（理论物理专业论文）连续化车辆跟进模型下的孤立子密度波.pdf

华中科技大学硕士学位论文 摘要 多年来，作为一个复杂性问题，交通问题一直为物理工作者所关注。一方面，通 过研究这一问题来确定交通流变化的定量规律，并将这些规律应用于优化交通管理， 提高交通运行效益。另一方面，通过对交通流中的非平衡态相变、非线性动力学等现 象的研究，可加深对复杂系统的性质的理解。我们研究在各种交通流模型中较为盛行 的车辆跟迸的优化速度模型，并根据这个模型的连续化的表示，对在单车道上运行一 种车辆和两种车辆的两种情况，分别进行了线性和非线性分析，讨论孤立子密度波的 形成和对交通流运行的影响。 广 一在单一车辆情况下，以连续化的车辆跟进b a n d o 模型为基础，通过线性分析推导 出车流稳定的条件。非线性分析表明，车流中出现两种不同强度的局域化的密度波。 在远离临界稳定状态的情况中，较弱的涨落出现。这种涨落按k d v 方程传播，对应 产生孤立子密度波使车距趋向于安全车距，并且在临界稳定车流，涨落按行波方式传 播；较强的密度涨落出现在接近临界稳定状态时，涨落按m k d v 方程传播，对应不 同的边界条件，可以出现孤立子密度波或出现k i n k a r i t i k i n k 密度波 在两种车辆情况下，用车辆跟进的b a n d o 模型研究高速公路单行道上两种车辆运 行的交通流的简单情况，这两种车辆的司机具有不同的灵敏系数。非线性分析的最低 级指出车流中可出现孤立子密度波，而不同车辆的司机具有不同的灵敏系数只对密度 波的演化提供高阶小量影响。无论车流平均密度大于或小于临界稳定流的密度，孤立 子密度波都使车流中的局部密度趋向于临界稳定流的密度。计算表明，孤立子密度波 并不明确地导致交通堵塞。在高阶扰动的影响下，车流中灵敏系数较低的车辆数目越 、 多，孤立子密度波的振幅变化越慢。1 关键词：连续化方法车辆跟进模型k d v 方程m k d v 方程 安全车距线性分析非线性分析孤立子密度波 华中科技大学硕士学位论文 a b s t r a c t a sak i n do fc o m p l i c a t e ds y s t e mp r o b l e m ，t r a f f i cp r o b l e mh a sb e e np a i dm u c h a t t e n t i o nb yp h y s i c a lr e s e a r c h e r sf o rm a n yy e a r s o nt h eo n eh a n d ，t h et r a f f i cf l o wl a wi s s t u d i e di no r d e rt oo p t i m i z et r a f f i cm a n a g e m e n ti nt h ef a c t u a ll i f e o nt h eo t h e rh a n d , t h e c o m p l i c a t e ds y s t e mp r o p e r t yw i l lb ef u r t h e ru n d e r s t o o dt h r o b 曲s t u d y i n gt h en o n l i n e a r w a v e sa n d n o n - e q u i l i b r i u mp h a s e t r a n s i t i o n o nt h eb a s eo f t h ec a r - f o l l o w i n g m o d e l ，s i n g l e a n dt w os p e c i e sv e h i c l e so nt h e s i n g l el a n ea r ei n v e s t i g a t e db yi n t r o d u c i n ga na c c u r a t e e x p r e s s i o nt h r o u g hl i n e a ra n dn o n l i n e a ra n a l y s i s t h u s ，t h es o l i t o nw a v ef o r m e da n di t s e f f e c ta r ed i s c u s s e df r o ma b o v e i nt h es i t u a t i o no fs i n g l e s p e c i e s ，a c c o r d i n g t ot h e o p t i m a l v e l o c i t ym o d e l ，t h e c o n d i t i o nf o rs t a b l et r a 伍cf l o wi sd e d u c e d t h en o n l i n e a ra n a l y s i ss h o w st h a tt h ed e n s i t y f l u c t u a t i o ni nt r a f f i cf l o wi t s e l fi n d u c e st w ot y p e so fl o c a ld e n s i t yw a v e s aw e a k f l u c t u a t i o no c c u r r i n gn e a rt h es t a b i f i t ys t a t ef o r m sas o f i t o nd e t e r m i n e db yt h ek o r t e w e g - d e v t i e s ( k d v ) e q u a t i o n i naw i d e r a n g eo f h e a d w a y a p p e a r a n c e o f s u c has o l i t o ns h o w st h a t d r i v e r st e n dt or e a c ht h es a f e t yd i s t a n c ew h e nt h e ya a w a yf r o mi t t h j sd e n s i t yw a v e d e g e n e r a t e st ot r a v e l i n gw a v e a tt h ec r i t i c a lp o i n t as t r o n gf l u c t u a t i o no c c u r r i n ga r o u n d t h ec r i t i c a lp o i n tf o r m sak i n ko ras o l i t o nd e t e r m i n e db yt h em o d i f i e dk o r t e w e g - d ev r i e s ( m k d v ) e q u a t i o n i nt h ec a s eo ft w os p e c i e s ，t h et r a f f i c p r o b l e mo nt w os p e c i e s o fv e h i c l e sf o r s i n g l e l i n ef l o w , c o r r e s p o n d i n g t h ed i f f e r e n t s e n s i t i v i t yp a r a m e t e r s ，w a si n v e s t i g a t e d t h r o u g ht h ec a r - f o l l o w i n gm o d e l i ti sp r o v e db y t h en o n l i n e a ra n a l y s i st h a tas o l i t o nw a v e a p p e a r si nt h et r a f f i cf l o w a tt h es a l t t et i m e ，t h es e n s i t i v i t yp a r a m e t e r so n l yb r i n ga b o u t l i t t l ee f f e c ti nt h eh i g ho r d e r w h a t e v e rt h ea v e r a g et r a f f i cf l o wi sh i g h e ro rl o w e rt h a nt h e c r i t i c a ld e n s i t y , l o c a ld e n s i t ya l w a y st e n d st ot h ec r i t i c a ld e n s i t yf o rt h es o l i t o nw a v e ， w h i c hs h o w st h et r a f f i cf l o wd o e sn o tr e s u l tc o n f e s s e d l yt h ec o n g e s t i o n c o n s i d e r i n gt h e l l i g h o r d e rt e r m 。w e c a nc o n c l u d et h a tm o r et h el o w e r s e n s i t i v i t yp a r a m e t e r v e h i c l eh a s ，t l l e i i 华中科技大学硕士学位论文 s l o e rt h ea m p l i t u d eo f d e n s i t y - a v ec h a n g e s k e y w o r d s ： c o n t i n u u m a p p r o a c h t h e c a r - f o l l o m i n g m o d e l m k d ve q u a t i o n n o n l i n e a ra n a l y s i s t h e s a f e t y d i s t a n c e s o l i t o nd e n s i t yw a v e k d ve q u a t i o n l i n e a r a n a l y s i s 1 1 1 华中科技大学硕士学位论文 1 k d v 方程和m k d v 方程 非线性现象广泛地呈现在物理、化学、生命( 甚至社会、经济) 等各个领域，随 着科学的发展，对非线性问题的研究也越来越深入。非线性运动的研究十分广泛和非 常丰富，其中，k o r t c “u e g - - d ev r i e s 方程( 简作k d v 方程) 由描述浅水波而导出，出 现最早，并且最为典型。另一个典型的非线性方程是m o d i f i e d k o r t e w e g - d e v r i e s ( 简 作m k d v 方程) 。这两种方程可以描述广泛领域中的非线性现象。在研究交通流的演 化问题时，发现车辆的密度涨落在不同的情况下，分别满足这两种方程。这里我们预 先对它们作一定介绍。 1 1k d v 方程及其解法 早在1 8 3 4 年，由英国著名科学家s c o t tr u s s e l l 发现的孤立波现象，随着近代物 理学和数学的发展，正吸引着愈来愈多的关注。1 8 9 5 年，荷兰著名数学家k o r t e w e g 和其学生研究了浅水波的运动，得出了著名的k d v 方程 6 9 1 ： 鲁= 猎舶n 知+ 詈窘) a 1 9 6 5 年，美国著名物理学家k r u s k a l 和z a b u s k y 用数值模拟方法详细考察了孤立 波碰撞的非线性相互作用过程，得出了完整而丰富的结果，进一步证实了孤立波相互 作用后不改变波形的论断，这很类似于粒子碰撞的性质，据此，他们引入了“孤立子” 概念后来，p d l a x 在理论上给予了严格的分析证明。 进一步研究发现，孤波可以看作是通常的波在色散力和非线性作用力共同作用的 结果，是一种可以运动的非线性局域模式。迄今为止，孤波就象一个精灵，活跃在交 通、流体、光纤，生物等众多领域中，成为我们深刻认识自然现象的全新窗口。 孤立子理论与近代物理息息相关，一方面，这一理论被用于解释许多物理问题； 另一方面，新的物理问题的提出也促进了孤立子理论的不断深入和扩展。 华中科技大学硕士学位论文 为分析方便，对式( 1 作变量代换= 圭括一嘉，一三一；， 可得 “。一6 u u ，+ “3 ，= 0 ， ( 1 - 0 2 ) 这就是k d v 方程的一般形式。 6 7 】 k d v 方程，有两个基本点，- - a u u ，使波变得尖锐起来，二是色散项 “，引起色散，使波散丌。当色散效应和非线性平衡时，形成稳定的孤立波。 求k d v 方程的一般解法是逆散射变换法，其基本思想为：如果妒( x ，f ) ( h 斗0 0 ， 对所有的f ) 可为任一入射平面波e x p ( - f h ) ( x 专。o ) 所决定，则把所得到的势“g ，r ) 产生的散射( 即反射和透射) 信息倒过来决定势“g ，f ) 是可能的。 其解法是首先引入一对拉克斯线性方程【7 0 】 隧：塞麓各e m 【a 。中g ，f ，e ) = 胁g ，r ，) 这单三是一线性算子，e 是它的本征值，o g ，t ，e ) 是相应的本征函数，衍是另一线 性算子。如果这一对方程是相容的，且e 独立于f ，则有 ，+ 拉，肪j - o ， ( 1 - 0 4 ) 其中，e ，衍j - 三以一 牡，如果对算子形式作一些限制，作如下选取： 卜导州刈)。 卜= 4 导+ s “g ，r ) 丢+ s 虬g ，r ) 则方程( 1 - 0 4 ) 等价于k d v 方程。 在以e 考虑下，我们可得到如下改写后的方程： 2 华中科技大学硕士学位论文 怪一“g 怔班。， 这一方程正好是一维薛定谔( e s c h r s d i n g e r ) 方程。这一方程，通常是给定位势“( x ) ， 在一定边界条件下来求本征值和本征函数中( x ，e ) 。假定“g ) 满足下列条件： 1 u 0 0 ) 为实函数，且连续可微； 2 当h m 时，有b + h k 0 时，k 为j 下( 或负) 实数，相应于往右 ( 往左) 的散射态：e 0 ( 1 - 1 6 ) 可以预料，只有向右传播的孤波是可能的，最后结果应该是一衰减指数的和的形式， 这样，有 蜀e ) ：i g ：瞎) ：e x p ( _ j 鹭) 兰g 瞎) ， ( 1 1 7 ) 对非线性方程( 1 - 1 5 ) 通过一个简单的尺度变换 妒= ( 3 v 口) ”2 芗， ( 1 - 1 8 ) 于是，得到下面方程 一v + v 3 + 丸f = 0 ， ( 1 - 1 9 ) 华中科技大学硕士学位论文 为获得上方程的一特解，我们引入 歹= 9 4 倍) ， 带入方程( 1 - 1 9 ) ，并应用柯西规翊，得到如下递推关系 栉3 ( 1 2 0 ) ( 1 也1 ) 这里，a 。是一芷数，a ：。0 ，容易证实n 为偶数时，a 。= 0 。由递推关系方程( 1 - 2 1 ) ， 胃褥， a 3 = 一口1 3 2 3 ， 如= + 口1 5 2 6 ， d ，= 一口1 屈9 ， 等等，这撵，霹撂瀵足方稷( 1 - 2 1 ) 的a # 平魔鳃为 a 2 2 0 ， 磨：r + l 。( - l y 岛2 。“2 3 。， 拧= 1 ，2 ，3 ， 憋式( 1 - 2 5 ) 嬲( 1 - 2 6 ) 带入式( 1 - 2 0 ) ，褥 ( 1 2 2 ) ( 1 - 2 3 ) ( 1 - 2 4 ) ( 1 - 2 5 ) ( 1 之6 ) 歹g ) = e ”( - 1 ) a 1 2 + 1 2 州g 。一+ 售) ：2 趣) d + a 2 9 ：g 势，靠= 嚷2 j ( 1 - 2 7 ) 1 0 这里参考了 薹( - 1 ) 4 = 贵t ， - o 燃 l ( 1 - 2 8 ) 注意到g 哲) = e x 融群) ，珂褥在攘个积分送闻一孝 斗，方程( 1 - 2 7 ) 均链收敛， 这样，我们将变曩还原，最终可得得到原方程的解为： “0 ，) ；( 6 口严s e c 矗盼0 一w ) + 艿j ， ( 1 - 2 9 ) 6 o l 护 乜 舻 8群 mm + 、芦 i一 2 0 v 华中科技大学硕士学位论文 1 3 微扰理论 在实际问题中，往往需要讨论包含修正项的方程。这时，要严格求解般是不可 能的，于是，当修正项可以作为小量时发展实用的微扰方法就成为必要。在线性方程 时，如量子力学中的那样，微扰方法是常见的。但是对非线性方程，却不能象线性方 程那样把不会微扰的解。作为含微扰的0 级近似。这罩，只讨论含修f 项的k d v 方 程的微扰理论，【2 、1 4 、2 8 、7 0 u ，+ 6 u u 。+ u 3 。= m l u ， ( 1 3 0 ) 式中g m 为“的泛函，f - 4 d 、的实参数。当_ o n ，方程过渡到通常的k d v 方 程。对于束缚念，谱参数k 。的值将随时间发生变化。其演化存在如下关系： k 。2 l 庐( x ，f ，h ) 2 出= s g ( x ，f g ，f ，b ) 2 出， ( 1 3 1 ) 在单孤子情况下，我们来看k d v 方程的绝熟近似解，这时 u = 2 r 1 2 s e c h 2 z ， z = 茁1 g 一手) ( 1 - 3 2 ) 孤子参数r ，和手对时间的相依由修j 下项来决定。方程( 1 - 3 1 ) 改写为 2 专臀， ， 又由约斯特解的相关变换，我们可得 h = 一砉q s e c 施， ( 1 3 4 此式决定修正项引起的变化。 另外，我们可得 毒姗2 一素助“】s e e h z z ( z i 抛d z a，s ， 华中科技大学硕士学位论文 2 四种交通模型 交通运输业的发震永平慧国家兴旺发达的藿要标志之。交通运输的高速发震， 促进了物质交流和人们的往来，大大缩短了出行时间，提高了工作效率。但近半个世 纪以来，交逮攘揍、遘黯辍塞等交邋闺题爰越来越严重的困扰着世器各黧黪大城枣。 处于稍塞状态的交通流，可通过的交通曩明显下降，这意昧着高速千道的效率降低， 较低的平均车速意味着行程时间延长或造成更大的延误，导致运行费用增加。为了提 高运输弼络的使用效率，瓣决交逡拥挤等交逯阂鼷，完善智能交逶系统，有必要对交 通现蒙迸行深入的研究。 长期以来，交通问题吸引了许多物理工作者的广泛关注。这一方面有优化交通、 服务社会虢遗惦需要，另一方匿，与交逶阻塞耀关的肄线性现袋垂特说嬲。人 | j 跌年 同角度来考察交通现象的各个方面。在交通问题的研究中，一种没有明显原鲴而出现 的堵塞引起了人们的极大兴趣。鼹前，已有多种方法用于描述交通流，它们从不同焦 度揭示了交遥流麸螽崮流动到堵塞的攘交。这些方法主要有车辆躐进模型、流体动力 学模型、气体动力学模型、自组织模型这么四种，分剐对交通流进行离散或连续形式 的模拟。 2 。l 车辆蹑进模型 交通流的特点楚驾驰车辆的司机能够根据车流的情况不断调整车辆的速度，觚而 实现警稳、安全行驶。车流跟进模型( t h ec a r - f o l l o w i n g m o d e l s ) 作为离散模型，被引 入来掰究交遥漉。【2 4 、2 l 、3 2 、3 8 4 2 、5 5 】 在车辆跟进模型中，交通流中的车辆被编号，第，l 辆车具有坐标茗。，它的运动 自如下方程描述： 划：矿沁。鼢。dt 、1、7 ( 2 1 ) 其中，a k ( - 并。一x n ) 是两车的车距，r 建延迟时闻，其依据是认为司机参照他 阜中科技大学硕士学位论文 前面的车距缸。( r ) 来调整车速出。础，延迟时间f 是考虑到车辆从当自口速度达到理想 速度所需的时间。 b a n d o 提出的车辆跟进模型，以其简洁明了的形式传达了交通流的微观特性：每 辆车的速度改变出它自身的速度和它此时的理想速度所决定。而且每一车辆遵从相同 的运动方程。模型认为，微小的扰动能够诱发堵塞，这种堵塞经常在实际生活中被观 察到。并且认为，堵塞现象是动力学系统不稳定的必然结果，它类似于相变。为了研 究这一问题，于是引入了一种能够诱发交通堵塞的动力学模型。 司机操纵车辆的跟进有两种不同的策略，在保证两车之j 剐的距离时刻大于预订的 安全距离的情况下，一种策略是根据前车的速度来调整本车的速度；另一种策略根据 与前车的车距来调整本车的速度。b a n d o 模型采用的是后一种车辆跟进的策略。在此 模型中，理想速度是距离的函数。司机对车距变化的反映由一灵敏系数来表示，通常 它为常数。 b a n d o 模型研究前后跟进驰行的车辆编号序列。设第r 辆车的位置为t ，并认为 每辆车的加速度t 。出它自身的速度v 。及它想要达到的速度v ( b 。) 所决定 2 】。在本文 中，下脚标表示车辆在跟进流中的编号。由此，b a n d o 模型假定第，z 辆车具有加速度 t 。= 口【y ( 巩) 一v 。】， ( 2 0 2 ) 其中矿( 6 _ ) 与车距玩( b 。= x 。一x 。) 相关，又称该车的理想速度。通过分析，b a r , d o 模型给出了理想速度的一种表示：矿( 瓦) = t a n h ( b 。一九) + t a n h ( h 。) 。此式中玩为两车 头相距的安全距离。可见矿0 ) 0 0 ，矿( o ) = 0 。同时，a 是司机的灵敏度，对应司机 反应时间的倒数。 对这个模型可以进行线性分析，来确定其在发生微小偏离时的稳定性。考虑一个 均匀的车流，对应有f 0 j ；b n + c t ，其中b = l n ，c = v ( b ) 。由式( 2 一0 2 ) 确定，这是 一具有均匀问隔而均匀行驶的车流。为了研究这个车流的稳定性，考虑相对于它有一 9 华中科技大学硕士学位论文 个小的偏差y 。，即有 x 。= x 。f 0 ) + y 。， ( 2 0 3 ) 带入( 2 - 0 2 ) 可获得 _ i ) 。= 口缈( 6 ) 少。一岁。 。 ( 2 一0 4 ) 令n ( ”，f ) = e x p i a i n + z t ，吼= 等七，( i = o ，1 ，2 ，n - 1 ) 和z = “+ f v ，对( 2 - 0 4 ) 进行付氏展丌，得到 z 2 + 叱一q ，t q 一1 ) = o ， ( 2 0 5 ) 其中厂= y ( 6 ) ，由此可得车流的稳定性判据为：矿( 6 ) 昙，车流不能保持稳定，必将产生堵塞。这样， 二 车流的稳定性就由司机的灵敏系数a 和理想速度函数的导数二者关系确定。 在b a n d o 模型中，若以单一车流为研究对象，车流中所有车辆具有相同的灵敏系 数和理想速度函数。显然，理想速度函数具有一个拐点在a x 。= h 。：y ”( h o ) = 0 ，而且 理想速度函数是单调递增函数，直至最大值2 。这种性质的研究被应用来改进穿过隧 道的车流，说明瓶颈路段的交通特性。 另外，由方程主。= a u ( x l + 1 一x 。) 一膏；】( i 是车辆标号，u 是速度函数， 饥；x f + l x 。) 可取u ( 6 ) = t a n h ( b 一2 ) + t a n l a ( 2 ) ，为方便计，改写方程为， t ，= 口【u ( 6 j ) 一v 。】和6 l = v f + 1 一v 由u ( 瓦) = 0 ，得临界值瓦，在临界点附近，引入变量z = 2 s 【f u ( 6 c ) f 】， r = 占3 【，( 石c n 占是一小参数，有岛( d = 瓦+ 2 占小万瓦习西郦( z ，d ，而获得如下 m k d v 方程： 华中科技大学硕士学位论文 a 占( z 7 ) = o ；占( z 7 ) 一o 。i3 ( z 7 ) 一三阱( i + a ；手一面3 ) + 印。i 4 】+ o ( 2 ) ，( 2 0 6 ) 盘 方程显示，在临界点附近出现扭结孤子： 2 2 流体动力学模型 由于交通流本身就是由交通流量、交通密度、车速等等来描述，这些量与描述流 体运动的物理量相同，自然使我们趋向试图采用描述流体的方法来描述交通流的特 性，流体动力学模型( t h eh y d r o d y n a m i cm o d e l s ) 是一个理想模型。 当大量车辆在平直公路上运行时，从宏观上看，可以把每一辆车看作一个流动的 微粒，因而大量车辆的运行就相当于一种流体的流动，这种由车辆组成的流体在交通 流理论中就是我们常说的交通流。这时我们主要关注的是在车流中各个局域的平均特 征，此时交通流被视作一维可压缩流体。 1 5 、1 7 、2 2 、2 3 、5 2 、5 6 】 当我们观察公路上一定数目的车辆时，单车道的交通流在许多方面与经典流体类 似。首先，不难得到一关于交通流局域密度p g ，f ) 和平均速度v b ，f ) 的守恒方程，即 望+ 劐：0 ，( 2 一0 7 ) a瓠 另外，交通流的平均速度v 还遵循一演化方程，该方程类似于n a v i e r - s t o k e s 方程。在 交通流的标准模型中，这一方程写作如下形式： 詈+ v 尝= 少幻) 川嘞2 掣+ 等窘，( 2 - 0 8 ) 在方程的右边包含了影响交通速度的三个因素：最后一项为“粘滞项”或“传播项”， 这是一个假定的司机根据交通环境来调整自身速度的倾向性：第二项为“期望项”， 司机在前方交通密度增加的情况下要降低速度，其中工b ) 为单调递增函数，通常取 作l n p ，此时2 p 体现为压强；而第一项表达在某一密度下，交通流达到该密度下理 想速度的趋势。 在密度较低情况下，车流速度被诸如路面状况、速度限制等因素所决定，此时与 华中科技大学硕士学位论文 乍流密度关系并不明显：在密度较高的愤况下，理想速度变成了零，此对，车流速度 也与车漉密度关系不大；在一适中的密度下，车滚速度缀快逐渐减少。这主要源于缓 高豹车滚密度下，越车变得菲常困难，瀣茈，我销哥敬蠲望理怒速寝矿稿j 为一递减 函数。 我们注意到交通方程描述了交通流守恒和波动的性质。显然，满足方程( 2 0 7 ) 和( 2 - 0 8 ) 的交通流具有均匀、稳恒勰，即 p b ， ) = p 。，v g ，f ) = v ( p 。) = v 。 ( 2 ，0 9 ) 如我们假定的那样，y ) 单调递减，对每个矶存在唯一的均匀稳恒流。在密 度适中的馕况下，这秘状奎楚不稳定的，交遴滚羼域密发戆波动将缓密度变麓，扶悉 使车滚行进速度减缓，舔这又篌其蜃车滚翡速凌也邀一步降低，造袋车流密度增细； 与此同时，街部的匿力项c 0 2 p 也在增加，其作用是使车辆确互分离。这两种因索的 平衡就导致一个缓慢向詹移动的车流团，它使它前端的车辆出于处于较低的密度丽得 以加速斡进，恧使它后部的车辆不褥不降低行驶速度柬避免车钢的事故。 为量化以上特点，我镪假定交遗波基本滚足方程( 2 * 0 8 ) ，只是存在微小黪扰动， 澍这一交逶浚进幸亍博立时分解，这样，鸯 p g ，r ) ；p 。+ 众e x p 鼢+ 气f ) ， 女 v 0 ，f ) * 如+ 露e x p 陋+ 以f ) ， 女 ( 2 ，1 0 ) ( 2 1 1 ) 将上面表达式带入方程( 2 0 7 ) 和( 2 - 0 8 ) ，以a 和以为因变量，这样，我们得到线 性增长率吒应瀵足的方程 ( c x t , + i v h k ) 2 + ( ( 吾) +