z 锄) ，若f 仁f ，则： ( 1 ) 个f 为( 厶吒( ) ) 的开且紧子集 1 2 关于拟半连续格的若干问题和强代数格的一些范畴性质的研究 ( 2 ) 个，为( l ，以( l ) ) 的开且闭子集 证明( 1 ) 由命题2 3 ( 8 ) ，个f 吼) ，又f 为有限集，故个，关于半s c o t t 紧 ( 2 ) 由( 1 ) ，有个f 吼犯) 以( 三) ，又个f 为下拓扑的闭集，从而个f 关于半 l a w s o n 开且闭 命题2 2 5 拟半代数格在半l a w s o n 拓扑下是完全序不连通的 证明 由命题2 2 4 ( 2 ) 即可得 命题2 2 6 设三为完备格，若 个，：f 心锄皿仁f 为l 上半s c o t t 拓扑的基， 则为拟半代数格 证明 v x ，y l ，若x $ y ，则工三上y 吒) ，由条件，存在有限集 f 厶f 仁f ，使石个f 山y ，从而y 薯个f 且，仁石故为拟半代数格 推论2 2 7 设三为完备格，v x l ，u o r ( l ) ，款u ，存在有限集，厶使 工i n t 吒( 工) 个f m f c u ，则上为拟半连续格 定理2 2 8 设m 为拟半代数格，( g ，d ) 是三与m 间的g a l o i s 联络，若g 是保 半素理想并的单射，且d 保有限交，则为拟半代数格 证明 根据定理2 1 3 及命题2 1 2 ( 1 ) 即可得 推论2 2 9 设三为拟半代数格，若包含映射f ：m l 为半连续格同态，则m 为拟半代数格 推论2 3 0 设三为拟半代数格，若c ：三一l 是保有限交和定向并的闭包算子， n c ( z ) 为拟半代数格 江西师范大学2 0 0 8 届硕士学位论文 3 强代数格的拓扑表示定理 3 1 强代数格 记s p e c l 为l 的非最大元的素元全体之集v ( 口) = 个口ns p e c l ，。( 口) = s p e c l v 0 ) ，v a l 则玖勋纪己) = 赴( 口) ? 口三l 为s p e c l 上的一个拓扑，称为 s p e c l _ l 的h u l l k e r 以p ，拓扑，由文献 9 】知，s p e c l s o b e r 空间 定义3 1 t ”1 设x 为拓扑空间，x 的子集a 称为超紧集，若a 的每个开覆盖中 都有一个元包含子集彳 定理3 2 设三为强代数格，k k 犯) ，则( 七) 为s p e c l 的超紧开集，且 s p e c l 所有超紧开集都是这种形式 证明 rk 墨犯) ，下证色( 后) 为s p e c l 的超紧开集 任取 工( 口f ) ：f c _ o ( s p e c z , ) ，若工( 七) u a ( 口f ) = u 拒，s p e c l 个口f = s p e c l n 地，个a = s p e c l 个s u p 旭，a ，即s p e c l 个k ，s p e c l 个s u p 拒，a f ，贝0 有 k s u p 埘q ，由k k , c l ) ，3 i o ，使k 口f o ，从而个气c _ tk ，进而 a l ( k ) = s p e c l tkcs p e c l ta i 故色( 七) 为勋砒的超紧开集 “ 2 。设u 为s p e c l 的任意超紧开集，则3 a l ，使u = a 工( 口) 下证a 墨( 三) 任 取纯：f j ) l ，若口 s p e c l 为连续映射设彳为s p e c l 的任意超紧开，下e ( s p e c f ) 一( 彳) 为s p e c m 的超紧开集 由定理3 2 ，3 k k ) ， 使4 = s p e c l 个k ( s p e c f ) 。1 ( 彳) = ( s p e c f ) 1 ( s p e c l 个足) = ( 厂。) 。1 ( s p e c l 个七) = s p e c m ( 厂) 1 ( 个七) = s p e c m 个厂( 七) ( 这是因 为v a ，b 厶a f 。( 6 ) 厂( 口) b 最p ( f ) 一1 ( 个口) = 个厂( 口) ) 由f 为广义序同态及命 题 1 1 7 ，有厂保q ，从而可得f ( k ) k ( m ) ，由定理 3 2 ， ( s p e c f ) 叫( 彳) = s p e c m 个厂( 后) 为s p e c m 的超紧开集 定理3 6 设拓扑空间石，】，为s o b e r 的且均有由超紧开集组成的 基，厂：彳一】，为连续映射，且对y 中任意超紧开集q ，厂。1 ( q ) 为x 中的超紧开 集则d ( 厂) ：d ( y ) _ d ( x ) 为广义序同态，其中d ( 厂) = f 。11 0 0 ) 证明由定理3 4 ，o ( x ) ，o ( y ) 为强代数格显然o ( f ) 保任意并，只需证 o ( f ) 保司v 矿，u d ( y ) ，若vqu 在o ( y ) 中成立，v a u ，存在超紧开集玩， 1 5 江西师范大学2 0 0 8 届硕士学位论文 使口b o u ，则u = u 吃：口u 于是= l a 。u ，使v 见。u 由条件，厂1 ( 吃。) 为超紧开集又厂( b o 。) f 卅( 【，) 又, v j - f 一( u ) 的每个开覆盖也为f 。1 ( 吃。) 的开覆盖， 必有一个元包含厂。1 ( 吃。) 2 厂1 ( 矿) ，故厂1 ( y ) 司f 1 ( u ) 故o ( f ) 为广义序同态 记s c d 为以强代数格为对象，广义序同态为态射的范畴，b s s o b 为以有由超紧 开集组成的基的s o b e r 空间为对象，连续且逆保超紧开集的映射为态射的范 畴b s s o b 。p 为b s s o b 的对偶范畴由定理3 3 至定理3 6 可得如下： 定理3 7 ( 强代数格的拓扑表示定理) 范畴s c d 与b s s o b 。p 等价 3 2 强算术格 定义3 8 称完备格三为强算术格，若三为强代数格且k ) 为的子半格 定理3 9l 为强代数格，则下述条件等价： ( 1 ) 为强算术格 ( 2 ) 墨( 三) 为半格 ( 3 ) 关系司可乘 证明( 1 ) j ( 2 ) 显然成立 ( 2 ) j ( 1 ) v a ，be 犯) ，令c = 口 t ( db ，则c 口6 ( = 口人工6 ) 下证a b c 令