矩阵论杨明华中科技大学课后习题答案.pdf

习题一习题一 1.判断下列集合对指定的运算是否构成 R 上的线性空间 （1） 1 1 ()|0 n ijn nii i VAaa ，对矩阵加法和数乘运算； （2） 2 |, n nT VA ARAA ，对矩阵加法和数乘运算； （3） 3 3 VR；对 3 R中向量加法和如下定义的数乘向量： 3, ,0R kR k； （4） 4 ( )|( )0Vf xf x，通常的函数加法与数乘运算。 解：解： （1） 、 （2）为 R 上线性空间 （3）不是，由线性空间定义，对0有 1=，而题（3）中10 （4）不是，若 k0，则( )0kf x ，数乘不满足封闭性。 2.求线性空间| n nT VARAA 的维数和一组基。 解：解：一组基 100010101 0101000 0000100 . . . 0010010 dimW=n(n+1)/2 3.如果 U1和 U2都是线性空间 V 的子空间，若 dimU1=dimU2，而且 12 UU，证明：U1=U2。 证明证明：因为 dimU1=dimU2，故设 12 , r 为空间 U1的一组基， 12 , r 为空间 U2的一组基 2 U ，有 12r X 而 1212rr C ，C 为过渡矩阵，且可逆 于是 1 1212121rrr XC XYU 由此，得 21 UU 又由题设 12 UU，证得 U1=U2。 4.设 111 213 315 A ，讨论向量(2,3,4)T是否在 R(A)中。 解：解：构造增广矩阵 111|2111|2 |213|3011|1 315|4000|0 A 矩阵 A 与其增广矩阵秩相同，向量可由矩阵 A 的 3 个列向量线性表示，在列空间 R(A) 中。 5. 讨 论 线 性 空 间P4x 中 向 量 32 1 1Pxxx， 32 2 23Pxxx， 32 3 452Pxxx的线性相关性。 解：解： 23 123 102 135 (1) 111 124 P P Px x x 而 102102 135011 111000 124000 ，该矩阵秩为 2 所以向量组 P1,P2,P3线性相关。 6.设 m n AR ，证明 dimR(A)+dimN(A)=n。 证明：证明： 12 ( ), n R AL A AA，( )|0, n N AXAXXR 假定 dimR(A)=r，且设 12 , r A AA为 R(A)的一组基 则存在 12 ,(1, ) iiri kkkirn ，其中 12 , iiri kkk不全为零 使 1122 0(1, ) iiriri k Ak Ak AAirn 显然 1,11,21, 2,12,22, ,1,2, ( ) 100 01 0 001 rrn rrn r rr rr n kkk kkk kkk N A 上述 n-r 个向量线性无关，而 121 ,1,0,0 T s k kk ，sr 不为 N(A)中的向量，否则与 12 , r A AA线性无关矛盾，故 dimN(A)=n-r 所以 dimR(A)+dimN(A)=n 7.设 1130 2121 1152 A ，求矩阵 A 的列空间 R(A)和零空间 N(A)。 解：解：通过矩阵的行初等变换将矩阵 A 化为行阶梯形 11301130 21210141 11520000 A 矩阵 A 的秩为 2，从 A 中选取 1、2 列（线性无关）作为 R(A)的基，于是 ()121,111 TT R AL 由0AX ， 1234 ( ,)TXx x x x，rank(A)=2，有 123 234 3 4 xxx xxx 分别取 34 1,0 xx和 34 0,1xx，求得齐次方程0AX 解空间的一组基 14 10, 1 10 1 TT 所以 A 的零空间为 ()1410, 1101 TT N AL 8.在 2 2 R 中，已知两组基 1 10 00 E ， 2 01 00 E ， 3 00 10 E ， 4 00 01 E 1 01 11 G ， 2 10 11 G ， 3 11 01 G ， 4 11 10 G 求基Ei到基Gi的过渡矩阵，并求矩阵 01 23 在基Gi下的坐标 X。 解：解： 4 123412341234 , i GGGGEEEECCCCCR 由此，得过渡矩阵 0111 1011 1101 1110 C 再由 1234 0101101111 2311110110 xxxx 解得 0123 T X 9.判别下列集合是否构成子空间。 （1） 222 1 ( , , )|1, , ,Wx y zxyzx y zR； （2） 2 2 |, n n WA AI AR ； （3） 3 R中， 2 3123123 0 ( ,)|(0 t Wx x xxxx d ； （4） 4 11 ()|0 mn ijm nij ij WAaa 。 解：解： （1）不是 3 R子空间，对加法及数乘运算不封闭。如取 k=2，(1 00)T， ( 200 ) T k，而 222 41xyz， 1 kW。 （2）不是子空间，因为 W2中没有零元。 （3） 、 （4）为子空间。 10. 设 1 (1,2,1,0)T， 2 ( 1,1,1,1)T ， 1 (2, 1,0,1)T， 2 (1, 1,3,7)T， 112 ,Wspan ， 212 ,Wspan ，求 12 WW和 12 WW。 解：解：设 12 WW，则 1122 xx且 3142 xx 于是，有 11223142 0 xxxx 即 1 2 3 4 11210 21110 11030 01170 x x x x 而 11211121 21110117 11030013 01170000 A 取 4 1x ，得 1234 1,4,3,1xxxx 所以 121212 143WWLL 由于 rank(A)=3 则 12121 ,WWL 11.在矩阵空间 2 2 R 中，子空间 12 11234 34 |0 xx VAxxxx xx ， 212 ,VL B B，其中 1 10 23 B ， 2 02 01 B ，求 （1）V1的基和维数； （2） 12 VV和 12 VV的维数。 解：解： （1） 1 V中， 122342 234 3434 111 010 001001 xxxxxx Axxx xxxx 令 123 111 010 , 001001 AAA ，可验证 A1，A2，A3线性无关，它们构成空间 V1的一组基，空间 V1 的维数 dimV1=3。 （2） 212 ,VL B B中，B1与 B2线性无关，它们是 V2的一组基，故 dimV2=2，而 V1+V2 = LA1,A2,A3 + LB1,B2 = L A1,A2,A3,B1,B2 在 2 2 R 的标准基 E11，E12，E21，E22下，A1,A2,A3,B1,B2对应的坐标 X1,X2,X3,X4,X5排成矩阵 12345 1111011110 1000201112 0102000132 0013100001 XXXXX 于是 dim(V1+V2)=4，由维数定理 121212 d i m()d i md i md i m()3241VVVVVV 12.设 1 W和 2 W为 n V的子空间， 112 1 (,) |0 n T ni i Wx xxx ， 21212 ( ,) | T nn Wx xxxxx，证明 12n VWW。 证明：证明：对 W1，由 12 0 n xxx，解得 1121 110001010010001 TTT n Xkkk 显然 W1的维数 dimW1=n-1，而向量组 121 11000,10100,10001 TTT n 为 W1的一组基。 对 W2，由 12n xxx，解得 2 11111 T Xk W2的基为1 1 1 11 T ，dimW2=1 于是 12121121 , nn WWLLL 这里 121 1111 1001 d e t (,)00101 0011 n 所 以 121 , n 为W1+W2的 基 ， 则dim (W1+W2)=n ， 由 维 数 定 理 可 知 12 dim()0WW，故有 12n VWW 13. n R中， 12 (,)T n ， 12 (,)T n ，判别下面定义的实数( ,) 是否 为内积。 （1） 1 ( ,) n ii i ； （2） 1 ( ,) n ii i i ； （3）( , ) T A ，其中 A 为正定矩阵。 解：解： （1）不是 n R上的内积。设 112 T n aaa ， 212 T n aaa 12 T n bbb 于是 1212 1111 ,()(, ) nnnn iiii ii ii ii i iiii aa babababab 内积的线性性不满足。 （2）与（3）是 n R上的内积。可验证对称性、线性性及正定性都满足。 13. 设 125 , 是 V5的 标 准 正 交 基 ， 又 115 ， 2134 ， 3123 2，求 123 ,WL 的标准正交基。 解：解：W 的标准正交基 111 10001,10221,11101 2 21 0 TTT 14.在欧氏空间 R4中，求子空间(1,1, 1,1) ,(1, 1, 1,1) TT WL 的正交补子空间 W 。 解：解：设 1234 T XxxxxW 令 12 (1 11 1) ,(111 1) TT 由 12 ,XX 得 1234 1234 0 0 xxxx xxxx 解得 11 00 , 10 01 X 所以 10 10,100 1 TT WL 15.判断下列变换哪些是线性变换 （1）R2中， 2 1212 ( ,)(1,) TT T x xxx； （2）R3中， 12312123 ( ,)(,2) TT T x x xxx xxx； （3） n n R 中，A 为给定 n 阶方阵， n n XR ，()T XAXA； （4） 2 2 R 中，( )T AA，A为 A 的伴随矩阵。 解：解： （1）不是，该变换为非线性变换 设 112 T xx， 212 T yy 则 222 1211221122121212 ()()1 ()11( )() TTT T TT xyxyxyxyxxyyTT （2）是线性变换 （3）不是，因有 00T （4）是线性变换 12122 2 3434 , aabb ABR aabb 而 11224422424 2 * * 334433113131 ()( )( ) ababababaabb T ABTABT AT B ababababaabb 124242* 343131 ()( ) kakakakaaa T kATkkAkT A kakakakaaa 16.设 R3中，线性变换 T 为： ii T，i=1,2,3，其中 1 (1,0, 1)T， 2 (2,1,1)T， 3 (1,1,1)T， 1 (0,1,1)T， 2 ( 1,1,0)T ， 3 (1,2,1)T，求 （1）T 在基 123 , 下的矩阵； （2）T 在标准正交基下的矩阵。 解：解： （1）由 123123 TA及 123123 T 得 123123 A 于是 1 1 123123 12 101 1011 01 1112132 1 1 1101244 A （2） 3 R中标准基正交基 123 1 0 0,0 1 0,0 0 1 TTT eee 由 123123 T eeeeeeA ,1,2,3 ii Ti 得 112312311 212312322 312312333 101 21 1 1 1 1 T T T TT eeeeeeA TT eeeeeeA TT eeeeeeA 因为 1233 eeeI 故有 123123 A 于是 1 1 123123 011121252 112011152 101111142 A 17.设线性变换 43 RR，有 123412341241234 ( ,)(,2,3) TT T x x x xxxxx xxx xxxx，求 N(T)和 R(T)。 解：由 1234 |()0,( ,) T N TX T XXx x x x，得下述齐次方程组 1234 124 1234 0 20 30 xxxx xxx xxxx 解得23 14 T Xk 所以 23 14 T N TX = k 由 1234 |(),( ,) T R TY YT XXx x x x，得 1234 1241234 1234 1111 21201 31131 xxxx Yxxxxxxx xxxx 故有 1234 1111 ( )1201 1131 R Tkkkk 或 123 111 ( )120 113 R Tkkk 18.在欧氏空间 Rn中，设有两组基 12 , n 与 12 , n ，满足关系式 1212 (,)(,) nn P ， n n PR 证明： （1）若 12 , n 与 12 , n 都是标准正交基，则 P 是正交阵； （2）若 12 , n 是标准正交组，P 是正交阵，则 12 , n 是标准正交组。 证明： （1）将矩阵 P 按列分块，有 121212 (,)(,), nnn ppp 其中 12 ,1,2, ini pin 于是 11 1, , 0, T TTT ijijinnjij ij ppp p ij 故矩阵 P 为正交矩阵。 （2）与（1）证明过程类似，可证明 12 , n 是标准正交基。 习题二习题二 1.设 A、B 为 n 阶方阵， 12 , n 是 A 的特征值，证明 （1）tr(AB)=tr(BA)； （2） 1 () n kk i i tr A ； （3）若 1 P APB ，则 1 ( )( ) n i i tr Atr B 。 证明：证明： （1）设 ij n n Aa ， ij n n Bb ，则 1111 () nnnn ijjijiij ijji tr ABa bb atr BA （2）因为 iii AXX， 22 iiiiii A XA AXAXX， kk iii A XX 故 12 , kkk n 为 k A的特征值，于是 1 () n kk i i tr A （3）由结论（1） ，得 111 ()()()t r Bt r PA Pt rPA Pt rA P Pt r A 2.设n阶方阵() ijn n Aa ， 且 1 1 n ij j a ， i=1,2,n， 证明A的每一个特征值的绝对值1。 证明：证明：设有AXX， 12 T n Xxxx，并设 12 max kn xxxx 对AXX中第 k 个方程 1 n kkjj j xa x 于是 11 nn kkjjkjj jj xa xax 即有 11 1 nn j kjkj jj k x aa x 3.设三阶方阵 111 4 335 Axy 的二重特征值2对应有两个线性无关特征向量， （1）求x与y； （2）求P，使 1 P AP 。 解：解： （1）因齐次方程20IA X的解空间维数为 2，则矩阵2IA的秩为 1 而 111111 2202 333000 IAxyxxy 因21rankIA 故有2,2xy 。 （2） 111 242 335 A A 的特征多项式 2 26IA 特征值 12 2， 3 6 由20IA X，求得特征向量 12 110,10 1 TT 由60IA X，求得特征向量 3 123 T 于是 111 102 013 P 且有 1 200 020 006 P AP 4.设 1 a与 2 a是 n n A 的两个不同特征值，且有 12 ()()r a IAr a IAn 证明矩阵 A 可对角化。 证明：证明：设 12 (),()rank a IAr rank a IAnr 对于 1 ()0a IA X有 n - r 个线性无关特征向量 对于 2 ()0a IA X有 r 个线性无关特征向量 于是矩阵 A 有 n 个线性无关特征向量，所以矩阵 A 可对角化。 5.设 3 R中， 3 123 ( ,)Tx x xR，线性变换 T 123123123123 ( ,)(22,22,22) TT T x x xxxxxxxxxx 求一组基，使 T 在此基下的矩阵为对角阵，并求出此对角阵。 解：解：取 3 R中的一组标准基 123 , ，则有 111231 123212321232 331233 22122 ( )22212 22221 xxxxxx TTxA xxxxx xxxxxx 得线性变换 T 在基 123 , 下的矩阵 122 212 221 A A 的特征多项式 2 15IA 特征值 12 1 ， 3 5 由0IA X ，解得特征向量 12 1 10,10 1 TT 由50IA X，解得特征向量 3 1 1 1 T 于是 123 111 101 011 P ， 1 1 1 5 P AP 矩阵 P 为从基 123 , 到所求基 123 , 的过渡矩阵，于是 123123 11 1 101 011 P 线性变换 T 在基 123 , 下的矩阵为 1 1 5 。 6.求可逆矩阵 P 及 J，使 1 P APJ ，其中 211 212 112 A 解：A 的特征多项式 3 (1)IA 特征值为 123 1 再由 1 2 3 1110 2220 1110 x IA Xx x 解得特征子空间 1 V的一组基 12 1 10,0 11 TT 特征向量 11221122 T kkkkkk 由 2 12 3 k IAkk k 得增广矩阵 12 1221 212 111111 222000 111000 kk kkkk kkk 若方程组IA有解（相容，()|rank IArank IA） ，则有 k1=k2。 取 k1 = k2 = 1，得121 T 由121 T IA 解得广义特征向量100 T 取 1 111 120 010 P 则有 1 1 11 1 P APJ 7.设 22 , xxxx WL exex e e为函数向量 22 , xxxx exex e e生成的4维空间， T为导数变换， （1）求 T 在基 22 , xxxx exex e e下的矩阵； （2）找一组基，使 T 在此基下为 Jordan 标准形。 解：解： （1） d T dx ，于是 222222 1100 0120 22 0010 0002 xxxxxxxxxxxxxx T exex eeeexexex eeexex ee T 在基 22 , xxxx exex e e下的矩阵 1100 0120 0010 0002 A （2） 1 1100 0110 0010 0002 P AP ， 1000 0100 1 000 2 0001 P 222 1234 1 2 xxxxxxxxx exex eePexex ee 线性变换 T 在基 1234 , 下的矩阵为 1100 0110 0010 0002 8.在多项式空间 n P x中，T 为是 n P x的一个导数变换，证明 T 在任一基下的矩阵不可对角 化。 证明：证明： d T dx ，于是 2121221 01 002 110 12(1)10 01 00 nnnn d Txxxxxxxnxxxx dx n 01 002 0 01 00 A n 矩阵 A 的特征值为 12 0 n 而( )1rank An，故 A 仅有一个特征向量，所以 A 不可对角化。 9.设 211 212 112 A ，求 100 A。 解：解：由题（6） ，有 1 1 11 1 P AP ， 111 120 010 P ， 1 012 001 111 P 于是 1 1 11 1 APP ， 100 1001100 1 11 1 APP 取 100 g 100 1 11 1(1)(1)1 100 11(1)1 gg g g 于是 100 101100100 200199200 100100101 A 10.设 A 为 n 阶方阵，证明： （1）若 2 0AAI，则 A 可对角化； （2）若 k AI，k 为大于 1 的整整数，则 A 可对角化。 证明：证明： （1）因为 2 0AAI，则 A 的化零多项式 2 ( )221 无重根，A 的最小化零多项式可整除任意 A 的化零多项式，故 A 的最小多项式无重根，于是 A 可对角化。 （2）因为 k AI，得 A 的化零多项式( )1 k 即 12 ( )1(1)(1) kkk 而( )0 无重根，于是 A 的最小多项式无重根，所以矩阵 A 可对角化。 习题三习题三 1.设 212 446 678 A （1）求 A 的 LDV 分解； （2）设(102)Tb ，用 LDV 分解求解方程组 AX=b。 解：解： （1） 212100212100212100 |446010022210022210 678001042301002121 A I 令， 100 210 121 P ，则 212 022 002 PA 这里矩阵 P 为行初等变换矩阵 12 PP IP， 12 PP APA 令 212 022 002 UPA ， 1 1 100100 210210 121321 LP 于是 1 11 1002121002 2 2100222102011 3210023212001 ALULDV （2）由AXb 得 L DVXb 令 DVXZ，则有 L Zb 令VXY，则有 DYZ 由LZb 即 1 2 3 1001 2100 3212 z z z 解得 123 123 TT zzz 由DYZ 即 1 2 3 2001 0202 0023 y y y 解得 123 13 1 22 T T yyy 再由VXY 即 1 2 3 11 11 22 0111 0013 2 x x x 解得 123 713 422 T T xxx 2.求下列矩阵的满秩分解 001 (1)211,1 20 i ii 1230 (2)0211 1021 解：解： （1） 1 10 001001001211 2 211211211001001 2000000000000iii 矩阵第 1 列和第 3 列线性无关，于是满秩分解为 00101 1 10 211212 001 2020iii （2） 1021 123012301230 11 02110211021101 22 102102110000 0000 于是满秩分解为 123012 1021 021102 11 01 10211022 3.设 m n AC ，A的分块为 XY A ZW ，其中 r r XC ，( )()rank Arank Xr， 1 WZX Y ，证明A有如下形式的满秩分解 1 () r X AIX Y Z ， 1 () r I AX Y ZX 证明：证明：因为( )()rank Arank Xr， 矩阵 A 的前 r 个列 X Z 是 A 的极大无关列，A 的后 n - r 个列 Y W 可由 X Z 线性表示，即 YX H WZ ， YXH WZH 故有 1 1 | r XYXYXYX AIX Y ZWZZHZZX YZ 11 11 | rr rr XII AIX YX IX YXY ZZXZX 4.阵 133 353 664 A 的谱分解。 解：矩阵 A 的特征多项式 2 ( )(2) (4)f 对应特征值 12 2 的特征向量，由下述方程求得 20AI X，即 2 3 3330 3330 6660 x x x x 解得特征向量 12 1 10,10 1 TT 对应特征值 3 4的特征向量，由下述方程求得 40AI X，即 2 3 3330 3930 6600 x x x x 解得特征向量 3 1 12 T 于是 111 101 012 P ， 1 131 222 110 111 222 P 故有矩阵 A 的谱分解 111 220 220 404 APPPPPP 5.明反对称矩阵() n nT ARAA 和反 Hermite 矩阵() n nH BCBB 的特征值为 0 和纯虚数。 证明：证明：设 T AA ，为矩阵 A 的特征值，即有 AXX TTT X AX TT X AXX X TT X XX X 得 ，所以0 设 H BB ，为矩阵 B 的特征值，即有 BXX HHH X BX HH X BXXX HH XXXX 得 ，令aib 则有 aibaib ，得0a 所以为纯虚数。 6.A 与 B 为正规矩阵，证明 A 与 B 酉相似的充分必要条件是 A 与 B 的特征值相同。 证明：证明： （1）充分性 设 A 与 B 为正规矩阵，且特征值相同，则对 A 与 B 分别存在酉矩阵 U1和 U2，使 1112 (,) H n U AUdiag 2212 (,) H n U BUdiag 故有 2211 HH U BUU AU 即 21121212 H HHHHH BU U AU UU UA U UU AU 所以 A 与 B 相似 （2）必要性 设 A 与 B 相似，则有 H BU AU 于是 HHHH IBIU AUU UU AUUIA UIA 故 A 与 B 的特征值相同。 7.设 m n AC （1）证明 H A A与 H AA的非零特征值相同； （2）设 H A A的非零特征值 12 , r 对应的正交特征向量为 12 , r ，则 H AA的 特征值 12 , r 对应的特征向量为 12 , r AAA且它们也是正交向量组。 证明：证明： （1） 取 0 H n m IA I ，有 1 00 HH nn mm IAIA II 因为 1 000 000 HHH nn H mm IAIAA A AAAIIA 于是 000 0 H H A A AAAA 故有 000 0 H m nm n H A A II AAAA 即 mHnH nm IA AIAA 若0，则有 00 HH nm IA AIAA 所以 H A A与 H AA的非零特征值相同。 （2）设,1,2, H iii A Air 于是 ()() H iii AAAA 所以(1,2, ) i Air为 H AA的特征向量。 ) ()()()0,() HHHHH ijijijjjij AAAAij 故特征向量组为 12 , r AAA正交向量组。 8.求下列矩阵的奇异值分解 10 (1)01 1 1 000 000 (2)100 001 解：解： （1） 10 10121 01 01112 1 1 2 21 13 12 I 特征值 12 3,1，奇异值为 12 3,1 由 1 2 210 3 120 x I x 解得特征向量 1 1 1 T 1 2 210 1 120 x I x 解得特征向量 2 11 T 由此得正交矩阵 11 22 11 22 V 于是 1 1