（电磁场与微波技术专业论文）计算电磁学中adifdtd的数值特性分析与应用.pdf

哈尔滨t 稃人学硕十学何论文 摘要 时域有限差分法( f i n i t ed i f f e r e n c et i m ed o m a i n ，f d t d ) 是解决电磁问题 非常有效的一种数值方法，然而f d t d 法属于显性( e x p l i c i t ) 的差分方程式， 必须满足c o u r a n tf r i e d r i c hl e v y ( c f l ) 稳定性条件，时间步长受到限制，使得 计算效率不高。与传统f d t d 相比，基于交替方向隐式技术的时域有限差分 法( a d i f d t d ) 将交替方向隐式差分技术( a l t e r n a t i n gd i r e c t i o ni m p l i c i t m e t h o d ，a d i ) 与f d t d 法相结合，克服了c f l 稳定性条件限制，近年来日 益成为计算电磁学中一个非常活跃的研究方向。 本论文研究内容主要围绕a d i f d t d 展歼。首先，从f d t d 出发，简略 概述f d t d 法的基本知识和关键技术；其次，推导出a d i f d t d 法的基本方 程，并以二维t m 波为例证明无条件稳定特性，对其数值色散问题进行重点 研究，讨论时问步长和空间步长对计算结果的影响，得出在满足c f l 稳定性 条件下a d i f d t d 的数值色散误差较传统f d t d 要大；再次，介绍a d i f d t d 中常用的两种吸收边界条件：一阶m u r 吸收边界条件和u p m l 吸收边界条件， 并通过实际问题分析验证a d i f d t d 的高效性；最后，研究一种a d i f d t d 改进方法，在计算空间添加各向异性介质控制数值色散误差，分析结果表明 该改进方法可行有效。 通过本文研究得知，a d i f d t d 对于扩大f d t d 应用范围具有十分重要 的意义，很有发展潜力和进一步研究必要。 关键词：f d t d ；c f l ；a d i f d t d ；数值色散；各向异性介质 哈尔滨i 稃人，学硕 j 学伊论文 a bs t r a c t f i n i t ed i f f e r e n c et i m ed o m a i n ( f d t d ) i sa v e r y u s e f u ln u m e r i c a l s i m u l a t i o nt e c h n i q u ef o rs o l v i n gp r o b l e m sr e l a t e dt oe l e c t r o m a g n e t i s m h o w e v e r ， t h i st r a d i t i o n a lf d t dm e t h o di sb a s e do na l le x p l i c i tf i n i t ed i f f e r e n c ea l g o r i t h m t h ec o u r a n tf r i e d r i c hl e v y ( c f l ) s t a b i l i t yc o n d i t i o nm u s tb es a t i s f i e dw h e nt h i s m e t h o di su s e d ，s ot h e t i m e s t e p i sl i m i t e dw h i c hm a k e si tn o te f f i c i e n t c o m p a r i n gw i t ht h et r a d i t i o n a lf d t d ，t h ea l t e r n a t i n gd i r e c t i o ni m p l i c i tf d t d ( a d i f d t d ) i sb a s e do na na l t e r n a t i n gd i r e c t i o ni m p l i c i tt e c h n i q u ea n dt h e t r a d i t i o n a lf d t da l g o r i t h m t h en e wm e t h o dc a n 、c i r c u m v e n tt h e s t a b i l i t y c o n s t r a i n t s oi tb e c o m e sav e r ya c t i v er e s e a r c hd i r e c t i o ni n c o m p u t a t i o n a l e l e c t r o m a g n e t i ci nr e c e n ty e a r s t h i sp a p e rf o c u s e so nt h es t u d yo fa d i f d t d a tf i r s t ，t h i st h e s i sm a k e sa b r i e fo v e r v i e wo ft h eb a s i ck n o w l e d g ea n dt h ek e yt e c h n o l o g i e so ft h ef d t d m e t h o d s e c o n d l y ，t h ea d i f d t dm e t h o d sb a s i ce q u a t i o ni sd e r i v e d a n dt h e p a p e rt a k e st h e2 - dt m w a v ea sa l le x a m p l et op r o v ei t su n c o n d i t i o n a ls t a b i l i t y a n dc h a r a c t e r i s t i c so fn u m e r i c a ld i s p e r s i o n f u r t h e r m o r e ，t h i st h e s i sd i s c u s s e st h e e f f e c t i v eo ft h et i m e s t e pa n ds p a c e s t e pa n dg e t st h er e s u l tt h a tt h ea d i - f d t d n u m e r i c a ld i s p e r s i o ne r r o ri sm o r es e r i o u st h a nt h ec o n v e n t i o n a lf d t du n d e rt h e c o n d i t i o n so ft h es a m ec f ls t a b i l i t y a n dt h e n ，b o t ho ft h ea b s o r b i n gb o u n d a r y c o n d i t i o n s ，w h i c ha t ec o m m o n l yu s e di na d i f d t da r ei n t r o d u c e d ：t h em u ra n d u p m la b s o r b i n gb o u n d a r yc o n d i t i o n a n dt h ee f f i c i e n c yc o u l db e v i v i f i c a t e d t h r o u g ht h ea n a l y s i so ft h e a c t u a le x a m p l e f i n a l l y ，a l li n n o v a t i v em e t h o di s s t u d i e d ，a n da n i s o t r o p i cm e d i ai sa d d e dt ot h ec a l c u l a t i o ns p a c et oc o n t r o lt h e d i s p e r s i o ne r r o r t h er e s u l t ss h o wt h a tt h i sw a yi sf e a s i b l ea n de f f e c t i v e 哈尔滨l ：群人学硕十学何论文 i n t h i sp a p e r ，a d i - f d t di so fg r e a ts i g n i f i c a n c et oe x p a n s et h es c o p eo f f d t dm e t h o d sa p p l i c a t i o n t h e r ea r eg r e a tq u a n t i t i e so fn e e d st os t u d yf o r f u r t h e r k e yw o r d s ：f d t d ；c f l ；a d i f d t d ；n u m e r i c a ld i p e r s i o n ；a n i s o t r o p i cm e d i a 哈尔滨工程大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：本论文的所有工作，是在导师的指导下， 由作者本人独立完成的。有关观点、方法、数据和文献的引 用已在文中指出，并与参考文献相对应。除文中己注明引用 的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经公开发表 的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均 已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结 果由本人承担。 作者( 签- 7 ) ：蔫幺芨 日期：矽叩年3 月，日 哈尔滨工程大学 学位论文授权使用声明 本人完全了解学校保护知识产权的有关规定，即研究生在校 攻读学位期间论文工作的知识产权属于哈尔滨工程大学。哈尔滨 工程大学有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件。 本人允许哈尔滨工程大学将论文的部分或全部内容编入有关数据 库进行检索，可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本 学位论文，可以公布论文的全部内容。同时本人保证毕业后结合 学位论文研究课题再撰写的论文一律注明作者第一署名单位为哈 尔滨工程大学。涉密学位论文待解密后适用本声明。 本论文( 叼在授予学位后即可口在授予学位1 2 个月后 口 解密后) 由哈尔滨工程大学送交有关部门进行保存、汇编等。 作者( 签字) ： 高豇友 日期：沙o7 r 年岁月够日 - , - 91 j i f i ( 签字) ：善孚 2 呵年弓月夕日 哈尔滨t 稃人学硕十学伊论文 第1 章绪论 1 1 电磁场数值计算方法概述 自1 8 7 3 年麦克斯韦建立电磁场基本方程以来，电磁理论和应用的发展已 经有一百多年的历史，m a x w e l l 方程组的提出对于科学技术的发展具有重要的 推动作用。解析法、近似法、数值法共同构成求解m a x w e l l 方程组的主要手段 1 。在现代电磁场工程中，由于问题的复杂性，要求得到封闭形式的解已不 可能，就是半解析的近似方法也只能在个别问题中得到有限的应用，能够较 广泛发挥作用的，只有各种数值方法。随着计算机技术的发展，诞生了- i l 解决复杂电磁理论和工程问题的应用科学计算电磁学刚。 自从计算电磁学作为一门学科问世，频域方法一直占据着主导地位。然 而，随着人们在应用电磁领域研究的不断深入，传统的点频法和窄频带方法 已不能满足实际问题需要。科学实践的需求推动了时域数值计算方法的发展 和成熟。以计算机技术的发展为契机，人们逐步具有了直接在时域对具有宽 频带特性的瞬变电磁场计算分析的能力，从而实现了对物理量和物理现象更 深刻、更直观的理解。时域数值计算方法的一个突出优点是可以给出关于问 题空间丰富的时域信息，而且经过简单的时频变换，即可得到宽带范围的频 域信息，相对频域方法显著地节约了计算量，同时，多数时域数值计算方法 还具有理论简单、操作容易、适用广泛等优点，因而成为研究热点。 最近几十年，各具优势和特色的新颖算法层出不穷相继提出。在经历了 理论和实践两方面检验的基础上，一些有生命力的数值计算方法取得长足进 步，应用范围不断拓展。其中主要有：属于频域技术的有限元法、矩量法和 单矩法等；属于时城技术的时域有限差分法、传输线矩阵法和时域积分方程 法等。此外，还有介于高频技术的几何衍射理论和衍射物理理论等。各种方 法都具有自己的特点和局限性，在实践中又经常把它们相互借鉴而形成各种 哈尔滨等人学硕十学伊论文 混合方法，关于电磁场数值计算方法如图1 1 所示。 图1 1 电磁场数值计算方法分类 1 2 论文研究背景和意义 时域有限差分方法( f i n i t ed i f f e r e n c et i m ed o m a i n ，f d t d ) 是电磁场数值 计算中种有效的方法。在1 9 6 6 年k s y e e 发表的著名论文“n u m e r i c a l s o l u t i o no fi n i t i a l b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m si n v o l v i n gm a x w e l l se q u a t i o ni n i s o t r o p i cm e d i a ”中，用后来被称为y e e 氏网格的空间离散方式，把带有时间 变量m a x w e l l 方程转化为差分方程，诞生了后来被称作时域有限差分法 2 哈尔滨f ：稃人学硕十学何论文 ( f d t d ) 的一种新的电磁场数值解法卜。 经过4 0 多年的发展，f d t d 已经成为一种成熟的数值方法，具有以下几 方面的特点：( 1 ) 应用非常广泛；( 2 ) 直接时域计算；( 3 ) 适合并行计算；( 4 ) 计 算程序具有通用性；( 5 ) 节约存储空间和计算时间；( 6 ) 方法简单直观p 1 。 由于f d t d 具有上述诸多优点，现在每年都有大量的文章发表，几乎呈 指数增长嘲，如图1 2 所示，基本上包括了f d t d 法的各个方面，涵盖了计算 电磁场的各个领域，例如微波器件、天线技术、r c s 计算、电磁兼容分析、 电子集成技术和生物体内的s a r ( s p e c i f i ca b s o r p t i o nr a t e ) 计算等，关于 f d t d 基本理论及其应用可参阅相关文献1 7 叫。 图1 22 0 世纪后期每年有关f d t d 的论文发表数量 f d t d 法是一种建立在显式差分基础上的方法，由于这一固有特性，计 算过程，时间步长出必须要满足约束条件。在实际计算中，条件通常更为严 格，空间步长和时间步长相对波长和周期都非常小，必然会在计算电大尺寸 目标时出现资源不足，传统f d t d 的计算效率不高。为了能够弥补这个缺陷。 上世纪9 0 年代中后期相继提出多种与其他技术结合的混合方法，譬如时域多 分辨小波法( m r t d ) 0 0 l , 伪谱时域差分法( p s t d ) p q , 网络并行f d t d 计算法 和交替隐式时域差分方法( a d i f d t d ) 1 1 2 1 0 本文主要就是在f d t d 法的基础 上研究a d i f d t d 及其问题应用。 3 哈尔滨t 稗人学硕十学位论文 1 2 1 时域多分辨小波法 小波变换作为继f o u r i e r 变换之后信号分析的有力工具，近年来发展迅 速。1 9 9 6 年，m k r u m p h o l z 和l i n d ap b k a t e h i 将小波变换中的多分辨率分析 理论引入电磁场的时域计算，将时变场量利用尺度变换和小波变换展开，从 而产生了一种新的时域计算方法一一时域多分辨小波法( m u l t ir e s o l u t i o n t i m ed o m a i n ，m r t d ) 。在m r t d 中仍然法将计算空间分成与f d t d 法相似 的空间网格，将时变场量利用尺度变换和小波变换展开。在所需精度较低时， 为节省内存，利用尺度函数将场量展开( s m r t d 算法) ，当需要了解突变的 高频场，或要求结果的精度较高时，采用将场量在尺度空间和小波空间共同 展开( w - m r t d 算法) 。此时，相对于仅在尺度空间展开会占用较多的计算资 源，包括c p u 运行时间和用来存储场量的存储空间。 m r t d 法的优点之一是在对结果的精度要求不高时，相对于传统f d t d 法可以节省存储空间和减少计算量，因而有处理电大尺寸空间的优势。主要 原因是在用该方法进行空间离散的过程中，只需在平均每个波长的距离上取 两个采样点，而一般认为，f d t d 法每波长需要至少1 0 个采样点。由此可见， m r t d 法对计算机资源，尤其是内存的节省是相当可观的。同时，相对于 f d t d 法，该方法具有较好的线性色散特性，便于对计算结果的色散特性进 行评估。目前，这种方法的主要缺点是无论如何选择它的展开基底，其c f l 稳定性条件比f d t d 法更要苛刻，时间步长只能为原式的1 5 ，可以说是“以 时间换取空间”。最近，提出利用a d i f d t d 法的核心思想，得到了隐式多 分辨率分析时域计算方法( a d i m r t d ) ，这在一定程度摆脱了时间稳定性条 件的限制。 目前，已有利用h a a r 小波、双正交小波为基底进行展开的m r t d 法。 计算所涉及的领域包括波导电路、谐振腔的本征值以及滤波器等各种导波结 构的电磁特性。如何根据具体问题选择合适的尺度空间与小波空间对场量进 行展开，是应用m 啪时需要解决的问题。 4 哈尔滨i 稃人学硕+ 学何论文 1 2 2 伪谱时域差分法 1 9 9 7 年q h l j u 提出了伪谱时域差分法( p s e u d os p e c t r a lt i m ed o m a i n ， p s t d ) ，该方法是时域m a x w e l l 微分方程组的另一种数值方法。它借助f o u r i e r 变换及其反变换将空间差商用空域积分变换和谱域积分反变换表示。因为积 分函数是全域函数，不存在差商近似问题，原则上具有无限阶精度，在满足 n y q u i s t 采样定理的情况下，最小单位波长仅需2 个空间离散网格( 与m r t d 相同) 。对于三维问题，计算所需的存储量大约降为f d t d 法的1 1 2 5 。又由 于采用快速f o u r i e r 变换技术( f f t ) 大大提高了算法的效果，因此p s t d 方法 在保持了时域数值方法的优点外，能够求解电大尺寸电磁问题。f d t d 法在 求解各向异性介质问题时，由于电磁参数的非对角性质要用到场的插值技术， 会降低解的准确性，而p s t d 法由于不采用交错网格，所有场量都位于一点 上，因此避免了引入插值。接着q h l i n 等又研究了p s t d 法在色散介质中 的应用，研究结果初步显示了p s t d 的特点。 p s t d 法提出以后得到了一定程度的改进和发展，不过该法本身有以下 两个技术问题亟待解决：一是“点源效应”的g i b b s 现象，这是由于在f f t 的过程中，点源的三角函数基展开表述不正确造成的，这可以通过设置空间 平滑的体积源克服；二是空间的不连续性致使均匀空间的f f t 不能使用，例 如在自由空间和金属导体的交界面处，会出现较大的计算误差，为此q h l i u 提出了适用于解决不连续性的n u f f t 算法。 1 2 3 网络并行f d t d 计算法 由于f d t d 离散网格必须满足c f l 稳定性条件，因此，计算区域网格不 可能离散的很粗，这限制了f d t d 法在电大目标电磁问题中的应用。采用网 络并行f d t d 算法是解决问题的有效途径之一。 网络并行f d t d 计算法的基本思路是利用空间离散的方式将耗时最多的 场量更新部分分配到网络中所有的处理机上。将离散的比较规整的f d t d 网 哈尔演f 科人学硕十学位论文 格分配到所有的处理机上时，容易获得较好的负载平衡，尽可能的减少各个 处理器空闲时间。接下来，每一个处理机更新迭代本子域内的场量。在子域 间共有的边界上，相互交换场鼍数据是必须的，这样保证各个子域j 下常的按 照时间推进的方式进行场量更新。 在网络并行f d t d 计算中，目前通常选用比较广泛的传输速率为 1 0 1 0 0 m b s 以太网络。以太网络作为目前最流行的局域网环境，其网络中的 任何机器均可方便地加入网络进行并行计算，因此并行系统的可伸缩性 ( s c a l a b i l i t y ) 和可编程性( p r o g r a m m a b i l i t y ) 可以很好的满足用户的需求。目前 实现并行f d t d 计算法有两条可供选择的路径：一是在现有串行算法基础上 实现并行化；二是直接从数学物理问题角度出发，面向并行系统研究并行计 算方法。 1 2 4 交替隐式时域差分方法 与显式差分相反，隐式差分格式总是稳定的，其时间步长仅受数值误差 的限制，具有无条件稳定的特性。为了将隐式差分格式的无条件稳定性和显 式差分格式计算相对简单的优点融为一体，1 9 5 5 年p e a c e m a n 和r a c h f o r d 提 出了著名的交替方向隐式差分方法( a l t e r n a t i n g d i r e c t i o ni m p l i c i tm e t h o d ， a d i ) i t 3 1 , a d i 方法最早是应用于抛物型偏微分方程( 如热传导问题) 的求解， 后来其应用范围逐渐扩展。r h o l l a n d 在1 9 8 4 年首次把a d i 技术应用到y e e 网格的迭代公式中，形成一种隐式的f d t d 算法，应用于m a x w e l l 方程组的 求解。1 9 9 0 年，p m g o o r j i a n 设计了一种二维f d t d 算法，其时间步长可以 比传统f d t d 法的时间步长大卅。1 9 9 9 年f e n g l l u az h e n g 和t n a m i k i 各自独 立的提出了交替方向隐式时域差分方法( a l t e r n a t i n gd i r e c t i o ni m p l i c i t f i n i t e d i f f e r e n c et i m ed o m a i nm e t h o d ，a d i f d t d ) ，它是交替方向隐式差分技术 ( a d i ) 和f d t d 方法相结合的一种方法习。t n a m i k i 提出a d i f d t d 方法基 本思路的同时也完成了二维t e 波的时间无条件稳定性证明。e h z h e n g 等人 针对三维问题报道了一些数值结果，并研究了解的稳定性和数值色散p 6 1 ”。紧 6 哈尔滨i 科久学硕十学何论文 接着，g h “u 研究了b e r e n g e r 的p m l 介质中的a d i f d t d 差分格式。 c e c h e n 报道了a d i f d t d 法在v l s i 互连线电磁特性模拟方面的应用。在 三维a d i f d t d 法的稳定性证明、普通f d t d 全局粗网格嵌套a d i f d t d 局部细网格的混合网格技术、g e d n e y 的p m l 介质中的a d i f d t d 差分格式 等方面也开展了研究工作。这些研究结果初步显示了a d i f d t d 法相比于 f d t d 法的优势。 自从a d i f d t d 在1 9 9 9 年被提出，时间步长的选取摆脱了c f l 稳定性 条件的限制，这对于提高计算速度缩短计算时间，扩大时域有限差分法的应 用范围具有十分重要的意义。关于a d i f d t d 的数值特性分析，适合 a d i f d t d 的吸收边界条件及改进的a d i f d t d 成为研究热点。综述国内外 学者对其所做的工作和研究成果概括起来大致可以分为以下四个方面：( 1 ) 理 论性研究，包括数值色散分析及稳定性研究n 蚴1 ；( 2 ) 研究适合a d i f d t d 法 的吸收边界条件，在相关论文中完全匹配层( p m l ) 吸收边界条件在 a d i f d t d 法应用较多，可还有一些问题没有很好解决凸冽；( 3 ) a d i f d t d 的精度改进研究，当时间步长选取的过大时会产生较大的色散误差，目前尝 试提出了一些改进方案和方法，包括高阶a d i f d t d 以及在a d i 。f d t d 计算 空间添加各向异性介质等印捌；( 4 ) a d i f d t d 的工程应用，由于a d i f d t d 提出比较晚，加上计算公式比传统f d t d 要复杂繁琐，在某些领域有一定限 制，尚待进一步拓展陋捌。 1 3 本文的研究内容及安排 基于以上背景，结合哈尔滨市科技创新人才研究专项资金项目( 项目编 号：2 0 0 7 r f q x g 0 2 6 ) ，本文围绕a d i f d t d 算法展开研究。在这一过程中， 采用理论分析和计算机仿真相结合的方法，验证理论的正确性和实践的可行 性。论文内容安排如下 第1 章：简要概述电磁场数值计算方法及其分类，说明论文的研究背景， 简略介绍f d t d 应用和存在的不足，提出本论文研究的重点a d i f d t d ，概 7 哈尔滨1 稃人学硕十学伊论文 述该法的发展和目自订研究方向； 第2 章：详细介绍f d t d 基本知识和一些关键技术，包括f d t d 基本差 分方程，c f l 稳定性条件，数值色散分析，吸收边界条件，激励源设置以及 近远场变换技术等问题，然后应用f d t d 分析一维、二维和三维电磁问题， 为后续a d i f d t d 论述提供理论基础和依据； 第3 章：针对目前a d i f d t d 方法的研究方向，推导出各维a d i f d t d 迭代差分方程，证明其无条件稳定性，重点分析a d i f d t d 数值色散问题， 通过数值理论计算，总结出在a d i f d t d 计算中，几个计算参数对结果的影 响，为a d i f d t d 计算减少数值色散误差提供依据和参考； 第4 章：介绍在a d i f d t d 中常用的两种吸收边界条件，给出一阶m u r 吸收边界条件迭代方程，并采用a d i f d t d 分析一维，二维和三维电磁问题， 结果表明a d i f d t d 的高效性，进一步验证第3 章分析结果； 第5 章：研究一种改进的a d i f d t d 方法，在计算空间添加各向异性介 质的手段来抑制数值色散从而提高精度和效率，并给出添加介质参数的求解 过程，分析结果表明该改进方法具有一定的可行性和有效性。 8 第2 章时域有限差分法基本知识 2 1f d t d 基本方程 2 1 1m a x w e l l 方程 m a x w e l l 旋度方程 v h ；望+ ， 以 ( 2 - 1 ) v e ；一o b j 。 ( 2 - 2 ) o t 从本质上讲，这两个旋度方程是最基本的，研究电磁场问题可以将两个 旋度方程作为出发点。 在直角坐标系中，将式( 2 1 ) 和式( 2 2 ) 中的电磁场矢量分别写成x ，y ，z 分量式，有 堡一堡：f 堕 o r e ， ( 2 3 ) _ 三一l = f o + 厶， 、。， o y o z o t o h x 一里；f 生+ e ， ( 2 4 ) 一一_ 上= o + 口 。， o z 以 o t 堡一一0 h x ；s 堕+ 仃e ， ( 2 - 5 ) o x o y o t 等一堕b z 一一等一吒以 ( 2 - 6 ) a y a f 堕0 z 一警叫堡0 t 一吒? ， ( 2 - 7 ) a b c。 堡一鲁叫堡一啦(2-80 x o t ) a v 。 这六个偏微分方程是f d t d 法的基础。 哈尔滨i ：稗人学硕十学位论文 2 1 2y e e 元胞 1 , k + 1 ) 图2 1 直角坐标系中的y e e 元胞 f d t d 法通过微分差分建立式( 2 3 h 2 8 ) 的差分方程。建立差分方程的首 要条件是建立合理的将连续变量离散化的网格空间剖分体系。y e e 元胞是一 个经典的网格体系。直角坐标系的y e e 元胞网格如图2 1 所示，其特点是：e 和日各分量在空间的取值点被交叉地放置，使得在每个坐标平面上每个e 分 量由四个日分量所环绕，同时每个日分量也由四个e 分量所环绕，这样的 电磁场空间分配符合电磁场的基本规律，即m a x w e l l 方程的基本要求。 2 1 3f d t d 基本差分方程 y e e 采用矩形网格进行空间离散，将每个节点进行编号，节点的编号和 其空间坐标位置按照下面的方式对应起来 ( f ，七) = ( i a x ，j a y ，k a z )( 2 9 ) 而该点的任意函数雎声) 在时刻n a t 的值可以表示为 f “( f ，七) = f ( i x ，妙，k a z ，n a t )( 2 1 0 ) 式中缸，衄，位分别为沿工，y ，z 方向上离散的空间步长，f 是时间步长。 y e e 采用中心差分来代替对时间和空间的微分，具有二阶精度 1 0 哈尔滨l 种大学硕十学何论文 o f ”( i ，_ ，七) f “( i + 1 2 ，_ ，七) 一f ”( i - 1 2 ，_ ，七) 一= 一 a x缸 + d ( ( 缸) 2 )( 2 1 1 ) 幽；竺垫丛型竺鱼盟+ d ( ( 血) z ) ( 2 - 1 2 ) o ta t 、。 按照式( 2 1 1 ) 和式( 2 1 2 ) ，由m a x w e l l 方程得到的式( 2 3 ) - ( 2 8 ) 可化为差分 方程。以式( 2 3 ) 和式( 2 - 6 ) 为例，所得差分方程如式( 2 1 3 ) 和式( 2 1 4 ) ，其它场 量差分格式与此类似。 1 o ( i + 1 2 ，- ，k ) a t e + 1 g + 1 七) = 覆2 两e ( i + 丽1 2 , j , k ) 。f ( i + 1 2 , j ，七) 2 e ( i + 1 2 ，七) -丧丽覆而砑1-4-e(i+12 ( 2 - 1 3 ) 一-r-一 - z 一- - ，_ ，七) 1 + 型! ! 兰! ! ! 生! 篁 、7 2 e ( + 1 2 ，_ ，七) 1 一p ( i , j + l 2 , k + l 2 ) a t h ；+ 1 2 ( f ，_ + l 2 , k + 1 2 ) 2 歪2 豆1 u ( i , j 巫+ l 匦2 , k + l 2 ) t ；刈2 a ，歹+ 1 2 , k + 1 2 ) 2 u ( i ，j + 1 2 ，k + 1 2 ) + a ( i ，j + 1 2 ，k + 1 2 ) 1 + p ( i , j + 1 2 , k + 1 2 ) 5 2 2 , u ( i ，j + 1 2 ，k + 1 2 ) ( 2 - 1 4 ) 在y e e 的差分格式里，每个网格上各场分量的新值依赖于该点在前一时 差 业 些 差& 型 型 + l l 一 些 呈l g 一 心一 盟 盟 羞 g 一 一 髟一 兰， 警号 七一 = t = 一 篡 心 删 哈尔滨f j 群人学石贞十学何论文 问步长时刻的值及该点周围邻近点上另一场量的场分量早半个时间步长时刻 的值。因此，在任一给定时刻，场分量的计算可一次算出一个点，或者采用 p 个并行处理器一次算p 个点( 并行算法) 。通过这些基本算法，逐个时间步 长对模拟区域各网格点的电磁场交替进行计算，在执行适当的时间步数后， 即可获得需要的时域数值结果，称这种差分格式为蛙跳格式。 2 2 解的稳定性和数值色散分析 2 2 1 解的稳定性 由于f d t d 差分方程只是m a x w e l l 旋度方程的一种近似，在计算中存在 误差。同时，由于f d t d 法是一个迭代过程，因此它的数值稳定性至关重要。 平面波方程为 粤+ 粤+ 害+ 嬖，。0 ( 2 - 1 5 ) o x 2 。o y 2 。a z 2 c 2 7 相应解析式可以写为 厂( x ，y ，z ，f ) = oe x p j ( k x x + 七，y + 七：z ) 一埘】( 2 - 1 6 ) f d t d 的二阶差分近似为 軎= 地坐篙掣 ( 2 - 1 7 ) 一= 一 i 二i ，- 缸 ( 缸) 将式( 2 1 6 ) 和式( 2 - 1 7 ) 代入式( 2 1 5 ) ，得 訾+面sin2(kyay2)ax2)+ 訾2 ) 一等= 。( 2 - 1 8 )( 2 ( 缈2 ) 2( z 2 c 2 、7 任意波都要满足的条件，可推导出 a t s 车：- _ ：一 ( 2 1 9 ) c 4 1 ( 缸) 2 + l ( a y ) 2 + l ( a z ) 2 式( 2 1 9 ) 给出了时间步长和空间步长之间应满足的关系，又称为c o u r a n t f r i e d r i c hl e v y ( c f l ) 稳定性条件。 1 2 哈尔滨1 ：秽人学硕十学伊论文 2 2 2 数值色散分析 用差分方法对m a x w e l l 方程进行数值计算时，将会在计算网格中引起所 模拟波模的色散，即在时域有限差分网格中，数值波模的传播速度将随频率 改变，这种改变由非物理因素引起，随数值波模在网格中的传播方向以及离 散化情况不同而改变。这种色散将导致非物理因素引起的脉冲波形畸变、人 为的各向异性及虚假的折射现象。因此，数值色散是f d t d 中必须考虑的一 个因烈3 1 1 。 波动方程为 粤o x + 等+ 粤o z 一；粤o t = 。 c 2 锄， 2 a 、，2 。2c 2 2。 、7 将平面波解式( 2 - 1 6 ) 代入，式( 2 - 2 0 ) 变为 s i n 2 化a x 2 ) 。s i n 2 ( 足y a y 2 ) s i n 2 ( 七：a z 2 ) 1s i n 2 ( m a t 2 ) ( 6 x 2 ) 2 ( a y 2 ) 2( a z 2 ) 2 c 2 ( a t 2 ) 2 = 0 ( 2 2 1 ) ( 詈) 2l 三! ! 。( 铲+ 三竺! 斧+ 三! ! 二 斧c 2 2 2 ， 1 3 哈尔滨。f i 稗人学硕十学伊论文 ( a ) 数值相速随单位波长采样数的变化曲线( b ) 数值相速随波传播角的变化曲线 图2 2f d t d 数值相速变化曲线 2 3 吸收边界条件 吸收边界条件的研究一直是f d t d 法中最活跃的一个领域。用f d t d 分 析电磁散射、辐射等开放或者半开放性质问题时，受计算机内存容量限制， 不可能直接对无限的空间进行计算，因此必须在截断处设置适当的吸收边界 条件，以便用有限网格空间模拟无限的物理空间。目前对吸收边界条件比较 系统和深入的研究主要是沿着两个方向进行：一是通过波动方程的因子分解 获得单行波方程并取近似来建立吸收边界条件，m u r 吸收边界条件p 司和l i a o 吸收边界条件p 习是两个典型形式；二是在边界上引入吸收材料，电磁波在无 反射地进入吸收材料后被迅速衰减掉，如1 9 9 4 年b e r e n g e r 首先提出的完全 匹配层( p e r f e c t l ym a t c h e dl a y e r ，p m l ) 吸收边界条件州。 p m l 的原理是通过在f d t d 区域截断边界处设置一种特殊介质层，该层 介质的波阻抗与相邻介质波阻抗完全匹配，因而入射波将无反射地穿过分界 面而进入p m l 层，由于p m l 层为高损耗介质，进入p m l 层的透射波将迅 速衰减，达到吸收外行波的目的，即使p m l 为有限厚度，它对于入射波仍有 很好的吸收效果。p m l 边界条件设置如图2 3 所示。 1 4 哈尔滨f j 稃人学硕十学伊论文 o ，o ) 图2 3p m l 边界条件设置 这里以二维t e 波为例，推导p m l 中的波方程。在p m l 中，磁场分量 h z 分裂为两个子分量如和如，且总胡二“岛( 这里分裂仅指数量上分成两 个量之和，与方向无关) 。这样m a x w e l l 方程组可以改写为 鲁+ q e 一坚掣 ( 2 - 2 3 ) 鲁+ 吒q = 坚掣 ( 2 - 2 4 ) 百o h = + 日。= 一堡o x ( 2 - 2 5 ) 鳓了o h m , + 。 m y h z y = 鲁 ( 2 - 2 6 ) 式中q 、仃，、为介质的电导率和磁导率。自由空间可以看作为电 导率和磁导率均为零的一种特殊的p m l 介质1 。 计算空间取1 0 0 x 1 0 0 网格，磁场位于网格中心，电场位于网格边沿。吸 收边界为8 层p m l 吸收边界。激励源分别位于( 5 0 ，5 0 ) 、( 2 0 ，2 0 ) 处的正弦 波源。图2 4 给出了当计算达到稳态后整个计算空间的磁场的相位等位图。 1 5 哈尔滨1 ：程人学硕卜学位论文 圆形的相位等位图表明p m l 吸收边界在边界四周和角点都保持了很好的吸 收效果。 2 4 激励源设置 ( b ) ( z 0 ，2 0 ) 点 图2 4 二维t e 波点源的辐射场 用f d t d 方法分析电磁问题时一个重要任务是对激励源的模拟，即选择 合适的入射波形式以及用适当方法将入射波加入到f d t d 迭代中，也就是说， 应将被研究媒质在真实源激励下这一完整条件在数值计算中尽可能近似地 “复现”出来。 哈尔滨t 程人学硕十学何论文 2 4 1 激励源类型 从空间分布来看，有面源、线源和点源；从频谱特性来看，有工作在单 一频谱的连续波源，也有覆盖一个很宽频谱的波源；从源的时变特点来看， 主要有两类：一类是随时间周期变化的时谐源，另一类是对时间呈冲击函数 形式的波源，包括矩形脉冲、高斯脉冲、上升余弦形脉冲和核电磁脉冲等形 式。从源场的性质看，又可分为e 型和h 型源，即在源面上仅赋值于电场量 或磁场量，一般使用e 型源。下面简要介绍几种时变源 ( 1 ) 时谐场源 e p ) = e o s i n ( 2 p f t ) ，t = n a t( 2 - 2 7 ) 式中厂是频率，址是时间步长，n 为整数，代表递增的时间步数。 ( 2 ) 高斯脉冲 最o ) = e x p - 4 p ( t - t o ) r 2 】 ( 2 2 8 ) 式中t o 是脉冲峰值出现的时间，t 为常数，决定了高斯脉冲的宽度，如图2 5 所示。 图2 5 高斯脉冲的时域波形和频谱( y o = m h z ，t = l n s ，t = 0 8 n s ) ( 3 ) 微分高斯脉冲 巨( f ) = o t o ) r e x p 一4 p ( t t o ) 2 r 2 】( 2 - 2 9 ) 1 7 哈尔演f ：程大学硕十学何论文 图2 6 微分高斯脉冲的时域波形和频谱( f o = 2 0 r l z ，t = o 5 2 5 n s ，t = 0 4 2 n s ) ( 4 ) 调制高斯脉冲 最o ) 一一c o s ( w t ) e x p 一4 p ( t t o ) 2 r 2 】( 2 - 3 0 ) 图2 7 调制高斯脉冲的时域波形和频谱( f o = 9 g h z ，t = 0 0 6 4 n s ，t = o 2 n s ) 2 4 2 激励源设置方式 对于散射问题计算一般在总场和散射场的连接边界面上设置入射波源。 而天线问题计算激励源的设置方法有硬源激励、软源激励、总场反射场连接 边界加入等阳。 ( 1 ) 硬源 硬源激励又称为强迫源激励，是在传输线的原网格处的f d t d 迭代式直 接用源的时间函数代替，以电场的z 分量为例，其形式为 e ? o ，j ，七) = f ( f a x ，j a y ，k a z ，n a t ) = 厂“( i a x ，j a y ，k a z ) ( 2 3 1 ) 1 8 哈尔滨f - t i f t 人学硕+ 学付论文 式中触妙夕，f ) 为激励源函数，厂0 ，z ，f ) 为第刀时间步的激励源的空间分布。 由于电场分量的迭代式被替代，上述的源是电压源，源函数也可以替代磁场 分量，这时的源为电流源。 硬源激励由于是简单的替代，这种源的加入不需要付出内存或计算时间 的额外代价，且源平面的替代是强制的，对于较宽频带、低q 值的天线系统， 硬源脉冲激励是适用的。 ( 2 ) 软源的设置 软源是在源网格处的f d t d 迭代式上加上源的时间函数。仍以电场的z 分量为例，其形式为 e：o，j，七)：f(f，七)+等f兰三乏二!生j!生羔i主；幽一lx 、 ( 2 3 2 ) 型堑盟竿竺盟塑1 鲰k a z ) 脚 1 对于反射波来说，源平面是正常