（基础数学专业论文）关于算术函数的均值问题.pdf

矮j 丈学瑕学醢涂文 摘要 众所周知，解析数论是数论中以群析方法作为研究工其的一个分支算术豳 数的均值问题在解析数论研究中占有十分重要的位置，许多藩名的数论难题都与 之密切相关在这一领域取褥任蜒实质 生进展必将对解析数论起到重要的推动作 鬻 罗玛尼亚著名数论专家f ，s m a r a n d a c h e 所做出的许多荫献中其中一项就是 他源源不龋提出来的一系列出色的阍鼷，1 9 9 3 年在他所著瞬o n l vp r o b l e m s ， n 。ts o l u t 0 n s 一书中氇藏挺整了强5 个黉未解决酌润题，其中诲多润题与数谂 有关本论文基于对s m a r a i l d a c h e 问题的兴趣，威用初等数论，解析数论等知识 对他在o n l yp r o b l e m s ，n o ts o l u t i o n 8 一书中所提出的部分问题进行了研究+ 蒋弱整瓣予一些数论蔼数酌均蓬翊题送抒了深入瓣探讨，著褥舞了一些较好静结 果具体来说，本文的主要成果如下： 1 研究了关于幂p 原函数的均值及其关于幂p 原函数的个不等式，并给 篷其计数遗数趱德瓣一令精确酶诗算公斌积个三惫不等式 2 头于次幂可加补数，本文将遮用初等和解析的方法研究一个新的算术 函数( 讯( 礼) ) 的均值性质，给山了一个有趣的渐近公式 3 鹾究了关予s m h a n d a c l ee e i l 酝数窝对偶s m a r 髓d 3 砖ec e i l 溺数戆一般 均僮及箕与立方补数的混合均值性质，势给出了箕计数函数均值的一个精确的计 算公式 4 。定义了两个新的数谂图数最( 站) 和g ( n ) ，率文硪究了葵关于礼的均僮 性质，蠲裙等方法绘出了一个精确的均德韬诗。 关键词：幂p 原函数；立方补数；女次幂可加补数；s m 甜a n d a c h ec e i l 函数；对 骚s m 黻黼d 8 c h ec e l l 函数；均穰；濒近公式；特殊数列 a b s t r a c t ( 英文摘要) m e a nv a 王u ep r o b l 哪so fa r i t h m e t i c a lf u n c t i o n 8p l a ya ni m p o r t a n 屯r o l ei nt h e s t u d yo fa n a i cn 1 1 m b e rt 1 1 e o r y ja n dt h e yr e l a t e dt om a n yf a m o u si m m b e rt h e o 一 豫t i ep r o b l e m s a 蝌n o l l t r 呈v i 8 圭p r o g r e s si 珏t h 选最或dw i l le o l l t i b u t et 。t h ed e v e l o p m e n to f 撒l 铂y t i en u m b e r h e o 巧。 p r o f e s s o rf s m a r a n d h ei sar u m a n i a nf a m o u 8n u m b e r t h e o r e t i ce x p e r t o n eo fh i sn u m e r o u sc o n t r i b u t i o n si st h ee x c e 王l e n tu n s 埴v e dp r o b l e m 8t h a t8 r e p r e s e n t e d 谤圭l i m n 斑h 王蠢l 至nl 9 3 ，p r o f e s s o rf s m a r a i l d a 穗ep r e s e 珏t e dl 。5 u n s 0 1 v e dp r o b l e m si n 0 竹撕p m 6 把m s ，j j v o t 踟? 议托。啪，i ta r o s eg r e a ti n t e r e 8 t 8 f b rs c h o l a r s nt h 至8d i s s e t a t i ，1 q f eu s et h ee l e 转l 鞠主a y 貉l e t 魏o d 8a 通a n a l y i eh e t 王堇o d s t o8 t u d ys o m ep r o b l e m 8w h i c hw e r eg i v e ni n o 托冶j p ，_ d 6 砘m 8 ，耐s o f “t i o 乱s ， e s p e c i a l l yt 08 t u d y 七h em e a nv 献u ep r o b l e m so fs o m ea r i t h m e t i c a lf u n c t i o n 8 ，a n d g i v es e v e r 畦i n 专e r e s t i 珏g 珏s y m p t 蕊i ef 。r 辩毽l 船t h e 搬越n8 h i g 煳l n 圭ge 挑t 采珏e d 弧 t h i sd i s 8 e r t a t i o na r e8 8 如l l o w s ： 1 i nt h e6 r 8 tp r o b l e m w e8 t u d yt h em e a nv a l u eo fp r i m i t i v en u m b e r so f p o w e rp 蕊嫡瘿弧琏g8 强ea 8 y m p t o t i c 雠船u 1 8 e 如rl t ，w e 建s os 毛u d yt 圭l ep o p 毂t i e s o fp r i m i t i v en u m b e 鹅o fp o w e rp ，a n dg i v eat r i a n 蜉ei n e q u 出i t yf o ri t 2 i nt h es e c o n dp r o b k m ，s t u d yt h em e a nv a l u ep r o p e r t i e so ft h ea d d i t i _ e 是一专hp o 、糙rc o m p l e m 鼬t s ，8 n d 西v e m ei 珏t e r e s t 逾g 髂y m p t o t i cf o r m u l 黼如ri t 。 3 翠h es t 谳y 瞧ei n e 醯、啦u e s 黼盯8 n d a c h e 碱l & n c t 洒na n dd u 越s m 甜a m d a c h ec e i lf u n c t i o n sh y b r i dm e a nv a l u ew i t hc u b ec o m p l e m e n t s ，a n dw eo b t a i n e d s o m ee x a c ta s y m p t o t i ef o r n l u l 8 ef o ri t 4 。w 毫u s et 沁e l 锄e n 甜ym e 穗o d st os t 磷y 毛h en e w & n e t i o n 壤( 珏) a n d g ( 咒) a b o u tn ，a n ds e v e r a li n t e r e 8 t i n g 躺y m p t o 七i cf o r m u l 艚a r eo b t a i n e d k e y w o r d s ：p r i m 挑i v en u m b 娌s 。fp 喇rp & 珏c t l o n ；c t l b 主c m p k 瑚e n t 靠t h p o w e rc o i n p l e m e n t 8 ；s m a r a n d a c i 砖c e 眭f u n c t i o n ；d u 蕊s m a r a n d a c h ec e i lf u n c t i o n ； m e a n 1 u e a s y m p t o t i cf o r m u l ；s p e c i 胡s e q u e n c 槲 西北大攀学位论文知识产权声明书 y 8 3 3 3 8 7 。 本人完全了解学校有关保护知识产权的规定，即：研究生在校攻 羹学位麓闻论文工俸懿熟识产投单位属子蘧裁大学。学校袁权僳餐并 习国家肖关部门或机构送交论文的复印件和电子舨。本人允许沦文被 墅阅和借阅。学校可以将本学位论文的全部威部分内容编入有关数据 喜进彳亍检索，可以采用影印、缩印或扫描筹复制手段保存和汇编本学 艺论文。圈时，本入徐镊，毕监螽结合学位论文研究课题蒜瀵写豹文 一律注明作者单位为西j e 大学。 保密论文待解密后适用本声明。 学位论文作者签名：二孚互逸牟指导教辩签名：至当二l 鹚 5 每gr 幕遭；年g 疑香豇 西j 艺大学学位论文独创憔声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 i 外，本论文不包含其能人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 i 获褥嚣j 艺大学或其它教育机构的学位或谨书两使要l 过酶材辩。与我 一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的 a 明并表示谢意。 学位论文作者签名：了霸；皋 盖弦6 年占玛g 毡 鞭】大学碳土学琏论文 第一章绪论 1 1 研究背景与课题意义 爨变量n 在菜个整数集合中取毽，躅交量敬复数篷戆两数i = ，( n ) ，这餮 函数称之为算术函数，它们在研究许多数论问题中起着非常重要的作用很多重 要的算术函数的取值是十分不规则的，但是它们的均值，( 竹) 却有很好的渐近 嚣兰2 式 2 l 罄 。 算术函数的均德问题是解析数论的熏要研究谍题，是研究符种数论问题不可 缺少的工具之一在这一领域取得任何黛质性进展必将对解析数论的发展起到重 要夔掺韵箨爱， 罗马尼亚数论专家s m 甜8 n d a c l l e 【1 l 在0 n l yp r o b l e m s ，n o ts o l u t i o n 8 一书 中，提出了加5 个尚未解决的问题，其中绝大多数问题与数论有关本文对其中 懿一些数论闻题透露深入系统懿磅究，势绘跌一定程疫土豹躲捷，是寿趣荠有一 定的理论意义的 基于以上的想法，我们研究了一些s m a r a n d a c h e 函数及特殊函数的均值性 质，并褥到了较为率富的硬究戏果 1 。2主要成果和内容组织 魏前所述，本文研究了些算 求嚣数豹均氆，这些成鬃丰要表现在磷究了 幂p 原丽数，一些特殊函数的立方补数和次幂可加补数s m a r a n d 8 c h ec e i l 函 数和对髑s m a r a n d a c h ec e i l 黼数，以及黪殊数列( 礼) 和g f 钵) 的均馕性质，内 容分表农第三至第屯章。其体说来，本文静主要或粜帮内容缓织翔下： 1 ，研究了关于幂p 原函数的均值及其关于幂p 原函数的一个不等式。并给 出其计数函数均值的一个精确的计算公式和一个三角不等式 2 。关于奄次攀露热蛰数，本文将避耀象等蠢瓣辑匏方法密究一今凝豹算零 函数( 钒( 扎) ) 的均值性质，绘出了一个有趣的渐：l 琏公式 3 研究了关于s m ”a n d a c i l ec e i l 函数和对偶s m a r a n d a c h ec e i l 函数的般 均蓬及冀与立方 数鼹混合穗篷毽囊，势绘出了冀诗羧丞数均蓬的一令糖礁的诗 算公式 4 定义了两个新的数论函数鼠( n ) 和g k ( n ) ，本文研究了其关于n 的均值 瞧屡+ 塌初等方法绘爨了一个鹣确熬均德馈诗 第二章数论发腰史 2 。蔓数论篱余 第二章数论发展史 一般来说，一个学科分支的起源总是从对一些人们所关切的感兴趣的重要 问题的研究开始的；当形成了特有的研究对象，特有的研究方法，以及较为系统 的然本理论和成果时，一门新学科就诞生了有的学科是侧重于以研究对象来划 分，有的则侧重于以研究方法来划分 数论f 有时穆为麓簿冀术) 是研究整数设餍的一个数学努支，骚然现在属于 数论蓬强豹诲多薯名翔题在攘早鞋蔻藏开始疆究，褥弱了卡分事富豹藏采， 珏 奇怪的是，数论俸为一门独立的数学分支出糯却是迟至十丸氆鳃初的事人们 公认高斯( c f g a u 8 8 ) 在1 8 0 1 年发表的天才著作算术研究( d i 8 q u i s i t i o l l e s a r i 蝴m e t i c a e ) 是数论作为一门独立学科诞嫩的标志数论最基本的特有的研究 方法就是高斯在这一天才藩作中所创立的同余理论【9 j 数论是最古老的数学分支，义是始终活跃蕊的前沿数学领域；数论是最典型 瓣筑释数学，它又是嚣蕊褥垂广泛壹茬应羯豹灏“应震数学”分支。 数论楚疆究整数瞧璜豹一个数学分支，翔祭按照研究方法来说，可懿分戚稠 等数论、解析数论、代数数论和几何数论四个部分，还有其他分支，现代数论已 经深入到数学的一切分支 初等数论是数论中以算术方法为主要研究方法的一个分支，魑研究整数最基 本的性质，是数论的最荫老的分支。初等数论中某些问题的研究促成新的数学分 支载产生热对不定方稷秘态次互反定律的磺究促进了健数数谂秘炭域论懿形成 帮笈蔟初等鼗论孛仍露许多阉题没寿鳃捩。遥死卡年瓷等鼗谂在诗算凝释学， 组合数学，代数编码，计簿方法，信号豹处理鲦领域得到广泛的应粥 代数数论是把整数的概念推广到代数整数的一个分支数学家于巴整数概念推 广剽一般代数数域上去，相应地也建立了素熬数、可除性等概念 几何数论是由德国数学家、物理学家闵可夫斯基等人开创和蕊基的几何数 论磷究的基本对象是“空间接网”舒么楚空阀格网喔? 在绘定的矗角坐标系 上，瓷标全是整数熬点，翻锻整点；全部整点耩藏熬缀裁程骰空润穰瓣空阕疆瓣 对凡簿学和结晶学鸯着整夫的意义由于凡秘数论涉及的问嚣跑较复杂，必须其 有相当的数学基础才能深入研究数论是一门商度抽象的数学学科，长期以来，它 的发展处于纯理论的研究状态，它对数学理论的发展起到了积极的作用但对于 大多数人来讲并不清楚它的实际意义 随于近代计算桃秘学和应用数学的发展，数论得到了广泛的应用。比如在计 算方法、伐鼗绽玛、缀合论等方 垂都广泛绽餍了裙等鼗沦落弱凌瓣诲多磅究或 寨：叉文献摄道，理在蠢黧丽家庭用“孙子定理”来逡行测距，瘸琢棂帮指数来诗 算离散傅立叶变换等 2 西北大学硕士学位论文 2 2 解析数论的开蔓成 1 9 髓纪分析方法的一个重要应用疆域怒数论事实上，欧控m 霞数谂中己g l 进 了分褥方法毽谖麓了一个重要豹夔等式帮敬控餐等式) ：对实交数s l 有 其中8 l ，n 取遍所有的正整数，p 取遍所有索数欧拉是利用算术綦本定理( 即 每个合数可以唯一地袭示成素数的乘积) 证明这恒等式的、并且刹用这一恒等 式溉臻了素数个数无穷。该一蠢等式在数诡与分援之闯桨起了携粱，楚瓣橇鼗谚戆 辇鬻右式蕊数摹、1 蕊被黎曼摆广到s 敷复值豹猜形，现称黎曼( 两数，是 n = l 现代解析数论的主要工具欧拉还提出了母黼数法，利用幂级数来谶行整数分拆 然而欧拉在数论中对分析方法的应用是十分有限的 解析数论作为有意识的使用分析方法研究数论问题的一门分交是从狄利克 蘩开始戆1 8 3 7 年，狄利兜菜用分析方法证明了欧拉和勒让德单先掇出来的一个 猜想：每一令葵本黟捌 中商无穷多个素数，其中。和6 是互素的在证明中，狄利克莱引入了后米以他 名字命名的三函数 ( s ) = 占( 锨净掣； n 嚣1 “ 箕中s 是复交数，x 穗为狱翻克莱( 裁余) 褥缀，诧螽，获翻壳篥五嚣数成为磷究 数论问题的重要工具 不过促使解析数论取得长足进展的重黉因素是关于素数分布问题的研究 以7 r ( ) 表示不超过z 的索数的个数欧拉，勒让德，高斯都曾推测 熙箍乩 羹魏稍都来能绘与涯裙。遮就是著名懿素数定理最先在这方嚣徽赉贡献静是饿 潮数学家切比雪夫他在1 8 5 0 年证明了当茹充分大时不等式 尔羔a 。 成立，其中0 9 2 2 a l 1 1 n 120 基于p ，则从昂( n ) 的定义我们知矿i 岛( n ) ! 和昂) 表示的是满足条件的最小 的正憋数然而，设 ( f 国 = l ，2 - 3 p 妇+ l 劫，粒+ 1 ) 印= 猢5 。 其中z n ，p 阕此结合这和矿i 岛( n ) ! 我们使根容勃得到 昂( n ) 5p n ，( 3 1 ) 5 、壁篝 芝堙 昂 ：! 第三章关于幂p 原函数 埘一方面，从昂( n ) 的定义我们知矿i 岛( 札) ! 和p n t ( 昂( n ) 一1 ) ! ，因 此o l l ，注意到s p ( n ) f 分解成素数幂因子乘积褥 蠡| = 羹8 * 。 s 南 其中n 表示所有可能的素数乘积， q s 七 耻嚣】 浏为矿is p ( n ) 因托我们有 n 吲垆霎阱刍 n 唧( ) = = 高 潮 一1 ) 鞑曼国2 ) 结合( 3 1 ) 与( 32 ) 我们窥即得到 ( p 1 ) n 曼岛( n ) s p n 这褒宠残了弓l 理静遗暌， 3 1 3 定理的试明 遮节我们来完成定理的证明，现在给出定理的证明在g l 理的熬础上有 扫一1 ) n 昂( 站) 艘 容弱褥裂 扫一l 如品辨 p 墨z延2p o 设 “c n ，= 篓嚣，忭是素数； 粼盎鞠我翻蠖褥至瓣予任意正整鼗蠡 驴冲= 去( ，+ 量袅) + 。( 毒) 6 西北大学硕士攀能论文 由【f i ( f 啦尔恒等式，有 p2 a ( m ) m 口 gm ( o ， = “( 。) 。一77 r 0 ) 班 j 2 = 毒+ 毒篓袅一z 。志( ，+ 量未) ( 最) = 鑫+ 蓑鲁+ 。( 素) ， 其中8 。( m = l ，2 ，一1 ) 为可计算的常数，从上面我们使得到 o 一1 ) = p 一”( z ) p zp o 一志+ 薹蒜+ 。( 舞) 。 因l i ： 薹跏卜蒜+ 蓑斋+ 。( 最) 3 2关于幂p 原函数的一个三角不等式 3 2 1 引言 锋鼹上嚣定义的滋数，本节鲍主要嚣的楚翊初等的方法磷究& n ) 的算术性 溪，绘鲞了一个三受不警戒。羁薅涯臻下嚣麴愆理： 京攥3 2 ：设p 为奇素数，为正整数刘我们有三角不等式 、 k 昂她) 昂( m t ) ， 邃疆3 。3 ：毒无穷多令臻赘数强秘= l ，2 ，寿) 满足 s p m 1 ) = 昂( m 。) 女、 南 = 14 尝l 7 第三章关于幂p 原函数 3 2 2 定理的证明 在这一小节里、我们将完成定理的证明， 蓥宠我们亲 芷明定理3 2 虢s ) 瓣迩义，我镌褥p “。ls 壤) ，p l s ( m ，) 尊j ) 翻我们立刻褥到： p 4 扩= p “斗呷哪i 昂( m i ) ! 昂( j ) ! l ( 昂( m ；) + 品( 啊) ) ! ( 33 ) 但从s m ) 的定义，我们知道s p ( n ) ! 是能被矿整除的最小的正憋数即 p m 一嘶 岛( m t 十m ，) 1 ( 3 4 ) 瞌l ( 3 3 ) ，3 ，4 ；我嚣l 立瓣褥列 岛( m + 叻) 茎昂( m ，) + 昂( ) 。 由这个不等式和归纳法可得定理3 2 下面我们来证明定理3 3 对任意的正整数m 满足m t 竹0 ( 1st ，js ) ， 我们设8 = 。( 弘n ) 满题矿肛! 则 一如萨萎阱 为了方便起见，我们设一2 ：旱因为 霎阴妒。1 妒q + t 州= 箸砘 搿浚我翻奄 岛( 觏) = p ”， 一1 ，2 ，- ，竞( 3 5 ) 另一方面， 凼此 ：圭等：圭趣 鲁p 1鲁”8 昂佳0 ：壹矿。 = ll 拦l 缝食( 3 5 ) 藉( 3 国我稍立馨霉到 ，七、 船 昂 氟= 昂 2 = 14 = 1 这就完成了定理3 3 的证明 8 f 3 6 1 。d 专 鎏! i 奎耋篓主耋堑鎏塞 4 1引言 第四耄是次幂可加补数 对予往意绘定熬芷整数，s m ”a n a c h e 毒捩瓣 鼗定义淹灌廷n 壤每) 是一 个完全次方数的最小的正熬数，可参见f l 】中的问题2 9 类似于s m a r a n d a c h e 女次幂补数，次幂可加补数n ( n ) 定义如下：( n ) 是最小的非负熬数满 足。( n ) + n 是一个完全女次幕镄如，如果垂一2 ，我粕蠢霹魏鲢平方蛰数穿 列 0 2 ( n ) ) ( n = 1 ，2 ，) 如“p ：0 2 ( 1 ) 一o ，0 2 ( 2 ) = 2 ，啦( 3 ) = l ，n 2 ( 4 ) = 0 ：n 2 ( 5 ) = 4 ，0 2 ( 6 ) 一3 ，0 2 ( 7 ) 一2 ，n 2 ( 8 ) 一1 ：n 2 ( 9 ) 一o ，关于这个问题，在此之前很多学 者都曾经疆突过，磬获鼹了一些有趣螅缝果。倒热，z f x u 研究了是次幂蛰 数静均德性质，给出了下面的结论： 命题4 1 ：对于任意的实数茹3 和圊定的正整数2 ，我们有下商的渐近公 东 ，。 州沪去尹 + o ( 矿；) 对予在意给定静正整数m ，算术函数赫( n ) 的定义为 ( n ) 一 “d ：毒h “d m # 1 ) 1 蠹羹：兰景 本节中，我们将运用初等和解析的方法研究一个新的算术函数( ( n ) ) 的 均值性质，给出了一个有趣的渐近公式即，我们将证明下面的结论： 定理4 1 ：对任意的实数。3 和正整数m ，我们有渐近公式： 莓晰删= 鑫与产。u 南+ p 0 2 乇) ，当e s 其中n 表示对所有的满足pm 素数p 求积，e 为任意给定的正数 在定理4 1 中取七= 3 ，我们立刻德到下面的攘论： 推论4 1 ：对任意的实数z 3 有渐近公式? b ( 牲) ) = 兰z 3 职煮+ 。( 。扣) ， 定理4 2 ：对任意的实数$ 3 ，有渐近公式 撕。( = 争h 希+ 。) n l 静正按数m ，我们毒洚 近公式 乏撕) 2 ；嬲寿+ o ) ， 口立 。刮mr 1 、 7 其串为任意给定的正数 证明：设s2 a + 甜为复数，( s ) = 薹些注意到( 挖) 。，所以龆然，( s ) 墨言燃2 辩筑对菠敛静d i 蛀e i 慕缀数，壹嚣u l e r 乘裁公式【2 】魏瓠溶的 定义，我们得 一。”8 o ” 婚) 2 圣掣 2 罂( ，+ 警+ 警+ - + 警+ 一) 2 娶( ，+ 警+ 警+ 一+ 警+ 、) x 黑( t 丰警手学扣t 警 2 婴( 1 + 刍+ 嘉+ ，+ 嘉) 嬲( t 牛；+ 菩+ + 雾+ ) 2 骐( 南) 黑( 专) 锱p t ，骧( 籍) ， 渔t ， 其中( s ) 是黎曼一函数，以表示对所存的素数p 求和、 南( 4 1 ) 和& r 。班，。蚕戈嘲，我翻商 量训= 熹篡叫嬲( 鲁) ，知。( 事) 一固 其中f 为任意给定的正数 西北大学硕士学位论文 现在我们将公式( 4 2 ) 的积分线从s = i 土i 丁移到s = ；士i t 此时，函 数( ( s 一1 ) u ( 舞) 警在s = 2 处有一个一阶极点，由留数定理，得留数为 口f m 等玎寿 ( a 3 ) p m 因此，我们有 熹“+ 名+ z 等+ z ) 叫嬲( 籍) 等幽 = 萼嬲南 a ， i 刍( z + z ) 叫飘) 剖学s ， 相 i 点名叫飘( 筹) 刮疹l 江e ， 取t = 。，结合( 4 2 ) ，( 4 4 ) ，( 4 5 ) 和( 4 6 ) 我们有 ( n ) 一等南+ o ( z ；+ 5 ) ( 4 7 ) n z“叫m 。1 引理4 2 ：对任意实数3 和任意非负算术函数，( n ) 且当n = o 时，( 0 ) = 0 我们有渐近公式? 差，c 。一c n ，= 菩1 磊，c n ，+ 。( 。! ，希； ，c n ， m 一( n ) ) = ，( n ) + ol，( n ) n z= 1 n 2 ，我们有渐近公式 夏孙) = 错刑( 痧) ， n z 其中f ( s ) 是黎曼 一蕊教，羹表示对所蠢砖索数妒求积，e 势任意给定的正数 定璎5 3 ：对任意实敬o ，我们有渐近公式 融n ) = z ( 熹n 茁+ a ) + o ( 疹) n 1 由e u l e r 象积公式翻我们有 m 卜耳( ，+ 掣+ 学+ 学+ 糙l 大学礞学夔论文 一耳( ，+ ，+ 赤+ 南十南- + 南十筹) 一罂( 毒砖毒瑶毒) 一骠( 毒) 罂( t 咕瑶+ 茹 ( 8 ) ( ( 后s 一1 ) 2 可i i 厂 其中 ( s ) 是黎曼乒函数掰以幽p e r r 。n 公式双，取s 。= o ，6 = ；，z 一茹，我们 有 乏融，= 去名锷裂警如删声譬 为了估计 1r ；十i t 弧j l 一灌 ( ( s ) ( s 一1 ) 2 丞数 馋) = 紫警 在s l 处有一阶极点，由髓数定理，可得留数错茗因此，我们有 志u 三+ | ：| ：| ? 0 逊铲如= 毁誉z 注意弱 去“+ z + z ) 业铲d s 声e ， 扶上露我们立刻褥到溺近公式： p 2 等一) _ 这便究成了定理5 2 的证明 注懑到当= 2 时， m a x ( ，历) ，p ( n ) 是n 的最大素因子， 且p ( n ) i ( p ( n ) ) ! 和p 。十1 ( n ) 十( p ( n ) ) ! 因此 ( n ) = p ( n ) ( 6 ，2 ) 对于其他的素因子鼽( 1 茎isr ，鼽p ( n ) ) ，注意到硝i ( a p 。) ! 我们很容易得 s ( p ? ) n 鼽 现在我们来讨论它的上界的3 种情况： ( i ) 如果砒= 1 ，则鼠慨) = 仇佤； ( i i ) 如粜o 。= 2 ，则巩( p ) = 2 肼s2 n s 、元； ( i i i ) 如果o i23 ，则鼠? ) o a 嘶n 盍n 壶舞s 、元； 综合( i ) ，( i i ) 及( i i i ) 我们很容易得 瓯? ) 、，伍( 63 ) 从( 6 1 ) ，( 6 2 ) 及( 6 ，3 ) 我们推出 引理得证 & ( 礼) 2 畏黑 鼠0 7 4 ) ) = & ( p ( n ) ) = p ( n ) 6 1 3 定理的证明 现在我们给出定理的证明首先为方便起见，设 4 = n i n z ，尸( n ) 、，伍) ， 8 = n l nsz ，p ( n ) 、元) 应用a b e l 恒等式 2 ，我们有 & ( n ) = p ( n ) + p ( n ) = 磊磊! 。睡e qn 兰扣扣兰p 兰苎 n o 一，曼( x ) 一佩价霞小) 叫病一) 萋蹙差垂重垒坚2 垫丝怒2 里壑墅窒堡 雌，= 志+ 意如( 击) 由上式有 点。p2 瓣) 一侧面卜成心) d s v 压p 兰 。v 4 一鑫一高+ 。( 南)。嘲一面丽州礤? + 。( 南) 十。( 高一南) m 篆禹；。萎。禹+ 叱曩西鑫) 一掣+ 。( 熹) 1 n o 一1 n 2 z ， 和 凌藏，我靛立帮稳舞 圣南= 。( 鑫)急n 2 l n ( ：) “l n 2 茁， & ( 礼) 2 & ( n ) + 最( 姹) n 蔓$ 日且 = 黜+ o ( 熹) 注意裂e ( 2 ) = 譬，所以 莓嘶，= 熹+ ( 鑫) n 、7 6 。2一个瓤的数论函数晚) 及其均值 6 2 1号| 言 对任意的正整数n 设s g ( n ) 表示大于躐等于n 的蠼小的平方数，例如 曲( 1 ) = l ，s 9 ( 2 ) = 4 ，s 口( 3 ) = 4 ，i 趵( 4 ) = 4 ，勋( 5 ) = 9 ，s 9 ( 6 ) 一9 ，s 目( 7 ) = 9 2 2 戮j i 大学硕士学继 忿文 ，s 口( 9 ) = 9 ，s 口( 1 0 ) = 1 6 ，在f 1 1 的第4 0 个问题当中，f s m 8 r a n d a c h e 教 授让我们研究趵( n ) 的性质关于勖( n ) 的性质，我们研究的比较少这个问题 的研究怒非常有意义的，囚为它帮助我们研究这个平方根序列的分布情况在本 文中，我 | 、】将这个闯题徽了壤广，即。设瓯( n ) 表示太子等于n 的最小豹一个女 竣方数，发瞰( n ) = 壤( ) 一珏。在奉文串，我织惩镑等方法臻变了g ( 携) 关子乳 的均蘸键矮，给出了一个精确瓣渐近公式罄将证鞠下面静： 定理6 2 ：设z 1 ，我们有渐近公式 特别的，当尼：2 ，3 时，我们有下面的 推论6 2 ：设z l ，我们有 ( 勋( 锋) 一器) = 争+ 。( 嚣) n 推论6 3 ：设1 和s c ( n ) 表示大于等于n 的最小立方数，我们有 ( 蹦旷扎) = 兰z + o ( 。) n z 6 2 2 一个引理 为了究成定理的证明，我们需要下面的： 引理6 。2 ：设嚣为任意实数8 o ，我们有 p = 蔫坝扩) 证明：( 参阅文献【2 ) 6 2 3 定理的证明 褒这箨分，我啻l 蒋竞戒定疆f | 毫嚣鞠，对饪塞瓣安数。l ，设掰为馁意簦定 髂正整数满足 、 时膏 f a ，+ 1 1 2 3 掣 l r 警 志 瓯 脚 箜查重茎王墨( 翌2 塑鱼f 型鱼塑塑塑堡 则从g k ( n ) 的定义，我们有 薹g 咖，= 喜。愚。o 铲一n ，+ 。( 。c m k n ，) g t ( n ) = ( 铲一n ) + di ( m 一n ) ) n 三z t = 1 “一1 ) n p、“ n t， = 喜。；。暑。一，。“+ 。( 。! 。磊。一。“) = “+ o i“j t = 1o u 壮一0 1 ) o n m k z = 喜 竿删， + 。( ， = 菇胪。1 + 。( 胪1 另一方面，注意到 0 sz m f m + 1 ) 一m m 一1 z 早 则我们有 m 2 = 茹半+ o 妇2 铲) 和 m 2 k 一2 嚣车2 结合上面的结果，我们便得到渐近公式 g 咖) = 丽z 掣+ o ( z 竿) n z 、 于是完成了定理的证明 西北大学硕士学位论文 第七章结论与展望 在0 n l yp r o b l e m s ，n o ts o l u t i o n s 一书中，罗马尼业著名数论专家f s m ”a n d a c h e 教授提卅了许多有待解决的数论问题本论文主要研究了其中的一 些特殊数列及函数的均值，用初等和解析的方法得出了一些较好的结果然而该 书中还有许多问题期待我们去解决，这些是作者继续研究的对象彻底解决或者 作出实质性进展将是我们的最终目标1 2 5 参考文献 参考文献 【1 f s m a r 粕d 勰h e o n l yp r o b l e m 8 ，n o ts o l u t i o n s m 卜e h i c a g o ：x i 啡l a np u b - l i s h i i l g 强o u s e ，1 9 9 3 【2 】霉+ 醚+ a p o s t 0 1 1 l 建r o d u c 专l o 赶t oa n 越y t i cn 珏狲b 娃蕈h e o r y n e wy o r 莪：s p r 讯g e 卜 v e r l a 豁1 9 7 6 【3 t m a p o s t 0 1 m o d u l a rf 、1 n c t i o n sa n dd i r i c h i e ts e r i e 8i nn u m b e rt h e o r y n e wy o r k ：s p r i n g e r v e r l a 驺1 9 7 6 【4 】m r a mm u r t mp r o b l e m 8i na n a l y t i cn u 玎1 b e rt h e o r y n e w1 r o r k ，2 0 0 1 ：3 6 潮e