（环境科学专业论文）混沌理论在大气环境质量预测中的应用.pdf

四川大学硕士学位论文 计算了各序列的最大相对误差、最小相对误差、平均相对误差；并讨论了三种 误差随着预测步长变化的趋势。结果表明随着预测步长的增长，时间序列的预 测精度呈下降趋势。 综上，本文所开展的工作主要在大气环境质量时间序列的混沌特性分析及 其相空间预测两方面。该项研究不仅为大气环境质量的预测提供了可行实用的 方法而且为其他环境质量指标的研究工作提供了参考 关键词：大气环境质量；混沌时间序列分析；相空间重构；预测 h i ，| i i r 四川大学硕士学位论文 t h e a p p l i c a t i o no f c h a o st h e o r yt oa m b i e n ta i r q u a l i t yp r e d i c t i o n m a j o r ：e n v i r o n m e n t a ls c i e n c e g r a d u a t es t u d e n t ：h u a y i n gj i a n g i n s t r u c t i n g a d v i s e r ：b i nw a n g 、 t h e i m p l e m e n t a t i o n o fa m b i e n ta i r q u a l i t yp r e d i c t i o n c o u l d p r o v i d e e o m p r e h e m i v ei n f o r m a t i o no nc h a n g e so fi t i nt i m eo ri nt h ef u t u r ew i t ha c c u r a c y a n di tp l a y sa ni m p o r t a n tr o l ei np r o m o t i n gp u b l i c s l i f eq u a l i t y , r e s p e c t i n ga n d e n h a n c i n g t h e i rf i g h tt ok n o wh o wa m b i e n ta i rq u a l i t yi sa tp r e s e n to ri nt h ef u t u r e c h a o st h e o r yh a sb e e na p p f i e di nm a n yf i e l d ss u c ha sa c o u s t i c s ，o p t i c s ， o v e r f l o wa n dc h a o t i cc h a n g e si nc h e m i c a lr e a c t i o n s i nc h i n a , t h eq u a n t i t a t i v e r e s e a r c ho ft h ee n v i r o n m e n t a ls y s t e mb yc h a o st h e o r yi ss t i l la tt h ep r i m a r ys t a g e ， t h e r ea r el e s sr e s e a r c ht h e s i s e so ni t i ti ss i g n i f i c a f i v et h a tc h a o st h e o r yi sa p p l i e di n a m b i e n ta i rq u a l i t yp r e d i c t i o n t h ep r i m a r yc o n c e p t i o n so fc h a o sa n di t st h e o r y 辩r e v i e w e di nt h es t a r t t h e a m b i e n ta i rp o l l u t a n t so rs 0 2 、n 0 2 、p 1 0i nb e a t i n gs e a s o na n dn o n - h e a t i n gs e a s o n c o m p o s es i xt i m es e r i e sw h i c h a r es t u d i e db yc h a o st h e o r y t h ep r o p e r i a t cd e l a yt i m eo fe a c ht i m es e r i e si sc a l c d a t e db ys e r f - c o r r e l a t i o n f u n c t i o nm e t h o da n di t sp h a s es p a c ei sr e c o n s t r u c t e d t h es a t u r a t i o nc o r r e l a t i o n d i m e n s i o n , m a x i m u ml y a p u n o ve x p o n e n ta n dk o l m o g o r o ve n t r o p y , w h i c ha t et h e i m p o r t a n tc h a o t i ca t t r i b u t eo fat i m es e r i e s ，a r ee x t r a c t e df r o me a c ht i m es e r i e st o i d e n t i f yt h e i rc h a o t i cp r o p e r t i e s t h er e s u l ts h o w st h a te a c ht i m es e r i e sb e l o n g st o c h a o t i cs e r i e s ，a n dt h ep h a s ed i a g r a mo fe a c ht i m es e r i e si sd r a w n b a s e do nc h a o st h e o r y , t h el o n g e s tt h e o r e t i c a lp r e d i c t i o nt i m et mo f e a c hl i m e m 四川大学硕士学位论文 s e r i e si sw o r k e do u t t h et mo fs 0 2s e r i e sf r o mj a n u a r yt om a r c hi s2 6 4h o u r s 1 5 6 d a y s 。a n dt h e 昂f r o ma p r i lt oj u n ei s1 6 7h o u r s ，7 d a y s t h e 品o fn o ：s e r i e so f f r o mj a n u a r yt om a r c hi s3 7 4h o u r s 。1 5 6d a y s ，a n dt h et mf r o ma p r i lt oj u n ei s2 3 7 h o u r s 。9 9d a y s t h et mo fp m l os e r i e sf r o mj a n u a r yt om a r c hi s2 5 6h o u r s ，1 0 7 d a y s ， a n dt h et mf r o ma p r i lt oj u n ei s2 1 0h o u r s ，8 7 d a y s t h er e s u l t sa b o v eg i v eu sa t h e o r e t i c a lg u i d e l i n et ot h ef a r t h e r p r e d i c t i o nr e s e a r c h0 1 1e h a o t i ep h a s es p a c e p r e d i c t i o n s o m ec o m m o nm a t h e m a t i cm o d e l so fc h a o t i cp r e d i c t i o na v er e f e r r e d t h e h o u r l ya m b i e n t a i rq u a l i t yi sf o r e c a s t e dw i t hd i f f e r e n tp r e d i c t i o nt i m es t e pb yl i n e a r r e g r e s s i o nm e t h o di ni t sc h a o sp h a s es p a c e t h eb i g g e s tr e l a t i v e l ye l f o r , t h es m a l l e s t r e l a t i v e l ye r r o ra n dt h ea v e r a g er e l a t i v e l ye l t o ro fe a c ht i m es e r i e sa r ef i g u r e do u tt o m e a s u r ep r e d i c t i o na c c u r a c y t h et e n d e n c yo ft h e s et h r e ee n o r si na c c o r d a n c ew i t h t h ec h a n g eo fp r e d i e t i o nt i m es t e pi sd i s c u s s e d t h er e s u l ts h o w st h a tt h el o n g e rt h e p r e d i c t i o nt i m es t e pi s ，t h el o w e rt h ep r e c i s i o n a b o v ea l l , t h em a i ns t u d yo ft h ep a p e ri so nt w oa s p e c t s ：o n ei sa b o u tc h a o t i c e h a r a e t e r i s t i ea n a l y s i s ；t h eo t h e ri sa b o u tp h a s es p a c ep r e d i c t i o n n o to n l yc a nt h i s r e s e a r c hp r o v i d eap r a c t i c a lm e t h o df o ra m b i e n ta i rq u a l i t yp r e d i c t i o n , b u ta l s ob e r e f e r e dt ot h es t u d yo no t h e re n v i r o n m e n t a l p o l l u t a n t s k e yw o r d s ：a m b i e n ta i rq u a l i t y ； c h a o t i ct i m es e r i e sa n a l y s e ； p h a s es p a c er e c o u s t r u e t i o n ；p r e d i c t i o n i v i i 四川大学硕士学位论文 1 绪论 混沌( c h a o s ) 是一种貌似无规则的运动。混沌是指在确定性非线性系统中 不需附加任何随机因素亦可出现类似随机的行为( 内在随机性) 混沌科学是随 着现代科学技术的迅猛发展，尤其是在计算机技术的出现和普遍应用的基础上 发展起来的新兴交叉学科。【l 】在现代物质世界中，混沌现象无处不在，大至宇 宙，小至基本粒子，均受混沌理论的支配。因此，科学家认为，在现代的科学 中，它打破了不同学科之间的界限，是涉及系统总体本质的一门新兴科学。 实际上，混沌科学的研究表明，现实世界是一个有序与无序相伴、确定性 和随机性统一、简单与复杂一致的世界。以往那种只追求有序、精确、简单的 观点是不全面的。因此，只有抓住复杂性并对它进行深入研究，才能为人们描 绘出一个客观的世界图景。 通过对混沌的研究，极大地扩展了人们的视野，活跃了人们的思维。过去 被人们认为是确定论的和可逆的某些力学方程，却有内在的随机性和不可逆性。 确定论的方程可以得出不确定的结果，这打破了确定论和随机论这两套体系之 间的鸿沟，给传统科学很大的冲击，在某种意义上使传统科学被改造，这必将 促进其他学科的进一步发展。【2 l 1 1 混沌的发展 客观事物的运动除了周期、准周期和定常以外，还存在着一种更具普遍意 义的运动形式即混沌。混沌科学是非线性科学的一个重要分支，它揭示了自然 界及人类社会中普遍存在的一种复杂现象的本质特性。它是有序与无序的统一， 确定性与随机性的统一。混沌科学倡导者之一的m s h l e s i n g e r ，物理学家j f o r d 等一大批混沌学者认为，混沌是2 0 世纪物理学上继相对论与量子力学后的第三 次大革命，并指出：“相对论消除了关于绝对空间与时间的幻象，量子力学消除 了关于可控测量过程的牛顿式的梦，而混沌则消除了拉普拉斯关于决定论式的 可预测性的幻想。” 混沌的研究开始于法国科学家庞加烈3 1 ( h p o i n c a r e ) ，他在研究三体问题时 遇到了混沌模型。1 9 0 3 年，他在科学与方法( ( s c i e n c ea n dm e t h o d ) 一书 中提出了庞加莱猜想。实际上这是一种保守系统中的混沌，从而使他成为世界 四川大学硕士学位论文 上最先了解混沌存在的可能性的第一人。 1 9 5 4 年，前苏联概率论大师柯尔莫戈洛夫( k o l m o g o r o v ) 在探索概率起源 的过程中发表了哈密顿函数中微小变化时条件周期运动的保持) ( ( p r e s e r v a t i o n o fc o n d i t i o n a l l yp c d o d i cm o v e m e n t sw i t hs m a l lc h a n g ei nt h eh a m i l t o nf u n c t i o n ) ) 一文，该文章是k a m 定理的雏形此文思想为混沌未发生之初，在保守系统 中如何出现混沌提供了信息。这为早期明确不仅耗散系统有混沌，而且保守系 统也有混沌的理论铺平了道路。 1 9 6 3 年，美国气象学家洛伦兹( e l o r e n z ) 发表了确定性的非周期流 ( ( d e t e r m i n i s t i cn o n p e r i o d i cf l o w d 【4 l 一文，文中主要研究大气在温度梯度作 用下的自然对流系统，建立了一种天气预报模型，即著名的l o r e n z 方程。l o r e n z 方程是在耗散系统中，一个确定性的方程却能导出混沌解的第一个实例。1 9 6 4 年，法国天文学家伊侬( h e n o n ) 从研究球状星团以及l o r e n z 吸引子中得以启 发，给出了h e n o n 映射。h e n o n 得到了一个最简单的吸引子，并用它建立了“热 引力崩塌”理论，解释了几个世纪以来一直遗留的太阳系的稳定性问题。 7 0 年代科学家们对混沌作了大量的研究与发展，混沌学正式诞生了。1 9 7 1 年，法国数学物理学家茹厄勒( d r u e l l e ) 和荷兰数学家塔肯斯( e t a k e r s ) 联 名发表了著名论文论湍流的本质，在学术界第一个提出用混沌来描述湍流形 成机理的新观点。他们通过严格的数学分析，独立地发现了动力系统存在一套 特别复杂的新型吸引子，描述了它的几何特征，证明与这种吸引子有关的运动 即为混沌，并命名这类新型吸引子为奇怪吸引子1 9 7 5 年，美籍华人学者李天 岩和美国数学家约克( j y o r k e ) 在美国数学月刊上发表了一篇震动整个学 术界的论文周期3 蕴涵混沌( ( p e r i o dt h r e ei m p l i e sc h a o s ) ) ，这就是著名的 l i - y o r k e 定理1 9 7 6 年，美国生物学家r m a y 在自然( ( n a t u r e ) ) 杂志上发 表了具有复杂动力学过程的简单数学模型( ( s i m p l em a t h e m a t i c a lm o d e l sw i t h v e r yc o m p l i c a t e dd y n a m i c s ) ) 嘲一文，以单峰映射为对象，重点讨论了l o g i s t i c 方程，系统地分析了方程的动力学特征，考察了混沌区的精细结构，绘制了分 叉轮廓图，汇集了敏感函数、周期窗口、树枝分叉、切分叉、基本动力学单元、 不动点谐波等混沌学词汇，促进了不同领域混沌学研究联成一体。1 9 7 7 年，第 一次国际混沌会议在意大利召开，标志着混沌科学的诞生1 9 7 8 年，美国物理 学家费根包姆( m j f e i g e n b a u m ) 在梅( r m a y ) 的基础上独立地发现了倍周期 l i 四川大学硕士学位论文 分岔过程中分叉间距的几何收敛率，并发现了收敛率即每次缩小的倍数为 4 6 6 9 2 是个常数，这就是著名的f e i g e n b a u m 常数。f e i g e n b a u m 还把相交临界 态理论中的普适性、标度性、重正化群方法引入混沌研究，计算出了一组新的 普适常数，建立了关于一维映射混沌现象的普适理论，发现了怎样作尺度变换， 给出了一条走向混沌的具体道路，把混沌学研究从定性分析推进到定量计算阶 段，成为混沌学研究的一个重要的里程碑。 在8 0 年代，混沌科学又得到进一步发展。人们着重研究系统如何从有序进 入新的混沌，以及混沌的性质和特点。除此之外，借助于( 单) 多标度分形理 论和符号动力学，还进一步对混沌结构进行了研究和理论上的总结。1 删1 9 8 0 年， 法国数学家曼得布罗特( b b m a n d e l b r o t ) 用计算机绘出了第一张m a n d e l b r o t 集的混沌图像。2 0 世纪8 0 年代初t a k e n s ，p a c k a r d ，f a r m e r 等人根据w h i t n e y 拓 扑嵌入定理提出了重构动力学轨道相空间的时间延迟法。g r a s s b e r g e r , p r o c a c c i a 首次运用这种相空间重构法，从实验数据时间序列计算出实验系统的奇怪吸引 子的统计特征，如分数维，l y a p u n o v o v 指数和k o l m o g o r o v 墒等混沌特征量， 从而使得混沌理论进入实际应用阶段。1 9 8 4 年，中国著名科学家郝柏林编撰的 混沌一书在新加坡出版，为混沌科学的发展起到了一定的推动作用。1 9 8 6 年，中国第一届混沌会议在桂林召开中国科学家徐京华提出三种神经细胞的 复合网络，并证明它存在混沌而且得到与人脑脑电图相似的输出1 9 8 8 年，丁 明洲和郝柏林对l o r e l l z 模型周期窗口进行了系统研究，找出了与反对称三次映 射的关系。1 9 8 9 年，郝柏林，郑伟谋在现代物理学国际杂志上发表文章， 抛弃了人工造作的。反谐波”与“谐波”概念，推广了星号组合率这是混沌 学理论上近年来的重要进步。1 9 8 9 年，卢侃、林雅谷、卢火在人脑脑电图的分 维数上找出了与脑功能锻炼历史时间的回归方程，即林雅谷功能方程式，这为 应用混沌维数找到了可行的方式。 混沌在许多领域得到或开始得到广泛应用，如声学、光学、湍流、化学反 应中的混沌变化、地震的混沌特性、天气长期预报的“蝴蝶效应”、商业周期中 蕴涵着有序性、股市细微分散的交易和大规模变动情况之间的重要关系等。 1 2 混沌理论的应用现状 混沌在现代科学技术中起着十分重要的作用。到了9 0 年代，混沌科学与其 四川大学硕士学位论文 它科学相互渗透。无论是在生物学、生理学、心理学、数学、物理学、化学、 电子学、信息科学，还是天文学、气象学、经济学甚至在音乐、艺术等领域， 混沌理论都得到了广泛的应用。从本质上讲，混沌是直接研究人类所看得见摸 得着的宇宙，以及在人类本身的尺度大小差不多的对象中发生的过程，所有日 常生活经验与这个世界的真实图像都是研究混沌时所探索的目标。因此，混沌 是一种关于过程的科学而不是关于状态的科学，是关于演化的科学而不是关于 存在的科学。 在电力系统短期负荷预测中的应用。利用最大l y a p u n o v 指数的计算方法对 小数据组可靠，而且计算量小，相对容易操作，并且具有很强的自适应能力和 鲁棒性、精度高、通用性强等优点。 证券市场股价波动的应用。混沌等非线形系统的理论和方法能揭示一些传 统方法无法解释的“巨涨巨落”现象的本质和有序与无序的关系它已经成为 研究证券市场价格波动规律的发展趋势。 水文预报中的应用。传统的时间序列预测方法都是一维空间，大量的研究 表明，这会丢失水沙演化信息。而混沌利用重构相空间方法，将时间序列转化 为多维空间并应用于自然规律的模拟和预报，已经取得了令人满意的结果。 转子剩余寿命的预报。通过应用相空间重构方法，计算最大l y a p u n o v 指数。 在此基础上，通过建立基于自适应人工神经网络的转子剩余寿命预报方法，可 以解决汽轮发电机组声誉寿命的在线，自适应精确预报问题。 计算机软件失效的预测。软件失效行为除了具有随机性的一面外，还具有 混沌性的一面从实证上看，软件可靠性的混沌推断法是有效的。 在边坡位移中的应用，边坡是一个受岩土体条件控制，并受地形地貌、地 下水、地震和人类工程活动等的非线性动力系统。根据边坡变形的历史数据记 录，在短期内对边坡变形破坏进行预测。其预测效果比基于般统计方法的预 测效果要好。 在d n a 序列中的应用。d n a 分析有三种方式：1 统计分析方法，2 语言的 方法，3 用非线性标度方法，d n a 序列比以上方法描述的更复杂。文献提出了 采用时间序列模型。 根据国内外文献，用混沌理论来定量研究环境系统在我国尚处于起步阶段， 相关研究较少。 9 1 4 吨 i 四川大学硕士学位论文 混沌理论在河流溶解氧预测中的应用初探一文中基于混沌理论、相空 间重构思想和嵌入理论分析涟水流域溶解氧的时间序列，计算吸引子维数和最 大的l y a p u n o v 指数，研究河流水质系统的复杂性特征。结果表明：河流溶解氧 时间序列具有混沌特性，其外在表现为貌似随机的无规则特点；但系统本身内 在的固有的规律( 表现在最大的l y a p u n o v 指数) ，表明短期预测河流水质变化 是可行的，并应用混沌相空间模线性回归模型进行了预测；其预测结果对涟水 流域的水质管理和控制具有一定的参考价值。 1 3 大气环境质量预报方法 大气环境质量预报常用的方法有；回归方法、一般时间序列模式、决策树、 最近邻居法、数值预报法；预测误差多在3 0 范围内。多元回归技术要求三 年以上的气象观测结果和与之对应的污染源资料；目前气象预报的能力尚不能 适应污染物浓度模式的要求。一般时间序列用于预报即将来临的超标情况是不 成功的。决策树方法的不足在于其预报不是自变量的连续函数，目前一些人正 尝试用决策树与多重回归匹配以提高预报的精度；最近邻居法类似于气象尚的 类比预报法数值预报法包括质量连续性约束条件下的风场调整模式、预报风 场的数值模式和预报污染物扩散和浓度分布的欧拉平流扩散模式。该模式的预 报结果于实测值基本相符，但模式系统中的某些参数化方案及污染源等方面尚 有待改进。u 哪 大气环境质量预测研究发展到今天，出现的预报模型包括高斯烟羽模型及 其各种补充形式，若干个三维的数值动力模型，还包括许许多多的相似性模型 和统计学模型。然而，各种模型中都存在这预报的不确定性。这种不确定性归 纳为：( 1 ) 资料误差。包括仪器自身误差。( 2 ) 大气过程的内在随机性。对重 要参数：平均风速、风向、温度、湍流能力及污染物浓度等都需要作出变异性 估计。( 3 ) 污染源排放强度及源参数的不确定性。污染源排放强度的随机变化 必然会增加大气质量预报的难度和预报结果的离散性。 1 4 混沌理论在大气环境质量数值预测中应用的意义 开展大气环境质量预测预报工作，及时、准确、全面的提供未来大气环境 质量变化的信息，采取必要的控制和防范措施，对提高人们生活质量，尊重并 四川大学硕士学位论文 加强人们的知情权有十分重要的意义。 实际上，自1 9 9 7 年以来，国内许多大中城市的环境气象服务蓬勃发展，特 别是空气污染预报的开展引人关注各大中城市通过媒体( 电视、报纸、电台、 声讯台) 向公众发布。【1 1 1 从2 0 0 0 年6 月5 日起，全国4 2 个城市每天公布空气 质量日报，由中央电视台每天向公众公布。城市大气环境质量预报工作的开展 标志着我国大气环境质量监测工作发展到一个新的阶段，在实际工作汇总有许 多不可遇见的新问题，如何选用计算模式，保证预报结果的准确性等都是需要 探索和研究的，需要进行大量的探索。 根据混沌理论，相空间重构技术能够在高维相空间中恢复混沌吸引子按 照该理论：系统任一分量的演化是由与之相互作用着的其他分量所决定的。因 此，这些相关分量的信息就隐含在任一分量的发展过程中。这样，就可以从某 一分量的一批时间序列数据中提取和恢复出系统原来的规律。这种规律是高维 空间下的一种轨迹，这种轨迹在经过类似拉伸和折叠后转化成与时间相关的序 列时，呈现出混乱的、复杂的特征。 大气环境质量时间序列中的浓度值是所有影响大气环境质量的因素如地 形、平均风速、风向、温度、湍流能力及污染物浓度等共同作用的结果。因此， 只需对大气环境质量时间序列进行相空间重构即可恢复原动力系统。 混沌时间序列不需要考虑气象等因素，而是着眼于时间序列本身进行数据 挖掘，是一种值得探索和研究的大气环境质量预测新方法。 1 5 本文主要研究内容 本文研究的对象是我国西北地区某燃煤型城市大气环境质量时间序列，包 括二氧化硫、二氧化氮、p m l o 小时时间序列。利用混沌分析原理定量分析大气 环境质量时间序列的混沌特征量，识别大气环境质量时问序列的混沌特性。重 构相空间，利用相轨道的特性对大气环境质量时间序列做预测。最后，研究混 沌分析方法模型及其在大气环境质量预测中的应用效果具体内容安排如下： 第一章简介混沌理论发展及应用情况，简介大气环境质量预测的重要性， 说明混沌理论应用于大气环境质量预测中的意义。 第二章简介混沌分析及识别的理论基础及其方法如：t a k e n s 定理、相空间 重构理论等。 6 四川大学硕士学位论文 第三章针对我国西北地区燃煤型城市大气环境质量时间序列，包括二氧化 硫、二氧化氮、p m l 0 小时时间序列，用混沌方法及理论对其进行混沌识别，并 计算各时间序列的饱和关联维数、最大l y a p u n o v 指数、k o l m o g o r o v 熵。 第四章应用混沌时间序列的常用预测模型线性回归模型对各时间序 列进行预测，并分析其预测精度及效果。 第五章对不同污染物在采暖期、非采暖期的相空间重构参数变化的关系进 行讨论，并分析各序列混沌特征量的关系。在不同预测步长时，分析了各序列 的预测精度和效果的变化趋势 第六章全文工作总结和展望。 7 四川大学硕士学位论文 2 混沌基本理论 2 1 混沌的定义 混沌的定义方式有很多种，但本质上是一致的，尽管逻辑上并不一定等价。 以下为一种较直观的定义。【1 习 设y 是一个紧度量空间，连续映射厂：v - v 如果满足下列三个条件： ( 1 ) 对初值敏感依赖：存在6 0 ，对于任意的e 0 和任意工v ，在x 的领域内存在y 和自然数n ，使得d 驴”( 石) ，f ”( y ) ) 6 。 ( 2 ) 拓扑传递性：对于y 上的任意一对开集x ，y ，存在k 0 ，使得 f ( x ) n y 0 。 ( 3 ) f 的周期点集在y 中稠密。 则称，是在迪万尼( d e v a n e y ) 意义下y 上的混沌映射或混沌运动。 对于初始值的敏感依赖性，意味着无论x ，y 离得多么近，在，的作用下两 者的轨道都可能分开较大的距离，而且在每个点x 附近都可以找到离它很近， 而在，的作用下分道扬镳的点y 。对这样的，如果用计算机计算它的轨道，任 何微小的初始误差，经过若干次迭代后都将导致计算结果的失效。 拓扑传递性意味着任一点的领域在，的作用下将“撒遍”整个度量空间， 这说明，不可能细分或不能分解为两个在，下相互影响的子系统。 上述两条一股说来是随机系统的特征，但第三条一周期点的稠密性，却 表明系统具有很强的确定性和规律性，形似紊乱而实则有序。 2 2 混沌的产生 2 2 1 洛伦兹方程一大气对流模型 f d x i d t = 一a ( x y ) d y l d t ：一j z + h y ( 2 1 ) 【d z l d t = x y b z 1 9 6 3 年，美国著名气象学家洛伦兹在研究天气预报问题实，发现确定性方 程中出现混沌现象。洛伦兹方程随着近似计算方法研究的进展和计算机技术的 飞速发展，使得求解非线性方程的数值解变得十分简易快速。在计算机上用 m a t l a b 求解洛伦兹方程，可得到它的关于变量x ，y ，z 的时间序列和其在三个 矗 四川大学硕士学位论文 不同平面上的投影。 l o r e n z c o = l o 。6 圳3 r = 2 8 ) l o r e u z ( o l o 6 = 鹕，r - - 2 8 ) l o r e n z ( o = l o ，扣8 3 产吃8 ) l o 删炉l 啪一8 3 。r = 2 8 ) l o r e 】z ( o = 1 0 。6 = 8 3 ，- 2 9 ) l o 啪硼庐l o 6 2 8 3 闻g ) 图2 1 图a c ：洛伦兹方程的时间序列( o = 1 0 ，b = 8 3 ，r = 2 8 ) 图d f = 洛伦兹方程的平面投影( o = 1 0 ，b = 8 3 ，r = 2 8 ) 从图可以看出，这些轨迹被限制在相平面( 空间) 的有限区域内，这样的 有限区域称为动力系统的吸引子( a t t r a c t o r ) 对于周期运动，吸引子是一简单的 闭曲线。但形如洛伦兹系统这样的具有随机性的非周期运动，其轨线往往是反 复折叠和相互交叉而形成的密集的带这种具有复杂结构的吸引子称为奇怪吸 z j l - t - ( s t r a n g ea t t r a c t o r ) 。具有奇怪吸引子的运动就是混沌的n 2 1 2 2 2 分形 分形几何主要研究吸引子在空间上的结构，它和混沌有共同的数学祖先一 9 四川大学硕士学位论文 动力系统。如果把非线性动力系统看成是一个不稳定的发散过程，那么由迭代 法生成分形吸引子正好是一个稳定的收敛过程。有的混沌学家说，混沌是时间 上的分形，而分形是空间上的混沌。 分形具有五个基本特征或性质：( 1 ) 形态的不规则性；( 2 ) 结构的精细性；( 3 ) 局部与整体的自相似性；( 4 ) 维数的非整数性；( 5 ) 生成的迭代性。 分形几何的主要价值在于它在极端有序和真正混沌之间提供了一种可能 性。分形最显著的性质是：看来十分复杂的事物大多数均可用含很少参数的简 单公式来描述。分形几何中的迭代法是认识简单与复杂的辩证关系的方法。 分形和混沌具有一致性：分形集是动力系统中那些有不稳定轨迹的初始点 的集合，即混沌集；而混沌吸引子就是分形集。动力系统的奇异吸引子通常都 是分形集，它们产生于非线性函数的迭代和非线性微分方程中。分数维给出了 一个关于集合的复杂度、不规则的度量。分数维被认为是描述动力系统时间演 化所需独立变量的下限。分形体具有局部与整体的自相似性。对于有规律分形， 自相似性只存在于一定的范围内或在一定的标度空间中。复杂的分形图不能用 传统数学方法描述，但能用简单的迭代法生成。 2 3 奇怪吸引子 奇怪吸引子的出现是由于高维相空间中的耗散系统，在演化过程中系统的 相体积要不断地收缩，并趋向一个维数比原来相空间维数低的有限区域一吸引 子上；系统某些方向上的运动是不稳定的，局部看来呈指数分离。奇怪吸引子 吸引一切在它外面的运动，而它内部的运动轨道又是互相排斥的，它是吸引与 排斥二种趋势相斗争、妥协的结果。 在好散系统中常有四种吸引子：混沌吸引子、定常吸引子、周期吸引子、 拟周期吸引子 奇怪吸引子又称混沌吸引子，奇怪吸引子是非线性耗散系统混沌运动的核 心。详见图2 1 。 定常吸引子如二维空间中稳定的结点和焦点，它反映了状态x ( 或y ) 随 时间t 直接衰减或振荡衰减时的阻尼运动详见图2 2 。 周期吸引子它反映了状态x ( 或y ) 随时间t 作周期运动详见图2 3 1 0 四川大学硕士学位论文 拟周期吸引子。当堡互为无理数时，则在环面与平面上的轨迹都充满整个环 q 面和平面，这时形成了拟周期吸引子。详见图2 4 。 1 3 1 i x ( t ) 、- 一 一l u ， 汴h u ，v ，_ y 。一 r ( b ) 焦点 图2 2 定常吸引子结点和焦点状态随时问的变化 ( a ( b ) 图2 3 周期吸引子( - - 维和三维极限环) 四川大学硕士学位论文 ( 。) ( b ) 图2 1 4 环面上拟周期吸引子，2 ，l = 刀 2 4 相空间重构 2 4 1 相空间重构理论 大部分动力学系统都是非常复杂的，难于描述出系统的演变方程。在非线 性系统的时序研究中有时受到试验条件和系统状态的限制，只能获取某一变量 的离散时间序列，相空间重构是将时间序列重构为低阶非线性动力学系统。 相空间重构的目的是在高维相空间中恢复混沌吸引子。p a c k a r d 1 4 1 等提出的 相空间重构理论，经t a k e n s 【1 5 】证明了适当选取延迟时间t 和足够大的m ，重构 的相空间具有与实际的动力系统相同的几何性质与信息性质。使人们应用时间 序列分析非线性系统的混沌特性成为可能，现已在许多领域中成为主要的技术。 相空间重构的基本观点：系统中的任一分量的演化都是由与其相互作用的 其它分量所决定的。因此，相关分量的信息就隐藏在任一分量的演化过程中， 即：混沌动力学系统中的每一个分量的演化过程中都包含着系统中的所有信息。 混沌时间序列分析的步骤变为： ( 1 ) 重构一个系统的混沌吸引子，建立一个等价的状态空间，从而转化为考 察某一分量的演化过程，并将其在某些固定的时间延伸点上的测量作为新维处 理，延迟值被看成是新的坐标，这样就确定了某个多维的状态空间中的一点。 ( 2 ) 重复上述过程，并测量相对于不同时间的延迟量，就可形成许多类同的 点。 四川大学硕士学位论文 ( 3 ) 运用有关方法检验这些点是否在于一个混沌吸引子上。 这种表示方法在许多方面是任意的。但已证明，它可以将吸引子的许多性 质保存下来。这对于甚至不知应当去测量哪些变量而光知道一个数据序列或者 不能直接测量深层的自变量而仅仅有表现于现象上的数据序列的研究人员来 说，也有了可以研究系统的动力行为的可能。由于相空间理论的不断完善，可 把理论模型上研究混沌的一些方法和概念直接移植到观察资料的系统上。一些 描写吸引子性质的特征量可以从实际资料的时间序列得到较好的估计 显然，该理论的意义是十分重大的。首先，它使非线性问题的研究跳出了 理论的模型，可通过实际观测的时间序列来研究系统的动力学行为；其次，它 大大缩短了混沌理论与实际应用之间的距离，使混沌理论步入了实用阶段。 单变量时间序列为 x i ) ( i - l ，2 ，n ) ，则由此序列嵌入m 维相空间的相点 表示为： y ( i ) =( x ( t 1 ) ，x ( t 1 + t ) ，x ( t 1 + ( m 一1 ) t ) ) ， y ( 2 ) = ( x ( t 2 ) ，x ( t 2 + t ) ，x ( t 2 + ( m 1 ) f ) ) y ( n ) = ( x ( 埘) ，x ( k + t ) ，x ( 哺+ ( m 1 ) t ) ) ( 2 4 ) 其中t 为延迟时间，n = n 一( m 1 ) t 为相点数。 t a k e n s 提出和证明了嵌入定理，但对重构参数的选择没有给出指导性的建 议。只要数据是干净的，没有噪声干扰，选择适当的嵌入维i n 和延迟时间t ， 就完全可以做到由部分把握整体【1 9 1 。 2 4 2 相空间重构参数的选择 事实上，为了重构出高质量的吸引子，必须正确地选择重构参数：时间长 度n 、嵌入维数m 、延迟时间t 2 0 l 在重构相空间中，延迟时间t 和嵌入维数m 的选取有十分重要的意义，同 时这种选取也是很困难的目前有两种观点：一种认为- 和i n 的选取是独立进 行的( t a k e n s 认为两者在理论上是相互独立的) 。另一种认为两者是相关的，即 t 和m 的选取是互相依赖的。 目前，两者的选取还没有通用标准。在实际应用中，重构相空间时有关参 数的选择，遵循以下的原则： 四川大学硕士学位论文 ( i ) 嵌入维数m 的选择应较大；实际应用中常用最小的m 值( 饱和关联维 所对应的最佳嵌入维) 。饱和关联维是一个重要的量，如果饱和关联维不存在， 这表示不存在吸引子，被研究的时间序列是一个随机系统。 ( 2 ) 在相空间重构的过程中，t 值的选择也是很重要。若t 值太小，每个坐 标的相关性太强，使得信息不易显露；若t 值太大，延迟坐标之间变得不相关， 无法体现真正的动态性质。如何选取t 取决于对物理过程的时间尺度的了解， 有多种方法可以确定t 重构相空间中，时间延迟的求解主要有自相关法，复自相关法、互信息量 法c c 法等。 本文中采用是自相关法。 2 4 3 自相关函数法 自相关函数法口1 i 是非常成熟的求时间延迟的方法，它主要是提取序列的线 性相关性。对于长度为n 的时间序列( x i l ，时间跨度为j t 的自相关函数为： 1m - ! ( 朋= 玉五+ 声 ( 2 5 ) f i o 由此可固定j ，作出自相关函数关于时间t ( 即取t = l ，2 ) 的函数图像。 时间延迟t 的选取有两种标准：选取自相关函数第一次经过零点时所对应的时 间，为重构相空间的最佳延迟时间；选取自相关函数下降到初始值的i - - i e 丝 时所对应的时间，为重构相空间的最佳延迟时间。 2 5 混沌的识别 混沌意味着存在规律性。通过混沌诊断，能够确定一个现象是由多少种因 素影响的，为建模选取变量提供了参照标准，而不必将所有的相关的影响因素 考虑在一个系统方程里。通过混沌诊断，可为系统的建模和预测，提供重要信 息。 在实际应用中，判断一个系统的动态行为是否混沌，即是否有混沌吸引子， 一般由两个基本特征来判断鲫：系统的相空间中的吸引子是否具有自相似结构 的分数维几何体；系统对于初试状态条件是否十分敏感。 如果所研究的吸引子具有这两个特征，那么就认为该吸引子是混沌吸引子， 1 4 四川大学硕士学位论文 系统的行为是混沌的。高于分形维的下一个整数是为了给系统的动力学建立模 型所需要的动态变量的最小数目，它反映了所研究系统的复杂性。系统对于初 始条件的敏感程度可用最大l y a p u n o v 指数来分析，它反映了系统混沌的水平。 2 5 1 功率谱分析法 功率谱分析法是识别混沌的一个重要的手段。时间序列的图像看上去是不 规则的，但其功率谱可能呈现出规则性。谱图若具有单峰( 或几个峰) ，则对应 于周期( 或拟周期) 序列。 2 4 1 若无明显的峰值或峰连成一片，则对应于湍流或 混沌序列。 1 9 6 5 年美国c o o l y 和t u k c y 为了计算d f t 而提出f f r 。由于应用快速傅立 叶变换，可以直接由单变量时间序列作快速傅氏变换 周期运动在功率谱中对应尖峰、混沌的特征量是谱中出现噪声背景和宽峰。 功率谱分析是计算机实验和实验室观测分岔与混沌的重要方法。 详见参考文献【2 4 】。 2 5 2 主分量分析( p o a 分布) 主分量分析方法c 2 5 1 是近年来提出的一种能有效识别混沌和噪声的方法主 分量分析法最终是计算并得到主分量谱。噪声的主分量谱图是一条与x 轴接近 平行的直线，而混沌信号的主分量谱图是一条过定点且斜率为负的直线。可用 主分量分布标准方差作为识别混沌和噪声的一种特征。 详见参考文献 2 5 】。 2 5 3p o i n c a r e 截面法 在相空间中适当选取一个截面( 要有利于观察系统的运动特征和变化，入 截面不能与轨道线相切，更不能包含轨线) ，称此截面为p o i n c a r e 截面，相空间 的连续轨迹与p o i n c a r e 截面上的交点称为截点 通过观察p o i n c a r e 截面上的截点的情况可以判断是否发生混沌，当 p o i n c a x e 截面有且只有一个不运动点或少数离散点时，运动是周期的；当 p o i n c a r e 截面上是一些封闭曲线时，运动是准周期的；当p o i n c a r e 截面上是一 些具有分形结构的密集点时，运动是混沌的嘲 四川大学硕士学位论文 5 4 最大l y a p u n o v 指数法 若系统最大l y a p u n o v 指数 0 ，则该系统一定是混沌的。所以。时间序 的最大l y a p u n o v 指数是否大于0 可以作为该序列是否为混沌的一个判据。跚 奇怪吸引子是